Sistemas de ecuaciones

5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com

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Prof. Esteban Hernández



2

Justificación

Los sistemas de ecuaciones son una de las

herramientas más útiles dentro del estudio de lasmatemáticas. Podemos resolver innumerablessituaciones usando los sistemas de ecuacioneslineales y no lineales. Las aplicaciones van desdelas ciencias naturales, la matemática, las ramas deadministración de empresas, la ingeniería, etc.Espero que este módulo sirva de guía para que losestudiantes se inicien en la comprensión de losconceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.



3Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .

4x + y = 0-4x + y = -8

2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.5x - 2y = -1

7x + 4y = 53

3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .

2x + 6y = -16

-2x - 13y = 37

4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

5x + 13y =

12x - 11y = -23

5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.3x + y =13

2x - 7y =-7



4

6. Resuelve el ejer cicio.Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y

obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad enCertificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto loinvirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuántodeben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresosde $ 15,100 al año?



5

Ob jetivos:Ob jetivos:

1. Def inir el concepto de sistema deecuaciones.

2. Ver if icar si un par ordenado es solución de un sistema 2 x 2.

3. Resolver un sistema 2 x 2 por elmétodo de sustitución.4. Resolver un sistema 2 x 2 por el

método de gráf ico.

5. Resolver un sistema 2 x 2 por elmétodo de eliminación por adición

Sistemas de Ecuaciones



6

Def iniciónDef iniciónUn Un sistema de ecuacionessistema de ecuaciones es un con junto dees un con junto de

dos o más ecuaciones simultáneas.

2 61) 3 4

x y x y

!®̄ !°

1 3

102 43)

34

4

x y

x y

® !±±

¯± !±°

3

04) 0

x y x y

® !¯ !°

2

52) 2 4 x y

x y

® ! ¯ !°

E jemplos:E jemplos:




7

AclaraciónAclaraciónEl tamaño de un sistema de ecuaciones estáEl tamaño de un sistema de ecuaciones está

determinado por el número de ecuaciones y eldeterminado por el número de ecuaciones y elnúmero de variables. Un sistema con tresnúmero de variables. Un sistema con tresecuaciones y con tres variables se dice que es unecuaciones y con tres variables se dice que es unsistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tressistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres

variables se dice que es un sistema 2x3.variables se dice que es un sistema 2x3.

Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales,Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales,al sistema se le llamaal sistema se le llama sistema ecuaciones linealessistema ecuaciones lineales..De lo contrario se le llamaDe lo contrario se le llama sistema de ecuacionessistema de ecuacionesno linealno lineal..




8

Def iniciónDef inición

Una solución de un sistemaUna solución de un sistema 2x22x2 es un par es un par ordenado ordenado (x,y)(x,y) que hace cier ta cada una de las que hace cier ta cada una de las ecuaciónes del sistema.ecuaciónes del sistema.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el con junto de todas las soluciones encontrar el con junto de todas las soluciones del sistema. El con junto f ormado por todas las del sistema. El con junto f ormado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones sesoluciones de un sistema de ecuaciones se

conoce como elconoce como el con junto solucióncon junto solución del sistema.del sistema.




9

Ejemplo:Ejemplo:Ver if ica si el par ordenado es una solución delVer if ica si el par ordenado es una solución delsistema de ecuaciones.sistema de ecuaciones.

2 61)

3 4

x y

x y

!®¯

!°

2,1 :OrdenadoPar

:Verificación

2 1 2 6 {

3 1 2 4 {

Por lo tanto el par ordenado 1 , 2 no es solución.




10

2 52)

2 4

x y

x y

® !

¯ !°

Par Ordenado: 1 , 6

561

2

! 4612 !

P or l o t ant o el par ordenado 1 , 6 es solución.

:Verificación




11

Existen var ios métodos para resolver sistemas Existen var ios métodos para resolver sistemas

de ecuaciones, entre ellos,de ecuaciones, entre ellos,1. Método gráfico2. Método de sustitución

3. Método de eliminación por adición

4. Regla de Cramer

5. Método de la matríz aumentada

6. Método de matrices

En esta sección solo trataremos el método gráfico,el método de sustitución y el método de eliminaciónpor adición para sistemas de ecuaciones 2x2.




12

Tipos de sistemas de ecuacionesLos sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasif icar en tres tipos dependiendo de su con junto de soluciones.

1. Sistema consistente independiente:

Son aquellos sistemas de ec

uaciones q

ue tienenuna única solución. Las gráficas de las líneas son

diferentes.2. Sistema consistente dependiente:

Son aquellos sistemas de ecuaciones que tieneninfinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneasson iguales.

3. Sistema inconsistente independiente:Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienensolución. Las dos gráficas de las líneas sonparalelas.




13

MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2

Pr ocedimiento1. Las soluciones del sistema de ecuaciones

serán los puntos de inter sección entre las dos gráf icas.

2. Constr uya la gráf ica de cada ecuación.

Aclaración:Este método es útil solo si podemos leer con

precisión los puntos de intersección entre lasgráficas. En la mayoría de los casos eso no esposible.




14

Ejemplos:Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico

51)

1

2 x y

x y

!®¯

!°y

x

1,2:S olución

52 x y !1 x y !




15

22)

0

x y

x y

!®¯

!°

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

:S olución 1 , 1

2 x y !

0 x y !




16

23)

2 2 0

x y

x y

!®¯

!°

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

Las dos líneas sonparalelas, no tienenpuntos de intersección.El conjunto de solucioneses vacío.

. .C S ! �




17

24)

2 2 4

x y

x y

!®¯

! °

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

2 x y !

2 2 4 x y !

El sistema esdependiente y tieneinfinitas soluciones.

Las soluciones sepueden encontrar buscando puntos decualquiera de laslíneas.

_ a. . ,2 :C S x x x! ��




182

2

25)

4

y x

y x

® ! ±¯

! ±°

El conjunto solucióncontiene dos paresordenados.

_ a. . 2,0 , 2,0C S !




19

PROCEDIMIENTO1. Despeja una de las variables en cualquiera de lasecuaciones.

2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Estoproducirá el valor de una de las variables.

3. S

ustit

uye el valor de la variable del paso anterior encualquiera de las ecuaciones originales para encontrar

el valor de la otra variable.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2




20

E jemplos:Resuelve usando el método de sustitución.

2 61)

3 4

x y

x y

!®¯

!°

x y 26 !

4263 ! x x

4263 ! x x 2! x

226!

y2!

_ a2 , 2C

onjunt oS

olución !

Escogiendo la ecuación, , tenemos2 6 x y !

Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacióntenemos




21

Escogiendo la ecuación, , tenemos

2 52)

4

x y

2 x y

® ! ¯

!° 2 5 x y !


25 x y !

452 2 ! x x

452 2 ! x x

0122! x x

011 ! x x

01 ! x 1! x




22

2

15 ! y 6!

_ a1 , 6C onjunt o S olución !

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacióntenemos,

2 5 x y

! 25 x y !




23

1 310

2 43) 3

44

x y

x y

® !±

±̄± !±°

44

3! x y

1044

3

4

3

2

1!¹

º

¸©ª

¨ x x

Escogiendo la ecu

ación, , tenemos

3

44 x y !





24

103

16

9

2

1! x x

1604898 ! x x

Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,

4816017 ! x

17

208! x

Sustituyendo en la ecuación tenemos,44

3 ! x y

417

208

4

3¹

º

¸©

ª

¨! y

17

88! y 208 88

. . ,

17 17

C S ® ¾¨ ¸! ¯ ¿© ¹

ª º° À




25

Método de Eliminación por AdiciónMétodo de Eliminación por Adición

Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elEste método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elobjetivo que se elimine una de las variables.objetivo que se elimine una de las variables.

Procedimiento:

1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicandolas ecuaciones por los números correspondientes.

2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.

3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede

reemplazar por una sustitución.




26

2 3 31)

2 5

x y

x y

!®¯

!°

2 3 3 2 4 10 x y x y

!®̄ ! °

Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,

Restando las ecuaciones obtenemos,

2 3 3

2 4 10

0 7 7

x y

x y

x y

! !

!




27

77 ! y 1! y

4 6 63 6 15 x y x y

! !

Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primerapor 2 obtenemos,

Sumando las ecuaciones obtenemos,

4 6 6

3 6 15

7 0 21

x y

x y

x y

! !

!

2 2 3 33 2 5

x y x y

!®±̄

!±°




28

Sustituyendo y = 1 en la ecuación,

512 ! x

3! x

_ a. . 3, 1C S !

El sistema es consistente independiente.

7 21 x !

Observación:Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar

el método de su

stitu

ción.

3! x

2 5 x y !




29

2 3 32)

4 6 6

x y

x y

!®¯

!°

664

664

!

!

y x

y x

C. .=�El sistema es inconsistente. No tiene soluciones.

Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,

2 2 3 3

4 6 6

x y

x y

!®±

¯ !±°

4 6 6

4 6 6

0 0 12

x y

x y

x y

!

!

!


0 12! Falso




30

2 3 33)

4 6 6

x y

x y

!®¯

! °

4 6 6

4 6 6

x y

x y

!

!

00 !

El sistema es dependiente.Tiene infinitas soluciones.

2 2 3 3

4 6 6

x y

x y

!®±

¯ ! ±°

Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,


4 6 6

4 6 6

0 0 0

x y

x y

x y

!

!

!

Cierto

3 2. . , :

2

xC S x x R

® ¾¨ ¸! �¯ ¿© ¹

ª º° À




31

Aplicaciones:Aplicaciones:1. El precio de un boleto para cierto evento es de$2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántosboletos de cada tipo se vendieron?

:S oluciónea el número de boletos vendidos de adultos. x

ea el número de boletos vendidos de niños. y

:sistemaelObtenemos450

2.25 1.50 777.75

x y

x y

!®¯

!°




32

adultosde boletos137! x

niñosde boletos313! y

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,




33

2.2. Una lancha de vapor operada a toda máquina

hizo un viaje de 4 millas contra una corrienteconstante en 15 minutos. El viaje de regreso (conla misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10

minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la

velocidad equivalente a la lancha en aguastranquilas en millas por hora.

:S olución

Sea la velocidad de la corriente.Sea la velocidad de la lancha. x y

corriente.ladecontraenlanchaladevelocidad! x y

corriente.ladefavor alanchaladevelocidad! x y




34

Usando la fórmula para distancia ycambiando el tiempo a horas tenemos que:

d vt !

hora60

15 minutos15 ! hora

4

1!

hora

60

10 minutos10 ! hora

6

1!

44

1! x y

46

1 ! x y

1 14

4 4

1 1 46 6

y x

y x

® !±±¯± !±°

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,




35

horamill as x 4!

La velocidad de la corriente es, 4 . x m ph!

hor amill a s y 20!

La velocidad de la lancha es, 20 . y m ph!




36

Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .

4x + y = 0

-4x + y = -8

2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

5x - -x 53

3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .

2x -

-2x - 3y 37

4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

5x 3y

2x - y -23




37

6. Resuelve el ejer cicio.Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y

obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad elCertificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto loinvirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuántodeben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresosde $ 15,100 al año?


5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.3x + y =13

2x - 7y =-7



38

Respuestas de la pre y pos pr ueba

1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 15) x = 5, y = -2

6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%


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