Universidade Federal de Santa Maria

Centro de Cincias Naturais e Exatas

Departamento de Matemtica

COMPARAO GEOMTRICA DESOLUES DE EQUAES DIFERENCIAISORDINRIAS COM CURVAS GERADASPELA TCNICA CHAMA CURLICUE

Trabalho de Concluso de Curso II

Dionatan Ricardo Schmidt

Santa Maria, RS, Brasil

2014

COMPARAO GEOMTRICA DESOLUES DE EQUAES DIFERENCIAISORDINRIAS COM CURVAS GERADASPELA TCNICA CHAMA CURLICUE

Dionatan Ricardo Schmidt

Trabalho apresentado para Banca do Curso de Matemtica daUniversidade Federal de Santa Maria como requisito parcialpara obteno do ttulo de Bacharel em Matemtica

rea de Concentrao: Matemtica Pura.

Orientadora: Prof.a Dr.a Celene Buriol

Santa Maria, RS, Brasil

2014

Universidade Federal de Santa MariaCentro de Cincias Naturais e Exatas

Departamento de Matemtica

A Comisso Examinadora, abaixo assinada,aprova o Trabalho de Concluso de Curso II

COMPARAO GEOMTRICA DE SOLUES DEEQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS COMCURVAS GERADAS PELA TCNICA CHAMA

CURLICUE

elaborado porDionatan Ricardo Schmidt

como requisito parcial para obteo do grau deBacharel em Matemtica

COMISSO EXAMINADORA:

Celene Buriol, Dra.(Presidente/Orientadora)

Claudia Candida Pansonato, Dra.(UFSM)

Joo Paulo Lukaszczyk, Dr.(UFSM)

Santa Maria, 02 de dezembro de 2014

A Matemtica o alfabeto com o qual Deusescreveu o Universo.(Galileu Galilei)

Agradecimentos

Gostaria de agradecer a minha orientadora, Professora Celene Buriol, por aceitar essedesao, e pela imensa colaborao.

Aos meus Pais, Edelar e Janete pelo incondicional apoio.E aos meus amigos, que de uma forma ou de outra, sempre estiveram me apoiando.

Resumo

Neste trabalho apresentaremos um estudo sobre sistemas de equaes diferenciais or-dinrias com coecientes constantes. Ser tambm abordado uma classe de curvas planas,chamadas Curlicues. Na parte nal do trabalho sero feitas comparaes entre o plano defase de um sistema linear no homogneo com o trao de uma curva Curlicue especca.

Sumrio

Introduo 2

1 Curlicues 31.1 Resultados sobre Sequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Denio e Propriedades das Curlicues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Inserindo Sequncias Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Equaes Diferenciais Lineares em Rn 92.1 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Construo de Retratos de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Teoria Geral de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Comparao Entre a Soluo de um Sistema de EDO's e uma CurvaCurlicue 173.1 Soluo do Sistema de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Construindo a Curlicue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Comparao da Soluo do Sistema de EDO e da Curlicue . . . . . . . . . 203.4 Trabalhos Futuros a Serem Considerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Apndice 21

Referncias Bibliogrcas 23

1

Introduo

Neste trabalho de concluso de curso de Bacharelado em Matemtica na UFSM fare-mos uma comparao da soluo de um sistema de equaes diferenciais ordinrias line-ares homogneas e no homogneas de coecientes constantes com uma curva especcada classe de curvas planas chamada Curlicues, dando nfase a comparao geomtrica.

Exploraremos a soluo de sistemas de equaes diferenciais ordinrias lineares homo-gneas e no homognea com coecientes constantes, enfatisando a soluo geomtrica detal sistema.

As curvas chamadas Curlicues, so fruto de um trabalho j realizado (ver [2]). Comas propriedades estudadas sobre as Curlicues, ser construda uma curva para fazer umacomparao geomtrica com a curva gerada pela soluo do sistema de EDO's, que seadapte ao dado inicial dado.

Tal trabalho foi motivado pela necessidade de criao de um projeto de conclusode curso, e especialmente, por tentar fazer uma conexo entre dois assuntos estudadosna graduao, os quais, inicialmente no apresentavam muito nexo, mas que com umestudo mais aprofundado, foi possvel mostrar que ambos contem particularidades que seassemelham e se associam.

No captulo 1, sero expostas propriedades e a tcnica de gerao das Curlicues. Nocaptulo 2, sero expostas propriedades para obteno de solues geomtricas e analticasde solues de equaes diferencias ordinrias lineares homogneas e no homogeneas comcoecientes constantes. No captulo 3 sero apresentadas as comparaes geomtricasenunciadas nos captulos 1 e 2 desse trabalho.

2

Captulo 1

Curlicues

1.1 Resultados sobre Sequncias

Seja xn uma sequncias de nmeros reais, podemos decompor (xn) como a soma de suaparte inteira [xn] = sup{m Z|m xn} e sua parte fracionria {xn} = xn - [xn]. Clara-mente, 0 {xn} < 1. O estudo de xn mod 1 o estudo da sequncia {xn} no intervalo[0, 1).

Denio 1.1.1. A sequncia (xn) equidistribuda mod 1, se para cada a, b com 0 a < b < 1 temos que:

limN

#{xn; {xn} [a, b] : 0 n < N}N

= b a

De imediato, percebe-se que se uma sequncia (xn) equidistribuida no intervalo [0, 1)ento ela densa, pois, caso contrrio, existiriam x [0, 1) e > 0 tais que I (xn) = ,com I = (x , x+ ). Logo SIN = 0 para todo N N, o que nos d:

limN SIN = 0 onde S

IN =

#{xn;{xn}I:0n

(e2ihN1)e2ih(e2ih1)

Portanto

1N |

Nn=1

e2ihn| = |(e2ihN1)e2ihN(e2ih1) | = |

e2ihN1N(e2ih1)|

|e2ihN|+|1|N |(e2ih1)| =

2N |(e2ih1)|

Como (e2ih 1) independe de N , podemos concluir pelo Teorema 1, que

limN

1

N

Nn=1

e2ihn = 0

Assim para todo h 6= 0 inteiro, e irracional, n equidistribuida mod 1.

Proposio 2.0.2: Seja xn uma sequncia de nmeros reais equidistribuda mod 1, entoa sequncia xn densa.

Prova: Suponha que xn no seja densa, isto , existe x0 (0, 1] e > 0, tais que(x0 , x0 + ) {xn} =

limN

#{xn [x0 , x0 + ] : 0 n < N}N

= 0 6= 2

n N

Portanto, toda sequncia equidistribuda mod 1 densa. Mas no vale a recproca.

O teorema a seguir de grande importncia no estudo das sequncias equidistribudas.

Teorema 1.1.1. (Critrio de Weyl):Uma sequncia xn equidistribuda se, e somentese, para todo k Z - {0}

limN

1

N

Nn=0

exp(2kixn) = 0

Sua demostrao encontrada em [1]

Assim, para entender as propriedades de equidistribuio de uma sequncia xn su-ciente estimar o tamanho da soma exponencial

Nn=0 exp(2kixn). Em outras palavras,

4

este critrio nos diz que ao fazermos uma sequncia (xn) girar em torno do crculo uni-trio no plano complexo k vezes o centroide obtido desses pontos se aproxima da origemquando k se torna grande.

Exemplo 1: Seja (xn) uma sequncia de nmeros reais equidistribuda mod 1. Ento,para todo inteiro c 6= 0, a sequncia (cxn) equidistribuda mod 1.

Resoluo: Pelo Teorema 1 sabemos que, sendo (xn) uma sequncia de nmeros reaisequidistribuda mod 1, ento

limN

1

N

Nn=1

e2ihxn = 0

Para h 6= 0. Mas, sabemos que esse resultado vale para todo inteiro ch, com h 6= 0,onde h Z, h 6= 0. Portanto

limN

1

N

Nn=1

e2ichxn = lim

N

1

N

Nn=1

e2ih(cxn) = 0

Logo, pelo Teorema 1, (cxn) equidistribuda mod 1.

1.2 Denio e Propriedades das Curlicues

Denio 1.2.1. Seja x = (xn)n=0 uma sequncia de nmeros reais. Chamamos Curlicue

curva (x) = ([0,)) R2 C tal que:

(0) = (0, 0)

(n) =n1

k=0 exp(2ixk) n = 1, 2, ...

(t) linear se n t n+ 1

Deste modo, a curlicue gerada traando-se segmentos unitrios consecutivos cujon-simo ponto determinado a partir do ponto anterior e pelo ngulo 2un com relaoa horizontal.

Note que exp(2ixn) = exp(2i(bxnc+{xn})) = exp(2i{xn}), assim (xn) = ({xn}),ou seja, a curlicue gerada por uma sequncia igual a curlicue gerada pela sequncia daspartes fracionrias de seus termos.

Exemplo 2: A sequncia (n2) dene a curlicue (n2) cuja imagem no plano complexoat o comprimento 5000 encontra-se na Figura 2.1:

Na sequncia trazemos algumas denies complementares que nos ajudam a caracte-rizar as curlicues.

5

Figura 1.1: curlicue 5000(n2)

Denio 1.2.2. Seja d(, ) a distncia euclidiana. Para A C e > 0 denimos:

DiamA = sup{d(x, y);x, y A}

Uma curva dita limitada se Diam < e ilimitada se Diam = . A curlicue(n) limitada enquanto a curlicue (n) ilimitada.

Denio 1.2.3. (i) Uma curva ilimitada supercial se

limt

t

Diamt=

Onde t a parte inicial de com comprimento t.

(ii) Uma curva limitada supercial se

lim0

Area

=

Onde = {y;x , d(x, y) < }.

No caso ilimitado entendemos que para a curva ser supercial o seu comprimento deveapresentar um crescimento mais rpido do que o seu dimetro. J para o caso limitadoa rea do conjunto deve manter-se sucientemente maior do que o quando este tendea zero.

Teorema 1.2.1. Uma sequncia (xn) equidistribuda se, e somente se, o curlicue (qxn) planar para cada inteiro positivo q.

Demonstrao. Seja x = (xn) uma sequncia de nmeros reais, e para todo inteiro positivoq considere

zn(q) =n1k=0

exp(2iqxk)

Suponha incialmente que (qx) supercial, para todo q Z+. Feito isso, analisare-mos os casos quando (qx) limitada e ilimitada.

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Para o caso limitado, temos que

|zn(q)| Diamn(qx) ()

limn

Diamn(qx)

n= 0

Para o caso ilimitado, tambm vale (), e por hiptese

limnn

Diamn(qx)=

e portanto

limnDiamn(qx)

n= 0

Logo, o limite acima vlido em ambos os casos. Segue ento, da desigualdade (), que

limn|zn(q)|n

= 0

O que implica, pelo Critrio de Weyl, que (xn) equidistribuida.Supondo agora que (xn) equidistribuda temos que, pelo critrio de Weyl, para todo

q Z+

limn|zn(q)|n

= 0.

fcil ver que

Diamn(qx) 2 max0k

b2n+1 = an

ou seja, bn = (0, a1, 0, a2, 0, ...).

Dessa forma (bn) no uma sequncia equidistribuda, pois S(x 1

5,x+ 1

5)

N 12 , N N.O exemplo acima nos motivou a estudar o comportamento das curlicues associadas

sequncias (bn) dadas por:

bpn+k = ck, k = 0, 1, 2, . . . , p 2 (1.1)

bpn+p1 = an (1.2)

onde 2 p N, ck R so constantes e an so os termos de uma sequncia equidis-tribuda. Dessa forma, inserimos p 1 sequncias constantes em uma sequncia (an)equidistribuda.

Exemplo 3: Considere an = n e bn dada por:

b3n = 0

b3n+1 =1

4

b3n+2 = an

Assim, (bn) = (0, 1/4, a0, 0, 1/4, a1, . . .).

Figura 1.2: 120(n) e 110(bn)

Denio 1.3.1. Seja (xn) uma sequncia real. A direo do curlicue (xn) denidapelo vetor

v(xn) = limN

SNN

quando este existe e no nulo. Onde

SN =Nn=0

exp(2ixn).

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Captulo 2

Equaes Diferenciais Lineares em Rn

2.1 Sistemas Lineares

Neste captulo sero expostos sistemas de equaes diferenciais ordinrias lineares deprimeira ordem, homogneas e no homogneas, em sua verso mais simples, a saber, comcoecientes constantes, ou autnomas. Ser dada enfaze, e os resultados obtidos seroem cima de sistemas de equaes lineares 2 2, com coecientes contantes, sem perca degenarilao para sistemas n n.

Iniciaremos estudando os campos lineares

f(x) = TA(x) = A.x = Ax,

onde o operador linear f = TA(x) : Rn Rn dado pela ao A.x = Ax da matrizreal A = (aij)nn sobre o vetor x, ou seja, pelo produto da matriz A como o vetor-colunan 1 formado pelas coordenadas (cannicas) de x Rn. Dizemos que um caminhox : R Rn soluo da equao diferencial linear autnoma

x = Ax

se x derivvel em R e, para cada t R,

x(t) = Ax(t).

Dada uma soluo x : R Rn de x = Ax, dizemos que o ponto x(0) Rn acondio inicial da soluo.

Teorema 2.1.1. Se A = (aij)nn uma matriz real ento, para cada ponto x0 Rn,existe uma nica soluo do problema de valor inicial x = Ax, x(0) = x0.

A demonstrao encontrada em [1].

Uma caracterstica conspcua dessas equaes lineares x = Ax que o conjunto detodas suas solues um espao vetorial, subespao do espao F (R,Rn) de todos oscaminhos de R em Rn.

Denio 2.1.1. Duas matrizes reais A,B M(n), onde M(n) o espao vetorialdas matrizes n n reais, so linearmente conjugadas (ou, simplesmente, conjugadas) ou,ento, semelhantes, se existe uma matriz invertvel Q M(n) tal que AQ = QB, ou seja,tal que

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A = QBQ1.

Nesse caso, dizemos que Q conjuga A e B e podemos escrever A B para indicar aexistncia de uma conjugao.

Proposio 3.0.1: Se Q conjuga as matrizes reais A,B M(n), ento Q transformaas solues de y = By nas solues de x = Ax. Mais precisamente, se A = QBQ1,ento so equivalentes as armaes:

y(t) uma soluo de y = By; Qy(t) uma soluo de x = Ax.

Demonstrao. A matriz Q independe de t, portanto derivando x(t) = Qy(t) obte-mos(pela regra da cadeia)

x(t) = Qy(t) = QBy(t) = AQy(t) = Ax(t).

Como Q invertvel, a demonstrao da recproca anloga.

Proposio 3.0.2:Sejam A M(n) uma matriz diagonalizvel, com Q,D M(n)tais que Q invertvel e Q1AQ = D = diag(1, ..., n). Ento, dado 1 i n eescrevendo Qei = vi, o caminho si : R Rn denido por

si(t) = eitQei = e

itvi, t R,

a soluo de x = Ax com valor inicial x(0) = vi.

Demonstrao. A soluo geral de y = Dy dada por y(t) = (1e1t, ..., nent) =je

jtej, com y(0) =

jej. Pela Proposio 3.0.1, a soluo geral de x = Ax dada por

x(t) = Qy(t) = Q

jejtej =

je

jtQej =

jejtvj,

Com x(0) =

jvj = Q(1, ..., n). Em particular, tomando y(0) = ei, a soluo bsica

y(t) = eitei de y = Dy fornece a soluo bsica si(t) = eitvi de x = Ax.

Para procedermos com nossos resultados das solues de equaes diferenciais linearesdo tipo x = Ax, vamos aprofundar alguns argumentos de lgebra Linear.

Proposio 3.0.3: Seja v Rn um autovetor de A M(n) com autovalor R.Ento

x(t) = etv, t R,

a soluo de x = Ax, x(0) = v.

Demonstrao. Basta derivar x(t) = etv, para obtermos

x = etv = etv = etAv = Ax(t).

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Teorema 2.1.2. Se a matriz A M(n) tem n autovalores distintos, ento A diagona-lizvel.

Demonstrao. Se A tem n autovalores distintos 1, 2, ..., n R associados aos autova-lores v1, v2, ..., vn R ento, pelo lema 1.7 de [2], esses autovetores v1, v2, ..., vn formamuma base de Rn e, pelo proposio 1.4 de [2], A diagonalizvel.

Teorema 2.1.3. (Forma Cannica de Jordan 2 2). Dependendo das razes 1 e 2do polinmio caracterstico pA() de uma matriz 2 2 real A M(2), ocorre exatamenteum dos seguintes casos de classes de equivalncia de semelhana de matrizes:

(1) Se 1, 2 so reais e 1 6= 2, ento A (1 00 2

), sendo as colunas da matriz

de conjugao linear dadas por quaisquer auto-vetor associados aos autovalores 1e 2;

(2) Se 0 = 1 = 2 real e

(a) dim Nuc(0I A) = 2, ento A (1 00 2

)= 0I;

(b) dim Nuc(0I A) = 1, ento A (1 00 2

), sendo as colunas da matriz de

conjugao linear dadas por qualquer vetor u fora do espao Nuc(I A) e oautovetor v = Au 0u de A associado ao autovalor 0;

(3) Se 1 = a+ib e 2 = aib, com a, b R e b 6= 0, so nmeros complexos conjugados,

ento A (

a bb a

), sendo as colunas da matriz de conjugao linear dadas pelas

partes real e imaginria de qualquer autovetor complexo de A associado ao autovalor1.

A demostrao encontrada em [1].

Corolrio 3.12. Sejam w Cn um autovetor complexo de A M(n) com autovalorcomplexo associado a+ ib, com b 6= 0. Seja w = u+ iv a decomposio de w, onde

u =1

2(w + w) e v =

1

2i(w w) (2.1)

so os nicos vetores em Rn tais que w = u+ iv, com u, v Rn, ento{x(t) = eat[(cosbt)u (senbt)v]y(t) = eat[(senbt)u+ (cosbt)v]

(2.2)

denem as nicas solues de x = Ax, com x(0) = u e y(0) = v, respectivamente.

A demostrao encontrada em [1].

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2.2 Construo de Retratos de Fase

Faremos agora, descrio geomtrica das solues da equao linear vetorial

x = Ax, x(0) = (k1, k2)

no plano. dividimos a descrio geomtrica do comportamento das solues de x = Axem trs casos, de acordo com a classicao algbrica dada no Teorema de Jordan, isto ,de acordo com a quantidade 2,1 ou 0 de autovalores distintos de A M(2), mas daremosenfase em apenas um caso especico, que ser tilizado no prximo captulo. Obeserveque cada soluo x = (x1, x2) : R R2 de x = Ax pode ser identicada com uma curvaparametrizada no plano, denominada rbita, que simplesmente o conjunto de pontos

{(x1(t), x2(t))|t R},

munido de uma orientao dada pelo sentido de percurso com t crescente, desde at+. Pela unicidade das solues, por cada ponto do plano passa uma nica rbita e,dadas quaiquer duas rbitas, ou elas coincidem ou so disjuntas.Esboando algumas dessas curvas parametrizadas denidas por solues de equaes noplano, obtemos o retrato de fase da equao diferencial, cujo objetivo dar uma idia docomportamento global da totalidade das solues da equao, com diferentes condiesiniciais.

Seja A M(2) tem dois autovalores complexos conjugados, digamos a ib, b 6= 0,ento, pela forma cannica de Jordan, existe uma matriz real Q M(2) tal que

Q1AQ =

(a bb a

). (2.3)

Decorre dos resultados estudados at agora que a soluo de x = Ax dada por

X(t) = eatQ

(cosbt senbtsenbt cosbt

)(k1k2

)(2.4)

com x(0) = Q(k1, k2). Se quisermos ser mais explcitos, podemos tomar Q = (u, v) (R2)2 = M(2), onde u, v R2 so as partes real e imaginria do autovetor complexow = u+ iv, dado por Aw = (a+ ib)w.Em particular, obtemos as solues explcitas

x(t) = eat[(cosbt)u (senbt)v] (2.5)

y(t) = eat[(senbt)u+ (cosbt)v] (2.6)

de x = Ax, com x(0) = u, y(0) = v, j fornecidas, at em Rn. corolrio 3.12.

Estudaremos o caso em que o polinmio caracterstico da matriz A tem dois autovalorescomlexos conjugados 1 = a + bi e 2 = a bi, com b 6= 0 e a = 0. Com uma mudanade coordenadas lineares, o sistema equivalente ao sistema

x =

(a bb a

)x.

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Utilizando coordenadas polares, as solues do sistema acima podem ser escritas da se-guinte forma:

(t) = reat(cosb(t ),senb(t )).

Observemos que essa soluo peridica de perodo 2b se a = 0 e (t) 6= (0, 0).

A soluo simplesmente ca girando em torno de (0, 0) sobre uma circunferncia, perodica2b, centrada na origem, sem convergir.

Figura 2.1: Retrado de fase com autovetores complexos cannicos b < 0.

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2.3 Teoria Geral de Sistemas Lineares

Mostraremos agora alguns breves resultados sobre o conceito central da teoria deequaes lineares, apresentaremos alguns resultados de exponenciais de matrizes.A idia inicial a de estender a expresso da soluo x(t) = etax0 da equao escalarx = ax a uma expreso da soluo x(t) = etAx0 da equao vetorial x = Ax. Usando aexpanso em srie de Taylor

ea =j=0

1

j!aj

da exponencial escalar, observamos que, para estender essa denio diretamente ex-ponencial de uma matriz, para tal, oferecido toda informao pertinente em [2]. Osespaos euclidianos no so, em geral, lgebras vetoriais, mas a presena de um produtono espao de matrizesM(n), que linearmente isomorfo a Rn2 , faz desse particular espaovetorial uma lgebra vetorial.Denimos a norma e operador como

||A|| = sup|x|1|Ax| = sup

|x|=1|Ax| (2.7)

para A M(n). | . | a norma euclidiana de Rn como pode ser constatado em [2], essanorma trabalha muito bem em parceria com o produto de matrizes, pois vale a propriedadefundamental

||AB|| ||A|| ||B|| (2.8)

Para as potncias Am de A M(n), por induo resulta

||Am|| ||A||m, para cada m N (2.9)

A propriedade (3.1) da norma de operador em M(n) faz de M(n) uma lgebra vetorialnormada.

Assim podemos denir a matriz exponencial de uma matriz A M(n) por

eA = I + A+1

2!A2 +

1

3!A3 + ...+

1

j!Aj =

j=0

1

j!Aj. (2.10)

Agora queremos ver se esta exponencial denida acima converge ou no no espao normadoM(n), isto , desejamos saber se o conceito est bem denido.No caso geral, temando a norma || . || de operador de M(n), obtemos

j=0

|| 1j!Aj|| =

j=0

1

j!||Aj||

j=0

1

j!||A||j = e||A|| (2.11)

A srie que dene a exponencial , portanto, absolutamente convergente e, assim, pelolema 9.5 de [2], tambm converge. Isso mostra que a exponencial de uma matriz est bemdenida.

14

Proposio 3.0.4: Dados uma matriz A M(n) e x0 Rn, os caminhos t 7etA emM(n) e t 7 etAx0 em Rn so derivveis e

d

dtetA = AetA M(n), d

dtetAx0 = Ae

tA Rn (2.12)

A demostrao encontrada em [1].

Teorema 2.3.1. Se A M(n) e x0 Rn, ento o caminho

x(t) = etAx0, t R, (2.13)

Denem a nica soluo de x = Ax com condio inicial x(0) = x0.

A demostrao encontrada em [1].

Consideremos agora o sistema linear no homogneo da forma:

x(t) = Ax(t) + b(t) (2.14)

onde

x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

;A =a11 a1n... ...an1 ann

; b(t) =b1(t)b2(t)...

bn(t)

(2.15)Temos que vale o seguinte resultado:

Lema 1. Sejam x1(t) e x2(t) solues de 3.14 ento (t) = x1(t) x2(t) soluo dosistema homogneo associado x = Ax(t)

Demonstrao. De fato:x1(t) = Ax1(t) + b(t) (2.16)

x2(t) = Ax2(t) + b(t) (2.17)

logo

(t) = x1(t) x2(t) = Ax1(t) + b(t) Ax2(t) b(t)= A(x1(t) x2(t)) = A(t)

Teorema 2.3.2. Sejam xc(t) soluo geral de

x(t) = Ax(t), (2.18)

e (t) soluo particular dex(t) = Ax(t) + b. (2.19)

Ento a soluo geral X(t) de 3.14 dada por

X(t) = xc(t) + (t). (2.20)

15

Demonstrao. Temos que x1(t) e (t) so solues de 3.14, segue do lema 1 que x(t)(t) soluo de X (t) = Ax(t). logo

X(t) (t) = c1x1(t) + + cnxn(t) (2.21)

onde x1(t), , xn(t) so n solue L.I. de X (t) = Ax, mas

c1x1(t) + + cnxn(t) = xc(t) (2.22)

seque de 3.21 queX(t) = xc(t) + (t) (2.23)

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Captulo 3

Comparao Entre a Soluo de um

Sistema de EDO's e uma Curva

Curlicue

Neste captulo iremos construir as solues geometricas de um sistema linear de equa-es diferenciais ordinrias, com coecientes constantes, e faremos uma construo decurvas com a tcina denominada Curlicues, com nfase em uma comparao geomtricaentre a soluo geomtrica da equao diferencial e a curva obtida pela tcnica Curlicue.

3.1 Soluo do Sistema de EDO

Nesta seo vamo apresentar e resolver analtica e geometricamente o sistema linear deequaes diferenciais.

O sistema de quaes diferencias lineares, com coecientes constantes, a ser conside-rado ser {

x(t) = y(t) + 1y(t) = x(t)

(3.1)

com condio inicial x(0) = 1, y(0) = 1.

Clculo de xc(t): {x(t) + y(t) = 0

y(t) x(t) = 0(3.2)

xc(t) = eAt

[c1c2

]=

(sen(t) cos(t)cos(t) sen(t)

)(c1c2

)(3.3)

Consideremos

p(t) =

(A0B0

)

17

Para determinar A0 e B0 substituimos em (3.1) e obtemos que

p(t) =

(0 11 0

)(A0B0

)+

(10

)(3.4)

isto (00

)=

(B0A0

)+

(10

)=

(1B0A0

). (3.5)

Assim temos que A0 = 0 e B0 = 1, logo

p(t) =

(01

). (3.6)

Portanto a soluo geral do sistema (x(t)y(t)

)=

(sen(t) cos(t)cos(t) sen(t)

)(c1c2

)+

(01

). (3.7)

Aplicando a condio inicial(x(0)y(0)

)=

(0 11 0

)(c1c2

)+

(01

)=

(c2

c1 + 1

). (3.8)

Segue de (3.8) e da condio inicial que:

c2 = x(0) = 1 c2 = 1c1 + 1 = y(0) = 1 c1 = 0

logo a soluo geral do sistema (3.1) (x(t)y(t)

)=

(sen(t) cos(t)cos(t) sen(t)

)(01

)+

(01

)=

(cos(t)

sen(t) + 1

)(3.9)

Figura 3.1: Soluo geomtrica do sistema de EDO

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3.2 Construindo a Curlicue

Primeiramente, para construo da Curlicue, vamos apresentar dois resultados, masantes lembremos do seguinte.

kn=0

e2ian =k

n=0

[cos(2an) + isen(2an)]. (3.10)

Como temos uma bijeo entre R2 e C, tomando a parte real do somatrio acima comoeixo das abscissas, e a parte complexa como o eixo das ordenadas, podemos assim, escreverem forma vetorial.

(k

n=0

cos(2an),k

n=0

sen(2an)). (3.11)

A curlicue a qual iremos fazer a comparao geomtrica com o sistemas de EDO's sera seguinte.

(699n=0

1

111.40cos(

2n

700),

699n=0

1

111.40sen(

2n

700)

)(3.12)

Figura 3.2: Curlicue 3.12

Utilizando o software Maple, plotando apenas os pontos aos quais cada vetor somacorresponde.

Notamos aqui, que a frao 1111.40

esta inserida para diminuir o espaamento entre ospontos, ou seja, fazer com que os pontos quem cada vez mais prximos, tendo assim umamelhor denio da gura que esta sendo formada pelos segmentos que ligam os pontosgerados.

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3.3 Comparao da Soluo do Sistema de EDO e daCurlicue

Em uma anlise geomtrica incial podemos notar que as duas curvas so muito coin-cidentes, como mostra a gura 4.3, a seguir:

Figura 3.3: Soluo e campo de solues da EDO e Curlicue gerada

A comparao a qual iremos fazer ser uma comparao pontual, com apenas algunspontos a serem considerados. Como a gerao geomtrica da Curlicue para n pontos,e a gerao geomtrica da soluo do sistema de EDO para t(tempo) pontos no socorrespondentes, escolheremos n do somatrio correspondente a t da soluo do sistema deEDO para termos o mesmo ponto correspondente do plano cartesiano, que apresentadona tabela a seguir, onde ser mostrado a norma da diferena entre o ponto (x, y) do vetorda Curlicue, e da soluo do sistema.

Soluo Sistema de EDO Curlicue Norma da Diferena dos vetores(cos(t), sen(t) + 1) Equao 3.12

t = 0 n = 176(1, 1) (1.00455, 1.00455) 0.00632t = 1 n = 285

(0.54030, 1.84147) (.55917, 1.83223) 0.02110t = 2 n = 399

(0.41615, 1.90920) (0.41726, 1.90687) 0.00245t = 3 n = 510

(0.98999, 1.14112) (0.98593, 1.13876) 0.00474t = 4 n = 621

(0.65364, 0.24321) (0.65012, 0.24399) 0.00360t = 5 n = 34

(0.28366, 0.04108) (0.30070, 0.04486) 0.01744t = 6 n = 144

(0.96017, 0.72058) (0.96486, 0.72106) 0.00471

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Podemos observar que depois de calculada a diferena entre o ponto gerado pela so-luo da EDO e o ponto gerado pela Curva Curlicue, e calculando a norma deste vetordiferena, ou seja, seu comprimento, ele muito pequeno. Conjectura-se que fazendo umajuste mais preciso da Curlicue, pode-se diminuir o erro entre a norma da diferena dovetor para algo to pequeno quanto se queira.

3.4 Trabalhos Futuros a Serem Considerados

A ideia que para problemas futuros, se tenha um melhor entendimento de como sogeradas as Curlicues, principalmente onde se trata de inserir subsequncias constantes.

O objetivo seria comparar a soluo de um sistema de EDO's(cuja soluo analticaexplcita seja muito trabalhosa, ou impossvel de se obter) com uma Curlicue especca.Nesse caso se compararia, se possvel, o campo de direes da soluo de tal sistema comuma Curlicue apropriadamente construida, a m de se obter propriedades analticas dasoluo do sistema.

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Apndice

Programas em Maple e Matlab

Para plotar a Curlicue com os segmentos lingando os pontos um a um, utilizamos (emMatlab):

Figura 3.4: Cdigo em Matlab para gerar Curlicues

Programa para gerar a soluo de sistemas de EDO's e os campos de direes dasoluo (em Maple).

> with(DEtools);> eq1 := diff(x(t), t) = y(t) 1;> eq2 := diff(y(t), t) = x(t);> ini1 := x(0) = 1, y(0) = 0;> DEplot(eq2, eq1, [x(t), y(t)], t = 0..8, [[ini1]],> linecolor = blue, stepsize = 0.5e 1, color = gray);

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O Comando para a gerao da Curlicue pontualmente (em Maple):

> with(DEtools);> x = ([sum((1/(111.40)) cos(( k)/350), k = 0..n 1), n = 1..700])> y = ([sum((1/(111.40)) sin(( k)/350), k = 0..n 1)], n = 1..700);> pointplot({seq(x, y)});

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Referncias Bibliogrcas

[1] C.I. Doering e A.O. Lopes, Equaes Diferenciais Ordinrias. Rio de Janeiro: IMPA,2007

[2] F. M. Dekking end M. Mendes France. Artigo, Uniform distribution modulo one: ageometrical viewpoint. Berlin, 1826

[3] T. Ali e S. Dionatan. Artigo, Um Estudo sobre Curlicues. So Paulo, 2014

[4] W. Boyce e R. Diprima, Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valoresde Contorno. Rio de Janeiro, 1999

[5] J.M. Deshouillers, Geometric aspects of Weyl sums. Warsaw, 1985

[6] M. V. Berry and J. Goldberg. Article, Renormalization of curlicues. rehovot. israel,1987

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