Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Trasformazioni tra sistemi di riferimento
in moto relativo roto-traslatorio
x1
x3
x2 O u1 u2
u3
traiettoria di P
r (t) = OP = S i xi u i = OO‟ + O‟P == Si xiui + S xi‟ ui‟
r(t)=(x1, x2, x3)
P
x1‟
x2‟
x3‟
Vo‟(t)
O’
r‟(t)=(x1‟,x2‟,x3‟)
u1‟
u2‟
u3‟
OO‟(t)= ( x1 , x2 , x3 )
w(t)
Vo‟ v‟
v(t) = v‟(t) + Vo‟ + ( w r‟ )
w u‟ i
(vedi slide
successiva)
w r‟
“velocità di
trascinamento”
i i
iii
ii
i
dt
tudxu
dt
tdxu
dt
td
dt
POOOd
dt
tOPdtv
)('''
)(')()''()()(
x
i i iiii
ii
i uxudt
tdxu
dt
td'''
)(')( w
x
U.Gasparini, Fisica I
Rotazione del vettore A intorno ad un asse, con velocità angolare di rotazione :
A dA
dJ
j
wJ
d
dtJ w
Moto di “precessione” di un vettore :
Vale la formula di Poisson:
dA
dtA
w
Infatti: dA A d sinj J
dA
dtA
d
dtA A
Jj w j wsin sin
Inoltre dA ^ A, w ed il suo verso coincide con quello di
w A
Per un sistema di riferimento in rotazione con velocità angolare w, ciascuno dei versori dei suoi assi coordinati compie un moto di precessione :
u1
u2
u3
du
dtui
i
w
w
U.Gasparini, Fisica I 3
“Velocità di trascinamento”:
E‟ la velocita‟ che un punto, fermo nel sistema di riferimento “relativo”
(ossia in moto ), possiede rispetto al sistema di riferimento “fisso” (“assoluto”),
per effetto del moto roto-traslatorio del sistema relativo.
Il passeggero seduto in treno (→ fermo nella carrozza del treno)
ha una velocita‟ di trascinamento (rispetto al marciapiede della
stazione) uguale a V.
vtr(t) Vo‟ + ( w r ‟ )
Esempio: treno in moto rettilineo con velocita‟ V ( → w = 0 )
x
y’ y
x ’
V
U.Gasparini, Fisica I 4
“Velocità di trascinamento” (2)
Esempio: bambino seduto sulla macchinina di una giostra che ruota
con velocita‟ angolare w (centro della giostra fermo: Vo‟ = 0 )
O‟
w
r’ vtr = w r ‟
La velocita‟ di trascinamento
per il bambino e‟:
Esempio: velocità di trascinamento nel moto della Terra
Sole
vtr = Vo‟ + w r‟
Vo‟
velocità rispetto al Sole di
un punto P fermo sulla superficie della Terra
P
O‟
O
OO‟(t)
Vo‟ w
r‟(t)
x‟
y‟
z‟
x y
z
w r‟
asse di rotazione
terrestre
Trasformazione delle accelerazioni:
dt
'rd + 'r
dt
d
dt
Vd
dt
'vd
'r + V+ 'vdt
d
dt
vd =
O'
O'
ww
w a
ao‟
d
dt
dx '
dtu '
d x '
dtu '
dx '
dt
du '
dt
ii
ii
i i
2
2
'v ' + a
'=udt
'dx' + a
')u (dt
'dx' + a=
ii
ii
w
w
w
=
=
=
d
dtx 'u '
dx '
dt u ' x '
du '
dt
v' x '( u ')
=v' x 'u '
= v' r'
i i
ii i
i
i i
i i
w
w
w
'''' ' rvrdt
dav' + a=a O
ww
ww
'''2 ' rrdt
dav' + a=a O
ww
ww
U.Gasparini, Fisica I 7
Sistema “assoluto”: Sistema “relativo”:
v, a v‟, a‟
v = v‟ + vtr = v‟ + VO‟ + w r‟
a = a‟ + atr + aCo
a Co = 2 w v‟ “accelerazione complementare”
o “di Coriolis”
vtr = VO‟ + w r‟ “velocità di trascinamento”
Riepilogo: leggi di trasformazione delle velocita‟
ed accelerazioni
“accelerazione di
trascinamento”
''' rdt
dra=a Otr
www
U.Gasparini, Fisica I 8
“Accelerazione di trascinamento”
''' rdt
dra=a Otr
www
L‟ accelerazione di trascinamento:
ha per le accelerazioni lo stesso significato fisico che la velocita‟ di
trascinamento ha per le velocita‟:
è l‟ accelerazione che un punto, fermo nel sistema in moto, possiede nel sistema
assoluto per effetto del moto del sistema relativo
Esempio:
oggetto fermo su una piattaforma
rotante con velocita‟ angolare w w
z ’
y ’ x ’
r’ O‟ 'r
w
'ratr
ww
Vista dal sistema di riferimento “fisso” (x,y,z),
atr e‟ l‟ accelerazione centripeta di un punto
che sta compiendo una traiettoria circolare di raggio r‟.
x
z
y
w = costante
N
S
piano dell‟eclittica
O’ aO’ (verso il Sole)
P
r’
w w r‟ )
w
Accelerazione di trascinamento: a a rtr o ' ( ' )w w
vO’
Esempio di trasformazione delle accelerazioni : il moto della Terra
av
R
Km s
Kmcm s go
o'
' ( / )
,, /
2 2
8
2 330
15 100 6 10
distanza Terra-Sole
All‟equatore:
)cos(
)2/sin()'(
2
2
w
www
T
T
R
Rr
P
raggio della Terra
w 2 24 0 4%)R cm s gT / ( ,
N
S
latitudine
w w ( ' )r
U.Gasparini, Fisica I
Esempio: dipendenza dalla latitudine
dell‟ accelerazione di gravità
( w = costante, aO‟ trascurabile )
g0 = g + w w r‟ ) + 2 w v‟
accelerazione assoluta (che si osserverebbe se la Terra non ruotasse: diretta verso
il centro della Terra)
accelerazione relativa
Accelerazione osservata in un sistema solidale con la Terra:
g = g0 - w w r ‟) - 2 w v‟
g go
- w w r‟ )
w
w r‟
z (Alto)
x (Sud) y(Est)
r‟
la componente verticale gz
dell‟accelerazione di gravità
osservata g
aumenta con la latitudine
( è minima all‟Equatore;
al polo coincide con g0 )
U.Gasparini, Fisica I 11
Dipendenza dalla latitudine
dell‟ accelerazione di gravità
g go
- w w r’ )
w
w r’
z (Alto)
x (Sud) y(Est)
r‟
w
ww
22 cos
cos)'(
TR
r
Al Polo:
A Padova:
All‟ Equatore:
2
0
0 /83,9~)90( smgg 20 /81,9~)45( smg
22
0
0 /78,9~)0( smRgg Tw
Nota: nella caduta di un grave,
atr ha anche una componente verso
Sud (nell‟ emisfero Nord)
pari a w sincos2
TR
w 22
0 cos)( TRgg
|w×r’| =wr‟sin(/2-) =wr‟cos
r‟≡RT
|w×(w×r‟)|=w2RTcos
Accelerazione di Coriolis su un grave in caduta libera
g go
- w w r )
w
2w v‟
z (Alto)
x (Sud) y(Est)
RT
aCo=2w×v‟
entra nel piano del foglio -2w×v‟ diretta verso Est
(esce dal piano del foglio)
v’
Il corpo in caduta con velocità v’ passa da un punto iniziale P ad altezza h
in cui la velocità di rotazione è w(h+RT)cos ad un punto finale P‟ (base della torre),
in cui la velocità della superficie terrestre è minore: wRTcos
P
P’
l‟oggetto in caduta sopravanza (verso Est) la base della torre
h
U.Gasparini, Fisica I 13
Accelerazione complementare (“di Coriolis”)
w
z ’
y ’ x ’
v’ O‟
'2 v
w
Esempio: una persona cammina in direzione radiale con velocita‟ v’
su una piattaforma rotante
Nell‟ avvicinarsi al centro della piattaforma, l‟uomo va in regioni della
piattaforma per le quali la velocita‟ di rotazione del pavimento, wr‟, e‟ via via piu‟
piccola; per rimanere sulla linea radiale della piattaforma, l‟uomo deve avere nel
sistema “assoluto” (x,y,z) un‟ accelerazione tangenziale al moto di rotazione
opposta alla rotazione stessa, data da aCo
z
y
x
O
U.Gasparini, Fisica I 14
Effetti dell‟ accelerazione di Coriolis:
B A v‟
w
-2( w × v‟)
vortice ciclonico
(bassa pressione)
(alta pressione)
Nell‟ emisfero settentrionale (meridionale)
i vortici ciclonici atmosferici ruotano in
senso antiorario (orario)
Rotazione apparente del piano di oscillazione del “pendolo di Foucault”
piano di oscillazione
w
E
w
N
v’
Est -2 w v’
v‟
-2 w v’
rotazione apparente
del piano di
oscillazione Nell‟esperienza di Faucault
( Parigi, Pantheon,1850): T
gs
22 20
w
Pendolo di Faucault
)100( m
Sistemi di riferimento in moto relativo puramente traslatorio ed uniforme :
O x
y
z
z‟
y‟
x‟
O’
vO‟
VO‟ = costante
aO’ = 0, w = 0
Nota : le trasformazioni galileiane, che postulano un tempo “assoluto”, contraddicono il principio di invarianza della velocità della luce
(sperimentalmente osservato). [ Per trattare correttamente velocità relative prossime alla velocità della luce,
è necessario utilizzare le trasformazioni della meccanica relativistica (trasformazioni
di Lorentz ) ]
Trasformazioni galileiane
“Trasformazioni galileiane”:
)(')(
)(')(
)(')(')(')(
'
'
tata
Vtvtv
tVtrtOOtrtr
O
O
le accelerazioni sono invarianti
per trasformazioni galileiane
U.Gasparini, Fisica I 17
Scegliendo uno degli assi coordinati parallelo alla velocità relativa
di traslazione : x, x ’ // vO‟
O x
z z‟
x‟
y‟ O’
vO‟
y
tVtrtr O ')(')(
x t x t V t
y t y t
z t z t
O( ) ' ( )
( ) ' ( )
( ) ' ( )
'
P
r r’
Trasformazioni galileiane
v t v t V
v t v t
v t v t
x x O
y y
z z
( ) ' ( )
( ) ' ( )
( ) ' ( )
'
')(')( OVtvtv
a t a t
a t a t
a t a t
x x
y y
z z
( ) ' ( )
( ) ' ( )
( ) ' ( )
)(')( tata
U.Gasparini, Fisica I 18
Sistemi inerziali e trasformazioni galileiane
L „invarianza delle accelerazioni per trasformazioni galileiane implica che
se un sistema di riferimento è “inerziale” (ossia in esso valgono
il principio di inerzia e le legge di Newton), ogni altro sistema in
moto relativo uniforme rispetto ad esso è un sistema di
riferimento inerziale:
F= m a = ma‟ essendo a = a‟ .
U.Gasparini, Fisica I
O
traiettoria di P P
a
F = ma
Sistema inerziale: F ma
Vo‟(t)
O’
w(t)
Sistema non inerziale:
Sistemi non inerziali
a a a atr Co'
F ma m a a atr Co ( ' )
F m a a matr Co ( ) 'Forze apparenti in un
sistema di riferimento non inerziale: F ma' '
equazione formalmente
uguale alla legge
di Newton avendo definito la “forza”:
forza reale “forza fittizia” (ad es., forza “centrifuga”)
)(' Cotr aamFF
U.Gasparini, Fisica I 20
“forza centrifuga” su una piattaforma rotante
w
r
w r
a rtr w w( )
Equilibrio sulla piattaforma:
a ' 0
F F ma matr' ' 0
F m
Esempio di forza apparente:
La forza reale : F ma m rtr w w( ) 0
equilibra la forza “centrifuga”: F m rcentrifuga" " ( ) w w
Il sistema non è un sistema inerziale (in esso non vale la legge di Newton) :
F ma ' ( )0 F a‟=0
Credits: www.nasa.gov
Esempio di forze apparenti: “assenza di peso” in navicelle
spaziali in orbita terrestre
x’
y’
z’
0'' amamgmF tr
RT u
r
mMgm
2
uR
v
Rtr ur
va
2
-atr
h≈350 km
kmhRr T 6700
r
vrg
2
)( hkm
skmrrgv
/27700
/7,7)(
Effetti della
“microgravita’ ”
sulla
Terra
nella
ISS
F’
2
2
0 8,8)(
ms
R
rgrg
T
22 8,9/ msRM TT
g(r) =g0 R2
T /r2
~ 8.8 m/s2
g0