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Sistemas de Controle IIIN8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
6.a Aula: Relação entre a Equação de Estado e a Transformada de Laplace
Se A é uma matriz n x n , onde e b é um vetor coluna com n elementos,
a solução da equação (1):
.x Ax bu
2n
(1)
Com as condições iniciais (2):
0 0( )x x t
Será dada por (3):
(2)
(3)
Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais (Resposta Temporal)
0
( )0( ) ( )
tAt A tx t e x e bu d
Aplicação em Análise de Circuito1) Dado o circuito RLC série. Determine a corrente iL(t) no indutor e a tensão
vC(t) no capacitor. Condições iniciais são dadas:
Dados:
0 ( ) 111/ 44 / 3
S
S
S
S
V t VRL HC F
Condições iniciais:
i (0 ) 0
(0 ) 0.5L
Cv V
1. Equação de estado, calculada anteriormente:
.
1 10.
22
4 4 4( )
3 / 4 0 0x x
txx
2. Matriz de Transição, também calculada anteriormente:
3 3
3 3
` 0.5 1.5 2 23 3 1.5 0.58 8
t t t t
Att t t t
e e e ee
e e e e
3. Solução da equação com as condições iniciais dada:
4 43 / 4 0
A
4. Tem-se:
0
(0) 0(0) 1/ 2
L
C
ix
v
40
b
5. Calculando-se o primeiro termo da equação (3):
(3)
3 3
0 3 3
` 0.5 1.5 2 2 03 3 1/ 21.5 0.58 8
t t t t
Att t t t
e e e ee x
e e e e
0
( )0( ) ( )
tAt A tx t e x e bu d
6. Primeiro termo da equação (3):
3
0 30.75 0.25
t tAt
t t
e ee x
e e
6. Caculando-se a Integral (Int) do segundo termo da equação (5):
4 14
0 0b
0
( ) 3( ) ( ) 3( )
( ) 3( ) ( ) 3( )
` 0.5 1.5 2 2 143 3 01.5 0.5
8 8
t t t tt
t t t t
e e e eInt d
e e e e
7. Integral em relação a :
3
3
0.5 0.5 0.5 0.54 4
0.375 0.125 0.375 0.125
t t
t t
e eInt
e e
( ) 3( )
( ) 3( )0
0.5 0.54
0.375 0.125
tt t
t t
e eInt
e e
0
( ) 3( )
( ) 3( )
0.5 1.543 3
8 8
t tt
t t
e eInt d
e e
Substituindo-se os valores encontrados na equação (3) Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais:
31
32 1 0.75 0.25
t t
t t
x e ex e e
0
( )0( ) ( )
tAt A tx t e x e bu d (3)
3
3
0.5 0.54
0.25 0.375 0.125
t t
t t
e eInt
e e
3 31
3 32
0.5 0.54
0.75 0.25 0.25 0.375 0.125
t t t t
t t t t
x e e e ex e e e e
Assim sendo:
31
t tLx i e e
a) Corrente no indutor iL(t):
b) Tensão no capacitor vC(t):
32 1 0.75 0.25t t
Cx v e e
Outros valores podem ser computados, como por exemplo :
c) Tensão no indutor vL(t):
3 31 1 3( )4 4 4
t t t tLL
di dv L e e e edt dt
d) Use um script no MATLAB para determinar a curva da tensão no capacitor vC(t):
Solução:
e) Obter a curva de tensão anterior, no SIMULINK, utilizando o bloco
“State-Space”, o bloco de função “unit step” como entrada e o bloco
“Scope” para visualizar a forma de onda. Parametrizar o bloco “State-
Space” com:
:[ 4 -4; 3/4 0]B: [4 0]'
: [0 1]D: [0]Initial conditions: [0 0.5]
A
C
Solucao:
2) Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema. Onde u(t) é a funcao
degrau unitário ocorrendo t=0, ou u(t) = 1t.
.
1 1
.2
2
0 1 0[ ]
2 3 1x x
xx
Solucao:
0 12 3
A
01
B
Calculando a matriz de transicao de estado:
2 2
2 2
22 2 2
t t t tAt
t t t t
e e e ee
e e e e
A resposta á entrada degrau unitário é entao obtida como:
( ) 2( ) ( ) 2( )
0 ( ) 2( ) ( ) 2( )0
02( ) [1]
12 2 2
t t t t tAt
t t t t
e e e ex t e x d
e e e e
22 21 1
2 222 2
1 1( ) (0)22 2
( ) (0)2 2 2
t tt t t t
t t t tt t
x t x e ee e e ex t xe e e e e e
Ate
0
t
Se o estado inicial é zero, ou x(t) = 0. Entao, x(t) pode ser simplificado:
21
22
1 1( )2 2
( )
t t
t t
x t e ex t
e e
2.o Método da Computação da Matriz de Transição de Estado
Considere a equação de estado (1):
A matriz de estado pode ser computada a partir da Transformada Inversa
de Laplace.
Ate
.x Ax bu
Aplicando-se Laplace em ambos os lados da equação de estado dada:
( ) (0) ( ) ( )sX s x AX s bU s
( ) ( ) (0) ( )sI A X s x bU s
(1)
(5)
(6)
Multiplicando-se ambos os lados da equação por : 1( )sI A
1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )X s sI A x sI A bU s
Comparando-se (7) com a Solução da Equação de Estado com
Condições Iniciais (3): :
(7)
(3)0
( )0( ) ( )
tAt A tx t e x e bu d
Por similaridade observa-se que o lado direito da equação (7) é a
Transformada de Laplace da Solução da Equação de Estado com
Condições Iniciais (3). :
Assim pode-se computar a matriz de transição de estado
diretamente da Transformada Inversa de : 1( )sI A
(8) 1 1( ) )Ate L sI A
Exercício:
1) Obtenha a matriz de transição de estado do sistema abaixo. Obtenha
também a inversa da matriz de transição de estado: .
1 1
.2
2
0 12 3
x xxx
Solucao:
0 12 3
A
1 1( )Ate L sI A
1 0 0 1 10 1 2 3 2 3
ssI A s
s
Como:
A inversa será dada por:
1 3 11( )2( 1)( 2)
ssI A
ss s
3 1( 1)(( 2) ( 1)( 2)
2( 1)( 2) ( 1)( 2)
ss s s s
ss s s s
A matriz de transicao será dada por:
2 2
2 2
22 2 2
t t t tAt
t t t t
e e e ee
e e e e
A inversa da matriz de transicao será :
2 2
2 2
22 2 2
t t t tAt
t t t t
e e e ee
e e e e