Upload
smiljanic
View
400
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
1/45
Sistemi Automatskog upravljanja
1 Osnovni pojmovi i principi sistema automatskog upravljanja ...................................................................31.1 Definisati pojam i osnovne probleme automatskog upravljanja ........................................................31.2 Osnovni elementi sistema automatskog upravljanja (SAU bez i sa povratnom spregom ................31.3 !rojektovanje SAU. !roce"ura projektovanja SAU ..........................................................................3
2 #atemati$ki mo"eli sistema ......................................................................................................................%2.1 Definisati i objasniti osnovne korake pri analizi "inami$ki& sistema ................................................%2.2 Opisivanje fizi$ki& sistema "iferencijalnim je"na$inama ..................................................................%2.3 'inearizacija mo"ela fizi$ki& sistema ................................................................................................
3 !rimena 'aplasove transformacije u sistemima automatskog upravljanja ................................................3.1 Definicija i osobine 'aplasove transformacije ...................................................................................3.2 Stan"ar"ne pobu"ne funkcije .............................................................................................................)3.3 *nverzna 'aplasova transformacija ....................................................................................................+3.% !rimena 'aplasove transformacije u analizi SAU .............................................................................,
% -unkcija prenosa sistema automatskog upravljanja ...................................................................................%.1 -unkcija prenosa sistema automatskog upravljanja sa je"nim ulazom i je"nim izlazom ..................
%.2 Strukturni blok "ijagram SAU ...........................................................................................................%.3 Algebra funkcije prenosa ..................................................................................................................1/%.% 0raf toka signala ..............................................................................................................................11%. #asonov obrazac ............................................................................................................................12%.) -unkcije prenosa multivarijabilni& sistema ......................................................................................12%.+ Analiza SAU primenom ra$unara ....................................................................................................13
#o"elovanje SAU u prostoru stanja ........................................................................................................13.1 oncepcija prostora stanja. !rincip o"reivanja promenljivi& stanja ..............................................13.2 O"nos izmeu matemati$kog mo"ela sistema u vremenskom i kompleksnom "omenu .................1%.3 !rva kanoni$na forma (re"no programiranje ..................................................................................1.% Druga kanoni$na forma ("irektno programiranje ...........................................................................1)
. 4or"anova kanoni$na forma ............................................................................................................1+.) 4or"anova matrica stanja za slu$aj sistema sa vi5estrukim realnim polovima ................................1+.+ 'inearizacija nelinearni& sistema i formiranje linearizovanog mo"ela u prostoru stanja ................1,
) Analiza SAU u prostoru stanja .................................................................................................................2/).1 !ona5anje stanja i o"ziva sistema .....................................................................................................2/).2 -un"amentalna matrica ("efinicija6 osobine6 na$ini o"reivanja ...................................................21).3 O"reivanje fun"amentalne matrice primenom nesingularne transformacije .................................22).% ontrolabilnost sistema ("efinicija i na$in provere ........................................................................23). Observabilnost sistema ("efinicija i na$in provere .........................................................................23
+ arakteristike i performanse SAU ...........................................................................................................23+.1 Osetljivost sistema na promenu vre"nosti parametara .....................................................................23
+.2 7egulacija tranzijentnog o"ziva SAU ..............................................................................................2%+.3 Signal poreme8aja u sistemima automatskog upravljanja ................................................................2%+.% 0re5ka ra"a u stacionarnom stanju sistema sa otvorenom i zatvorenom povratnom spregom ........2+. 9ena povratne sprege .......................................................................................................................2+.) !reformanse SAU : karakteristike sistema "rugog re"a ..................................................................2)+.+ ;eza izmeu lokacije polova funkcije prenosa SAU u kompleksnoj sravni i o"ziva u prelaznomre
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
2/45
,.% =ur>itzov kriterijum stabilnosti SAU ............................................................................................31,. Stabilnost SAU opisani& matemati$kim mo"elom u prostoru stanja ...............................................31
0eometrijsko mesto korena .....................................................................................................................31.1 Definicije 0# ................................................................................................................................31.2 onstrukcija 0# : broj grana6 po$etak i zavr5etak grana6 simetrija 0# ..................................31.3 onstrukcija 0# : na$in o"reivanja asimptota grana6 intervali preklapanja grana 0# i 7eose ...........................................................................................................................................................32
.% onstrukcija 0# : ugao po" kojim grane 0# napu5taju je"nostruke i vi5estruke polove i"olaze u je"nostruke i vi5estruke kona$ne nule funkcije povratnog prenosa sistema ...........................32. onstrukcija 0# : ta$ke spajanja i raz"vajanja grana 0# i 7eose ........................................32.) onstrukcija 0# : presek grana 0# i *mose sravni ..............................................................33.+ onstrukcija 0# : o"reivanje poja$anja funkcije povratnog prenosa u proizvoljnoj ta$ki 0#.................................................................................................................................................................33., !rimena meto"a 0# na o"reivanje uticaja promene poje"ini& parametara na lokaciju polovasistema ....................................................................................................................................................33
1/ -rekventne meto"e analize sistema automatskog upravljanja ...............................................................3%1/.1 Definisati amplitu"no fazno frekventnu karakteristiku ..................................................................3%1/.2 Definisati ?o"eove "ijagrame ........................................................................................................3%
1/.3 ?o"eovi "ijagrami elementa sa konstatnim poja$anjem6 nule i pola u koor"inatnom po$etku .....31/.% ?o"eovi "ijagrami aperio"i$nog elementa prvog re"a (nula i pol na realnoj osi .........................3)1/. ?o"eovi "ijagrami oscilatornog elementa "rugog re"a (kompleksne nule i polovi sistema ........3+1/.) O$itavanje konstanti gre5ke sa ?o"eovi& "ijagrama ......................................................................3,1/.+ Definisati @uuistov kriterijum stabilnosti ...................................................................................3,1/., arakteristike ra"a sistema u prelaznom re
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
3/45
1 Osnovni pojmovi i principi sistema automatskog upravljanja
1.1 Definisati pojam i osnovne probleme automatskog upravljanja
Sistem automatskog upravljanja (SAU) je skup meusobno povezanih komponenti projektovan radipostizanja (ostvarivanja) zadatog cilja (zadatka, svrhe, namere). Moderna praksa SAU podrazumevaprojektovanje upravljanja (upravljakih strategija) u cilju unapreenja procesa proizvodnje,e!ikasnije potrosnje energije, ostvarivanje naprednog i inteligentno upravljanje. "ompletna strukturai !izika sistema opisuje se relativno jednostavnim modelima.
Sistemi su naje#$e kompleksni i te#ko razumljivi a samim tim te#ki za modelovanje i upravljanje(hemijski procesi, kontrola saobra$aja, robotski sistem). U praksi se esto susre$u sistemi koji u sebikombinuju komponente (i probleme) iz vi#e razliitih oblasti.
1.2 Osnovni elementi sistema automatskog upravljanja (SAU bez i sa povratnom spregom)
Sistem sa otvorenom spregomkoristi aktuator "a "irektno upravlja
procesom6 bez povratne informacije.
SAU sa povratnom spregom jesistem koji o"r
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
4/45
2 Matematiki modeli sistema
2.1 Definisati i objasniti osnovne korake pri analizi "inami'ki sistema
#atemati$ki mo"el slu
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
5/45
2.3 ineariza!ija mo"ela fizi'ki sistema
;e8ina fizi$ki& sistema je linearna u o"reenim granicama. Osobina linearnosti sistema se "efini5e prekopojmova pobu"e (ulaza i o"ziva (izlaza. 0eneralno6 mi 8emo pobu"u ozna$avati sa u(t a o"ziv sa F(t.@eop&o"an uslov "a bi sistem bio linearan mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
6/45
$. teorema o izvo"u originala
'E prvog izvo"a funkcije f(t LQ"f t
"tRG s-sf/
'E ntog izvo"a funkcije f(t LQ"n f t
"tnR Gsn- s
k G 1
n
sn kfk1/
f(/po$etna vre"nost f(t u trenutku /
%. teorema o integralu originala
LQ/
t
f t "tRG- s
s LQ
/
t
.../
t
/
t
/
t
ft "n tR G- s
sn6nG16263...
&. teorema o izvo"u kompleksnog lika LQ tnf t R G 1n
"n -s
"sn
*. teorema o promeni vremenske skale LQfta
RG a- as
+. prva grani$na teorema va
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
7/45
3.3 -nverzna aplasova transforma!ija
@a osnovu poznatog kompleksnog lika mogu8e je o"re"iti funkciju u vremenskom "omenu primenominverzne 'E
L1 Q -sR G f t G 1
2j
j
j
-sest "s 6 t/
-unkcije koje su o" posebnog interesa "ate su u obliku realni& racionalni& funkcija kompleksne
promenljive s6 tj. kao razlomak "va polinoma sa realnim koeficijentima- s G
! s Ws
Gbms
mbm1sm1...b1sb/
snan 1sn 1...a1sa/
7azmatra8e se situacija ka"a je nXm6 koja je i naj$e58a u analizi i sintezi kontinualni& stacionarni&linearni& sistema sa koncentrisanim parametrima. oreni polinoma !(s su nule6 a koreni polinoma W(ssu polovi funkcije -(s. !rvo se funkcija -(s rastavlja na parcijalne razlomke pa se tek on"a primenjujeinverzna 'E. O" posebnog zna$aja su polovi funkcije -(s i tu se mogu uo$iti $etiri karakteristi$naslu$aja
1. svi polovi funkcije -(s su realni i prosti
*zvr5i se faktorizacija polinoma W(s6 o"nosno re5i se je"na$ina W(sG/
- s G!s
WsG
bmsmbm1s
m1...b1sb/ss1ss2...ssn
-(s se razvije u parcijalne razlomke - s G!sWs
G1
ss1
2ss2
...n
ssn
oeficijenti se izra$unavaju prema izrazu kG[ssk! s Ws ]s G sk 6 kG1626. . . 6n@akon o"reivanja koeficijenata mogu8e je o"retiti inverznu 'E
L1 {-s}G f t G
k G1
n
keskt
2. postoje konjugovano kompleksni polovi6 a realni su6 ako postoje6 prosti
!retpostavka je "a je"na$ina W(sG/ ima samo je"an par konjugovano kompleksni& polova (s1i s2 G s1Y
a "a su svi ostali realni i prosti
- s G!s Ws
Gbms
mbm1sm1...b1sb/
ss1ss1Yss3...ssn
G1
ss1
1Y
ss1Y
2ss2
...n
ssnAko je s1 Gj i s1
Y Gj 6 ta"a je 1 Gajb i 1Y Gajb
- s G a jbsj ajbsjk G 3
n kssk G2a ss
222b s 22 k G3
n kssk
*nverzna 'E je
f t G 2aetcost 2betsint k G3
n
keskt
oeficijent 1 Gajb se izra$unava prema obrazcu kG ajb G[sj !sWs ]s Gj3. funkcija -(s ima vi5estruke realne polove
!retpostavka je "a je"na$ina W(sG/ ima je"no vi5estruko (npr. trostruko re5enje s16 a "a su ostali polovifunkcije -(s realni i prosti
- s G! s
WsG
bmsmbm1s
m1...b1sb/
ss13ss%...ssn
G11
ss13
12
ss12
13
ss1
%
ss%...
n
ssn
+
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
8/45
oeficijenti se izra$unavaju prema izrazu
11 G[ss13!s Ws ]s G s1 12G[""s ss13
!sWs ]sGs1 13 G
12
[ "2
"s2 ss13
! sWs ]s G s1
Op5ti obrazac za koeficijente rmZ mG1626...6p vi5estrukog pola sGsr6 vi5estrukosti p je
rm G 1
m1![ "
m1
"sm1ssrp! s Ws]s G s
r
*nverzna 'E je f t G 12
11t2es1t12te
s1t13es1t
i G %
nie
sit
#. funkcija -(s ima vi$estruke konjugovano kompleksne polove : re5ava se primenom konvolucije
3.# rimena aplasove transforma!ije u analizi SAU
Sistem je opisan "iferencijalnom je"na$inom
f t G #"2F t
"t 2
b"F t "t
F t
@eka je f(tG/6 F(/GF/G1 i "F
"t/G / . @akon
primene 'E uz uva
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
9/45
Sa slike se vi"i "a je ]Gcos6 ali se $e58e koristi izraz ]G cosI. ompleksna sravan slu
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
10/45
Ovakav na$in pre"stavljanja mo"ela sistema je pogo"an jer ukazuje na unutra5nju strukturu sistema imeusobne veze izmeu poje"ini& promenljivi& veli$ina. *pak6 za "etaljniju analizu pona5anja sistema
potrebna je funkcija prenosa koja se sa S?D naj$e58e ne mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
11/45
!reme5tanje $voraispre" bloka 01
!reme5tanje $vora iza
bloka 02
Deljenje"iskriminatora na "va"ela
o" sistema sa povratnom spregom se mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
12/45
#.$ 0asonov obraza!
Direktna (otvorena putanja 0ES je skup grana koje meusobno spajaju "va $vora i pri tome grane krozsvaku ta$ku prolaze samo je"anput.!etlja (zatvorena putanja 0ES je zatvoren put koji prolazi i zavr5ava se u istom $voru i pri tome svegrane iz petlje kroz svaku ta$ku prolaze samo je"nom.Dve putanje (otvorene ili zatvorene se ne "o"iruju ako nemaju zaje"ni$ki& $vorova ili grana.
@a osnovu pret&o"no uve"eni& pojmova otvorene i zatvorene putanje i nji&ovog meusobnog o"nosa ("ali se "o"iruju ili ne mogu8e je "efinisati #asonov obrazac pomo8u koga se o"reuje funkcija prenosa0ES.-unkcija prenosa 0ES se o"reuje pomo8u obrasca
0s G[ sUs
Gi G1
n
!ii
g"e je!i: prenos (poja$anje ite "irektne putanje (o" ulaza "o izlaza : "eterminanta grafa
i: "obija se o" tako 5to se iz izbace sve petlje koje "o"iruju itu "irektnu putanju (izbacuju se i sviproizvo"i g"e te petlje u$estvuju kao $iniocin : broj "irektni& grana u grafu
Determinanta grafa se o"reuje na osnovu izrazaG 11k1
k
j
!kj G 1j
!1jj
!2jj
!3jj
!%j...
g"e je
j
!1j zbir poja$anja svi& zatvoreni& putanja grafa
j
!kj zbir proizvo"a poja$anja po k zatvoreni& putanja koje se meusobno ne "o"iruju
#.% unk!ije prenosa multivarijabilni sistema
!osmatramo sistem sa p ulaza i r izlaza.
!o pretpostavci je ovaj sistem linearan pase mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
13/45
Svaki multivarijabilni sistem pose"uje je"an je"ini je"instveni karakteristi$ni polinom. Ako imenioci svi&prenosa matrice 0(s nisu je"naki6 ta"a je karakteristi$ni polinom sistema nji&ov najmanji zaje"ni$kisa"r
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
14/45
u G[u1u2"u r
] F G[F1F2"Fm
];ektori u(t i F(t su funkcije vremena pa se mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
15/45
Eransformacija iz vremenskog u kompleksni "omen je je"nozna$na i je"nostavna i primenom 'E naje"na$ine stanja i izlaza koje prestavljaju sistem u prostoru stanja uz pretpostavku nulti& po$etni& uslova/G/6 "obija se
s s G As ?Uss G s*A1?U s[s G9s*A1?U sDUs
s G
[s
Us G 9s*A
1
?DEransformacija iz kompleksnog u vremenski mo"el je mnogo te
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
16/45
$.# Druga kanoni'na forma ("irektno programiranje)
!rvi na$in (na osnovu 0ES za prvu kanoni$nu formu@a 0ES u prvoj kanoni$noj formi treba izvr5iti sle"e8e transformacije zameniti mesta ulaza i izlaza obrnuti smer grana izabrati novi vektor promenljivi& veli$ina stanja (za promenljive veli$ine stanja usvajaju se izlazi iz
integratora i formirati matemati$ki mo"el
Drugi na$in ("irektno programiranjeUvo"i se nova promenljiva C(s
[ s
U sG
bnsnbn1s
n1...b1sb/
snan 1s
n 1...a1sa/
C s
C s
Us G Cs[sna n1sn1...a1sa/ ][s G C s[bnsn bn 1sn 1...b1sb/ ]
Sa"a se za promenljive veli$ine stanja usvajaju1s G C sZ 2 s G sCs G s 1s Z 3s G s
2Cs G s 2sZ &
n s G sn 1C s G sn 1sAko posmatramo stanja kao izlaze iz integratora mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
17/45
$.$ 4or"anova kanoni'na forma
!ri formiranju matemati$kog mo"ela u obliku 4or"anove kanoni$ne forme te
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
18/45
0ES
#atemati$ki mo"el
[ # 1
# 2"
# r1# r2"
# r m1# rm"# n
]G[s1 / $ / / / $ / / $ /
/ s2 $ / / / $ / / $ /
" " $ " " " $ " " $ "/ / $ sr 1 / $ / / $ // / $ / sr 1 $ / / $ /
" " $ " " " $ " " $ "/ / $ / / / $ sr 1 $ /
/ / $ / / / $ / sr $ /
" " $ " " " $ " " $ "/ / $ / / / $ / / $ sn
][ 1
2"
r1 r2"
r m1 rm"n
][11
"//
"/
1"1
]u F G [ k1 k2 &kr1&krm & kn][ 12"
r1"
rm"n ]
$.& ineariza!ija nelinearni sistema i formiranje linearizovanog mo"ela u prostoru stanja
!ona5anje realni& "inami$ki& sistema se naj$e58e opisuje nelinearnim matemati$kim mo"elom6 jer surelacije izmeu ulazni& veli$ina6 veli$ina stanja i veli$ina izlaza takoe nelinearni. Unutar svakognelinearnog procesa postoje razli$ite forme nelinearnosti i to "o"atno ote
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
19/45
2. stati$ka linearizacija
;r5i se u vremenskom "omenu6 mo"el se zamenjuje ekvivalentnim linearnim uz pretpostavku "a je sistempo"vrgnut poreme8ajima koji imaju normalnu (0ausovu raspo"elu
3. petrubacija (aproksimacija tangente
@elinearni izrazi se zamenjuju linearnim u okolini ra"ne ta$ke6 koja je $esto i stacionarna. !otrebno je "arelacije u okolini ra"ne ta$ke bu"u bar je"nom "iferencijabilne. @elinearne relacije treba razviti uEejlorov re"6 pri $emu se vi5i $lanovi zanemaruju. !ostupak je ta$niji 5to su promene stanja oko ra"neta$ke manje. !erturbaciona linearizacija se najlak5e mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
20/45
stanja # t G A t?u t Z F G 9 t ;a
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
21/45
# t G A t ?u t % eAt
eAt # t A tG""t
eAt t GeAt?u t
*ntegraljenjem ovog izraza o" / "o t "obija se sle"e8a je"na$ina
eAt t G /
/
t
eA?u "
t GeAt //
t
eA t ?u "
%.2 un"amentalna matri!a ("efini!ija6 osobine6 na'ini o"reivanja)
-un"amentalna matrica je matrica prelaza stanja sistema $ija je "imenzija je"naka re"u sistema6 tj. n n.
Ca"ovoljava " , t
"t G , tA t 6 bez obzira "a li je sistem stacionaran ili ne.
*zraz za fun"amentalnu matricu ,t G eAt GL1 {s*A1}-un"amentalna matrica nosi sve informacije o slobo"i kretanja sistema # t G A t . *z re5enja
je"na$ine # t G , t / se vi"i "a re5enje &omogene je"na$ine stanja u trenutku t pre"stavljatransformaciju stanja sistema.
Osobine1. , /G eA/ G *2. , t G eAt G eAt 1 G ,t 1 6 , t 1 G , t 3. , t n G , nt #. , t1 t 2 G e
A t1 t2 G eAt1eAt2 G , t1, t2G , t2, t1
$. , t3t 2, t 2t1 G ,t 3t1 G ,t 2t1, t3t2
@a$ini o"reivanja1. razvojem u eksponencijalni re"
@eka je sistem "at sa # t G A t 6 uz "ato / G / . 7e5enje se mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
22/45
s s / G A ss G s*A1 / t GL1 {s*A1} /G , t /
Dakle6 fun"amentalna matrica je ,t GL1 {s*A1} . #atrica s*A 1 naziva se rezolventnamatrica.
3. primenom 4or"anove kanoni$ne forme
Ako je matrica stanja sistema A za"ata u obliku"ijagonalne kanoni$ne forme (ka"a su svekarakteristi$ne vre"nosti sistema realne i razli$ite
A G
[
-1-2 /
..
/ -n 1-n
]
G"iag{-i }
On"a se fun"amentalna matrica mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
23/45
# t G A t ?u t F t G 9 t Du tUvo"i se nesingularna transformacija G !. 6 ! : neka nesingularna kva"ratna matrica6 . : novivektor stanja. 9ilj ove transformacije je "ijagonalizacija matrice stanja A.
. G !1 ( #. G !1# G !1A!1?u
#. G !1A!.!1?uSa"a je matemati$ki mo"el
#. G .A. .?u F G .9.Du 6 g"e su .A G !1A! 6 .? G !1? 6 .9 G 9!
7e5enja se "obijaju za novi vektor stanja . 6 a ne za 6 tj. . G e .At. / . O"ziv ostaje isti.
.A G[-1
-2 /
..
/ -n1-n
]Ovakva matrica .A se uvrsti u .A G !1A!( ! .A G A! "obi8ese n je"na$ina oblika Api G -ip i 6 i G1626 .... 6 n o"nosno
A-i* p i G/ 6 i G1626 ......6 n7e5avanjem ovog sistema "obija se matrica transformacije
! G [p1 p2 $ pn] 6g"e je pivektor kolone matrice transformacije !.
%.# ontrolabilnost sistema ("efini!ija i na'in provere)
Ca za"ati sistem ka
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
24/45
Ako je spregnuti prenos sistema ss G[ sUs
6 osetljivost se "efini5e kao S G
s s
s S
0 s
0 s
6 o"nosno
ako se sa kona$no mali& pree na beskona$no male promene parametara
S G
) ss
sS) 0s0s
G ) ln ss ) ln 0 s
@a osnovu ove je"na$ine se vi"i "a je osetljivost sistema bez povratne sprege je"nak 1. Ako je spregnut
prenos sistema ss G 0s
10= s 6 ta"a je osetljivost S0
s G) s)0
0
sG
1
10 s= s. Osetljivost
sistema sa povratnom spregom na promene elementa povratne sprege =(s je
S= s G
) s) =
=
sG
0=10=
. ;i"i se "a za velike vre"nosti 0M= osetljivost sistema se pribli
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
25/45
&.# /re5ka ra"a u sta!ionarnom stanju sistema sa otvorenom i zatvorenom povratnom spregom
!osmatra se o"ziv sistema tokom vremena kao naslici. riva se vremenski mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
26/45
p
#16#2
/ 2.
#1 #2
&.% reformanse SAU : karakteristike sistema "rugog re"a
@a po$etku analize i sinteze SAU se "efini5u performanse i nji&ove mere koje pre"stavljaju matemati$kiopis fizi$ki& karakteristika o"ziva sistema. Catim se po"e5avaju parametri sistema u cijlu obezbeivanjakvaliteta o"ziva. Osobine "inamike SAU se opisuju terminima vezanim za prelazni re
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
27/45
&.& ;eza izmeu loka!ije polova funk!ije prenosa SAU u kompleksnoj sravni i o"ziva u
prelaznom re
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
28/45
je Ba(sGB(s. 0re5ka sistema u stacionarnom stanju je ess G e Glimt
e t Glims/
sB s Glims/
sUs
10s.
!olovi pki nule zifunkcijeprenosa su poznati6 a r je brojpolova u koor"inatnom po$etku..Cbog =(sG1 je 0(sG(s.
s G!m s
W nsG
2i G 1
m
sz i
sr2
k G 1
t
spk
g"e je rKtGn. r se naziva re"astatizma i fizi$ki pre"stavlja
broj integratora u "irektnojgrani sistema.
O"sko$na pobu"a u t G A& t ( U s GAs
ess Glims /
sAs
1 sG
A1lim
s/ s
Defini5e se konstanta polo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
29/45
essGlims /
sA
s3
1 s Glim
s /
As2s2 s
G Alims /
s2 s
Defini5e se konstanta ubrzanja a Glims /
s2 s ( ess G
A
a a Glim
s /
2i G 1
m
sz i
sr2
2k G 1
t
spk
r G / ( a G / ( ess G r G 1 ( a G / ( ess G
r G 2 ( a G const ( ess GAa
Sistem pobuen paraboli$nim signalom 8e imati konstantnu gre5ku u stacionarnom stanju ako pose"ujeminimalno astatizam "rugog re"a.
&.11 -n"eksi performanse
*n"eks performanse je kvantitativna mera performanse sistema o"abrana tako "a 5to bolje istakneo"reenu te&ni$ku karakteristiku. Optimalni SAU je sistem ko" koga su parametri po"e5eni tako "ain"eks performanse "osti
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
30/45
o"re"iti i stepen stabilnosti6 i to je pojam relativne stabilnosti. Stabilniji sistemi su te
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
31/45
a"a je 5ema formirana gle"a se prvo kolona : 7out&ova kolona. ;aitzova "eterminanta koeficijenata
& G
*
a n1 a n3 an( $ / /
an a n2 an% $ / // a n1 an3 $ / /
/ an an2 $ / /" " " " " "/ / / $ a1 /
/ / / $ a2 a/
*
Sa"a vaitzove "eterminante bu"u ve8i o"nule. Sistem 8e biti stabilan ako su svi "ijagonalni minori=ur>itzove "eterminante ve8i on nule.
1 G a n1/ 6 2 G*an 1 an 3a n an 2*/ 6 ... n G & G n1a/Sistem je nestabilan ako su neki "ijagonalni minori pozitivni a neki negativni.Sistem 8e biti grani$nonestabilan ako je neki o" "ijagonalni& minora je"nak nuli : ako je posle"nji on"a ima pol u koor"inatnom
po$etku6 u suprotnom ima par konjugovano kompleksni& polova na imaginarnoj osi.
*.$ Stabilnost SAU opisani matemati'kim mo"elom u prostoru stanja
Sistem opisan matemati$kim mo"elom u prostoru stanja# G A?u F G 9Du
-unkcija prenosa sistema je
ss G[sUs
G 9[s*A ]1?DG 9a"j[s*A]?"et [s*A ]D"et [s*A]
*z ovoga se vi"i "a je karakteristi$ni polinom fs G"et [s*A] . Ca analizu stabilnosti se moitza.!roce"ura za analizu stabilnosti formira se karakteristi$ni polinom kao "et [s*A] na osnovu koeficijenata karakteristi$nog polinoma se formira 7out&ova 5ema koeficijenata ili
=ur>itzova "eterminanta primene se o"govaraju8i kriterijumi i proceni stabilnost
) *eometrijsko mesto korena
+.1 Defini!ije /0
1. 0# sa$injavaju krive u kompleksnoj sravni po kojima se kre8u polovi funkcije spregnutogprenosa6 o"nosno koreni karakteristi$ne je"na$ine6 ka"a se faktor poka$anja funkcije povratnogprenosa menja o" nule "o beskona$nosti. Smer grana je o"reen smerom porasta poja$anja.
2. 0# se sastoji o" ta$aka sikompleksne sravni u kojima je mo"uo funkcije povratnog prenosaje"nak je"inici6 a argument funkcije povratnog prenosa je"nak 1,/.
+.2 onstruk!ija /0 : broj grana6 po'etak i zavr5etak grana6 simetrija /0
?roj grana 0# je je"nak broju polova sistema6 o"nosno broju korena karakteristi$ne je"na$ine jer se posvakoj grani kre8e po je"an pol.
31
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
32/45
!o$etak grana 0# je u polovima funkcije povratnog prenosa za vre"nost poja$anja G/.
Cavr5etak grana 0# je za \V6 m grana zavr5ava u kona$nim nulama funkcije povratnog prenosa6 aostali& nm grana o"laze u beskona$nost.
0rane 0# su simetri$ne u o"nosu na realnu osu. !o5to je karakteristi$na je"na$ina polinom sa realnimkoeficijentima njegovi kompleksni koreni6 ako i& ima6 se pojavljuju u konjugovanim parovima.
+.3 onstruk!ija /0 : na'in o"reivanja asimptota grana6 intervali preklapanja grana /0 i
7eose
Asimptote su poluprave kojima nm grana 0# te
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
33/45
vi5eg re"a se re5avanje je"na$ina svo"i na re5avanje algebarske je"na$ine mKn1 re"a6 5to je neprakti$no.hesto se ta$ka ra$vanja o"reuje pribli
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
34/45
1+ Frekventne metode anali$e sistema automatskog upravljanja
1,.1 Definisati amplitu"no fazno frekventnu karakteristiku
!ore" o"sko$ne pobu"e pri ispitivanju SAU $esto se koristi i prostoperio"i$na (sinusna pobu"a. U okvirufrekventni& meto"a se analizira o"ziv sistema u stacionarnom stanju na prostoperio"i$nu pobu"u.!obu"ni sinusni signal u t G Ausin t3u G A ue
jt3u
O"ziv sistema [(s [s G0sUs
!rimenom inverzne 'E i konvolucije "obija se F t G/
t
Auejt3u g "
!o5to je za t & t+/ 6 po"integralna funkcija se mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
35/45
koja se $e58e kotisti6 ali je manje precizna i ona se prikazuje zaje"no sa realnom logaritamskom naamplitu"nom "ijagramu. @agib kosog "ela asimptotske karakteristike se ra$una na sle"e8i na$in*0 j1*"b*0 j2*"b 6 g"e je ^2`^1. Ako je ^2G1/M^1ta"a one $ine "eka"u. U literaturi se susre8e i
pojam oktave (^2G2M^1.
Osnovna pre"nost logaritamski& "ijagrama je to multiplikativni elementi pretvaraju u a"itivne. Eako se?o"eovi "ijagrami je"nostavno mogu formirati "o"avanjem je"nog po je"nog elementa na crte
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
36/45
@ula u koor"inatnom po$etku jn i"ealni "iferencijator ili "iferenciraju8i element*zraz za amplitu"u *j n*"b G 2/log*j
n*G n2/log . Amplitu"na karakteristika ovog elementaje pre"stavljena pravom linijom $iji je nagib nM2/ "bJ"ec.
*zraz za fazu 3 GArg {jn}G narctg /
G n/ 8 . -aznu karakteristiku ovog elementa
pre"stavlja prava linija $ija je vre"nost celobrojni umno
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
37/45
1E
( ;1E
( E;1( 1E2=E2 ( *1jE*"b=2/log E
0rani$na frekvencija ^G1JE se zove prelomna (ugaona frekvencija. Amplitu"na karakteristika se sastojio" "ve prave linije prva je &orizontalna i o"govara frekvencijama /_^1JE6 a "ruga je po" nagibom2/"bJ"ec i o"govara frekvencijama 1JE^_V.*zraz za fazu 3 GArg {1jE}Garctg E
1,.$ ?o"eovi "ijagrami os!ilatornog elementa "rugog re"a (kompleksne nule i polovi sistema)
onjugovano kompleksni par polova 1
1j2n
j n2 oscilatorni element "rugog re"a
-unkcija prenosa je "ata izrazom0j G
1
1j2n
j n2 6 /1
*zraz za amplitu"u je *0 j*"b G2/log
1n
2
2
2n 2
Asimptotski "ijagram mo"ula se formira na sle"e8i na8in
n( :n( n 2
:15 2n 2
:1( *0 j*"b=2/log1 G/"b
n( ;n( n 2
;15 2n 2
;1( *0 j*"b=2/log n %
G%/logn
*zraz za fazu ArgQ0jR Garctg
2
n
1n 2
3+
2/Mlog1/
(
/.1 1 1/
log1/
^
0d"b
3"b
/
/
1 1/
x
log1/
^
/.2
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
38/45
1,.% O'itavanje konstanti gre5ke sa ?o"eovi "ijagrama
onstante greske su p Glims /
s v Glims /
s s a Glims /
s2 s
ompleksna promenljiva s se zameni frekvencijom ^ i posmatraju se ?o"eovi "ijagrami za jako niskefrekvencije6 o"nosno prvi segment "ijagrama.
p G lim /
jG lim /
!j
Wj
G ako je re" astatizma /
v Glim /
j j Glim /
!j
jWjG ako je re" astatizma 1
a Glim /
j2 j Glim /
!j
j2WjG ako je re" astatizma 2
@acrta se "ijagram6 o"re"i re" astatizma i na osnovu prvog segmenta "ijagrama se o$ita vre"nostkonstante gre5ke na sle"e8i na$inonstanta polo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
39/45
1,.* arakteristike ra"a sistema u prelaznom re
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
40/45
*ntegraljenjem se "obija uobi$ajeni oblik je"na$ine integralnog regulatora u t G i/
e t "t .
-unkcija prenosa integralnog regulatora 0i s GUsBs
Gis
G 1E is
6 g"e je Eirecipro$na vre"nost
poja$anja ii pre"stavlja vreme integraljenja.Uvo"jenjem integralnog regulatora se pove8ava inertnostsistema (sistem sporije reaguje na spoljne uticaje ali zatotrajno otklanja gre5ku ra"a sistema u stacionarnom stanju.
@egativna strana je i "estabilizuju8e "ejstvo u sistemu usle"ka5njenja.
Diferencijalni (D regulatorDiferencijalni zakon upravljanja je o"reen proporcionalnom zavisno58u izmeu upravlja$ke promenljiveu(t i brzine promene gre5ke e(t
u t G ""e t
"t-unkcija povratnog prenosa "iferencijalnog regulatora 0" s G
U s Bs
G "s
Samostalno postojanje D regulatora nema smisla jer je u stacionarnom stanju signal gre5ke konstantan paje izvo" ovog signala nula6 tj. D regulator bi reagovao samo na brze promene (zbog osobine "a jeupravlja$ka akcija proporcionalna brzini promene (prvom izvo"u gre5ke u vremenu. D regulator "obijana zna$aju kombinovanjem sa ! iJili * regulatorom6 posebno u prelaznom re
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
41/45
11.3 D regulator
ombinovanjem proporcionalnog i "iferencijalnog zakona upravljanja "obija se !D regulator $ije je
"elovanje o"reeno D4 u t G pe t ""e t
"t.
Uvo"i se pojam "erivacije vremena. Ako se na ulaz!D regulatora "ovo"i nagibni signal ta"a treba "a
proe vreme "erivacije E""a bi se u(t po""ejstvom proporcionalnog 5lana promenio zavre"nost "za koju se u po$etku skokovito
promenio po" "ejstvom "iferencijalnog $lana6o"nosno posle vremena E"vre"nost upravljanja u(t
8e biti 2M"iz $ega sle"i "GpME". Sa"a se za u(t mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
42/45
!ri analiti i sintezi sistema zgo"noje transce"entnu funkciju prenosazameniti linearnom funkcijom
0s G
Es1es=
Es1n
7e" linearnog mo"ela i njegovavremenska konstanta se mogu
o"re"iti pomo8u grafikona.
Bksperiment u zatvorenoj sprezi!rvo se "ejstvo regulatora sve"e samo na proporcionalno (p6 postavljanjem vremenske konstanteintegralnog "ejstva na maksimum (Ei\V6 a vremenske konstante "iferencijalnog "ejstva na minimum(E"G/. pse postavlja na manju vre"nost6 sistem se po"uuje o"sko$nim signalom i pse pove8ava umalim iznosima. U je"nom trenutku 8e pove8anje vre"nosti p"ovesti sistem na granicu stabilnosti6 5tose "etektuje pojavom prostoperio"i$ni& neprigu5eni& oscilacija u o"zivu sistema. !amte se vre"nosti
poja5anja za koju je sistem prooscilovao (pkri perio"a oscilovanja Ekr. @a osnovu o$itani& vre"nosti seo"reuju parametri sistema.
11.% Ciegler@i!olsova meto"a po"e5avanja parametara regulatora
Slu
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
43/45
12.2 Sistemi sa me5ovitim analognim i "iskretnim komponentama
7a$unar u SAU je sa aktuatorom i procesom povezan preko konvertora signala. Svi ulazni i izlazni signalira$unara "olaze i o"laze u je"nakim vremenskim intervalima E : perio" o"abiranja. !o"aci o vre"nostineke promenljive (t "obijeni u "iskretnim vremenskim intervalima se ozna$avaju sa (kME i nazivaju sesemplovani po"aci ("iskretni signal.O"abira$ se mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
44/45
12.$ Diskretna funk!ija prenosa SAU sa otvorenom i zatvorenom povratnom spregom
!osmatra se sistem g"e je izvr5ena "iskretizacijaulaznog (7(z i izlaznog ([(z signala. -unkcija
prenosa u z"omenu je 0 z G[ z7 z
Ako oba o"abira$a imaju istu perio"u o"abiranja (nji&ov ra" je sin&ronizovan
on"a se mo
7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja
45/45
Literatura
Ca izra"u ovog "okumenta kori58eni su !D- fajlovi koje je profesor -ilip uli8 koristio na pre"avanjimai koji se nalaze na&ttpJJcc".ns.ac.FuJausJsauJsau.&tm. Ovaj "okument sam napravio ja ra"i lak5eg u$enja(nemam