Simulación de Fenómenos de Transporte en …linux0.unsl.edu.ar/~rlopez/cap5new.pdf · continuidad de la interfase líquido-vapor, ... Basado en la isoterma de BET, ... es el potencial

Simulación de Fenómenos de Transporte en Estructuras Porosas. 75

55

Simulación de Fenómenos de

Transporte en Estructuras Porosas

Generadas Mediante el Modelo

Dual.

5.1 Introducción

Diversos procesos, tales como la desactivación catalítica, imbibición y drenaje de

fluidos, difusión, reacciones químicas, adsorción y desorción de vapores, etc. han sido

simulados utilizando el Modelo Dual. En este capítulo, nos concentraremos

principalmente en dos de ellos, la adsorción-desorción de nitrógeno y la percolac ión

invasiva (IP) . Este último representa la invasión de un fluido en un medio poroso.

En los capítulos anteriores hemos descripto los medios porosos en cuanto a su

forma y su topología, los hemos clasificado según su tamaño y hemos hecho una revisión

de los diferentes métodos de caracterización que son utilizados en la actualidad.

Posteriormente discutimos las diferentes técnicas y modelos que nos permiten simularlos

computacionalmente, y concluimos que el Modelo Dual de Sitios y Enlaces es un modelo

adecuado para representar diversas estructuras porosas totalmente aleatorias o con

correlaciones espaciales. Dentro del marco de este modelo, a través de cálculos analíticos

sobre redes tipo árboles de Cayley1 (en donde no existen caminos cerrados) y mediante

simulación de Monte Carlo en redes bidimensionales 2- 3 se demostró que las correlaciones


espaciales debidas al tamaño de los poros, afectan drásticamente a las probabilidades

percolativas del sistema. Es entonces de esperar que en redes más realistas como las

tridimensionales, las correlaciones espaciales producirán un efecto similar sobre los

umbrales de percolación y esto, por supuesto, afectará a los ciclos de histéresis en las

isotermas de adsorción-desorción (ADHL *). Este comportamiento puede ser descripto de

una manera cuantitativa empleando las ideas desarrolladas en la Teoría de la Percolación4.

Dentro del marco teórico de la percolación, debemos representar al medio poroso como

una red de sitios y enlaces interconectados entre sí, en donde asociaremos el volumen del

espacio poroso correspondiente a las cavidades a los sitios y el de los túneles a los enlaces.

En la siguiente sección demostraremos como los ADHL son influenciados por las

correlaciones espaciales introducidas por el Modelo Dual.

5.2 Simulación de Fenómenos de Transporte en Estructuras Porosas.

Las propiedades de los sólidos porosos, es decir, su capacidad adsortiva, su poder de

reaccionar químicamente con un fluido y su actividad catalítica dependen fuertemente de su

estructura. En general, como hemos visto, su estructura es extremadamente compleja y

difícil de representar con modelos de geometría simple. Sin embargo, a pesar de tal

limitación, podemos dividir a los materiales porosos en dos grandes familias, la corpuscular

y la esponjosa . Los primeros están constituidos por partículas de una dada geometría, por

ejemplo, los ya mencionados materiales tipo MCM-41 formados por poros tubulares.

También pertenecen a la familia corpuscular cualquier compactación de partículas, como

por ejemplo un aglomerado de pequeñas partículas esféricas, en donde el medio poroso

estará formado por el espacio que ocupan los intersticios entre las diferentes esferas. Las

estructuras esponjosas en cambio, son materiales cuyos poros no poseen una forma

definida, por lo que para representarlas nos debemos imaginar un arreglo tridimensional de

cavidades porosas (sitios) conectadas por túneles (enlaces). De lo anterior se desprende que

los materiales esponjosos pueden ser divididos en dos grupos5:

1. Estructuras con el volumen poroso concentrado principalmente en sus

cavidades (sitios), siendo el volumen poroso asociado a los túneles (enlaces) o

gargantas despreciable. Figura 5-1.

* Adsorption-Desorption Hysteresis Loop.


2. Estructuras con el volumen poroso concentrado principalmente en sus

túneles (enlaces), siendo el volumen poroso asociado a las cavidades (sitios)

despreciable. Figura 5-2 .

Por supuesto, existirán materiales que son una mezcla de los anteriores.

Figura 5-1: Sólidos porosos esponjosos de estructura regular (a) e irregular (b). El volumen poroso

(zonas en blanco) está concentrado principalmente en los sitios, mientras que el volumen asociado a

los enlaces es ínfimo.

Figura 5-2: Sólidos porosos esponjosos de estructura regular (a) e irregular (b). El volumen poroso

(zonas en blanco) está concentrado principalmente en los enlaces, mientras que el volumen

asociado a los poros es muy pequeño.

La mayoría de las estructuras porosas naturales las podemos clasificar como

esponjosas y son nuestro principal objeto de estudio. La evidencia tanto experimental

como teórica nos hace adoptar para este tipo de materiales una representación que consiste

de un arreglo tridimensional de sitios y enlaces, en donde el espacio poroso reside en los

sitios, siendo los enlaces conectores de dichos sitios, pero sin volumen asociado, es decir,

actuarán como ventanas. Con este punto de vista para representar un sólido poroso y con


el Modelo Dual como marco teórico podemos simular distintos tipos de estructuras

porosas variando la forma de las distribuciones de sitios y enlaces y /o sus tamaños medios.

Utilizaremos distribuciones de tamaño de poro FS para sitios y FB para enlaces (Figura 5-3)

del tipo Gausianas, Log-Normales y/o distribuciones Gama, ya que son las generalmente

reportadas en los trabajos experimentales sobre esta clase de materiales.

Figura 5-3: Funciones de distribución de densidades de tamaños de poros del tipo Gausianas para

enlaces () y para sitios (---). El área sombreada denota el traslape Ω entre las distribuciones. La

función FB está definida en el intervalo b= [b1,b2) y FS en el s= [ s 1 , s 2) .

5.2.1 Simulación de las Isotermas de Adsorción-Desorc ión.

Como hemos visto en el Capítulo 3, el estudio de sólidos mesoporosos está

estrechamente vinculado con el concepto de la condensación capilar, el cual es expresado

cuantitativamente por la ecuación de Kelvin:

*

0

2K

Cpp

re−

= (5.1)

donde C = γ V L / R T , ya que el menisco que se formará en los sitios (esféricos) durante la

etapa de la adsorción será hemisférico*. Como suponemos que el volumen asociado con los

enlaces es nulo, el llenado de cualquier sitio durante la rama de adsorción estará

* Ver Capítulo 3

SmBm s

2s1 b

2b

1

ΩΩΩΩ

FS F

B

F S , F

B

r

Simulación de las Isotermas de Adsorción-Desorción. 79

determinado exclusivamente por sus características individuales (radio), es decir, no

dependerá de la distribución de enlaces. (No tomaremos en cuenta la conjetura de la

continuidad de la interfase líquido-vapor, es decir, que al menos z-1 de sus primeros

vecinos deben estar llenos de líquido para que dicho poro pueda condensar)

Al aplicar la ecuación (5.1) debemos tener en cuenta la capa de espesor t , preadsorbida en

las paredes de los poros. Existen diferentes métodos para calcular t , la mayoría de ellos

semi-empíricos. Basado en la isoterma de BET, Halsey6 propuso la siguiente expresión*:

00ln( / )

bat t

P P

=

(5.2)

Donde t 0 es el espesor de una capa monomolecular de N2 adsorbido, y las constante a y b

dependen del par gas-sólido. Generalmente se las determina experimentalmente y para el

caso de nitrógeno como adsortivo toman los siguientes valores:

0

1/353.54

ln( / )t

P P

=

(5.3)

Otra forma de calcular el espesor de la capa preadsorbida es, a partir de la ecuación

de Broekhoff y de Boer 7 :

0ln / ( ) L

m

VRT p p F tr

γ= + (5.4)

donde RTln(p0/p) es el potencial de adsorción o trabajo diferencial de adsorción8 , el que

también puede identificarse como la diferencia en potencial químico entre la fase saturada a

presión de equilibrio líquido-vapor p0 , y una fase adsorbida a presión p, ambas a igual

temperatura T. Este potencial tiene dos partes: la primera debida a la presencia de la

superficie sólida y a las interacciones laterales entre las moléculas del adsorbato que forman

una capa adsorbida de densidad tipo fase líquida y espesor t. Este potencial es sólo función

de t y está dado por la llamada curva universal t 9 :

20.113716.11( ) 2.303 0.1682 eF t RT

tt− = −

(5.5)

La segunda parte del potencial se debe al menisco que separa la fase adsorbida de la fase

vapor, γ V L /rm , donde γ y V L son la tensión superficial y el volumen molar del

adsorbato, respectivamente, y rm es el radio de curvatura medio de la interfase. Además, γ

* También conocida como la isoterma de Frenkel-Halsey-Hill (FHH).


varía con el radio de curvatura como γ 0 rm /( rm -σ )[10] , donde γ 0 es la tensión superficial

para la capa plana y σ es el diámetro molecular efectivo para el adsorbato.

De este modo, para geometrías esféricas y cilíndricas, el potencial de adsorción está

dado, respectivamente, por:

002

16.11ln 2.303 0.1682 exp( 0.1137 )

2

L

p

VpRT RT t r tp tγ

σ

= − − + − − (5.6)

002

16.11ln 2.303 0.1682 exp( 0.1137 ) L

p

VpRT RT tp t r t

γσ

= − − + − − (5.7)

de donde es posible calcular el valor de t . Las diferencias que se obtienen entre las

isotermas simuladas utilizando ambos métodos no son significativas11. Por simplicidad, ya

que sólo depende de la presión relativa, utilizaremos para el cálculo del espesor de t la

ecuación (5.3), es decir, la ecuación de Halsey. Independientemente de la ecuación que

determina el valor de t , tenemos que el radio de un dado poro se puede expresar como:

p mr r t= + (5.8)

Como el poro es esférico los dos radios medio de curvatura serán iguales entre sí e iguales a

r, y asumiendo que el ángulo de contacto entre el líquido y el sólido es θ =0 tenemos que

rm , es igual al radio interno del poro (rK , radio de Kelvin). En particular, fijada la presión

relativa y resuelta la ecuación (5.8) tenemos que los sitios de radio r tal que r < rp , son

llenados completamente y aquellos con r > rp , son llenados parcialmente (adsorción en

multicapa).

Por el contrario, el proceso de desorción es fuertemente influenciado por la distribución de

enlaces (como así también por la de sitios). Si las distribuciones de sitios y enlaces son

aleatorias (s1 > b1 ; Figura 5-3), el proceso de desorción es matemáticamente equivalente al

problema de percolación de enlaces. En la práctica es usual que las distribuciones tengan un

cierto traslape, lo que introduce correlaciones espaciales en el sistema. Para la etapa de

desorción, un poro (sitio o enlace) de radio apropiado (r > rp) se evaporará si además de

cumplir la última condición también esta conectado a la fase gas por un camino de poros

previamente evaporados, es decir pertenece a un cluster infinito de sitios y enlaces ya

evaporados (En la Teoría de la Percolación, la cantidad que nos da esta probabilidad de

ocurrencia se la conoce como b , probabilidad de percolación de enlaces). Este efecto

percolativo produce un efecto de inhibición del proceso de evaporación, cuanto más


grande sea el umbral percolativo, mayor será la demora en la evaporación y por ende, más

ancho será el ciclo de histéresis. Esta última condición introduce efectos cooperativos en la

rama de desorción que pueden ser expresados por la relación:

1 ( ) 1 ( ) ( )p p qdes ads bV r V r z − = − (5.9)

donde Vads (Vde s ) es el volumen de poros llenos de adsorbato en la rama de adsorción

(desorción), q es la fracción de enlaces con r > rp , b es la probabilidad de percolación de

enlaces y z es el número medio de coordinación. La ecuación (5.9) ofrece una clara

explicación de por que se produce el ciclo de histéresis: el umbral de percolación

(threshold) de los enlaces demora el proceso de evaporación.

En cuanto al proceso de simulación, se generan redes porosas de LxLxL sitios y

3LxLxL enlaces, es decir redes cúbicas de conectividad z = 6 . Se muestrean los radios de

sitios y enlaces de dos distribuciones gaussianas truncadas y normalizadas, con valores

medios Sm y Bm , respectivamente, y con la misma desviación estándar σ . Los límites para

el muestreo de ambos tipos de elementos fueron Sm ± 2σ y Bm ± 2σ , respectivamente.

Se generaron muestras con diferentes grados de traslape entre las distribuciones (diferente

grado de correlación) dejando fija la distribución de sitios y moviendo la de enlaces (o

viceversa). Sobre estas redes se simula luego el proceso de adsorción y desorción teniendo

en cuenta todas las características descriptas previamente en esta sección, registrando el

volumen adsorbido o desorbido en función de la presión relativa p0/p .

Comenzando desde el volumen relativo adsorbido V=0, se fija un valor de presión relativa,

se revisa toda la red verificando el cumplimiento (o no) de las condiciones de condensación

explicadas arriba. Se calculan los valores de t y de los volúmenes cuando correspondiere; se

incrementa el valor de la presión relativa y se repite lo anterior. Todo esto se repite hasta

que p0/p =1.

Para el brazo de desorción, se parte de V=1, se fija la presión relativa (comenzando desde

p0/p =1), los enlaces de la superficie se conectan a la fase gaseosa, se inspeccionan las

condiciones para su evaporación, luego, todos los elementos de la red se inspeccionan a fin

de identificar aquellos en condiciones de desorberse. Se calculan y actualizan los volúmenes

y espesores t de acuerdo a lo antes discutido. El valor de presión relativa p0/p se disminuye

y todo lo anterior se repite hasta que la presión relativa sea cero.


En todos los cálculos se supuso N2 a 77 °K como adsorbato y se determinó que los efectos

de tamaño finito se hacen despreciables para L ≈ 50, pero como para grandes traslapes la

longitud de correlación espacial puede crecer considerablemente decidimos usar un valor

de L = 128 en todas las simulaciones, salvo aclaración al contrario.

5.2.2 Resultados y Discusión12, 13.

En la Figura 5-4 se observa un juego de isotermas correspondientes a tres

distribuciones distintas de sitios. Para esto se fijó la distribución de enlaces en Bm=30 Å y

se movió la de sitios en Sm=35 , 50 y 90 Å respectivamente, todas con σ =5. Con esto se

logró distribuciones con un traslape intermedio en el primer caso, y traslape cero en los

otros dos. Todas las isotermas obtenidas son del Tipo IV y presentan el característico ciclo

de histéresis. Como era de esperarse, el brazo de adsorción se desplaza a presiones mayores

a medida que aumenta Sm , y la presión donde comienza a ocurrir la condensación capilar

que es de aproximadamente 0.7 en el primer caso crece a 0.9 en el tercer caso.

Figura 5-4: Isotermas de adsorción-desorción y sus correspondientes funciones de distribución de

tamaño. Los símbolos cerrados ( ) corresponden a la rama de adsorción y los abiertos ( ) a la

desorción.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

V

p/p0

p/p0 p/p0

r

FB F

S

F

r

r

FB F

S

FB F

S


Por el contrario la presión en donde comienza la desorción se mantiene inalterable

alrededor de 0.7. Esto es reflejo de que la distribución de enlaces que es la que controla esta

etapa se mantuvo fija. En otro palabras, en la desorción los primeros en evaporarse son los

poros grandes, pero cualquier sitio de un dado tamaño estará conectado por 6 enlaces

todos más pequeños que el, por lo que hasta que los enlaces no alcancen las presión de

evaporación, el sitio no podrá evaporarse, ya que no tiene un camino de poros ya

evaporados que lo conecten a la fase gas. Más adelante se apreciará mejor el hecho de que,

si el traslape fuera lo suficientemente alto, la rodilla comenzaría a presiones más altas, ya

que un poro de un dado tamaño estará rodeado de enlaces de tamaños muy similares a él, y

por lo tanto, cuando los enlaces alcancen la presión de desorción, el poro estará muy cerca

de su propia presión de condensación.

La rodilla bien definida que presenta la rama de desorción, está estrechamente vinculada

con el umbral de percolación de acuerdo a la ecuación (5.9) y, como veremos más adelante,

la presión a la cual comienza* la rodilla será un parámetro relevante en nuestro análisis.

Figura 5-5: ídem que la Figura 5-4. Los inset muestran el lazo de histéresis en una escala mayor.

* Para evitar ambigüedades tomaremos dicha presión la correspondiente a un volumen relativo de

0.9.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.87 0.88 0.89 0.90.3

0.6

0.9

0.84 0.86 0.88 0.90.3

0.6

0.9

p/p0

r

FB F

S

F

r

r

FB F

S

FB F

S

V

p/p0

p/p0


Dejando ahora fija la distribución de sitios en Sm=90 Å, y ubicando la de enlaces en

Bm= 85 , 70 y 30 Å respectivamente, todas con σ = 5. Al hacer esto, obtuvimos las

isotermas que se muestran en la Figura 5-5 . Como era de esperar al fijar la distribución de

sitios, la rama de adsorción se mantiene inalterable al desplazamiento de la distribución de

enlaces, esto es debido a que el volumen esta concentrado en los sitios y a que no hemos

supuesto efectos cooperativos en la adsorción. El ciclo de histéresis está presente en las tres

isotermas, y a medida que el traslape aumenta, o lo que es lo mismo, la longitud de

correlación aumenta, el loop de histéresis se hace más pequeño. Esto se explica ya que a

altos traslapes es muy probable que un sitio este rodeado por enlaces de tamaños muy

similares a el, por lo que cuando eso enlaces alcancen la presión necesaria para evaporarse,

el sitio estará muy cerca también de su presión de condensación y seguramente encontrará

un camino libre a la fase gas compuesto de poros de tamaños muy similares entre sí.

Nótese como el umbral de percolación de enlaces, que está estrechamente vinculado con la

presión a la cual empieza la rodilla de la rama de desorción, se desplaza a presiones

menores a medida que desplazamos los enlaces a tamaños menores. En otras palabras es

este umbral percolativo el responsable del ensanchamiento del ciclo de histéresis a medida

que alejamos las distribuciones entre sí.

Figura 5-6: ídem que la Figura 5-4. De izquierda a derecha σ = 5, 15 y 30 Å . Tenga presente el

cambio de escala en las isotermas.

0.80 0.85 0.90 0.950.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.80 0.85 0.90 0.950.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.80 0.85 0.90 0.950.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20 40 60 80 100 120 140 1600.00

0.25

0.50

0.75

1.00

20 40 60 80 100 120 140 1600.00

0.25

0.50

0.75

1.00

20 40 60 80 100 120 140 1600.00

0.25

0.50

0.75

1.00

V

p/p0

p/p0

p/p0

r

FB F

S

F

r

r

FB F

S

FB F

S


De esta última discusión se desprende que necesitamos un parámetro extra aparte del

traslape, que nos diga cuán alejadas están las distribuciones de sitios y enlaces entre sí, lo

definiremos como:

m md S B= − (5.10)

A continuación dejamos fijas tanto la distribución de enlaces como la de sitios y variamos la

desviación estándar de las distribuciones, tomando los valores σ = 5, 15 y 30 Å . Las

isotermas correspondientes se presentan en la Figura 5-6. Se observa como la rama de

adsorción se desplaza levemente a presiones mayores a medidas que aumentamos σ , y

como el salto en la zona de la condensación capilar es más suave, efectos debidos al

ensanchamiento de las distribuciones y a la aparición de sitios de tamaño cada vez más

grandes. Un efecto similar ocurre en la rama de desorción, en donde al aumentar σ ,

aumenta la cantidad de sitios pequeños lo que se refleja en una demora en el comienzo de

la desorción, es decir, la rodilla se desplaza a presiones menores.

En este juego de isotermas podemos apreciar claramente como al aumentar el traslape

(correlación) se produce una disminución en los ciclos de histéresis.

Figura 5-7: Ídem que la Figura 5-6.

0.75 0.80 0.85 0.90 0.950.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.75 0.80 0.85 0.90 0.950.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.75 0.80 0.85 0.90 0.950.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

25 50 75 100 125 150 175 2000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

25 50 75 100 125 150 175 2000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

25 50 75 100 125 150 175 2000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

V

p/p0

p/p0

p/p0

r

FB FS

F

r

r

FB FS

FB FS


El caso que nos resta es mover tanto la distribución de sitios como la de enlaces pero

manteniendo fijo σ y d . En la Figura 5-7 podemos apreciar las isotermas

correspondientes, y como era de esperar, a medida que movemos las distribuciones a

tamaños mayores, el ADHL completo se desplaza a presiones mayores. En cuanto a la

rama de desorción, esta presenta una rodilla bien definida y en general, para poros

pequeños (Sm pequeños) el lazo de histéresis es más ancho y el umbral de percolación

mayor, aunque el traslape sea el mismo.

En las gráficas anteriores pudimos apreciar como son influenciadas las ADHL por

diferentes parámetros. En todos los casos se trató de variar un solo parámetro a la vez, de

manera que se pudiera comprender fehacientemente su efecto individual sobre los ciclos de

histéresis. Un parámetro que se mantuvo fijo en todo este trabajo fue la conectividad z de

la red porosa. Su efecto sobre las ADHL es importante, pero para una mayor comprensión

del efecto que producen en las isotermas las correlaciones espaciales decidimos fijar la

conectividad en z = 6. El lector interesado puede consultar la ref.[14], en donde se realizó

un estudio similar al aquí propuesto pero con conectividad variable.

En toda la discusión anterior hemos ignorado los posibles efectos cooperativos sobre

la rama de adsorción, es decir, supusimos que en la etapa de adsorción todo elemento de la

red está en contacto con la fase gas, y por ende, el condensado ya sea de un sitio o un

enlace es independiente del estado de sus vecinos. Cuando en el sistema existan

interacciones entre poros durante la etapa de adsorción, estas deben ser tenidas en cuenta.

Como se discutió anteriormente, una manera sencilla de considerarlas es exigiendo que

para que un dado poro condense, además de tener el radio crítico de Kelvin, debe tener sus

(z – 1) enlaces condensados*. Este tipo de condición provoca, como se observa en la Figura

5-8, que la condensación sea demorada. En dicha figura hemos vuelto a dibujar la isoterma

correspondiente a la primer distribución de la Figura 5-4 y en la parte inferior la isoterma

que se obtiene si aplicamos la condición (z – 1) . Para un análisis un tanto más cuantitativo

a la derecha se ha representado como varía el radio crítico con la presión y se ha indicado

con líneas punteadas los límites de la distribución de sitios (arriba) y los de los enlaces

(abajo). Recordemos que la distribución de sitios son esferas cuyos radios se obtienen de

* La condición de z -1 enlaces es sólo una aproximación. Dependiendo de la forma y número de los

enlaces y de las características de los sitios, éstos podrán condensar con un número de enlaces

menor a z -1. Para efectos de simplicidad se toma esta aproximación.


una distribución gausiana centrada en Sm =35Å y truncada en ± 2σ . Ídem para los cilindros

pero centrados en Bm =30Å .

Figura 5-8: I) Isoterma de adsorción correspondiente a la primer distribución de la Figura 5-4. II )

y IV ) Variación del radio crítico* con la presión. III ) Ídem a I ) a la que se le ha agregado, en línea

continua, la rama de adsorción correspondiente a la condición (z -1). Ver el texto para más detalles.

Las Figura 5-8 I y II representan el caso sin la condición (z – 1), y como el volumen

está totalmente concentrado en los sitios, la condensación debe empezar por los sitios más

pequeños (rS = 25Å), que se corresponden con una presión relativa de p/p0 ≈ 0.6. Debido

a la escasa abundancia de sitios de ese tamaño (son los sitios de la cola de la distribución

gausiana) la condensación recién se ve reflejada en la isoterma para p/p0 ≈ 0.7, la que

* Radio crítico = Radio Kelvin (esférico/cilíndrico) + Capa preadsorbida

0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.4

0.6

0.8

1.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.4

0.6

0.8

1.0

V

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

r

Esferas Cilindros

V

p/p0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

r

p/p0

Esferas Cilindros

I) II)

III) IV)


corresponde a un radio crítico de Sm = 35Å que es justamente la media de la distribución de

sitios. Para p/p0 ≈ 0.76 (rS = 45Å) todos los sitios han condensado, ya que el volumen está

en 1. En este caso la distribución de enlaces no afecta en nada a la rama de adsorción.

El efecto que produce en la rama de adsorción la condición (z – 1) se ve reflejado en

las Figura 5-8 III ), donde se aprecia claramente (en línea continua) como la rama de

adsorción se desplaza a presiones mayores, ya que se demora el proceso de condensación.

Este retardamiento en la condensación se produce cuando las distribuciones tienen un

cierto traslape, es decir, las correlaciones espaciales son fuertes y por lo tanto es altamente

probable que un sitio esté rodeado de enlaces de tamaño similar a él. Y hasta que (z – 1) de

estos enlaces no hayan alcanzado la presión de condensación, el sitio no podrá condensar.

Observe como la condensación comienza a p/p0 ≈ 0.8 (rB = 30Å), es decir, cuando se ha

alcanzado la presión relativa de condensación que corresponde a la media de la distribución

de enlaces. Es importante tener presente que este retardo en la condensación se produce

por la suma de dos factores: la condición (z – 1) y las fuertes correlaciones espaciales (alto

traslape). La ausencia de cualquiera de ellos provocará la desaparición de la demora en la

condensación.

En esta primera parte presentamos en detalle el fenómeno de la adsorción de

nitrógeno en sólidos porosos y vimos como los diferentes parámetros modifican las

respectivas isotermas. En el capítulo siguiente propondremos un modelo que nos permita

caracterizar un sólido mesoporoso dadas sus isotermas experimentales. Dicho método

estará basado en el comportamiento de la rama de desorción.

Otro proceso que es fuertemente afectado por la topología de la red porosa y que es

de gran importancia para el problema de la recuperación del petróleo es la percolación

invasiva. Si bien este proceso no es el eje central de nuestra discusión, su estudio es de gran

ayuda a la hora de caracterizar y entender los diferentes procesos que ocurren en los

medios porosos desordenados. En la sección siguiente discutiremos el problema del

desplazamiento de un fluido inmiscible por otro del interior de un sólido poroso

correlacionado, utilizando un modelo de percolación invasiva en 3D.

Percolación Invasiva sobre redes correlacionadas. 89

5.3 Percolación Invasiva sobre redes correlacionadas.

5.3.1 Introducc ión.

La percolación invasiva fue propuesta por vez primera por Wilkinson y Willemsen15

(1983), inspirado en los trabajos de Lenormand y Bories16 (1980) y Chandler17 et. al (1982).

El trabajo original de Wilkinson trató sobre el problema del desplazamiento de un fluido, el

defensor , por otro fluido, el atacante , en un medio poroso. Posteriormente se generalizó

para cualquier proceso percolativo que se desarrolla a lo largo del camino de más baja

resistencia.

Esta clase de percolación tuvo su origen en el estudio del flujo de dos fluidos

inmiscibles en un medio poroso y nos parece adecuado introducir brevemente los

conceptos físicos involucrados en este problema.

Figura 5-9: Un fluido mojante es aquel cuyo ángulo de contacto φ, es menor a 90°, de modo que el

líquido puede fluir fácilmente por la superficie. En cambio si las fuerzas de cohesión son mayores a

las de adhesión, φ es mayor que 90° y hablamos de un líquido no mojante.

Consideremos un sólido poroso bidimensional cuyo espacio poroso está ocupado

por un fluido no mojante (ver Figura 5-9), por ejemplo petróleo, el cual está siendo

desplazado por un fluido mojante como el agua a una velocidad infinitesimal y constante.

En este límite, las fuerzas viscosas son dominadas completamente por las fuerzas capilares

que actúan sobre la interfase petróleo-agua. Como el desplazamiento es cuasi-estático, la

diferencia de presión entre los dos fluidos en la interfase está dada por la ecuación de

Young-Laplace18:

1 2

1 1cap nw wP P P

r r

= − = γ +

(5.11)

φ < 90°

φ > 90°

φ < 90°

φ > 90°


en donde los subíndice w y nw se refieren a la fase mojante (wetting) y a la no mojante

(nonwetting) respectivamente, γ es la tensión interfacial y r1 y r2 son los radios principales

de curvatura. Las fuerzas capilares son tales que el agua desplaza espontáneamente al

petróleo, de hecho, para mantener una velocidad de flujo infinitesimal debe ser aplicado un

gradiente de presión negativo a través del sistema. Las fuerzas capilares son más fuertes en

los espacios más estrechos del medio poroso, por lo que la interfase agua-petróleo avanzará

por los poros de radios más pequeños, estando la dinámica del proceso gobernada por el

radio local de los poros. Esto es consistente con modelos teóricos simples y observaciones

experimentales19, en donde el agua desplazaba al petróleo de los poros accesibles más

pequeños.

Cuando un fluido mojante (agua) desplaza espontáneamente a uno no mojante (petróleo)

de un sólido poroso hablaremos de imbibic ión . Si es el no-mojante el que se inyecta en el

medio poroso y desplaza al mojante diremos que se produce un drenaje . Como hemos

visto, en la imbibición el frente avanza por el espacio mas pequeño, con lo que, si

simulamos dicho fenómeno en una red de sitios y enlaces generada con el modelo Dual, en

donde cada sitio está conectado a enlaces de menor tamaño, la interfase avanzará

preferentemente por los enlaces. De modo que, en la imbibición el avance estará

determinado principalmente por el tamaño de los sitios, que serán los "más difíciles" de

ocupar. En cambio, en el drenaje son los enlaces los que limitan el avance del frente.

Debemos distinguir dos tipos de percolación invasiva. La primera y más usada es la

percolación invasiva con entrampamiento (TIP)1 5 en donde se asume que el fluido

defensor es incompresible, por lo que puede ser entrampado si es rodeado por el fluido

invasor En este caso se forman regiones aisladas de fluido defensor a las que llamaremos

i s las . (Figura 5-10).

El segundo tipo corresponde a la percolación invasiva s in entrampamiento (NTIP)1 5

donde se asume que el fluido defensor es compresible por lo que no habrá

entrampamiento.

Es claro que el primer modelo es el que más se adecua para tratar el problema de

flujo de líquidos y es en el que nos concentraremos. En la versión estándar de este modelo

se trabajó con una red bidimensional sólo de sitios, y se le asignó a cada sitio un número al

azar uniformemente distribuido entre (0 , 1). Luego, el fluido invasor fue inyectado en el

medio, desplazando en primer lugar al fluido defensor que ocupaba los sitios con el menor

número aleatorio, luego de invadir un sitio se debe controlar la formación de regiones de

fluido defensor entrampado.


Figura 5-10:

Representación gráfica de

una red de LxL sitios y 2LxL

enlaces, con L = 5. Inicialmente la

red está llena con el fluido defensor

(•), en este caso, un fluido no-

mojante por ejemplo petróleo. El

fluido atacante () será agua

(mojante). El atacante entra por el

extremo superior de la red y desplaza

al defensor por la parte inferior. Por

simplicidad se han supuesto

condiciones de borde cerradas en los

extremos izquierdo y derecho y se

han dibujado los sitios y enlaces de

un dado tamaño.

En la Figura inferior el

fluido mojante ha invadido el sólido

poroso y una fracción del fluido

defensor ha sido extraído del sólido

por su extremo inferior. La parte

encerrada entre líneas de punto es

una porción de fluido defensor que

ha quedado entrampada por el

atacante, formándose una isla de

fluido defensor entrampado de

tamaño 2. En la recuperación de

petróleo por agua, cerca del 40% del

petróleo es entrampado por agua 20.

Esta clase de procesos tiene dos umbrales de percolac ión (percolat ion threshold), el

primero es cuando el fluido invasor arriba por primera vez al extremo opuesto del medio


que es el instante en donde se forma el cluster percolante de fluido invasor y el segundo es

cuando el fluido defensor cesa de percolar, es decir, solo queda en el medio islas o fluido

invasor. El algoritmo original que emplearon Wilkinson y Willemsen fue el siguiente :

1. Se genera una red cuadrada de sitios aleatoriamente distribuidos entre [ 0 , 1 ).

Inicialmente todos los sitios están ocupados con el fluido defensor.

2. Se identifica la fuente por donde el fluido invasor va a ingresar y el sumidero por donde

va a escapar el defensor. Esta elección dependerá del problema físico bajo estudio. En

este caso la fuente y el sumidero son dos caras opuestas, los otros dos lados de la red

presentan condiciones de borde cerradas.

3. La interfase avanza ocupando el sitio más pequeño disponible, es decir, un sitio primer

vecino que este en contacto con la interfase. Para hacer esto se debe recorrer toda la

interfase y seleccionar el menor elemento

4. Las regiones ocupadas por el defensor que estén desconectadas del sumidero son

entrampadas y no serán invadidas (Figura 5-10). La búsqueda de las regiones

entrampadas se realiza usando el algoritmo de Hoshen-Kopelman 21 (HK). Dicho

algoritmo recorre toda la red y etiqueta las distintas regiones entrampadas con un

número en particular para no invadirlas en el paso siguiente.

El proceso termina cuando el invasor alcanza el lado opuesto, en ese punto se forma

el cluster percolante y se almacenan las cantidades de interés (volumen invadido, número

de sitios-enlaces invadidos, cantidad de islas entrampadas, etc.). Dependiendo del problema

el proceso puede ser continuado hasta que no quede fluido defensor en la red, es decir, sólo

queda fluido defensor entrampado y el invasor.

Este tipo simulaciones originan patrones del tipo de los mostrados en la Figura 5-11.

Existen dos diferencias importantes entre la percolación ordinaria y la percolación invasiva:

a) En la IP el invasor crece a lo largo del camino de menor resistencia y forma un

único cluster. No como en la percolación ordinaria en la cual se pueden formar

clusters desconectados.

La IP es un proceso dinámico , que sigue un secuencia totalmente determinista

respecto al orden en que se invadirán los sitios-enlaces .


Figura 5-11: Representación esquemática de una simulación de percolación invasiva con

entrampamiento sobre una red bidimensional aleatoria de sitios y enlaces con L = 256. El fluido

invasor (en negro) fue inyectado por el borde izquierdo. El defensor es el color gris y el fluido

defensor entrampado está en blanco. La fotografía corresponde al instante en que el fluido invasor

llega por primera vez al extremo derecho. El sistema cuenta con condiciones de borde periódicas.

La IP en 2D ha sido utilizada en un sinnúmero de trabajos científicos para modelar

diversos procesos fisicoquímicos que ocurren en el interior de un material poroso22 y, en

particular, sobre la estructura del camino que sigue el fluido, el que ha mostrado

diferencias importantes si se permite entrampamiento o no, Por otra parte, el interrogante

respecto a qué clase de universalidad pertenece la IP ha sido investigado intensamente en

los últimos años23, 24. Se acepta que las propiedades de escaleo de la NTIP son consistentes

con las de la percolación al azar, con una dimensión fractal de Df = 1.8959 para el cluster

percolante sobre una red cuadrada de sitios24. Mientras que para la TIP la dimensión

fractal aceptada es, Df =1.825, algo menor que la de la percolación al azar. En otras

palabras, hasta ahora se asumía que las propiedades de escaleo de la TIP en dos

dimensiones eran universales, independientes del tipo de red y distintas de las de la

percolación al azar. A principios del año 2002, Knackstedt et al 24 publicaron resultados de

TIP y NTIP obtenidos de simulaciones sobre arreglos en 2D en donde reportaron

estimaciones muy precisas de la dimensión fractal del cluster percolante en diversos tipos

de redes que indicaban, en contra de lo que se suponía, que las propiedades de escaleo de

este modelo no son universales y dependen de la red. Los resultados indican que la Df del

cluster percolante en redes con bajo número de coordinación z , tienen el valor

FluídoInvasor

FluídoDefensor


generalmente aceptado de Df = 1.82, pero tiende al valor Df =1.89 de la percolación al

azar para valores de z lo suficientemente grandes. Al aumentar la conectividad disminuye el

efecto del entrampamiento por lo que es de esperar este tipo de comportamiento.

La mayoría de los procesos de percolación invasiva que han sido tratados hasta el

presente no tienen en cuenta la presencia de correlaciones espaciales. La naturaleza del

desorden en diversas clases de medios porosos desordenados está lejos de ser aleatoria y

por el contrario existen correlaciones espaciales de cierta extensión. Sin embargo, las

propiedades de escaleo de modelos percolativos con correlaciones finitas son las mismas a

las de la percolación ordinaria, siempre y cuando la longitud de escala de interés sea mayor

que la longitud de correlación. Mas aún, si la función de correlación decae más rápido que4:

-dC(r) r (5.12)

donde r es la distancia entre dos puntos y d la dimensión del sistema, las propiedades del

sistema son idénticas a las de la percolación estática. Ahora bien, en los reservorios de

petróleo o de agua, hay presente correlaciones de largo alcance cuya extensión es la misma

o comparable con la extensión del sistema. El Modelo Dual presenta correlaciones que

pueden describir este tipo de comportamiento y como vimos en el capítulo anterior están

dadas por:

0

r- rC(r) e (5.13)

Si r0 ≈ 1 la curva descripta por la ec. (5.13) irá siempre por debajo de la ec. (5.12), por lo

que las propiedades del sistema serán las mismas que las de la percolación estática. Pero si

r0 > 2 la situación se revierte y en este caso las propiedades del sistema serán diferentes.

Aumentando el valor de r0 se pueden lograr correlaciones del orden del tamaño del sistema.

Las ecuaciones anteriores describen sistemas en los cuales las correlaciones decrecen a

medida que se incrementa r.

La percolación con correlaciones de largo alcance en las cuales C(r) se incrementa

cuando crece r presenta características muy distintas a las anteriores. Un proceso

estocástico con una función de correlación que se incrementa con r es el movimiento

fraccional Browniano (FBM) 25. Sahimi 26 fue el primero en proponer un proceso

percolativo con este tipo de correlaciones. La motivación para usar esta clase de modelo


provino de los trabajos de Hewett27, quien analizó la distribución de permeabilidad y la

porosidad de rocas heterogéneas a grandes longitudes de escala, (del orden de cientos de

metros) y mostró que la distribución de permeabilidad de ciertos reservorios de petróleo y

de agua podrían ser descriptos por el FBM.

Lo anterior justificaba un estudio en profundidad 28 de cómo la percolación invasiva

en 2D es afectada por las correlaciones del tipo de las generadas por el modelo Dual.

Dicho estudio fue realizado y la conclusión más importante a la que se llegó fue que,

análogamente con la conectividad, la Df del cluster percolante aumenta con la correlación29

y tiende al valor de la dimensión fractal del cluster percolante de la percolación random.

En 3D, se ha encontrado que no hay diferencia significativa entre la Df para la TIP y

la NTIP. Cálculos recientes30 han reportado un valor de Df = 2.528 ± 0.002 para ambos

casos, valor consistente con el de percolación ordinaria en 3D dado por31

Df = 2.523 ± 0.004 , lo que confirma explícitamente que el efecto del entrampamiento es

despreciable o sea, raramente ocurre en 3D. Por supuesto que la conectividad de la red

juega un papel fundamental, por lo que un valor de z bajo afectará notablemente el

comportamiento de los exponentes críticos. En particular para z < 5 se encuentra que los

umbrales de percolación divergen32.

En base a la discusión anterior y al elevado costo computacional que implica el

cálculo de exponentes críticos en 3D, es que en el presente estudio centraremos nuestra

atención, en como es afectado el desplazamiento de un fluido por otro del interior de un

material poroso por las correlaciones espaciales, y las heterogeneidades del medio. Para tal

fin, estudiaremos los patrones de invasión, y calcularemos los volúmenes invadidos, la

velocidad media del frente y la distribución de islas de fluido entrampado.

5.3.2 Modelo.

La estructura porosa tridimensional de sitios y enlaces de conectividad fija z=6, en

donde simularemos la TIP será generada, como anteriormente, a través del DSBM, el cual

nos permite introducir de una manera directa y consistente anisotropías en el medio

poroso. La presencia de anisotropías es una característica distintiva de diversas estructuras


porosas sedimentarias33, las que generalmente se encuentran presentes en una determinada

dirección, debido al pasaje de algún fluido durante la etapa de su formación. Para tal fin,

muestrearemos los enlaces de una determinada dirección, por ejemplo la z , desde una

función de distribución distinta de la función distribución para los enlaces en las

direcciones x-y , es decir, los enlaces de una dirección tendrán un traslape Ω, diferente a los

de las otras direcciones. Se supone fluidos incompresibles con lo que el fluido defensor

sólo puede retraerse y escapar por la cara opuesta por la que es inyectado el atacante. Las

otras cuatro caras poseen condiciones de borde periódicas. El esquema de la Figura 5-12

nos da una idea de las condiciones iniciales del proceso.

Figura 5-12: Esquema ilustrativo de las condiciones iniciales del proceso invasivo. El fluido invasor

es inyectado a través de los enlaces comenzando desde la izquierda y en el sentido de z creciente,

desplazando al fluido defensor que al inicio de la simulación ocupa todo el espacio poroso. Los

enlaces en línea de puntos nos dan idea de las condiciones de borde periódicas en los laterales. Por

simplicidad sitios y enlaces presentan el mismo tamaño y, para claridad solo se ha dibujado la

primer cara, donde solo se observan los enlaces z y los y . En realidad en cada sitio hay 6 enlaces.

Simularemos un proceso de imbibición, por lo que el fluido invasor será mojante y la

invasión comenzará por el enlace z más pequeño del plano xy de la izquierda. El algoritmo

z

x y


utilizado es similar al original, salvo ciertas diferencias que sirven para acelerar las

simulaciones. El algoritmo empleado fue el siguiente:

1. En base al Modelo Dual, se genera una red cúbica de sitios y enlaces de un

determinado traslape para los enlaces xy y otro para los enlaces z . Inicialmente todos

los sitios y enlaces están ocupados con el fluido defensor.

2. Se identifica el menor de los enlaces z de la cara izquierda y se lo invade.

3. Se actualiza la interfase, es decir, se agregan a la lista de elementos a invadir, todos los

primeros vecinos disponibles del último elemento invadido. Si el último elemento

invadido fue un enlace se agrega a la lista un sitio, si fue un sitio se pueden llegar a

agregar cinco enlaces. Dicha lista es automáticamente ordenada de menor a mayor.

4. Las regiones ocupadas por el defensor que estén rodeadas por el invasor son

entrampadas y no serán invadidas. Para detectar las regiones entrampadas usamos un

algoritmo recursivo34 que ha mostrado ser entre un 30 y un 40% más veloz que el de

Hoshen-Kopelman.

5. Se invade el primer elemento de la lista ordenada en el paso 3 y se actualiza dicha lista.

6. El proceso termina cuando el invasor alcanza el lado opuesto, en ese punto se forma el

cluster percolante y se almacenan las cantidades de interés (Volumen invadido, número

de sitios-enlaces invadidos, cantidad de islas entrampadas, etc.). Si aún no se ha

formado el cluster, se vuelve al punto 3.

La principal modificación introducida al algoritmo original está en el punto 3), en donde se

ha creado una lista para almacenar en forma ordenada de menor a mayor todos los

elementos que pueden ser invadidos. Esto hace mucho más eficiente el algoritmo ya que no

es necesario recorrer en cada paso de la invasión toda la interfase buscando el menor

elemento disponible. La otra modificación es haber reemplazado el algoritmo HK de

detección de regiones entrampadas por uno del tipo recursivo.

Esta claro que debido a la naturaleza dinámica de la IP y el hecho de permitir el

entrampamiento, las simulaciones de TIP consumen mucho más tiempo de cálculo que las

de percolación ordinaria. Como el lector debe haber notado el paso 4) es el más caro,

computacionalmente hablando, ya que, en cada paso de invasión se debe recorrer la red por

completo para detectar islas entrampadas. Esto es altamente ineficiente, ya que un pequeño

cambio local implica una búsqueda global en toda la red. Para restringir la búsqueda de islas


a una región lo más local posible, se podrían emplear técnicas computacionales como las de

la Ref. [35], las cuales están siendo implementadas y así acelerar los tiempos de cálculo y

poder tratar sistemas de mayor tamaño.

5.3.3 Resultados y Discusión.

En nuestras simulaciones utilizamos redes cúbicas de un tamaño lineal L

comprendido entre 32 y 64 . Estos no son los tamaños óptimos, especialmente para

traslapes altos, en donde la longitud de correlación puede ser de un tamaño similar, por lo

que los resultados para correlaciones mayores a 0.7 deben ser tomados como una primera

aproximación. Al día de hoy contamos con los recursos para simular redes cúbicas con

L ≈ 256, pero los tiempos de cálculo para simular una TIP se vuelven extremadamente

lentos. A modo de ejemplo considere que una red de L=256 consume unos 256 Megabytes

de memoria RAM y simular una TIP puede llevar semanas de cálculo si no se utilizan

algoritmos eficientes, como los que estamos implementando actualmente.

Figura 5-13: Velocidad media del frente hasta el breakthrough en función del traslape. La línea es

sólo una guía visual.

En la Figura 5-13 podemos apreciar el comportamiento de la velocidad media del

frente, definida como vm=L/N , donde N es el número de pasos necesarios para alcanzar el

breakthrough (es decir, el número de sitios/enlaces invadidos al instante en que el fluido

invasor llega a la cara opuesta por vez primera). Para las muestras isotrópicas (círculos

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

Muestras isotrópicas

Ω=0.5 (xy) Ω=0.8 (z)

Ω=0.5 (xy) Ω=0.1 (z)

Vm

Ω

vm


sólidos) vemos una tendencia creciente en vm a medida que aumenta el traslape. ¿Qué

ocurre cuando en el medio hay anisotropías? Para contestar esta pregunta, generamos redes

muestreando los enlaces z de dos diferentes funciones de distribución, una con Ω z =0.8

(cuadrados) y otra con Ω z =0.1 (triángulos), mientras los enlaces xy fueron muestreados de

una única función de distribución correspondiente a Ω x y =0.5, la distribución de sitios fue

la misma para todos los casos. Como se observa en la Figura 5-13, vm es afectada por la

presencia de anisotropías, a medida que el traslape (en la dirección z ) disminuye la

velocidad media se incrementa. Esto se explica fácilmente considerando que la

probabilidad que tiene el frente invasor de encontrar el enlace más pequeño conectado a la

interfase es más alta en la dirección z cuanto menor sea Ω z , en otros palabras, cuanto más

desplazada a la izquierda este la distribución de los enlaces z con respecto a las otras, más

fácil le será al fluido invasor desplazarse por los enlaces z . Este efecto también se observa

en las fotografías de la Figura 5-15.

Figura 5-14: Estadística del tamaño de islas en el breakthrough.

En la Figura 5-14 se ha representado la estadística del tamaño de islas entre 2k y 2k+1

en una escala semi-logarítmica. El comportamiento para las muestras isotrópicas es el

esperado. Cuanto más fuerte son las correlaciones, más alta es la probabilidad de encontrar

islas de mayor tamaño36.

0 5 10 15 20 25 30

0.01

0.1

1

10

100 Breakthrough Ωxy

= 0.5 Ω

z = 0.8

Ωxy

= 0.5 Ω

z = 0.1

Núm

ero

de is

las

2k

Ω = 0.1 Ω = 0.5 Ω = 0.8


Figura 5-15: Snapshots en el instante del breakthrough para diferentes traslapes y anisotropías. En

gris el fluido invasor, en negro el fluido defensor entrampado. Tamaño lineal de la red L = 64 . Por

simplicidad solo se han dibujado los sitios.

Ω=0

Ω=0.5

Ωxy= 0.5 Ωz = 0.1

Ωxy= 0.5 Ωz = 0.8 Ω=0.8


Una característica interesante que se presenta analizando la Figura 5-14 es que la presencia

de islas grandes es determinada principalmente por las correlaciones en el sentido del

avance del fluido, es decir, en la dirección z .

Las fotografías (snapshots) de la Figura 5-15 muestran, para correlaciones menores a

Ω=0.5, los típicos patrones de invasión reportados en la literatura37. Pero para

correlaciones mayores a estas, el efecto de parches observado en redes bidimensionales,

aparece nuevamente, esta vez como parches tridimensionales, es decir, regiones del sólido

con sitios-enlaces de tamaños similares entre sí. Este efecto provoca que una vez que el

fluido invasor entra a uno de esos parches, le resulte cómodo desplazarse por su interior

hasta encontrar otro parche vecino a este y así viajar rápidamente por el sólido de parche

en parche. Como para traslapes altos estos parches pueden tener un tamaño lineal grande,

debemos ser muy cuidadosos con el tamaño mínimo de la red, y tratar dentro de lo posible,

que L sea un orden de magnitud mayor que la longitud de correlación típica del sistema.

Este efecto es responsable también del aumento del número y del tamaño de islas de fluido

defensor entrampado, lo que nos sugiere que deberá haber un cambio en la dimensión

fractal del cluster percolante a medida que aumentemos la correlación. Al presente se están

realizando los estudios necesarios para confirmar esta suposición.

En este capítulo hemos simulado diversas estructuras porosas y hemos visto como

los procesos de adsorción-desorción de gases y flujo de fluidos son afectados por las

diversas características topológicas y morfológicas del medio. Con la experiencia logrado

con estudios de esta clase, en el capítulo siguiente presentaremos un método que nos

permitirá caracterizar un material mesoporoso a patir de su isoterma experimental.

102

Referencias:

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