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Sistemas Digitais Módulo 5
Teoremas Lógicos, Simplificação Algébrica e Projeto de Circuitos Lógicos
Graduação em Sistemas de Informação
Prof. Dr. Daniel A. Furtado
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação
Conteúdo
Avaliação das Saídas dos Circuitos Lógicos
Análise de Circuitos por Tabela Verdade
Teoremas Lógicos
• Teoremas Básicos
• Teoremas de DeMorgan
Simplificação Algébrica de Expressões Lógicas
Simplificação de Circuitos Lógicos
Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais
Prof. Daniel A. Furtado
Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos
Exemplo 1: determinar o nível lógico da saída 𝑥 do circuito acima para o caso
em que 𝐴 = 0, 𝐵 = 1, 𝐶 = 1 e 𝐷 = 1:
𝑥 = 𝐴 𝐵𝐶 𝐴 + 𝐷 = 0 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 + 1 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 + 1 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ (1 ) = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 = 0
Prof. Daniel A. Furtado
Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos
Exemplo 2: determinar o nível lógico da saída 𝑥 do circuito acima para o caso
em que 𝐴 = 0, 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 𝐷 = 1 e 𝐸 = 1:
𝑥 = 𝐷 + 𝐴 + 𝐵 𝐶 𝐸
= 1 + 0 + 0 ∙ 1 ∙ 1
= 1 + 0 ∙ 1 ∙ 1 = 1 + 0 ∙ 1 = 1 + 1 ∙ 1 = 1
𝑥 = 𝐷 + 𝐴 + 𝐵 𝐶 𝐸
Prof. Daniel A. Furtado
Análise do Circuito por Tabela Verdade
Uma análise detalhada do circuito lógico pode ser necessária em algumas situações;
Por exemplo, dado um circuito lógico, pode-se desejar saber quais são as combinações de valores das entradas que levam ao valor lógico 1 na saída;
Também pode ser necessário conhecer os possíveis valores lógicos em um nó intermediário do circuito (para fins de análise de defeitos, por exemplo);
Uma forma de realizar tais avaliações é construindo uma tabela verdade que apresente todos os possíveis valores lógicos nos nós intermediários e no nó final do circuito.
Prof. Daniel A. Furtado
(a) (b) (c)
(d)
Circuito exemplo
Tabela verdade completa do circuito
Simplificação Algébrica
Simplificação Algébrica – Introdução
Expressões lógicas e circuitos lógicos frequentemente pode ser simplificados;
Circuitos lógicos mais simples podem ser analisados com maior facilidade e geralmente são implementados com um custo menor;
Em softwares, expressões lógicas mais simples também trazem benefícios óbvios.
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Introdução
Por exemplo, os circuitos (a) e (b) a seguir são equivalentes. Entretanto, o circuito (b) é muito mais simples e obviamente deveria ser escolhido no caso de uma eventual implementação.
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Introdução
A simplificação algébrica é uma forma de realizar simplificações em expressões lógicas utilizando uma coleção de teoremas lógicos da álgebra booleana;
Alguns desses teoremas são apresentados a seguir.
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Teoremas Booleanos
1. 𝑥 ∙ 0 = 0
2. 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
3. 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥
4. 𝑥 ∙ 𝑥 = 0
𝑥
0
0
𝑥
1
𝑥
𝑥 𝑥
𝑥 0
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Teoremas Booleanos
5. 𝑥 + 0 = 𝑥
6. 𝑥 + 1 = 1
7. 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
8. 𝑥 + 𝑥 = 1
𝑥
0
𝑥
𝑥
1
1
𝑥 𝑥
𝑥 1
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Teoremas Booleanos
9. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (a operação OR é comutativa)
10. 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥 (a operação AND é comutativa)
11. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (OR é associativa)
12. 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 (AND é associativa)
13. (a) 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
13. (b) 𝑤 + 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑤𝑦 + 𝑤𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
14. 𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥
15. (a) x + x y = x + y
15. (b) x + xy = x + y
Propriedade distributiva: podemos colocar termos comuns em evidência (fatorar)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Teoremas Booleanos
Os teoremas booleanos são fundamentais na simplificação algébrica de expressões lógicas;
As variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧 nos teoremas booleanos podem representar expressões com mais de uma variável:
• Por exemplo, utilizando o teorema 4, pode-se deduzir
que 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 0. Neste caso, basta considerar 𝑥 = 𝐴𝐵 .
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Duplas Inversões
Duas inversões em sequência se anulam, ou seja:
• A + B + C = A + B + C
• A ∙ B = AB
• A = A
Entretanto:
• A ∙ B ≠ AB
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplos
Exemplo 1: utilize os teoremas booleanos para simplificar a expressão 𝑦 = AB D + AB D
𝑦 = AB D + AB D
= AB D + D (coloca-se em evidência 𝐴𝐵 , teorema 13)
= AB 1 (teorema 8)
= AB (teorema 2)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplos
Exemplo 2: utilize os teoremas booleanos para simplificar a expressão 𝑧 = 𝐴 + 𝐵 𝐴 + 𝐵
𝑧 = A + B A + B
= A A + A B + BA + BB (distribuição, teorema 13b)
= 0 + A B + BA + B (teoremas 3 e 4)
= A B + BA + B (0 + 𝑥 = 𝑥, teorema 5)
= B(A + A + 1) (pode-se colocar B em evidência, teor. 13)
= B(1) (𝑥 + 1 = 1, teorema 6)
= B (𝐵 ∙ 1 = 𝐵)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplos
Exemplo 3: utilize os teoremas booleanos para simplificar a expressão 𝑥 = ACD + A BCD
𝑥 = ACD + A BCD
= CD(A + A B) (coloca-se CD em evidência, teor. 13)
= CD(A + B) (A + A B = A + B; teorema 15a)
= ACD + BCD (distribuição, teor. 13)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exercícios
Exercício. Utilize os teoremas lógicos para simplificar:
• AC + ABC
• A B CD + A B C D
• A D + ABD
• A BC + ABC + BC D
• ABC + AB (A + C)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Teoremas de DeMorgan
Dois outros teoremas lógicos possuem especial importância no processo de simplificação algébrica de expressões lógicas;
Eles foram propostos pelo matemático britânico Augustus De Morgan:
1. x + y = x ∙ y
2. x ∙ y = x + y
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplos
Exemplo 4: simplifique a expressão x = AB + C
AB + C = AB ∙ C (DeMorgan, x + y = x ∙ y )
= A + B ∙ C (DeMorgan, xy = x + y )
= A + B ∙ C
= A C + BC
Prof. Daniel A. Furtado
Formas Canônicas de uma Expressão Lógica
Uma expressão lógica está na forma soma-de-produtos quando é constituída por dois ou mais termos AND conectados por operações OR, onde:
• Cada termo AND consiste em um grupo de variáveis conectadas pela operação AND e é denominado mintermo;
• As variáveis em um termo AND podem aparecer individualmente na forma complementada ou não;
Exemplos: • AB + CD + AD (expressão com 3 mintermos)
• AB + B C D + D + A BD (expressão com 4 mintermos)
Atenção: na soma-de-produtos não é permitida a inversão de um grupo de variáveis, isto é, uma barra não pode cobrir mais que uma variável ao mesmo tempo, como em ABC ou BCD.
Prof. Daniel A. Furtado
Formas Canônicas de uma Expressão Lógica
Uma expressão lógica está na forma produto-das-somas quando é
constituída por dois ou mais termos OR conectados por operações AND, onde: • Cada termo OR consiste em um grupo de variáveis conectadas pela
operação OR e é comumente denominado maxtermo;
• As variáveis em um termo OR podem aparecer individualmente na forma complementada ou não;
Exemplos: • (A + B + C )(A + D )
• (A + B )(A + D)(B + A + C)(D)
Atenção: no produto-das-somas não é permitida a inversão de um grupo de variáveis, como em (A + B + C)(C + D ).
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica
Pode-se utilizar a forma soma-de-produtos e os teoremas lógicos para simplificar expressões lógicas;
Passos:
1. Coloca-se a expressão na forma soma-de-produtos (se
possível, aplica-se DeMorgan, multiplicações, etc.);
2. Procura-se por fatores comuns entre os termos a fim de
colocá-los em evidência:
• o objetivo é tentar eliminar um ou mais termos;
• dê preferência para os fatores maiores;
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplo 5
Simplifique a expressão y = ABC + AB A C
ABC + AB A C = ABC + AB (A + C ) (DeMorgan) = ABC + AB (A + C)
= ABC + AAB + AB C = ABC + 𝐀𝐁 + 𝐀𝐁 𝐂
= ABC + AB (x + xy = x)
= A BC + B
= A(B + C) (x + xy = x + y)
= AB +AC
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplo 6
Simplifique a expressão (A + C) ∙ (B + D )
(A + C) ∙ (B + D ) = (A + C) + (B + D )
= A ∙ C + B ∙ D
= AC + B D
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplo 7
Simplificar a expressão x = (A + B)(A + B + D)D
= A AD + A BD + A DD + BAD + BBD + BDD (Distribui)
= 0 + A BD + 0 + BAD + BD + 0 (x ∙ x = 0)
= A BD + ABD + BD (Reescreve)
= BD (A + A + 1) (Fatora)
= BD (1) (1 + x = 1)
= BD (x ∙ 1 = x)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplo 8
Simplificar a expressão z = A C A BD + A BC D + AB C
• Passo 1: colocar na forma soma-de-produtos:
z = A C A BD + A BC D + AB C
= A C 𝐀 + 𝐁 + 𝐃 + A BC D + AB C [DeMorgan]
= A CA + A CB + A CD + A BC D + AB C [Multiplica]
• Passo 2: fatorar/simplificar (1ª forma)
= 𝐀 𝐂𝐀 + A CB + A CD + A BC D + AB C
= 0 + A CB + A CD + A BC D + AB C [A ∙ A = 0]
= A B C + A CD + A BC D + AB C [Reorganiza]
= B C A + A + A D (C + BC ) [Fatora]
= B C + A D (C + C B) [A + A = 1]
= B C + A D (C + B) [C + C B = C + B, teor. 15]
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exemplo 8
Passo 2: fatorar/simplificar (2ª forma)
𝐳 = 𝐀 𝐂𝐀 + A CB + A CD + A BC D + AB C
= 0 + A 𝐂B + A 𝐂D + A BC D + AB 𝐂 [A ∙ A = 0]
= C A 𝐁 + A D + A𝐁 + A BC D [Fatora]
= C B A + A + A D + A BC D [Fatora]
= C B 1 + A D + A BC D [A + A = 1]
= B C + A CD + A BC D [Distribui]
= B C + A D (C + BC ) [Fatora]
= 𝐁 𝐂 + 𝐀 𝐃 (𝐂 + 𝐁) [C + C B = C + B, teor. 15]
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica
Pode-se observar na simplificação algébrica que:
• É possível ter diversos “caminhos” no processo de simplificação;
• Nem sempre é óbvio escolher as melhores variáveis para fatorar;
• Nem sempre é fácil saber se a expressão resultante ainda pode ser simplificada;
• Muitas vezes temos um processo de tentativa e erro;
• Nem sempre o resultado obtido corresponde à forma mais simples da expressão. Por exemplo, a forma mais simples da última expressão simplificada é 𝒛 = 𝑨 𝑩𝑫 + 𝑩 𝑪
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica – Exercício
Utilize a álgebra booleana para simplificar as expressões:
a. q = RST(R + S + T)
b. r = (ABA)(ABB)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação Algébrica e Circuitos Lógicos
É possível utilizar a simplificação algébrica para simplificar circuitos lógicos;
Basta obter a expressão lógica equivalente ao circuito a ser simplificado, simplificar a expressão e então gerar um novo circuito a partir da expressão simplificada;
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação de Circuitos
Exemplo. Utilizar o processo de simplificação algébrica para simplificar o circuito lógico:
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação de Circuitos
Solução
• Passo 1: Obter a expressão lógica equivalente à saída do circuito;
z = ABC + AB (A C )
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação de Circuitos
Solução
• Passo 2: Simplificar a expressão lógica
ABC + AB A C
= ABC + AB (A + C) (DeMorgan)
= ABC + AAB + AB C = ABC + 𝐀𝐁 + 𝐀𝐁 𝐂
= ABC + AB (x + xy = x)
= A BC + B
= A(B + C) (x + xy = x + y)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação de Circuitos
Solução
• Passo 3: Montar o circuito correspondente à expressão simplificada.
A(B + C)
Prof. Daniel A. Furtado
Simplificação de Circuitos – Exercício
Simplificar o circuito a seguir utilizando a álgebra booleana:
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais
Projeto de Circuitos Combinacionais
Quando se conhece o valor de saída de um circuito lógico para cada combinação de entradas, pode-se montar uma tabela verdade e projetar o circuito lógico a partir dessa tabela;
Exemplo 1
Entradas Saída 𝑥
A B
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 0
Tabela Verdade do Circuito
A
B 𝑥 = A B
Circuito correspondente
A B
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais
Exemplo 2. Três entradas com uma única saída em alta
Entradas Saída 𝒙
A B C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
Tabela Verdade do Circuito
A
B x = AB C
C
Circuito correspondente
AB C
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais
Exemplo 3. Duas entradas e duas combinações de entrada que resultam em saída alta;
Tabela Verdade do Circuito
Entradas Saída 𝒙
A B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
AB 𝑥 = A B + AB
A
B
𝑥 = A B + AB
𝐴 𝐵
𝐴𝐵
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais
Exemplo 4
Entradas Saída 𝑥
A B C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Tabela Verdade do Circuito
A B C
AB C
AB C
x = A B C + AB C + AB C
= B C A + A + AB C = B C + AB C = B C + AC = B (C + A)
B
C
A
x = B (C + A)
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos – Procedimento Completo
1. Interprete o problema e construa uma tabela-verdade para descrever seu funcionamento;
2. Escreva o termo AND (produto) para cada caso em que a saída seja 1;
3. Escreva a expressão soma-de-produtos para a saída;
4. Simplifique a expressão de saída, se possível;
5. Implemente o circuito para a expressão final, simplificada.
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais – Exemplo 5
Em um determinado modelo de automóvel, uma luz de advertência
deve acender no painel de instrumentos do veículo quando uma das
seguintes situações ocorrer:
O motorista acende os faróis com a ignição desligada;
O motorista abre a porta com a ignição ligada;
Projete um circuito lógico para simular esses eventos. A saída 𝑥 do
circuito deverá indicar o estado da luz de emergência (ligada/desligada).
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais – Exemplo 5
Solução:
Passo 1a. Utilizar três variáveis lógicas para representar,
respectivamente, o estado dos faróis, da ignição e da porta:
• Variável 𝐅: estado dos faróis (0 = desligado; 1 = ligado);
• Variável 𝐈: estado da ignição (0 = desligada; 1 = ligada);
• Variável 𝐏: estado da porta (0 = fechada; 1 = aberta);
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais – Exemplo 5
Solução:
Passo 1b. Construção da tabela verdade contendo todas as
combinações possíveis de entrada e as respectivas saídas:
Entradas Saída 𝒙
𝐅 𝐈 𝐏
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
• O motorista acende os faróis
com a ignição desligada;
• O motorista abre a porta
com a ignição ligada;
Condições para acender a luz
1
1
1
1
0
0
0
0
0
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais – Exemplo 5
Solução:
Passo 2. Obter os mintermos para cada saída igual a 1
Entradas Saída 𝒙
𝐅 𝐈 𝐏
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
F I P
F I P
F I P
F I P
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais – Exemplo 5
Solução:
Passo 3. Escrever a expressão da saída na forma soma-de-produtos
Entradas Saída 𝒙
𝐅 𝐈 𝐏
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
x = F IP + FI P + FI P + FIP F I P
F I P
F I P
F I P
Prof. Daniel A. Furtado
Projeto de Circuitos Combinacionais – Exemplo 5
Solução:
Passo 4. Simplificar a expressão da saída
Passo 5. Projetar o circuito para a expressão simplificada
x = F IP + FI P + FI P + FIP
= IP F + F + FI P + P = IP 1 + FI 1 = 𝐈𝐏 + 𝐅𝐈
I
P
F
𝑥 = IP + I F
Prof. Daniel A. Furtado
Suficiência da Portas NAND e NOR
Teoremas de DeMorgan e Portas Lógicas
Os teoremas de DeMorgan podem ser usados para estabelecer equivalências de portas lógicas;
Uma porta NOR é equivalente a uma porta AND com duas inversões nas entradas:
Prof. Daniel A. Furtado
Teorema 1: x + y = x ∙ y
Teoremas de DeMorgan e Portas Lógicas
Da mesma forma, uma porta NAND é equivalente a uma porta OR com duas inversões nas entradas:
Prof. Daniel A. Furtado
Teorema 2: x ∙ y = x + y
Suficiência da Porta NAND
Qualquer circuito lógico pode ser representado utilizando apenas portas NAND.
Prof. Daniel A. Furtado
≡
≡
≡
Suficiência da Porta NOR
Qualquer circuito lógico pode ser representado utilizando apenas portas NOR.
Prof. Daniel A. Furtado
Suficiência das Portas NAND e NOR
Suponha que a expressão lógica 𝑥 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 tenha que ser implementada como um circuito para controle de uma esteira de transporte;
Suponha ainda que os seguintes circuitos integrados (CIs) estejam disponíveis:
Qual seria a melhor forma de criar o circuito?
74LS00 74LS32 74LS08
Prof. Daniel A. Furtado
Suficiência das Portas NAND e NOR Opção 1: Implementar o circuito a seguir utilizando um CI
74LS08 (portas AND) e um CI 74LS32 (porta OR)
74LS00 74LS32 74LS08
Prof. Daniel A. Furtado
Suficiência das Portas NAND e NOR
Opção 2: Tentar simplificar o circuito utilizando apenas portas NAND:
Prof. Daniel A. Furtado
Suficiência das Portas NAND e NOR Circuito equivalente após substituição das portas AND e OR por portas NAND:
Após eliminação das duplas inversões:
Prof. Daniel A. Furtado
Suficiência das Portas NAND e NOR Assim, o circuito equivalente à expressão lógica 𝑥 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 que utiliza
apenas portas NAND poderia ser implementado utilizando apenas um CI 74LS00, ao invés de dois CIs diferentes, como na primeira proposta.
Prof. Daniel A. Furtado
74LS00
Referências
TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações. 11.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
• Leitura recomendada: Páginas 49-75.
Prof. Daniel A. Furtado