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Liceo Scientifico Paritario “R. Bruni” Padova, loc. Ponte di Brenta, 09/02/2018

Simulazione di II prova di Matematica Classe V

Soluzione Risolvi uno dei due problemi. 1. Nel sito web della stazione meteorologica cittadina sono stati pubblicati, come ogni

giorno, due grafici. Il primo grafico visualizza la distribuzione locale della pressione at-mosferica al suolo mediante linee di livello (isobare) che uniscono i punti aventi la stessa pressione (misurata in chilopascal, kPa). Le linee di livello corrispondono a valori con-secutivi della pressione atmosferica (100, 101, 102, …). La diagonale AB passa per i punti L e H, dove la pressione assume rispettivamente un minimo (100 kPa) e un mas-simo (120 kPa). Il secondo grafico rappresenta l’andamento della pressione p x( ) in funzione della posizione x lungo la diagonale AB (x è espresso in chilometri, con origi-ne in A).

i. Utilizzando i dati del primo grafico, individua sul secondo grafico il punto cor-rispondente ad H, fornendone ascissa e ordinata.

ii. Una delle seguenti funzioni rappresenta la funzione p x( ) nell’intervallo

0≤ x≤ 30 , con a, b costanti reali non nulle:

f x( )= 500 a + be−x( ) ; g x( )=

300 2x + a( )2x + a( )2

+ 225+ b .

Stabilisci quale, in base ai dati forniti nei grafici. Per la funzione così determina-ta, ricava i valori delle costanti a e b.

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iii. Verificato che è la seconda funzione a rappresentare i dati riportati nel grafico,

con a =−25 e b = 110 , studia la corrispondente funzione p x( ) nel suo dominio naturale, indicando in particolare quanti e quali punti di flesso ammette.

iv. Esponi un modo per stimare accuratamente il valore medio della pressione at-mosferica lungo il tratto AB e applicalo per determinare tale valore.

Risoluzione.

i. Utilizzando i dati del primo grafico, individua sul secondo grafico il punto cor-rispondente ad H, fornendone ascissa e ordinata.

Nel primo diagramma, in un sistema cartesiano ′O ′x ′y , ho che A 0; 18( ) , L 4; 15( ) ,

H 16; 6( ) e B 24; 0( ) , mentre la pressione p è legata da una certa funzione p ′x , ′y( ) a due variabili della quale si conoscono solamente due valori: p 4,15( )= 100 (un minimo) e

p 16,6( )= 120 (un massimo). Nel secondo diagramma, in un sistema cartesiano Oxy , il le-

game delle variabili x e y con quelle del primo diagramma è x = ′x( )2+ 18− ′y( )2 (la di-

stanza di un punto P ′x ; ′y( ) dal punto A) e y = p ′x , ′y( ). Ne segue che

xH = 162 + 18−6( )2= 20 e yH = 120 .

ii. Una delle seguenti funzioni rappresenta la funzione p x( ) nell’intervallo

0≤ x≤ 30 , con a, b costanti reali non nulle:

f x( )= 500 a + be−x( ) ; g x( )=

300 2x + a( )2x + a( )2

+ 225+ b .

Stabilisci quale, in base ai dati forniti nei grafici. Per la funzione così determina-ta, ricava i valori delle costanti a e b.

La prima funzione rappresenta una funzione esponenziale traslata che, per sue caratteri-stiche intrinseche, non ammette né minimo né massimo. Ne consegue che la funzione che rappresenta p è g. Del grafico di g conosco le coordinate di due suoi punti, L ed H; quindi

I

II

100 =300 10+ a( )

10+ a( )2+ 225

+ b

120 =300 40+ a( )

40+ a( )2+ 225

+ b

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

∼I

II− I

b = 100−300 10+ a( )

10+ a( )2+ 225

20 = 300 40+ a40+ a( )2

+ 225−

10+ a10+ a( )2

+ 225

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

∼

∼

b = 100−300 10+ a( )

10+ a( )2+ 225

1= 1540+ a( ) 10+ a( )2

+ 225 40+ a( )− 10+ a( ) 40+ a( )2−225 10+ a( )

40+ a( )2+ 225( ) 10+ a( )2

+ 225( )⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

∼

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∼b = 100−

300 10+ a( )10+ a( )2

+ 225

40+ a( )2+ 225( ) 10+ a( )2

+ 225( )= 15 40+ a( ) 10+ a( ) 10+ a( )− 40+ a( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ 225 40+ a( )− 10+ a( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

∼

∼b = 100−

300 10+ a( )10+ a( )2

+ 225a2 + 80a +1825( ) a2 + 20a + 325( )=−450 a2 + 50a +175( )

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

∼

∼b = 100−

300 10+ a( )10+ a( )2

+ 225a4 + 20a3 + 325a2 + 80a3 +1.600a2 + 26.000a +1825a2 + 36.500a + 593.125 =−450a2−22.500a−78.750

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

∼

∼b = 100−

300 10+ a( )10+ a( )2

+ 225a4 +100a3 + 4.200a2 + 85.000a + 671.875 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

∼b = 100−

300 10+ a( )10+ a( )2

+ 225

a + 25( )2 a2 + 50a +1.075( )= 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

∼b = 110a =−25⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

, dove nel pe-

nultimo passaggio ho utilizzato il metodo di Ruffini per scomporre il polinomio. Precisa-mente, detto P a( )= a4 +100a3 + 4.200a2 + 85.000a + 671.875 , il termine noto è

671.875 = 56·43 , quindi provo con i suoi divisori (negativi visto che in P a( ) ci sono solo segni “+”): se a =−5 allora P −5( )= 340.000≠ 0 ; se a =−25 allora P −25( )= 0 .

Per il Teorema di Ruffini ne segue che P a( )= a + 25( ) a3 + 75a2 + 2.325a + 26.875( ) .

Detto Q a( )= a3 + 75a2 + 2.325a + 26.875 , il termine noto è 26.875 = 54·43 , quindi provo con i suoi divisori (negativi visto che in Q a( ) ci sono solo segni “+”): se a =−5 allora Q −5( )= 17.000≠ 0 ; se a =−25 allora Q −25( )= 0 .

Per il Teorema di Ruffini ne segue che Q a( )= a + 25( ) a2 + 50a +1.075( ) , ovvero

P a( )= a + 25( )2 a2 + 50a +1.075( ) . Poiché il secondo fattore di P a( ) ha discriminante di se-

gno negativo, l’unica soluzione reale dell’equazione P a( )= 0 è a =−25 .

iii. Verificato che è la seconda funzione a rappresentare i dati riportati nel grafico, con a =−25 e b = 110 , studia la corrispondente funzione p x( ) nel suo dominio naturale, indicando in particolare quanti e quali punti di flesso ammette.

È richiesto lo studio in ! della funzione p x( )=

300 2x−25( )2x−25( )2

+ 225+110 .

· dominio Dp =! .

· simmetrie: p x( )≠ p −x( )≠−p x( ) , la funzione non è né pari né dispari.

· segno di p x( ) : p x( )≥ 0→ 11x2−260x + 2150

2x−25( )2+ 225

≥ 0→ x∈Dp (non si annulla mai).

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· limiti significativi ed eventuali asintoti:

lim

x→±∞p x( ) =

z=2x−25lim

z→±∞

300zz2 + 225

+110 = limz→±∞

300z

+110 = 110 ; la funzione p ammette un asinto-

to orizzontale di equazione y = 110 . · monotonia ed estremanti di p x( ) :

′p x( )=300 2x−25( )

2x−25( )2+ 225

= 3002 2x−25( )2

+ 225⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−4 2x−25( )2

2x−25( )2+ 225⎡

⎣⎢⎤⎦⎥2 =

600 225− 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

225+ 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥2 .

′p x( )≥ 0→600 225− 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

225+ 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥2 ≥ 0→−15≤ 2x−25≤15→ 5≤ x≤ 20 . Quindi la funzione

è crescente in 5; 20⎤⎦ ⎡⎣ , ammette un minimo (assoluto) L 5; 100( ) e un massimo (assoluto)

H 20; 120( ) , coerentemente con il grafico dato. · concavità di p x( ) : Mi aspetto tre punti di flesso visto che il grafico di p compie una sola oscillazione attorno all’asintoto.

′′p x( )=600 225− 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

225+ 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥2 = 600

−4 2x−25( ) 225+ 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2−8 225− 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

225+ 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2x−25( )

225+ 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

43=

=−24002x−25( ) 225+ 2x−25( )2⎡

⎣⎢⎤⎦⎥+ 2 225− 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

225+ 2x−25( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥3 = 2400

2x−25( ) 2x−25( )2−3·225⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

2x−25( )2+ 225⎡

⎣⎢⎤⎦⎥3

.

′′p x( )≥ 0→ 24002x−25( ) 2x−25( )2

−3·225⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2x−25( )2+ 225⎡

⎣⎢⎤⎦⎥3 ≥ 0 :

N1≥ 0→ x≥ 25 2 ;

N2 ≥ 0→ 2x−25≤−15 3∨≥15 3→ x≤ 25

2−

15 32∨ x≥ 25

2+

15 32

.

Ne segue che p è convessa in

252−

15 32

; 252

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢∪

252

+15 3

2; +∞

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢ e ammette tre punti di

flesso: F1

252−

15 32

; 110−5 3⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟! −0,5; 101,5( ) ,

F2

252

; 110⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 12,5; 110( ) e

F3

252

+15 3

2; 110+ 5 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟! −0,5; 118,5( ) .

· grafico di p x( ) : il grafico determinato è coerente con il grafico dato.

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iv. Esponi un modo per stimare accuratamente il valore medio della pressione at-

mosferica lungo il tratto AB e applicalo per determinare tale valore.

Un metodo è quello di determinare la somma di

pnn=0

30

∑ =300 2n−25( )

2n−25( )2+ 225

+110⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟n=0

30

∑ e divi-

dere il risultato per il numero di valori considerati che sono 31. Nulla esclude di raffinare tale metodo, considerando ad esempio un incremento non uni-

tario ma di 0,1. In tal caso il valor medio sarà il rapporto tra

300 n 5−25( )n 5−25( )2

+ 225+110

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟n=0

300

∑ e il

numero di valori considerati che sono 301. Utilizzo il primo metodo per ridurre i calcoli visto che la somma non è riducibile alla ridot-ta n-esima di una serie telescopica o a una geometrica:

n pn 0 101,2 1 100,8 2 100,5 3 100,3 4 100,1 5 100 6 100,1 7 100,5 8 101,2 9 102,3 10 104 11 106,2 12 108,7 13 111,3 14 113,8 15 116 16 117,7 17 118,8 18 119,5 19 119,9 20 120 21 119,9 22 119,7 23 119,5 24 119,2 25 118,8 26 118,5 27 118,2 28 117,8 29 117,5 30 117,2

Ottengo µ!111,3 .

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2. Nella figura sottostante è riportato il grafico della funzione ′f x( ) , derivata prima della

funzione reale f x( ) definita e continua nell’intervallo 0; 8⎡⎣ ⎤⎦ .

Del grafico di ′f x( ) sono note le coordinate dei punti evidenziati e le seguenti caratte-ristiche:

• i tratti AB1 e FG sono segmenti di retta; • i punti B1 e B2 non appartengono al grafico; • il tratto B2F ha un andamento di tipo sinusoidale e si raccorda col tratto FG sen-

za presentare un punto angoloso.

i. Traccia in due distinti riferimenti cartesiani i grafici plausibili delle funzioni

′′f x( ) e f x( ) nell’intervallo 0; 8⎡⎣ ⎤⎦ , nell’ipotesi che sia f 0( )= 0 , motivando in

modo esauriente i passaggi. Quanto vale f 6( )? Qual è il massimo valore assun-to da f x( ) , e in corrispondenza a quale o a quali valori di x viene assunto?

ii. Giustifica il fatto che la funzione f x( ) presenta un punto di non derivabilità di tipo angoloso nell’intervallo 0; 8⎡⎣ ⎤⎦ , quindi determina la misura in gradi, minuti e secondi dell’angolo acuto α individuato dalle tangenti al grafico di f x( ) in ta-le punto angoloso.

iii. Date tutte le precedenti ipotesi sulla funzione f x( ) , indica quali tra le seguenti affermazioni sono vere, motivando la risposta.

a. Come conseguenza del teorema di Lagrange, deve esistere necessariamen-te almeno un valore x nell’intervallo 0; 6⎤⎦ ⎡⎣ tale che ′f x( )= 1 3 .

b. Poiché f x( ) non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo 0; 6⎡⎣ ⎤⎦ , non può esistere alcun valore x interno a tale inter-vallo tale che ′f x( )= 1 3 .

c. Benché f x( ) non soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo 0; 6⎡⎣ ⎤⎦ , esistono più valori x interni a tale intervallo tali che

′f x( )= 1 3 .

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iv. Di tutti i valori assunti dalla funzione f x( ) , esponi un metodo per determinare

il valore medio. Utilizza tale metodo per determinare tale valore. Risoluzione.

i. Traccia in due distinti riferimenti cartesiani i grafici plausibili delle funzioni

′′f x( ) e f x( ) nell’intervallo 0; 8⎡⎣ ⎤⎦ , nell’ipotesi che sia f 0( )= 0 , motivando in

modo esauriente i passaggi. Quanto vale f 6( )? Qual è il massimo valore assun-to da f x( ) , e in corrispondenza a quale o a quali valori di x viene assunto?

Determino l’espressione analitica di ′f x( ) : · Il primo tratto è per ipotesi rettilineo e, date le coordinate di A e di B1 , si deduce che

′f x( )= x per 0 < x <1 .

· Il secondo tratto è sinusoidale (terza ipotesi), in particolare un coseno traslato di 2 unità verso destra e di periodo T = 6−2 = 4 . Sapendo che y = cos nx( ) ha periodo T = 2π n ,

n = π 2 . Ne segue che ′f x( )= cos π

2x−2( )

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= cos π

2x−π

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=−cos π

2x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ per 2 < x < 6 .

· Il terzo tratto è orizzontale (prima ipotesi e viste le coordinate di F e G), quindi ′f x( )= 1 per 6 < x < 8 . In definitiva, tenuto conto anche della seconda ipotesi:

′f x( )=

x se 0≤ x < 2

−cos πx 2( ) se 2 < x≤6

1 se 6 < x≤ 8

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

.

Deduco facilmente l’espressione analitica di ′′f x( ) :

′′f x( )=

1 se 0 < x < 2

π2

sin π2

x⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ se 2 < x < 6

0 se 6 < x < 8

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

,

da cui il grafico

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Per determinare l’espressione analitica di f, devo immaginarmi una funzione la cui deriva-ta sia proprio ′f . · Nel primo tratto potrebbe essere f x( )= x2 2 , in effetti ′f x( )= x . Inoltre soddisfa la con-dizione f 0( )= 0 . Quindi, nel primo tratto, f x( )= x2 2 .

· Nel secondo tratto potrebbe essere f x( )= k− 2

πsin π

2x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ , dove k è una qualche costante

reale; in effetti ′f x( )=−

2ππ2

cos π2

x⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=−cos π

2x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟. Poiché f è per ipotesi continua, devo

imporre la continuità in x = 2 : limx→2−

f x( )= f 2( )= limx→2+

f x( )→ 2 = k . Quindi, nel secondo

tratto, f x( )= 2 1−sin πx 2( ) π( ) .

· Nel terzo tratto potrebbe essere f x( )= x + ′k , dove ′k è una qualche costante reale; in ef-fetti ′f x( )= 1 . Poiché f è per ipotesi continua, devo imporre la continuità in x = 6 :

limx→6−

f x( )= f 6( )= limx→6+

f x( )→ 2 = 6+ ′k → ′k =−4 . Quindi, nel terzo tratto, f x( )= x−4 . In definitiva:

f x( )=

x2 2 se 0≤ x≤ 22 1−sin πx 2( ) π( ) se 2 < x≤6

x−4 se 6 < x≤ 8

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

,

da cui il grafico

Per quanto detto prima, f 6( )= 2 . f ammette massimo assoluto in 0; 8⎡⎣ ⎤⎦ per il Teorema di Weierstrass. Dal grafico di ′f de-duco che f è crescente in 0; 3⎤⎦ ⎡⎣∪ 5; 8⎤⎦ ⎡⎣ , per cui ammetterà un massimo relativo

H 3; 2 1+1 π( )( )! 3; 2,6( ) . Tale massimo però non è assoluto, infatti f 8( )= 4 . Quindi il valore massimo assunto dalla funzione f è 4 in corrispondenza di x = 8 .

ii. Giustifica il fatto che la funzione f x( ) presenta un punto di non derivabilità di tipo angoloso nell’intervallo 0; 8⎡⎣ ⎤⎦ , quindi determina la misura in gradi, minuti e secondi dell’angolo acuto α individuato dalle tangenti al grafico di f x( ) in ta-le punto angoloso.

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Poiché 2 = lim

x→2−′f x( )≠ lim

x→2+′f x( )= 1 , la funzione ammette un punto angolo in x = 2 , come

si poteva notare dal grafico di f. Dette tanβ= 2 e tanγ= 1 ( γ= 45° ), α= β−γ→ tanα= tan β−γ( )→

→ tanα=

tanβ− tanγ1+ tanβ·tanγ

→ tanα=

2−11+ 2

→ tanα=13→α= arctan 1

3→α!18° 2 ′6 ′′6 .

iii. Date tutte le precedenti ipotesi sulla funzione f x( ) , indica quali tra le seguenti affermazioni sono vere, motivando la risposta.

a. Come conseguenza del teorema di Lagrange, deve esistere necessariamen-te almeno un valore x nell’intervallo 0; 6⎤⎦ ⎡⎣ tale che ′f x( )= 1 3 .

b. Poiché f x( ) non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo 0; 6⎡⎣ ⎤⎦ , non può esistere alcun valore x interno a tale inter-vallo tale che ′f x( )= 1 3 .

c. Benché f x( ) non soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo 0; 6⎡⎣ ⎤⎦ , esistono più valori x interni a tale intervallo tali che

′f x( )= 1 3 . a. è falsa in quanto f non è derivabile in 0; 6⎤⎦ ⎡⎣ (si veda ii.). b. è falsa in quanto il Teorema di Lagrange pone una condizione sufficiente e non necessa-ria. c. è vera, esistono esattamente tre valori: · nel primo tratto: ′f x( )= 1 3→ x = 1 3∈ 0; 2⎤⎦ ⎡⎣ .

· nel secondo tratto: ′f x( )= 1 3→−cos πx 2( )= 1 3→ x = 4k ±

2π

arccos −13

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, k∈!→

→ x = 4 ±

2π

arccos −13

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟∈ 2; 6⎤⎦ ⎡⎣ .

iv. Di tutti i valori assunti dalla funzione f x( ) , esponi un metodo per determinare

il valore medio. Utilizza tale metodo per determinare tale valore.

Un metodo è quello di determinare la somma di

fnn=0

8

∑ , dove

f n( ) =

n2 2 se n = 0,1,22 1−sin πn 2( ) π( ) se n = 3,4,5,6

n−4 se n = 7,8

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

,

e dividere il risultato per il numero di valori considerati che sono 9.

Ottengo µ =

0+1 2 + 2 + 2 1+ 1 π( )+ 0+ 2 1− 1 π( )+ 0+ 3 + 49

=32

= 1,5 .

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Volendo raffinare tale metodo, posso considerare un incremento non unitario ma infinite-simale. In questo caso mi accorgo che di fatto sto calcolando l’area racchiusa tra il grafico

di f, l’asse x e le rette x = 0 e x = 8 . Il valor medio sarà AREA8−0

= AREA 8 (la somma di

tutti gli infinitesimi è pari a 8−0 ). In questo caso l’area si calcola agevolmente: · primo tratto: si tratta del complementare di mezzo segmento parabolico individuato dalla

retta y = 2 , quindi

13

12

·4·2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

43

;

· secondo tratto: si tratta di una sinusoide ed è noto che il suo valor medio è nullo. Essendo traslata rispetto all’asse y trovo 6−2( )·2 = 8 ;

· terzo tratto: si tratta di calcolare l’area di un trapezio rettangolo:

4 + 2( ) 8−6( )2

= 6 .

In definitiva µ =

4 3 + 8+ 68

=2312

= 1,916 .

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Risolvi cinque dei dieci quesiti. 1. Discuti la continuità e la derivabilità della seguente funzione reale:

f x( )= x

x se x≠ 01 se x = 0

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

.

Valuta la funzione all’infinito.

Risposta. Il dominio della funzione è ! . f è continua in !\ 0{ } per note proposizioni sulle funzioni continue. Verifico la continuità

in x = 0 : limx→0−

f x( )=?

f 0( )=?

limx→0+

f x( )→ limx→0−−x( )x

=?

1=?

limx→0+

xx .

Poiché limx→0±

±x( )x= lim

x→0±ex ln ±x( ) = e

limx→0±

ln ±x( )1 x :=

H

elim

x→0±

±1 x−1 x2

= e∓ lim

x→0±x

= 1 , la funzione risulta essere

continua anche in x = 0 . Quindi f è continua in ! . Determino l’espressione analitica della derivata prima di f:

′f x( )= x

x( )′ = ex·ln x( )′ = xx · x·ln x( )′ = x

x · ln x + x 1x

xx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= x

x · ln x +1( ) .

f è derivabile in !\ 0{ } per note proposizioni sulle funzioni derivabili. Verifico la deriva-

bilità in x = 0 : limx→0−

′f x( )=?

limx→0+

′f x( )→ limx→0−−x( )x ln −x( )+1( )=

?limx→0+

xx ln x +1( ) .

Poiché limx→0±

±x( )x ln ±x( )+1( )= limx→0±

±x( )x ·limx→0±

ln ±x( )+1( )= limx→0±

ln ±x( )+1( )=−∞ , la fun-

zione non risulta essere derivabile in x = 0 . Rimane da valutare la funzione all’infinito: ·

lim

x→−∞f x( )= lim

x→−∞−x( )x

= elim

x→−∞x·ln −x( )

= e−∞⎡⎣⎢⎤⎦⎥= 0 ;

· lim

x→+∞f x( )= lim

x→+∞xx = e

limx→+∞

x·ln x= e+∞⎡⎣⎢⎤⎦⎥= +∞ .

2. Data la funzione f x( )=

4x2 +1

, ricava le equazioni di tutte le rette tangenti al suo grafi-

co passanti per il punto A 0; 4( ) . Risposta. Considero il fascio di rette passanti per A: y−4 = mx→ y = mx + 4 , dove m = ′f xT( ) con

xT ascissa del punto T xT ; 4 xT

2 +1( )( ) di tangenza del fascio con il grafico di f.

Ma ′f xT( )=−8xT xT

2 +1( )2, quindi, sostituendo le coordinate del punto T e l’espressione

analitica della derivata calcolata in xT nell’equazione del fascio ottengo:

12 di 16

4xT

2 +1=−8xT

xT2 +1( )2 xT + 4→ xT

2 +1=−2xT2 + xT

2 +1( )2→ xT

4−xT2 = 0→ xT

2 xT2−1( )= 0→

xT =−1∨ xT = 0∨ xT = 1 . Quindi i rispettivi coefficienti angolari valgono m1 = 2 , m2 = 0 ed m3 =−2 . Finalmente, le equazioni delle rette cercate sono t1 : y = 2x + 4 , t2 : y = 4 e t3 : y =−2x + 4 .

3. Determina tipo e carattere della serie

−1( )n

2n+3n=0

+∞

∑ .

Risposta.

−1( )n

2n+3n=0

+∞

∑ =18

−1( )n

2nn=0

+∞

∑ =18

−12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n

n=0

+∞

∑ . Si tratta di una serie geometrica di ragione q =−1 2 ;

poiché −1< q <1 , la serie è convergente. 4. Due punti materiali si muovono nello stesso verso su una retta secondo le leggi orarie

s1 t( )= 4t2 + 5t + 4 e s2 t( )= 2 t +1( ) (le si , i = 1,2 , sono espresse in metri, t in secondi). i. Determina le posizioni iniziali dei due punti e stabilisci la distanza tra loro dopo

un tempo infinito. ii. Determina la velocità dei due punti materiali all’infinito.

Risposta.

i. Le posizioni iniziali sono s1 0( )= 2 m = s2 0( ) . Il quesito chiede poi di valutare

Δs = s2 t( )−s1 t( ) per t→+∞ : lim

t→+∞Δs = lim

t→+∞2 t +1( )− 4t2 + 5t + 4( )= +∞−∞⎡⎣ ⎤⎦=

= lim

t→+∞

4 t +1( )2− 4t2 + 5t + 4( )

2 t +1( )+ 4t2 + 5t + 4=

lim

t→+∞

3t2 t +1( )+ 4t2 + 5t + 4

=+∞+∞

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

= limt→+∞

3t2t 1+1 t( )+ t2 4 + 5 t + 4 t2( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= lim

t→+∞

3 tt 2 1+1 t( )+ 4 + 5 t + 4 t2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

34

= 0,75 m .

ii. v1 t( )= ′s1 t( )=

8t + 52 4t2 + 5t + 4

e v2 t( )= ′s2 t( )= 2 . Passando al limite per t→+∞ :

lim

t→+∞v1 t( )=

+∞+∞

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= lim

t→+∞

t 8+ 5 t( )2 t 4 + 5 t + 4 t2

= 2 m s , lim

t→+∞v2 t( )= lim

t→+∞2 = 2 m s .

5. Enuncia il Teorema di esistenza degli zeri. Supponi che f sia una funzione definita e

continua in I = a; +∞⎡⎣ ⎡⎣ , che f a( )< 0 e lim

x→+∞f x( )= +∞ . Dimostra che esiste almeno

una soluzione dell’equazione f x( )= 0 in I. Risposta. Sia f una funzione di dominio reale D continua in a; b⎡⎣ ⎤⎦ ⊆D . Se f a( )· f b( )< 0 allora esiste (almeno) uno z∈ a; b⎤⎦ ⎡⎣ tale che f z( )= 0 .

13 di 16

Sia b∈ℑ +∞( ) . f è continua in a; b⎡⎣ ⎤⎦ ⊆ I per ipotesi e, per il Teorema della permanenza del segno, f b( )> 0 ( f b( ) è dello stesso segno del

lim

x→+∞f x( )= +∞ ). Quindi, essendo per ipote-

si f a( )< 0 , f a( )· f b( )< 0 . Per il Teorema di esistenza degli zeri esiste (almeno) uno

z∈ a; b⎤⎦ ⎡⎣ tale che f z( )= 0 , ovvero z∈ a; b⎤⎦ ⎡⎣ è una soluzione dell’equazione f x( )= 0 . !

6. Verifica che i punti A 1; −1; −1( ) , B −3; 3; −1( ) e C −3; −1; 0( ) sono i vertici di un triangolo isoscele e determinane l’area. Qual è l’equazione del piano perpendicolare al triangolo passante per A e per B?

Risposta.

AB = 1+ 3( )2+ −1−3( )2

+ −1+1( )2= 4 2 ; BC = −3 + 3( )2

+ −1−3( )2+ 0+1( )2

= 17 ;

AC = 1+ 3( )2+ −1+1( )2

+ −1+ 0( )2= 17 . Poiché BC = AC , il triangolo ABC è isoscele.

Poiché AB! "!

4; −4; 0( ) e AC! "!!

4; 0; 1( ) , l’area sarà

AABC =12

AB! "!×AC! "!!

=12

deti j k4 −4 04 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=12−4i + 4 j +16k = 2 1+1+16 = 6 2 .

Alternativamente si può determinare il piede dell’altezza relativa alla base AB, ovvero il suo punto medio M: M −1; 1; −1( ) ; successivamente la misura dell’altezza CM:

CM = −3 +1( )2+ −1−1( )2

+ 0+1( )2= 3 ; infine l’area:

AABC =

12

AB·CM =12

4· 2·3 = 6 2 .

Determino l’equazione del piano π passante per A, B e C:

π :x−1 y +1 z +1−3−1 3 +1 −1+1−3−1 −1+1 0+1

= 0→x−1 y +1 z +1−4 4 0−4 0 1

= 0→ 4 x−1( )+ 4 y +1( )+16 z +1( )= 0→

→ π : x + y + 4z + 4 = 0 . Quindi !π 1; 1; 4( ) . Poiché il piano γ : ax + by + cz + d = 0 da ricer-

care è perpendicolare a π , !γ i!π= 0→ a + b + 4c = 0 . Inoltre so che A∈ γ→ a−b−c + d = 0

e che B∈ γ→−3a + 3b−c + d = 0 . Mettendo le tre condizioni a sistema trovo che:

IIIIII

a + b + 4c = 0a−b−c + d = 0−3a + 3b−c + d = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

∼I

I + IIIII + 3II

b =−a−4c2a + 3c + d = 0−4c + 4d = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

∼

b =−2ca =−2cd = c

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

, con c≠ 0 .

Quindi γ : 2x + 2y−z−1= 0 .

14 di 16

7. Considera il triangolo T0 , rettangolo isoscele di cateto di lunghezza 4 cm. Uno dei due cateti è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele T1 . Uno dei sue cateti è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele T2 . Così via. Sia

a n( ) la successione delle aree dei triangoli e

p n( ) la successione dei perimetri dei

triangoli. Individua la tipologia di successioni e determina i caratteri di

ann=0

+∞

∑ e di

pn

n=0

+∞

∑ .

Risposta. La situazione è rappresentata nella figura seguente:

Noto che l’area di Tn+1 è la metà dell’area di Tn , per ogni n∈! . Ne consegue che

a n( ) è una

successione geometrica di ragione qa = 1 2 e a0 = 8 .

Determino i primi elementi della successione p n( ) :

p0 = 4 2 +1( ) 2 ; p1 = 4 2 +1( ) ;

p2 = 2 2 +1( ) 2 ;

p3 = 2 2 +1( ) ; … . Noto che pn+1 = pn 2 , ovvero

p n( ) è una successio-

ne geometrica di ragione qp = 1 2 e p0 = 4 2 +1( ) 2 .

Poiché −1< qa ,qp <1 ,

ann=0

+∞

∑ e sono convergenti.

8. Dato nel riferimento Oxyz il piano π di equazione 2 2x + 3y + 2 2z−4 = 0 e dette A,

B, C le sue intersezioni con gli assi x, y e z, calcola l’area del triangolo ABC e la distanza di O dal piano π . Determina infine il volume della piramide ABCO1.

1 Il volume di una piramide di area di base A e altezza h è

V =

13

A·h .

pn

n=0

+∞

∑

15 di 16

Risposta. Determino le coordinate di A, B e C: ·

A{ }= π∩ x; y; z( ) x; y; z( )∈!3 ∧ y = 0∧ z = 0{ }→ A 2 ; 0; 0( ) ;

·

B{ }= π∩ x; y; z( ) x; y; z( )∈!3 ∧ x = 0∧ z = 0{ }→ B 0; 4 3 ; 0( ) ;

·

C{ }= π∩ x; y; z( ) x; y; z( )∈!3 ∧ x = 0∧ y = 0{ }→C 0; 0; 2( ) .

Noto facilmente che il triangolo è isoscele di base AC, infatti AB = 2 +16 9 + 0 = 34 2 e

BC = 0+16 9 + 2 = 34 2 . Quindi per calcolare l’area:

· determino la lunghezza della base AC: AC = 2 + 0+ 2 = 2 ; · determino il punto medio di AC:

M 2 2 ; 0; 2 2( ) ;

· determino la lunghezza di BM: BM = 1 2 +16 9 +1 2 = 5 3 .

Ottengo che AABC =

12

AC·BM =53

. Per un metodo alternativo (e generale), vedi quesito 6.

Determino la distanza di π da O 0; 0; 0( ) : h = dist π, 0( )=

−48+ 9 + 8

=423

.

Determino il volume della piramide ABCO: VABCO =

13

AABC ·h =13

53

423

=20

9 23! 0,46 .

9. Si vuole costruire una stanza a forma di parallelepipedo di volume 96 m3 , la cui base

sia un quadrato. Per rifinire la stanza è necessario tappezzare le pareti laterali e costrui-re il pavimento. Per l’acquisto e la posa delle piastrelle per il pavimento è previsto un costo di 16 € al metro quadrato; per l’acquisto e la posa della tappezzeria è previsto un costo di 18 € al metro quadrato. Quali devono essere le dimensioni della stanza affinché il costo complessivo di rifinitura sia il minimo possibile?

Risposta. La funzione da ottimizzare è la funzione costo. Sia x la misura in metri dello spigolo di ba-se e y la misura in metri dello spigolo laterale. La funzione costo sarà

c x,y( )= 16·x2 +18· 4xy( ) . Sapendo il volume complessivo, posso determinare y in funzione

di x: x2y = 96→ y = 96 x2 . Quindi c x( )= 16 x2 + 432 x( ) .

′c x( )= 16 2x−432 x2( )→ ′c x( )=

32 x3−216( )x2 e ′c x( )≥ 0→ x≥6∈ 0; +∞⎤⎦ ⎡⎣ , quindi la fun-

zione costo ammette un minimo L 6; 1728( ) ; le dimensioni della stanza affinché la spesa sia minima devono essere x = 6 m e y = 8 3 = 2,6 m .

16 di 16

10. Nella figura a fianco sono riportati i grafici di una funzione f x( ) , della sua derivata prima

′f x( ) e della derivata seconda

′′f x( ) (tutte e tre le funzioni sono derivabi-

li in ! ). Associa f x( ) , ′f x( ) e

′′f x( ) al giusto grafico, motivando la tua scelta.

Risposta. Noto che y2 si annulla quando y3 ammette punti estremanti; inoltre quando y3 cresce y2 è positiva, mentre quando y3 decresce y2 è negativa. Quindi potrebbe essere che y3 = f e

y2 = ′f oppure che y3 = ′f e y2 = ′′f .

y1 è crescente per gli x < 0 e ammette massimo in x = 0 . Poiché per le x < 0 y3 è positiva e in corrispondenza di tale massimo y3 si annulla, potrebbe essere che y1 = f e y3 = ′f oppure che y1 = ′f e y3 = ′′f . L’unica combinazione coerente è “ y1 = f e y3 = ′f ” e “ y3 = ′f e y2 = ′′f ”, ovvero y1 = f ,

y3 = ′f e y2 = ′′f .

_________________________

NOTE: i. È ammesso l’uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 15 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 10 p.ti.