Simulacion -Parte 1 -Session11

Simulación Parte 1Simulación Parte 1

Optimización y Simulación Optimización y Simulación Ing. Lourdes Roxana Díaz Amaya

Escuela de Ingeniería de Sistemas

En la administración de operaciones se utilizan dos tipos de modelos:

• Modelos de Optimización• Modelos de Simulación

Modelo deOptimización

Modelo deSimulación

Responde a la pregunta¿ Cuál es la mejor decisión ?

Responde a la pregunta¿ Qué pasaría si ............ ?

MODELOS DE SIMULACIÓN

MODELOS DE SIMULACIÓNUn modelo de simulación corresponde a una estructura de análisis de un sistema que permite ir ensayando la respuesta del sistema, ante diferentes condiciones

Las situaciones reales o sistemas deben ser simplificadas a través de modelos, los que deben ser representativos de la realidad, para así formular soluciones útiles


La simulación surge debido a que no siempre es posible formular modelos de optimización que

sean representativos de la realidad

Sistema

Modelo

Condiciones de trabajo

Parámetros del modeloVariables

de decisión

Respuesta

Respuesta

SIMULACIÓN

Es observar el comportamiento de un sistema a través de un modelo, ante diferentes situaciones que se ensayan. Esto implica experimentación

Se simulan los experimentos usando relaciones matemáticas (determinísticas o probabilísticas), para medir los resultados representativos de la realidad

Simulación no es una técnica optimizante ni busca la mejor solución o decisión, aunque al menos debe proporcionar soluciones cercanas a la óptima


Aunque para todo administrador resulte más conveniente trabajar con modelos de optimización, sin embargo, no existen en la variedad de casos necesarios. Por lo tanto, los modelos de simulación, tienen algunas ventajas


Ventajas de los modelos de simulación:

El modelo de simulación es más fácil de construir y comprender que uno de optimización

Los modelos de optimización, generalmente, no evalúan todas las soluciones subóptimas. En cambio, los modelos de simulación si las evalúan

El modelo de simulación hace experimentación en computadores, lo que le otorga: Mayor rapidez para procesar la información Capacidad de anticipar resultados posibles en situaciones nuevas o imprevistas


Desventajas de los modelos de simulación:

El modelo de simulación requiere personal especializado para su realización y análisis Es imprescindible el uso de computadores No necesariamente alcanza resultados óptimos

ETAPAS PARA HACER LA SIMULACIÓN EN UN PROGRAMA COMPUTACIONAL

1) Formulación del Problema: Definir la situación o sistema a resolver, sus variables y un esquema de la solución buscada

2) Construcción del Modelo: Hacer representación simplificada de la realidad, con relaciones matemáticas acordes con dicha realidad, lo que implica muchas veces eliminar variables poco relevantes

3) Recolección de Datos: Identificar y recopilar la información pertinente para especificar las condiciones de trabajo del modelo

ETAPAS PARA HACER LA SIMULACIÓN EN UN PROGRAMA COMPUTACIONAL

4) Implementación del Modelo: Traducir el modelo a un programa computacional y verificar que el programa pueda ejecutarse

5) Validación del Modelo: Es la evaluación del resultado del modelo computacional respecto de su representación de la realidad

6) Análisis de los Resultados: Se hace la experimentación propiamente tal y se interpretan los resultados obtenidos

SIMULACIÓN DE MONTECARLO

Es una técnica de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en la que el muestreo se hace en un espacio finito a partir de la generación de números aleatorios: la población son todos los números aleatorios y el muestreo consiste en determinar valores sucesivamente a partir de los números aleatorios

X : Variable aleatoria

Que tiene un comportamiento según alguna distribución de probabilidades

SIMULACIÓN DE MONTECARLO

Se obtienen valores para X ( X1, X2, X3, ........., Xn )

X1X2X3

Xn

Son valores generados utilizado un M.A.S. de los números aleatorios ri

NÚMEROS ALEATORIOS

ri

Es cualquier número entre 0 y 99, con igual probabilidad de selección: todos los números tienen la misma probabilidad de ser escogidos en cualquier instante, es decir que tienen una distribución de probabilidades uniforme

ri

f (r)

0 99

ri U ( 0, 99 )

Características – Variable Aleatoria• Una variable aleatoria es una función con valores numéricos y

definida sobre un espacio muestral • Una variable aleatoria discreta toma diversos valores con

probabilidades especificadas por su distribución de probabilidad

• Utilidad de una v.a.: reduce el espacio de muestra a uno más fácil de manejar

• Ejemplo: En una familia de 3 hijos, cuál es la probabilidad de que haya un varón o menos?

21

83

81)1()0()1Pr( ppX

a) Variable aleatoria X= “Cantidad de varones”b) Diagrama de su distribución de probabilidad

Variable aleatoria• Frecuentemente interesa conocer más que el resultado de un

experimento aleatorio, una función de dicho resultado.• Una variable aleatoria es una función con valores numéricos y

definida sobre un espacio muestral• Si lanzamos al aire tres monedas, podemos definir la función

como X: X: número de caras que resultan del experimento.

EJEMPLO DE SIMULACIÓN

Una sucursal bancaria canjea cierta cantidad de cheques cada día, según el siguiente comportamiento en un mes:

Cheques Frecuenciacanjeados Frecuencia Frecuencia Relativa

por día (miles) Absoluta Relativa Acumulada Media1 - 500 2 0.05 0.05 250,5

501 - 1000 6 0.15 0.2 750,51001 - 1500 18 0.45 0.65 1250,51501 - 2000 10 0.25 0.9 1750,52001 - 2500 4 0.1 1 2250,5


Histograma de Frecuencia Relativa:

0,05

0,15

0,45

0,25

0,1

500 2000 250015001000

f i

Qcheques / día


Mediante el uso de los números aleatorios es posible simular una muestra (de M.A.S.)

Frecuencia Relativa Acumulada

0,050,200,650,91

00 - 0405 - 1920 - 6465 - 8990 - 99

Número Aleatorio Clase nº

(1)(2)(3)(4)(5)


Nº aleatorioPertenece a la clase nº

841831610452407589163797

(4)(2)(3)(3)(1)(3)(3)(4)(4)(2)(3)(5)

Clase fi fi / n

(1)(2)(3)(4)(5)

12531

0,080,160,420,250,08

n = 12

Esta es una corrida de 12 números aleatorios


Histograma de Frecuencia Relativa:

0,08

0,16

0,42

0,25

500 2000 250015001000

f i

Qcheques / día

Al obtener el histograma de frecuencia relativa, el

comportamiento se mantiene, aunque no es

igual, debido a que se trata de una muestra


Nº aleatorioPertenece a la clase nº

487019368750072478913759

(3)(4)(2)(3)(4)(3)(2)(3)(4)(5)(3)(3)

Clase fi fi / n

(1)(2)(3)(4)(5)

02631

0,000,160,500,250,08

n = 12

Esta es otra corrida de 12 números aleatorios

EJEMPLO DE SIMULACIÓNHistograma de Frecuencia Relativa:

0,08

0,16

0,50

0,25

500 2000 250015001000

f i

Qcheques / día

Al obtener el histograma de frecuencia relativa, una vez más el comportamiento se

mantiene, sin ser igual, debido a que se trata de

otra muestra

GENERACIÓN DE VALORES PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES A PARTIR DE

LOS NÚMEROS ALEATORIOS

En los modelos de simulación, cada variable de decisión tiene una distinta distribución (determinística o probabilística). Cada distribución tiene una corrida diferente de números aleatorios

Un mismo número aleatorio no puede ser usado para simular dos variables a la vez, porque las variables son independientes entre sí

Para determinar los valores simulados se utiliza la distribución de probabilidades acumulada

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA

Muchas variables de decisión no son continuas, entonces se utilizan las categorías de frecuencia relativa acumulada para generar los valores a partir de los números aleatorios, siendo muy útil para variables con distribuciones determinísticas

Ejemplo: Supongamos que para el precio de una acción existe una probabilidad del 20% de que baje, 50% de que se mantenga igual, y 30% de que suba su valor; en la siguiente transacción bursátil

Entonces, se asigna un intervalo 0, 1 proporcional a cada probabilidad

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA

FrecuenciaFrecuencia Relativa Números

Relativa Acumulada AleatoriosAcción Baja 0,2 0,2 00 - 19Acción Igual 0,5 0,7 20 - 69Acción Sube 0,3 1 70 -99

Si 00 ri 19

Si 20 ri 69

Si 70 ri 99 Se asume que el precio de la acción sube

Se asume que el precio de la acción baja

Se asume que el precio de la acción se mantiene igual

< <

<<

<<

Distribución uniforme • Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos

ellos con la misma probabilidad. • Una variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en el intervalo

(a,b) si su función es la siguiente:

• La función de distribución acumulada esta dada por:

• La media y la varianza de la distribución están dadas por:

otrobxa

abxf

,

,0

1)(

bx

bxaabax

ax

xF

,1

,

,0

)(

2)( baXE

12)()(2abXV

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME

En el caso de una distribución uniforme en el intervalo a, b , se consideran 99 números aleatorios pertenecientes al intervalo 0, 1

X U (a,b)fi (X)

XXi

P (Xi X) ri

P (Xi X)

<< =

=Xi - ab - a

a b

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME

riXi - ab - a=

con ri ( b - a ) Xi - a=

Xi a + ri ( b - a )= 0 ri 1<<

a + b2=E (X) V (X) = ( b - a )

22

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

fi (X)

XiX

X exp ( ) f (X) ex-

x > 0 > 0

E (X) 1=

1=V (X) 2P (Xi X) ri<

=

= 0 ri 1< <

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

= con 0 ri 1

<

P (Xi X) ri< <<Distribución de

probabilidad acumulada P (Xi X) 1 - e= - x

1 - e - x = ri

e x- = 1 ri- / ln

=Xi- ln ( 1 )ri-ln ( 1 )ri--= Xicon 0 ri 1<<

GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

fi (X)

Xi

X N ( , ) 2

La función de probabilidad acumulada

corresponde a

P (Xi X)< =x

81

2 e

12- ( )x - 2

dx


La función de probabilidad acumulada de la distribución normal no puede ser resuelta por métodos de integración corrientes, lo que impide tener una fórmula cómoda para despejar observaciones aleatorias simuladas de Xi a partir de los números aleatorios

No obstante, las observaciones se pueden generar mediante el siguiente razonamiento:

ri


Los números aleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo 0 , 1f (ri)

ri

Para un número aleatorio

E ( )ri

V ( )ri

=

=

a + b

(b - a)2

12

=

=2

12

1

1

0 ri 1< <Para una muestra de “n” números aleatorios, se puede inferir su comportamiento gracias al teorema del límite central


Si X N Xi N

Por lo tanto i=1

nri

=

N ( )n n2 12

,

Válido, solo en la medida en que n es un valor bastante grande, lo que se asume cuando n 12>Entonces

Z Xi - =ri

i=1 n

- n2

12n


Xi = +( )

i=1 n

ri - n2

n12

<0 ri 1<si n 12>

Aunque la expresión es válida para cualquier n 12, típicamente se usa n = 12 para el muestreo de las observaciones de variable con distribución normal ya que se simplifica un cálculo

>

EJEMPLO DE GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Xi = +( )

i=1 n

ri - n2

n12

X tiene distribución normal, con = 460 y = 36 Observación para X con los números aleatorios:r1 = 0,46r2 = 0,95r3 = 0,23

r4 = 0,61r5 = 0,39

r6 = 0,74r7 = 0,26

r8 = 0,13r9 = 0,92

r10 = 0,55r11 = 0,07r12 = 0,48

Xi = 460 + 36 ( 5,79 - 6 )1 = 467,56Xi

Distribución Normal Standard

Una variable con distribución normal estándar (μ=0 σ=1) se nota con la letra Z.

Si:

Conversión: la variable Z se define como:

Para que tenga una distribución Normal estándar.

),( 2NX

XZ

Distribución Normal• Se ve que -como en

cualquier distribución continua- la probabilidad de que P(X=a)=0 para cualquier a. Luego lo que se calculan son áreas (gráfico).

Distribución Normal

Ejemplos

1775.00968.02743.0)3.1Pr()6.0Pr(

)3.16.0Pr(2743.0)6.0Pr(

ZZZ

Z

Ejemplo

8185.00228.01587.011587.0)1Pr()1Pr(

0228.0)2Pr()2Pr()1Pr(1

)21Pr(

ZZZ

ZZZ

Distribución de Poisson• El modelo probabilístico de Poisson, es utilizado a menudo

para variables aleatorias distribuidas en el tiempo o en el espacio. Por ej: Número de bacterias por cm3 de agua, número de accidentes con motocicletas por mes, etc.

• Para que el modelo de Poisson esté presente debe verificar lo siguiente:

1) Los sucesos que ocurren en un intervalo (de tiempo, región del espacio, etc) son independientes de los que ocurren en cualquier otro intervalo (de tiempo, región del espacio, etc)

2) La probabilidad de que un suceso se presente, es proporcional a la longitud del intervalo.

3) La probabilidad de que uno o mas sucesos se presenten en un intervalo muy pequeño es tan pequeña que puede despreciarse.

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson• La función de densidad de probabilidad es:

(1)• E(X)=λ Var(X)= λ• La función de distribución acumulada (fda)

esta dada por:

!)(

kekXP

k

x

i

i

iexF

0 !)(

Proceso de Poisson• Considere eventos aleatorios tales como el arribo de aviones a un

aeropuerto, el arribo de barcos a un puerto, el arribo de llamadas a una central, la falla de máquinas en una fábrica, etc.

• Estos eventos pueden ser descriptos por una función de conteo N(t) definida para todos los t >=0.

Esta función de conteo representará el número de eventos que ocurrirán en [0,t].

El tiempo cero es el punto en el cual la observación comienza, ya sea que un arribo ocurra o no en ese instante.

• Si los arribos ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson, la probabilidad de que N(t)=n es:

(2)

!)())((

ntentNPnt

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