SIRmodellen Epidemiologi Skrevettil3GmatematikA-niveaudanishlightning.dk/al/SIR/SIR.pdf · Der var ingen rotter i Europa p˚a dette tidspunkt. Man kan diskutere om andre gnavere har

SIR modellen

Epidemiologi

Skrevet til 3G matematik A-niveau

Allan Lind Jensen

Marts 2017

Indholdsfortegnelse

1 Indledning 2

1.1 Yersina Pestis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Logistisk vækst og SIR modellen . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Opstilling af modellen 6

2.1 Udledning af differentialligningerne . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Modellens forudsætninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Uddybning af konstanten a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Uddybning af konstanten b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Analyse af modellen 12

3.1 Udviklingen i store træk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Sammenhængen mellem S og I . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Hele familien af løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Nyttig viden ved anvendelse af modellen . . . . . . . . . . . . 18

4 Anvendelser 20

4.1 Pesten i København 1711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 En influenzaepidemi p̊a en kostskole . . . . . . . . . . . . . . 244.3 SARS i Hong Kong 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

Kapitel 1

Indledning

Dette hæfte indeholder en gennemgang af den matematiske teori hørende tilden epidemiologiske SIR model. Forfatteren mener, at modellen kan beskrivemange fænomener - blandt andet inden for økonomi - og derfor fortjener atblive bedre kendt.

Dokumentet SIR.pdf findes p̊a forfatterens hjemmeside.SIR modellen blev indført i 1927, se [9]. Først med Hethcotes arbejder,

[5] og [6], i 1976 − 8 fik teorien et sundt matematisk fundament. Her blevegenskaberne ved funktionerne bevist for første gang.

1.1 Yersina Pestis

I forsommeren begynder dødstallet langsomt at stige. Der er pest i byen!Vi befinder os i København i 1711. Pesten har bredt sig fra Helsingør

til hovedstaden. Kongen beslutter at lukke byen af for at flygtende borgereikke skal sprede pesten til resten af landet. De 50.000 mennesker inden forbymurene er overladt til deres skæbne. I løbet af sommeren og efter̊aret dørover 20.000 mennesker af pesten.

Det lykkedes at begrænse epidemien til København.

Pest skyldes en bakterie, Yersinia pestis. Den findes i gnavere, som ikke døraf at være inficerede. Bakterien kan overføres til mennesker via lopper. Lop-perne lever ikke p̊a rotterne, men i nærheden af rederne. De springer kun p̊aværtsdyret for at spise. Derved bliver lopperne inficeret. Bakterien danneren byld i tarmen p̊a lopperne, s̊a de f̊ar forstoppelse. Men lopperne kan levei flere måneder efter at være blevet inficeret, s̊a de kan n̊a at inficere men-nesker ved et bid. P̊a grund af forstoppelsen sprøjter de noget af mennesketsblod tilbage, men sammen med nogle pestbakterier. Inficerede menneskerudvikler byldepest med en inkubationstid p̊a cirka 5 dage. Patienten er smit-tet gennem huden, og immunforsvaret træder straks i aktion. Derved undg̊asen infektion af blodbanen og de indre organer. Sygdommen er ikke ret smit-tefarlig, men dødeligheden uden moderne lægebehandling ligger p̊a 60-80%.

2

https://https://sites.google.com/site/allanlindjensen/home/sir-model

Situationen er anderledes alvorlig ved infektion af lungerne. Det indre aflungerne ligger principielt uden for kroppen, s̊a i lungerne virker immun-forsvaret d̊arligt. Bakterierne kan formere sig frit. Sygdommen udvikler sigi løbet af to-tre dage og ender næsten uvægerligt med døden. Det er faktiskoverraskende at enkelte overlever. Lungepest smitter ved inficerede dr̊aberi ud̊andingsluften.

I det 14. århundrede døde mindst en tredjedel af Europas befolkning,cirka 25 millioner mennesker, af den sorte død, som pesten blev kaldt. Pan-demien er sporet til Centralasien. Den kom til havnene i Krim ved Sorte-havet i 1346. Herfra spredte den sig med skib til Europa. Centralasien,Mellemøsten og Europa blev ramt.

Man forbinder normalt pest med rotter, som var kommet til Europa idet 12. århundrede. Men man mener nu at spredningen foregik i form aflungepest. Ved pestepidemien i det 14. århundrede blev rotterne inficerede.Derefter blev byldepest ved med at optræde, og der forekom jævnlige epi-demier. En del af rotterne levede i str̊atagene. Deres lopper risikerede atfalde ned p̊a gulvet i husene.

I det 17. århundrede begyndte pesten at aftage. Efter Københavns brandi 1728 blev byen genopbygget med tag af teglsten. Hidtil havde husene haftstr̊atag. Derefter forsvandt pesten fra Danmark. Pesten forsvandt først fradet vestlige Europa, og til sidst fra Tyrkiet i 1841.

Den værst kendte pandemi forekom i slutningen af oldtiden. I år 542blev byen Pelusium i Ægypten ramt af pest. I løbet af halvtreds til tres årspredte sygdommen sig via havnene til de fjerneste omr̊ader. Byer blev tømtfor indbyggere, og hvor mennesker før havde levet, færdedes kun vilde dyr.Måske døde 100 millioner mennesker af pest under denne pandemi. Den st̊arsom menneskehedens hidtil største katastrofe1.

Der var ingen rotter i Europa p̊a dette tidspunkt. Man kan diskutereom andre gnavere har været involveret. Man mener at mus var udbredt iEuropa dengang. Mus kan sagtens blive smittede og vedligeholde epidemien,men man mener nu at smitte fra menneske til menneske er den vigtigste -og ofte den eneste - faktor i spredningen af sygdommen.

I [13] findes en gennemgang af pestens historie. Pestbakterien, Yersiniapestis, blev identificeret af franskmanden Alexandre Yersin i 1894 i HongKong. Han var udsendt af den franske regering; da en pestepidemi i Kinatruede med at brede sig til hele verden. I 1894 n̊aede pesten til Hong Kong,som var en stor international havn. Samme år udviklede Alexandre Yersinet serum mod pest. Men da var smitten allerede spredt til hele verden medde hurtige dampskibe.

Der findes nu omr̊ader i Asien, Afrika, Syd- og Nordamerika, hvor gna-

1I den forbindelse bør influenza epidemien i 1918 nævnes. Den dræbte mellem 50 og100 millioner, en 3-5% af verdens befolkning, og langt flere end der døde under førsteVerdenskrig.

3

vere er inficeret med pest. Der er intet der tyder p̊a en snarlig udryddelseaf pest, s̊a man kan sige at vi befinder os i den tredje pandemi af pest ihistorisk tid.

1.2 Logistisk vækst og SIR modellen

Dette afsnit giver en kort oversigt over nogle af SIR-modellens egenskabersammenlignet med logistisk vækst.

Logistisk vækst starter med at vokse eksponentielt, og slutter med be-grænset vækst. Grafen har et symmetripunkt om hvilket den kan roteres180◦ over i sig selv. I figuren er symmetripunktet (0, 0.5). Det betyder at deneksponentielle vækst i starten, ekt, og den begrænsede vækst i slutningen,1− e−kt har samme tidskonstant, k = 1.

(a) Logistisk vækst (b) µ = 0.3

SIR-modellen har tre funktioner, S er populationen af smittelige, I an-tallet af smittende, og R er antallet af ikke længere smittende.

S(t) susceptibles antallet af individer der kan smittes

I(t) infectious antallet af smittende individer

R(t) recovered antallet af ikke længere smittende individer

I SIR-modellen er ingen af funktionerne symmetriske. Antallet af in-ficierede, I, vokser i starten og aftager slutningen af en epidemi eksponen-tielt, men med forskellige tidskonstanter. Antallet af smittelige aftager ibegyndelsen tilnærmelsesvist eksponentielt og i slutningen nærmer den sigden asymptotiske værdi tilnærmelsesvist eksponentielt. Tilsvarende for an-tallet af restituerede, R. Alle tre funktioner har samme tidskonstant k1 istarten og tidskonstant k2 i slutningen

2. Der gælder generelt, at den førstetidskonstant k1 er større end den anden k2 < k1.

2Dette bliver formuleret mere præcist p̊a afsnit 3.1.

4

(a) µ = 0.5 (b) µ = 0.8

De tegnede grafer kan ganges op med en vilk̊arlig faktor, forskydes i tid,og tidsskalaen kan ændres. De vil stadig være henholdsvis logistisk vækst ogfunktioner under SIR-modellen. I den forstand findes der kun én stamform aflogistisk vækst. Der findes derimod en hel familie af SIR-modeller, bestemtaf en parameter µ ∈]0, 1[, der bliver defineret i afsnit 3.3. I den forstand erSIR-modellen temmelig fleksibel.

Hvis man har målt en S-kurve eller en klokkekurve, der starter og sluttereksponentielt, og hvor den første tidskonstant er større end den sidste, erdet måske værd at anvende SIR-modellen. Måske ligger der en dynamikbag, der ligner udviklingen af en epidemi.

Antallet af smittelige, S, er en monotont aftagende funktion, men der vilaltid være nogle smittelige, der ikke bliver ramt af infektionen. Det skyldesikke immunitet, men at de tilfældigvis ikke rendte ind i nogen smittende.SIR-modellen er den første model for udviklingen af en epidemi, der har denegenskab, at ikke alle bliver ramt.

5

Kapitel 2

Opstilling af modellen

Den klassiske model til beskrivelse af epidemier daterer sig til starten af dettyvende århundrede. P̊a det tidspunkt fik man den første tilfredsstillendematematiske beskrivelse af udviklingen af en epidemi. Ordet ”tilfredsstil-lende” henviser til, at modellen viser hvordan de biologiske forudsætningerhar konsekvenser for, hvordan en epidemi udvikler sig.

Man arbejder med tre funktioner af tiden, t. Den første, S(t), angiverantallet af individer der kan blive smittet af sygdommen. Folk der er immuneoverfor sygdommen, er alts̊a ikke med. Den anden funktion, I(t), angiverantallet af smittende individer. De er ikke nødvendigvis syge, for ofte erlatensperioden kortere end inkubationstiden. Den sidste funktion, R(t),angiver antallet af individer der har været smittende, men ikke længere erdet. De kan for eksempel være blevet raske og immune, de kan være dødeaf sygdommen, eller de kan være bragt i isolation.

Individerne bevæger sig skematisk

S −→ I −→ R .

Modellen antager eksplicit, at individer der ikke længere er smittende, ikkekan blive inficeret igen.

I det følgende vil vi udlede tre differentialligninger som de tre funktionerskal opfylde. Undervejs kommer vi til at gøre en lang række af forudsæt-ninger. Ved en del epidemier vil de med god tilnærmelse være opfyldt, foreksempel lungepest og influenza.

For at smitten kan overføres skal to individer være tæt p̊a hinanden.Vi taler om at der skal have været et potentielt smittende møde. Hvissygdommen smitter ved dr̊abeinfektion, kan det være at to individer ertilpas tæt p̊a hinanden, mens den inficerende nyser eller bare ånder. Menden kan ogs̊a være at den smittelige rører ved et gelænder 12 timer efter eninficerende dr̊abe har lagt sig p̊a det, eller at den smittelige befinder sig isamme højhus, hvor dr̊aberne føres rundt af klimaanlægget.

I forbindelse med herpes er det kontakt mellem slimhinder, det vil sige

6

samleje eller kys. Der skal i almindelighed være et møde, hvor begge befindersig samme sted p̊a samme tidspunkt. Det er almindeligt at mødes udenat den smittelige bliver smittet. Men ved et ”potentielt smittende møde”forst̊as et møde af en art, at hvis den ene er inficerende og den anden smit-telig, s̊a vil den smittelige bliver inficeret. Et møde, hvor smitten har mu-lighed for at kunne overføres, taler vi om et ”træf”. Et træf mellem ensmittelig og smittende fører kun til infektion med en vis sandsynlighed.

Vi antager for det tredje at individerne bevæger sig tilfældigt mellemhinanden, s̊a to vilk̊arlige individer har samme sandsynlighed for at haveet potentielt smittende møde som ethvert andet par. Sandsynligheden forat to givne individer mødes i løbet af et lille tidsrum, ∆t, er proportionaltmed ∆t. Kald proportionalitetsfaktoren for a. S̊a er sandsynligheden forat to givne individer har et potentielt smittende møde lig a∆t. Man kanformulere definitionen af a som i skemaet herunder.

a ·∆tsandsynligheden for at et par af individer har et potentielt

smittende møde i løbet af et lille tidsrummet ∆t

b ·∆tsandsynligheden for at en tilfældig smittende ophører med

at være smittende i løbet af et lille tidsrum ∆t.

Ved ”potentielt smittende møde” forst̊as et møde, s̊aledes at hvis det er eninficerende (én fra gruppen I) der møder en smittelig (én fra gruppen S), s̊avil den smittelige blive inficeret.

Samtidig har vi indført parameteren b. Vi g̊ar ud fra at sandsynlighedenfor at et inficerende individ holder op med at være inficerende i løbet af enkort periode, ∆t, er b ·∆t.

P̊a baggrund af forudsætningerne ovenfor udleder vi nu differentiallignin-gerne. Bagefter uddybes forudsætningerne.

2.1 Udledning af differentialligningerne

Først skal vi finde et udtryk for antallet af nye smittende i løbet af en kortperiode, ∆t. En af de S smittelige skal have et potentielt smittende mødemed en af de I inficerende. Der er i alt S · I s̊adanne par. Sandsynlighedenfor at hvert par har et potentielt smittende møde er a∆t. Vi forventer1

derfor at der blandt de S · I par finder

a∆t · S · I (2.1)

smittende møder sted. Det er antallet af individer der ophører med at væresmittelige og bliver inficerende. Der gælder derfor

S(t+∆t) = S(t)− a∆t · S(t) · I(t)

1Denne forventning skyldes definitionen p̊a sandsynlighed - og frekvens.

7

Subtraher S(t) p̊a begge sider, og divider med ∆t.

S(t+∆t)− S(t)

∆t= − aSI .

Lader man ∆t → 0 f̊asS′(t) = −aS(t)I(t) . (2.2)

Antallet af nye inficerende individer er a∆t · S · I. Men nogle af deinficerende ophører med at være inficerende. Sandsynligheden for at et infi-cerende individ ophører med at være inficerende er b∆t. Derfor forventer viat ud af de I inficerende individer vil b∆t ·I ophøre med at være inficerende.Der gælder derfor

I(t+∆t) = I(t) + a∆t · S(t) · I(t)− b∆t · I(t)

I(t+∆t)− I(t)

∆t= aS(t)I(t) − bI(t) .

Lader man ∆t → 0 f̊as

I ′(t) = aS(t)I(t) − bI(t) . (2.3)

P̊a tilsvarende måde f̊as

R′(t) = bI(t) . (2.4)

2.2 Modellens forudsætninger

For det første antager vi at sygdommen smitter direkte fra individ til individ.Det gælder ikke hvis smitten for eksempel overføres fra en inficeret brønd(for eksempel kolera), eller hvis smitten for eksempel overføres fra rottervia lopper (byldepest). For det andet antager vi at vi har at gøre meden homogen population. Det gælder ikke, hvis forskellige individer ikke erlige modtagelige for sygdommen. Det gælder heller ikke for kønssygdomme,fordi nogle mennesker er langt mere seksuelt aktive end det almindelige. Is̊adanne tilfælde kan man dele populationen op i flere lag med hver sin værdiaf parameteren a, se [7].

For det tredje antager vi at parametrene bevarer deres værdi igennemhele forløbet. Det betyder blandt andet at epidemien ikke f̊ar populationentil at ændre adfærd.

For det fjerde antager vi at ethvert par af individer har samme sandsyn-lighed for at mødes. Denne antagelse kan ikke forventes at holde. Men deter svært at se, hvad man skal sætte i stedet. I nogle tilfælde kan man lagdelepopulationen, s̊a hvert individer fra hvert lag har en vis sandsynlighed forat mødes indbyrdes, og en vis sandsynlighed for at mødes med individer fra

8

andre lag. Men man antager stadigvæk at alle par af hver slags har sammesandsynlighed for at mødes.

For det femte ser vi bort fra latenstiden. Det er den tid der g̊ar fra etindivid er inficeret til det bliver inficerende. Epidimiologer skelner mellemlatenstid og inkubationstid. Inkubationstiden er den tid der g̊ar fra et in-divid bliver inficeret til det f̊ar de første symptomer p̊a sygdommen. Mankan kun forvente at modellen giver gode resultater, hvis latenstiden er kortsammenlignet med tidsskalaen for epidemiens udvikling.

For det sjette ser vi bort fra andre forandringer i antallet af smittelige,end at de bliver inficerede. Vi forudsætter alts̊a at populationens størrelseikke ville ændre sig væsentligt i løbet af den tid, epidemien varer. Dette ernormalt opfyldt, hvis epidemien varer meget kortere end en generation afpopulationen.

For det syvende skal populationen have en vis størrelse. Ved små popula-tioner giver det slet ikke mening at tale om grænseovergangene for ∆t → 0.Ved store populationer kan man sige at der er tale om s̊a små tidsintervaller,at funktionen med god tilnærmelse er lineær, men dog s̊a store tidsintervaller∆t, at ændringerne i funktionernes værdier er langt større end 1, s̊a sprin-gene i funktionsværdierne er usynlige.

2.3 Uddybning af konstanten a

Hændelser, hvor to individer er s̊a tæt p̊a hinanden, at smitte vil kunneoverføres kaldes træf . Kald antallet af s̊adanne træf, hver inficerende pertidsenhed har med en fra populationen, for m. I løbet af tiden ∆t har deinficerede s̊a m∆tI møder med nogen fra hele populationen. Andelen afmøder med en smittelig, er S

N, hvor N er populationens størrelse. I løbet

af tiden ∆t afholdes derfor m∆tI SN

møder mellem en inficierende og ensmittelig. Sandsynligheden for at et s̊adant møde fører til smitte, betegnesp. Det forventede gennemsnitlige antal smittede i perioden er derfor

mp

NSI∆t . (2.5)

p

sandsynligheden for at et træf er potentielt smittende,alts̊a at et møde mellem en inficierende og en smittelig

fører til infektion

mAntallet af træf, hver smittende per tidsenhed har med et

individ fra hele populationen

Ved at sammenligne (2.1) og (2.5) f̊ar man

a =pm

N. (2.6)

9

Visse epidemier kan dræbe en væsentlig del af befolkningen. For s̊adanen epidemi er det rimeligt at antage at N(t) = S(t) + I(t) falder med tiden.Denne model fører til, at hele populationen rammes2. I denne tekst antagesdet, at a er konstant gennem hele epidemien.

2.4 Uddybning af konstanten b

Hvad sker der med I(t), hvis udbredelsen af epidemien pludselig stoppes?Dette er ikke et spørgsmål til virkeligheden, men et spørgsmål om hvad,modellen forudsiger. Formlen (2.3) bliver I ′(t) = −bI(t). Enhver løsning tildenne ligning kan skrives p̊a formen

I(t) = I0e−bt .

Der er alts̊a tale om en eksponentielt aftagende funktion. Det viser sig, at derer en nydelig sammenhæng mellem b og den gennemsnitslige smitteperiode,T . Hvis vi antager at de smittelige fra start af er halvvejs gennem deressmitteperiode, vil den samlede smittetid for de I0 smittende være

1

2I0T .

Smittetiden kan imidlertid ogs̊a beregnes direkte. Antallet af smittende,der har en smittetid mellem t og t+∆t er

I(t)− I(t+∆t) ≈ −I ′(t)∆t = bI(t)∆t .

De bidrager med en smittetid p̊a

t · bI(t)∆t .

Den samlede smittetid er derfor∫

∞

0

t · bI(t) dt =I0

b.

Nu har vi to udtryk for den samlede smittetid for alle de smittende,

1

2I0T =

I0

b.

Heraf følger

b =2

T.

2Det fører til ligningerne

S′ = −a

SI

S + Iog

I′ = a

SI

S + I− bI .

Ved at udfærdige et plot som fig 3.1 og indtegne linien I ′ = 0 kan man overbevise sig omp̊astanden. Et ordentligt bevis kræver dog mere arbejde.

10

Denne analyse forudsætter, at alle er smittelige lige lang tid. Man må for-vente at smittetiden for det enkelte individ varierer noget. Tager man højdefor det3, f̊ar man

b ≤2

T. (2.7)

I det foreg̊aende er det antaget at b > 0. Hvad sker der, hvis b = 0?I lighed med sætning 1 kan man vise at S(t) + I(t) er konstant,

S(t) + I(t) = N .

S̊a er det nemt at vise, at I er en logistisk vækst, og at hele populationenender med at være smittende.

Opgave 1 Bevis formlen ovenfor.

Opgave 2 Eliminér S i differentialligningen for I. Hvad er dens løsningerfor nogle funktioner?

Opgave 3 Kan man biologisk tænke sig en situation, hvor b < 0 er negativ?

3For at kunne det, skal man forst̊a ventetidsparadokset. Men s̊a kan faktoren beregnes,hvis man kender fordelingen af smittetiden. SIR-modellen har faktisk den konsekvens, atindividernes smittetid er eksponentielt fordelt. Det fører til b = 1

T.

11

Kapitel 3

Analyse af modellen

I dette kapitel beskrives, hvordan epidemier udvikler sig, n̊ar de følger(2.2), (2.3) og (2.4). I første afsnit nævnes nogle generelle egenskaberved løsningerne. I andet afsnit 3.2 og 3.4 udledes en del formler, mankan anvende til at bestemme en epidemis parametre ud fra optegnelser afepidemien. I kapitlet 4 gives eksempler p̊a, hvordan historiske data kanforbindes til S, I eller T , og hvordan parametrene kan bestemmes.

Dynamikken i en epidemi bestemmes af funktionerne S og I. Deresdifferentialligninger er koblede, mens R blot opsamler de individer, der ikkelængere er smittende. Af den grund samler den største interesse sig omfunktionerne S og I.

Vi er kun interesserede i løsninger, hvor S(t) og I(t) er positive. I alt detfølgende vil vi derfor antage at S(t), I(t) > 0. Men kan vise, at hvis der findeset tidspunkt t0, s̊a S(t0) > 0 og I(t0) > 0, s̊a vil funktionerne vedblive atvære positive. Desuden vil løsningerne være definerede for ethvert tidspunktt ∈ R.

3.1 Udviklingen i store træk

Sætning 1 Summen af funktionerne i SIR-modellen er konstant

S(t) + I(t) +R(t) = N . (3.1)

Den følgende sætning afspejler blot bevægelsen af individer gennem sys-temet, s̊aledes at der ikke er nogen individer der forsvinder fra regnskabetundervejs. Selvfølgelig skal løsningerne opfylde den betingelse. Men manskal kunne gøre rede for, at løsningerne faktisk har denne vigtige egenskab.Har de ikke den egenskab kan de jo ikke anvendes til beskrivelse af en epi-demis udvikling. Man kunne jo sagtens have stillet nogle ligninger op, hvisløsninger ikke opfyldte betingelsen.

Bevis: Udregn ddt(S(t) + I(t) + R(t)) ved hjælp af differentialligningerne.

12

Anvend monotonisætningen. �

Opgave 4 Anvend monotonisætningen til at gøre rede for at S er en afta-gende funktion

Figur 3.1: Tre eksempler p̊a kurver (S(t), I(t))

Man kan betragte

r(t) =

(

S(t)I(t)

)

som en vektorfunktion. P̊a figur 3.1 er tangenterne til løsningskurverneantydet. I et punkt (S(t), I(t)) er kurvens hastighedsvektor givet ved

(

S′(t)I ′(t)

)

=

(

−aS(t)I(t)aS(t)I(t)− bI(t)

)

. (3.2)

P̊a figuren er indtegnet enhedsvektorer ensrettet med hastighedsvektorerne.

Opgave 5 Hvorfor er det s̊adan, at n̊ar S(t) > ba, s̊a peger hastighedsvek-

torerne nedad, og n̊ar S(t) < ba, s̊a peger hastighedsvektorerne opdad.

Nu er det s̊adan at S er aftagende, det betyder at n̊ar S(t) > ba, s̊a er I(t)

voksende, og n̊ar S(t) < ba, s̊a er I(t) aftagende.

P̊a figur 3.1 udvikler epidemierne sig fra højre mod venstre. Der findespræcis én løsning gennem ethvert punkt (S0, I0) i første kvadrant. Det kanvises, at løsningerne er defineret til ethvert tidspunkt, t ∈ ]−∞,∞[ . N̊ar tg̊ar fra −∞ til ∞, bevæger punktet (S(t), I(t)) sig fra (N, 0) over (SK , Imax)mod et punkt (S(∞), 0) p̊a S-aksen.

13

Vi har indført den kritiske population, SK . Vi indfører ogs̊a en størrelseD, epidemiens størrelse, som er antallet af individer der ender med at haveværet smittende.

N Antallet af smittelige før epidemien

SK =ba

Den kritiske population. Den popula-tionsstørrelse, der afgør om man befindersig før eller efter epidemiens kulmination

D = N − S(∞) = R(∞)antallet af individer der ender med at haveværet smittende

Før epidemien er antallet af inficierende I(−∞) = 0. Men defineres R somantallet af ikke længere inficerende, må der ogs̊a gælde R(−∞) = 0. S̊agiver (1), at S(−∞) = N .

I begyndelsen af epidemien vokser I og Rmed god tilnærmelse eksponentielt.Der gælder

Sætning 2 Ladk1 = a · (N − SK) . (3.3)

Der findes konstanter, E, F og G, s̊a begyndelsen af epidemien med godtilnærmelse er givet ved

I(t) = E · ek1t (3.4)

S(t) = N − Fek1t (3.5)

R(t) = Gek1t . (3.6)

Sætningen vil ikke blive bevist. Det skyldes blandt andet at begreberne ”godtilnærmelse” og ”begyndelsen” er vanskelige at definere præcist. Men deter muligt selv at regne sig frem til formlerne. Derved f̊ar man konstanterneF og G udtryk ved C.

Opgave 6 Tag først fat p̊a (2.3). I starten er ikke mange ramt af epidemiens̊a vi har med god tilnærmelse S(t) = N . Derfor lyder ligningen for I

I ′(t) = −aNI(t) .

Opskriv løsningen for den ligning.Sæt s̊a løsningen I(t) ind i (2.2). Opskriv løsningen til denne differen-

tialligning. I denne løsning optræder udtrykket

e−

C

k1ek1t

.

14

Vi arbejder til et tidspunkt, hvor ek1t ≈ 0 er meget lille. Man kan derfor er-statte den ydre eksponentialfunktion, ex med det approximerende førstegrads-polynomium i x = 0. Det giver udtrykket for S(t).

Endelig fremkommer udtrykket for R(t) ved at anvende sætning 1.

Opgave 7 I afsnit 1.2 er der tegnet tre sæt af løsninger, hvor a = N = 1og b = µ. Kontroller værdierne for k1.

Der gælder en tilsvarende sætning for afslutningen af epidemien.

Sætning 3 Ladk2 = a · (SK − S(∞)) . (3.7)

Der findes konstanter, E, F og G, s̊a afslutningen af epidemien med godtilnærmelse er givet ved

I(t) = Ee−k2t (3.8)

S(t) = N −D + Fe−k2t (3.9)

R(t) = D −Gek2t . (3.10)

Det vil vise sig, at konstanterne, E, F og G, i sætningerne ikke er nyttige,men at værdierne af k1 og k2 er.

3.2 Sammenhængen mellem S og I

Af figur 3.1 fremg̊ar det, at man kan betragte I som en funktion I = f(S).Punkterne p̊a en løsningskurve, (S(t), I(t)), danner grafen for en funktionI = f(S). Hver løsningskurve har sin egen funktion f(S). Det er muligt atfinde en formel for denne funktion. Der gælder

I(t) = f(S(t)) .

P̊a højre side af lighedstegnet er der en sammensat funktion. Differentiationgiver

I ′(t) = f ′(S(t)) · S′(t) .

Anvendes differentialligningerne (2.2) og (2.3) f̊as

aS(t)I(t) − bI(t) = f ′(S(t)) · (−aS(t)I(t)) .

Man kan isolere f ′(S). Det giver

f ′(S) =b

a·1

S− 1 . (3.11)

15

Integration giver

f(S) =b

aln(S)− S +K .

Integrationskonstanten K kan findes ud fra startværdien. Indsættes start-punktet (N, 0) f̊as

0 =b

aln(N)−N +K .

Isoler K og indsæt i ligningen for f(S). Det giver den vigtige formel

I =b

aln(

S

N)− S +N . (3.12)

Ved at kombinere denne formel med Sætning 1 f̊as

R = −SK lnS

N. (3.13)

Ved at indsætte epidemiens endepunkt f̊as

D = −SK lnN −D

N. (3.14)

P̊a baggrund af disse formler kan man opstille en tabel. Det tidspunkt,hvor I er størst, er kaldes Imax.

funktion t = −∞ t = tmax t = ∞

S(t) N SK N-D

I(t) 0 N − SK + SK lnSKN

0

R(t) 0 SK lnSKN

D

Opgave 8 I de tre sæt af løsninger, hvor a = N = 1 i afsnit afsnit 1.2, skalDe kontrollere værdierne af k2.

3.3 Hele familien af løsninger

Det er meget nyttigt at have en idé om, hvordan den samlede familie afløsninger til ligningerne ser ud. Som eksempel beskrives først familien aflogistiske vækster. De er løsninger til differentialligningen

y′(t) = k · (M − y(t)) · y(t) , (3.15)

hvor k > 0 og M > 0 er positive konstanter, og værdierne y(t) ligger iintervallet y(t) ∈ ]0,M [ . Målet er, at man ud fra en serie af målte værdier(x, y) kan bestemme konstanterne og give forskriften for den logistiske vækst,der passer bedst med data.

16

Sætning 4 Hvis y(t) er en løsning til (3.15), s̊a er funktionen forskudt1 t0i tiden, y(t− t0), ogs̊a en løsning.

Bevis: Antag at y(t) er en løsning til (3.15). Erstat t med tallet t− t0. Detgiver

y′(t− t0) = k · (M − y(t− t0)) · y(t− t0) .

Lad f(t) være funktionenf(t) = y(t− t0). Af sætningen om differentiationaf sammensat funktion f̊as f ′(t) = y′(t− t0). S̊a kan man regne

f ′(t) = y′(t− t0) = k · (M − y(t− t0) · y(t− t0) = k · (M − f(t) · f(t) .

Ergo er f(t) ogs̊a en løsning til (3.15). �

Opgave 9 Bevis en sætning analog til sætning 4 om funktionerne i SIR-modellen.

Sætning 5 Den logistiske vækst har en moderfunktion,

f(x) =1

1− e−x. (3.16)

Indfør nye akser, s̊a y = Mf og x = kt. S̊a bliver funktionen

y(t) =M

1− e−kt.

Den er en løsning til (3.15). Enhver løsning til (3.15) fremkommer vedforskydning af løsningen ovenfor.

Man kan formulere resultatet s̊aledes: Bortset fra forskydning p̊a t-aksen ogændring af målestoksforhold p̊a begge akse findes kun én logistisk vækst,nemlig moderfunktionen (3.16).

Helt s̊a enkelt er det ikke i SIR-modellen. Der er nemlig en hel familie afmoderfunktioner bestemt af værdien af

µ =SK

N=

b

aN. (3.17)

Tre af disse moderfunktioner er plottet i afsnittet 1.2.

Definition: For hvert tal µ ∈ ]0, 1[ defineres moderfunktionerne sµ, iµ ogrµ som de løsninger til ligningerne

s′µ(t) = −sµiµ

i′µ(t) = sµiµ − µiµ(t) (3.18)

r′µ(t) = µiµ

1Se din lærebog i matematik om forskydning af grafer.

17

der opfylder

sµ(0) = µ

iµ(0) = 1− µ+ µ ln(µ) (3.19)

rµ(0) = −µ ln(µ)

Sætning 6 Enhver løsning til (2.2), (2.3) og (2.4) med parametrene a og bog oprindeligt smittelig population N kan skrives

S(t) = Nsµ(aN(t− t0)) (3.20)

I(t) = Niµ(aN(t− t0)) (3.21)

R(t) = Nrµ(aN(t− t0)) (3.22)

hvor t0 er det tidspunkt, hvor I(t) har maksimum.

3.4 Nyttig viden ved anvendelse af modellen

I dette afsnit bliver der forklaret fire formler, som kan anvendes til at finde etførste gæt p̊a værdien af koefficienterne i SIR-modellen. I kapitel 4 forklaresmed to eksempler, hvordan de kan anvendes, og hvordan man kommer viderederfra til værdier, der passer bedre.

Den første formel viser, at hvis man kender epidemiens størrelse, D og deto tidskonstanter k1 og k2, s̊a har man et godt gæt p̊a værdien af a.

Sætning 7 Der gælderk1 + k2 = aD . (3.23)

Det betyder, at hvis man har optegnelser af en historisk epidemi, hvor manb̊ade kan ansl̊a k1 og k2 og ved, hvor mange der blev ramt, s̊a kan manberegne et bud p̊a a. Et eksempel p̊a anvendelsen gives i afsnit 4.1.

Opgave 10 Udled (3.23) ud fra (3.3) og (3.7).

Det viser sig en gang i mellem, at kun én af tidskonstanterne kendes, ogmåske er antallet af smittelige svært at ansl̊a. S̊a er det vigtigt at kunne an-vende (3.14). Det kan være svært at anvende en ligning med tre ubekendte.Den kan imidlertid omskrives til (3.25), som er meget nyttig. Første trin erat dividere (3.14) igennem med N .

D

N= −

SK

Nln

(

1−D

N

)

.

18

Størrelsen DN

optræder to gange i denne ligning. Derfor indføres et symbolfor størrelsen,

κ =D

N. (3.24)

µ = SKN

0 < µ < 1 parameter for stabilitet

κ = DN

0 < κ < 1 parameter for størrelse

Sætning 8 Forbindelsen mellem µ og κ er givet ved ligningen

µ = −κ

ln(1− κ). (3.25)

Opgave 11 Udled (3.25).

Som det fremg̊ar af figur 4.7 kan man b̊ade finde µ ud fra κ, og finde κ,hvis man kender µ. Kender man ingen af dem, har man måske en andenforbindelse mellem κ og µ. Det kan man i nogle tilfælde udlede ud fraværdien af enten k1 eller k2. Et eksempel bliver vist i afsnit 4.3.

Sætning 9 Formlerne for k1 og k2 kan omskrives

k1 = aN · (1− µ) = b1− µ

µ(3.26)

og

k2 = aN · (κ+ µ− 1) = bκ+ µ− 1

µ. (3.27)

Opgave 12 Udled formlerne (3.26) og (3.27).

Opgave 13 Plot koefficienterne til b i (3.26) og (3.27) som funktion af κ.Hvad kan man sige om forholdet mellem k2 og b?

Opgave 14 Hvilke er de fire vigtige formler omtalt i indledningen af af-snittet?

Opgave 15 Formel (3.25) giver værdien af µ ud fra værdien af κ. Hvilkenegenskab skal s̊adan en sammenhæng have, for at man kan finde κ ud fraµ? Bevis at sammenhængen har den egenskab.

Med disse formler p̊a plads er De klar til at springe ud i anvendelser afSIR-modellen.

19

Kapitel 4

Anvendelser

Trinene i en anvendelse følger et ret fast mønster

• Først skal man finde troværdige data om epidemien. Det kræver enlang tidsserie.

• Nogle gange har man været heldig at f̊a en tabel over en af funktionerneS(t), I(t) eller R(t). Har man ikke det, kan man prøve om man kanregne sig til s̊adan en tabel ud fra de data, man har. Et eksempel,hvor ikke engang dét er oplagt, omtales i afsnit 4.2.

• Ud fra ens viden om infektionen og de givne data beregnes et førstegæt p̊a værdien af parametrene.

• Differentialligningerne løses, og parametrene justeres, s̊a man opn̊arnogenlunde overensstemmelse med de givne data.

• Parametrene finpudses ved anvendelse af software til kurvefitning.

Dette var den matematiske analyse. Udover dette kommer den biologiskeanalyse, som omfatter punkterne

• Hvordan smitter sygdommen?

• Hvad er latens- og inkubationstiden?

• Hvordan udvikler sygdommen sig?

• Kan forudsætningerne for SIR-modellen forventes at være opfyldte?

• Hvad kan man sige om parametrenes størrelse ud fra biologiske overve-jelser?

• Hvor godt passer fittet med data? Hvilke tanker giver det anledingtil?

20

• Hvad betyder parametrenes værdier biologisk og sociologisk?

• Giver analysen ideer til, hvad man kan gøre for at begrænse antalletog omfanget af epidemier?

• Hvad ville vi gerne vide for at kunne udføre en bedre analyse?

4.1 Pesten i København 1711

Pesten i København 1711 kom fra Helsingør, hvortil den var blevet bragt medskib. Dødstallene var Helsingør kan findes i Rigsarkivet under Pestkommi-sionen 1711. I [11] findes en reference til en bog p̊a den gamle afdelingaf Det kongelige Bibliotek som indeholder en tabel over de vitale data forKøbenhavn 1711. Den er gengivet p̊a figur 4.1.

I senmiddelalderen indførte man optegnelse over antal giftermål, fødte ogdøde for at f̊a en advarsel, n̊ar en pestepidemi var under opsejling. Tabellenangiver antallet af døde hver uge. Det omfatter pestdøde og døde af andregrunde end pest. Den første opgave er at isolere antallet af pestdøde. An-tallet af døde af andre årsager end pest er cirka 60 om ugen inden pesten.Det er svært at sige, hvor tallet ender, for epidemien synes ikke helt afsluttetp̊a årsdagen 1712. I for̊arsmånederne og starten af juni dør i gennemsnit 54personer per uge. Det antages i det følgende at fra uge 25, den 27. junifalder antallet af døde af andre årsager med 1 om ugen1. Denne antagelsefører til

uge 1 2 3 4 ... 26 27

døde 11 41 73 176 ... 17 12i alt 11 52 125 301 ... 19955 19967

Ud fra disse tal kan vi gætte p̊a værdierne af k1 og k2. De første 6 og 7 dataanvendes til bestemmelse af k1 ved eksponentiel regression. De sidste 10 og12 til bestemmelse af k2 ved fit til begrænset vækst.

P̊a figur 4.2 ses resultaterne. Der regnes videre p̊a

k1 = 0.70 w−1, k2 = 0.47 w

−1 og D = 19960 .

Det sidste tal fremg̊ar af fittene til begrænset vækst2. Anvendelse af (3.23)giver straks a = 5.910−5 w−1. Enheden ”per uge” kommer sig af, at tidsen-heden i tabellen er 1 uge.

1I en videnskabelig analyse skal man undersøge alternativer, s̊a man kun drager kon-klusioner, der ikke afhænger af denne arbitrære vedtagelse.

2 Copenhagen-1711-kk2.mw.

21


Figur 4.1: Vitale data fra København 1711

22

Figur 4.2: Bestemmelse af k1 og k2

Et første gæt p̊a værdien af b kan f̊as ud fra D, hvis det antages atbefolkningens størrelse var N = 50000. Det tal har historikere ansl̊aet.Først udregnes κ = D

N= 0.40. S̊a giver (3.25) µ = 0.78. Heraf følger

b = 2.3 w−1.

Figur 4.3: Pesten i København 1711, Fit med mindste kvadraters metode

Næste trin er at lave en kommando, s̊a man kan lege med parametrene ogtidsforskydningen af epidemien, s̊a den passer nogenlunde med data. Dervedf̊ar man s̊a gode værdier, at maple kan fitte dem til data. I dokumentetCopenhagen-1711-Fit.mw er vist hvordan. Det fremg̊ar samtidig, hvordanman tegner lækre plots i Maple.

23


Det endelige resultat ses i figur 4.3. Dødstallene passer udmærket medSIR-modellen. Resultatet tyder p̊a, at den smittelige population udgjordeomkring 40.000 personer.

4.2 En influenzaepidemi p̊a en kostskole

I [11] analyserer J.D. Murray data fra en influenzaepidemi. Der boede 763drenge p̊a kostskolen, og de vendte hjem fra juleferie den 10. januar 1978. Endreng der vendte tilbage fra Hong Kong, l̊a syg med feber fra den 15. til den18. januar. Det formodes at han bragte sygdommen til kostskolen. I løbetaf epidemien blev 512 af drengene syge. Den følgende tabel er aflæst fra engraf i [12]. For hver dato i øverste række er anført antallet af sengeliggendedrenge i nederste række.

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4

3 6 26 74 222 293 258 236 191 125 68 26 12 3

Hvad er det egentlig at vores tabel viser? Det er hverken en tabel over S,I eller R. Influenza er en virus der smitter ved dr̊aber og inficerede overfladervia hænderne. Nogle dage efter at være blevet smittet kan vi forvente atsygdommen har udviklet s̊a meget at dr̊aber i ud̊andingsluften indeholdervirus nok til at kunne smitte. N̊ar drengen s̊a f̊ar symptomer, melder hansig syg og bliver sengelagt. Lad os antage, at han derefter ophører med atsmitte flere.

Ud fra tabellen er det muligt at gætte en værdi af I(t). Drengene ergennemsnitligt sygeliggende 3.0 døgn. Den 25. januar er der 74 patienter.Der var 26 dagen før, men af dem kan vi forvente at de 3 fra den 22. erudskrevet. Derfor ligger der stadig 26 − 3 = 23 fra dagen før. Alts̊a erder 74− 23 = 51 inficerende dagen før. I [11] opfattes tabellen som direktevisende antallet af inficierende I(t). Det viser, hvor let det er at beg̊a entanketorsk.

Det er formentligt bedre at opfatte antallet af indlagte patienter som etmål for R(t). Forfatteren har den mening, at den tabelen viser værdierne afR(t)−R(t− 3). Det er mere oplagt at f̊a tabellen ud fra funktionerne S, Iog R and omvendt.

Opgave 16 Vis at R(t) − R(t − 3) starter og slutter med at henholdsvisvokse og aftage eksponentielt. Find en formel tidskonstanterne.

Hint: Anvend sætning 2 og 3.

24

Figur 4.4: Influenza p̊a engelsk kostskole, antal indlagte

Med dette udgangspunkt fik forfatteren værdierne3 N = 762, og a =0.0029 d−1 og b = 1.8 d−1. N̊ar man vurderer, hvor godt tallene passer, skalman i øvrigt være opmærksom p̊a, at den 28. og 29. var weekend i januar1978. I særdeleshed var den 27. en fredag.

Værdien for b betyder at smitteperioden for hver patient var cirka etdøgn, og at den kritiske populationsstørrelse var SK = 460. Et døgn er enoverraskende kort smitteperiode. En mulig forklaring er at patienterne førstbegyndte at smitte cirka et døgn, før de fik det s̊a d̊arligt at de meldte sigsyge, og at lægen holdt de syge s̊a vel isolerede at de ikke inficerede andreefter indlæggelsen.

Det giver ogs̊a anledning til spørgsmålet, om ikke det er muligt at in-drette kostskoler, s̊a værdien af a halveres, hvorved lignende epidemier for-mentlig kan undg̊as. Mindre sovesale, mere h̊andvask, bedre ventilation...

4.3 SARS i Hong Kong 2003

SARS - Severe Acute Respiratory Syndrome - skyldes infektion af ånde-drætsorganerne med en særlig coronavirus. Coronavira optræder hyppigt idyr; kun 6 dem er kendt for at kunne inficere mennekser ogs̊a. SARS smittermellem mennesker ved inficerede dr̊aber, typisk ved ind̊anding, men ogs̊aved berøring af inficerede overflader og senere selvinfektion. (For eksempelh̊andtryk eller berøring af et sengegærde eller gelænder, senere glider h̊andenover munden, og endnu senere slikkes læberne. Alt sammen normal adfærd.)

Efter infektionen f̊ar den ramte feber og udvikler en tør hoste. Manmener patienten begynder at smitte p̊a dette tidspunkt. Patienten fortsættermed at smitte, s̊a længe han er syg.

I 2003 blev Hong Kong ramt af SARS. Der er tale om et mindre omr̊ade,hvor mange mennesker kommer tæt p̊a hinanden. Man kan nemt forestillesig, at alle forudsætningerne for SIR-modellen er opfyldt.

3Dette er nok et eksempel, hvor Fit med mindste kvadraters metode vil fungere d̊arligt.Den vil prøve at f̊a antal indlagte fredag - søndag til at passe p̊a bekostning af begyndelsenog afslutningen af epidemien.

25

Udviklingen af SARS i Hong Kong4 viser imidlertid, at enkelte syge -uden ønske selvfølgelig - spredte infektionen til mange, og at en stor delaf spredningen foregik p̊a hospitalerne [10]. Det sidste skyldtes manglendeanvendelse af åndedrætsværn og muligvis handsker. Epidemien blev ikkespredt ud over hele Hong Kong, men begrænset til f̊a kernesteder.

P̊a det tidspunkt, hvorfra vi har data, har sygdommen spredt sig no-get, men spredningen er formentlig centreret omkring hospitalspersonaletog deres umiddelbare omgivelseer. Det betyder, at en meget lille del afHong Kongs 6.74 millioner indbyggere er udsat for møde med smittende.P̊a den anden side er det sandsynligt, at forudsætningerne for SIR-modellener opfyldt i denne - uskarpt definerede, det må indrømmes - gruppe.

P̊a et tidspunkt indførte hospitalerne bedre beskyttelse af deres person-ale. Dette menes at have været vigtigt for at stoppe udbrudet af SARS.S̊adan et indgreb ændrer værdien af parametren a; det er faktisk meningenmed indgrebet. Hvis det er sket, s̊a vil modellen næppe passe med data.

Figur 4.5: SARS i Hong Kong 2003, Kumuleret antal indlagte

Fra WHOs hjemmeside kan man samle de data, der er afbildet i figur 4.5.Til og med den 17. marts var der indlagt 95 personer. Kina hemmeligholdtepidemien i begyndelsen, s̊a de første data mangler.

Først skal man overveje hvilken af funktionerne, der har bedst forbindelsetil de givne data.

4Se Wikipedia

26

https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_the_SARS_outbreak

Opgave 17 WHOs hjemmeside angiver antal indlagte dag for dag. Gørrede for, at disse tal ikke er lig med I(t), selv med en tidsforskydning.

Kald det kumulerede antal nyindlagte for KI(t). Forfatteren mener,at bort set fra en vis tidsforskydning, s̊a er N − KI(t) udtryk for S(t).Dette forudsætter at alle inficerende indlægges, og at de indlægges efternogenlunde lige lang tid.

Alternativet er at lade KI(t) være udtryk for R(t), igen med en visforskydning. Denne identifikation virker dog langt mere usikker, dels er endel sygdomsforløb fatale, og dels er der større forskel p̊a smitteperiodensvarighed efter indlæggelsen end tiden fra patienten er smittende til hanindlægges.

Det næste trin er bestemmelse af tidskonstanterne, k1 og k2. Vi kan næppef̊a en værdi for k1 ud fra disse tal, men k2 kan bestemmes, fordi vi kenderafslutningen af epidemien.

Der vises først et uheldigt forsøg p̊a bestemmels af k2. Det ser ud somom epidemien er ved at være færdig omkring dag 70, men s̊a kommer derlige et nyt udbrud, som det dog lykkes sundhedsmyndighederne at begrænse.Derfor anvendes

dag 49 50 51 52 53 54 ... 58 59 60 61 62 63

indlagt 16 7 0 9 6 9 ... 0 4 4 1 2 2i alt 16 23 23 32 38 47 ... 59 63 67 68 71 73

Det kan forsvares at udføre eksponentiel regression p̊a antallet af indlagte;s̊a skal man blot huske, at der visse dage er 0 indlagte. Eksponentiel fit medmindste kvadraters metode giver resultatet vist p̊a figur 4.6. Værdien af k2har med krumningen af kurven at gøre. Det burde være tydeligt, at dener meget d̊arligt bestemt af data5. For eksempel afhænger værdien af k2sikkert meget af antallet af indlagte - 16 - den første dag. (Satte man talletned til 11 og lagde de 5 patienter til dag 51, ville man f̊a en noget mindreværdi af k2.)

P̊a figur 4.5 er vist resultatet af eksponentiel fit p̊a dataene 1755−KI(t).Dette er ogs̊a en utilfredsstillende værdi for k2, fordi den begrænsede vækster kraftigere end S, I og R selv. Bestemmelsen af k2 skal imidlertid tagesmed let h̊and, s̊a der startes blot med k2 = 0.085.

Den nemmeste måde at komme videre p̊a er at ansl̊a værdien af b ud fraens viden om sygdommens udvikling. Sættes smittetiden til et sted mellem1 og 3 uger, skal værdien af b ligge omkring

b = 0.15I øvrigt bør man fitte med Maximum Likelyhood med Poissonfordelingen med ekspo-

nentielt aftagende intensitet, hvis man vil have noget ud af disse data.

27

Figur 4.6: SARS i Hong Kong 2003. Ikke data nok.

i følge (2.7).

Opgave 18 Nu har vi bud p̊a D = 1755, k2 = 0.085 og b = 0.1. Prøv selvat n̊a frem til bud p̊a N og a ved at anvende formlerne i kapitel 3, før Delæser videre. Hvad sker der, hvis man bruger k2 = 0.14?

Nøglen til at komme videre er at anvende (3.25). Hvis De havde arbejdetmed opgave 13, ville De måske være n̊aet frem til at k2 < b. Derfor kan manikke komme nogen vegne med b = 0.10 og k2 = 0.14.

Figur 4.7: Sammenhængen mellem µ og κ

Men det er muligt at bestemme alle værdier ud fra de givne tal. Indsættelse

28

i (3.25) giverκ+ µ− 1

µ= 0.85 .

Isoler µ i denne ligning. Nu har vi to ligninger der forbinder κ og µ. Beggegiver µ som funktion af κ. Et plot, se figur 4.7, giver κ = 0.96 og µ = 0.31.

Næste trin er at bestemme, hvilke parametre der skal styres p̊a underoptimeringen, og hvilke der beregnes ud fra de givne. Man kan vælge atholde D = 1755 eller at variere den. Forfatteren vælger normalt at holdeden fast, n̊ar han selv tilpasser parametrene, men lade den være fri underden endelige optimering. Dernæst skal der vælges to af parametrene a, b ogκ eller µ. Forfatteren fravælger her a, fordi det ofter er et meget lille tal6

Der skal vælges mellem κ og µ. Der gælder, at en lille ændring κ giveren stor ændring i værdien af µ, fordi κ ligger tæt p̊a 1. Derfor fravælges κ.

Optimeringen foretages derfor ved at styre variablene D, µ og b. Resul-tatet fremg̊ar af figur 4.8. Modellen passer ganske godt til tallene.

Figur 4.8: SARS Hong Kong, Kumuleret antal indlagte

Der kan stilles mange spørgsmål til resultatet af denne analyse. Et par afdem fremg̊ar af opgaverne nedenfor.

Opgave 19 M̊aske er der for mange datapunkter fra afslutningen af epi-demien. Dataserien starter med 100 indlagte. Hvordan p̊avirkes resultatetaf, at man slutter, hvor det samlede antal indlagte bliver 1560?

Opgave 20 Hvordan ville man kunne se det p̊a grafen, hvis det p̊a et tid-spunkt lykkedes sundhedspersonalet at mindske værdien af parametren a?Optræder s̊adanne kendetegn p̊a grafen?

6Numeriske procedurer g̊ar explicit ud fra at et variation p̊a en enhed p̊a alle størrelsergiver mening. Det er langt fra opfyldt for parametren a.

29

Opgave 21 Beregn værdien af pm i (2.6). Hvor stor en del af den samledesmittelige population kan en inficerende forventes at have træf med? Estimerværdien af p og fortolk resultatet.

Opgave 22 Hvordan kan den samlede smittelige population være s̊a lille?Et meget større antal smittelige individer har været i forbindelse med de1755, der bliv indlagt.

I forbindelse med de sidste to opgaver, er det nok en god idé at plotte I(t).

30

Bibliography

[1] N T J Bailey. The estimation of parameters from epidemic models...Acad. Press, 1973.

[2] J Bockemühl. 100 jahre nach der entdeckung der pesterreger. ImmunInfekt, 22, 1994.

[3] Gilbert Buti. La peste à la Valette. Edition Autre Temps, Marseille,1996.

[4] T Fenchel. Ecology, Potentials and Limitations. Ecologicy Institute,Oldendorf/Luhe, Germany, 1987.

[5] H W Hethcote. Quantitatove analyses of communicable disease models.Math. Biosciences, 28:p. 335–356, 1976.

[6] HW Hethcote. An immunization model for a heterogeneous population.Theoretical Pop. Bio., 214:p. 338–349, 1978.

[7] H W Hethcote and J W van Ark. Epidemiological models for hetero-geneous populations... Math. Biosciences, 84:p. 85–118, 1987.

[8] Daley D J and Gani J. Epidemic Modelling. Cambridge Univ. Press,1999.

[9] W O Kermach and A G McKendrick. Mathematical theory of edpcim-ics. Proc R.S. London, A 115, 1927.

[10] J T F Lau, Yang Xiin, and et al. Sars in three categories of hospitalworkers, hong kong. emerg. infec. dis., 10(8):1399–1404, 2004.

[11] J D Murray. Mathematical Biology. Springer, 1989.

[12] NN. British medical journal. Math. Biosciences, 1:p. 587, 1978.

[13] R Polliszer. Plague. World Health Organisation, 1954.

[14] G F Ragget. On the iterative solution of the limiting susceptible pop-ulation... Applied Math. Modelling, 4 6, December 1980.

31

Indeks

a

Definition, 7ud fra k1, k2 og D, 18

Uddybning, 9

b

Definition, 7

sammenhæng med T , 11Smittetid, 10

D

definition, 14ud fra SK og N , 16

Herpes, 7

I, 4sammenhæng med S, 16

Indlagtefortolkning, 25

Influenza, 6, 24, 25Inkubationstid, 9

k1, 14k2, 15κ

definition, 19sammenhæng med µ, 19

Latenstid, 9Logistisk vækst, 4

m

definition, 9Møde

potentielt smittende, 7µ

definition, 17sammenhæng med κ, 19

N

definition, 14som sum, 12

p

definition, 9

R, 4

S, 4sammenhæng med I, 16

SKdefinition, 14ud fra D og N , 16

Smitteperiode, 10Smittetid, 10

T , 10sammenhæng med b, 11

Tidskonstant, 4Træf, 9træf

definition, 7

32

IndledningYersina PestisLogistisk vækst og SIR modellen

Opstilling af modellenUdledning af differentialligningerneModellens forudsætningerUddybning af konstanten aUddybning af konstanten b

Analyse af modellenUdviklingen i store trækSammenhængen mellem S og IHele familien af løsningerNyttig viden ved anvendelse af modellen

AnvendelserPesten i København 1711En influenzaepidemi på en kostskoleSARS i Hong Kong 2003

Data LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JlEocmVzdGFydEYnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnRi8vJStleGVjdXRhYmxlR1EmZmFsc2VGJy9GNlEnbm9ybWFsRic=

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

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYoLUkjbWlHRiQ2JlEld2l0aEYnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkobWZlbmNlZEdGJDYlLUYjNiYtRiw2JlEmcGxvdHNGJ0YvRjJGNUYvLyUrZXhlY3V0YWJsZUdRJmZhbHNlRicvRjZRJ25vcm1hbEYnRi9GQy1JI21vR0YkNi5RIjpGJ0YvRkMvJSZmZW5jZUdGQi8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZZRi9GQEZD

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic= LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

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 JSFH

Forfatteren finder det nemmere at tilpasse disse tre parametre.

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 =

LV9JLFR5cGVzZXR0aW5nRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiSSxtcHJpbnRzbGFzaEdGKDYkNyM+SSZwYXJhbUdGKDclSSJOR0YoSSJiR0YoSSNtdUdGKDcjRi4=

Den f\303\270lgende kommando f\303\245r Maple til at programmere udregningen af LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JlEiU0YnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnRi8vJStleGVjdXRhYmxlR1EmZmFsc2VGJy9GNlEnbm9ybWFsRic= , LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JlEiSUYnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnRi8vJStleGVjdXRhYmxlR1EmZmFsc2VGJy9GNlEnbm9ybWFsRic= og LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JlEiUkYnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnRi8vJStleGVjdXRhYmxlR1EmZmFsc2VGJy9GNlEnbm9ybWFsRic= , ud fra givne parametre.

Funktionerne v\303\246lges s\303\245dan, at t = 0 svarer til tidspunktet, hvor LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JlEiSUYnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnRi8vJStleGVjdXRhYmxlR1EmZmFsc2VGJy9GNlEnbm9ybWFsRic= har maksimum og grafen for LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JlEiUkYnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnRi8vJStleGVjdXRhYmxlR1EmZmFsc2VGJy9GNlEnbm9ybWFsRic= vendetangent.

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 =

-_I,TypesettingG6$%*protectedGI(_syslibG6"I,mprintslashGF(6$7#>I$solGF(7&/I"tGF(f*6#F06)I%_resGF(I%_datGF(I*_solnprocGF(I&_xoutGF(I'_ndsolGF(I&_parsGF(I#_iGF(6#IinCopyright~(c)~2000~by~Waterloo~Maple~Inc.~All~rights~reserved.GF(F(C+@$2"""9#YQBinvalid~input:~too~many~argumentsF(>I8_EnvDSNumericSaveDigitsGF(I'DigitsGF(>FF"#:@%/I-_EnvInFsolveGF(I%trueGF&>8'-&I&evalfGF&6#FE6#9$>FN-FQFS>8%X*I)anythingGF&F(F([gl!!%!!!"%"%f*6#I%_xinGF(65F7I&_dtblGF(F5I&_vmapGF(I$_x0GF(I$_y0GF(I%_valGF(I%_digGF(I#_nGF(I$_neGF(I$_ndGF(I$_nvGF(F9I%_iniGF(I%_parGF(F:I#_jGF(I#_kGF(I%_srcGF(6#IinCopyright~(c)~2002~by~Waterloo~Maple~Inc.~All~rights~reserved.GF(E\s"Q(complexF(I&falseGF&C9>8$FT>807%/I"NGF(Fdp/I"bGF(Ffp/I#muGF(Fhp>FX=F(6#;F@""%E\[l"F@=F(6#;F@"#CE\[l9F@6%/I)datatypeGF(&I&floatGF&6#"")/I&orderGF&I(C_orderGF(/I(storageGF(I,rectangularGF(""#Fdq""$7&""!FdrFdrX,FZF(F([gl'!%"!!#!"!"#F]qX*FZF(F([gl&!%!!!"en"en$$!!$!!!!!!!!!!!!![^`r!!"%!"0"!"$$!"!!!!!!!!!"!!!!!!S"!!!!!!!""&X*FZF(F([gl'!%"!!"="=00000000000000003EB0C6F7A0B5ED8D00000000000000003CF6849E7A354D2D0000000000000000000000000000000000000000000000003EB0C6F7A0B5ED8D00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003FF000000000000000000000000000003FDFFFFFFFFFFF4C00000000000000003FF00000000000003FF0000000000000000000000000000000000000000000003FF00000000000003FF0000000000000000000000000000000000000000000003CD203AF9EE75616000000000000000000000000000000000000000000000000""'X*FZF(F([gl!!%!!!"'"'*&FdpF@,($F@FdrF@Fhp$!""Fdr*&FhpF@-I#lnGF%6#FhpF@F@F@,$*(FdpF@FhpF@FasF@F^s*&FhpF@FdpF@$F@I*undefinedGF&FgsFgs""(7)X,FZF(F([gl'!%"!!#="%"(00000000000000003FCA0000000000003FD38000000000003FE80000000000003FEA0000000000003FDA0000000000003FEA0000000000003FB054000000000000000000000000003FD1E000000000003FD16EA800000000BFB8CC60000000003F940A00000000003FE13898000000003FA05400000000000000000000000000BFD6000000000000BFD57480000000003FCD6400000000003FDAB800000000004026F620000000003FB8DBE30000000000000000000000003FD9D300000000003F94C8DC00000000BF78CC6000000000BFA86C30000000003FE8EA2C80000000X,FZF(F([gl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gl'!%"!!"'"'00000000000000003FD8B4395810624E3FCAE147AE147AE13FE428F5C28F5C293FF00000000000003FF0000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'3FD0000000000000BFBAB367A0F9096C3FBA7EF9DB22D0E5BFA288CE703AFB7F00000000000000000000000000000000X,FZF(F([gl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gl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gl'!%"!!#0"$"&00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000402440A1E286064EC01DF3B530FBA163C0416684804E49D1C01FF89925819B673FF066F6D037359CBFE5A416AA846D56401859D1DEA15BCC40306E4BBD9408F54038C468DD7616B2C01A60A78B0034D9""*71X*FZF(F([gl'!%"!!"$"$3FB999999999999A3FB999999999999A3FB999999999999AX*FZF(F([gl'!%"!!"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000X,FZF(F([gl'!%"!!#*"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X,FZF(F([gl'!%"!!#*"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X,FZF(F([gl'!%"!!#3"$"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl&!%!!!"$"$!!!X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Fjq7'X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"'"'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X*FZF(F([gl'!%"!!"$"$000000000000000000000000000000000000000000000000FdrFdr"#6X,FZF(F([gl'!%"!!#9"'!$000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"#57*f*6&FdpI"XG6#/I'_localGF&I2_n140616397184832GF(I"YG6#/F`vI2_n140616397184736GF(I#YPG6#/F`vI2_n140616397184768GF(F(6#IH[Y[1]~=~J(t),~Y[2]~=~R(t),~Y[3]~=~S(t)]GF(F(C&>&9'6#F@*,&9&6#FgrF@&Fcw6#FirF_s&Fcw6#F]qF_s,&*&FgwF@FewF@F_s&Fcw6#FbrF@F@&FcwF`wF@>&F_w6#Far*&FbwF@F]xF@>&F_wF\x,$*,FbwF@FewF_sFgwF_sF[xF@F]xF@F_sFdrF(F(F(F_sFdrFdrFdrFdrFdrFdr"#8F("#7F(FHQ&rkf45F("#97$FdrFdr"#=7""#>Fdr"#;7&FdrFdrFdrF\y"#<Fju"#AFdr"#BFdr"#?F\y"#@FdrFbqFdr>8)X*FZF(F([gl!!%!!!"(!'$FdrFdrF[sFdsFfsFhsFhsFhs>FN=F(6#;F@FbrE\[l$F@F@FarFarFbrFbr>8(&&&FXF`wFdwFdw>8,&&FbzFhwF`w>8-&FfzF\x>8.&FfzFhw>8/&Ffz6#F^y@$4-I%typeGF&6$F_p.I(numericGF&@Q-I'memberGF&6$F_p7%Q&startF(Q%leftF(Q&rightF(C$@$5/I:_Env_smart_dsolve_numericGF(FL/&Ffz6#FiuF@@&/F_pF^\l@$-Fd[l6$&FXF`x.I&tableGF&O&&F]]lFdwF`w/F_pF_\l@$-Fd[l6$&FXF\xF^]lO&&Fg]lFdwF`wOF`z/F_pQ'methodF(O&Fbz6#FH/F_pQ(storageF(O-I&evalbGF&6#Fe\l/F_pQ)leftdataF(@%4-Fd[l6$F]]l.I&arrayGF&OI%NULLGF&O-I%evalGF&6#F]]l/F_pQ*rightdataF(@%4-Fd[l6$Fg]lF]_lF__lO-Fc_l6#Fg]l/F_pQ+enginedataF(O-Fc_l6#Fbz/F_pQ,engineresetF(C%>F]]l-I&evalnGF&Fd_l>Fg]l-Fh`lF]`lF__l/F_pQ(initialF(O-9!6#&Ffy6#Fdr/F_pQ'laxtolF(O&&&FX6#-I#ifGF&6%-Fj[l6$&FXFhw<$FarFbrF_blF@Fdw6#F[y/F_pQ'numfunF(O-F[bl6%F]bl&&&FX6#F_blFhwFablFdr/F_pQ+parametersF(O7#-I$seqGF&6$&Ffy6#,&FdzF@83F@/Fecl;F@-I%nopsGF&6#Fap/F_pQ7initial_and_parametersF(O6$F^alF^cl/F_pQ%lastF(@%530F_blFar0F_blFbr/,&F_zF@&&FiblFdwF`wF_sFhyYQSno~information~is~available~on~last~computed~pointF(>F_pFhdl/F_pQ)functionF(@%/,&&Ffz6#"#LF@$!"#FdrF@FdrO-Fc_l6$&FbzFg\lF@O-Fc_l6$&FjelF`wF@/F_pQ$mapF(O-I%copyGF(6#FN33-Fd[l6$FTI"=GF&-Fd[l6$-I$rhsGF&FS.I%listGF&-Fj[l6$-I$lhsGF&FS<%F\alF\clF\dlC*>6$81826$F\yF\y@+/FbglF\al>FhglF\gl/FbglF\cl>FiglF\gl0-I'selectGF&6%Fd[lF\glFiflF\y>6$FiglFhgl-I-selectremoveGF&Fchl2-Ficl6#F\gl,&FhclF@F@F@YQhninsufficient~data~for~specification~of~initial~and~parametersF(C$>Figl&F\gl6#;,$FhclF_sF_s>Fhgl&F\gl6#;F@,&FhclF_sF_sF@>F_p-Fcgl6#F_p@$0FiglF\y-IBdsolve/numeric/process_parametersGF(6&FdzFapFiglFfy@$0FhglF\y-I?dsolve/numeric/process_initialGF(6',&FdzF@FhzF_sFhglFfyFapFN-I?dsolve/numeric/SC/reinitializeGF(6'FXFfyFdzF_alFap@$33Fc\l-Fd[l6$FaalFf[l0Ff\lF@C$>-F_al6#F_\lFaal>-F_al6#F^\lFaal@'F[alO7$Faal-F`cl6$&Ffy6#&FN6#Fecl/Fecl;F@FfjlF[clF]clO6$Fi[mF^cl/FTQ*eventstopF(C&@$/F^[lFdrYQ<this~solution~has~no~eventsF(>FeclF_bl@$30FeclFar0FeclFbrOFdr@'333/&&&FXF_\mFhwFg\lF@-I)assignedGF&6#&FX6#,&FgrF@FeclF_s2&Fg]m6#Fbt"$+"1Fb^m&&F\^mFhwFa^mC&>FeclF^^m>F_blFecl>84-I&roundGF%6#&Fg]m6#F`yO-F\_m6#&&&Fh]mF\xF`w6$Fj^mF@1Fb^mF`^mC$Fi^mF`_mF`]m/FTQ,eventstatusF(C%Fg\m>Fecl7#-Fghl6$f*6#I"aGF(F(6$I)operatorGF(I&arrowGF(F(/&&&&T#F`wF\xF`w6$FTFisF@F(F(6$FinFX<#-F`cl6$Fj^m/Fj^m;F@-F\_m6#&&&FbzF\xF`w6$,&F^[lF@F@F@F@O6$/._F(I(enabledGF(&FeclF`w/._F(I)disabledGF(&FeclF`x/FTQ+eventclearF(C(Fg\mF[]m@$F]]mYQ3no~events~to~clearF(@$3Fc]m2Fb^mFd^mC$>F_blF^^mFg^m@'F_^mFjbm2F^[l,&F`^mF@!$+"F@YQHevent~error~condition~cannot~be~clearedF(C)>Fj^mFccm@$/-I%iremGF&6$-F\_m6#&Fd_m6$Fj^mF]qFarF@YQGretriggerable~events~cannot~be~clearedF(>Fj^mFa_m?(85F@F@F^[lFL@$/&Fd_m6$FfdmF@Fj^mC$@$/&Fd_m6$FfdmFarFbrYQ?range~events~cannot~be~clearedF(>&Fd_m6$FfdmFjq&Fd_m6$FiamFjq>F^_mFdr>F`^mFdr@$Fe\l@%/FeclFarZ%-F_al6#Fe[mF(F(Z%-F_al6#Fb[mF(F(OF(3Fgfl-Fj[l6$Fbgl<$Q-eventdisableF(Q,eventenableF(C*Fg\m@'-Fd[l6$F\gl<$-F^gl6#.I'posintGF&-.I$setGF&F_gm>Fecl<#-I#opGF&Fjhl-Fd[l6$F\glF`gm>Fecl<#F\glY6$QVevent~identifiers~must~be~integers~in~the~range~1..%1F(Fcam@$0-Fbhl6$f*Fa`mF(Fc`mF(2F[amFTF(F(6$FboF^[lFecl<"F]hm>FfdmFghm?(Fj^mF@F@F^[lFL@$-Fj[l6$-F\_m6#&FfamFf_mFecl>Ffdm-I&unionGF&6$Ffdm<#Fj^m>FeclFfdm@%/FbglFgfmC'>F_blFdr>Fj^m7$-Fe^l6#3-Fj]mFd_l-Fj[l6$&&F]]lFhwF__mFecl-Fe^l6#3-Fj]mF]`l-Fj[l6$&&Fg]lFhwF__mFecl?&FfdmFeclFLC%>&Ffam6$FfdmFisFdr@$F_jm>&&&F]]lF\xF`wF`[nFdr@$Fgjm>&&&Fg]lF\xF`wF`[nFdr@$&Fj^mF`wC&?(FfdmF@F@FiamFL@)31FfdmF^[l4-Fd[l6$&&Fe[nFhwFjdm.FhsC$-I)userinfoGF&6(Fbr<$.I'eventsGF(.I+eventresetGF(I7reinit~#2,~event~code~GF(FfdmI2~to~defined~init~GF(Fe\n>&Fd[nFdemFe\n3/&Fd[nF_emFdr/-F\dm6$-I%iquoGF&6$-F\_m6#&Fd[n6$FfdmF]q"#KFarF@C$-Fj\n6(FbrF\]nFa]nFfdmI:~to~rate~hysteresis~init~GF(&Fb]l6#Fbq>Fd]nFg^n3Ff]n/-F\dm6$-F\^n6$F^^nFarFarFdrC$-Fj\n6(FbrF\]nFa]nFfdmI2~to~initial~init~GF(F_z>Fd]nF_zC$-Fj\n6(FbrF\]nFa]nFfdmI6~to~fireinitial~init~GF(,&F_zF@F_sF@>Fd]nFi_n>FbjmFdr>&FcjmFa^mFdr@$Fe\lF]fm@$&Fj^mF`xC&?(FfdmF@F@FiamFL@)3Fa\n4-Fd[l6$&&Fj[nFhwF_emFg\nC$-Fj\n6(FbrF\]nI7reinit~#3,~event~code~GF(FfdmFb]nFh`n>&Fi[nFdemFh`n3/&Fi[nF_emFdr/-F\dm6$-F\^n6$-F\_m6#&Fi[nFa^nFb^nFarF@C$-Fj\n6(FbrF\]nF]anFfdmFf^n&Fj]lFh^n>F_anF^bn3Faan/-F\dm6$-F\^n6$FhanFarFarFdrC$-Fj\n6(FbrF\]nF]anFfdmFc_nF_z>F_anF_zC$-Fj\n6(FbrF\]nF]anFfdmFh_n,&F_zF@F@F@>F_anF]cn>FjjmFdr>&F[[nFa^mFdr@$Fe\lF`fmC'?&FfdmFeclFL>F_[nF@Ff`lFi`lFiim@$Fe\lC$@$1F_zFb[mF_fm@$1Fe[mF_zF\fmFbfm3Fgfl/FbglQ+eventfiredF(C*@$4FjflYQI'eventfired'~must~be~specified~as~a~listF(Fg\m@$FcdlYQhn'direction'~must~be~set~prior~to~calling/setting~'eventfired'F(F[]m>8*F`_l@$4-Fj]m6#I9_EnvEventRetriggerWarnedGF(>F]enF\p?&FfdmF\glFLC*@'-Fd[l6$Ffdm.I(integerGF&>86Ffdm3-Fd[l6$Ffdm/Fden.FZ-Fd[l6$-FQ6#-F]gl6#FfdmFf[lC$>Ffdm/-FcglFbfn-&FQ6#-I$maxGF&6$FFF[yF`fn>FgenFffnY6$QD'eventfired'~entry~is~not~valid:~%1F(Ffdm@$52FgenF@2FcamFgenF]hm>Fgen<#-F`cl6$-F[bl6%/,&F_imF@FgenF_sFhyFj^mF`_l/Fj^m;F@F^[l@$0-Ficl6#FgenF@YQ`p'eventfired'~can~only~be~set/queried~for~root-finding~events~and~time/interval~eventsF(>Fgen&FgenF`w@&30&Ffam6$FgenFarFhy0,&FjhnF@FeelF@FhyFchn/-F\dm6$-F\_m6#&Ffam6$FgenF]qFarF@C$@$/F]enF\p-I(WARNINGGF(6#IT'eventfired'~has~no~effect~on~events~that~retriggerGF(>F]enFL@'3/&Fd_mF[inFdr/-F\dm6$-F\^n6$-F\_m6#&Fd_mFdinFb^nFarF@>Fhdn6$FhdnFhs55-Fd[l6$&&Fe_mFhw6$Fgen,&FeclF@F_sF@Fg\n3F[fm2&Fd[n6$FgenFjq&Ff\n6$FgenF@3/FeclFbr2&Fi`nF[in&Fi[nFf[o>Fhdn6$Fhdn&Fd_mFf[o>Fhdn6$FhdnF_[o@$-Fd[l6$FfdmFiflC&@$F^jnYQRcannot~set~event~code~for~a~rate~hysteresis~eventF(-Fj\n6(FbrF\]nI7manual~set~event~code~GF(FgenI+~to~value~GF(Fafn>F`\oFafn>F_[oFafnO7#Fhdn3Fgfl/FbglQ*directionF(C)@$4-Fj[l6$F\gl<&F_sF@._F(I%leftGF(._F(I&rightGF(YQip'direction'~must~be~specified~as~either~'1'~or~'right'~(positive)~or~'-1'~or~'left'~(negative)F(>Fgen-F[bl6%/F_blFarF_s-F[bl6%/F_blFbrF@Fhs>Fecl-F[bl6%-Fj[l6$F\gl<$F@F^^oFbrFarFh^m>Fh]m-I;dsolve/numeric/SC/IVPdcopyGF(6$Fbz-F[bl6%-Fj]m6#Fh]mFh]mF`_l@$2FdrF^[l?(Fj^mF@F@FiamFL@)31Fj^mF^[l4-Fd[l6$&F`[o6$Fj^mFb[oFg\nC$-Fj\n6(FbrF\]nI7reinit~#4,~event~code~GF(Fj^mFb]nFa`o>&Fd_m6$Fj^mFjqFa`o3/&Fd_m6$Fj^mFarFdr/-F\dm6$-F\^n6$F^dmFb^nFarF@C$-Fj\n6(FbrF\]nFf`oFj^mFf^n&&Fh]mFdwFh^n>Fh`oFfao3F[ao/-F\dm6$-F\^nF]dmFarFdrC$-Fj\n6(FbrF\]nFf`oFj^mFc_nF_z>Fh`oF_zC$-Fj\n6(FbrF\]nFf`oFj^mFh_n,(F_zF@FeclFfel$"#]F_sF@>Fh`oFeboOFgen/FTQ+eventcountF(@%5/FfamFdrFcdlF`]mO-F\_m6#&&&FiblF\xF`w6$FiamFgxOQ)procnameF(@$/F_pF_zO7$F_z-F`cl6$-FQ6#&&FbzFfwF]\mF`\m>Fecl-F[bl6%1F_zF_pFbrFar@$33/FTF`dl2FdrF`^mF_^mC%>8&-Fc_l6$Fh]mFar>Fj^m&&F]eoFhw6#FcyO7%&&F]eo6#Fgu6$Fj^mFdr-F`cl6$&Fgeo6$Fj^mF^\m/Fecl;F@,(FdzF@FhzF_sF[[lF_s-F`cl6$&&&F]eoFiqF`wF]\m/Fecl;,*FdzF@FhzF_sF[[lF_sF@F@Ffjl@$4-Fd[l6$Fh]mF]_lC$F`_o@$Fi_o?(Fj^mF@F@FiamFL@)F\`oC$-Fj\n6(FbrF\]nI7reinit~#5,~event~code~GF(Fj^mFb]nFa`oFg`oFj`oC$-Fj\n6(FbrF\]nFdgoFj^mFf^nFfaoFhaoFiaoC$-Fj\n6(FbrF\]nFdgoFj^mFc_nF_zFaboC$-Fj\n6(FbrF\]nFdgoFj^mFh_nFeboFhbo@$0FTF`dlC$@$2FdrFdr@$-I<dsolve/numeric/checkglobalsGF(6&-Fhgm6#&Fbz6#FixFapFdzFfy-Fhjl6(FXFfyFdzF_alFapFecl@$/&Ffz6#FisFdrYQinparameters~must~be~initialized~before~solution~can~be~computedF(F\eoFh^mZ%>Fgen-I9dsolve/numeric/SC/IVPrunGF(6$F]eoF_pF(C$-Fj\n6%FarI-dsolve/debugGF(-I&printGF&6$I7Exception~in~solnproc:GF(&7#I.lastexceptionGF(6#;FarF_sYF(@%3/FgenFdr2Fb^m&FbeoFa^m>Fhdn&&&F]eoF\xF`wFfem>Fhdn&Fgeo6$FaeoFdr@%50FgenFdr1FjjoFdr>&FazF`wF_p>Fg[pFhdn@&3Fj[o2FhdnF_pC$>I)RoundingGF(,$I)infinityGF&F_s@3/FjjoF@Y6$Qcocannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1,~probably~a~singularityF(-&FQFiq6#Fhdn/FjjoFarY6$Qcqcannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1,~maxfun~limit~exceeded~(see~?dsolve,maxfun~for~details)F(Ff\p/FjjoFbr@%/&Fbeo6#"#DFbrYQfqcannot~evaluate~the~solution~past~the~initial~point,~problem~may~be~initially~singular~or~improperly~set~upF(YQ_rcannot~evaluate~the~solution~past~the~initial~point,~problem~may~be~complex,~initially~singular~or~improperly~set~upF(/FjjoF]qY6$Qfqcannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1,~accuracy~goal~cannot~be~achieved~with~specified~'minstep'F(Ff\p/FjjoFgrY6$Q\rcannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1,~too~many~step~failures,~tolerances~may~be~too~loose~for~problemF(Ff\p/FjjoFirY6$Qatcannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1,~cannot~downgrade~delay~storage~for~problems~with~delay~derivative~order~>~1,~try~increasing~delayptsF(Ff\p/FjjoFiuY6$Q`ocannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1,~interrupt~requestedF(Ff\pFijo@)/,&FjjoF@FdcmF@FiamY6$QOconstraint~projection~failure~on~event~at~t=%1F(Ff\p/Fi^p,&F^[lF@FarF@Y6$Qenindex-1~and~derivative~evaluation~failure~on~event~at~t=%1F(Ff\p/Fi^p,&F^[lF@FbrF@Y6%QXmaximum~number~of~event~iterations~reached~(%1)~at~t=%2F(-F\_m6#&F][p6$FiamFbrFf\pC%@$0I7_Env_dsolve_nowarnstopGF(FL-I7dsolve/numeric/warningGF(6#-_I,StringToolsGF%I.FormatMessageGF(6%Qgocannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1,~event~#%2~triggered~a~haltF(Ff\p-F\_m6#&F][p6$Fi^pF@>F^\p.I(nearestGF(>F_pFhdnY6$QQcannot~evaluate~the~solution~further~right~of~%1F(Ff\p3F[fm2F_pFhdnC$>F^\pF`\p@3Fb\pY6$Qbocannot~evaluate~the~solution~further~left~of~%1,~probably~a~singularityF(Ff\pFi\pY6$Qbqcannot~evaluate~the~solution~further~left~of~%1,~maxfun~limit~exceeded~(see~?dsolve,maxfun~for~details)F(Ff\pF]]pF^]pFg]pY6$Qeqcannot~evaluate~the~solution~further~left~of~%1,~accuracy~goal~cannot~be~achieved~with~specified~'minstep'F(Ff\pF[^pY6$Q[rcannot~evaluate~the~solution~further~left~of~%1,~too~many~step~failures,~tolerances~may~be~too~loose~for~problemF(Ff\pF_^pY6$Q`tcannot~evaluate~the~solution~further~left~of~%1,~cannot~downgrade~delay~storage~for~problems~with~delay~derivative~order~>~1,~try~increasing~delayptsF(Ff\pFc^pFd^pFijo@)Fh^pFj^pF]_pF__pFb_pFd_pC%@$F]`p-F``p6#-Fc`p6%Qfocannot~evaluate~the~solution~further~left~of~%1,~event~#%2~triggered~a~haltF(Ff\pFh`pF\apF_apY6$QPcannot~evaluate~the~solution~further~left~of~%1F(Ff\p@%FJC*>8+&Fbeo6#"#E>FfcpFE>I6_Env_dsolve_SC_nativeGF(FL@%/F`]pF@C$>FeclF@>F`]pFar>FeclF`]p>Fhdn-I9dsolve/numeric/SC/IVPvalGF(6%F]eoF_pFgen>F`]pFecl>FfcpFecp7$F_p-F`cl6$&FhdnF]\mF`\mC%>FFFfcp>Fhdn-Fddp6%-Fc_l6$F]eoFarF_pFgenFhdpF(F(F(X*FZF(F([gl!!%!!!"%"%"5eJ"o7!p%)oW="5ML"o7!p%)oW="55N"o7!p%)oW="5'o8o7!p%)oW=7&F0-I"JGF(F2-I"RGF(F2-I"SGF(F2Fbp>F]eoFbz>Ffy-I$mapGF&6$F]glF_bl@$4-Fd[l6$FNFf[lC$@0-Fj[l6$FT7:F]\l.I&startGF(F]^l.I'methodGF(F^\l.F]^oF_\l.F`^oFh^lFf_lF_`lFe\m.I*eventstopGF(Fgbm.I+eventclearGF(Fj_m.I,eventstatusGF(F[co.I+eventcountGF(Fdal.I'laxtolGF(Fcbl.I'numfunGF(F`_lC$>F_p-F]eo6#-I(convertGF&6$FT.I'stringGF&@(2F@-Ficl6#7#F_pOF_p-Fd[l6$F_pF]_lO-Fc_l6$F_pF@0F_pFgcoF]ip-Fj[l6$FT7'F`dl.I%lastGF(F\al.I(initialGF(F`_lC$F`hp@%-Fd[l6$F_pF^glO&F_pF`wF__l-Fj[l6$FT7'F\cl.I+parametersGF(F\dl.I7initial_and_parametersGF(F`_lC%>FNFchp>F_p-F]eoFdfl@%/FNF\clO7#-F`cl6$/&FfyFh\p&F_pFh\p/Fhdn;F@-Ficl6#FfyO7$F`jp-F`cl6$/Fc[q&&F\ipF`xFh\pFe[q3-Fd[l6$FNFifl-Fj[l6$-FcglFdfl7)F\alFiipF\clFdjpF\dlFfjpF`_lC%>FN/-Fdhp6$FbglFfhpF\gl@)/Fe\qF\al@%-Fd[l6$-F]glFdflF^glFjjp>F_p-F]eo6#/F\al7%Q'singleF(F@Fa]q4F_]qYQfninitial~and/or~parameter~values~must~be~specified~in~a~listF(3/Fe\qF\dl/-Ficl6#Fa]q,&Fg[qF@F@F@>F_p-F]eo6#/Fe\q7%Fg]qF@-FhgmF_^qFjjp@'F]]qF_jp/Fe\qF\clF^[qFi[q3Fa\q-Fj[l6$Fe\q7+Fgfm.I-eventdisableGF(Fhfm.I,eventenableGF(F^dn.I+eventfiredGF(Fd]o.I*directionGF(F`_lO-F]eo6#Fi\q/FNQ.solnprocedureF(O-Fc_l6#F]eo/FNQ(sysvarsF(OFg]l@%0F_alI(unknownGF(O-.F_alFSC%>F_z-I-tools/gensymGF'6#Q"tF(-Fc_l6#-I*FromInertGF&6#-I0_Inert_FUNCTIONGF(6$-I,_Inert_NAMEGF(6#Q'assignF(-I._Inert_EXPSEQGF(6$-I(ToInertGF&6#F_z-I0_Inert_VERBATIMGF(6#-I(pointtoGF&6#&F]]lF`wO-F_aq6#-Fbaq6$F[bq-Fiaq6#-F\bqFSZ%C$FjjpF`jpF(FejoF(F(F(/Fiepf*F2F3F;F(C+F>FDFGFIFWF_fpF`fp@$FefpC$@0FjfpF_hpFdipC$F`hp@%F]jpO&F_pF`xF__lFajpC%FijpFjjp@%F][qF^[qO7$FhcqF[\qF`\qC%Fh\q@)F]]q@%F_]qFjjp>F_p-F]eo6#/F\al7%Fg]qFarFa]qFh]qFi]qF[^q>F_p-F]eo6#/Fe\q7%Fg]qFarFf^qFjjp@'F]]qFgcqFh^qF^[qF[dqFi^qFe_qFh_qFj_qF]`qF_`q@%Fa`qFc`qC%>F_z-Fi`q6#Q%J(t)F(-Fc_l6#-F_aq6#-Fbaq6$Fdaq-Fiaq6$F[bq-F_bq6#-Fbbq6#&F]]lF`xFebqZ%C$FjjpFhcqF(FejoF(F(F(/F[fpf*F2F3F;F(C+F>FDFGFIFWF_fpF`fp@$FefpC$@0FjfpF_hpFdipC$F`hp@%F]jpO&F_pF\xF__lFajpC%FijpFjjp@%F][qF^[qO7$FifqF[\qF`\qC%Fh\q@)F]]q@%F_]qFjjp>F_p-F]eo6#/F\al7%Fg]qFbrFa]qFh]qFi]qF[^q>F_p-F]eo6#/Fe\q7%Fg]qFbrFf^qFjjp@'F]]qFhfqFh^qF^[qF\gqFi^qFe_qFh_qFj_qF]`qF_`q@%Fa`qFc`qC%>F_z-Fi`q6#Q%R(t)F(-Fc_l6#-F_aq6#-Fbaq6$Fdaq-Fiaq6$F[bq-F_bq6#-Fbbq6#Fe[nFebqZ%C$FjjpFifqF(FejoF(F(F(/F]fpf*F2F3F;F(C+F>FDFGFIFWF_fpF`fp@$FefpC$@0FjfpF_hpFdipC$F`hp@%F]jpO&F_pFhwF__lFajpC%FijpFjjp@%F][qF^[qO7$FiiqF[\qF`\qC%Fh\q@)F]]q@%F_]qFjjp>F_p-F]eo6#/F\al7%Fg]qF]qFa]qFh]qFi]qF[^q>F_p-F]eo6#/Fe\q7%Fg]qF]qFf^qFjjp@'F]]qFhiqFh^qF^[qF\jqFi^qFe_qFh_qFj_qF]`qF_`q@%Fa`qFc`qC%>F_z-Fi`q6#Q%S(t)F(-Fc_l6#-F_aq6#-Fbaq6$Fdaq-Fiaq6$F[bq-F_bq6#-Fbbq6#FcjmFebqZ%C$FjjpFiiqF(FejoF(F(F(7#F.

Den n\303\246ste procedure beregner LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYnLUkjbWlHRiQ2JlEiUkYnLyUlc2l6ZUdRIzEwRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkobWZlbmNlZEdGJDYlLUYjNiYtRiw2JlEidEYnRi9GMkY1Ri8vJStleGVjdXRhYmxlR1EmZmFsc2VGJy9GNlEnbm9ybWFsRidGL0ZDRi9GQEZD ud fra parametrene og forskydningen LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JlEjdDBGJy8lJXNpemVHUSMxMEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJ0YvLyUrZXhlY3V0YWJsZUdRJmZhbHNlRicvRjZRJ25vcm1hbEYn .

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzZaLUkjbWlHRiQ2JlEjUjFGJy8lJXNpemVHUSMxMEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JI21vR0YkNi5RKiZjb2xvbmVxO0YnRi8vRjZRJ25vcm1h

Documents

SIRmodellen Epidemiologi Skrevettil3GmatematikA-niveaudanishlightning.dk/al/SIR/SIR.pdf · Der var ingen rotter i Europa p˚a dette tidspunkt. Man kan diskutere om andre gnavere har