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sistemas
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUniversidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIALESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Mg. Luis Alberto Bolarte Canals
2015 – I 1
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4.1 – Definición y clasificación de los sistemas de partículas.
• ¿Qué es un sistema de partículas?¿Qué es un sistema de partículas?
Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como agregados agregados de partículas que interaccionande partículas que interaccionan..
Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y considera las dimensiones considera las dimensiones del objetodel objeto en estudio. en estudio.
• Clasificación de los sistemas de partículas.Clasificación de los sistemas de partículas.
Discretos Discretos nº finito de partículasnº finito de partículas Continuos Continuos distribución continua de materiadistribución continua de materia
DeformablesDeformables RígidosRígidos
Cambia distancia No cambia Cambia distancia No cambia
Deformables RígidosDeformables Rígidos
Cambia forma No cambiaCambia forma No cambia
1m
2m
3m
4m
nm1r
2r
XY
Z
O
X
Y
Z
O
dm
r
4
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• Momento lineal de un sistema de partículasMomento lineal de un sistema de partículas
Para un Para un sistema de partículas discretosistema de partículas discreto se define el se define el momento lineal del sistema momento lineal del sistema comocomo
i iivmvmvmppp
221121
ComoComoM
vmv i iiCM
M
p
M
vmv i iiCM
CMvMp
• Para un Para un sistema de referenciasistema de referencia colocado en el colocado en el CMCM del sistema de partículas ( del sistema de partículas (sistema sistema CC) el CM está en ) el CM está en reposoreposo (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el sistema Csistema C el el momento lineal del sistema es nulomomento lineal del sistema es nulo..
0i ipp
Para Para sistema Csistema C
Sistema CSistema C Sistema de referencia de momento nuloSistema de referencia de momento nulo
4.2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.
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• Fuerzas internas y fuerzas externasFuerzas internas y fuerzas externas
1m
2m
S
S’• Sistema SSistema S
21 , FF
Fuerzas externasFuerzas externas
2112 , ff
Fuerzas internasFuerzas internas
• Fuerza externa resultante Fuerza externa resultante que actúa sobre el que actúa sobre el sistema Ssistema S
i
iext FFFF
21
• Para el Para el sistema Ssistema S se puede demostrar que se puede demostrar que
dt
pdFext
ComoComo CMvMp
CMCM
ext aMdt
vdMF
• Si el Si el sistema Ssistema S se encuentra aislado se encuentra aislado
0
dt
pdFext ctevCM
El CM de un sistema de El CM de un sistema de partículas se mueve como si partículas se mueve como si fuera una partícula de masa fuera una partícula de masa igual a la masa total del igual a la masa total del sistema y estuviera sujeto a la sistema y estuviera sujeto a la fuerza externa resultante.fuerza externa resultante.
El CM de un sistema de partículas aislados se mueve El CM de un sistema de partículas aislados se mueve con velocidad constante en relación con cualquier con velocidad constante en relación con cualquier sistema de referencia inercial.sistema de referencia inercial.
2F
12f 21f
1F
4.2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.
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Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a fuerzas externasfuerzas externas
Trayectoria del CM de un sistema Trayectoria del CM de un sistema de partículas aisladode partículas aislado
4.2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.
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4.3 – Momento angular de un sistema de partículas.
• Para un sistema de dos partículas el Para un sistema de dos partículas el momento angular del sistemamomento angular del sistema respecto de un respecto de un puntopunto O O se define como se define como
i
OOOO iLvmrvmrLLL
22211121
• Y el Y el momento de las fuerzas externasmomento de las fuerzas externas respecto de un punto respecto de un punto O O se define como se define como
i
extO
extO
extO
extO i
MFrFrMMM 221121
LXLY
LZ
O
1F
2F
21r
• Para el Para el sistema de partículas sistema de partículas se puede demostrar se puede demostrar queque
dt
LdM OextO
• Si Si no hay fuerzas externasno hay fuerzas externas, o la , o la suma de sus suma de sus momentosmomentos respecto al punto respecto al punto OO es es nulanula, entonces, entonces
0
dt
LdM OextO
cteLO
12f 21f
1r 2r
1m
2m
30
4.4 – Momento angular interno y orbital.
• Se define el Se define el momento angular internomomento angular interno de un sistema de partículas como el momento de un sistema de partículas como el momento angular total calculado con respecto al angular total calculado con respecto al CMCM o o sistema Csistema C
i
CMCMCMCMint iLLLLL
21
orbL
CMr
LXLY
LZ
O
• Para el Para el sistema de partículas sistema de partículas se puede se puede demostrar quedemostrar que
orbintO LLL
• También se puede demostrar queTambién se puede demostrar que
dt
LdM intextCM
• Se define el Se define el momento angular orbitalmomento angular orbital de un sistema de partículas como el momento de un sistema de partículas como el momento angular del angular del CMCM calculado con respecto a calculado con respecto a OO o o sistema Lsistema L
CMCMorb vMrL
intL
CX
CY
CZ
CM
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Momentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partículasMomentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partículas
Una pelotaUna pelota La TierraLa Tierra Un electrón en un átomoUn electrón en un átomo
4.4 – Momento angular interno y orbital.
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4.11 – Energía cinética de un sistema de partículas.
• La La energía cinética de un sistema de partículasenergía cinética de un sistema de partículas (respecto un (respecto un SRISRI o o sistema Lsistema L) se define) se define
2332
12222
12112
1221 vmvmvmvmEc
iii
• Teniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las Teniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las fuerzas fuerzas externasexternas y las y las internasinternas, es posible expresar el trabajo total como, es posible expresar el trabajo total como
intWWW ext
• Con lo cual el Con lo cual el teorema del trabajo y la energía cinética para un sistema de partículasteorema del trabajo y la energía cinética para un sistema de partículas se se expresa comoexpresa como
EcWWext int
• Se define la Se define la energía cinética internaenergía cinética interna como la energía cinética referida a un sistema de como la energía cinética referida a un sistema de referencia situado en el referencia situado en el CMCM o o sistema Csistema C..
• La relación entre la energía cinética referida a un La relación entre la energía cinética referida a un sistema Csistema C y un y un sistema Lsistema L viene dada viene dada por:por:
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CMintorbint MvEcEcEcEc
Un término para cada partículaUn término para cada partícula
Teorema de KoeningTeorema de Koening
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4.12 – Energía propia, energía interna y energía total de un sistema de partículas.
• Si las Si las fuerzas internasfuerzas internas que actúan en un sistema de partículas son que actúan en un sistema de partículas son conservativas conservativas entonces hay definida unaentonces hay definida una energía potencial interna energía potencial interna y y
intint EpW EcEpW intext intintext EpEcEpEcW
• Definiendo la Definiendo la energía propiaenergía propia como como
intEpEcU UWext
• Hay definido un término de Hay definido un término de energía potencial internaenergía potencial interna para cada par de partículas para cada par de partículas
Un término para cada par de partículasUn término para cada par de partículas 231312 EpEpEpEpEpij
ijint
• Si el sistema de partículas se encuentra Si el sistema de partículas se encuentra aisladoaislado o el o el trabajo de las fuerzas externas es trabajo de las fuerzas externas es nulonulo
0U
• Se define la Se define la energía internaenergía interna como como
intintint EpEcU
cteEpEcU int
• La La energía potencial internaenergía potencial interna depende de la depende de la posición relativa de las partículasposición relativa de las partículas y cambia y cambia según varía la posición relativa de las partículas durante el movimiento. Si las fuerzas según varía la posición relativa de las partículas durante el movimiento. Si las fuerzas son centrales la energía potencial interna son centrales la energía potencial interna sólo depende de la distancia que separasólo depende de la distancia que separa a a cada par de partículas.cada par de partículas.
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• Si las Si las fuerzas externasfuerzas externas que actúan sobre el sistema son que actúan sobre el sistema son conservativasconservativas entonces hay entonces hay definida una definida una energía potencial externaenergía potencial externa y y
extext EpW
Si las fuerzas internas son conservativasSi las fuerzas internas son conservativas
UEpext 0 extintext EpEpEcEpU cteEpEpEc extint
• Definiendo la Definiendo la energía totalenergía total como como
extint EpEpEcE Si todas las fuerzas Si todas las fuerzas son conservativasson conservativas
cteE
• Hay definido un término de Hay definido un término de energía potencial externaenergía potencial externa para cada partícula del sistema para cada partícula del sistema
Un término para cada partículaUn término para cada partícula 321 extextexti
extext EpEpEpEpEpi
4.12 – Energía propia, energía interna y energía total de un sistema de partículas.
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RETROALIMENTACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
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MUCHAS GRACIAS
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