Skalowanie rozkładów wahania cen dla indywidualnych spółek

„Scaling of the distribution of price fluctuations of individual companies”Vasiliki PlerouParameswaran GopikrishnanLuís A. Nunes AmaralMartin MeyerEugene StanleyBoston Univerity, lipiec 1999

Podstawowy problem

Jak zachowują się ceny akcji największych spółek giełdowych dla rosnącego kroku czasowego Δt?

Badanie przeprowadzono dla Δt od 5 minut do ok. 4 lat (5 rzędów wielkości)

Badano spółki na 3 głównych giełdach w Stanach Zjednoczonych:

NYSE – giełda nowojorska Nasdaq – giełda nowych

technologii AMEX – giełda amerykańskaBazy danych: TAQ – wszystkie transakcje od

1993 roku CRSP – od 1925 comiesięczne

ceny akcji, od 1962 dzienne

Podstawowe pojęcia

Si(t) - kapitalizacja rynkowa spółki i w czasie t – jest to całkowita wartość papierów wartościowych danej firmy (cena jednej akcji pomnożona przez ilość wszystkich wyemitowanych akcji przez daną spółkę)

Gi– dochód (zwrot) spółki i liczony:

)(ln)(ln, tSttSttGG iiii

Przykład

G>0 zysk – dochód dodatni [+]

G<0 strata – dochód ujemny [–]

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

czas

S

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

1 3 5 7 9 11

czas

G

Rozkład dochodów dla Δt = 5 minut

Dystrybuanta dochodów [+]P(Gi>x)

ixxGP i

1~)(

Histogram wystąpień wykładnika α

Najbardziej prawdopodobna wartość:

αMP=3

uśrednienie po czasie

zmienność (volatility) vi

dochód znormalizowany gi

222

TiTi GGvi

i

Tiii v

GGg

Po znormalizowaniu dla Δt=5min, 10 spółek

dla 1000 spółek, Δt=5 min

α = 3,10±0,03 [+]

α = 2,84±0,12 [-]

metoda normowania dla Δt ≥ 1dzień

Dla Δt = 5 min jest 40.000 danych, a dla Δt = 500 min mamy tylko 400 danych dla danej spółki.

Cechy zmienności: v spada ze wzrostem kapitalizacji S firmy o podobnej kapitalizacji S mają

podobną zmienność v

v zależy więc w dużym stopniu od S. Grupujemy dochody wszystkich firm w „szuflady” wg ich kapitalizacji S.

Dla danej szuflady obliczamy Gs – dochody wszystkich firm, które mają kapitalizację S

Dystrybuanta prawdopodobieństwa warunkowego P(Gs≥x|S)

zmienność

dochód znormalizowany

222

SSSSS GGv

S

SSSS v

GGg

dochody Gs (bez normalizacji)

P(Gs≥x|S) dla 4 różnych szuflad o różnym S:

109,8<S<1010,2

1010,2<S<1010,4

1010,4<S<1010,6

1010,6<S<1010,8

Porównanie dochodów znormalizowanych (dwie metody)

metoda gi:

α = 3,10±0,03 [+]

metoda gS:

α = 2,84±0,12 [+]

Zależność potęgowa pozostaje taka sama przy dużych zmianach Δt od 5 do 320 min

Momenty dla Δt≤1dzień

Wykres dla Δt=80 minut jest na prawo od 320 min!

k

k g

1dzień≤Δt≤16dni

Δt α [+] α [-]

1 2,96±0,09 2,70±0,10

4 3,18 ±0,05 2,75±0,09

16 3,43±0,04 2,74±0,12

Momenty dla Δt od 1 do 16 dni

Rozkład dochodów dla Δt≥16 dni

Δt α [+] α [-]

16 3,43±0,04 2,74±0,12

64 3,98±0,09 2,78±0,07

256 5,06±0,07 3,01±0,07

1024 6,43±0,29 3,48±0,07

Momenty dla Δt od 1 do 1024 dni

Zależność α(Δt)

Dla Δt<1 dzień TAQ (390 min)

Dla Δt≥1 dzień CRSP szare tło Δt<16 dni białe tło Δt>16 dni

Porównanie rozkładu dochodów indywidualnych spółek i indeksu S&P 500.Jaka jest przyczyna skalowania?

gdzie wagi:

N

iiiN ttGwttG

1)( ,),(

N

jj

ii

S

Sw

1

Gsh - mieszany G(N) po szeregu czasowym

Skalowanie nie istnieje, jeśli zależności pomiędzy firmami zostają zniszczone.

Podsumowanie:

Rozkład dochodów znormalizowanych dla indywidualnych spółek jest zgodny z prawem potęgowym:

Rozkłady dochodów zachowują taką samą formę dla długiego zakresu kroków czasowych Δt, obejmujących 3 rzędy wielkości od 5 min do 6240 min (16 dni) (skalowanie).

Dla Δt≥16 dni rozkład dochodów powoli zmierza do Gaussa (szybciej dąży zysk [+] niż strata [-])

Efekt skalowania wynika z zależności (korelacji) pomiędzy firmami.

,gdzie x

xgP1

~)( 3

KONIEC

Przygotował: Grzegorz Kowalczyk