Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sinisa MilosavljevicIsingov model

Diplomski rad

Osijek, 2009.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sinisa MilosavljevicIsingov model

Diplomski rad

Voditelj: doc. dr. sc. Zvonko Glumac

Osijek, 2009.

Sadrzaj

Uvod 1

1 Magnetska svojstva materijala 2

1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Feromagnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Weissova teorija feromagneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Isingov model 11

2.1 Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Slobodna energija jednodimenzijskog Isingovog modela . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Korelacijska funkcija u Isingovom modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Susceptibilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Termodinamicke velicine opisane pomocu susceptibilnosti . . . . . . . . . . . 20

2.6 Rezultati za fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Racunalne simulacije 23

3.1 Osnovna strategija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Metropolis algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Izvedba Metropolis algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Monte Carlo simulacija dvodimenzijskog Isingovog modela . . . . . . . . . . 28

Literatura 34

Sazetak 35

Summary 36

Zivotopis 37

i

Popis slika

1.1 Domene feromagneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Paralelna orijentacija elementarnih dipola unutar domene feromagneta . . . 3

1.3 Petlja histereze pri kruznom procesu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Graficko odredivanje spontane magnetizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Temperaturna ovisnost spontane magnetizacije u domeni . . . . . . . . . . . 8

1.6 Eksperimentalna (e) i teorijska (t) krivulja temperaturne ovisnosti susceptibilnosti

feromagneta u paramagnetskoj fazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Vodoravni niz spinova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Kvadratna resetka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Termodinamicko stanje Isingovog magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Polozaji spinova u resetki 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Polozaji spinova u resetki 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Monte Carlo simulacija dvodimenzijskog Isingovog modela . . . . . . . . . . 28

3.4 Kvadratna resetka sa 10× 10 spinova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Magnetizacija sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Energija po spinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7 Korelacijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.8 Izmjena skupova spinova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.9 Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 10 K . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10 Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 5 K . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.11 Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 3 K . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.12 Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 2.5 K . . . . . . . . . . . . . . 32

3.13 Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 2 K . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.14 Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 1.5 K . . . . . . . . . . . . . . 33

3.15 Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 1 K . . . . . . . . . . . . . . . 33

ii

Uvod

U fizici se cesto postavlja pitanje kako jedinka moze utjecati na ponasanje cijelog sustava.

Odgovor na to pitanje u podrucju statisticke mehanike daje Isingov model koji je naziv dobio

po njemackom fizicaru Ernstu Isingu.

Isingov model je matematicki model koji opisuje pojave u kojima jedinke u medudjelovanju

proizvode kolektivne efekte. Svoju primjenu ima kod feromagneta, fluida, subatomskih cestica.

U ovom diplomskom radu cemo ga koristiti za opisivanje ponasanja feromagneta.

U prvom poglavlju ovog rada dani su osnovni pojmovi o magnetizmu i magnetskim

svojstvima materijala s naglaskom na feromagnetizam. Opisane su neke pojave kao sto su

magnetizacija i spontana magnetizacija makroskopskog i mikroskopskog uzorka. Ostatak

diplomskog rada biti ce uvelike posvecen proucavanju mikroskopskog uzorka.

U drugom poglavlju dan je uvid u Isingov model kao matemticki model statisticke

mehanike. Opisana je energija Isingovog modela nakon cega su izvedene neke fizikalne velicine

kao sto su slobodna energija Isingovog modela, korelacijska funkcija i susceptibilnost.

U trecem poglavlju opisana je racunalna simulacija Isingovog modela. Za tu svrhu se ko-

risti Metropolis algoritam. Dan je princip rada i natuknice korisne za ubrzavanje i poboljsa-

vanje izvedbe algoritma. Takoder je prikazana Monte Carlo simulacija dvodimenzijskog

Isingovog modela pomocu koje je prikazano ponasanje dipola unutar domene prilikom prom-

jene temperature.

1

1 Magnetska svojstva materijala

1.1 Uvod

Magnetizam je jedna od cetiri osnovne sile u prirodi (elektromagnetska, gravitacijska,

slaba nuklearna i jaka nuklearna sila).

Kada se govori o permanentnim magnetima, magnetizam je pojava koju primjecujemo

kao odbojnu ili privlacnu silu izmedu magneta i slicnih feromagnetskih materijala.

Znanstveno tumacenje je da je magnetizam sila medudjelovanja izmedu elektricki nabijenih

cestica u gibanju; brzine gibanja cestica su bliske brzini svjetlosti. Na atomskom nivou radi se

o relativnom gibanju elektrona. Elektroni uz gibanje oko jezgre atoma posjeduju spin. Obje

vrste gibanja proizvode magnetsko polje izmedu elektrona, a elektroni poprimaju svojstva

mikroskopskih stapicastih magneta sa sjevernim i juznim polom. Oko ovako “beskonacno”

malog magneta nalaze se magnetske silnice, koje izviru iz sjevernog pola, te zakrivljuju

u obliku elipse da bi zavrsile u juznom polu. U magnetskom polju sustav se magnetizira.

Stupanj magnetizacije sustava karakterizira vektor magnetizacije . Magnetizacija nastaje

skupnim djelovanjem elementarnih magnetskih dipola, a definirana je kao rezultantni dipolni

moment jedinicnog volumena.

Cesto veza izmedu magnetizacije i magnetskog polja ima linearan oblik:

~M = χ ~H (1.1)

gdje je ~M magnetizacija sustava, ~H magnetsko polje, a χ magnetska susceptibilnost sustava.

Postoji pet razlicitih vrsta magnetizma: dijamagnetiazm, paramagnetizam, feromagnetizam,

ferimagnetizam i antiferomagnetizam. Tocnije, svih pet termina odnose se na pet razlicitih

nacina na koje materijali “odgovaraju” na proces magnetizacije, tj. izlaganje materijala mag-

netskom polju. Tvari koje po svojoj prirodni nisu magneti, u prisustvu magnetskog polja

ponasati ce se ili kao dijamagneti (utjecati ce na smanjenje prisutnog magnetskog polja) ili

kao paramagneti (utjecati ce na neznatno povecanje prisutnog magnetskog polja). Za razliku

od dijamagnetizma i paramagnetizma, feromagnetizam, ferimagnetizam i antiferimagnetizam

opisuju ponasanje “prirodnih magneta” u prisustvu magnetskog polja.

U narednim poglavljima paznju cemo posvetiti feromagnetima, njihovim svojstvima i

pojavama koje se dogadaju unutar njih.

2

1.2 Feromagnetizam

Temeljno svojstvo feromagneta je spontana magnetizacija. U feromagnetima magneti-

zacija postoji i bez djelovanja vanjskog magnetskog polja i postize maksimalnu vrijednost

pri temperaturi apsolutne nule, a zagrijavanjem kristala postaje sve manja te iscezava pri

Curievoj temperaturi. Iznad Curieve temperature feromagneti se ponasaju kao paramagneti.

Unutrasnjost feromagneta sastavljena je od malih podrucja koja nazivamo domenama

(Slika 1.1 ).

Slika 1.1: Domene feromagneta

U svakoj domeni postoji uredena orijentacija dipola. Rezultat unutrasnje uredenosti

domene je spontana magnetizacija MS(T ). Do maksimalne spontane magnetizacije MS(0)

dolazi pri temperaturi apsolutne nule kada su svi elementarni dipoli u domeni postavljeni

paralelno (Slika 1.2 ).

Slika 1.2: Paralelna orijentacija elementarnih dipola unutar domene feromagneta

Postojanje domena kvalitativno objasnjavamo teznjom sustava da zauzme stanje najnize

slobodne energije (F = U − TS). Unutrasnju energiju (U) definiramo kao zbroj potenci-

jalnih i kinetickih energija svih cestica u sustavu, dok je definicija entropije (S) povezana

s neredom u sustavu. Dakle, u termickoj ravnotezi pri konstantoj temperaturi i konstant-

nom volumenu, slobodna energija sustava mora biti minimalna. Zbog pravilne orijentacije

entropiju feromagneta mozemo zanemariti pa ce zahtjev minimalne slobodne energije biti

3

realiziran pri minimalnoj unutrasnjoj energiji sustava. Energija magnetskog polja je maksi-

malna u homogenom sustavu te se smanjuje ako sustav podijelimo na vise podsustava. Time

objasnjavamo nastajanje domena u feromagnetima.

Za formiranje feromagneta potrebna je odredena energija. Tipicne linearne dimenzije

domena su 10−2 do 10−3 cm. Unatoc maloj protegnutosti, domena sadrzi velik broj atoma.

Na primjer, ako je atomska koncentracija 5 ·1022 cm−3, u domeni volumena 10−9 cm3 nalazit

ce se 5 · 1013 atoma.

Proces magnetiziranja makroskopskog uzorka feromagneta opisan je petljom histereze

(Slika 1.3 ). Povecanjem vanjskog magnetskog polja raste broj domena u kojima je spontana

magnetizacija postavljena paralelno sa smjerom polja. U dovoljno jakom polju spontane ce

magnetizacije u svim domenama biti paralelne s vanjskim poljem, pa dolazimo do tocke

A u kojoj je magnetizacija uzorka dosegla vrijednost zasicenja. Smanjujemo li magnetsko

polje, smanjivat ce se i magnetizacija jer ce sve veci broj domena orijentirati svoje mag-

netizacije nasumce. Medutim, i pri H = 0 neke ce domene zadrzati paralelnu orijentaciju

spontane magnetizacije. One stvaraju remanentnu magnetizaciju uzorka MR. Magnetizacija

feromagneta pada na nulu tek ako primjenimo dovoljno jako magnetsko polje suprotnog sm-

jera −HC koje nazivamo koercitivnim poljem. U njemu se uzorak demagnetizira. Daljnjim

povecanjem suprotnog polja uzorak se magnetizira u suprotnom smjeru, da bi u tocki B

postigao maksimalan negativan iznos. Slabljenjem suprotnog polja magnetizacija opada i pri

H = 0 preostaje negativna remanentna magnetizacija −MR. Nju mozemo ukloniti prim-

jenom polja HC . Nastavimo li povecavati polje, magnetizacija ce se povecavati dok konacno

krivulja histereze ponovno ne dode do tocke A.

Feromagnete u kojima su vrijednosti remanentne magnetizacije i koercitivnog polja velike

nazivamo tvrdim feromagnetima. Oni imaju siroku petlju histereze i koriste se za izradu

feromagnetskih magneta. Mekani feromagneti imaju male vrijednosti koercitivnog polja i

usku petlju histereze te se zato mogu lako demagnetizirati.

Slika 1.3: Petlja histereze pri kruznom procesu

4

1.3 Weissova teorija feromagneta

Da bismo objasnili kako nastaje feromagnetizam moramo uzeti u obzir korelaciju elek-

trona. Osnovne kvantne teorije feromagnetizma razvili su nezavisno Heisenberg i Frenkel

1928. godine. Uzrok feromagnetizmu su potrazili u spinskom medudjelovanju. Razmotrimo

feromagnete nikal, kobalt i zeljezo. Ova tri elementa pripadaju skupini prijelaznih metala

prve grupe. U njima su kvantna stanja 3d podljuske samo djelomicno zaposjednuta, pa je

rezultantni spin razlicit od nule. Oznacimo li sa ~si i ~si spinove i – tog i j – tog atoma, tada

je, prema Heisenbergovoj teoriji, potencijalna energija spinskog medudjelovanja odredena

izrazom:

Eij = −2Aij~si~si (1.2)

Spinove ~si i ~si izrazavamo u bezdimenzijskim jedinicama pa integral izmjene Aij ima di-

menziju energije. Prekrivanje elektronskih oblaka je gotovo ograniceno samo na elektrone

susjednih atoma jer elektronske valne funkcije vrlo brzo opadaju s povecanjem udaljenosti.

Pri temperaturi apsolutne nule spinovi ~si i ~sj ce se postaviti tako da energija medudjelovanja

Eij bude minimalna. Taj uvjet daje kriterij za pojavu feromagnetizma. Paralelna orijentacija

vektora ~si i ~sj bit ce energijski najstabilnija ako je:

Aij > 0 (1.3)

U feromagnetima inegral izmjene mora biti pozitivan. Ako je uvjet (1.3) ispunjen, u

najnizem energijskom stanju sustava spinovi atoma bit ce orijentirani paralelno. Spin stvara

magnetski dipol pa ce u osnovnom stanju svi magnetski dipoli imati istu orjentaciju. U

unutrasnjosti feromagneta magnetski dipoli spontano izgraduju vlastito magnetsko polje.

Medudjelovanje dipola mozemo aproksimativno opisati teorijom srednjeg molekulskog

polja prema kojoj u unutrasnjosti feromagneta djeluje dodatno magnetsko polje koje je

razmjerno s magnetizacijom sustava.~B = γ ~M (1.4)

Faktor razmjernosti γ izrazava jacinu medudjelovanja magnetskih dipola i raste s poras-

tom integrala izmjene. Radi jednostavnosti pretpostavit cemo da se elementarni magnetski

dipoli mogu postaviti samo u dva medusobno (anti)paralelna polozaja. Magnetsko polje

postavimo u smjeru z osi. Energija magnetskog dipola u magnetskom polju je:

E = µzB (1.5)

Sa µz smo oznacili projekciju magnetskog dipola ~µ na smjer magnetskog polja. Njezinu

vrijednost nalazimo primjenom prve aproksimacije racuna smetnje.

µz = −gµBJ ′z (1.6)

gdje je µB osnovna jedinica magnetskog dipolnog momenta elektrona zvana Bohrov magneton

(µB = 0.927 · 10−23 Am2), a g spektroskopski faktor.

5

U nerelativistickoj kvantnoj teoriji dobiva se:

g = 1 +J ′(J ′ + 1) + S ′(S ′ + 1)− L(L′ + 1)

2J ′(J ′ + 1)(1.7)

gdje su S ′, L′, J ′ i J ′z kvantni brojevi. Pri tome J ′z moze poprimiti vrijednosti:

J ′z = J ′, J ′ − 1, . . . ,−(J ′ − 1),−J ′ (1.8)

U stanju termicke ravnoteze pri temperaturi T prosjecna vrijednost z komponente magnet-

skog dipola je:

µz =

∑i

µzie−βEi

∑i

e−βEi

(1.9)

Ei je unutarnja energija dipola u i – tom kvantnom stanju.

Ei = −µziB (1.10)

Magnetizaciju sustava dobivamo mnozeci koncentraciju atoma s prosjecnom vrijednosti pro-

jekcije magnetskog dipola na smjer polja.

M = Nµz (1.11)

Da bismo pojednostavili razmatranje pretpostavit cemo da je L′ = 0, a S ′ =1

2. Tada ce biti

J ′ = S ′ sto uvrsteno u (1.7) daje

g = 2

Buduci da je J ′ =1

2to prema relaciji (1.8) kvantni broj J ′z moze imati samo dvije vrijednosti:

J ′z = ±1

2(1.12)

pa iz (1.6) slijedi

µzi = ±µB (1.13)

Uvrstavajuci izraze (1.10) i (1.13) u (1.9) izracunamo spontanu magnetizaciju.

MS = NµBe

µBB

kBT − e−µBB

kBT

eµBB

kBT + e−µBB

kBT

= NµB tghµBB

kBT(1.14)

MS(T ) = NµB tgh y y =µBγMS(T )

kBT(1.15)

gdje je N broj magnetskih dipola, a kB Boltzmannova konstanta (kB = 1.38066 ·10−23 J/K).

6

Razmotrimo stanje sustava pri temperaturi apsolutne nule. Primjenom relacije

limy→∞

tgh y = 1 (1.16)

izraz (1.15) prelazi u:

MS(0) = NµB (1.17)

U limesu apsolutne nule spontana magnetizacija tezi maksimalnoj vrijednosti. Pri tempera-

turi apsolutne nule svi magnetski dipoli u domeni postavljaju se paralelno izgradujuci jako

unutarnje polje.

Izracunajmo spontanu magnetizaciju u domeni pri proizvoljnoj temperaturi ispod Curieove

temperature. Uvedemo li oznaku:

a(T ) =kBT

Nγµ2B

(1.18)

jednadzba (1.15) postaje:

a(T )y = tgh y (1.19)

Promotrimo Sliku 1.4

Slika 1.4: Graficko odredivanje spontane magnetizacije

Sto je temperatura visa to je nagib pravca a(T )y veci, pa ce njegovo sjeciste s krivuljom tgh y

biti blize ishodistu. To znaci da se povisenjem temperature smanjuje spontana magnetizacija.

Pri dovoljno visokoj temperaturi Θ pravac a(Θ)y postaje tangenta na krivulju tgh y. Pri

toj temperaturi spontana magnetizacija iscezava i nju nazivamo Curieova temperatura. Pri

temperaturi Θ feromagnet prelazi u paramagnetsku fazu.

7

Buduci da za mali y priblizno vrijedi:

tgh y = y y ¿ 1 (1.20)

bit ce:

a(Θ) = 1 (1.21)

Iz izraza (1.18) i (1.21) izracunavamo Curieovu temperaturu:

Θ) =γNµ2

B

kB

(1.22)

Curieova temperatura je razmjerna s parametrom γ kojeg smo uveli kao velicinu koja raste

s povecanjem stupnja spinskog medudjelovanja.

Temperaturna ovisnost spontane magnetizacije u domeni prikazana je na Slici 1.5.

Slika 1.5: Temperaturna ovisnost spontane magnetizacije u domeni

U blizini temperature apsolutne nule spontana magnetizacija sporo opada s povisenjem tem-

perature. Sto je temperatura bliza Curieovoj temperaturi pad spontane magnetizacije postaje

sve brzi. Oblik krivulje MS(T ) posljedica je medudjelovanja magnetskih dipola. Najteze ce

se preokrenuti prvi dipoli jer na njih djeluje jako magnetsko polje koje stvaraju svi ostali

dipoli. U blizini temperature prijelaza Θ i mali prirast temperature ce dostajati za preokre-

tanje velikog broja magnetskih dipola. Time tumacimo zasto je temperaturni prijelaz iz

feromagnetske u paramagnetsku fazu ostar.

8

U paramagnetskoj fazi spontana magnetizacija ne postoji. Iznad Curieove temperature

magnetizacija se stvara djelovanjem vanjskog magnetskog polja ~H.

M = NµB tgh

(µB

µ0H + γM

kBT

)(1.23)

Gdje je µ0 magnetska permeabilnost praznog prostora (µ0 = 4π · 10−7 Tm/A). Pri visokim

temperaturama termicka energija mnogo je veca od magnetske energije:

kBT À µB(µ0H + γM) (1.24)

Primjenom razvoja (1.20) jednadzba (1.23) postaje:

M = Nµ2B

µ0H + γM

kBT(1.25)

odakle za magnetizaciju sustava dobivamo:

M =Nµ0µ

2B

kBT −Nµ2Bγ

H (1.26)

Izrazi (1.11) i (1.26) odreduju suscepibilnost feromagneta u paramagnetskoj fazi.

χP =Nµ0µ

2B

kBT −Nµ2Bγ

(1.27)

Prethodni izraz zapisat cemo u obliku:

χP =C

T − TC

(1.28)

gdje je C Curieva konstanta, a TC temperatura pri kojoj feromagnet prelazi u paramagnet-

sku fazu dobivena Weissovom teorijom. Usporedbom relacija (1.27) i (1.28) slijedi:

TC =Nγµ2

B

kB

(1.29)

Prema relacijama (1.12) i (1.19) slijedi:

TC = Θ (1.30)

To je Curie – Weissov zakon. Za paramagnete je TC ≡ 0, pa zato Curieov zakon za suscep-

tibilnost paramagneta glasi:

χP =C

T(1.31)

9

Pomaknemo li u izrazu (1.28) ishodiste temperaturne osi iz nule u tocku TC , Curie – Weissov

zakon prijeci ce u Curieov zakon. Eksperimenti pokazuju da relacija (1.28) vrijedi to bolje sto

je visa temperatura. Pri tome je temperaturni parametar TC redovito malo visi od Curieove

temperature Θ. Iz relacije (1.28) slijedi:

1

χP

= −TC

C+

T

C(1.32)

Temperaturna ovisnost reciprocne vrijednosti susceptibilnosti feromagneta iznad Curieove

temperature Θ prikazana je na Slici 1.6. Pri dovoljno visokim temperaturama eksperimen-

talno odredena krivulja prelazi u krivulju predvidenu Weissovom teorijom.

Slika 1.6: Eksperimentalna (e) i teorijska (t) krivulja temperaturne ovisnosti susceptibilnostiferomagneta u paramagnetskoj fazi

10

2 Isingov model

2.1 Definicija

Isingov model je matematicki model koji se koristi u statistickoj mehanici za opis pojava

u kojima jedinke u medudjelovanju proizvode kolektivne efekte.

Isingov model je definiran diskretnim skupom varijabli koje nazivamo spinovi. Spin

mozemo protumaciti kao vlastitu kutnu kolicinu gibanja elektrona. U Isingovom modelu

spinovi mogu poprimiti vrijednost 1 ili −1. Susjedni spinovi s i s′ medusobno djeluju jedan

na drugoga energijom:

E = −Jss′ (2.1)

gdje J oznacava konstantu vezanja spinova.

Svi spinovi Isingovog modela si djeluju u parovima s energijom koja ima vrijednost:

E = −∑i,j

Ji,jsisj (2.2)

gdje suma broji svaki par spinova samo jednom. Primjetimo da je umnozak spinova +1 ako

su spinovi jednaki (paralelni), a −1 ako su razliciti (antiparalelni).

Sustav je u potpuno uredenom stanju kada je temperatura jednaka nuli. Rastom tem-

perature svaki spin dobiva termicku energiju kBT . Za to vrijeme sustav nije u potpunosti

ureden i dolazi do fluktuacije spinova.

Odredimo odnos izmedu termicke energije spinova pri kriticnoj temperaturi i energije

vezanja spinova. Prema Osengeru vrijedi:

2 tgh2 (2βJ) = 1 (2.3)

Uzmimo da je 2βJ = x. Tada je 2 tgh2 x = 1.

tgh x =e2x − 1

e2x + 1(2.4)

2

(e2x − 1

e2x + 1

)2

= 2e4x − 2e2x + 1

e4x + 2e2x + 1= 1 (2.5)

2e4x − 4e2x + 2 = e4x + 2e2x + 1 (2.6)

e4x − 6e2x + 1 = 0 (2.7)

11

Koristimo supstituciju y = e2x. Tada imamo:

y2 − 6y + 1 = 0 (2.8)

y = 3± 2√

2 (2.9)

e2x = 3± 2√

2 (2.10)

x =1

2ln (3± 2

√2) (2.11)

2βJ =1

2ln (3± 2

√2) (2.12)

2J

kBT=

1

2ln (3± 2

√2) (2.13)

kBT =4J

ln (3± 2√

2)(2.14)

S obzirom da je 3−2√

2 < 1 to bi znacilo da imamo negativnu temperaturu, sto nije moguce,

pa stoga uzimamo u obzir samo pozitivan rezultat.

kBTC =4J

ln (3± 2√

2)=

2J

ln (1 +√

2)= 2.269 J (2.15)

kBTC

J= 2.269 (2.16)

Sustav postaje najuredeniji pri temperaturama nizim od kriticne temperature, dok postaje

potpuno neureden iznad kriticne temperature. Stoga je iznad kriticne temperature prosjecna

magnetizacija gotovo jednaka nuli, dok je ispod kriticne temperature razlicita od nule.

Magnetsko medudjelovanje pokusava poravnati sve atome u istom smjeru, dok toplinska

energija pokusava razoriti to uredenje.

Za svaki par spinova vrijedi:

Ji,j > 0 medudjelovanje nazivamo feromagnetskim

Ji,j < 0 medudjelovanje nazivamo antiferomagnetskim

Ji,j = 0 nema medudjelovanja spinova

Feromagnetsko medudjelovanje tezi paralelnom uredenju spinova, a antiferomagnetsko tezi

suprotnom, odnosno, antiparalelnom uredenju spinova.

12

Antiferomagnetski jednodimenzijski Isingov model ima energiju:

E =∑

i

Jsisi+1 , J < 0 (2.17)

Feromagnetski dvodimenzijski Isingov model na kvadratnoj resetki je skup spinova si,j

na svakom cvoru (i, j) dvodimenzijske kvadratne resetke. Energija je dana uzrazom:

E =∑

i

J(si,j si,j+1 + si,j si+1,j) , J > 0 (2.18)

Obicno je Isingov model potpuno simetrican na zamjenu + i −. Magnetsko polje Hi moze

biti dodano ukupnoj energiji i pokvariti simetriju. Tada je ukupna energija:

E = −∑<i,j>

Ji,j si sj −∑

i

Hi si (2.19)

gdje zagrade ukazuju da su i i j indeksi susjednih polozaja na resetki. Vjerojatnost svake

konfiguracije spinova razmjerna je s Boltzmanovom vjerojatnoscu:

P (S) ∝ e−βE (2.20)

gdje je β =1

kBT.

2.2 Slobodna energija jednodimenzijskog Isingovog

modela

Razmotrit cemo jednodimenzijski Isingov model u vanjskom magnetskom polju s N

spinova, s1, s2,. . . , sN , gdje spinovi mogu poprimiti vrijednosti si = ±1.

Slika 2.1: Vodoravni niz spinova

Primjenjeno je okomito magnetsko polje H te postoji medudjelovanje samo najblizih susjed-

nih spinova. Hamiltonijan je dan izrazom:

HN = −J

N−1∑i=1

si si+1 −mH

N∑i=1

si (2.21)

gdje je m magnetizacija po spinu.

13

Particijska funkcija za ovaj sustav dana je izrazom:

ZN =∑

e−βHN =∑

s1=±1

∑s2=±1

· · ·∑

sN=±1

eKPN−1

i=1 si si+1+LPN

i=1 si (2.22)

gdje je:

K ≡ J

kBTi L ≡ mH

kBT(2.23)

Problem cemo rjesiti koristenjem matematicke indukcije. Ako dodamo jos jedan spin (broj

spinova je tada N+1), tada promjena energije sustava ovisi samo o stanju novog (N + 1) – vog

spina i o prethodnom N – tom spinu. Definirajmo Z↑N , ne kao zbroj svih stanja, nego kao

zbroj svih stanja u kojima je zadnji spin “gore”, a Z↓N kao zbroj svih stanja u kojima je

N – ti spin “dolje”. Tada je:

ZN = Z↑N + Z↓

N (2.24)

Sada, ako je dodan jos jedan spin, u iznosu za e−βH se pojavi dodatni faktor:

eK sN sN+1+L sN+1

Odatle se lako vidi da je:

Z↑N+1 = Z↑

NeK+L + Z↓Ne−K+L (2.25)

Z↓N+1 = Z↑

Ne−K−L + Z↓NeK−L (2.26)

Ove izraze mozemo predociti pomocu nesimetricne matrice:

(Z↑

N+1

Z↓N+1

)=

(eK+L e−K+L

e−K−L eK−L

) (Z↑

N

Z↓N

)(2.27)

Za matricnu jednadzbu uvodimo zapis:

~wN+1 = T · ~wN (2.28)

2 × 2 matricu T, koja dodaje dodatni spin u niz, zovemo matrica transfera. Naravno, citav

niz moze biti nacinjen djelovanjem matrice tranfera T na pocetni niz s jednim spinom, npr.:

~wN+1 = T · T · ~wN−1 = T · T · T · ~wN−2 = · · · = Tj ~wN−j+1 (2.29)

~wN+1 = TN · ~w1 (2.30)

gdje je:

~w1 =

(eL

e−L

)=

(Z↑

1

Z↓1

)(2.31)

particijska funkcija jednog spina.

14

Slijedeci korak koji nam predstoji je dijagonalizacija dane matrice. Matrica transfera T

ima svojstvene vrijednosti λA i λB (vrijedi da je |λA| > |λB|), i odgovarajuce svojstvene

vektore ~xA i ~xB.

T · ~xA = λA · ~xA (2.32)

T · ~xB = λB · ~xB (2.33)

Kao i svaki drugi vektor, ~w1 moze biti zapisan pomocu svojstvenih vektora.

~w1 = cA~xA + cB · ~xB (2.34)

U ovom obliku je vrlo lako vidjeti sto se dogada kad je ~w1 pomnozen N puta sa T:

~wN−1 = TN ~w1 = cATN~xA + cBTN~xB = cAλNA ~xA + cBλN

B ~xB (2.35)

Stoga je particijska funkcija:

ZN+1 = Z↑N+1 + Z↓

N+1 = ~w↑N+1 + ~w↓

N+1

= (cAλNA ~x↑A + cBλN

B ~x↑B) + (cAλNA ~x↓A + cBλN

B ~x↓B)

= cAλNA (~x↑A + ~x↓A) + cBλN

B (~x↑B + ~x↓B) (2.36)

Dijagonalizacijom matrice T (odredivanjem svojstvenih vrijednosti i pripadnih svojstvenih

vektora) mozemo naci svaki element s desne strane gornje jednakosti i odatle mozemo odrediti

particijsku funkciju ZN za svaki N . Naravno, nas zanima samo termodinamicka granica

N →∞. Zbog |λA| > |λB|, λNA dominira u odnosu na λN

B u termodinamickoj granici i

ZN+1 ≈ cAλNA (~x↑A + ~x↓A) (2.37)

pod uvjetom da je cA(~x↑A + ~x↓A) 6= 0. Sada je slobodna energija:

FN+1 = −kBT ln ZN+1 ≈ −kBTN ln λA − kBT ln[cA

(~x↑A + ~x↓A

)](2.38)

i ova aproksimacija postaje egzaktna u termodinamickoj granici. Stoga je slobodna energija

po spinu:

f(K, L) = limN→∞FN+1(K, L)

N + 1= −kBT ln λA (2.39)

Dakle, da bismo odredili slobodnu energiju moramo izracunati samo vecu svojstvenu vri-

jednost matrice T. Ne moramo izracunati manju svojstvenu vrijednost kao ni svojstvene

vektore. Naci svojstvene vrijednosti matrice transfera T je jednostavno.

15

Postoje dva korijena od:

det

(eK+L − λ e−K+L

e−K−L eK−L − λ

)= 0 (2.40)

(λ− eK+L)(λ− eK−L)− e−2K = 0 (2.41)

λ2 − 2eK cosh Lλ + e2K − e−2K = 0 (2.42)

koji su:

λ = eK[cosh L±

√cosh2 L− 1 + e−4K

](2.43)

Jasno je da su obje svojstvene vrijednosti realni brojevi i da je veca svojstvena vrijednost

pozitivna.

λA = eK[cosh L +

√sinh2 L + e−4K

](2.44)

Konacno, koristeci jednadzbe (2.23) i (2.39) mozemo odrediti slobodnu energiju po spinu:

f(T, H) = −J − kBT ln

[cosh

mH

kBT+

√sinh2 mH

kBT+ e−4J/kBT

](2.45)

2.3 Korelacijska funkcija u Isingovom modelu

Kako vrijednost spina na jednom cvoru utjece na vrijednost spina na drugom cvoru?

To nije pitanje termodinamike vec je interesantno i korisno pitanje statisticke mehanike.

Odgovor je dan kroz korelacijsku funkciju.

Razmotrimo Isingov model sa spinovima si = ±1 na resetki u tockama i. Slika 2.2

prikazuje dio kvadratne resetke, iako rasprava vrijedi za bilo koju Bravaisovu resetku1 u bilo

kojoj dimenziji. Odaberimo cvor u sredistu resetke i nazovimo ga ishodiste, polozaja 0. Izbor

ishodista je proizvoljan jer je resetka beskonacna pa tako je svaki polozaj u sredistu. Sad

odaberimo drugi cvor i nazovimo ga i. Umnozak ova dva spina je:

s0si =

{ +1 ako su oba spina jednako usmjerena

−1 ako su spinovi obrnuto usmjereni(2.46)

1Bravaisova resetka je beskrajni niz zasebnih tocaka ciji se raspored i orijentacija ponavlja iz koje godtocke niza se gledalo

16

Slika 2.2: Kvadratna resetka

Ako je sustav feromagnetski, tada pri niskim temperaturama ocekujemo da ce susjedni

spinovi vecinom biti usmjereni u istom smjeru. Analogno tomu, suprotno ponasanje ce vri-

jediti ako je sustav antiferomagnetski. Stoga ocekujemo da ako je cvor i pridruzen cvoru 0.

〈s0si〉 =

{ +1 za feromagnetske sustave pri niskim temperaturama

−1 za antiferomagnetske sustave pri niskim temperaturama(2.47)

Da li srednja vrijednost umnoska ikad premasuje 1 u bilo kojim slucajevima? Moglo bi se

ocekivati da 〈s0si〉 iscezava za cvorove koji su jako udaljeni jedan od drugoga. To je istina

u nekim slucajevima, ali ne ako postoji utjecaj vanjskog magnetskog polja, niti uz polje

jednako nuli u feromagnetu pri niskoj temperaturi, zbog toga sto u ovim situacijama svi

spinovi u uzorku (cak i oni jako udaljeni) teze usmjeravanju u istom smjeru.

Vidjeli smo da srednja vrijednost umnoska 〈s0si〉 nije trivijalna. Suprotno tomu umnozak

srednjih vrijednosti 〈s0〉〈si〉 je vrlo lako naci jer su svi cvorovi ekvivalentni, odakle 〈si〉 = 〈s0〉 i

〈s0si〉 = 〈s0〉2 (2.48)

Ustvari, 〈s0si〉 bi bilo jednako 〈s0〉2 ako ne bi bilo medusobne povezanosti spinova. To je u

osnovi definicija “korelacije” koja daje definiciju korelacijske funkcije:

Gi(T, H) = 〈s0si〉 − 〈s0〉2 (2.49)

Korelacijska funkcija mjeri kolika je vjerojatnost da ako spin u i = 0 ima vrijednost s0,

spin u “i” ima vrijednost si. Ako imamo jako magnetsko polje, i ako su cvorovi i i 0 daleko

udaljeni jedan od drugoga, tada ce oba spina teziti da budu usmjerena prema gore, ali ne

zbog feromagnetske korelcije vec zbog korelacije od vanjskog polja.

Definicija ne govori kako utjecaj putuje od cvora 0 do cvora i. Ako je cvor 2 za dva cvora

udesno udaljen od cvora 0, najveci dio medudjelovanja bit ce zbog medudjelovanja cvora 0

na cvor 1, a zatim cvora 1 na cvor 2.

17

Primjetimo da:

ako je i = 0 tada je Gi(T, H) = 1− 〈s0〉2

ako je i daleko od 0 tada je Gi(T, H) = 0 (2.50)

Komentari na korelacijsku funkciju:

1. Primjetimo da korelacijska funkcija daje informaciju o sustavu koja nije termodi-

namickog podrijetla. Nismo koristili particijsku funkciju da bismo odgovorili na bilo

koje pitanje vezano uz udaljenost medu spinovima. Korelacijska funkcija nam omoguca-

va istrazivanje u statistickoj mehanici.

2. Korelacijska funkcija je mjerljiva velicina. Moze biti eksperimentalno odredena rasprse-

njem neutrona.

3. Iako se ovdje dana definicija primjenjuje samo na Isingovom modelu na Bravaisovim

resetkama, analogne definicije se mogu naciniti za druge magnetske sustave te fluide.

2.4 Susceptibilnost

Istaknuto je kako korelacijska funkcija daje informacije neovisne o termodinamici, ali

korelacijska funkcija sadrzi i termodinamicke informacije. U ovom poglavlju cemo dokazati

da ako je korelacijska funkcija Gi(T, H) poznata za sve cvorove u resetki, tada se suscepti-

bilnost, koja je u potpunosti termodinamicka velicina, moze odrediti pomocu izraza:

χ(T, H) = Nm2

kBT

∑i

Gi(T, H) (2.51)

gdje zbroj ubraja sve cvorove (ukljucujuci i ishodiste). Mikroskopska magnetizacija za po-

jedinu konfiguraciju je:

M(s1, . . . , sN) = m∑

i

si (2.52)

a makroskopska magnetizacija je:

M = 〈M〉 = mN〈s0〉 (2.53)

Isingov hamiltonijan se razlaze na dva dijela:

H = H0(s1, . . . , sN)−mH∑

i

si

= H0(s1, . . . , sN)−HM(s1, . . . , sN) (2.54)

gdje je H0 nezavisno o magnetskom polju.

18

U modelu u kojem se uzima u obzir samo medudjelovanje prvih susjeda, dio hamiltonijana

koji nije ovisan o polju je:

H0(s1, . . . , sN) = −J∑<i,j>

sisj (2.55)

Konacno, Boltzmannov faktor je:

e−βH = e−βH0+βHM (2.56)

Sada mozemo zapoceti raspravu proucavajuci zbroj korelacijskih funkcija svih cvorova.∑s

oznacava sumu po stanjima.

∑i

Gi =∑

i

〈s0si〉 − 〈s0〉2 (2.57)

=∑

i

[∑s s0si e

−βH

Z− (

∑s s0si e

−βH)2

Z2

](2.58)

=

∑s s0(M/m) e−βH

Z−N

(∑

s s0si e−βH)2

Z2(2.59)

=Z

∑s s0(M/m) e−βH −N

∑s s0 e−βH ∑

s s0 e−βH

Z2(2.60)

Gdje je Z =∑

e−βH. Pogledajmo pazljivo posljednju jednakost. Uocimo da se gornji izraz

moze napisati kao derivacija jednog razlomka. M koje se pojavljuje u lijevom sumandu moze

dospijeti ondje derivacijom jednakosti (2.56) po varijabli H:

∂e−βH

∂H= βMe−βH (2.61)

Nadalje imamo:

∂

∂H

(∑s s0e

−βH

Z

)=

Z∑

s s0βM e−βH −∑s βM e−βH ∑

s s0 e−βH

Z2(2.62)

= β

[Z

∑s s0M e−βH −mN

∑s s0 e−βH ∑

s s0 e−βH

Z2

](2.63)

Velicina u uglatoj zagradi nije nista drugo do m pomnozeno s jednakosti (2.60), pa imamo:

∂

∂H

(∑s s0e

−βH

Z

)= βm

∑i

Gi . (2.64)

19

Takoder znamo da je:

∂

∂H

(∑s s0e

−βH

Z

)=

∂〈s0〉∂H

=∂M/mN

∂H=

1

mNχ (2.65)

Odakle naposlijetku dobivamo:

χ(T, H) = Nm2

kBT

∑i

Gi(T, H) (2.66)

Da li ovako izvedena jednadzba ima smisla? Velicina s lijeve strane znaka jednakosti je

ekstenzivna2. Izraz s desne strane znaka jednakosti sadrzi faktor N i zbroj svih cvorova, a

zbroj svih cvorova je obicno ekstenzivna velicina. Na prvi pogled lijeva strana se propor-

cionalno povecava s N a desna s N2 sto je siguran pokazatelj pogreske! Ustvari, nema

pogreske. Korelacijska funkcija Gi iscezava, osim za cvorove vrlo blizu sredistu. (Daleki

cvorovi su nekorelinearni, vidi jednadzbu (2.50). Stoga zbroj svih cvorova gore ima pri-

brojnik koji iscezava za vecinu cvorova, i prije je intenzivan3 nego ekstenzivan.

2.5 Termodinamicke velicine opisane pomocu

susceptibilnosti

U prethodnom odlomku je opisano kako pronaci jednu termodinamicku velicinu, sus-

ceptibilnost, χ(T, H) pri nekim odredenim vrijednostima za temperaturu i magnetsko polje,

poznavajuci korelacijsku funkciju Gi(T,H) za sve cvorove i pri tim odredenim vrijednostima

za temperaturu i magnetsko polje. U ovom odlomku pronaci cemo nacin kako racunati bilo

koju termodinamicku velicinu, za bilo koju vrijednost T i H, poznavajuci χ(T, H) za sve

vrijednosti T i H. Stoga, znajuci korelaciju Gi(T, H) kao funkciju svih svojih argumenata

(i, T i H) omogucava nam odredivanje bilo koje termodinamicke velicine.

Za odredivanje bilo koje termodinamicke velicine dostatno je odrediti slobodnu energiju

F (T, H), pa gornja tvrdnja prelazi u oblik koji govori da mozemo odrediti F (T, H) dane

χ(T, H). Sad mozemo pronaci χ(T, H) iz F (T, H) jednostavnim diferenciranjem, ali obr-

nut proces zahtjeva vrlo pazljivo integriranje. To cemo uciniti promatranjem razlike medu

velicinama za Isingov model i za idealni paramagnet. Zapamtimo da je termodinamicko stanje

Isingovog magneta odredeno dvjema varijablama: T i H, kao sto je prikazano na Slici 2.3.

2Ekstenzivne velicine stanja su one ciji iznos ovisi o velicini uzorka na kojem se mjeri. To su: masa ilikolicina tijela, volumen tijela, njegova unutarnja energija, entalpija, entropija i sl.

3Intenzivne velicine stanja su one ciji iznos ne ovisi o velicini uzorka na kojem se mjeri. Takve su: tlak,temperatura, sastav (smjese) i sl.

20

Slika 2.3: Termodinamicko stanje Isingovog magneta

Vecim dijelom ovog dijagrama Isingov magnet se uvelike ponasa kao idealni paramagnet, jer

karakteristicna termicka energija kBT ili karakteristicna magnetska energija m|H| nadilazi

karakteristicnu energiju medudjelovanja spinova |J |.Helmholtzova slobodna energija jednodimenzijskog Isingovog magneta iznosi:

F (T, H) = −N

{J + kBT ln

[cosh

mH

kBT+

√sinh2 mH

kBT+ e−4J/kBT

]}(2.67)

U tocki x termodinamicke velicine Isingovog magneta su dobro aproksimirane termodi-

namickim velicinama paramagneta.

χP (T, H) =∂M

∂H

∣∣∣∣T

= Nm2

kBTsech2 mH

kBT(2.68)

MP (T, H) = − ∂F

∂H

∣∣∣∣T

= mNtgh2 mH

kBT(2.69)

FP (T, H) = −kBTN ln

(2 cosh

mH

kBT

)(2.70)

Ova aproksimacija postaje sve bolja za T →∞ ili H → ±∞. Razlika izmedu susceptibilnosti

Isingovog modela feromagneta i idealnog paramagneta je:

χ(T, H)− χP (T, H) =∂(M −MP )

∂H

∣∣∣∣T

(2.71)

Integrirajmo tu jednakost.

∫ H

H0

[χ(T, H ′)− χP (T, H ′)

]dH ′ =

∫ H

H0

∂(M −MP )

∂H ′

∣∣∣∣T

= (M −MP )∣∣T,H

− (M −MP )∣∣T,H0

(2.72)

21

Sada uzmimo limes H0 → −∞ tako da M(T, H0) → MP (T,H0) i

M(T, H) = MP (T, H) +

∫ H

−∞

[χ(T, H ′)− χP (T, H ′)

]dH ′ (2.73)

gdje su MP (T,H) i χP (T, H) poznate funkcije (relacije (2.69) i (2.70)). Razmotrimo razliku

M(T,H)−MP (T,H) = −∂(F − FP )

∂H

∣∣∣∣T

(2.74)

i ponovimo isti postupak koji smo prethodno ucinili.

F (T, H) = FP (T, H)−∫ H

−∞

[M(T, H ′)−MP (T,H ′)

]dH ′ (2.75)

Kombinacijom jednakosti (2.73) i (2.75) dobivamo:

F (T, H) = FP (T, H)−∫ H

−∞dH ′

∫ H′

−∞

[χ(T, H ′′)− χP (T, H ′′)

]dH ′′ (2.76)

Koristenjem poznatih rezultata za FP (T, H), χP (T, H) i χ(T, H) dobivamo slijedeci izraz:

F (T, H) = −kBTN ln

(2 cosh

mH

kBT

)−N

m2

kBT

∫ H

−∞dH ′

∫ H′

−∞

[∑i

Gi(T, H ′′)− sech2mH ′′

kBT

]dH ′′

(2.77)

Ovim smo pokazali da mozemo odrediti slobodnu energiju F (T, H) bez poznavanja konstante

vezanja spinova J , kao i bez poznavanja hamiltonijana medudjelovanja spinova, ukoliko nam

je poznata geometrijska informacija sadrzana u korelacijskoj funkciji.

2.6 Rezultati za fluide

U ovom slucaju korelacijska funkcija g2(r; T, V, N) vise ovisi o polozaju r nego o indeksu

polozaja i. Samo je suma Gi svih polozaja povezana sa susceptibilnosti χ, pa je integral

od g2(r) po cijelom prostoru povezan sa stlacivosti κT . Kako susceptibilnost moze biti inte-

grirana dva puta da bi se odredila slobodna energija magneta F (T,H), tako se i stlacivost

moze integrirati dva puta da bi se dobila slobodna energija fluida F (T, V,N). I kao sto se ter-

modinamicke velicine magneta mogu odrediti iz funkcije korelacije bez poznavanja detalja o

hamiltonijanu medudjelovanja spinova, tako se termodinamicke velicine fluida mogu odrediti

iz korelacijske funkcije bez poznavanja detalja o silama koje djeluju medu cesticama.

22

3 Racunalne simulacije

3.1 Osnovna strategija

Ako zelimo koristiti racunalo za rjesavanje problema u statistickoj mehanici, postoje tri

osnovne strategije koje mozemo koristiti.

1. Detaljno nabrajanje4. Nabrojimo sva stanja (mikrostanja, strukture), njihove pridruzene

vjerojatnosti i njihovu srednju vrijednost. Pogledajmo koliko stanja uistinu imamo.

Razmotrimo trodimenzijski Isingov model na kocki 8 × 8 × 8. Ovaj sustav ima 512

spinova koji mogu biti usmjereni ili “gore” ili “dolje”, stoga imamo 2512 ≈ 10154 konfig-

uracija. Pretpostavimo da nase racunalo moze ostvariti i prouciti milijun konfiguracija

u sekundi. Tada bi detaljnom nabrajanju trebalo 10148 sekundi da obavi taj postupak.

Za usporedbu, svemir je star otprilike 1018 sekundi.

2. Nasumicno uzorkovanje5. Umjesto da pokusamo nabrojati sve moguce konfiguracije,

izvuci cemo ih nasumicno i uzorkovati. Ovo moze biti ostvareno pretrazivanjem resetke

i orijentiranjem spinova prema gore s vjerojatnoscu1

2i prema dolje s vjerojatnoscu

1

2. Problem u ovoj strategiji je da sve konfiguracije imaju istu vjerojatnost da budu

u uzorku, ali zbog toga sto ima mnogo vise konfiguracija s visokom energijom nego

konfiguracija s niskom energijom, vrlo je nevjerojatno da se izabere konfiguracija s

niskom energijom. Ali u Boltzmannovoj raspodjeli e−energija/kBT konfiguracije s niskom

energijom ustvari imaju vecu vjerojatnost da se pojave. Ova strategija je malo bolja

od prethodne, ali bi trebalo vremena koliko je svemir star da bi se dobio rezultat.

3. Uzorkovanje po vaznosti6. Ova strategija sakuplja moguce konfiguracije ne potpuno na-

sumicno, nego na nacin da su najvjerojatnije konfiguracije najvjerojatnije prikupljene u

uzorak. Jako koristan algoritam za uzorkovanje po vaznosti napravio je Nick Metropolis

i njegovi suradnici Arianna Rosenbluth, Marshall Rosenbluth, Augusta Teller i Edward

Teller 1953.g. Nazvan je “Metropolis algoritam”, ili M(RT )2 algoritam, ili jednostavno

“Monte Carlo algoritam”.

4Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “Exhaustive enumeration”5Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “Random sampling”6Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “Importance sampling”

23

3.2 Metropolis algoritam

Algoritam pravi lanac konfiguracija u kojem je svaka slijedeca konfiguracija modifici-

rana (obicno samo malo) u odnosu na prethodnu. Na primjer ako numeriramo konfiguracije

(recimo za 8× 8× 8 Isingov model, od 1 do 2512) lanac tih konfiguracija moze biti:

C171 → C49 → C1294 → C1294 → C171 → C190 → · · ·

Primjetimo da je moguce da dvije uzastopne konfiguracije u lancu budu identicne.

Da bismo napravili takav lanac potrebno nam je pravilo vjerojatnosti prijelaza

W (Ca → Cb) koje daje vjerojatnost da konfiguracija Cb slijedi konfiguraciju Ca. Izvedimo

prijelazna pravila u skladu s Boltzmannovom raspodjelom vjerojatnosti.

Razmotrimo dug lanac od M konfiguracija, u kojima je vjerojatnost pojavljivanja kon-

figuracije dana Boltzmannovom raspodjelom. Uvjet ravnoteze je

broj prijelaza (Ca → Cb) = broj prijelaza (Cb → Ca)

Broj Ca – ova u lancu je Me−βEa/Z . Slicno je i za broj Cb – ova pa gornja jednadzba poprima

oblik:

Me−βEa

ZW (Ca → Cb) = M

e−βEb

ZW (Cb → Ca) (3.1)

Odakle je:

W (Ca → Cb)

W (Cb → Ca)= e−β(Eb−Ea) (3.2)

Ovaj omjer, zvan detaljna ravnoteza, definira skup pravila vjerojatnosti prijelaza. Moguce je

da pravilo zadovoljava detaljnu ravnotezu ali nije u uzorku prema Boltzmannovoj raspodjeli.

Bilo koje pravilo koje ne zadovoljava detaljnu ravnotezu sigurno ne moze biti u uzorku

prema Boltzmannovoj raspodjeli. U praksi, sva pravila koja zadovoljavaju detaljnu ravnotezu

funkcioniraju.

Dva pravila vjerojatnosti prijelaza koja zadovoljavaju detaljnu ravnotezu, i dva pravila

koja se najcesce koriste u praksi su:

W (Ca → Cb) = k

(e−β∆E

1 + e−β∆E

)(3.3)

W (Ca → Cb) = k

{1 za ∆E ≤ 0

e−β∆E za ∆E > 0

}(3.4)

gdje smo uzeli da je:

∆E = Eb − Ea (3.5)

24

i gdje je konstanta normiranja k odredena tako da je:

∑Cb

W (Ca − Cb) = 1 (3.6)

Faktor za vjerojatnost prijelaza odvojen od konstante normiranja (dio u viticastim zagradama

u jednadzbama (3.3) i (3.4)) oznacava se sa wa→b. Primjetimo da je on pozitivan broj manji

ili jednak od jedan.

0 < {} ≡ wa→b ≤ 1 (3.7)

Primjetimo da za bilo koje pravilo koje zadovoljava detaljnu ravnotezu vjerojatnost pri-

jelaza mora rasti ako se promjena energije smanjuje. Lanac konfiguracija je poput setaca koji

hoda od konfiguracije do konfiguracije po “krajoliku konfiguracija”. Ako bi korak smanjivao

setacevu energiju, on bi ju vjerojatno prihvatio, a ako bi mu povecavao energiju on bi ju

vjerojatno odbio. Stoga setac tezi ici nizbrdo po krajoliku konfiguracija, ali nije nemoguce

da ide uzbrdo. Ovo izgleda kao recept za konstantno smanjivanje energije, ali nije jer postoji

vise koraka uzbrdo nego nizbrdo.

3.3 Izvedba Metropolis algoritma

Nije neuobicajeno izvoditi Monte Carlo program za otprilike 10 000 koraka po polozaju.

Za takav slucaj program ce se izvoditi nekoliko sati ili cak dana. Natuknice koje slijede su

korisne za ubrzavanje ili poboljsavanje izvedbe Metropolis algoritma.

1. Koristiti razmjerne velicine

Parametre J , m, H i T ne unositi u nijednoj mogucoj kombinaciji osim u dva nezavisna

produkta.

T =kBT

Ji H =

mH

J(3.8)

Stoga Boltzmannov eksponent za danu konfiguraciju iznosi

− E

kBT=

1

T

∑

〈i,j〉sisj + H

∑i

si

(3.9)

gdje si iznosi +1 ako je spin u polozaju i prema gore, a −1 ako je spin u polozaju i

prema dolje. 〈i, j〉 oznacava najblizi susjedni par spinova.

2. Ne traziti ukupne energije

Da bi izracunali wa→b moramo poznavati ∆E, a ∆E cemo naci ako odredimo Ea

i Eb (pomocu jednadzbe (3.9)) i oduzmemo ih. Ovaj postupak je jednostavan ali

25

strasno neucinkovit zbog toga sto je promjena u konfiguraciji mala. Ako na slican

nacin trazimo prosjecnu magnetizaciju ne moramo pretraziti cijelu resetku da bismo

ju odredili. Uocimo da se mijenja za ±2 pri svakom okretu spina.

M = n↑ − n↓ =∑

i

si (3.10)

3. Definirati Boltzmannove faktore7

Moramo poznavati vrijednost e−β∆E. Obicno ima nekoliko mogucih vrijednosti ∆E.

To djelomicno skracuje vrijeme potrebno za preracunavanje odgovarajucih vrijednosti

wa→b koje se vrsi samo jednom na pocetku programa te ih se potom sprema i poziva

kad su potrebne.

4. Usrednjavanje tijekom izvedbe procesa

Pronalazenjem srednje magnetizacije sumiranjem magnetizacija svake konfiguracije u

lancu i dijeljenjem s brojem konfiguracija moze doci do pogreske zbog toga sto je

lanac konfiguracija jako dug. Zbog toga je bolje pratiti trenutnu srednju vrijednost

magnetizacije.

5. Ucinci konacne velicine sustava

Koristiti periodicne ili skew – periodicne rubne uvjete.

6. Podaci o strukturi resetke8

Pretpostavimo da zelimo simulirati dvodimenzijski Isingov model na 4× 3 kvadratnoj

resetki. Struktura podataka koja drzi konfiguraciju u racunalnoj memoriji je cjelobrojna

dvodimenzijska resetka. Ako je spin u polozaju (3, 2) gore, tada je Spin(3, 2) = +1,

a ako je spin dolje tada je Spin(3, 2) = −1. Cvorovi resetke su numerirani kao na

Slici 3.1.

Slika 3.1: Polozaji spinova u resetki 1

7Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “Precompute Boltzmann factors”8Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “Lattice data structures”

26

Ova reprezentacija ima mnogo nedostataka. Tesko je generaliziranje na ostale resetke,

kao sto je trokutasta resetka9 u dvije dimenzije ili plosno centrirana kubicna resetka10 u

tri dimenzije, a pronalazenje najblizih susjednih spinova na rubnim polozajima koristeci

periodicke ili skew – periodicne rubne uvjete je komplicirano. U ovoj reprezentaciji

polozaji su pohranjeni kao cjelobrojne vrijednosti jednodimenzijskog polja.

Slika 3.2: Polozaji spinova u resetki 2

7. Generatori nasumicnih brojeva11

Tesko je pronaci nesmetan izvor visoko kvalitetnih nasumicnih brojeva. To je problem

fizike i industrije.

8. Pocetne konfiguracije i uravnotezenje

Metropolis algoritam ne opisuje kako doci do prve konfiguracije u lancu. Uistinu, od-

abiranje ove konfiguracije zahtjeva iskustvo. Ako simuliramo visoke temperature, prik-

ladno je poceti sa nasumicno odabranom konfiguracijom, tako da je otprilike polovica

spinova usmjerena prema gore, a polovica prema dolje. Ali ako simuliramo niske tem-

perature (ili jaka polja) mozda bi bilo bolje poceti sa konfiguracijom gdje su svi spinovi

usmjereni u istom smjeru. Kako god odabrali pocetnu konfiguraciju malo je vjerojatno

da ce ona biti karakteristicna konfiguracija za temperaturu i magnetsko polje pri kojima

vrsimo simulaciju.

9Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “triangular lattice”10Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “face centered cubic lattice”11Izvoran naziv na engleskom jeziku glasi “Random number generators”

27

3.4 Monte Carlo simulacija dvodimenzijskog Isingovog

modela

Program za izvedbu simulacije dvodimenzijskog Isingovog modela je preuzet s

http://www.physto.se/~linus/files/Ising.exe, a napisao ga je L. Wullf. Izvediv je

samo u operacijskom sustavu Windows.

Slika 3.3: Monte Carlo simulacija dvodimenzijskog Isingovog modela

Koraci simulacije:

1. Unesemo pocetne podatke (velicina resetke, temperatura)

2. Odaberemo koje grafove zelimo vidjeti

3. Inicijaliziramo graficki sustav

4. Pokrenemo simulaciju

Slika 3.4: Kvadratna resetka sa 10× 10 spinova

Bijeli kvadratici predstavljaju spin “gore” a crni spin “dolje”. Program uvijek pocinje s

nasumicnim stanjima.

28

Slika 3.5: Magnetizacija sustava

Slika 3.6: Energija po spinu

Slika 3.7: Korelacijska funkcija

29

Slika 3.8: Izmjena skupova spinova

Promotrimo kako se sustav ponasa pri razlicitim temperaturama. Razmatrat cemo resetku

sa 50 × 50 spinova. Za pocetnu temperaturu cemo uzeti T = 10 K. Postupno smanjujemo

temperaturu i promatramo ponasanje spinova u resetki.

1. T = 10 K

Slika 3.9: Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 10 K

Spinovi se naizmjenicno izmjenjuju.

30

2. T = 5 K

Slika 3.10: Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 5 K

Dipoli postaju sve vece skupine pozitivne i negativne magnetizacije.

3. T = 3 K

Slika 3.11: Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 3 K

Skupine pozitivne i negativne magnetizacije se nastavljaju povecavati.

31

4. T = 2.5 K

Slika 3.12: Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 2.5 K

Dolazi do znatnog povecanja skupina pozitivne i negativne magnetizacije.

5. T = 2 K

Slika 3.13: Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 2 K

Jedna skupina je preuzela cijelu resetku i to je stanje kad je sustav magnetiziran. Neki

dipoli ce se okrenuti, ali samo nakratko.

32

6. T = 1.5 K

Slika 3.14: Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 1.5 K

Druga skupina je preuzela cijelu resetku te imamo suprotnu magnetizaciju.

7. T = 1 K

Slika 3.15: Izmjena skupova spinova pri temperaturi T = 1 K

Sustav je u stanju potpune magnetizacije.

Zakljucak: Ovaj sustav ima kriticnu temperaturu negdje izmedu 2 K i 2.5 K.

33

Literatura

[1] Daniel F. Styer, Statistical Mechanics, Department of Physics and Astronomy,

Oberlin Collage, August 2004.

[2] Vladimir Sips, Uvod u fiziku cvrstog stanja, Skolska knjiga, Zagreb, 1991.

[3] http://www.physto.se/∼narit

[4] http://www.triplespark.net/sim/isingmag

[5] http://www.artas.hr/magneti/magnetizam.htm

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Ising_model

[7] http://www.scs.uiuc.edu/∼makri

34

Sazetak

Pojava feromagnetizma je bila izvorna motivacija za Isingov model. Kad je otkriven spin

elektrona bilo je jasno da je magnetizacija posljedica velikog broja elektrona s jednakim

spinom jer elektroni na jednoj strani magneta ne djeluju izravno na elektrone na drugoj

strani magneta. Elektroni mogu utjecati samo na sebi susjedne elektrone.

Isingov model je napravljen kako bi istrazio da li veliki broj elektrona moze imati isti

spin prilikom djelovanja samo lokalnih sila. Model se sastoji od skupa magnetskih spinova

rasporedenih u kvadratnoj resetki. Svaki spin moze poprimiti vrijednost 1 ili −1. Energija

sustava je odredena zbrojem pojedinih medudjelovanja susjednih spinova u resetki. Slobodna

energija po spinu je definirana pomocu particijske funkcije. Koristenjem particijske funkcije

i korelacijske funkcije mozemo izracunati magnetsku susceptibilnost.

Za simulaciju ponasanja feromagneta koristimo Metropolis algoritam. Ovaj algoritam

pravi lanac konfiguracija u kojem je svaka slijedeca konfiguracija modificirana u odnosu na

prethodnu. Vjerojatnost pojavljivanja konfiguracije dana Boltzmannovom raspodjelom.

35

Summary

The original motivation for the Ising model was the phenomenon of ferromagnetism.

Once the electron’s spin was discovered, it was clear that the magnetism should be due to

a large number of electrons spinning in the same direction. It was natural to ask how the

electrons all know which direction to spin, because the electrons on one side of a magnet

don’t directly interact with the electrons on the other side. They can only influence their

neighbors.

The Ising model was designed to investigate whether a large fraction of the electrons could

be made to spin in the same direction using only local forces. The model consists of a set of

magnetic spins arranged on a regular square lattice. Each spin can take the value +1 or −1.

The energy of the system is determined by the sum of elementary interactions between a

spin and its neighbours on the lattice. The free energy per spin is defined with the partition

function. Using partition function and correlation function we can calculate the magnetic

susceptibility.

In order to simulate the behavior of a ferromagnet we use Metropolis algorithm. This

algorithm builds a chain of configurations, each one modified from the one before. The

probability of a configuration appearing is given by the Boltzmann distribution.

36

Zivotopis

Sinisa Milosavljevic roden je 25. rujna 1982. u Nasicama. Osnovnu skolu Antuna Gustava

Matosa, Cacinci zavrsava 1997. godine. Iste godine upisuje srednju skolu Marka Marulica,

Slatina, program – zanimanje: elektrotehnika – elektrotehnicar. 2001. godine upisuje se kao

redovni student na Odjel za matematiku, Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku,

smjer matematika – fzika.

37