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Sistemas Realimentados
Análise no Espaço de Estados
Conteúdo
• FT no Espaço de Estados• Equações Invariantes no Tempo• Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial• Controlabilidade• Observabilidade
FT no Espaço de Estados
Por que representar uma FT no Espaço de Estados? Muito útil para representar sistemas de vários graus de
liberdade; Há muitas técnicas disponíveis para obter um sistema nesta
representação; É adequada para o processamento computacional.
FT no Espaço de Estados
Representações tratadas aqui: Forma controlável; Forma observável; Forma diagonal; e Forma canônica de Jordan.
FT no Espaço de Estados
Representação do Espaço de Estados em formas canônicas
Considere um sistema definido por:
onde u é a entrada do sistema e y é a saída.
Podemos reescrever o sistema como segue:
FT no Espaço de Estados
Forma Canônica Controlável
FT no Espaço de Estados
Forma Canônica Observável
FT no Espaço de Estados
Considere que o polinômio do denominador da FT acima envolve somente raízes distintas.
Logo, podemos reescrever a FT como segue:
FT no Espaço de Estados
Forma Diagonal
FT no Espaço de Estados
Agora, considere o caso em que o polinômido do denominador da FT acima envolve múltiplas raízes. Por exemplo, se p1=p2=p3, então
ou
FT no Espaço de Estados
Forma Canônica Jordan
FT no Espaço de Estados
Exemplo 1: Considere o sistema dado por
Obtenha a representação no espaço de estados nas formas canônicas controlável, observável e diagonal.
Controlável
Observável
Diagonal
FT no Espaço de Estados
Os Autovalores de uma Matriz Quadrada A, são as raízes da equação característica dada por
Como exemplo, seja
então
FT no Espaço de Estados
Diagonalização de um Matriz Quadrada
Se uma matriz quadrada A com autovalores distintos é dada por
FT no Espaço de Estados
Diagonalização de um Matriz Quadrada
Então, a transformação x=Pz, onde
Transformará A em uma matriz diagonal dada por D=P-
1AP.
FT no Espaço de Estados
Diagonalização de um Matriz Quadrada
Isto é
FT no Espaço de Estados
Diagonalização de um Matriz Quadrada
Se a matriz quadrada A envolve autovalores múltiplus, então a diagonalização é impossível.
Por exemplo,
Resulta na forma canônica de jordan.
FT no Espaço de Estados
Exemplo 2: Considere a seguinte representação no espaço de estados
onde
FT no Espaço de Estados
Então, os autovalores de A sãoLogo, os autovalores são todos distintos!Se definirmos um conjunto das nova variáveis de estado z1, z2 e z3 pela transformação
onde
FT no Espaço de Estados
Então em resulta em:
FT no Espaço de Estados
ou
FT no Espaço de Estados
ou ainda
FT no Espaço de Estados
Da mesma forma em resulta em:
FT no Espaço de Estados
Invariancia dos Autovalores: Para provar a invariancia dos autovalores sob uma transformação linear, precisamos mostrar que os polinômios característicos
são idênticos. Sabendo que o determinante de um produto é o produto dos determinantes, temos que:
Logo, os autovalores foram mantidos após a transformação linear!
FT no Espaço de Estados
Transformação de modelos usando o Matlab:
FT no Espaço de Estados
Transformação de modelos usando o Matlab:
FT no Espaço de Estados
Transformação de modelos usando o Matlab:
Equações Invariantes no Tempo
O objetivo agora é obter a solução geral da equação de estado linear e invariante no tempo.
Primeiro consideraremos o caso homogêneo e depois o não homogêneo.
Equação homogênea: seja
Supondo uma solução do tipo
Que substituida na equação acima fica como segue:
Logo,
Equações Invariantes no Tempo
Solução homogênea:
Coeficientes:
Série de Taylor
Equações Invariantes no Tempo
Análogo ao caso escalar, supomos a seguinte solução:
Considerando agora a equação vetorial-matricial
Que substituída na equação vetorial-matricial, leva a
De modo que
Equações Invariantes no TempoCoeficientes
Solução homogênea
Matriz exponecial: cada elemento da matriz é uma série de Taylor.
Equações Invariantes no TempoPropriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.
Equações Invariantes no TempoPropriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.
Prova:
Equações Invariantes no TempoPropriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.
Em particular, se s=-t, então
O que prova que a inversa de eAt é e-At.
Uma vez que a inversa de eAt sempre existe, então a matriz exponencial é não singular.
Equações Invariantes no TempoPropriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.
Equações Invariantes no TempoTransformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas:
Seja
Cuja transformada de laplace é
Cuja transformada inversa de laplace aplicada à última equação resulta em
Equações Invariantes no TempoTransformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas:
Aplicando a mesma abordagem à equação vetorial-matricial
Com transformada de laplace resultando em
Cuja transformada inversa de laplace resulta em
Equações Invariantes no TempoMatriz de Transição de Estado: considerando a equação de estado
Podemos escrever a solução homogênea como
Onde a matriz de transição de estados Φ(t) é uma matriz quadrada com as mesmas dimensões de A, sendo a solução de:
e
Equações Invariantes no TempoMatriz de Transição de Estado:
Como e , então:
Observe que
Se todos os autovalores de A são distintos, então
Equações Invariantes no TempoMatriz de Transição de Estado:
Se todos os autovalores de A são distintos, então
Se A possui algum autovalor com multiplicidade como, por exemplo
Equações Invariantes no TempoPropriedades das Matrizes de Transição de Estado:
Equações Invariantes no TempoExemplo: Obtenha a matriz de transição de estado, e sua inversa, do seguinte sistema
Solução:
Equações Invariantes no TempoSolução:
Equações Invariantes no TempoSolução:
Equações Invariantes no TempoSolução:
Como Φ-1(t)= Φ(-t), então
Equações Invariantes no TempoSolução das equações de estado não homogêneas:
Seja , o qual podemos reescrever como
Multiplicando ambos os lados por e-At, temos
Integrando no intervalo de 0 a t, temos
Equações Invariantes no TempoSolução das equações de estado não homogêneas:
Resposta à condição inicial Resposta à entrada u(t)
Equações Invariantes no TempoSolução das equações de estado não homogêneas:
Seja agora
onde
a qual pode ser reescrita como
Equações Invariantes no TempoSolução das equações de estado não homogêneas:
Multiplicando ambos os lados por e-At, temos
Integrando no intervalo de 0 a t, temos
Equações Invariantes no TempoAbordagem por transformada de Laplace aplicada a equações de estado não homogêneas
Seja
Como
Cuja transformada de Laplace é
então
Logo, aplicando a transformada inversa de laplace à última equação, obtemos:
Equações Invariantes no TempoSolução em termos de x(t0)
Exemplo:
Solução: como
Equações Invariantes no TempoSolução:
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Teorema de Cayley-Hamilton: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, cuja equação característica é
O teorema estabelece que tal equação característica também pode ser obtida como
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Cálculo de eAt – Método I: Se A é diagonalizável, então
Se A é não diagonalizável, então ela pode ser transformada na forma canônica de Jordan, de modo que
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Cálculo de eAt – Método I: Se A é diagonalizável, então
Se A é não diagonalizável, então ela pode ser transformada na forma canônica de Jordan, de modo que
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Cálculo de eAt – Método I:
Exemplo
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Cálculo de eAt – Método I:
Exemplo
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Cálculo de eAt – Método II: Pela transformada de Laplace
Exemplo: utilize os métodos I e II para calcular a eAt, onde
Pelo Método I:
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Cálculo de eAt – Método II: Pela transformada de Laplace
Exemplo: utilize os métodos I e II para calcular a eAt, onde
Pelo Método II:
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Vetores Linearmente Independentes: Os vetores x1, x2,...,xn são distos linearmente independentes se
Como c1, c2,...,cn são constantes, então
De modo recíproco, x1, x2,...,xn são ditos linearmente dependentes, se e somente se, xi pode ser descrito como uma combinação linear de xj, onde i≠j, isto é
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Vetores Linearmente Independentes:
Exemplo: Os vetores
São linearmente dependentes, uma vez que
Já os vetores
são linearmente independentes, uma vez que
implica em
Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial
Vetores Linearmente Independentes :
Posto = n=3
Determinante não nulo
Posto =2≠ n=3
Determinante nulo
Controlabilidade
Definição: Um sistema é dito controlável no instante t0 se for possível, por meio de um vetor de controle não limitado, transferir o sistema de qualquer estado inicial x(t0) para qualquer outro estado, em um intervalo de tempo finito.
Controlabilidade completa de estado de sistema de tempo contínuo: Considere o sistema de tempo contínuo
Tal sistema será dito de estado controlável em t=t0 se for possível construir um sinal de controle não limitado que transfira o sistema deum estado inicial para qualquer estado final, em um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1. Se todo estado é controlável, então o sistema será considerado de estado completamente controlável.
Controlabilidade
Considerando a solução para , sendo t0=0, dada por
Aplicando a definição dada de controlabilidade completa de estado, temos
ou
Como então
Controlabilidade
Definindo então
ControlabilidadeSe o sistema for de estado completamente controlável, então, dado qualquer estado inicial x(0),
Deverá ser satisfeita. Para isso, a matriz nxn deverá ser de posto completo (posto n).
ControlabilidadeO resultado obtido pode ser estendido para o caso onde o vetor de controle u tem dimensão r, de modo que o sistema passa a ser descrito como
De modo que a condição para controlabilidade completa de estado requer que a matriz nxnr (matriz de controlabilidade)
tenha posto n (n vetores coluna linearmente independentes).
ControlabilidadeExemplo: Considere o sistema dado por
de modo que
Logo, o sistema não é de estado completamente controlável!
ControlabilidadeExemplo: Considere o sistema dado por
de modo que
Logo, o sistema é de estado completamente controlável!
ControlabilidadeCondição de controlabilidade completa de estado no plano s: Se houver pelo menos um cancelamento de termos da função de transferência, implicando em perda de grau de liberdade do sistema, então o sistema não é completamente controlável.
Exemplo: Considere a seguinte função de transferência
Observe que o termo s+2,5 é cancelado, de modo que o sistema perde um grau de liberdade, tornando-o não completamente controlável.
A mesma conclusão pode ser obtida escrevendo a FT na forma de equação no espaço de estado
é de posto 1≠n=2.
ControlabilidadeControlabilidade de Saída: Podemos desejar controlar a saída, em vez de controlar o estado do sistema. A controlabilidade completa de estado não é necessária e nem suficiente para controlar a saída do sistema, de modo que é necessário uma definição aparte sobre controlabilidade de saída.
Considere o sistema
Tal sistema será considerado de saída completamente controlável se for possível construir um vetor de controle u(t) não limitado que transfira qualquer saída inicial y(t0) para qualquer saída final y(t1) em um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1.
Logo, o sistema é de saída completamente controlável se e somente se a matriz mx(n+1)r
tem posto m.
ControlabilidadeSistema não Controlável: é aquele que possui um subsistema que é fisicamente desconectado da entrada.
Estabilidade: Para sistemas parcialmente controláveis, se os modos não controláveis forem estáveis e os modos instáveis forem controláveis, o sistema será considerado estabilizável.
Por exemplo, o sistema definido por
Não é de estado controlável. O modo estável que corresponde ao autovalor -1 não é controlável. O modo instável que corresponde ao autovalor 1 é controlável. Logo, esse sistema pode ser feito estável pelo uso de uma realimentação apropriada. Assim, o sistema é estabilizável.
Observabilidade
Definição: Um sistema é dito observável no instante t0 se, com o sistema no estado x(t0), for possível determinar esse estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito.
Considere o sistema sem excitação, dado por
Tal sistema será considerado completamente observável se todo estado x(t0) puder ser determinado pela observação de y(t) durante um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1.
Portanto, o sistema será completamente observável se cada transição do estado puder afetar cada elemento do vetor de saída.
Observabilidade
O conceito de observabilidade é muito importante porque, na prática, algumas das variáveis de estado de um sistema não são acessíveis por medição direta, dificultando o controle por realimentação de estados.
Observabilidade completa de sistemas de tempo contínuo: Considere o sistema descrito por
O vetor de saída , onde
Logo,
ou
Observabilidade
Portanto, se o sistema é completamente observável, então, dada a saída y(t) durante um intervalo de tempo 0≤t≤t1, x(0) é unicamente determinado por
Isto requer que a matriz nmxn
seja de posto n.
Observabilidade
Condição de Observavilidade Completa: O sistema descrito por
É completamente observável se e somente se a matriz nxnm (matriz de observabilidade)
for de posto n.
Observabilidade
Exemplo: Considere o sistema descrito por
é controlável e observável?
Solução: Uma vez que o posto da matriz é 2, então o sistema é completamente controlável.
Para a controlabilidade de saída, analizamos o posto da matriz
Como tal posto é igual a 1, então o sistema é de saída completamente controlável.
Observabilidade
Exemplo: Considere o sistema descrito por
é controlável e observável?
Solução: Para analizar a condição de observabilidade, examinamos o posto da matriz
O qual é igual a 2, de modo que o sistema também é completamente observável.