Sistemas de masa variableA. Fernandez Caballero, J. D. Garca Fuentes

26 de marzo de 2012

Resumen

En este trabajo se estudian los sistemas de masa variable. Se analizan caractersticasgenerales y se expone una amplia variedad de ejemplos de este tipo de sistemas fsicos.

1. Introduccion.

En la fsica elemental se tiende, generalmente, a estudiar en profundidad sistemascuyas masas permanecen constantes en el tiempo, dejando de lado o unicamente intro-duciendo algunos ejemplos especficos en los que la masa vara. Ese precisamente es elobjetivo de este trabajo, realizar un estudio de los sistemas cuya masa no es constante,sino que depende del tiempo. Con esta condicion se vera que la evolucion de los sistemases mas complicada que en el caso de sistemas con masa constante. Se analizaran, a nivelgeneral, las consecuencias de esta consideracion y se expondran distintos ejemplos de estetipo de sistemas.

En la mecanica clasica la masa de una partcula, o de un conjunto dado de partculas,es constante. Por tanto, un sistema mecanico que no pierda ni gane partculas mantiene sumasa invariable. La variacian de masa en un sistema procede de la perdida o ganancia departculas. Esto puede ocurrir cuando el sistema quede definido por ejemplo por el criteriode las partculas contenidas dentro de un recinto determinado. Como veremos en lo quesigue, la variacion de masa produce a su vez un cambio de la cantidad de movimiento delsistema, interpretable a partir de una fuerza ficticia equivalente.

2. Ecuacion de movimiento

2.1. Fuerzas

Para estudiar en general tales sistemas de masa variable, consideraremos un sistema,de masa instantanea m, cuyo centro de masa se esta moviendo en ese instante t con unavelocidad ~v(t) en un cierto referencial inercial, y que se encuentra sometido a una fuerza

resultante externa ~Fext(t). Un cierto instante posterior, t+t, la configuracion del sistemahabra cambiado, por haber sido alcanzado dicho sistema por una pequena masa m quese mova inicialmente con una velocidad ~u(t), medida tambien en el mismo referencialinercial.

Nuestro proposito primordial es establecer la forma que tomara la segunda ley delmovimiento para el sistema de masa m(t). Podemos analizar la situacion considerando elsistema global m(t) + m, que es un sistema de masa constante al que podemos aplicarsin ambages los resultados conocidos. Puesto que el sistema global (m(t) + m) es demasa constante, podemos asegurar que para el ocurre:

~Fext(t)t = ~p(t) (1)

1

2.1 Fuerzas Metodos matematicos para la mecanica

O sea que la variacion de momento lineal producida por la resultante de las fuerzasexternas al sistema durante el intervalo de tiempo t es igual al cambio de la cantidadde movimiento del mismo. Podemos escribir:

~Fext(t)t = (m(t) + m)(~v(t) + ~v) (m(t)~v(t) + ~u(t)m) (2)Podemos escribir, despreciando los productos de varios incrementos, la siguiente ex-

presion:

~Fext(t)t = m(t)~v + ~v(t)m ~u(t)m (3)Se puede hacer el paso al continuo dividiendo por t y tomando el lmite t 0,

obteniendo as la definicion de derivada, y por tanto la siguiente ecuacion:

~Fext(t) = m(t)d~v(t)

dt+ ~v(t)

dm(t)

dt ~u(t)dm(t)

dt(4)

O lo que es igual:

~Fext(t) =d

dt[m(t)~v(t)] ~u(t)dm(t)

dt(5)

que no es sino la expresion de la segunda ley de Newton, que define la fuerza externaque actua sobre un sistema material cuya masa no permanece constante en el transcursodel tiempo, por estar recibiendo un aporte de masa y, por supuesto, de cantidad demovimiento desde el exterior.

Debemos hacer incapie en que las ecuaciones (4) y (5), se reducen a expresionesconocidas en determinadas situaciones. Estas ecuaciones son, respectivamente:

~Fext(t) = m(t)~a(t) ; ~Fext(t) =d~p(t)

dt(6)

que aparecen siempre que el sistema que estemos considerando tenga masa constante; estoes, siempre que no intercambie masa con el exterior, o incluso cuando intercambiandolasea ~u(t) = 0.

Para estudiar el movimiento de un sistema abierto (de masa variable) hemos tenidoque recurrir a incluir la masa m que se aporta (o que se desprende) al sistema en un sis-

tema global de masa constante. Esto ha sido necesario porque la expresion ~Fext(t) =d~p(t)dt

solo puede utilizarse para sistemas cerrados, aun cuando en ellos exista intercambio demasa entre sus diversas partes. Sin embargo, en muchos problemas, como en los refer-entes al movimiento de los cohetes, estaremos interesados estrictamente en el estudio delmovimiento de una de las partes del sistema. Entonces sera conveniente definir como sis-tema principal esa parte cuyo movimiento nos interesa, aun cuando su masa vare con eltiempo. En esas condiciones, sera mas interesante reescribir la expresion (4) en la forma:

~Fext(t) + (~u(t) ~v(t))dm(t)dt

= m(t)d~v(t)

dt(7)

que posee una interpretacion fsica mas evidente. El primer termino del primer miembrorepresenta el ritmo con que la fuerza externa (el medio ambiente) esta suministrandocantidad de movimiento al sistema de masa m(t) (variable); el segundo termino representael ritmo con que se esta transfiriendo cantidad de movimiento al sistema principal, demasa m(t) (variable), por la masa que se le incorpora o que sale del mismo. Este segundotermino debera interpretarse como la fuerza ejercida sobre el sistema principal por lamasa que se la incorpora o sale de el. En el caso de un cohete, este termino recibe elnombre de empuje; en general lo llamaremos fuerza de reaccion y lo designaremos por~Freac(t).

2

2.2 Momento angular Metodos matematicos para la mecanica

La suma de esas dos fuerzas es la fuerza total que actua sobre el sistema principal,que sera igual al producto de la masa m (variable) del mismo por la aceleracion de sucentro de masa; es decir,

~Fext(t) + ~Freac(t) = m(t)~a(t) (8)

como si se tratase de un sistema cerrado.La cantidad ~u(t) ~v(t) es la velocidad relativa de la masa que se incorpora o sale del

sistema principal respecto a el (~urel(t)); y por lo tanto:

~Fext(t) + ~urel(t)dm(t)

dt= m(t)

d~v(t)

dt(9)

~Freac(t) = ~urel(t)dm(t)

dt(10)

Con este estudio que hemos expuesto, ya estamos en condiciones de analizar cualquiersistema cuya masa no sea constante a lo largo del tiempo.

2.2. Momento angular

A la obtencion de la expresion del momento angular, no vamos a seguir incluyendo lasdependencias temporales para que las expresiones no sea aun mas engorrosas. Supongamosun sistema de partculas i = 1, 2, . . . n , buscamos un sistema de referencia inercial S conrespecto al cual mediremos las magnitudes de movimiento de las partculas: velocidades.Por otra parte las posiciones de las partculas las podemos medir con respecto a puntosde movimiento arbitrario con respecto a nuestro sistema inercial.

Figura 1: Esquema de nuestro sistema de partculas.

El momento angular con respecto al punto O, se define como:

~h0 =

~rimi(d~Ridt

)=

~rimi(d~ridt

+d~R0dt

)=

~rimi([

d~ridt

]+ ~ ~ri + d

~R0dt

)

Que tambien se puede desarollar como:

~h0 =i

{d

~R0dtmi~ri + ~ri (~ ~ri) + ~ri

[d~ridt

]}(11)

3

3 Ejemplos sencillos. Metodos matematicos para la mecanica

Derivando con respecto en el sistema de referencia inercial obtenemos:

d~h0dt

= d~ri

dtmi

(d~Ridt

)+

~rimi d2 ~Ridt2

= d~R0

dt(mi

d~ridt

)+

~rimi d2 ~Ridt2

Obtenemos la ecuacion de momento angular:

~M0 =

~ri mi d2 ~Ridt2

=d~h0dt

+ d~R0

dt(mi

d~ridt

)(12)

3. Ejemplos sencillos.

3.1. Ejemplo A. Modelo discreto

En primer lugar analizaremos un caso simplificado de sistema de masa variable.Supongamos una plataforma plana apoyada sobre unos rales, un total de masa M , car-gada con 2 bloques de masa m cada uno.

En el instante de tiempo t = 0, se lanzan los 2 bloques a una velocidad u respecto a laplataforma . Analicemos la velocidad final adquirida por la plataforma plana, mediantela conservacion de la cantidad de movimiento:

pi = pf

Si al inicio tenemos el sistema en reposo la cantidad de movimiento inicial es 0. Y lavelocidad final adquirida por la plataforma:

0 = M v + 2m (u+ v) v = 2muM + 2m

Ahora pensemos en un proceso secuencial en el que lanzaramos primero un bloque,y luego el otro, planteando la conservacion de la cantidad de movimiento:

0 = (M +m) v1 +m (u+ v1) v1 = muM + 2m

Esta es la velocidad adquirida despues del primer lanzamiento. Despues del segundola conservacion de la cantidad de movimiento sera:

(M +m)v1 = Mv2 +m (u+ v2) v2 = mu+ (M +m) v1M +m

=mu

M +m+ v1

Y la velocidad final sera:

v2 =mu

M +m+

mu

M + 2m

4

3.2 Ejemplo B. Metodos matematicos para la mecanica

Vamos a generalizar para el caso de n bloques de masa m, lanzados a velocidad relativau:

n de golpe n secuencial

vf =nmu

M + nmvf =

ni=1

mu

M + im

Vamos a comparar las velocidades adquiridas en uno y otro caso:

vf

vf=

ni=1

1

M + imn

M + nm

1

As pues concluimos que la velocidad adquirida por los lanzamientos secuencialessiempre sera mayor.

3.2. Ejemplo B.

Una cadena flexible de longitud total L y masa total M se suspende verticalmentede modo que su extremo inferior esta justo al nivel del suelo y se suelta. Determine lareaccion que ejerce el suelo sobre el monton que se acumula mientras la cadena cae.Supondremos que los eslabones son muy pequenos (para poder asemejarlo a un continuo)y que no rebotan.

Solucion. Estamos en una situacion unidimensional, por lo que solo estudiamos loque sucede en el eje vertical. Sea el sistema de masa variable el monton acumulado, demodo que en la direccion vertical:

v(t) = 0, u(t) = gt, Fext(t) = R(t)m(t)g, m(t) = M2Lgt2

Por lo tanto, la ecuacion (9) nos conduce a:

R(t)m(t)g gtdm(t)dt

= 0 R(t) = 3M2L

g2t2

Evidentemente, esta expresion tiene sentido fsico durante el intervalo de tiempo en elque la cadena este cayendo. La reaccion maxima del suelo sobre el monton acumulado seda cuando el punto mas alto de la cadena alcanza el suelo. Calculemosla. Para un cuerpoen cada libre desde una altura L, el tiempo de cada es

t =

2L

g

y por lo tanto:

R(tmax) = 3Mg

La reaccion maxima es tres veces el peso de la cadena. Esto se debe al intercambiode momento existente entre la cadena y el suelo, lo que provoca que el suelo deba ejerceruna reaccion superior a la que debera realizar si el cuerpo estuviera simplemente apoyadosobre el. Una vez toda la masa de la cadena este sobre el suelo, el valor de la reaccionque ejerce el suelo sobre el monton acumulado es constante. En esa situacion R = Mg

5

3.3 Ejemplo C. Metodos matematicos para la mecanica

Figura 2: Ejemplo B. Para la representacion M = 1kg,L = 1m. Se observa la discontinuidad que se produceen el momento en que toda la cadena ha caido al suelo.

3.3. Ejemplo C.

Un deposito cilncrico de masa M, con base circular de area A, tiene lquido inicial-mente hasta una altura h0. Al nivel del suelo se hace un pequeno agujero circular de areaa por el cual el agua supondremos que sale horizontalmente. Determine la aceleracion deldeposito producido por la perdida de masa.

Solucion. Sea h(t) la altura del lquido en el deposito y su densidad. Si suponemosque la aceleracion no afecta a la superficie del lquido, podemos primero estimar la formaen que decrece la masa del lquido en el recipiente. La velocidad de salida del lquido,referida al recipiente y suponiendo a

3.4 Ejemplo D. Metodos matematicos para la mecanica

dv(t)

dt= 2g

a

A

h(t)MA + h(t)

La derivada de la altura respecto del tiempo es proporcional a la derivada de la masarespecto del tiempo, ya que m(t) = Ah(t). Podemos as calcular la expresion de la alturaa partir de esta ecuacion diferencial:

dh(t)

dt= a

2gh(t)

A

Integrando entre el instante inicial, para el cual h(0) = h0 y un instante arbitrario t(siempre y cuando aun quede lquido en el recipiente) se obtiene,

h(t) =[

h0 aA

2g t]2

Volviendo de nuevo a la ecuacion diferencial para la velocidad, y sustituyendo laexpresion de la velocidad, obtenemos:

dv(t)

dt= 2g

a

A

[h0 aA

2g t]2

MA +

[h0 aA

2g t]2

Esta ecuacion diferencial es sencilla de resolver, realizando el cambio de variable x =h0 aA

2g t, haciendo la division, integrando y deshaciendo el cambio de variable se

llega a lo siguiente:

v(t) = 2ga

At+

2gM

Aarctan

[Ah0M

a

2g

AMt

]

2gM

Aarctan

[Ah0M

]

Esta expresion es valida mientras quede lquido en el recipiente. El instante para elque nos quedamos sin lquido se puede obtener haciendo h(tf ) = 0, lo que nos conduce a

que tf =Aa

h02g .

3.4. Ejemplo D.

Una cadena flexible de longitud total L y masa total M viene deslizando dobre unasuperficie horizontal lisa, sin friccion y con velocidad constante u0 en la direccion OX ensentido de las X crecientes. Al llegar al origen se encuentra con un bloque de masa Minicialmente en reposo. Determine la posicion del bloque en funcion del tiempo mientrasla cadena se acumula contra el. Supondremos que los eslabones son muy pequenos (parapoder asemejarlo a un continuo) y que no rebotan.

Solucion. Estamos en una situacion unidimensional, por lo que solo estudiamos loque sucede en el eje horizontal. Sea x(t) la coordenada del bloque. La masa total delsistema sera la del bloque mas la fraccion de masa de la cadena que se vaya acumulandocontra el. Es por tanto:

m(t) = M +M

L(u0t x(t))

Ademas, de acuerdo con nuestra nomenclatura u(t) = u0, v(t) = x, Fext(t) = 0. Laecuacion (9) conduce a la siguiente ecuacion diferencial:

0 =

(M +

M

L(u0t x)

)x M

L(u0 x)2,

7

3.4 Ejemplo D. Metodos matematicos para la mecanica

Figura 3: Ejemplo C. Para la representacion se hautilizado M = 1kg, h0 = 0,5m,a = 0,5cm

2 y A = 1dm2. Seobserva que al inicio la velocidad crece linealmente.

o bien, en terminos de la variable auxiliar z(t) = L+ u0t x(t):

0 = z(t)z(t) + z2(t)

con condiciones iniciales z(0) = L, z(0) = u0. Nos damos cuenta que la ecuacion diferen-cial previa se puede reescribir como:

0 =d

dt[z(t)z(t)]

Cuya integracion resulta inmediata y es:

z(t) =K1t+K2

donde las constantes se determinan con las condiciones iniciales, resultando serK1 = 2Lu0y K2 = L

2. Deshaciendo el cambio de variable recuperamos la posicion del bloque, queera nuestro objetivo:

x(t) = u0t+ L

[1

2u0Lt+ 1

]Esta expresion es valida hasta que la masa total de la cuerda se incorpora a nuestro

sistema de interes, es decir mientras que t 3L/2u0.Posteriormente, el sistema continuara moviendose a velocidad constante. Concreta-

mente a la velocidad alcanzada cuando la cadena se agota.

v(t) =dx(t)

dt= u0

1 11 + 2u0L t

v(tf ) =

u02

Lo que concuerda con el principio de conservacion del momento lineal. Al principio uncuerpo de masa M se desplazaba a velocidad u0, finalmente tenemos un cuerpo de masa2M , por lo que la velocidad ha de reducirse a la mitad.

8

4 Aplicaciones Metodos matematicos para la mecanica

Figura 4: La condicion para determinar el instanteen el que toda la cadena forma parte de nuestro

sistema es que el punto mas atrasado de la misma haya

alcanzado al bloque u0tf L = x(tf ).

(a) Velocidad (b) Posicion

Figura 5: Ejemplo D. Se han utilizado estos valoresM = 1kg, L = 1m, u0 = 2m/s

4. Aplicaciones

4.1. Aspersor

Analizaremos a continuacion el problema de un aspersor. Supongamos que establece-mos un flujo Q, de lquido de densidad, a traves de pivote, O. El pivote permite que laestructura del aspersor de radio R gire en torno a el. La velocidad relativa de salida dellquido la llamaremos vr. Supongamos que el momento de la friccion del pivote es:

~ = k ~k se opone al movimientoA continuacion vamos a obtener la velocidad angular en modo estacionario.Aplicando el teorema del momento angular a las partculas interiores al aspersor (nue-

stro sistema) de masa total m:~ri ~Fi,ext = d

dt

(~ri mi~vi

)Los momentos estan calculados respecto al punto O y las velocidades y las fuerzas

son las observadas en un sistema inercial, pero expresadas en la base movil del sistema,es decir ejes x, y. Las interacciones relevantes de nuestro sistema con el medio exterior ael producen 2 momentos:

~fric = k ~k

~flux = ~rs1 (dm

dt

s1

~vr,s1)

+ ~rs2 (dm

dt

s2

~vr,s2)

9

4.1 Aspersor Metodos matematicos para la mecanica

Figura 6

donde los terminosdm

dt

s1

= Q2

ydm

dt

s2

= Q2

son las variaciones de la masa

total a traves de las secciones S1 y S2. Ambas son magnitudes negativas pues suponenperdidas.

Las posiciones y velocidades relativas estan expresadas respecto del triedro movil quegira con velocidad angular ~, sus expresiones en esta base son:

~rs1 = R~i y ~vr,s1 = ~vr + ~ ~rs1 = vrsen~i+ (R vrcos)~j

~rs1 = R~i y ~vr,s2 = ~vr + ~ ~rs2 = vrsen~i (R vrcos)~jAhora aplicando el teorema del momento angular tenemos (estacionario):

k = QR (R vrcos) = vrcosQRQR2 + k

Resultado que muestra que incluso cuando el torque de friccion sea cero, la velocidadangular esta acotada por un valor maximo:

max =vrcos

R

Si queremos estudiar el comportamiento en dependencia temporal tenemos que teneren cuenta el termino

d

dt

(~ri mi~vi

)Si desdoblamos este termino para partculas de agua y para partculas plasticas/metali-

cas de la tubera:

d

dt

(~ri mi~vi

)=

d

dt

(~ra ma~va

)+d

dt

(~re me~ve

)Con

~va = ~vra + ~ ~ra y ~ve = ~ ~reLlegamos a:

d

dt

(~ri mi~vi

)=

d

dt

(~ra ma~vra +

~ra ma (~ ~ra) +

~re me (~ ~re)

)

10

4.2 Aspersor de Feynman Metodos matematicos para la mecanica

Derivando el primer termino de la derecha:

d

dt

(~ra ma~vra

)=

(~vra + ~ ~ra + ~ ~ra) ma~vra +

~ra ma (~ ~vra) =0

Y los demas:

d

dt

(~ri mi~vi

)=

d

dt

(~

ma (~ra ~ra) + ~

me (~re ~re))

d

dt

(~ri mi~vi

)=

d

dt

[~ (

ma (~ra ~ra) +

me (~re ~re))]

Ahora vamos a despreciar el termino de momento de inercia correspondiente a lasmoleculas de agua, debido a que la gran contribucion van a ser las moleculas del solido:

d

dt

(~ri mi~vi

)=

d

dt(~ I) = I d~

dt= m

R2

3

d~

dt

As pues la ecuacion diferencial sale:

mR2

3

d

dt+

(QR2 + k

)= QRvrcos

Cuya solucion es:

= est (1 exp(t/)) = mR2

3 (QR2 + k)

Observar que depues de un largo tiempo se obtiene la solucion estacionaria.

4.2. Aspersor de Feynman

En 1985 R.P Feynman uno de los mas distinguidos fsicos del siglo XX publico unacoleccion de anecdotas biograficas, que luego se convertiran en el libro Esta usted debroma, Mr Feynman. Llamaron mucho la atencion por su caracter humorstico. En lapagina 63 de este libro aparece:

((There was a problem in a hydrodynamics book, that was beingdiscussed by all the physics students. Thre problem is this: Youhave an S-shaped lawn sprinkler... and the water squirts out atright angles to the axis and makes it spin in a certain direction.Everybody knows which way it goes around; it backs away from theoutgoing water. Now the question is this: If you... put the sprinklercompletely under water, and sucked the water in ... which waywould it turn?))

Discutamos el problema, por claridad se discutira el sistema con forma de L, en lugarde forma de S.

Vamos a analizar las fuerzas que intervienen en el problema. Cuando el lquido entrapor el orificio lleva una cierta velocidad y consecuentemente cada partcula lleva unacantidad de momento que comunica a la pared de la tubera, as el aspersor rotara ensentido antihorario (visto desde arriba).

Por otra parte existe una diferencia de presion entre las paredes de la tubera, ademasesta fuerza tiene el mismo modulo que la anterior. Esto supondra que el aspersor norotara.

En cambio si tenemos en cuenta que durante el transitorio la fuerza que apareceprimero es la debida a la diferencia de presion, se espera que el sistema gire en sentido

11

4.3 Cohetes monoetapa Metodos matematicos para la mecanica

Figura 7

horario. Despues cuando el flujo de agua pare la fuerza predominate tendera a frenar surotacion.

No se sabe con certeza absoluta cual es el sentido de rotacion del sistema. De hechoen la literatura se encuentran calculos y experimentos que se contradicen. El experimentomas reciente se puede ver online en la web y afirma que el sentido de rotacion es horario(experimento).

4.3. Cohetes monoetapa

4.3.1. Velocidad maxima

Ahora vamos a analizar el movimiento de un sistema a propulsion en un campo grav-itatorio uniforme.

La ecuacion de movimiento es

dv

dt=T

m g con T = udm

dt

La solucion de esta ecuacion es:

v = v0 + u log(m0m

) gtCuando se haya gastado el combustible tendremos velocidad maxima alcanzada:

vb = v0 + u log(m0mb

) gtbEn funcion de los parametros inciales de masa y aceleracion inicial tenemos:

12

4.3 Cohetes monoetapa Metodos matematicos para la mecanica

vb = v0 + u

[log(

m0mb

) 1R(

1 mbm0

)]Con R = T

m0g=a0 + g

gy tb =

I

R(

1 mbm0

).

Ahora vamos a estudiar que velocidades podemos obtener con arreglo a materialescombustibles qumicos. La velocidad de eyeccion de los combustibles qumicos dependede su energa termica por unidad de masa (debe ser un numero grande) y del pesomolecular (debe ser pequeno). Los combustibles qumicos quedan caracterizados por suimpulso especfico, I

I impulso producido por un sistema que quema 1 libra (peso) de combustible cadasegundo.

Chemical propellant Type lb-sAmmonium nitrate rubber Solid 170-210Potassium perchlorite thickol or asphalt Solid 170-210Liquid oxygen alcohol 250-270Fluorine hydrogen 300-385

Con estos datos podemos obtener la velocidad de eyeccion:

u = 32,2 I(ft/sec)

Chemical propellant Type lb-s v(ft/sec) v(km/h)Ammonium nitrate rubber Solid 170-210 5474-6762 6006-7420Potassium perchlorite thickol or asphalt Solid 170-210 5474-6762 6006-7420Liquid oxygen alcohol 250-270 8050-8694 8833-9540Fluorine hydrogen 300-385 9660-12397 10600-13600

Graficamos a continuacion las velocidades maximas.

13

4.4 Optimizacion en cohetes multietapa Metodos matematicos para la mecanica

4.3.2. Distancia recorrida

Ahora vamos a calcular cuanto sube el cohete antes de que se le acabe el combustible,para ello tenemos que integrar la ecuacion anterior de la velocidad en funcion del tiempo.Vamos a hacer las siguientes suposiciones:

dmdt

=m0 mb

tb= constante

La distancia recorrida vendra dada:

h =

tb0

vdt =

tb0

dt(v0 + u log(m0

m) gt

)Integrando:

hb h0 = utb[1 1

m0/mb 1 log(m0mb

)

]+ v0tb 1

2gt2b

donde hemos supuesto que la gravedad no vara apreciablemente con la altura. Sinembargo, cuando al cohete se le haya gastado el combustible, seguira recorriendo unadistancia, debido a que lleva al comienzo una velocidad vb, calculemos pues las distanciaque subira el cohete hasta que se detenga.

Por conservacion de la energa (a alturas suficientes el rozamiento con el aire es des-preciable):

g0

rb+hcrb

(R

r

)2dr =

v2b2

Con rb = R+ hb (radio de la tierra)La distancia maxima subida es:

hbh0+hc = utb[1 1

m0/mb 1 log(m0mb

)

]+v0t0 1

2gt2b0+

v2b2g

(R+ hb h0)2R2 v2b/2g (R+ hb hc)

Tanto la velocidad maxima como la altura maxima dependen del impulso especfico,

R , ratio de masas m0mb

.

4.4. Optimizacion en cohetes multietapa

Las velocidades maximas obtenidas anteriormente no superaban los 10.000 km/h.Para orbitar alrededor de la tierra a una distancia de 2000km sobre la superficie (satelitesartificiales) se requiere una velocidad de:

v =

GM

r=

6,67e 11 6e24

8e6= 7km/s = 25000km/h

Y para la luna:

v =

GM

r=

6,67e 11 6e24

4e8= 1km/s = 3600km/h

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4.4 Optimizacion en cohetes multietapa Metodos matematicos para la mecanica

Calculemos ahora la velocidad de lanzamiento necesaria para orbitar alrededor dela tierra a una distancia de 400000km (Luna). De la conservacion de la energa (sinimpulsiones, solo fuerzas gravitatoria):

1

2v20

GM

R=

1

2v2f

GM

R

Con vf =

GM

R, despejando v0:

v0 =

2GM

(1

R 1

2R

)Para R = 6e6m y R = 4e8m

v0 = 40000km/h

Esta velocidad es inacesible por los cohetes monoetapa.

4.4.1. Cohetes multietapa

Para obtener velocidades de propulsion elevadas podemos combinar 2 o mas cohetes.El problema sera fijar las masas del combustible de cada etapa del cohete adecuadamentepara que al final cuando la maquina se quede sin combustible alcanze una velocidad alta.

La velocidad final del sistema de N etapas (cuando se haya quemado todo el com-bustible) sera:

vn =ui log(i) con i = (

m0mb

)i = (m0

m0 mp )i

Con m0 nos referimos a la masa del sistema antes de quemar elcombustible y con mp

a la masa del combustible. Nuestro objetivo es obtener los i para minimizarm0P

ratio

de masas.

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REFERENCIAS Metodos matematicos para la mecanica

m0P

= (m01

m01 mp1 mestr1m02

m02 mp2 mestr2 m0nP

)

m0 masa inicial de todo el sistema y P masa eyectada total y mestr la masa de laestructura que llevaba el combustible.

Pero manteniendo la restriccion de que vn tenga un cierto valor deseado. Abordaremoseste problema por el metodo de multiplicadores de Lagrange.

El problema se puede simplificar tomando logaritmos y minimizando el logaritmo(suma de logaritmos).

log(m01P

) ={log(i) + log(1 i) log(1 ii) + (ui log(i) vn)}

En donde hemos introducido

i =mestr.i

mestr.i +mpi

Para que sea mnimo las derivadas parciales con respecto a las variables i:

1

i+

i1 ii +

uii

= 0 i = 1 + uiuii

n ecuaciones

vn =

ui log(i) 1 ecuacion

Resolviendo este sistema de ecuaciones podemos obtener los valores i y de y deah se podra disenar el sistema.

Referencias

[1] Alonso, M., Finn, E. J. Fsica. Pearson Educacion. 1a Edicion. Mexico. 2000

[2] Goicolea Ruigomez, J. M. Curso de mecanica. Universidad Politecnica de Madrid.2001.

[3] Rodrguez Valencia, L. Mecanica Clasica. Universidad de Santiago de Chile. 2004.

[4] Franco, A. Fsica con ordenador.

[5] Thomson, W. T. Introduction to space dynamics. Dover publications. New York.1986.

[6] Feynman, R. P. Esta usted de broma Sr. Feynman? Alianza editorial. Madrid.2003.

[7] Jenkins, R. Sprinkler Head Revisited: Momentum, Forces, and Flows in MachianPropulsion. European Journal of Physics. June. 2011

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Introduccin.Ecuacin de movimientoFuerzasMomento angular

Ejemplos sencillos.Ejemplo A. Modelo discretoEjemplo B.Ejemplo C.Ejemplo D.

AplicacionesAspersorAspersor de FeynmanCohetes monoetapaVelocidad mximaDistancia recorrida

Optimizacin en cohetes multietapaCohetes multietapa