Sistemas · 2018-02-21 · Motivación ra pa el estudio del Análisis de Sistemas y Señales → Sus conceptos se utilizan en diversos camp os de la ciencia y tecnología → rios

Sistemas y Señales

Dra. Lizeth Torres

Fa ultad de Ingeniería

Universidad Na ional Autónoma de Méxi o

21 de febrero de 2018

1 /85

Contenido

1 Introdu tion

2 Señales ontinuas y dis retas

3 Señales periódi as y aperiódi as

4 Señales pares e impares

5 Señales hermíti as y antihermíti as

6 Señales de poten ia y energía

7 Señales aleatorias y determinísti as

8 Señales reales y omplejas

9 Señales exponen iales omplejas

10 Señales de tiempo ontinuo bási as

2 /85

Motiva ión para el estudio del Análisis de Sistemas y Señales → Sus

on eptos se utilizan en diversos ampos de la ien ia y te nología →Ne esarios en el área de ingeniería.

Tele omuni a iones.

Diseño de ir uitos.

Ingeniería a ústi a.

Bio-medi ina.

Sistemas de ontrol.

Sistemas de genera ión y

distribu ión de energía.

Sismología.

Bolsa de Valores

3 /85

Deni ión de señal y sistema

Sistema

(Del latín systema, proveniente del griego συστηµα)

1 Objeto omplejo uyos omponentes se rela ionan on al menos

algún otro omponente; puede ser material o on eptual. (Mario

Bunge, Di ionario de losofía)

2 Conjunto de osas que rela ionadas entre sí ordenadamente

ontribuyen a determinado objeto. (DRAE)

4 /85


Señal

(Del lat. signalis, de signum, seña).

1 Mar a o nota que se pone o hay en las osas para darlas a ono er y

distinguirlas de otras.

2 Imagen o representa ión de algo.

3 Fís. Varia ión de una magnitud que se utiliza para transmitir

informa ión (e.g. orriente elé tri a).

4 Manifesta ión de algún evento o fenómeno que se puede aptar por

un sensor biológi o, me áni o o elé tri o (ojo, ujométro, bra

ópti a, et .) [Lizeth Torres.

En breve, una señal es una fun ión que representa la varia ión en el tiempo de

alguna variable físi a. Sin embargo, puede o urrir que la variable independiente

sea otra (e.g. en una imagen ja existen dos variables espa iales

independientes).

5 /85


Señal

(Del lat. signalis, de signum, seña).

1 Mar a o nota que se pone o hay en las osas para darlas a ono er y

distinguirlas de otras.

2 Imagen o representa ión de algo.

3 Fís. Varia ión de una magnitud que se utiliza para transmitir

informa ión (e.g. orriente elé tri a).

4 Manifesta ión de algún evento o fenómeno que se puede aptar por

un sensor biológi o, me áni o o elé tri o (ojo, ujométro, bra

ópti a, et .) [Lizeth Torres.

En breve, una señal es una fun ión que representa la varia ión en el tiempo de

alguna variable físi a. Sin embargo, puede o urrir que la variable independiente

sea otra (e.g. en una imagen ja existen dos variables espa iales

independientes).

6 /85


7 /85


8 /85


9 /85

Clasi a ión de las señales

Señal ontinua en el tiempo

Señales ontinuas y dis retas.

Señales analógi as y digitales.

Señales periódi as y aperiódi as.

Señales de poten ia y energía.

Señales pares e impares.

Señales reales y omplejas.

Señales determinísti as y aleatorias.

10/85

Señales ontinuas, dis retas y digitales

Curso ⇒ Señales en el tiempo y señales omplejas (fre uen ia).

Las señales pueden ser lasi adas on respe to al tiempo en:

Señal Continua

Continuas x(t), donde t es un número real (i.e t ∈ R).

Dis retas x[n], donde n es un número entero (i.e. n ∈ Z).

11/85

Señales ontinuas, dis retas y digitales

Curso ⇒ Señales en el tiempo y señales omplejas (fre uen ia).

Las señales pueden ser lasi adas on respe to al tiempo en:

Señal Continua

Continuas x(t), donde t es un número real (i.e t ∈ R).

Dis retas x[n], donde n es un número entero (i.e. n ∈ Z).

12/85

Señales ontinuas y dis retas

Señal dis reta en el tiempo

Una señal dis reta, x[n], también puede obtenerse mediante el muestreo

de una señal ontinua x(t) para obtener los valores

x(t0), x(t1), ..., x(tn), ...

o en una forma abreviada omo

x[0], x[1], ..., x[n], ...

y a los valores x[n] se le denomina muestras (samples). Al dispositivo que

onvierte informa ión analógi a a forma digital mediante uantiza ión

(redondeo) se denomina un onvertidor analógi o-digital

13/85


Figura: Señal de audio

14/85


Figura: Señal de audio ontinua (analógi a) vs. señal de audio dis reta on un

periodo de muestreo de Ts = 10−1[s

15/85


Figura: Dis retiza ión

16/85

Señales periódi as y aperiódi as

Señal ontinua periódi a

Una señal ontinua x(t) es periódi a si

x(t) = x(t+ kT )

para todos los valores de −∞ < t < ∞ y para ualquier entero k.

T es el periodo.

Señal dis reta periódi a

Una señal dis reta x[n] es periódi a si

x[n] = x[n+N ]

para todos los valores de n.

N es el periodo.

17/85

Señales periódi as ontinuas y dis retas

1 Señal periodi a ontinua parametrizada on fre uen ia angular:

x(t) = A sin (ωt+ φ)

2 Señal periodi a ontinua parametrizada on fre uen ia lineal:

x(t) = A sin (2πft+ φ)

3 Señal periodi a dis reta parametrizada on fre uen ia angular:

x[n] = A sin (Ωn+ φ)

4 Señal periodi a dis reta parametrizada on fre uen ia lineal:

x[n] = A sin(

2πkN

n+ φ)

, donde k = 1, 2, 3..., N es el índi e de las

muestras y N es el periodo.

ω: [rad/s

f : [Hz [s−1

Ω: [rad/muestra→[rad

k: no tiene unidades

18/85

Señales periódi as ontinuas y dis retas

Cuando se muestrea una señal periodi a ontinua x(t) = A sin (ωt+ φ) deperiodo T = 2π

ω, se obtiene la una señal periodi a dis reta expresada de la

siguiente manera:

x[n] = A sin

(

2πk

Nn+ φ

)

= A sin

(

2πkTs

Tn+ φ

)

donde Ts es el periodo de muestreo. Por otro lado, nótese que N = T/Ts.

ω f Ω

ω − f = ω/2π Ω = ωTs

f ω = 2πf − Ω = 2πfTs

Ω ω = Ω/Ts f = Ω/2πTs -

k ω = k2π/NTs f = k/NTs Ω = k2π/N

19/85


Figura: Señal periódi a

20/85


¾Cuál es el periodo de las siguientes señales?

Ejemplo

(a) x(t) = 0.8 sin (πt),(b) x(t) = 0.7sign [sin 4t],( ) x[n] = 0.9 sin [6nπ];,(d)

x[n] = [.8, .8, .8, .8, 0, 0, 0, 0, .8, .8, .8, .8, 0, 0, 0, 0, .8, .8, .8, .8, 0, 0, 0, 0]

21/85


¾Cuál es el periodo de las siguientes señales?

Ejemplo

(a) x(t) = 0.8 sin (πt),(b) x(t) = 0.7sign [sin 4t],( ) x[n] = 0.9 sin [6nπ];,(d)

x[n] = [.8, .8, .8, .8, 0, 0, 0, 0, .8, .8, .8, .8, 0, 0, 0, 0, .8, .8, .8, .8, 0, 0, 0, 0]

22/85


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

[s]

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

[s]

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

[s]

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25

[s]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura: Señales periódi as

23/85

clear all%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %%SEÑALES PERIODICAS % % % % % % % % %t=0:0.001:4;x1=0.8 * sin(pi * t);t1=0:0.001:4;x4=0.7 * sign(sin(4 * t1));n=0:0.01:1x2=0.9 * sin((6) * n* pi);n3=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24];x3=[.8,.8,.8,.8,0,0,0,0,.8,.8,.8,.8,0,0,0,0,.8,.8,. 8,.8,0,0,0,0];subplot(2,2,1);plot(t,x1);subplot(2,2,2);plot(t1,x4)subplot(2,2,3);stem(n,x2, ' * ' )subplot(2,2,4);stem(n3,x3)

24/85


Sean x1(t) y x2(t) dos señales periódi as on períodos, T1 y T2,

respe tivamente. ¾Cuáles son las ondi iones para que la suma

z(t) = x1(t) + x2(t) sea periódi a y uál es el período resultante de z(t)?

Se tiene

x1(t) = x1(t+ T1) = x1(t+mT1), m ∈ Z+

x2(t) = x2(t+ T2) = x2(t+ nT2), n ∈ Z+

Enton es la suma es:

z(t) = x1(t+mT1) + x2(t+ nT2)

25/85


Sean x1(t) y x2(t) dos señales periódi as on períodos, T1 y T2,

respe tivamente. ¾Cuáles son las ondi iones para que la suma

z(t) = x1(t) + x2(t) sea periódi a y uál es el período resultante de z(t)?

Se tiene

x1(t) = x1(t+ T1) = x1(t+mT1), m ∈ Z+

x2(t) = x2(t+ T2) = x2(t+ nT2), n ∈ Z+

Enton es la suma es:

z(t) = x1(t+mT1) + x2(t+ nT2)

26/85


y se debe umplir que

mT1 = nT2 = T

o

T1

T2=

n

m= No.Ra ional

27/85


En otras palabras, la suma de dos señales periódi as es periódi a

solamente si la rela ión entre sus períodos respe tivos es un número

ra ional.

Si la rela ión T1/T2 o T2/T1 NO es un número ra ional, enton es las

señales x1(t) y x2(t) no tienen un período en omún y z(t) es aperiódi a.

Cuando son mas de dos señales, la suma es periódi a si la división de

ada periodo Tk on ada uno de los demás periodos es ra ional.

28/85


En otras palabras, la suma de dos señales periódi as es periódi a

solamente si la rela ión entre sus períodos respe tivos es un número

ra ional.

Si la rela ión T1/T2 o T2/T1 NO es un número ra ional, enton es las

señales x1(t) y x2(t) no tienen un período en omún y z(t) es aperiódi a.

Cuando son mas de dos señales, la suma es periódi a si la división de

ada periodo Tk on ada uno de los demás periodos es ra ional.

29/85


Figura: Conjunto de Números

30/85


Ejer i io

1 y1 = sin(

π3 t)

+ sin(

2π5 t

)

+ sin(

2πt+ π6

)

+ cos(

10πt+ π3

)

2 y2 = sin (2t) + (10 + 2i) cos (2πt) + eit

3 y3 = sin (2πt) + sin(√

2πt)

31/85


Si x1(t) y x2(t) son señales periódi as, on periodos T1 y T2

respe tivamente, enton es la suma de ambas señales z(t) = x1(t) + x2(t)tiene periodo T dado por

T = MCM(T1, T2)

Nota: Esta expresión se puede generalizar para η número de señales, i.e.

MCM = (T1, T2, ..., Tη).

32/85

Mínimo Común Múltiplo

Los operandos se expresan omo el produ to de fa tores primos, i.e.

72 2 50 2

36 2 25 5

18 2 5 5

9 3 1

3 3

1

23 · 32 = 72 2 · 52 = 50

Tomando los fa tores omunes y no omunes on su mayor exponente,

tenemos que

m m(72, 50) = 23 · 32 · 52 = 1800

33/85

Máximo omún divisor

Los operandos se expresan omo el produ to de fa tores primos, i.e.

48 2 60 2

24 2 30 2

12 2 15 3

6 2 5 5

3 3 1

1

24 · 3 = 48 22 · 3 · 5 = 60

El m d son los fa tores omunes on su menor exponente, esto es:

m d(48, 60) = 22 · 3 = 12

34/85


Mínimo Común Mútiplo de Fra iones

MCM(ab, cd) = MCM(a,c)

MCD(b,d) , donde MCD es el Máximo Común Divisor.

Propiedad del MCD

Si dos números enteros son primos entre sí, su MCD es 1.

Propiedad del MCD

El máximo omún divisor de 3 o más números se puede denir usando

re ursivamente:

MCD(a, b, c) = MCD(a,MCD(b, c))

35/85


Determine el periodo resultante de la siguientes sumas de señales:

Ejer i io

1 sin (2π7 t) + cos (2π5 t)

2 sin2 (2t) + sin (3t)

3 cos(t) + cos (πt)

4 sin (ωt) + sin (ω3 t) + sin (ω4 t)

5 sin (2t) + 3 sin (6t) + 5 sin (10t) + 10 sin (20t)

Nota:sin2 (ωt) = 12 − 1

2 cos (2ωt).

36/85


Armóni o

Una señal on fre uen ia angular kω, donde k ∈ Z, se ono e omo

armóni o de una fre uen ia angular ω. En este aso ω se ono e omo

fre uen ia fundamental y la señal on fre uen ia ω omo señal

fundamental.

Subarmóni o

Una señal on fre uen ia angular kω, donde k ∈ Z/Z < 1, se ono e

omo subarmóni o de una fre uen ia angular ω. En este aso ω se

ono e omo fre uen ia fundamental y la señal on fre uen ia ω omo

señal fundamental.

37/85


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

tiempo [s]

voltaje

[V]

Señal fundamentalSeñal con un armónicoSeñal con dos armónicosSeñal con tres armónicos

Figura: Señal elé tri a on armóni os de baja fre uen ia

38/85


t=linspace(-10,10,400);x_fundamental=120 * sin(2 * pi * 60* t);x_armonico2=120 * sin(2 * 2* pi * 60* t);x_armonico3=120 * sin(3 * 2* pi * 60* t);x_armonico4=120 * sin(4 * 2* pi * 60* t);x1=x_fundamental;x2=x_fundamental+x_armonico2;x3=x_fundamental+x_armonico2+x_armonico3;x4=x_fundamental+x_armonico2+x_armonico3+x_armonico 4;figure()hold on;plot(t,x1, 'k' );plot(t,x2, 'b' );plot(t,x3, 'r' );plot(t,x4, 'g' )

39/85


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−150

−100

−50

0

50

100

150

tiempo [s]

volta

je [

V]

Señal fundamentalSeñal con un armónicoSeñal con dos armónicosSeñal con tres armónicos

Figura: Señal elé tri a on armóni os de alta fre uen ia

40/85


t=linspace(-10,10,400);x_fundamental=120 * sin(2 * pi * 60* t);x_armonico2=(1/10) * 120* sin(10 * 2* pi * 60* t);x_armonico3=(1/15) * 120* sin(15 * 2* pi * 60* t);x_armonico4=(1/20) * 120* sin(20 * 2* pi * 60* t);x1=x_fundamental;x2=x_fundamental+x_armonico2;x3=x_fundamental+x_armonico2+x_armonico3;x4=x_fundamental+x_armonico2+x_armonico3+x_armonico 4;figure()hold on;plot(t,x1, 'k' );plot(t,x2, 'b' );plot(t,x3, 'r' );plot(t,x4, 'g' )

41/85


¾Cuál es el periodo fundamental de una señal on armóni os?

kω =2π

T∴ T =

2π

kω

si k = 1, 2, 3 enton es

MCM(2π

ω,π

ω,2π

3ω) =

2π

ω

42/85


¾Cuál es el periodo fundamental de una señal on armóni os?

kω =2π

T∴ T =

2π

kω

si k = 1, 2, 3 enton es

MCM(2π

ω,π

ω,2π

3ω) =

2π

ω

43/85


f = 2n/12 × 440 [HzPara notas on fre uen ias mayores a La4 (A4): n ∈ Z

+

Para notas on fre uen ias mayores a La4 (A4): n ∈ Z−

44/85


Un piano tiene 88 te las y 7 siete o tavas. Cada o tava esta ompuesta por 7

notas musi ales: DOi, REi, MIi, FAi, SOLi, LAi, SIi donde i índi a la o tava a

la que pertene en.

Con la siguiente e ua ión se puede al ular la fre uen ia de la nota músi al de

la i-ésima te la de un piano: f(i) =(

12√2)i−49 × 440 [Hz.

Por ejemplo: SOL3 → #Tecla = 35; f(35) = 195.9977 [Hz

45/85


Un a orde onsiste en un onjunto de 3 o más notas diferentes que

suenan simultáneamente y que onstituyen una unidad armóni a.

46/85

Código bási o para generar melodías en MATLAB

clear allFs=8000;Ts=1/Fs;t=[0:Ts:1];fDO_3=((2)^(1/12))^(28-49) * 440;fRE_3=((2)^(1/12))^(30-49) * 440;fMI_3=((2)^(1/12))^(32-49) * 440;fFA_3=((2)^(1/12))^(33-49) * 440;fSOL_3=((2)^(1/12))^(35-49) * 440;fLA_3=((2)^(1/12))^(37-49) * 440;fSI_3=((2)^(1/12))^(39-49) * 440;fDO_4=((2)^(1/12))^(40-49) * 440;fRE_4=((2)^(1/12))^(42-49) * 440;DO_3=sin(2 * pi * fDO_3* t);RE_3=sin(2 * pi * fRE_3 * t);MI_3=sin(2 * pi * fMI_3 * t);FA_3=sin(2 * pi * fFA_3 * t);SOL_3=sin(2 * pi * fSOL_3 * t);LA_3=sin(2 * pi * fLA_3 * t);SI_3=sin(2 * pi * fSI_3 * t);DO_4=sin(2 * pi * fDO_4* t);RE_4=sin(2 * pi * fRE_4 * t);pause_value = 0.05;pause_logic = 0;pause_count = 0;%Oda a la alegríaA=[SI_3 SI_3 DO_4 RE_4 RE_4 DO_4 SI_3 ...

LA_3 SOL_3 SOL_3 LA_3 SI_3 SI_3 LA_3 LA_3]sound(A,Fs)filename= 'oda.wav' ;audiowrite(filename,A,Fs);

47/85

Código bási o para generar un a orde en MATLAB ACORDE

G = SOL+ SI +RESi se eje uta en la ter era o tava, las siguientes notas musi ales serían

utilizadas

SOL3 → #Tecla = i = 35; f(35) = 195,997717990875 ≈ 196 [Hz

SI3 → #Tecla = i = 9; f(39) = 246,941650628062 ≈ 247 [Hz

RE4 → #Tecla = i = 42; f(42) = 293,664767917407 ≈ 294 [Hz

%AcordeA=SOL_3+SI_3+RE_4;sound(A,Fs);filename= 'acorde.wav' ;audiowrite(filename,A,Fs);

48/85

Señales pares e impares

Tarea

¾Cuáles son las ara terísti as del sonido?

¾Cuál es el rango de fre uen ias audible para el ser humano?

¾El rango de fre uen ias audible de una persona permane e igual a

lo largo de su vida?

¾Cómo se mide la intensidad del sonido?

Expli ar la anatomía del oído humano, ¾Cómo onvierte la energía

a ústi a en energía elé tri a?

Dibujar el esquema de bloques de un sistema típi o graba ión audio

(estéreo). Explique brevemente la fun ión de ada bloque.

49/85


La simetría de una señal on respe to al origen es una ara terísti a que

puede ser empleada para lasi ar las señales en pares e impares, y de

suma utilidad en el análisis de Fourier.

La señal x(t) se denomina par si es idénti a a su reexión respe to al

origen.

x(t) = x(−t) ∀tx[n] = x[−n] ∀n

La señal x(t) se denomina impar si oin ide on el negativo de su

reexión. Tal señal es asimétri a on respe to al eje de las abs isas.

x(t) = −x(−t) ∀t

x[n] = −x[−n] ∀n

50/85


De manera análoga a las partes real e imaginaria de una señal, podemos

denir las partes par, Evx(t), e impar, Odx(t) omo

Evx(t) =x(t) + x(−t)

2

Odx(t) =x(t) − x(−t)

2

y expresar ualquier señal en fun ión de sus partes par e impar

x(t) = Evx(t) +Odx(t)

51/85

Señales pares impares

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

tiempo [s]

x(t)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000

tiempo [s]

x(t)

x(t) = t2

x(t) = t3

Figura: Ejemplos de señales pares e impares

52/85


Propiedades

La suma de una fun ión par y una impar no es ni par ni impar, a

menos que una de las fun iones sea el ero.

La suma de dos fun iones par es una fun ión par, y todo múltiplo de

una fun ión par es una fun ión par.

La suma de dos fun iones impares es una fun ión impar, y todo

múltiplo onstante de una fun ión impar es una fun ión impar.

El produ to de dos fun iones pares es una fun ión par.

El produ to de dos fun iones impares es una fun ión par.

53/85


Propiedades

El produ to de una fun ión par y una fun ión impar es una fun ión

impar.

El o iente de dos fun iones pares es una fun ión par.

El o iente de dos fun iones impares es una fun ión par.

El o iente de una fun ión par y una fun ión impar es una fun ión

impar.

La derivada de una fun ión par es una fun ión impar.

La derivada de una fun ión impar es una fun ión par.

54/85


Determinar si las siguientes señales son pares o impares:

Ejer i ios

x(t) = 1− t2 − 2t4 + t6

x(t) = cos (t)

x(t) = t3

x(t) = t+ 2t3 − t5

x(t) = sin (t)

x(t) = −|t|+ 2 Par

Tarea

Dibujar las fun iones anteriores en MATLAB.

55/85



Ejer i ios

x(t) = 1− t2 − 2t4 + t6

x(t) = cos (t)

x(t) = t3

x(t) = t+ 2t3 − t5

x(t) = sin (t)

x(t) = −|t|+ 2 Par

Tarea


56/85



Ejer i ios

x(t) = 1− t2 − 2t4 + t6

x(t) = cos (t)

x(t) = t3

x(t) = t+ 2t3 − t5

x(t) = sin (t)

x(t) = −|t|+ 2 Par

Tarea


57/85

Señales hemíti as y antihermíti as

Señal hermíti a

Una señal x(t) o x[n] es hermíti a si umple

x(t) = x∗(−t) ∀t

x[n] = x∗[−n] ∀nlo que impli a que la parte real es par y la imaginaria es impar.

Señal antihermíti a

Una señal x(t) o x[n] es antihermíti a si umple

x(t) = −x∗(−t) ∀t

x[n] = −x∗[−n] ∀nlo que impli a que la parte real es impar y la imaginaria par.

58/85


Podemos denir las partes hermíti a, Hex(t), y antihermíti a,

Ahx(t) omo

Hex(t) =x(t) + x∗(−t)

2

Ahx(t) =x(t)− x∗(−t)

2

y expresar ualquier señal en fun ión de sus partes par e impar

x(t) = Hex(t)+Ahx(t)

59/85

Señales de poten ia y energía

En mu has apli a iones, las señales que onsideramos están dire tamente

rela ionadas on antidades físi as que representan poten ia y energía. Por

ejemplo: si v(t) e i(t) son respe tivamente, el voltaje y la orriente en un

resistor de resisten ia R, enton es la poten ia instantánea p(t) viene dada por

p(t) = v(t)i(t) =1

Rv2(t) = Ri2(t)

La energía en el resistor para un intervalo (periodo) t0 ≤ t ≤ t1 de dura ión

T = t1 − t0, es la a umula ión de poten ia instantánea sobre el intervalo de

tiempo, i.e.,

E =

∫ t1

t0

p(t)dt =

∫

T

1

Rv2(t)dt =

∫

T

Ri2(t)dt

60/85


La poten ia promedio en ese intervalo es

P =E

T=

1

T

∫

T

p(t)dt =1

T

∫

T

1

Rv2(t)dt =

1

T

∫

T

Ri2(t)dt

Estos on eptos de energía y poten ia pueden generalizarse fá ilmente.

61/85


La energía y la poten ia de una señal x(t) están denidas tanto para

señales nitas o innitas omo:

E∞ = lımT→∞

∫

T

|x(t)|2dt

P∞ = lımT→∞

1

T

∫

T

|x(t)|2dt

62/85


Se di e que x(t) es una señal de energía si y sólo si tiene energía nita.

Una señal de este tipo debe tener una poten ia igual a ero.

Se di e que una señal x(t) es una señal de poten ia si y sólo si tiene

poten ia nita.

Las señales que no satisfa en ninguna de las dos propiedades anteriores

no son señales ni de energía ni te poten ia.

63/85


La energía total sobre un intervalo de tiempo

t1 ≤ t ≤ t2 es

∫ t2

t1

|x(t)|2 en tiempo ontinuo.

n1 ≤ n ≤ n2 es

n2∑

n=n1

|x[n]|2 en tiempo dis reto.

Si x(t) es periódi a, enton es su poten ia promedio es:

P =1

T

∫

T

|x(t)|2dt

64/85


Ejemplos:

La poten ia de una señal senoidal o osenoidal, i.e. x(t) = A sin (ωt) o

x(t) = A cos (ωt), es P = A2

2. Tomar en uenta que ω = 2π

T

La poten ia de una exponen ial x(t) = Aejωt P = |A|2, donde A es un número

omplejo. Tomar en uenta que ejωt = 1.

x(t) = e−3tu(t) es una señal de energía on energía E = 1/6.

65/85


Ejemplo:

x(t) = A sin (ωt)

P =1

T

∫

T

|x(t)|2dt = 1

T

∫

T

|A sin (ωt)|2dt = 1

T

∫

T

A2 sin2 (ωt)dt

Reemplazando sin2 (ωt) = 12− 1

2cos (2ωt), se tiene

P =A2

T

∫

T

[

1

2− 1

2cos (2ωt)

]

dt =A2

2T

∫

T

dt− A2

2T

∫

T

cos (2ωt)dt

=A2

2T[t]T0 − A2

2T

1

2ω[sin (2ωt)]T0

66/85


= A2T2T − A2

4Tω[sin (2ωt)]

T0

Sustituyendo la fre uen ia angular por la rela ión ω = 2πT

= A2

2 − A2

4T ( 2π

T)

[

sin (2(2πT)t)

]T

0= A2

2

67/85


Ejemplos de señales de energía: las exponen iales laterales, exponen iales

doblemente laterales, sinusoidales amortiguadas, señales sin (seno ardinal), y

todas las señales limitadas en tiempo de amplitud nita.

Ejemplos de señales de poten ia: todas las señales periódi as.

68/85


−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo [s]

sinc( 12 t)

Figura: Seno ardinal, sin (t) = sin (t)t

69/85

Señales aleatorias y determinísti as

Señales determinísti as

Son aquellas señales uyos valores están ompletamente espe í ados parar

ualquier tiempo dado. Así pues, una señal determninísti a puede modelarse por

una fun ión del tiempo. Ejemplos: el aos, las fun iones trigonométri as, et .

Señales aleatorias

Son aquellas señales que toman valores aleatorios en ualquier tiempo dado y

deben ser ara terizados estadísti amente. Ejemplos: seísmos, ruido blan o,

ruido rosa, la turbulen ia, la bolsa de valores, et .

70/85


Ruído blan o

El ruido blan o o sonido blan o es una señal aleatoria (esto ásti a) que se

ara teriza por el he ho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes

no guardan orrela ión estadísti a. Como onse uen ia de ello, su densidad

espe tral de poten ia (PSD, siglas en inglés de power spe tral density) es una

onstante, es de ir, su grá a es plana. Esto signi a que la señal ontiene

todas las fre uen ias y todas ellas muestran la misma poten ia. Igual fenómeno

o urre on la luz blan a, de allí la denomina ión.

71/85


Código Matlab para añadir ruido a imágenes

I = imread('Vera ruz.jpg');

J = imnoise(I,'gaussian', 0.0001);

gure, imshow(I), gure, imshow(J)

72/85

Señales Reales y Complejas

Una señal ompleja es aquella que toma valores en el uerpo de los omplejos,

x(t) ∈ C o x[n] ∈ C.

Una señal real es aquella que sólo toma valores en el uerpo de los reales,

x(t) ∈ R o x[n] ∈ R

Denimos las partes real e imaginaria de una señal omo (omitimos la

deni ión para señales dis retas)

Rex(t) .=

x(t) + x∗(t)

2

Imx(t) .=

x(t)− x∗(t)

2j

donde j =√−1 y

∗

indi a omplejo onjugado

73/85

Señales reales y omplejas

A partir de las partes real e imaginaria re onstruimos la señal omo

x(t) = Rex(t)+ jImx(t) =x(t) + x∗(t)

2+ j

x(t)− x∗(t)

2j= x(t)

y podemos interpretar una señal real omo aquella uya parte imaginaria es

idénti amente nula.

Otra des omposi ión de una señal ompleja en dos señales reales se realiza

( omo realizaríamos la des omposi ión de un número omplejo) mediante su

módulo, |x(t)|, denido omo

|x(t)| =√

x(t)x∗(t) =√

Re2x(t)+ Im

2x(t)

y su fase,∢x(t), denida omo

∢x(t).= arctan

Imx(t)Rex(t)

de tal foma que

x(t) = |x(t)|ej∢x(t) = |x(t)| cos (∢x(t)) + j|x(t)| sin (∢x(t))

74/85

Señales exponen iales omplejas

La señal exponen ial ompleja de tiempo ontinuo es de la forma:

x(t) = Aest

donde s = σ + jω (forma re tangular) y A = |A|ejθ (forma polar), enton es

Aest = |A|ejθe(σ+jω)t = |A|ejθeσtejωt = |A|eσtej(ωt+θ)

Usando la identidad de Euler, se puede expandir esta rela ión para obtener:

Aest = |A|eσt cos (ωt+ θ) + j|A|eσt sin (ωt+ θ)

75/85


Si σ = 0, las partes real e imaginaria de una exponen ial ompleja son

señales sinusoidales.

Para σ > 0 orresponden a señales sinusoidales multipli adas por una

exponen ial real re iente.

Para σ < 0 orresponden a señales sinusoidales multipli adas por una

exponen ial real de re iente.

76/85


77/85


−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

time [s]

σ > 0

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

time [s]

σ < 0

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

time [s]

σ = 0

78/85


Ejemplos de señales exponen iales omplejas de re ientes

Las señales sinusoidales multipli adas por exponen iales de re ientes se

ono en omo sinusoides amortiguadas, e.g.:

El voltaje y la orriente en redes elé tri as ompuestas de

resistores-indu tores- apa itores (para iertos valores de R,L y C).

El omportamiento de sistemas me áni os que ontienen amortiguamiento

y rigidez: mx+ cx+ kx = f(t)

79/85

Señales de tiempo ontinuo bási as

Estas señales no sólo o urren fre uentemente en la naturaleza, sino que

ellas también sirven omo bloques bási os para la onstru ión de otras

señales de prueba para analizar sistemas.

Señal impulso (Delta de Dira ). (Derivada de la señal es alón)

Señal es alón. (Integral de la señal impulso y derivada de la señal

rampa)

Señal rampa. (Integral de la señal es alón)

80/85


Algunos sistemas me áni os son sometidos a fuerzas externas (o

tensiones elé tri as en el aso de los ir uitos elé tri os) de gran

magnitud que solamente a túan durante un tiempo muy orto, e.g., una

des arga elé tri a que ase sobre el ala de un avión, una pelota golpeada

por un bat o raqueta, et . La fun ión impulso unitario puede servir omo

modelo para tal fuerza.

81/85


Señal Impulso (Delta de Dira )

Denimos la fun ión delta de Dira omo la que umple la igualdad

∫

∞

−∞

x(t)δ(t− t0)dt = x(t0)

para ualquier señal ontinua y ualquier instante t0.

Una interpreta ión más intuitiva de la fun ión δ(t) puede realizarse a partir de

sus propiedades:

1 Toma valor ero fuera del instante ero

δ(t) = 0 ∀t 6= 0

2 El área bajo la fun ión es igual a 1

∫

∞

−∞

δ(t)dt = 1

3 Es una fun ión par

δ(t) = δ(−t)

82/85


Señal Delta de Krone ker

Es el equivalente en tiempo dis reto de la delta de Dira . Se dene omo

δ[n].=

1 si n = 00 si n 6= 0

También puede emplearse para la des omposi ión de se uen ias de la forma

∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]

83/85


Fun ión es alón

La fun ión es alón unitario u(t) se dene omo

u(t) =

1 t > 00 t < 0

De la misma forma se dene la fun ión es alón unitario desplazado

u(t− t0)

84/85


Fun ión rampa

La fun ión rampa puede denirse de la siguiente manera

R(t) =

t, t ≥ 0;0, t < 0

85/85

Documents

Sistemas · 2018-02-21 · Motivación ra pa el estudio del Análisis de Sistemas y Señales → Sus conceptos se utilizan en diversos camp os de la ciencia y tecnología → rios