1Skriftlig huvudräkning

Skriftlig huvudräkning är en metod att förenkla numeriska uttryck genom att utnyttja räknelagarna och sambanden mellan räknesätten. Mellanled som visar tankegången skrivs ner. Metoden utvecklar elevens taluppfattning, förståelse för positionssystemet och likhetstecknet innebörd. Tabellkunskaperna generaliseras till alla talsorter, vilket underlättar vid överslagsräkning. Eleven stimuleras till aktivt, logiskt och flexibelt tänkande, eftersom lösningarna varierar beroende på uttryckets utseende och elevernas kreativitet.

Birgitta Rockström är folkskollärare och arbetar nu som läromedelsförfattare och lärarfortbildare

Föreläsning

Nu får man tänka – och tala”Nu är det roligt med matte för man får tänka, förut räknade man bara siffror”, sa en av mina elever när hon fick byta ut algoritmräkningen mot skriftlig huvudräkning. Metoden skriftlig huvudräkning bygger på elevernas medverkan. Det är deras kreativitet, analytiska och logiska förmåga som tas till vara och utvecklas. Mellanleden kan se ut på olika sätt beroende på uppgiftens utseende och elevens kreativitet.I samtal och resonemang får eleverna förklara och redogöra för sina tankegångar. De kan jämföra och värdera olika lösningar genom att lyssna på varandra. Språket – det tänkta, talade och skrivna – blir det verktyg som hjälper eleverna att reda ut sina tankar och redovisa sin förståelse, både muntligt och skriftligt.

Självförtroende ger lust att lära meraEleven får tid att tänka själv, pröva olika idéer, upptäcka samband och dra egna slutsatser som leder till goda resultat. En elev som förstår matematikens lagar och möjligheter känner självförtroende. Då blir matematiken intressant och lockar till allt svårare uppgifter och upptäckter.

ProblemlösningSkriftlig huvudräkning stärker och utvecklar elevens taluppfattning, inte minst när det gäller tal i bråkform och decimalform. Den träning som eleverna får i kreativt och logiskt tänkande när de arbetar med skriftlig huvudräkning, gör att de även vid problemlösning hittar andra lösningar än de rent mekaniska. Arbetssättet leder till förståelse för regler om prioritering och parentes, moment inom geometri, bråk- och procenträkning samt förkunskaper i ekvationslösning och algebra.

LitteraturRockström, Birgitta (1999) Skriftlig huvudräkning, metodbok. Bonnier Utbildning

2 Elevkonstruerade textuppgifter i tre steg

När eleven konstruerar och formulerar egna problem får fantasin och kreativiteten fritt spelrum. Det enda som begränsar uppfinningsrikedomen är matematiska fakta och lagar. Arbetssättet innebär att eleven får förståelse för räknesättens innebörd och hur man kan använda parentes och prioriteringsregeln för att förenkla uträkningarna, eftersom elevens textuppgifter oftast är flerstegsproblem.

Birgitta Rockström är folkskollärare och arbetar nu som läromedelsförfattare och lärarfortbildare.

Föreläsning

Elevens fantasi – en kraft att räkna medBarn är experter på fantasi och de har tillgång till den i varje minut. Där vi vuxna ser begränsningar, ser barnen möjligheter. Fantasi är inte bara förmågan att hitta på. Det är också förmågan att analysera, se mönster, upptäcka samband och att tänka sig nya lösningar som aldrig prövats förut. Kanske är det så att vi i vår undervisning ger eleverna för mycket kunskap i form av givna regler och ”gör så här” i stället för att låta eleverna själva upptäcka matematikens lagar och möjligheter. Får eleverna den tid och de impulser de behöver för att själva tänka ut och komma fram till ett resultat – och känna tillfredsställelsen i att förstå vad de sysslar med?

Elevkonstruerade textuppgifter i tre stegEtt sätt att ta vara på elevernas fantasi är att ge dem i uppgift att konstruera och formulera egna matematiska problem. Beroende på vilka moment som behöver tränas och vilka förutsättningar som ges, kan uppgifterna varieras – från det bundna till det fria valet – i tre steg.

1. Formulera en text till ett givet numeriskt uttryck.

När eleven ska sätta text till ett givet numeriskt uttryck, till exempel en subtraktion, tvingas eleven att tänka efter vad minustecknet står för. Eftersom eleven har fantasi och gärna vill tänka själv, så är detta tvång positivt och motivation finns inför uppgiften.

2. Konstruera en uppgift när vissa förutsättningar är givna. Redovisa en lösning.

De givna förutsättningarna kan vara en bild, ett diagram, en annonssida, TV:s programtider eller något annat som eleven behöver träna på, t. ex. inom geometri. Ett krav finns – eleven måste också kunna redovisa en lösning. Detta innebär att uppgiften inte görs svårare än att eleven själv kan lösa den. Alla elever, även de osäkra eller långsamma, kan prestera något utan risk för att misslyckas, eftersom konstruktionen anpassas efter elevens egen kapacitet.

3. Konstruera en textuppgift om vad som helst, men visa en lösning också.

Dessa uppgifter kommer att innehålla allt – från det enklaste vardagliga till de mest hisnande äventyr. Det enda kravet är att eleven själv kan visa en lösning, även om den inte nödvändigtvis måste vara helt rätt.

Förmågan att konstruera uppgifter varierar. Mycket kreativa elever får utlopp för sin förmåga att göra uppgifter som andra elever upplever som intressanta och lockande att lösa.

En logisk tankegångNär eleverna konstruerar sina egna uppgifter blir det oftast flerstegsproblem, dvs flera beräkningar som bygger på varandra måste göras. Detta innebär att eleven måste fördjupa sig i problemet, sortera och reda ut sina tankar. En logisk tankegång är nödvändig för att kunna lösa uppgiften. På samma sätt som eleven har en naturlig fallenhet för kreativitet, så tycks de ha en logisk förmåga. Den bör man ta vara på och utveckla. I det avseendet är matematiken med sina klart formulerade begrepp och logiska uppbyggnad ett utmärkt övningsämne.

RedovisningarElevkonstruerade uppgifter kan användas till par- eller grupparbete, men de flesta elever vill helst fundera ut en lösning på egen hand först. Boel, 12 år, uttryckte det så här:

”Det känns så skönt när man har löst en uppgift med hjälp av sig själv!”

Redovisning kan sedan göras med hela klassen eller gruppen samlad. Då får de som redovisar sina lösningar träning i att uttrycka sig muntligt och andra elever får tillfälle att ställa frågor.

Det är inte nödvändigt att spara alla uppgifter. Det största värdet ligger i själva konstruerandet och formuleringarna. I detta arbete ligger mycket konstruktivt tänkande, som innebär att eleverna utvecklar sin matematiska förståelse utifrån de kunskaper de har.

3På jakt efter fullkomligheten

Matematiken är filosofisk till sin karaktär, vilket bör beaktas i undervisningen. Genom iakttagelser av mönster och resonemang kan elever fås att göra matematiska upptäckter. Två instruerande kortfilmer visas. Medtag gärna egen passare och linjal!

Pesach Laksman är lärarutbildare vid Malmö högskola.

Föreläsning

Kan du tänka sig en bildlektion utan att rita?Kan du tänka sig en musiklektion utan att spela musikinstrument?Kan du tänka dig en matematiklektion utan logiskt resonemang?Varje ämnes karaktär bör beaktas i undervisningsformen, om man vill framtvinga kreativitet hos eleverna. Hur skall man undervisa, så att matematikens anda genomsyrar lektionerna? Matematik är så gott som fri på fakta bortsett från axiom och definitioner. Den är en ren tankekonstruktion och de sanningar vi bygger bör växa upp i en process och inte förmedlas som dogmer. Konceptuell matematik får större genomslagskraft än ensidig räknande. Eleverna utvecklar sin intuition, iakttagelseförmåga och tankestruktur. Detta kan leda till fascinerandeupptäckter gjorda av elever.Matematik har alltför mycket fått form av ett hantverk. Jag vill se den som en konstart. Hantverkaren reproducerar utan reflexion medan konstnären skapar med sin fantasi. Matematik är alltför mångfasetterad och vacker för att utstå ensidighetens misshandel.Det kommer att visas två filmer, som leder dig på upptäckarfärd. Har manen gång beskådat matematikens vackra landskap är det svårt att sitta”hemma”. Man vill ut på nya äventyr.

4Problemlösning

I min föreläsning kommer jag att berätta om min forskning som handlar om hur lärare och elever löser rika matematiska problem. Forskningen är en longitudinell studie med fyra klasser i årskurs 7-9. Jag visar exempel på vad rika problem är och vilken matematik eleverna kan lära sig av ett specifikt problem. Ett delresultat av studien är att lärarna har många skilda roller under hela problemlösningsprocessen men gemensamt för de fyra klasserna är att lärarens upplägg och genomförande av lektionen är avgörande för vad eleverna lär sig.

Eva Taflin är universitetsadjunkt i matematik vid Högskolan Dalarna och doktorand vid Umeå universitet. Hon arbetar med lärarutbildning, lärarfortbildning och klassrumsforskning.

Föreläsning

Problemlösning -med samtal som bygger broar av matematik mellan elever och lärare då de löser rika matematikproblem.

Kursplaner och bedömningskriterierI kursplanerna för grundskolan och gymnasieskolan framkommer det hur viktigt det är att arbeta med problemlösning. Eftersom lärarens undervisning ska ge alla elever möjligheter till betyget Mvg ger jag här följande exempel från styrdokumenten:

Eleven formulerar och löser olika typer av problem samt jämför och värderar olika metoders för- och nackdelar /.../Eleven tar del av andras argument och framför utifrån dessa egna matematiskt grundade idéer.(Grunskolans kursplan Skolverket 2003-11-10)

Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang./.../Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. (Gymnasieskolans kursplan Skolverket 2003-11-10)

Bakgrund Olika tankegångar om problemlösning är utgångspunkt för en forskningsstudie Rika problem i matematikundervisningen (RIMA) som jag bedriver tillsammans med två kolleger, Rolf Hedrén och Kerstin Hagland. Vi använder en särskild typ av problem, som vi benämner rika och som uppfyller sju kriterier som vi formulerat.i Vår forskning går ut på att ta reda på lärares planering och genomförande av undervisning via rika problem, hur eleverna uppfattar denna undervisning, vad eleverna har chans att lära sig, samt vid vilka tillfällen lärande tycks ske.

Det är omöjligt att tala om när och hur lärande sker och vad som lärs när elever löser problem. Vi hoppas emellertid att vi i vår studie kan finna olika matematiska idéer, som lärare och elever möter och ger uttryck för i arbetet med ett rikt problem. Vi vill även i viss mån försöka utröna, vad som åstadkommit att dessa matematiska idéer dykt upp under lektionen.

Problemet

Stenplattor Ett mönster läggs med hjälp av kvadratiska stenplattor, mörka och ljusa. Så här ser mönstret ut:

figur 1 figur 2 figur 3

a) Hur många plattor går det åt till figur 5? Hur många av dem är ljusa och hur många är mörka?b) Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 15?c) Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 100?d) Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur n?e) Skapa ett liknande problem. Lös det.

Vi har valt att försöka sortera våra observationer av matematiska idéer efter olika steg i problemlösningsprocessen. Vi har också delat in lektionen i fyra möjliga faser, inledningsfas, famlande fas, heurekafas och avslutningsfas.

LektionsfaserFör att kunna beskriva när tillfällen för lärande inträffar har vi delat in problemlösningssektionerna i olika faser. De faser som redovisas här är endast de som sker under lektionen. Det kan även förekomma förberedelse och efterarbete utanför den egentliga lektionstiden.

Inlednings fas: Läraren introducerar problemet, t.ex. berättar muntligt om det, delar ut en stencil med det eller hänvisar till en hemsida där problemet kan läsas eller lägger på en overhead med problemtexten eller skriver upp problemet på tavlan. Eleverna uppfattar problemet.Famlande fas: Eleverna arbetar för att lösa problemet, enskilt eller tillsammans med kamrater eller med läraren.Heureka fas: Eleverna har löst en del av eller hela problemet och diskuterar problemets lösning med en eller flera kamrater eller med läraren.Avslutande fas: Eleverna eller läraren redovisar inför hela klassen olika sätt att lösa problemet, de jämför och diskuterar olika strategier och representationer, söker matematiska idéer, mönster och samband.

ProblemlösningsprocessenEtt annat sätt att belysa elevernas lösandet av problemet är att se den som följande processer:Osystematiskt letande Eleverna famlar efter en lösning, gissar, chansar, provar utan systematik, använder tidigare, ofta aktuella kunskaper.

Systematiskt letande Eleverna går mer noga, logiskt och systematiskt tillväga. De undersöker steg för steg för att finna ett matematiskt mönster, som ska underlätta för dem att lösa problemet.Upptäckt av mönsterEleverna upptäcker matematiska mönster, som underlättar för dem att finna lösningen.Formulering av generella regler uttryckta med egna ordEleverna formulerar med egna ord generella regler som motsvarar de matematiska mönster, som de upptäckt.Översättning av reglerna till matematiska formlerEleverna översätter sina regler, uttryckta med egna ord, till det mer kortfattade, strikta och symbolrika matematiska språket.Tillämpning av formelEleverna visar, att de förstått innebörden av formeln genom att använda den.Formulering ett eget liknande problemEleverna visar, att de insett vilka matematiska idéer problemet innehåller genom att formulera ett eget problem med snarlikt matematiskt innehåll.

Exempel på problemets matematiska möjligheter och lösningsstrategierLösning av delproblem aHär kan eleverna upptäcka hur figuren förändras från ett figurnummer till nästa. De kan även koppla antalsberäkningen till areabegreppet.

Exempel på strategi: Rita en bild eller Använd konkret materiel.

figur 1 figur 2 figur 3 figur 4 figur 5

Totala antalet stenplattor i figur 5 är 7· 7 st = 49 stAv dessa är 5· 5 st = 25 st ljusa och resten (49 - 25) st = 24 st mörka.De mörka plattorna kan även ses som en ram och beräknas på flera olika sätt, t.ex. så här:

4· (5 + 1) st = 24 st 4· 5 st + 4· 1st = 24 stLösning av delproblem b Här om inte förr kan eleverna upptäcka vilka matematiska samband som gäller för varje figur. Tanken är att de ska vilja slippa rita alla figurer fram till och med nr 15 och istället försöker hitta matematiska mönster som underlättar för dem att lösa delproblemet. Lösning av delproblem dHär kan eleverna öva sig i att översätta sina regler, formulerade med egna ord, till matematiskt språk, en matematisk formel. Detta förutsätter dock, att de är eller blir införstådda med den vanligt förekommande matematiska användningen av bokstaven n. Om eleverna har hittat mönstren i b är det då bara för dem att sätta in n istället för "nr" i tabellen ovan, där n då alltså betecknar ett godtyckligt postivt heltal, dvs. i detta fall kan n stå för vilket figurnummer som helst. Formlerna gäller alla figurer.

Exempel:

Mörka plattor 4(n + 1) stLjusa plattor n2 st.

Resultat och diskussionStudien visar bland annat att tre av fyra lärare gav eleverna ledtrådar i inledningsfasen om vad de skulle arbeta med för matematiska idéer.

Under de tre följande faserna kunde vi se exempel på olika steg i problemlösningsprocessen. De letade osystematiskt efter en lösning på problemet genom att chansartat använda begrepp och procedurer de tidigare arbetat med som proportionalitet eller formeln för cirkelns area. Exempel på mer systematiskt letande gav de elever som ritade alla figurer och räknade rekursivt. Andra klippte ut alla smårutor och räknade dem. Flera elever gjorde en tabell, oftast efter tips från läraren, och i den upptäckte de olika matematiska mönster. Eleverna såg figuren på olika sätt, ofta som en eller flera areor med eller utan ramar. Många elever upptäckte hur figuren växte och en del fann också sambandet mellan figurens storlek och figurnumret. Flera elever kunde formulera en generell regel med egna ord; en rekursionsregel eller en regel för en godtycklig figur. Några visade också att de kunde tillämpa sin regel. Det blev många funderingar och samtal kring n i delproblem d. Vad det stod för var inte alls klart för eleverna. En del var övertygade om att det handlade om en ekvation som skulle lösas. Andra trodde det hade något med mönster att göra men visste inte riktigt vad. Ytterligare andra ansåg att n var en konstant de själva fick välja men inte en variabel. Några elever kunde uttrycka vad n stod för. Få elever klarade att skapa en formel och att tillämpa formeln. Att formulera ett eget liknande problem försökte sig några elever på med lite olika framgång.

Det lärarna gav eleverna ledtrådar om hade betydelse för vilka matematiska idéer som dök upp och hur de behandlades. Matematiska idéer dök också upp och behandlades när elever diskuterade med varandra eller med läraren och när elever och lärare redovisade olika elevlösningar på tavlan. Elevernas egna lösningsförsök föreföll också vara viktiga då eleverna senare diskuterade med varandra och med läraren. Det var viktigt för eleverna att få tänka själva innan de fick en lösning presenterad för sig. De blev också intresserade av kamraternas matematiska idéer och strategier. Lärarna visade exempel på såväl lotsning som stöttning samt enbart nyfikenhet över elevernas lösningar.

Referenser: Skolverket (2000). Kursplaner och betygskriterier. Matematik. http://www3.skolverket.se (hämtad 2003-11-10)Taflin, E. (2003) Problemlösning och analys av rika matematiska problem. Licentiatavhandling Umeå universitet

5 Accelerationen i matematik, fysik, skola och livAccelerationn: Ett abstrakt begrepp som vi upplever otaliga gånger varje dag. I vardagsspråket är det hastighetsökning, i matematiken blir det en derivata. Accelerationen är en andraderivata som känns i hela kroppen. Vi ger exempel på experiment där 10-åringar studerat acceleration i några av Lisebergs attraktioner. Vi diskuterar också vilken matematisk förförståelse elever i olika åldrar har och hur vi arbetar vidare med lärarstudenternas upplevelser på Liseberg.

Ann-Marie Pendrill är lärarutbildare och professor i fysik vid Göteborgs universitet. Lisbeth Lindberg är lärarutbildare och universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet.

Föreläsning

Acceleration: Ett abstrakt begrepp, som vi upplever otaliga gånger varje dag. I vardagsspråket

är accelerationen en hastighetsökning, kanske en bil som går från 0 till 100 km/h på ett antal

sekunder. I matematiken blir accelerationen exempel på derivata av hastighet eller en

andraderivata av sträcka. För elever framstår accelerationen som en graf eller kanske att räkna

rutor. Fysikens acceleration är resultat av en kraft, som en fundamental del av Newtons andra

lag. I textböckerna är det oftast bilar, cyklar, tåg och flygplan som accelereras horisontellt

eller kulor, stenar och obestämda föremål som accelereras nedåt av tyngdkraften.

I vårt dagliga liv möter vi accelerationer i alla riktningar. Till skillnad från hastighet, som är

relativ, är acceleration absolut och kan därför upplevas av kroppen och mätas inifrån det

accelererade systemet. I skolan studeras acceleration oftast for endimensionell rörelse,

likformigt accelerad med start från vila vid tiden noll, men barnet i gungan, karusellen eller

gungbrädan upplever accelerationens vektorsaspekter med hela kroppen. Den som blundar i

en buss kan ändå märka om farten ökar eller minskar men också åt vilket håll bussen svänger

och utan att kunna se omgivningen kan man veta om en startande hiss är på väg uppåt eller

neråt. Det kroppen känner kan mätas. Kroppens upplevelser kan förstärkas genom olika

former av utrustning.

Ett litet lod, t ex ett gosdjur i snöre visar horisontell acceleration som kan mätas med

gradskiva. Lodet kommer efter när bilen startar och kommer före när bilen bromsar. Vinkeln

ger ett mått på accelerationen. Hur lång tid tar det att komma upp i 50 km/h med denna

acceleration? Svaretpå frågan eller lösningen av problemet kan ges genom en grafisk

representation. Rita en rätvinklig triangel med tyngdaccelerationen g, som den vertikala

katetern och accelerationen i m/s2 genom att räkna antalet rutor för a. En vinkel på 10 svarar

t ex mot accelerationen 1,7 m/s.

Lodet ändrar riktning, inte bara vad start och inbromsning utan också vid svängar, där

vinklarna ofta blir stora utan att farten ändras. På det viset kan man mäta acceleration t ex i

cirkelrörelser i olika karuseller. Mäta vinklar och tider kan man göra innan man kan konsten

att derivera! [1,2]

Redan i målen för skolår 5 står[3]

Kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider.

För äldre elever kan man studera vad som händer om två motriktade cirkelrörelser med olika

radier och rotationstider kombineras. Hur påverkas banans form och relationen mellan

perioden för de två rörelserna. I vilka lägen är hastigheten som störst? Var är accelerationen

störst? Hur kommer lodet att hänga? Banorna kan undersökas med papper och penna, med

kalkylprogram samt i verkligheten där uppmätta vinklar för lodet kan jämföras med beräknad

acceleration.

Figur 1. Kaffekoppen

Vi har under ett pilotprojekt 2003 kunnat genomföra ett Lisebergsbesök med första-

årstudenterna, med inriktning matematik, på lärarprogrammet. Studenterna gjorde detta besök

samtidigt som elever från olika årskurser genomförde fysikaliska experiment i

åkattraktionerna. Studenterna fick möjligheter att bemöta genuina elevfrågor och ha

diskussioner med eleverna intill och i attraktionerna. Syftet för våra studenter var att de skulle

identifera vilken matematik som eleverna behöver innan besöket och vad man kan behandla

efter elevernas olika erfarenheter från besöket. För att kunna genomföra denna uppgift åkte

studenterna själva tillsammans med eleverna i attraktionerna.

Figur 2. Kaffekoppens bana

Studenterna identifierade bl a arbete med geometriska begrepp och att mäta vinklar, längd och

tid. Genom att använda kroppsmått göra uppskattningar av höjder och längder. Generellt

skulle det var möjligt att diskutera olika mätmetoder och mätnoggrannhet med eleverna.

Erfarenheterna från detta besök följdes upp i seminarieform med en diskussion mellan

studenterna och oss båda lärare av erfarenheter och vidare möjligheter.

För att besöket för studenternas del skall fungera väl är det viktigt att de i förväg arbeter

igenom de olika stationerna med ett matematikperspektiv, inriktat mot respektive

undervisningsgrupp. Besöket kan utnyttjas för att se matematiken i det som händer utanför

undervisningssituationen i klassrummet. Vi arbetar nu vidare med olika sätt att lägga upp

besök för att på bästa sätt tillvarata studenternas och elevernas upplevelser och observationer.

Vi bygger naturligtvis på erfarenheter från andra organisationer och lärosäten som ordnar

matematikaktiviteter på nöjesfält.[4,5,6] Pilotprojektet har givit oss många erfarenheter och

tankar inför vidare utveckling av matematikinnehållet. Vi ser många möjligheter och olika

perspektiv, med en aktivitet tilsammans med studenter och elever. som uppfattas som positiv

och som kan ge mer lust att lära matematik.[7]

Detta projekt är ett samarbete mellan Göteborgs univeritet och Liseberg. Pilotprojektet har

kunnat genomföras med stöd av Utbildnings- och forskningsnämnden för lärarutbildning

(UFL) vid Göteborgs universitet. Rådet för Högre Utbildning har beviljat medel för

vidareutveckling.

Referenser:

[1] Bagge, S. & Pendrill, A-M. (2002). Classical Physics Experiments in the Amusement Park

in Physics Education 37 pp.507-511.

[2] Pendrill, A-M. (2002) Matematik på Liseberg ur Dokumentationen av 12:e

Matematikbiennalen Norrköping 24-26 januari 2002.

[3] Läroplan för det obligatoriska skoloväsendet, Lpo94, Kursplan i matematik, upprättad

2000/07. http://www.skolverket.se.

[4] Mathematics in Action at Australia´s Wonderland, the Mathematical Association of South

Wales. http://hsc.csu.edu.au/pta/mansw/ (Student Services)

[5] Physics/Science/Math Days@Paramount´s Great America,

http://homepage.mac.com/cbakken/pga/

[6] Coaster Quest, Kutztown University och Dorney Park.

http://www.kutztown.edu/acad/coe/seced/projects.html

[7] Skolverkets rapport nr 221, (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik.

http://www.skolverket/publicerat

6aGamla kulturer är också att räkna med

MATH ART består av tavlor med matematiska symboler från skilda tider och kulturer. Dessa tavlor bildar underlaget för föreläsningen.

Lars Nystedt har varit universitetslektor i matematik vid Stockholms Universitet och har skrivit böckerna ”På tal om tal” samt ”Historien om metern och kilot”, som är metersystemets historia.

Föreläsning + utställning

MATTE ÄR VÄL INGEN KONST

Tycker du kanske,

Men det är det ju, och den konsten finns utställd under Biennalen i

Galleri Svanlunda, Davidshallsgatan 8, Malmö.

Vernissage torsdag 22 jan 17.00 – 21.00, därefter öppet fredag, lördag, söndag 11.00 – 16.00.

Fredag 8.30 – 9-00 talar jag där över ämnet

GAMLA KULTURER ÄR OCKSÅ ATT RÄKNA MED

som handlar om matematikens tidiga historia utgående från tavlorna på utställningen. Dessa består av matematiska symboler från skilda tider och kulturer.

Föredraget är njutbart för lärare på alla nivåer, men är särskilt intressant för dem som även är lärare i bildkunskap.

Lars Nystedt har varit universitetslektor i matematik vid Stockholms Universitet och har skrivit böckerna ”På tal om tal” samt ”Historien om metern och kilot”, som är metersystemets historia.

6 bUpptäckten av logaritmerna

När, var, hur och varför upptäcktes logaritmerna, och hur räknades de första logaritmtabellerna ut?

Lars Nystedt har varit universitetslektor i matematik vid Stockholms Universitet och har skrivit böckerna "På tal om tal” samt ”Historien om metern och kilot”, som är metersystemets historia.

Föreläsning

I början av 1600-talet slog upptäckten av logaritmerna ner som en bomb i det matematiska samhället. Detta skedde mer än hundra år före infinitesimalkalkylens inträde i matematiken. Det märkliga är också att det inte var en utan två personer, John Napier och Joost Bürgi, som oberoende av varandra gjorde upptäckten så samtidigt att det är omöjligt att i dag avgöra vem som var först. Emellertid var Napier först med att publicera sin upptäckt och har därför fått hela äran för logaritmerna. Det är också märkligt att upptäckten gjordes, inte av en professionell matematiker, utan av en godsägare på skotska landsbygden. Däremot var det en matematiker, Henry Briggs, som kom på att använda basen 10, och som beräknade de första logaritmtabellerna som var uträknade med 16 siffror och uträkningarna gjorda för hand!!

Föredraget handlar om hur Napiers logaritmer fungerade och hur Briggs räknade ut sina tabeller.

7X, Y och Z – skoj med variabler och tal

Att kunna använda uttryck med variabler, förstå uttryck samt teckna egna uttryck är den huvudsakliga inriktning som algebra i grundskolans senare del har fått under senare år. Det framgår inte minst av de algebrauppgifter som förekommer på nationella prov.I den här föreläsningen ges exempel på olika övningar som kan användas för att ge eleverna träning i att använda, förstå samt teckna algebraiska uttryck.

Lennart Undvall är lärare i matematik och fysik vid S:t Ilians skola i Västerås, läroboksförfattare

Föreläsning

Så sent som 1998 förekom den här uppgiften på standardprovet i matematik:Förenkla så långt som möjligt 2x(4x + 2) (3x 2)(3x + 2)

I de nationella prov som ges idag skulle en sådan uppgift knappast platsa. Vi har till stor del har fått en annan inriktning av den algebra som tas upp i grundskolans senare del. Det handlar nu mera om att eleverna ska lära sig att använda algebraiska uttryck samt teckna egna uttryck. Den här uppgiften, hämtad från det nationella provet 1999, får tjäna som exempel:

I I en skola ska det byggas en samlingssal där den första raden har 10 platser och andra raden 13 platser. Rad 3 har 16 platser och så fortsätter varje rad att öka med 3 platser ända tills sista raden som har 31 platser.a) Hur många platser finns det på rad 6?b) Hur många rader finns det i samlingssalen?

c) Beskriv med ord eller med en formel hur man räknar ut antalet platser på rad n.

II I en annan samlingssal kan man räkna ut antalet platser på rad n med formeln 12 + 5n. Beskriv hur denna sal är uppbyggd.

Som lärare år 7-9 är det nödvändigt att ha tillgång till övningar som ger eleverna träning i att använda uttryck, teckna egna uttryck samt övningar som visar hur man med hjälp av algebra kan visa generella samband.

Ett exempel på en sådan övning är följande:

- Skriv ett tresiffrigt tal- Skriv sedan samma tresiffriga tal framför det första. På så sätt får du ett sexsiffrigt tal.

- Dividera det sexsiffriga talet med 7- Dividera kvoten med 11- Dividera den nya kvoten med 13- Vilket svar får du?- Visa att det alltid blir så!

Låt oss som exempel välja talet 456. Om vi upprepar samma tal får vi det sexsiffriga talet 456 456. Om vi dividerar med 7 får vi 65 208. En division med 11 ger kvoten 5 928. Om vi slutligen dividerar med 13 får vi 456, det vill säga det ursprungliga talet.

Hur kommer det sig?

Vi kallar det ursprungliga tresiffriga talet för x. Det tal som vi skriver framför är 1 000 gånger så stort, dvs lika med 1 000x. Det sexsiffriga talet kan alltså tecknas 1 000x + x = 1 001x. Talet 1 001 är lika med 7  11  13. En division med dessa tal ger os därför tillbaka det ursprungliga talet.

8 aProjekt Huset

Ett exempel från årskurs 6 på hur matematiken kan integreras med övriga ämnen i tematisk form. Arbetet har i stor utsträckning utgått från elevernas tankar och idéer kring vardagen och det matematiska innehållet har fått en verklighetsförankring.

Kicki Skog arbetar vid lärarutbildningen i Stockholm

Föreläsning

Under rubriken ” Ämnets syfte och roll i utbildningen”, Lpo-94, står att läsa:

Matematiken är en viktig del av vår kultur och utbildningen skall ge eleven insikt i ämnets historiska utveckling, betydelse och roll i vårt samhälle. Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Den skall också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem.

Ämnesintegrerat arbete är mycket vanligt i de lägre skolåren. På Falkbergsskolan i Tullinge har vi länge jobbat i projekt med ämnesövergripande teman även i år 7-9. Det har varit givande, men också frustrerande.

Det har varit svårt att få med sig alla i processen och mycket tid har slösats bort framför Internet.

Matematiken har ofta stått utanför temaarbetet och bekräftat inställningen att matematik inte har så mycket kontakt med verkligheten.

Den tid vi haft till projektarbete har ofta legat 120 min på torsdag eftermiddag och det har varit svårt att komma igång efter en veckas paus i arbetet.

Målen har känts luddiga och tidsplanen för långsiktig för eleverna.

Inför vt-03 fick vi utökade resurser till åk 6 och därmed chansen att planera ett tematiskt projekt som kunde löpa över ungefär halva terminen. En och en halv dag (tisdag + torsdag em) bokades som projekttid. Under tisdagen kunde vi schemalägga tre lärare som tillsammans undervisade i matematik, no, svenska, so och engelska. Detta bäddade för stor frihet när det gäller gruppkonstellationer, innehåll och riktat stöd. Vi lade stor vikt vid att alla tre var väl insatta i varandras ämnesområden, så att alla kunde stötta eleverna under den tid de arbetade självständigt.

På torsdag eftermiddag hade vi tillgång till skolans bildsalar, vilket gjorde det möjligt att schemalägga matte-bildverkstad som kopplades till det mer teoretiska innehållet i matematik under resten av veckan.

Syftet med att integrera matematiken i ett ämnesövergripande tema var att ge eleverna nya infallsvinklar, så de kan se hur matematik och verkliga livet ofta hänger ihop.

Arbetets gång

De flesta elever var från tidigare år vana vid att oftast sitta och räkna i sin bok under mattelektionerna. Under min första termin med dem arbetade de mycket laborativt och tränade på att på flera sätt visa vad de kunde. De ritade och förde noggranna anteckningar för att minnas de matematiska sambanden i en egen kom-ihåg-bok vid namn ”Lilla Röd”.

Denna bok blev mycket viktig under arbetet med Huset. Innan vi satte igång testade jag elevernas förförståelse kring längdmätning, enhetsomvandling, areabegreppet, samt egenskaper hos några olika plangeometriska figurer.

Under föredraget om projekt Huset så visar jag ett antal glimtar från

projektstarten de mål ur kursplanen vi arbetade mot olika typer av elevarbeten uppgifter på olika nivåer som vi bearbetat hemuppgifter hur eleverna visat vad de lärt sig hur jag som lärare arbetat hur arbetet skulle kunna utvecklas

8 bEtt dagsfärskt läromedel

Arbete med statistik, bråk, procent, numerisk räkning, problemlösning m.m. med dagstidningen som läromedel.

Kicki Skog arbetar vid lärarutbildningen i Stockholm

Workshop

Jag har ofta valt att lyfta ut matematiken ur böckerna och ta den från verkligheten. Våra dagstidningar är här en utmärkt källa till inspiration för såväl lärare som elever.

Tittar man på läroplanens mål för skolår nio under rubriken ”Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret”,

– ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform, – ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel,– kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer, vinklar, massor, tidpunkter och tidsskillnader,– kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor,– kunna tolka, sammanställa, analysera och värdera data i tabeller och diagram,

så ser man snart att stora delar ingår i vardagslivet.

Under denna Workshop tittar vi på detaljer som är bra att ha i bakhuvudet när arbetet med eleverna ska planeras.

Mål Struktur Metoder Innehåll/ämnesområden Utvärdering/hur vet jag vad de har lärt sig?

Vi prövar olika typer av aktiviteter och löser uppgifter som går att använda i grundskolans senare årskurser.

11Med datamaskinen inn i matematikken

I den norske fagplanen for matematikk på ungdomstrinnet (høgstadiet) heter det at ”Elevene skal ha kunnskap om bruk av IT-hjelpemidler og etter hvert vurdere hvilke hjelpemidler som er egnet i den enkelte situasjon.”

I et utviklingsprosjekt der Høgskolen i Agder har prosjektansvaret, prøver lærere ved tre ungdomsskoler å utvikle elevenes kompetanse i bruk av verktøyprogram: Excel (regneark), Cabri geometre (dynamisk konstruksjonsprogram) og Grafbox (kurvetegningsprogram).

Lærerne ved de tre skolene har gjennom to og et halvt år lagt til rette undervisningen ut fra egen IKT-kompetanse og undervisningstradisjon.

Som en av de deltakende lærerne har jeg lagt vekt på arbeid med matematiske modeller i min klasse. En del av tiden benyttes til arbeid med åpne oppgaver der elevene lager problemformuleringer ut fra gitt informasjon. I foredraget vil jeg gi eksempler på hvordan elevene spør etter kunnskap for å løse matematiske utfordringer de selv har laget seg. Eksemplene vil i hovedsak bli hentet fra idrett. Idretten forener folk fra ulike nasjoner og kulturer, men konkurransen må foregå innen rammer som er kjente og aksepterte av alle deltakerne. Her spiller matematikk en viktig rolle. Matematikken uttrykker en felles forståelse av hvilke rammer idretten skal drives innen og hvordan prestasjonene skal bedømmes. Baner skal merkes i et bestemt geometrisk mønster, og poengberegning blir foretatt ut fra matematiske modeller. Det kan være en utfordring for elevene både å studere og vurdere disse modellene.

Svein H. Torkildsen har vært leder av den norske matematikklærerforeningen LAMIS.Høgstadielærer ved Samfundets skole, Kristiansand (Norge) og læremiddelforfatter.

Föreläsning

Programpunkter

Som innledning gir jeg en kort orientering om en alternativ eksamen som legger vekt på1. Elevenes evne til selv å lage seg matematiske problemstillinger som de arbeider med.2. Samarbeidsevne og kommunikative ferdigheter3. Eraring i å velge egnet verktøy i arbeidet med matematiske ferdigheter, spesielt

dataverktøy

Skal elevene få erfaring i å velge verktøy, må de møte åpne problemsituasjoner som gir dem muligheter for valg. Under foredraget vil jeg trekke fram eksempler på hvordan elevene forbereder seg til en slik prøve. Der får omtrent tre uker til å arbeide med informasjon som presenteres gjennom et lite hefte. Elevene må selv lage seg problemstillinger ut fra informasjonen. Det elevene finner ut av, får de presentere muntlig. I tillegg får de en skriftlig prøve der en del av oppgavene er knyttet til informasjonen i heftet. Noen av oppgavene på den skriftlige prøven er direkte knyttet til de tre verktøyprogrammene, og elevene må benytte datamaskin under prøven.

Eksemplene jeg benytter er hentet fra et hefte elevene arbeidet med ved avslutningen av 9. skoleår (årskurs 8 i Sverige). Temaet for heftet var Idrett.

Poengberegning i skihopp med ExcelEn skihopper får både lengdepoeng og stilpoeng. Dette er en relativt enkel matematisk modell som elevene arbeidet med på ulike måter og på forskjellig nivå. Noen foretok enkle beregninger med papir og blyant. Andre laget avanserte modeller i Excel der de la inn simuleringer for lengde og stilkarakter. Elevene så fikk regnearket til automatisk å beregne samlet poengsum for hoppene. Men prosessen fram til et avansert regneark krever mange vurderinger og god tid. Vi følger de problemstillinger elevene kom opp med og diskuterte mulige løsninger på. I tillegg til matematiske utfordringer må elevene også benytte noen funksjoner som tilfeldig, hvis, heltall og n.størst.

Mangekamp med kurvetegningsprogramHvordan bestemme hvilken friidrettsutøver som er best sammenlagt nå det blir konkurrert i så forskjellige idrettsgrener som kule, høydehopp og både korte og lange løp? Poengberegningen er basert på modeller av typen Poeng=A x (B-T)C. Denne modellen gjelder for løp. A, B og C er parametere som elevene finner i en tabell, og T er tiden løperen bruker, målt i sekunder. C er ikke et heltall, og modellen blir derfor ikke helt triviell for elever på dette nivået. Når modellen oversettes til formler som Excel eller et kurvetegningsprogram kan tolke, ser elevene at det ikke er noe problem å la eksponenten være f eks 8,737530 som den er på 100 meter hekk for gutter i ungdomsmesterskap. Modellene for gutter og jenter er ulike, og vi skal se på hvordan elever har arbeidet med å finne en felles modell som de mener kan benyttes for begge kjønn.

Baner og taktikk med Cabri GeometreEn håndballbane består av to kvadrater med side 20 meter. Det er en relativt enkel konstruksjon. Men ser vi på hvordan målgården er bygd opp med linjer 6 og 9 meter fra mål, må det en mer omfattende analyse til før konstruksjonen kan bli utført. Elever som prøvde på den utfordringen, kom opp i problemet med hvordan vi ved konstruksjon kan dele et linjestykke i et gitt antall deler.

En fotballspiller er på full fart mot hjørnet av 16-meteren med ballen. Hvor er den gunstigste vinkelen å skyte i om vi nå ser bort fra motspillere som kan forstyrre opplegget? Med Cabri kan vi lage en modell som gir oss mulighet til å utforske problemet ved å prøve oss fram. Vi kan til enhver tid se hvo stor vinkelen mot mål er, og etter en liten stunds leting vet vi omtrent hvor den gunstigste posisjonen er. Nå spørsmålet om det er mulig å konstruere dette punktet kommer på bane, bringer elevene periferivinkler på banen, og da er vi i stand til å løse problemet. Periferivinkler et en av de geometriske sammenhengene elevene har utforsket med Cabri som verktøy.

ElevvirksomhetJeg avslutter med mine erfaringer om hvilken retning elevenes virksomhet tar når de får anledning til å arbeide med åpne oppgaver i over flere timer.

15

Aktiviteter för att väcka lusten att lära matematik

Ett utvecklingsprojekt i samarbete med högskolan i Kalmar. Duktiga elever uppmuntras att läsa Ma A och tentera senast i årskurs 9. Gymnasieelever anordnar en mattetävling för elever i årskurs 7-9. De arbetar med en hemsida med Ma A-uppgifter, prov och sammanfattningar. Sommarskola i matematik inbjuder elever i årskurs 7-9 att arbeta med matematik på ett annorlunda sätt.

Sten-Åke Bredmar och Birger Andersson är lärare i matematik och fysik vid Lars Kaggskolan i Kalmar. De har under senare år tagit initiativ till ett flertal projekt som syftar till att höja intresset för matematik bland högstadiets elever och eleverna på gymnasieskolorna i Kalmar.

Föreläsning

Att göra matematiken intressant och kreativt

- upplevelser som stärker intresset och förbättrar inlärningen

1. Sammanfattning

Under det här seminariet presenterar vi vad vi gjort i Kalmar bland högstadie- och gymnasie-elever, resultatet av detta utvecklingsarbete och presentation av nya projekt som startat under innevarande läsår.

Ett samarbete har etablerats sedan några år mellan grundskola, gymnasium, lärarutbildning och högskola i Kalmar och utvecklas nu i syfte att vidmakthålla intresset för matematik hos elever i grundskola och gymnasium.

1.1 ReporEn idé som utvecklats under de 15 år jag (Sten-Åke) arbetat med den är Repor,

se bilaga 1, som har blivit ett begrepp bland våra elever på Lars Kaggskolan. De får 7-8 uppgifter som läxa varje vecka och som de ska lösa hemma. Uppgifterna ges i lättsam form och är mestadels relativt enkla. Det innebär en ständig repetition av tidigare avsnitt. Reporna poängsätts och poängen adderas när betygen skall sättas. Resultatet av arbetet med reporna under en termin jämställs fullt ut med ett prov. Resultatet har varit gott. Svaga elever har lyckats höja sina betyg liksom de mer intresserade och kunniga.

1.2 MaA på högstadiet

För fem år sedan gick vi ut bland högstadeiskolorna i vårt upptagningsområde och erbjöd intresserade elever i åk 9 att läsa MaA och tentera av den kursen redan i åk 9. När de kom till oss började man med MaB direkt. Ett hundratal elever nappade på erbjudandet, hälften slutförde studierna och en fjärdedel skrev MVG på det nationella provet i MaA! Numera kontaktas vi av lärare från de olika högstadierna i början av hösten med frågan om MaA i åk 9 gäller i år också?!

1.3 ProjektarbetenVi vill peka på det potentiella resurs som projektarbetet innebär då man vill

utveckla undervis-ningen på gymnasieskolan.Kagg Matematica är en tävling i matematik som riktade sig till högstadiets

elever på sydost-kanten. Priser sponsras av lokala företag och lokaltidningarna rapporterade både från förarbetet och från tävlingen. Det skapade ett stort intresse för tävlingen i regionen och för matematik.

MaA på nätet är ett projekt där elever från NV-programmet konstruerar uppgifter, diagnostiska prov, tankenötter och att skriva historiska notiser till vår hemsida, www.kagg.se.

Fem studenter från Högskolans blivande Informationsingenjörer har tagit projektet som sina examensarbeten. MaA på nätet kan bli en stor resurs i forskning kring frågor om förståelse och inlärning när det blir utbyggt.

Vi har även en Sommarskola i matematik för högstadieelever och gymnasister i samarbete med Högskolan.

2. Introduktion

Elever som börjar på lågstadiet tycker överlag att det är roligt med matematik. När de lämnar högstadiet nio år senare har många tyvärr ändrat uppfattning. Det är förvånande. Unga människor har en stark vilja att lära sig utveckla färdigheter och förmåga på olika områden. Det ser man inte minst på den tid många ungdomar lägger ner på till exempel dataspel, fotboll och andra fritids-aktiviteter. Jag har haft elever på idrottsgymnasiet som varit elitsimmare. När de kom till skolan på morgonen hade de redan tränat en timme i simhallen. När skolan var slut för dagen väntade ytter-ligare en timmes träning.

Frågan jag ställt mig är på vilket sätt ungdomars energiska kreativitet skulle kunna kanaliseras så att intresset för matematik inte bara vidmakthålls utan även förstärks.

Räcker det med entusiasm eller måste det till jippobetonade aktiviteter? Eller finns det möjligen aktiviteter i exempelvis projektarbetets form som skulle kunna utveckla intresset för matematik?

Elevens behov av uppmuntran är stort. Man berömmer de små framstegen som görs och söker anledning att berömma även då eleven misslyckats. För många elever gäller det att bryta ett tanke-mönster med negativa förväntningar och skapa en positiv attityd, positiva tankemönster.

Ytterligare en viktig faktor, när det gäller att skapa och vidmakthålla elevens lust att lära, är lärarens krav och förväntningar. Det finns en optimal nivå där eleven uppfattar situationen positiv och inspirerande - en balansgång mellan krav och lättja som läraren skall använda sig av och utnyttja, en nivå som är olika för olika elever.

3. Bakgrund – vad vi gjort hittills

Här ges en kort presentation av vad vi har gjort fram till idag för att främja elevernas kreativitet och vidmakthålla intresset för matematik bland högstadie- och gymnasieelever i kalmarregionen. Du ska se detta som exempel på vad man kan göra för att utveckla undervisningen och vidmakthålla intresset i matematik hos en stor grupp av eleverna. Det är en stor potentiell resurs för oss lärare.

Jag presenterar även nya projekt som startat under innevarande läsår.

3.1 ReporAtt repetera viktiga moment i matematik är en central uppgift i undervisningen.

Kan repetitionen göras lättsam och inte så ansträngande för eleverna blir resultatet en större säkerhet hos eleverna i centrala matematiska begrepp.

Jag har arbetat med repetitionsuppgifter, repor, under 15 års tid både på högstadiet och på gymnasiet. Eleverna har lyckats väl med att befästa sina kunskaper, inte bara i grundläggande moment utan även med uppgifter av fördjupningskaraktär.

Reporna delas ut en gång per vecka, omfattar vanligtvis sju uppgifter hämtade alltifrån det första avsnittet i början av kursen fram till så långt vi kommit idag. De poängsätts, poängen adderas i slutet av kursen och resultatet får sedan samma status som ett kapitelprov vid betygssättningen. När vi repeterar kursen inför ett slutprov har eleverna hela kursen aktuell och vi kan arbeta med uppgifter av VG- och MVG-karaktär.

Eleverna upplever en trygghet med reporna, ”det är bara detta som kommer på provet!” och det är en vetskap som särskilt svaga elever uppskattar. Reporna bygger också upp en fast rutin – en uppgift om dagen ...

En viktig detalj i reporna är rutan där eleverna ska skriva vilka uppgifter de tycker är svåra och behöver öva mer på.

Exempel på en repa finns i bilaga 1.

3.2 Högstadieelever läser MaA i åk 9I syfte att öka intresset för matematik i sig och som en grund för

naturvetenskapliga ämnen har vi under de senaste fem åren kontakt med de 12 högstadieskolorna i vårt upptagningsområde. Elever i åk 9 erbjuds att läsa MaA och tentera av kursen redan på högstadiet.

Varje år har intresset varit högt, mellan 80 – 120 elever har deltagit. Mer än hälften av dem har slutfört kursen och en fjärdedel har sedan skrivit MVG på det nationella provet i MaA. När eleverna sedan kommer till Lars Kaggskolan eller Jenny Nyströmskolan erbjuds de plats i en s.k. spetsmatte-klass och börjar då med MaB direkt. Vid utgången av åk 2 har de läst färdigt gymnasiematematiken och får möjlighet att gå vidare till Högskolan i Kalmar. Några av våra elever har läst matematik på dispens med gott resultat. De flesta läser dock två specialkomponerade kurser, MaF och MaG, som omfattar en hel del av Högskolans och Universitetens grundkurs i Analys.

3.3 Projektarbetet ”Kagg Matematica”I april 2002 gick tävlingen i matematik kallad Kagg Matematica 2002 för första

gången. Det var 50 ungdomar från Högsby i norr till Karlskrona i söder som anmält sig till

tävlingen och 40 genomförde provet. De tävlande kom främst från Kalmar men alla närliggande kommuner fanns representerade.

Tävlingen hade producerats av sex elever på Lars Kaggskolan och utgjorde deras specialarbete / projektartbete. De fick lägga ner mycket arbete. Förutom konstruktion av provuppgifter fick de åka ut till de närmaste 12 högstadieskolorna i regionen och presen-tera tävlingen. De hade tagit fram en attraktiv affisch som infor-merade om tävlingen. Affischen sändes ut till de 33 högstadie-skolorna i regionen som inte fått något besök och många hög-stadieelever hörde av sig. Eleverna hade även ansvaret för rättning och poängsättning av uppgifterna.

Till vår hjälp vid provkonstruktionen hade vi lärare från högstadieskolor och från Högskolan.

Lokalpressen skrev positivt om tävlingen i flera omgångar och hjälpte oss att göra tävlingen känd.

Eleverna gjorde även en enkät som de tävlande besvarade. De visade sig vara mycket positiva. Uppgifterna tyckte man var svåra och kluriga men roliga. Av de tävlande som gick i åk 9 hade många redan läst MaA. Bland de tävlande som uppnådde goda resultat fanns också elever från åk 7 och åk 8!

Tidningen Barometern sponsrade tävlingen med 5 000 kr till första priset, Dillbergs bokhandel med 2 000 kr till andra priset och matematikinstitutionen på Lars Kaggskolan med tre miniräknare TI83+ till tredje, fjärde och femte pris.

Många av deltagarna anmälde sig sedan till Sommarskolan i matematik. Intresset för matematik bland ungdomarna har ökat markant. Det blev speciellt

tydligt då vi konstaterade att 40 tonåringar kommer till en skola för att skriva ett prov i matematik tidigt en lördag morgon. Somliga åkte dessutom många mil för att få vara med!

I år hade vi ytterligare en tävling Kagg Matematica 2003 då 72 elever deltog, hälften av dem gick i åk 9 och hälften i åk7 och åk 8. Just nu pågår förarbetet till Kagg Matematica 2004.

3.4 Projektarbetet ”MaA på nätet”Vi har på Lars Kaggskolan delat ut MaA-böcker till högstadieskolorna inom

Kalmarsunds Gym-nasieförbunds område dvs Kalmar, Borgholm, Mörbylånga kommuner, 12 högstadier. Torsås kom-mun är också med i förbundet men har inte deltagit. Syftet är att duktiga elever i matematik ska kunna läsa MaA redan i åk 9, se tidigare avsnitt 3.2 Högstadieelever läser MaA i åk 9.

Att dela ut begagnade läroböcker på det här sättet håller inte i längden, i all synnerhet som fler och fler elever vill läsa MaA i åk 9.

Vi har även en hel del elever som läser MaA på yrkeslinjerna och som är ganska svaga i matematik. Flera av dem får tyvärr betyget IG efter två års studier. Dessa skulle få stor hjälp av projektet MaA på nätet tror vi.

Det finns även behov av en uppgiftsbank för födjupnings- och breddningsuppgifter för de mycket intresserade eleverna. Man kan t.ex. presentera moment i anslutning till avsnitten i MaA men som inte ingår i kursen och som intresserade elever skulle kunna läsa. Ett sådant exempel är Pascals triangel, kombinatorik, permutationer och binomialkoefficienter när man går igenom kvadreringsreglerna.

Mattetävlingen hade en egen loggasom tagits fram av en elev på Lars

Kaggskolans Mediaprogram

Tanken är alltså att skapa en hemsida för MaA där vi erbjuder både enkelhet, bredd och djup. Arbetet är betydande. Projektet lämpar sig väl som projektarbete för elever på Lars Kaggskolan och som examensarbete för intresserade studenter och lärarkandidater.

Uppläggning av hemsidanEn elev som vill förbättra

sitt resultat i MaA gör först ett diagnostiskt prov, DP. Med ledning av resultatet på DP plockar datorn fram tre uppgifter som eleven bör träna på. Eleven skriver in svaren och om de är rätt presenteras tre nya uppgifter, något svårare än de tre föregående. Om eleven räknat fel kommer det fram tre nya uppgifter, liknande de föregående eller något lättare.

Om någon elev vill jobba med någon fördjupningsuppgift ska

det finna möjlig-het att göra det direkt utan att behöva gå över DP.Programmet ska lagra elevens resultat så att datorn plockar fram uppgifter på

rätt nivå vid nästa besök.Eleverna ska också kunna ha kontakt med lärare via e-post.

GenomförandetVi har format en projektgrupp bestående av sju elever i åk 3 som går i

spetsmatteklass. Dess-utom deltar fem blivande informationsingenjörer, som har tagit projektet som sitt examensarbete. Därutöver finns intresse från Lärarhögskolan att låta lärarkandidater vara med att konstruera breddnings- och fördjupningsuppgifter, uppgifter som utvecklar matematisk förståelse samt upp-gifter med tillämpningar från vardagslivet, industrin och fritiden.

MaA på nätet beräknas vara presentabelt i sin första version i februari 2004.

ForskningsunderlagElever som kopplar upp sig till MaA-sidan och tränar på uppgifterna får nu och

då tillfälle att besvara någon kort enkät. Svaren sparas i den databank som kan användas för didaktisk forskning. Man kan undersöka många intressanta frågeställningar. Kanske något för en doktorand eller för någon C-uppsats i pedagogik/didaktik eller D-uppsats eller ...

Jag tror personligen att eleverna som kontaktar hemsidan inte nödvändigtvis bor i kalmarområdet utan kan komma från andra delar av landet. 3.5 Korta kurser i matematik för högstadieelever och gymnasister

Mattetävlingen Kagg Matematica visar att det finns ett stort intresse bland ungdomarna att ägna en del av sin fritid åt matematik. Vi har kompletterat med en Sommarskola i matematik under fyra dagar i augusti innan skolan började. Lärare från Högskolan undervisade.

Vi har haft fina matematikdagar med ett 15-tal elever från södra Kalmar län. Varje dag presenterades ett nytt ämne. Ett av dem har varit Hur får man en dator att spela tre i rad? Det var mycket logiskt tänkande och mycket kombinatorik. Ett annat ämne har varit Kryptering och läraren visade olika krypteringsmetoder som kan användas när man t.ex. sänder e-postmeddelanden. Fler ämnen har varit Isometri och problemlösning och

Animeringar och datorgrafik, hur man skapar bilder i datorn och det gick mycket bra trots ”matriser och vektorer”!

Lokalpressen gjorde sommarskolan känd genom positiva och trevliga reportage.Under dagarna fick eleverna också några uppgifter att lösa självhemma. Bästa

resultaten premierades med en resa till Lunds Universitet för att deltaga vid Kovalevsky-dagarna i oktober.

Vi har haft sommarskola 2002 och 2003. Nu ser vi fram emot sommarskolan 2004.

4. Tankar inför framtiden - vad gör vi nu Intresset för matematik bland ungdomarna har ökat markant. Det framgår av de frågor vi låtit eleverna besvara vid de olika aktiviteterna. Det blev speciellt tydligt vid tävlingen Kagg Matematica 2003 då vi konstaterar att 72 tonåringar kommer till en skola för att skriva ett prov i matematik tidigt en lördag morgon! Somliga åkte dessutom många mil för att få vara med! Flera av deltagarna läste MaA i åk 9.Vi har sett att aktiviteterna har väckt många ungdomars intresse för matematik, t.ex. anmälde sig flera av de tävlande senare till Sommarskolan i matematik.Ett annat viktigt resultat är att det har utvecklats en intresserad grupp av lärare och forskare som tagit av sin tid, ibland fritid, och kraft till detta utvecklingsarbete vilket gett ett så gott resultat.Vi tänker fortsätta våra olika aktiviteter och utveckla dem så att fler elever blir intresserade av matematik, bereda möjligheter till kreativa upplevelser i skolans matematikundervisning och ge eleverna möjligheter att studera matematik efter deras egen förmåga genom att individualisera undervisningen. Även svaga elever i matematik kan bli intresserade genom MaA på nätet. Undervisningen för svaga elever, som i alla år upplevt matematiken som obegriplig och oberäknelig (!), kan nu individ-anpassas. När svaga elever får en möjlighet att lyckas i något så ”svårt” som matematik, ger det energi till och intresse för andra ämnen. Självförtroendet ökar och hela livssituationen påverkas faktiskt. Jag har sett det ske vid ett flertal tillfällen hos mina elever genom åren. Duktiga och intresserade elever uppmuntras att läsa mer matematik än vad skolans traditionella kurser erbjuder. Så har jag exempelvis själv haft lokala högskoleförberedande kurser MaF och MaG för att underlätta övergången för vidare studier i matematik efter gymnasiet, något som eleverna uppskattade. Genom projektet MaA på nätet kan vi få kontakt med ett stort antal elever som gärna medverkar i olika enkäter för forskningsändamål inom områden som matematisk förståelse och inlärning. Mycket av detta arbetet skulle kunna utvecklas och så småningom bli föremål för fruktbärande didaktisk forskning i matematik.

Kalmar den 10 november 2003 Sten-Åke Bredmar, Birger AnderssonBilagor finns på kagg.se under fliken ladda hem

Lars Kaggskolan, Box 832, 391 28 Kalmar

Telefon Sten-Åke skolan 0480 – 45 16 53 Birger skolan 0480 - 45 34 88E-post sa@kagg.se birger@kagg.se

16Excel i grundskolan

Här får du se vad man kan göra med Excel i matematikundervisningen i grundskolan: statistik för alla åldrar, problemlösning och grundläggande algebra för skolår 4-9 samt självrättande uppgifter och resultatlistor för lärare.

Lisbeth Ringdahl är universitetsadjunkt och lärarutbildare vid Malmö högskola.

Demonstration

BakgrundEnligt Skolverkets undersökning (rapport nr 161) var det 1998 endast 10-15 % av lärarna som använde kalkylprogram, vilket ansågs vara förvånande med tanke på vad man kan göra med dessa program.

Ur boken Bland barn och datorer – Lärandets villkor i mötet med nya medier (Alexandersson m fl, 2001, Studentlitteratur, s. 13), som i sin tur refererar till gällande läroplaner och kursplaner, citerar jag:

”…sträva efter att barnet vänjer sig vid […] att använda hjälpmedel som […] datorer för att skriva och hämta information…” (Kursplan, Betygskriterier, Skolverket 1996). I kursplanen för basämnet matematik går man ett steg längre. Här är det inte bara ett strävansmål att barn och ungdomar skall använda datorer i sitt arbete. Man skriver: ”Informationsteknologin och spridningen av kraftfulla miniräknare och datorer har vidgat möjligheterna att snabbt få bättre underlag för att fatta beslut. Användningen av denna teknologi ställer nya krav på matematikkunskaper. Det är skolans uppgift att lägga grunden till sådana kunskaper.”

Sedan drygt fem år arbetar jag vid Lärarutbildningen, Malmö högskola. Här får jag bland annat tillfälle att undervisa om Excel i grundskolan i olika matematikutbildningar och kompetensutvecklingsdagar, vilket jag upplever som mycket meningsfullt. Det finns en viss variation i innehållet. Ofta delar jag upp lektionstillfällena (i datasal) på ett avsnitt med grundläggande Excel-kunskap och statistik samt ett senare tillfälle som handlar om problemlösning, algebra, OM-funktioner och arbete med databaser och urval i Excel.

ArbetssättI min undervisning arbetar jag oftast så att demonstrations- och övningsfiler finns tillgängliga på en kurshemsida. Studenterna laddar ner filerna dels på högskolan, dels hemma och arbetar med dem direkt på datorn. Utskrivna kompendier med samma innehåll finns att låna vid lektionstillfällena och kan skrivas ut av de studenter som så önskar.

ArbetsmaterialJag har en hemsida med adressen http://utbildning.lut.mah.se/ringdahl/excel/ som jag använder vid kompetensutvecklingstillfällen.

Vid Länkar till övningsfiler hittar du dels de filer jag demonstrerar eller arbetar med vid workshop i samband med kompetensutveckling, dels filer jag använder i min undervisning.

Dessutom hittar du en del exempel på studentarbeten. Varsågoda och pröva!

Lisbeth Ringdahl är lärarutbildare vid Malmö högskola.

Demonstration

17Förbättrad förståelse i matematik med tekniska hjälpmedel

Tillgången till tekniska hjälpmedel förändrar förutsättningarna för matematikämnet. Vi diskuterar hur en förståelseinriktad matematikundervisning med användning av tekniska hjälpmedel kan utformas. Erfarenheter av ett projekt kring detta tema stött av Högskoleverket presenteras. Exempel på tillämpningar med Excel och Derive i lärarutbildning demonstreras.

Kerstin Ekstig och Anna-Lisa Dyrelius är universitetslärare i matematik och arbetar med lärarutbildning vid Uppsala universitet.

Föreläsning

Vid Matematiska institutionen vid Uppsala universitet arbetar vi med ett projekt vars syfte är att undersöka om man kan uppnå en bättre begreppsförståelse i matematik genom datorbaserad problemlösning. Vi ser alltså delvis problemlösning som ett medel för att komma till en förståelse av matematikens begrepp. Projektets målgrupp är studerande på lärarprogram.

Att vi har valt att arbeta med datorbaserad problemlösning har flera orsaker:

- Studenterna kan koncentrera sig på den egentliga problemlösningen såsom att utforma lösningsstrategier genom att beräkningar och andra rutinuppgifter (som annars ofta tar det mesta av studenternas tankekraft) överlämnas till datorn.

- Studenterna kan utveckla sin kreativitet och använda egna lösningsstrategier. Med datorn som hjälpmedel gör det ingenting om dessa strategier leder till arbetsamma beräkningar.

- Studenterna kan utveckla sin problemlösningsförmåga genom att lösa mer omfattandeoch sammansatta problem än i traditionell matematikundervisning.

- Studenternas procedurinriktade arbete vid datorn är ett stöd för att uppnå förståelse av abstrakta matematiska begrepp.

- Studenterna kan använda ett undersökande arbetssätt. När de löst ett problem kande analysera lösningsmetoden, undersöka systematiskt hur en ändring av ingångsvärden påverkar slutresultatet och därigenom finna och formulera generella slutsatser. Genom att arbeta interaktivt med datorn kan de också upptäcka och korrigera egna tankefel samt göra kontroller och få bekräftelse när en lösning stämmer.

- Studenternas logiska förmåga övas och utvecklas vid kommunikation med datorn.

Datorbaserad problemlösning kräver andra typer av uppgifter än de som vanligen finns i kursböcker. Många av dessa uppgifter blir triviala när man arbetar med kraftfulla räknehjälpmedel. I vårt projekt har vi därför lagt ned mycket arbete på att utveckla nya undervisningsmaterial. Vid vårt föredrag kommer vi att demonstrera och diskutera några exempel på uppgifter som vi arbetar med i lärarutbildningen.

Vi inleder med några exempel där symbolhanterande program (Derive) används.

Exempel 1Bestäm en polynomfunktion f av lägsta möjliga gradtal med följande egenskaper:

- f har lokala maxima för och x = 3- f har ett lokalt minimum för x = 1

- och

Denna uppgift kräver att studenten kan tillämpa sina kunskaper om grundläggande samband mellan en funktion och dess derivata. Här kan Derive användas både för att utföra erforderliga beräkningar och för att visa resultatet grafiskt. På det sättet kan studenten kontrollera sin lösning och gå tillbaka och rätta till eventuella misstag.

Uppgiften kan lätt varieras. Man kan fråga efter en funktion som har en given terrasspunkt. Det är inte självklart för alla studenter hur detta villkor inverkar på derivatan. Ofta inser de hur det förhåller sig efter en del undersökande arbete med datorn.

En annan intressant variant av uppgiften är att fråga efter ett polynom av grad 6 med samma extremvärden som förut. Man söker alltså en funktion som inte har några andra extremvärden än de tre givna. Här kan man försöka beskriva olika metoder att bestämma en sådan funktion. Med datorns hjälp kan man sedan kontrollera att man tänkt rätt.

Exempel 2Bestäm värdet på a så att funktionen

får ett lokalt maximum på y-axeln.

Även i den här uppgiften måste studenten ha kunskap om sambandet mellan en funktion och dess derivata. Det krävs att studenten kan tolka den givna informationen och uttrycka den i matematiska termer. Först därefter har studenten nytta av datorn för att utföra beräkningar och kontrollera resultat.

Här är en uppgift av mer öppen karaktär:

Exempel 3Bestäm en funktion f med följande egenskaper:

- f är kontinuerlig och icke-negativ

- f har ett nollställe för

- f är inte definierad för x = 3

- definitionsmängden till f är utom x = 3- grafen till f går genom punkten (4, 7)

Diskutera olika sätt att bilda en sådan funktion.

Dskutera olika sätt att arbeta med denna uppgift genom en kombination av matematiska resonemang och tester med dator. Diskutera också vilken matematisk förståelse uppgiften kan bidra till.

I vår lärarutbildning arbetar vi en hel del med Excel. Här är några exempel på det:

Exempel 4Utforma ett Excelblad för studium av andragradsfunktioner. Det ska utformas så att grafen till en godtycklig function ritas. Placera konstanterna i separata celler så att värdena lätt kan ändras.

Använd Excelbladet för att undersöka sambandet mellan värdet på konstanterna a, b och d och grafens utseende.

Formulera undersökande uppgifter som du vill att dina elever ska arbeta med när du undervisar i skolan. Syftet med uppgifterna ska vara att eleverna upptäcker och formulerar allmänna samband mellan konstanterna och grafen.

Här är några förslag till uppgifter. Diskutera dessa uppgifter. Är de lämpliga för att öka elevernas förståelse?

Vad kan sägas om konstanterna om grafen har ett maximum vid x = 2?

Vad kan sägas om konstanterna om grafen har ett maximum vid (2, 5)?

Vad kan sägas om konstanterna om grafen har ett minimum på y-axeln?

Vad kan sägas om konstanterna om grafen går genom punkterna (0,3) och (4,3)?

Vad kan sägas om grafen om alla konstanterna är positiva? Vad gäller om alla är negativa?

Bestäm värdet på konstanterna i följande fall:

Utforma en liknande Excelmodell för linjära funktioner som skulle kunna användas i skolan. Olika utformningar kan tänkas. Här är några förslag:

Gör en Excelmodell där eleverna kan undersöka sambandet mellan värdena på k och m grafen till funktionen .

Gör en Excelmodell där eleverna kan testa sina kunskaper om linjära funktioner. Slumpgeneratorn i Excel kan användas för att rita grafen till en godtycklig linjär funktion

och eleverna får i uppgift att ange värdena på k och m.

Exempel 5En tank innehåller 100 liter saltlösning med koncentrationen 5 g/liter. En saltlösning med koncentrationen 12 g/liter tillförs med hastigheten 3 liter/min. Av den väl blandade lösningen bortförs 5 liter/min.

Ställ upp en differentialekvation för bestämning av saltmängden i tanken som funktion av tiden.

Lös differentialekvationen med Eulers metod. Rita lösningskurvan.

Gör en Excelmodell där de givna värdena lätt kan ändras. Använd denna för att undersöka vad som kan sägas om lösningskurvans utseende i olika fall.

- Vad gäller när inflödet < utflödet, inflödet > utflödet, inflödet = utflödet?

- Hur inverkar det om koncentrationen på den tillförda lösningen är större eller mindre än startkoncentrationen?

- Vad ska gälla om inflöde, utflöde och koncentrationer för att lösningskurvan ska ha följande

utseende?

En Excelmodell kan utformas så här:

Denna uppgift kräver en hel del matematiskt kunnande. För det första måste studenten kunna ställa upp en differentialekvation som beskriver den givna situationen. Sedan måste hon känna till Eulers metod och kunna använda den för att utforma en Excelmodell. Därefter använder studenten Excelmodellen på ett undersökande sätt och upptäcker samband mellan de olika parametrarna och lösningskurvans utseende. Slutligen har studenten tillfälle att testa sin förståelse genom att bestämma de parametervärden som ger de givna lösningskurvorna.

En annan av våra projektidéer har varit att lära studenterna att göra datorbaserade övningar för skolbruk. Förr krävde detta kunskaper i programmering. Nu kan man med användning av macron i Excel enkelt framställa övningar som ser mycket attraktiva ut. Detta inslag i utbildningen har varit mycket uppskattat av studenterna. Många har varit mycket stimulerade av uppgiften och har lagt ned mer arbete än som krävdes både på det matematiska innehållet och den grafiska utformningen. Här är några exempel på studentarbeten:

Arbete med denna typ av uppgifter är lärorikt för studenterna ur flera aspekter. För det första ger det en utmärkt träning i logiskt tänkande. De måste ha en klar struktur över uppgiften och instruera datorn om vad som ska göras i alla tänkbara situationer. För det andra är arbetet mycket kreativt för studenterna. De är fria att välja matematiskt innehåll och grafiskt utförande. För det tredje väcker arbetet många didaktiska tankar. Studenten får anledning att fundera kring vad övningen har för syfte i skolan, till exempel om den ökar elevens förståelse av något moment eller om den enbart utgör en färdighetsträning.

18Tankar, idéer och exempel på integrering av matematik i yrkesämnen i gymnasieskolan

Med olika projekt (arbetsområden) vill vi visa hur man med exempel från karaktärsämnet och det dagliga livet kan tillgodose en stor del av kärnämnet matematik och på så sätt få ämnet matematik mer intressant för yrkeselever.

Tommy Olsson, Tierp, arbetar med matematik på Högbergsskolan i Tierp i huvudsak med elever från yrkesprogram.

Föreläsning

Diskussion om tillvägagångssätt för att initiera ett integrerat arbetssätt.Bakgrund, och praktiska förutsättningar. Helt enkelt en redogörelse förhur vi startat integreringsarbetet. Beskrivning av några arbeten i de olika momenten.Exempel: Bilköpet (procent) och Friggebodsbygget (geometri).Redogör för hur detta genomförts och visar elevernas utvärdering.

19a Hur kan vi utveckla elevernas lust och ansvar för matematikstudier?

I den situation som svensk skolmatematik befinner sig i är det mer än någonsin avgörande att läraren kan förhålla sig suveränt till läromedlen för att väcka elevernas intresse och iver att befatta sig med problemlösning.

Bengt Ulin har varit lektor vid Kristofferskolan i Bromma, Rudolf Steiner Högskolan i Järna och vid Lärarhögskolan i Stockholm. Sedan många år medverkar han vid lärarfortbildning och skriver litteratur om matematik och matematikundervisning.

Föreläsning

Efter två års undersökningar, som omfattade ca 300 skolor i 40 kommuner lade Skolverket för ett år sedan fram en rapport om svensk skolmatematik. Det hade visat sig att matematiken är det minst omtyckta ämnet i skolan och det ämne där flest elever inte når godkänt betyg. Matematikundervisningen måste få en tydligare koppling till elevernas eget liv utanför skolan och till andra ämnen, yttrade undervisningsrådet Ulla Lindqvist i en radiointervju. Eleverna tappar lusten ”ungefär i femman”. En annan undersökning, sammanfattad av projektledarna Olof Magne och Arne Engström, understryker den dystra bilden: utslagningen börjar i klass 5.Som bekant har utbildningsdepartementet tillsatt en matematikdelegation som ska utarbeta riktlinjer för en bättre undervisning.I Skolverkets rapport redovisas elevuttalanden, som poängterar att läraren är den viktigaste faktorn i ett åtgärdspaket. Vad kan då läraren göra? Låt oss ta upp de två riktlinjer som Ulla Lindqvist angav.

”Elevernas liv utanför skolan” Även om vi i allmänhet inte tillämpar matematik särskilt ofta i vardagen, är det viktigt att ungdomarna går ut ur skolan med ett självförtroende att vid tillfälle kunna klara av de rätt enkla aritmetiska utmaningar som vardagen ställer oss inför. Tillämpningsuppgifter av skilda slag (beräkningar av materialåtgång för hemmets behov, resekostnader, prisjämförelser etc) har därför sin givna plats i skolan. Om vi byter uttrycket ”utanför skolan” mot ”efter skolan”, så kommer vi till en på sikt djupare målsättning: lösning av matematiska problem ska ge eleverna en förmåga till eget tänkande så att de med tillit och lugn kan ta itu med de skiftande problem som gång på gång möter oss i familje- och yrkesliv. Med matematikproblem menar jag då uppgifter som eleverna inte kan lösa direkt genom att upprepa en redan inlärd metod. Hur kan man då göra eleverna tända på att lösa sådana uppgifter?

Läraren och läromedletPå högstadiet och på gymnasienivå är det fruktbart att dryfta den djupare målsättningen med eleverna. De är tacksamma för studierådgivning och perspektiv på skolarbetet och gillar i regel utmaningar. Läraren bör ha en samling av intresseväckande, meningsfulla uppgifter som då och då kan ge en spännande omväxling i rutinarbetet med läromedlen. Särskilt lämpliga är problem som inte just kräver några förkunskaper, eftersom de ger svagpresterande elever större chanser att lyckas. (Exempel på problem under föreläsningen.)Hur bra en tryckt lärobok än må vara - den är en monolog och kan inte nå upp till den engagerade lärarens förmåga att stimulera. Lika väl som undervisningen kan fördjupas genom meningsfull problemlösning, lika väl kan den breddas genom integration av matematik med andra ämnen.

”Tydligare koppling till andra ämnen”Skolmatematiken är till största delen ett övningsämne men i ett viktigt avseende ska den även vara ett orienteringsämne. Annars blir ämnet för smalt: eleverna tycker att de håller på med matematik enbart därför att det finns på schemat. Skolmatematikens spektrum måste vidgas till områden som historia, naturvetenskap, teknik och konst. I själva verket låter sig problem-lösningen väl kombineras med orienterande moment från dessa fält. Inom ramen för matematikens historia finns uppgifter av ett givande pedagogiskt värde. Likaså inom fysik, kemi, biologi och samhällsvetenskap: i ett flertal forskningsmodeller på dessa områden spelar matematiken en väsentlig roll. I den teknik som vi dagligen använder i hem och samhälle finns mängder av dold matematik.Hos matematik och musik kan vi träffa på viktiga gemensamma nämnare, av såväl kvantitativ som kvalitativ art. I gymnasiekursen erbjuder boolesk algebra fler integrationsmöjligheter än de flesta andra matematikområden. Denna algebra har rötter som går tillbaka till Leibniz och långt före honom spanjoren Raimundus Lullus. Den öppnar för intressanta jämförelser mellan axiomsystem på olika matematikområden, den kan tillämpas i så skilda avseenden som vid problem rörande mängder, logisk slutledning och elektriska nät. En historisk kulmen nåddes då C Shannon på 1930-talet fann att boole-algebrans axiomsystem passade som hand i handske för konstruktion av förenklade kopplingsnät inom IT-branschen.

Det är viktigt att vi lärare då och då skärskådar våra målsättningar med undervisningen. Eleverna tänker (med rätta) i regel på avgångsbetyget; läraren måste genomsyras av en målsättning på längre sikt: att elevernas studiearbete ska bära frukt genom hela livet.

LitteraturK. Dahl, Den fantastiska matematiken, Fischer & Co, 1991M. Kline, Matematiken i den västerländska kulturen, Prisma 1968SIGMA – matematikens kulturhistoria, Forum 1977B. Ulin, Engagerande matematik genom spänning, fantasi och skönhet, Ekelunds förlag 1996 ––––, Matematik och musik, Ekelunds förlag 2003 ––––, Boolesk algebra, Ekelunds förlag 2001 ––––, Problemlösning i symbios med matematikhistoria, Ekelunds förlag 2002J. Unenge, Människorna bakom matematiken, Studentlitteratur1997

19b Matematikuppgifter med brett spektrum och flexibel svårighetsgrad

Det finns matematikuppgifter som verkar självdifferentierande: elever med olika nivåer av fallenhet och självförtroende kan befatta sig med olika delar av problemen. Duktiga elever kan på egen hand variera problemen och bearbeta dem vidare. Svaga elever kan ”hoppa på tåget” under resans gång.

Bengt Ulin har varit lektor vid Kristofferskolan i Bromma, Rudolf Steiner Högskolan i Järna och vid Lärarhögskolan i Stockholm. Sedan många år medverkar han vid lärarfortbildning och skriver litteratur om matematik och matematikundervisning.

Föreläsning

Sedan 60-talet har mottot ”Att differentiera inom klassens ram” varit aktuellt, låt vara att det fått ekvivalenta omformuleringar. I alla skolämnen gäller det för oss lärare att aktivera elever med olikartad begåvning, med varierande motivation för studierna och från olika miljöer. Med tanke på den roll som intelligensen tillmäts i dagens samhälle är det naturligt att psykologiska faktorer har en stark inverkan på skolmatematikens verkningsgrad. Eftersom matematik till stor del är ett övningsämne måste undervisningen erbjuda ett övningsfält som känns meningsfullt och fruktbart för alla elever, oberoende av deras intressen och begåvning.

Valet av uppgifter har stor betydelse. Den som själv producerar uppgifterna har den förnämliga möjligheten att oavbrutet skräddarsy problemen för klassens elever. Det kräver mycket pionjärarbete i början men entusiasm ger kraft och för varje år minskar arbetsbördan tack vare ökad förmåga. De flesta lärare utnyttjar läromedel. För dem är det av stor vikt att kunna förhålla sig självständigt till exempelsamlingen. De tryckta uppgifterna kan inte väcka samma intresse som lärarens egen stimulerande och kanske utmanande presentation. Därför behöver eleverna då och då aktiveras med väl valda exempel, uppgifter med substans och av växlande svårighetsgrad.

I princip finns det två viktiga huvudtyper av uppgifter: de som är tillämpningar och sådana som utgör ”ren” matematik. Man kan hämta intresseväckande dagsaktuella uppgifter ur media. Data rörande procent kan man hämta varje dag och här finns grader av svårighet. Det finns bra exempel på procentuell ökning, jämförd med ökning i antal procentenheter. Att beräkna procent av ett procentantal då t ex 67 % röstade ”ja” av totalt 85 % röstande kan vålla nyttigt huvudbry.Uppgifter ur ren matematik ger dock i regel större utrymme för variation. Jag väljer här ut några av föreläsningsexemplen:

1, Vi adderar tre heltal i rad. Kan vi säga något om summan? Arbetet börjar med att eleverna skaffar sig egna exempel. Vi skriver upp ett dussintal summor på tavlan. Nu gäller det att upptäcka någon gemensam egenskap hos summorna. I dessa två moment kan alla elever delta; det krävs ju inga förkunskaper. Ibland förekommer en eller annan felaktig summa på tavlan, men det ökar bara spänningen. Så småningom upptäcker alltfler elever att summan är delbar med 3. Nu inträffar det fina att en del elever utan anmodan börjar undersöka summor av fyra konsekutiva tal, fem osv. De ställer sig själva frågan: när blir summan delbar med antalet tal? Och hur bevisar man det?

En uppgift som denna är självdifferentierande: duktiga elever bygger ut uppgiften på egen hand. En mer omfattande aritmetisk uppgift med starkare effekter av samma slag, bl a en del pikanta överraskningar, finns behandlad i en Nämnaren-artikel [3].

I skolgeometrin finns en slagsida mot uppgifter med en traditionell, kvantitativ inriktning; det gäller att beräkna en sträcka, en vinkel, en area eller en volym. Betydligt intressantare uppgifter går ut på att konstruera figurer, t ex polyedrar eller fyrhörningar då vissa villkor lagts på diagonalerna. Konstruktion ger eleverna tillfälle att utnyttja sin fantasi, något som de gärna gör. Polyedrarna erbjuder trevliga undersökningar beträffande antalet ytor, hörn och kanter som leder fram till Eulers sats. Kring de fem regelbundna polyedrarna, de s k platonska kropparna, kan man ge en rad givande konstruktionsuppgifter.Nu ett exempel ur Högskoleprovets NOG-avdelning. Här gäller det att bedöma om givna data räcker till för att lösa den fråga som ställs, alltså inte att besvara frågan. Deltagarna får kryssa för ett av fem svarsalternativ. I skolan (där tidsbegränsningen slopas för att inte störa) bör eleverna ge motivering när de väljer något av alternativen A-D. Om de går in för alternativ E ska de finna en utvidgning eller ett utbyte av data i upplysningarna (1) och (2), så att frågan får ett entydigt svar.

2. En flaska som rymmer 3/4 liter är delvis fylld med vatten. Hur många centiliter måste man fylla på för att flaskan ska vara fylld till 2/3?

(1) Flaskan är fylld till 3/5 med vatten. (2) Om man fyller på flaskan med 30 cl blir den helt fylld.Tillräcklig information för lösningen erhållsA i (1) men ej i (2)B i (2) men ej i (1)C i (1) tillsammans med (2)D i (1) och (2) var för sigE ej genom de båda påståendena

Att sörja för bredd och varierande svårighetsgrad i problemlösningen gäller inte endast schematimmarna i skolan utan lika mycket hemuppgifter och alldeles särskilt skrivningar.Även i arbetet hemma eller på en skrivning bör alla elever finna stimulerande exempel och möjlighet att ta itu med dem. För de mest avancerade eleverna behövs kryddade tilläggsuppgifter som ger dem tillfälle till problemlösning i ordets rätta bemärkelse.

Avslutningsvis ett exempel på en lektions- eller hemuppgift, t ex i årskurs 9:(Eleverna kan gärna själva ta reda på de data som behövs.)

3. Hur stor är folktätheten i a) Sverige? b) Norge? c) i en tänkt union av dessa två länder? Om s och n resp S och N är ländernas folkmängder resp arealer beräknar eleverna s/S resp n/N.På fråga c) kan det hända att några elever svarar med det aritmetiska medelvärdet till de nyss beräknade värdena.Oavsett om så sker eller ej kan läraren fråga, om inte denna metod är felaktig. Eleverna kan få tilläggsuppgiften att hitta på folkmängd och areal hos två fantasiländer så att skillnaden mellan det rätta värdet (s+n)/(S+N) och det felaktiga (s/S + n/N)/2 blir riktigt effektfull. Skickliga elever kan få uppgiften att undersöka differensen algebraiskt-generellt.

Litteratur[1] (Red) Emanuelsson/Johansson/Ryding, Problemlösning, Studentlitteratur & UR 1991[2] Ulin B, Liten guide för matematiska problemlösare, 2:a upplagan, Liber 1993[3] ––– , En aritmetikuppgift med många utblickar, Nämnaren nr 1, 1982/83

19d Matematik och biologi

Gemensamma fält för matematik och biologi har blivit alltmer aktuella sedan D´Arcy W. Thompson skrev standardverket On Growth and Form (1963) [1]. Växtvärlden erbjuder många sköna exempel på aritmetiska samband och geometriska mönster; bl a spelar Fibonacci-tal och spiraler en stor roll. Även i djurriket finns intressanta mönster och tillväxtprocesser. I båda dessa världar är symmetrier av skilda slag av stor betydelse.

Bengt Ulin har varit lektor vid Kristofferskolan i Bromma, Rudolf Steiner Högskolan i Järna och vid Lärarhögskolan i Stockholm. Sedan många år medverkar han vid lärarfortbildning och skriver litteratur om matematik och matematikundervisning.

Föreläsning

I modern akademisk litteratur om Matematisk biologi, exempelvis [2], ligger matematiken till stor del på en nivå över gymnasiekurserna. Denna föreläsning rymmer endast matematik inom ramen för gymnasiets kurser. Eftersom gyllene snittet och därmed även Fibonacci-talen och bladbråken tas upp i andra föreläsningar under Biennalen och f ö blivit utförligt behandlade i publikationer, t ex i [3], vill jag här koncentrera mig på andra områden.

SymmetriDet kan inte ha undgått någon att symmetri är ytterst vanlig i naturen. Vår egen gestalt präglas i stora drag av bilateral symmetri (spegelsymmetri). Skelettet är spegelsymmetriskt. Ögon, öron, extremiteter, lungor, njurar och många inresekretoriska organ uppträder i symmetriskt belägna par. Spegelsymmetri dominerar även djurvärlden; de flesta djur är bilateralt byggda.I växtvärlden har framför allt bladställningarna och bladens form spegelsymmetri. I en bok som [4] finns figurer på olikartade bladställningar och på linjära, lansettlika, elliptiska, njurlika m fl blad som alla är symmetriska. Naturen uppvisar även andra slag av symmetri. Vi ser rotationssymmetri i växternas blommor: många arter inom familjen Rosaceae präglas av 5-talet, tulpaner och andra lökväxter struktureras av 6-talet, något som väckte Strindbergs fascination. I djurriket finner vi 5-talet vackert representerat hos sjöstjärnor och sjöborrar, 7- och 9-tal hos kolonier av sjöpungar. Oktopoderna är 8-armade bläckfiskar. Hos kaktusar kan cirkelsymmetrier med ett ännu högre antal sektorer förekomma.

Ett tredje slag av symmetri är den centriska. En graf som uppvisar en typisk centrisk symmetri är kurvan till funktionen y = x i ett xy-system. Den är så beskaffad att det till varje kurvpunkt P(a;b) finns en motsvarande kurvpunkt Q(-a;-b), varvid origo utgör mittpunkt på sträckan PQ. Det innebär att kurvan återtar sitt läge om den vrids ett halvt varv kring origo.Finns det exempel på centrisk symmetri i naturen? Svaret är ja. Vi finner den i makroformat i s k stavgalaxer. De har S-form och partiet närmast mittpunkten på S:et kan vara tämligen rätlinjigt.Stavgalaxerna roterar kring mittpunkten med en sådan vridningsriktning att den konvexa sidan går före den konkava; spiralarmarna släpar efter.Centrisk symmetri förekommer också hos kristaller, men detta ligger utanför föreläsningstemat.

AsymmetriEtt studium av symmetri bör utvidgas med ett studium av motsatsen, dvs asymmetri. Det är välkänt att exempelvis vårt ansikte uppvisar asymmetri. Det gör ansiktet mer personligt. Symmetri hos byggnader medför ofta stelhet i uttrycket, medan asymmetri vittnar om liv.I vår organism råder asymmetri i flera organsystem: blodomloppet, lymfsystemet och tarmarnas system. Utöver hjärtat är lever, magsäck och bukspottkörtel asymmetriskt belägna.En märklig övergång från symmetri via asymmetri till en ny symmetri uppvisar plattfiskarna, exempelvis rödspotta, hälleflundra och glasvar. Som yngel rör de sig och ser de ut som vanliga småfiskar, men under utvecklingen till vuxen fisk vandrar det ena ögat över till motsatta sidan. Även andra förskjutningar äger rum, men munnens orientering ändras inte. Den vuxna fisken har sina ögon på översidan och vänder den s k blindsidan mot bottnen. Därigenom kommer ögonen att ånyo ligga symmetriskt i förhållande till ett vertikalplan, medan fiskens kroppsform bibehåller sitt symmetriplan, om än vågrätt vridet.

Mitos, meios och arvsanlagMitos är facktermen för den vanliga celldelningen, delningen av en kroppscell i två likadana och på samma sätt utrustade celler. Mitosen utgör en fascinerande process i flera stadier, varvid kromosomerna genomför vandringar i cellen och intar en vacker symmetriposition, innan cellen tudelas och kromosomerna ånyo uppträder i par. Meios är den s k reduktionsdelning som ger upphov till könsceller. I dessa är kromosom-uppsättningen enkel. Exempelvis har människans kroppsceller 46 kromosomer (23 par), medan våra könsceller har halva antalet, 23. Även under meiosen uppträder en fas då cellen är symmetriskt organiserad.

Som bekant spelar kromosomerna med sina gener en fundamental roll i modern genetik. Det måste förvåna att en forskare på 1800-talet, långt innan kromosomerna upptäckts, nådde resultat beträffande nedärvning som är aktuella ännu idag. Gregor Mendel utförde en rad systematiskt upplagda experiment med ärtplantor i en klosterträdgård. Han redogjorde för dem i en uppsats 1865, men det var först sedan hans forskning återupptäckts år 1900 som Mendels ärftlighetslagar blev kända och berömda. Vi får i denna sammanfattning nöja oss med ett exempel på Mendels typer av experiment.

Genom att pollinera ärtplantor artificiellt med hjälp av pincett och pensel alstrade Mendel (bl a) hybrider med två differentierande egenskaper, genom att t ex korsa plantor av typ Kk med plantor av typ Gg, där K och k står för runda resp kantiga frön samt G och g betecknar plantor med gula resp gröna frön (dihybridkorsning). Stor bokstav står för dominanta anlag, liten bokstav för recessiva: hos plantor av typen Kk är fröna runda, eftersom anlaget K dominerar över det recessiva anlaget k. På motsvarande sätt förhåller det sig med G och g.Genom korsningen erhöll Mendel plantor, vars frön uppvisade alla de fyra anlagskombinationer som var möjliga, nämligen KG, kG, Kg och kg. Dessa plantor fick genom självpollinering alstra en ny avkommegeneration (nr 2). Frågan var: hur skulle fröna se ut i denna generation?Antalet kombinationer blev 9, motsvarande de nio termer man erhåller då man utvecklar den algebraiska produkten (KK+Kk+kk)(GG+Gg+gg). Om man med hänsyn till dominans ersätter exempelvis KkGg och kkGg i denna utveckling med KG resp kG förstår man att utfallen av Mendels dihybridexperiment ledde fram till proportionen

KG : Kg : kG : kg = 9 : 3 : 3 : 1betr antalet plantor med respektive anlagspar för frönas form och färg.Detta resultat kan elegant redovisas med hjälp av en kvadrat omfattande 4x4 rutor, en Punnett-kvadrat, uppkallad efter en engelsk biolog, R C Punnett (1875-1967). Mendels experiment erbjuder även andra intressanta matematiska aspekter [5].

Tillväxt och skalaI sin avhandling Guldvågen påtalar Galilei att om ett djur växer till i längdskala s:1, så bör dess volym och därmed dess vikt öka med kuben på längdskalan, dvs med faktorn s . Däremot ökar genomskärningsarean av ben och muskelknippen endast med kvadraten på längdskalan. Det skulle innebära sämre förmåga att bära upp kroppstyngden; ben och muskler måste bli grövre. Numera finns en mängd forskningsrön beträffande tillväxt av djur och deras kroppsdelar, inte minst hjärnans vikt i förhållande till kroppsvikten. ---Sedan drygt 200 år har folkmängdsökning studerats. Omkring år 1800 lade T R Malthus fram sin chockerande tes att livsmedel och andra produktionsmedel ökar endast linjärt, medan folkmängden växer till exponentiellt; detta leder till hot i form av svält, sjukdom och krig. Verkligheten har inte generellt bekräftat Malthus´ teori. Som jämförelse kan nämnas att tillväxten hos exempelvis bakteriekulturer är exponentiell så länge näringstillgången är god, men med minskande tillgång antar tillväxtkurvan småningom S-form.

SpiralenSpiralen är en geometrisk form som uppträder i naturen i olika format, alltifrån de enorma spiralgalaxerna ner till DNA-spiralerna i cellernas mikrovärld. Det finns spiraler av skilda typer. Vanligast i naturen är den logaritmiska spiralen, vars ekvation i ett polärt koordinatsystem kan skrivas R = R e , där R och k är konstanter. Pärlbåten (Nautilus) är en bläckfisk, vars skal i genomskärning uppvisar två formfulländade logaritmspiraler inneslutande en följd av likformiga kamrar.Även ammoniterna, förstenade och utdöda bläckfiskar, visar oss vackra exempel på spiraler. Växternas bladspiraler styrs av bladbråk ur Fibonaccis talföljd. Huvuden av blomkål och broccolo (en hybrid mellan blomkål och broccoli) kan ha en arkitektur präglad av spiraler upp mot toppen. I dessa spiraler finner vi huvuden i mindre format och i dessa återigen mindre huvuden, osv: blomkål och broccolo är exempel på självlikformiga organismer.

Litteratur[1] D´Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Cambridge 1963[2] J. D. Murray, Mathematical Biology , vol. 1 and 2, Springer 2003[3] B. Ulin, Att finna ett spår, Utbildningsförlaget 1988, Der Lösung auf der Spur,

Verlag Freies Geistesleben, 1987 (den tyska versionen kan fortfarande köpas)[4] Lippert / Podlech / Nilsson, Blommor, Bonniers förlag[5] G. Mendel, Ärftlighetens matematik, SIGMA, band 2, Forum 1965 [6] K. Otterståhl, Spiraler hos växter och djur, Forskning och framsteg 2/1990

22Alternative Assessment forms in CAS-supported Maths Education

Report on very interesting experiences in various non-traditional assessment forms.Within the 3rd Austrian CAS-project, one project group focused on new forms of assessment. New ways of teaching mathematics using modern technologies like graphing and symbolic calculators and CAS-programs do not only require a new “culture of examples and problems”, but as a consequence provoke new forms of assessment to overcome traditional habits.

Josef Böhm är universitetslektor vid Institut für Algebra und Computermathematik i Wien.

Workshop

Föreläsning

In the very early nineties the Austrian Government purchased the general license of DERIVE for all Austrian General Secondary Schools. Several people – school authorities and experienced teachers – didn´t want to leave the colleagues alone with this great challenge and change in mathematics education (as it has been done when the ordinary pocket calculators had entered school some years before). So the ACDCA (Austrian Center for Didactics of Computer Algebra) was founded.

4 major projects were started and finished since then:

CAS I: 1993 - 1994 DERIVE Project

CAS II: 1997 - 1998 TI - 92 Project70 classes on 44 Secondary Schools, (65 teachers, 680 female and 1570 male students)

CAS III: 1999 - 2000 2. TI - 92 ProjectElectronic Learning Media in Maths-Teaching

- Influence on Teaching, Learning, Curriculum and Assessment, (94 teachers,

2000 students)

CAS IV: 2001 - 2002 CAS ProjectNew Media and Methods

- New Culture of Problems, Supervision & Support, Bilingual Teaching,

(140 classes, more than 2200 students)

CAS V: 2003 - 2005 CAS Projecthas just started with among others

- E- & Online Learning, Self responsible Learning, Standards, Teaching in

“Laptop-Classes”

The first two projects investigated the teachers´ and students´ acceptance of new teaching methods using technology. They focused on changes in students´ learning success, on changes in their attitudetowards maths and science, on differences in knowledge comparing the traditional teaching with the technology supported methods, ......

Now we tried to find new fields for investigation and research:

in CAS III we decided to work in the following five research areas:

Electronic Teaching- and Learning MediaTesting and evaluating existing software for using CAS and dynamic geometry in classroom.

TIMS Study - Quality Control for Maths TeachingPreparing tests to control the learning success and running the tests in CAS and non-CAS classes.

Preparing a comment to the Upper Secondary Level Curriculum with special regard to a CAS-supported teachingTeaching selected teaching sequences according to a recommended process and giving written reports.

Influence of CAS on the assessment-situationTrying and observing new forms of assessments with one or more classes.

New Learning Culture with CASPreparing workstations for “open learning“ for some selected items, as

Direct and indirect proportion, Introducing the function concept, Simultaneous equations, Power- and root-functions, Calculus (differentiating), Preparation for the end-examination.

Influence of CAS on the assessment-situation 12 teachers (6 female, 6 male; 9 from General Secondary schools, 3 from Colleges for Business Administration) - 16 classes (aged 15 to 17)

I joined the last group, because during the last years when I taught technology supported (mainly with the TI-92) I felt uncomfortable with the given situation which did in no way consider new and additional competences which we wanted the students to acquire and which couldn´t be assessed in the traditional tests which consisted more or less of recipe following calculations.

The situation until now was and in most cases still is: Fixed number of written tests, oral assessments possible and on demand of the students. Thus no flexibility in posing the task (usually 4 or five problems) and in changing the form of the assessment.

We found some fields worth to be investigated:

(1) “Continuous“ carrying on the traditional form of tests including CAS.

(2) Problem solving tests supported by textbooks, notebooks, any materials....

(3) Total assessment time for year can be divided in shorter tests for basics and longer problem solving tests; the assessment times are fixed by the teachers together with the students.

(4) Presentations of selected chapters (problems) - individually or in groups.

(5) One part of the written tests can be substituted by a "project work" (= "Facharbeit")

(6) Cross curriculum written test

(7) Written test as group work

(8) Instead of a fixed number of one-hour-tests have more shorter tests - announced and not announced - to measure the increase of knowledge

(9) "Inner distinguishing" in the assessment situation.- the "Must" / other task(s) for a better mark / extra credits for the gifted.

My class: IIIc, 27 not very bright – but cooperating and friendly - students (age 16 - 17).

They formed 7 groups for "Facharbeiten" – presentations (including preparing hand outs and home exercises

for the colleagues). The presentations will be graded.

Usually we have two assessments (written tests) à 50 minutes per semester = 200 min /year. Additionally the teachers needs some "notes" about the students to give the final mark. If a student is in danger not to pass the year an oral assessment (15 minutes) is compulsory.

Helmut Heugl – the chair of the ACDCA, school inspector in Lower Austria – made

possible an "experimental year" for all colleagues in our group so that we could work

outside of the laws with respect to any of the 9 changes in assessment habits given above.

We had to carefully and very detailed explain what we were intending to do and we needed

the agreement of students and parents.

We – the students and I - agreed on

having 3 short tests (basics, with and/or without the TI-92)

and one problem solving test (1 hour) for the first semester.

Second semester: 2 short basics tests à 20 minutes and one extended problem solving test with teamwork.

One group presentation of a selected chapter (“Facharbeit”).

In the following I will show how we did in this demanding year.

Additional Comment. Resulting from an earlier "Pedagogical and Didactical Project" I

allow my students – with very few exceptions – the use of supporting materials during

written tests (textbook, school- and home exercises, private notes, ...)

As an example see the Problem Solving Test:The Problem Solving Test!!!

A1) The "Warming Up"

A Radium isotope has a half life of 11.7 days.a) What will remain of 250g after 3 weeks?b) What will remain of any mass after three times half life?c) How long do you have to wait until 20g will remain of the given 250g?

A2) You take a loan about 150 000ATS at an interest rate of 5.75%. Try to find a way for finding the repayment after n years. You may assume that there are no extra payments between.(The interest rate is the growth rate of the loan for one year.)What is the debt after 8 years?

Set up a (recursive) model for the case that we have a payment of 20000 ATS at the end of each year. How many payments are necessary?Describe your way to find an answer.What is the recursive equation?Write down parts of the table or sketch the graph.

(Set the -values nmin und xmin = 0!)

Try to find payments such that you will have paid back the whole exactly after 12 years.Give a report about your tries. (it is not sufficient to only write down a result!!)

A3) A threepod is assembled: each of the three legs consists of two halflegs, which are put together by 6 bolts. Each of the halflegs consists of two rods, screwed together by 4 bolts. The three complete legs are fixed on a plate using 18 bolts giving the threepod.

Produce a sketch of the threepod. And then set up the Gozinto-Graph.

There is one order: 15 threepods + replacement parts (additional 8 halflegs, 4 plates and 400 bolts). Find the system of equations to fix the production plan.

It was interesting that the very easy “Warm Up” was only solved by three students. The excuse of the class: “We didn´t expect well known problems, so we didn´t prepare for them!!”.

Interestingly for me was the fact, that they performed rather well tackling the “problems”. So finally the marks were not too bad and didn´t differ from the marks given earlier on traditional written tests.

The first term ended and we (students and I) agreed on 4 questions which should be answered by them

Questions to the students after the first term:

(1) Are my expectations fulfilled?

(2) What did I like / dislike until now?

(3) Has my attitude towards maths changed?

(4) Are there any changes in success in learning?

(1) 15 yes / 8 no (because most of them had expected to have more group work, but this was not the aim of the project!)

(2) They liked best the presentations, liked the preparation of the presentations working in teams, no single dislike!!!

(3) Yes and No, special comments on the group presentations and their positive effects.

(4) half / halfThe talk will give a full report about this demanding year for the students and their teacher as well.

The last word to one of my students:

"Overall I found it a hard maths year, but it was very informative. If I had to choose between an "ordinary" math teaching and this one, undoubted I would take this one. And in my opinion this should be introduced at all schools and in other subjects, too, because one will learn how to work independent AND in a group, as well".

The full paper can be downloaded from www.acdca.ac.at.. Look for the English papers.You can also download the complete reports of all ACDCA-projects (in German only)

Josef BöhmACDCA, T3-Austria and DERIVE User Groupnojo.boehm@pgv.at

23How to make traditional tasks ”CAS-compatible” (all CAS-TIs & DERIVE)

CAS-supported Mathematics education makes necessary a change in the ”culture” of

assessment problems. The shift in competencies from manipulating focussed tasks to

competencies of higher qualities (c. of methods, c. of problem solving, …) in the teaching

process must be found in the assessment problems.

We will show that it is not necessary to design “brandnew” examples, but very often it is

sufficient to make changes in traditional tasks to meet the requirements of the said new

“problem culture”.

Josef Böhm är universitetslektor vid Institut für Algebra und Computermathematik i Wien.

Workshop

One or two examples are offered to demonstrate that it is not necessary to only invent new problems if teaching and assessing in a technology supported mathematics environment. In many cases we can use our traditional examples, give them a touch and they show up in a fresh and sometimes unexpected shape.

One of the MFAQ (= Most Frequent Asked Questions) after workshops or lectures on the use of modern technologies like the TI-family, DERIVE, MS-EXCEL or others for maths education in Secondary Schools is how to find problems and tasks for exercises and assessment. Many of the more experienced teachers have a collection of problems of their own and it is very understandable that they don´t want to throw all their treasures away and start again like at the very begin of their career as a teacher.

I was and still am in the same situation. My standard answer is: you don´t have to change everything, take your problem collection and try to achieve another point of view. Then in many cases you will be able to give the problems a spin into the right direction and thus they will adopt a new quality, focus on another aim as usual, open new insights or just let it read a bit uncommon.

Please don´t expect results of a deep scientific research on that topic within the next short hour and don´t expect any classification of how to give "special spins". I was an ordinary school teacher on a Secondary College for Business Administration in St.Pölten, the capital town of Lower Austria. I also have been busy in in- and pre-service courses for teachers and give a lecture on the use of modern

technologies in maths education on the Vienna Technical University. So you can imagine that I am very deep involved in the discussion mentioned above.

You can find many smaller examples of how to make traditional tasks technology compatible in my paper "Give it a Spin" which can be downloaded from www.acdca.ac.at (English Section). (You will find that I there use the same introductional paragraphs – because this workshop deals with the same problem).

Today I´d like to demonstrate my ideas using two more extended problems in this workshops. I present a couple of end examination (= "Matura-") problems in the books given in the references.They all emerged from traditional "Matura" problems from the eighties – i.e. from times without any symbolic calculator (and in Austria we did not use any graphic calculator, too – at least at most of the schools).

We will not see specially TI- or DERIVE-designed examples. There are a lot of publications containing wonderful problems together with the solutions. I always wonder how much time would be necessary to prepare the students to solve this or that very special problem.

Let me start with a problem which was part of an end examination in the late eighties:

Make New from Old

The original version reads:

All graphs of a family of functions fk(x) of degree 4 which are symmetric with respect to the y-axis

intersect the graphs of another family of curves orthogonal in P(2/0) and also

have the origin in common.

a) Show that .

b) Sketch the graphs of both functions for k = 1/4 including the zeros, extremal values and inflection points.

c) The graphs of fk and gk form an area for k 0. Show that this area is given by

.d) For which positive k will we receive the minimum area A?

This is my proposal for a new version:

Given is a family of functions .

a) Which is the form of all curves of the family?

b) What are the common properties of all graphs? Give reasons!

c) What is the influence of parameter k on form and position of the graphs. Present your findings using an appropriate survey.

d) Find a "partner family" fk(x) so that each gk is intersecting the corresponding fk orthogonally.

e) Show for any k that condition d) is fulfilled.

f) What is the common area enclosed by two "partners"? Shade this area on your device for any appropriate k. Explain how you can achieve this.

g) Which value of k makes this area extremal? Is it a Maximum or a Minimum?

Comparing the two versions you will find that – maybe surprisingly for you – I do without the quartic in the technology version. Nevertheless it is my strong feeling that the problem has reached some new qualities including reasoning, presenting results, working with graphs, working with logic expressions.

The old version is one or two pages full of operations and the student might get lost in his/her calculations. It is no problem for me to disclaim some operational skills instead of these new and thrilling possibilities.

Again an Extremal Value Problem!

A window has the form of a rectangle together with a semicircle (see the details in picture at the right).

(CU = Currency Units)

All straight connections cost 22 CU/dm, and the curved parts cost 25 CU/dm. Which measurements keep the production cost minimal?

a) Use the Dynamic Geometry model [1] to obtain an appropriate estimation applying an approximating function of your choice. Check first the correctness of the model.Explain carefully your strategy (table, sketch, ......).Additional Question: What is the reason that a polynomial function cannot fit exactly?

b) Solve the problem analytically using means of Calculus.c) Show that the graph of the cost function found in b) passes the data points produced in a) and

answer the following question dependent on the choice of the independent variable (b or h):

c1) If b was chosen: What is the end behaviour of the curve? Find the approximating curve for the end behaviour and interpret this curve in connection with the problem.

c2) If h was chosen: Interpret the intercept of the cost function on the vertical coordinate axis..d) How does the result change if one has to consider the cost for the glassing (8 CU/dm2), too?

Only the analytical treatment is necessary.

I present this example performed on the TI. I can imagine to work with CABRI and DERIVE on the PC, too.

You see that I left the important part – setting up main- and side condition – but the operational part, which was and still is the core part in traditional exam questions is left to the CAS: I know and surely you know that the main problem for the students is not the calculus part, but solving the various equations, substituting for the variables and working with fractions etc.

Here I force them to use not only analytical means. At the other hand they have to show very analytical competences to answer question c) and also question d).

[1] The Cabri-Model can be downloaded and via GraphLink transferred to your TI. The students receive this model at the begin of the examination They also have the self produced script extrem at their disposal. A rich collection of other Cabri-objects can be found on the diskette accompanying the bk-teachware booklet Optimzation graphically, numerically and analytically.

24Dynamic Geometry gives the Conjecture – CAS delivers the proof

We will start with a DGS (Dynamic Geometry System – Cabri) to set up a conjecture

concerning a nice feature of the triangle in connection with a hyperbola (not so well known)

and then use the CAS (DERIVE 6) to verify the conjecture and then finally prove it.

The mathematical knowledge needed is little, but calculation by-hand would be boring. So we

can focus on the strategy how to find the proof.

Josef Böhm är universitetslektor vid Institut für Algebra und Computermathematik i Wien.

Workshop

This workshop offers three examples of a fruitful cooperation between Dynamic Geometry and CAS. Students should discover special attributes of geometric objects, formulate their conjectures, verify these conjectures using any data, if possible find proofs and finally produce fine plots using their CAS-tool. I present three examples from easy to difficult – The Good, the Bad and the Ugly.

(1) The GoodThe Line of Simson

Take a point P on the circumcircle of a triangle. Find the pedal points of the perpendicular lines from P to the sides of the triangle. Create a model using your Dynamic Geometry Program. What do you observe?

If possible plot the family of all Simson Lines moving point P on the circle. Describe the created pattern.

Verify your conjecture for an arbitrary triangle and then try to perform a general proof.(Reference Thomas Himmelbauer, ACDCA4-project – Collection of problems “New Culture of Problems”.)

(2) The BadA special feature of a triangle having its vertices on an equilateral hyperbola

a) Take any three points ABC lying on an equilateral hyperbola. The points form a triangle. Find the orthocenter H of ABC. What do you observe?

b) If possible make a dynamic geometry model and set up a conjecture.

c) Verify your conjecture by calculation. Take randomly chosen points and repeat the verification process. For the x-coordinates take –8 < x < 8.

d) Make a proof of your conjecture.

e) Draw the circumcircle of ABC and find point H’ symmetric to H with respect to the origin.

f) What´s now? Do you have another conjecture? Write down your conjecture as a rule and then try to proof this rule.

g) Produce a fine picture containing all your findings using your CAS-tool.

(Reference: M.Gouy, G.Huvent & A.Ladureau, Autour des triangles inscrits sur une hyperbole équilatère, 2003

The full article can be found at http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent/ in the rubric IREM de Lille.)(3) The UglyA special feature of a Pentagram

Given is an arbitrary pentagramm. We see five triangles outside of the inner petagon. The triangles have circumcircles. Neighbouring circumcircles have two intersection points in common. One of them is vertex of the inner pentagon, but ....

... it seems to be that the other intersection points are lying on one common circle!!!

(Reference: Presented by Mr. Hoang Fu from China at the occasion to demonstrate his theorem proving dynamic geometry program MathXP on the first USACAS-Conference, June 2002, Glenview, IL)

Josef BöhmACDCA, T3-Austria and DERIVE User Groupnojo.boehm@pgv.at

25 aTeaching with Derive6

Derive6 is a pedagogical computer algebra system (PeCAS). It processes algebraic variables, expressions, functions, vectors, matrices, and other mathematical objects and provides powerful support for teaching and learning mathematics.In this workshop you will learn how to use and teach with Derive6 and you will see and use powerful features which were recently added.

Bernhard Kutzler, Tekn. Doktor i Österrike.

Workshop

25 bCAS for Teaching StudentsComputer algebra systems ave changed the way we do mathematics and they begin to change the way we teach mathematics. In the last ten years, many teachers experimented with CAS in classroom teaching. We provide a classification and an overview of successful approaches an discuss how CAS influence assessment.

Bernhard Kutzler, Tekn. Doktor i Österrike.

Föreläsning

What Math Should We Teach When We Teach Math With CAS?

B KutzlerIntroduction

„Youth is the wealth of a nation“ says Sheikh Zayed Bin Sultan Al Nahyan, president of the United Arab Emirates. This is a remarkable statement for the leader of a country which is famous for owing their wealth to their mineral resources. But it goes without saying that mineral resources are limited – while „human resources“ are unlimited. The method of producing and increasing human resources is education.

Let’s hear/read what one of the brightest minds of history said about education. The following is a quote from a speech Albert Einstein gave to educators in 1936: “Sometimes one sees in the school simply the instrument for transferring a certain maximum quantity of knowledge to the growing generation. But that is not right. ... Thus the wit was not wrong who defined education in this way: ‘Education is that which remains, if one has forgotten everything he learned in school.’” [Einstein 1956].

Albert Einstein’s quote could not be any more topical. In mathematics education, computer algebra systems (CAS) have sparked off a worldwide discussion about the value and reasonableness of what

we teach in a traditional mathematics class. CAS point us to the fact that we focus too much on the teaching of the craftsmanship of performing operations, i.e. skills which a computer can so easily replace. Hence CAS make us think about WHAT we teach.

Here is what another famous person, William Shakespear, said: “Nothing is either good or bad – only thinking makes it so.” In the context of CAS for teaching and learning this translates into: “CAS are neither good nor bad teaching tools – only using them makes them so.” There are thousands of ways of using CAS for teaching – good ones and bad ones. Bad or, better, improper approaches often come from technology freaks among the teachers, who use the CAS just because it exists and because it is possible to use it in a certain way. But CAS should never drive the math we teach – our math (teaching goals) should drive the (use of) CAS! I fully agree with Helmut Heugl, the director of the Austrian Derive and TI-89/92 Projects (which involved almost 6,000 students), who said: “If it is not pedagogically justified to use CAS, it is pedagogically justified not to use CAS.” So: CAS also make us think about HOW we teach.

A good reflection on the HOW is [Kutzler 2000]. In this article we focus on the WHAT.

What Mathematics Should We Teach?

An answer to this requires an answer to the question “What is mathematics?”. There are many answers to this, following are two which complement each other in a perfect way:1) Mathematics is the principal language of science and technology. As such it is the key for

understanding and shaping the world around us.2) Mathematics is the principal means of educating the human mind (quote C. F. Gauss). As such it

is the key for mental wellness and health, it is an important contribution to a good all-round education, and it is also an indispensable prerequisite for (1).

Both aspects reflect important and worthwhile facets of mathematics, hence our mathematics teaching should support both. In the context of mathematics education I suggest to refer to the first aspect as “problem solving training” and to the second as “mental training”. This Two-Quality-Model, which I abbreviate with the simple equation

School Mathematics = Mental Training + Problem Solving Training is explained in more detail in this paper. It helps during teaching with or without technology, it helps to develop „technology-save“ curricula, and it helps to plan the proper use of technology, in particular CAS, in the classroom.

Mental Training

I borrow an analogy from physical activities: Most people in the industrialized nations don’t use their muscles any more to earn a living. But, unused muscles degenerate. Hence we do (physical) sports such as jogging and playing tennis or soccer so that we stay physically fit and healthy.

Due to a massive increase of (computer) automation over the past years, many of our intellectual skills are in jeopardy. In the past we needed to memorize phone numbers – today we use memory keys or even voice-dialing. In the past we had to memorize how to program a video recorder – today we swipe a bar code reader over the TV program. It goes without saying that all this makes life so much more comfortable, BUT it leads us to losing what I call mental wellness and fitness. Many school teachers complain about students‘s lack of concentration and their weak memories. These are typical symptoms of a diminishing mental wellness. If you haven’t use your legs for 100 days, you will not be able to walk any more. If you haven’t used your brain for 100 days, you will not be able to understand the evening news. It is not that bad yet, but we are heading there ...

Physicians use definitions of what a healthy person must be able to do physically. After a heart attack, for example, a patient must learn to walk a certain distance and to climb a certain number stairs before being released to home care. We need something similar for our mental capabilities, i.e. a definition of what a person who has a healthy mind must be able to do in terms of, for example, memorization and

mental calculation. A provocative attempt to give such a definition for mathematics teaching is [Herget etal 2000].

We introduced sports into our schools in order to fight a further deterioration of physical fitness. We need to take similar steps regarding our mental capabilities; we need a subject mental sports (or mental training) in our schools. I believe that this subject should be an integral part of mathematics teaching.

Another important aspect of mental training is that it is an indispensable preparation for problem solving. The one who knows something about linear equations and how to solve them will be the better “button-pusher” and problem solver – simply because (s)he knows better what (s)he is doing when using a CAS.

Problem solving

In mathematics I consider problem solving to be the ability to use mathematical tools for solving real world technical problems. Characteristic of problem solving are the three steps shown in Figure 1.

Today, problem solving is treated at school only half-heartedly. The main emphasis is put on the second step, calculation, and its execution with paper and pencil. Let’s look at optimization problems. Typically we treat them in a manner so that we can do, may be, three optimization problems in an hour using 80% of the time for (hand) calculations so that only 20% remain for modeling and translating. Hence, most problem solving exercises turn into exercises for practicing the required calculation skills. And this we call “problem solving training”?! Since translations from the real world into mathematics and vice versa rarely are taught explicitly, it is understandable that a majority of students don’t develop this ability. Hence, they are afraid of exercises requiring such translations. With the (extensive) use of powerful technology such as CAS for the calculation step, we can dedicate a lot more time to teach the choice of models and how to translate problems and results. We may be able to treat ten or more optimization problems in an hour spending 80% of the time on modeling and translation and only 20% on calculations. This would be the proper “problem solving training”!

Mathematics = Mental Training + Problem Solving Training

Curricula should aim at educating students in the disciplines of mental training and problem solving training. The goals of mental training are the building of a healthy and fit mind and a preparation for problem solving. It goes without saying that at most technology should be a training tool (“mathematical home trainer”, see [Kutzler 2000] for an elaboration of this) and must not be used when testing mental abilities. The goal of problem solving training is the ability to use the appropriate tools for solving problems. The use of technology should be not only welcomed but recommended and supported here.

Employing an analogy, problem solving compares with a moving problem such as “tomorrow noon I need to be in London”. It is unimportant what transportation means I use to get there, it only matters that I be there at the given time. Mental training is comparable to a jogger who runs along a track in order to gain physical fitness. Only the jogging counts, it is unimportant where the track is or where it leads to. Transferred to mathematics

this means the following: In problem solving only the appropriate result counts, it is irrelevant how the calculations were performed. In intellectual sports only performing the calculation counts, while the meaning of the result is unimportant.

It goes without saying that most concrete activities in mathematics teaching possess both qualities in varying proportions. (This is similar to a widely known approach used by Eastern philosophies which teach us that everything in the cosmos possesses the elementary qualities Yin and Yang in varying proportions.)

The usefulness of this model becomes obvious already with the following: When talking to teachers about the use of technology, in particular CAS, we encounter two groups. One group is made up of teachers who prefer to use the most powerful tools, such as CAS, in the belief that students should “focus on solving problems rather than spoil their time on tedious hand calculations”. The other group consists of the teachers who oppose the use of these systems, because the scientific calculators already “made our students lose most of their manual calculation skills” and the use of even more powerful tools may cause students to have even more deficiencies. What looks like a non-resolvable situation at first glance can well be understood by our model, within which each group represents an extreme position. For the first group “school mathematics = problem solving training + ”, i.e. the mental training is of minor or no importance for them. For the second group “school mathematics = mental training + ”, i.e. mental training is the central goal for them while problem solving plays only a subordinate role. This is easily resolved with the following compromise which satisfies the demands of both groups.

Balance

What mathematics should we teach? The magic word is balance. Good mathematics teaching includes both qualities in a well-balanced manner, see Figure 2.

The Solution: Two-Tier Exams

Since assessment is an important pedagogical instrument, it must reflect this balance too. A logical solution is a two-tier exam: When assessing mental fitness, no tools are allowed. This includes even a simple four-function

calculator. When assessing problem solving capabilities, all tools are allowed (better: recommended). This

includes in particular CAS. If the split is not manageable within a single exam, one should assess the two disciplines at different times. I draw a parallel with ice skating: Mental training compares with the compulsory exercise, in which the athlete demonstrates a mastery of the basic required techniques. Problem solving compares with the voluntary exercise (freestyle), in which the athlete demonstrates the ability to combine the basic techniques into a choreographed presentation. The total score depends on the scores of both the compulsory and the voluntary part.

Concluding remarks

Mathematics education is a key for producing a maximum of human resources. With the proper mathematics education students will develop their mental talents to an optimum learn to understand and shape the world around us.The proper use of technology plays a crucial role in getting the most out of mathematics education.

Since exams determine a great deal what we teach, exams need to incorporate CAS. Two-tiered exams would be a well-balanced compromise meeting both the desires of technology supporters and the reservations of those who are concerned about the use of technology in the classroom. Hence, they are a way to let technology in.

In the end technology should play a secondary role in both disciplines. In mental training the goal is a performance with a minimum of tools. In problem solving the goal is to learn those skills and abilities that are needed for problem solving and are independent of technology. A good mathematics education will use CAS like language education uses dictionaries and phrase books: as (perfectly) natural tools which are used all now and then.

References

A Einstein 1956: Out of My Later Years. Carol Publ. Comp.W Herget, H Heugl, B Kutzler, E Lehmann 2000: Indispensable Manual Calculation Skills in a CAS

Environment. In: 'Exam Questions and Basic Skills in Technology-Supported Mathematics Teaching (Proceedings Portoroz'2000)’, eds. V Kokol-Voljc etal, 6th ACDCA Summer Academy, Jul 2-5, 2000, Portoroz, Slovenia, pp. 13-26.

V Kokol-Voljc 2000: Exam Questions When Using CAS for School Mathematics Teaching. In: ‚The International Journal for Computer Algebra in Mathematics Education‘, vol. 7 (2000), no. 1, pp. 63-76

B Kutzler 2000: The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics. In: 'The International Journal for Computer Algebra in Mathematics Education', vol. 7 (2000), no. 1, pp. 5-24; also in: 'Hand-Held Technology in Mathematics and Science Education: A Collection of Papers', edited by E.D. Laughbaum, Teachers Teaching with Technology Short Course Program @ The Ohio State University, pp. 98-109.

27 a

Developing Mathematics Across the Grades

As students progress throughout the grades, so too should their understanding of important mathematical ideas. Beginning with preformal, then informal experiences and finally, formalization, students can make sense out of key mathematical concepts. We will look at how some concepts in algebra can be developed from ages 6 to 16.

Gail Burrill arbetar vid Michigan State University och har varit president för National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).

Föreläsning

Developing Mathematics Across the Grades: The Case for Algebra

Algebraic thinking and reasoning is a central element of school mathematics, but across nations students struggle to master the complex array of procedures, symbols, and definitions necessary to make sense of the subject. Principals and Standards for School Mathematics (PSSM) from the National Council of Teachers of Mathematics presents four overarching algebraic concepts that should form the core of the algebra curriculum from primary to secondary school. PSSM says the curriculum should enable all students to understand patterns, relations, and functions; represent and analyze mathematical situations and structures using algebraic symbols; use math models to represent and understand quantitative relationships; and analyze change in various contexts. At each grade level, the Standards suggest how these concepts might be developed, providing guidelines for what we do as teachers. For example, for middle grades (ages 11 to 14), under the patterns standard, the curriculum should enable students to represent analyze and generalize a variety of patterns with tables, graphs, words, and when possible, symbolic rules; relate and compare different forms of representation for a relationship; and identify functions as linear or non linear and contrast their properties from tables, graphs, or equations. The session will focus on one of the standards and give illustrations of how the concepts can be developed across four grade level bands: lower primary, upper primary, lower secondary, and upper secondary..

What it means to teach and learn, however, is another part of the story. The development of mathematical concepts can be strengthened if they are done in ways supported by research. Findings from research can help educators begin to understand more about learning and about teaching that makes learning happen.. Using some of these findings as a basis for our thinking in the development of algebraic concepts, the emphasis will be on using real data and meaningful contexts in ways supported by the literature, providing students with a grounded and appropriate sequence of experiences that can make algebra a sense-making experience.

27 bTechnology and Your Classroom

Technology can change what you teach and how you teach. Technology can make your job easier – and harder! What does this look like in your classroom? Does research have any implications for what we do with technology and how we do it?

Gail Burrill arbetar vid Michigan State University och har varit president för National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)

Föreläsning

Technology and Your Classroom: Implications from Research for Teaching Secondary Mathematics

What do research studies suggest about how to maximize the effectiveness of the technology?. The findings from a synthesis of peer-reviewed research on the use of graphing calculators in secondary mathematics have implications for what teachers using the technology in their classrooms should consider to maximize the potential of technology to help students learn. Current research offers some serious considerations for the use of computer algebra systems in teaching mathematics. What does this suggest for what teachers do in their classrooms? Essentially, the session is about linking research to practice. For example, the research suggests that students whose teachers explicitly help them make connections between numerical, graphical, and symbolical representations achieve at a higher level than those whose teachers that do not directly address these connections. What are some suggestions on how to make this happen – what questions might teachers ask, what tasks might they use, and how might these help students understand the relationships among the representations? Considering these and other findings can help us use the technology to make a difference in what our students learn.

30 Den röda tråden – ett helhetsperspektiv på matematikundervisningen

Hur genomförs grundskolans ämnesplan och hur kopplas den till gymnasiets kärnämneskurs? Är lärare som arbetar med olika åldersgrupper medvetna om hur de begrepp man undervisar kring passar in i en helhet för eleverna? Ett matematikutvecklingsprojekt, som pågått i Klippans kommun presenteras och diskuteras.

Per-Eskil Persson har varit gymnasielärare i matematik och fysik på Klippans Gymnasieskola och undervisar nu i matematik och matematikdidaktik i Lärarutbildningen på Malmö Högskola.

Seminarium

BakgrundSvenska elevers färdigheter eller snarare brist på färdigheter inom ämnet matematik har under de senaste åren debatterats i massmedia, mellan skolpolitiker och andra. Framför allt har dock diskussionen förts bland dem, som arbetar med matematikundervisning i skolan. Matematiken upplevs av många elever som tråkig och dessvärre misslyckas alltför många, med underkända betyg som följd. Skolverkets nyligen publicerade rapport från kvalitetsgranskningen ”Lusten att lära – med fokus på matematik” (Skolverket 2003) pekar på en rad viktiga faktorer som påverkar matematikinlärning och ger också förslag till hur ett lokalt förbättringsarbete kan se ut. Något som speciellt poängteras i rapporten är vilken avgörande betydelse lärarna har:

”Läraren anges samstämmigt av eleverna som den absolut viktigaste faktorn för lusten att lära. Det gäller alla elevgrupper vid alla enheter. Lärarens engagemang och förmåga att motivera, inspirera och kunna förmedla att kunskap är en glädje i sig är central. Eleverna önskar lärare som har tilltro till elevernas förmåga att lära matematik, har kunskaper i ämnet, är lyhörda för vad eleverna har svårt att förstå och som kan förklara bra.” (Skolverket 2003, sid. 25)

I det föränderliga samhälle vi lever i med en skola vars mål ständigt revideras, är lärarens kunskap om sitt yrke inte något man skaffar sig en gång för alla. Per-Olof Bentley vid Göteborgs Universitet har i sin doktorsavhandling studerat hur undervisningssätt i matematik påverkas av klassernas storlek, lärarnas utbildningsnivå och erfarenhet samt av skolans ekonomiska resurser (Bentley, 2003). Han visar där att det inte hjälper med bara fler vuxna i skolan, utan det som betyder mest för elevernas resultat är lärarens utbildning och erfarenhet. Bentley säger i en artikel:

"Ett mycket effektivt sätt att förbättra resultaten i skolan hade varit ifall man kunnat satsa extrapengarna på att ge redan verksamma lärare fortbildning."

Med extrapengarna menar han de s.k. Wärnersson-pengarna. På ett annat ställe:

"Att förändra eller komplettera arbetssätten är inte något som man gör på en studiedag. Det är en omfattande och genomgripande process som måste få ta tid."

Att riksdag och regering är bekymrade över matematikundervisningen visas klarast genom

att man tillsatt en speciell matematikdelegation. I kommittédirektiven finns bl.a. viktiga

skrivningar om ”Behovet av pedagogisk förnyelse” och om ”Samarbete mellan

skolformer”:

”Debatten om skolsystemets resultat fokuseras oftast på övergångarna mellan de olika skolformerna. Otillfredsställande kunskaper i matematik tillskrivs ofta brister i utbildningen på lägre nivåer. Det finns behov av att skapa en helhetssyn inom varje skolform och över skolformsgränserna, där varje del tar sitt ansvar för att undervisningen anpassas efter individens förutsättningar och behov. Det innebär bl.a. en diskussion och ett samarbete om vilka delar av ämnet som skall vara obligatoriska i olika skolformer och som är nödvändiga för olika fortsatta studier. Det finns således behov av att utveckla samarbetsformer för erfarenhetsutbyte och diskussioner mellan lärargrupper på olika nivåer i utbildningssystemet. Regeringen pekar i propositionen ”Den öppna högskolan” på vikten av ett sådant samarbete för en breddad rekrytering till högskolan.” (Se Matematikdelegationens hemsida)

Även i Gymnasiekommitténs betänkande "Åtta vägar till kunskap - en ny struktur för gymnasieskolan” finns ett särskilt avsnitt om matematiken, i vilket det bl.a. står:

”Allt detta pekar mot att det krävs ett omfattande utvecklingsarbete både vad gäller innehåll och former för matematikämnet i gymnasieskolan. Gymnasiekommittén menar att det måste finnas en helhetssyn på ämnet i grundskola, gymnasieskola och högskola så att övergångsproblemen minimeras.” (Utbildningdepartementet, 2003)

Det här sättet att se på matematikämnet är egentligen inget nytt, utan har diskuterats i olika fora, exempelvis vid de senaste Matematikbiennalerna. På olika håll i Sverige har startats Röda Tråden-projekt. Dessa har även hedrats med utnämningar. På senaste biennalen 2002 fick ett Röda Tråden-arbete i Sundsvall det speciella Nämnarenpriset. I Klippan startade vi redan höstterminen 2000 projektet Den Röda Tråden, som vänder sig till lärare, som undervisar i matematik inom förskola, grundskola och gymnasium i vår kommun. Tanken var, att vi måste försöka få ett helhetsperspektiv från förskola till högskola på vår verksamhet. Dessutom, och kanske det viktigaste, är att lärarna måste få tid till att utveckla sitt kunnande om matematik och matematikinlärning samt att tillsammans med kollegor från olika stadier diskutera didaktiska frågor.

Mål och syften1. Skapa ett forum för spridande av kunskap, för idéutbyte och för diskussioner om och kring

matematik och matematikinlärning.

2. Utveckla lärares kompetens inom matematikdidaktik och pedagogik.

3. Underlätta stadieövergångar genom att skapa förståelse för matematikundervisningens villkor och mål på olika stadier.

4. Stödja försök med att utveckla nya arbetssätt och undervisningsmodeller för matematik på de olika skolorna och stadierna.

5. Upprätta och vidmakthålla den röda tråden i matematikundervisningen.

OrganisationFör att få en bred täckning, helst med deltagare från kommunens samtliga skolor, gjordes i projektets inledningsskede rekryteringsbesök på alla rektorsområdena. Utgångspunkten var att deltagandet i projektgruppen skulle vara frivilligt och bygga på ett genuint intresse att utveckla matematikundervisningen. Det fanns många som ville vara med i projektet på skolorna, men farhågor fanns också om att det skulle kunna bli svårt att som deltagare få loss den tid som krävdes, eftersom flera andra angelägna kompetensutvecklingsprojekt fanns

jämsides. Projektet startades med 20 deltagare, ett antal, som sedan ungefär stod sig de kommande åren. Vissa lärare tillkom och vissa lämnade gruppen. Totalt har hittills 28 lärare under kortare eller längre period varit med. Lärarna har kommit från samtliga stadier inklusive förskolan och från nästan samtliga skolor i kommunen. Aktiviteten från de olika skolornas sida har varit mycket ojämn. En större högstadieskola har t.ex. bara haft en enda deltagare trots sin storlek, medan andra skolor har varit betydligt flitigare. Friskolorna i kommunen har också visat intresse för arbetet i Röda Tråden, och känner att man på detta sätt får en kontinuitet i matematikundervisningen för de elever, som kommer från eller övergår till de kommunala skolorna.

ResultatMål 1Vid våra träffar har diskussioner, erfarenhetsutbyte, idéutbyte m.m. kring matematik och lärande varit i centrum. Om tiden hade medgivit det, kunde vi använt all tillgänglig tid för detta. Lärarna anger det som den allra största behållningen med Röda Tråden. Så här beskrev en deltagare vad som varit bra redan efter första året:

" - diskussionerna, inte bara om matematik, utan allmänna om allt som rör skolan. - stadieövergripande F - Gy. - att vi hunnit prata igenom och diskutera färdigt. - utbytet av erfarenheter, fått se nytt materiel, fått veta hur andra gör. - litteratur, litteraturtips."

Vi har också haft temakvällar, där någon speciell röd tråd i matematikundervisningen närmare studerats. T.ex. hade vi i höstas temat ”Mönster”, som är en del av algebratråden (se nedan).Mål 2Under först året införskaffades kurslitteratur efter varje deltagares individuella önskemål. Efter studier av denna, diskuterades innehållet och vilka konsekvenser det kunde ha för vårt arbete i klassrummet. Efter hand har sedan deltagarna fortlöpande fått tips om intressanta böcker, föreläsningar, hemsidor på nätet mm. Skolorna har också uppmuntrats att införskaffa den för matematikutveckling så väsentliga tidskriften Nämnaren.

Mål 3Under ett antal temakvällar har samtliga stadier från förskola till gymnasium behandlats. Deltagarna har i den mån de inte verkat på det aktuella stadiet fått förbereda sig genom att auskultera hos någon lärare för att se hur arbetet går till. Under temakvällen har sedan läroböcker och konkret arbetsmaterial demonstrerats och undervisningsvillkoren grundligt diskuterats. Jämförelser mellan hur olika moment behandlas har sedan kontinuerligt varit en del av våra diskussioner under träffarna.

Mål 4Under det andra verksamhetsåret, 2002, besökte en grupp av Röda Trådens deltagare Matematikbiennalen i Norrköping. Ur det rikliga utbudet av programpunkter, kunde väljas en mängd sådana, som redogjorde för nya och annorlunda arbetssätt. Av speciellt intresse var sådana, som kan göra matematiken roligare för eleverna samtidigt som lärandet förbättras. Erfarenheterna har sedan diskuterats under träffarna och olika idéer har framkastats om hur vi kan förändra vårt sätt att arbeta i klassrummet. Det hela är en process, och den måste få ta sin tid om verkliga förändringar ska komma till stånd.

Mål 5Efter första verksamhetsåret var det ett starkt önskemål hos deltagarna att vi skulle börja upprätta ”den röda tråden” eller i själva verket flera sådana, dvs. konstruera en heltäckande plan för matematikundervisningen från förskola till gymnasium. Detta har också varit vårt huvudmål under ett antal av de träffar vi haft sedan dess.

Eftersom ämnesplanen för matematik som riksdag och regering fastslagit är tämligen ostrukturerad och oprecis, har vi tagit fram en plan med fem huvudmoment:

Taluppfattning och aritmetik.

Algebra och funktioner.

Mätning och geometri.

Statistik och sannolikhet

Problemlösning och matematiskt resonemang.

Därefter har vi systematiskt börjat gå igenom huvudmomentens närmare innehåll. Utgångspunkten har varit att en viss matematisk färdighet ska komma där det är välmotiverat och naturligt, sett till elevernas utvecklingsnivå, behoven i övriga ämnen mm. Vilken lärobok man använder sig av på den enskilda skolan har inte fått styra.

Parallellt med planen har vi också färdigställ ett uppföljningsmaterial, där den enskilda elevens färdigheter och framsteg i ämnet noggrant kan noteras. Detta tror vi kan vara ett bra verktyg för utvecklingssamtal med föräldrar, utarbetandet av åtgärdsplaner, kommunikationen mellan lärare vid stadie- och klassbyten osv.

Utvärdering

Vid den sista träffen med Röda Tråden våren 2003, fick deltagarna göra en kortfattad utvärdering av projektet så långt. Här ett exempel:”Vi har hunnit en bit på väg och det vi hittills åstadkommit har blivit bra. Arbetet har fått växa fram, medan vi noggrant har gått igenom varje moment. Diskussionerna i gruppen har varit värdefulla. Vi har fått inblick i hur andra lärare arbetar och hur undervisningen läggs upp på alla stadier. Det känns viktigt att alla stadier är representerade, så att vi kan se det som är före och det som kommer efter, just för att kunna följa den "röda tråden".”

Mina egna iakttagelser under de tre verksamhetsåren har varit att deltagarna har visat prov på stort intresse för att utveckla och förbättra matematikundervisningen. De har tagit med sig idéer till sina respektive skolor och lyckats genomföra en del förändringar. Det kan ha handlat om att nya läroböcker, som är bättre anpassade till dagens elever, har införskaffats. Ett annat exempel är att man på flera skolor nu deltar i den årliga Kängurutävlingen, som har som mål att öka elevernas intresse för problemlösning i matematik.

Referenser

Bentley, P-O. (2003). Mathematics Teachers and Their Teaching. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.Matematikdelegationen. http://www.matematikdelegationen.gov.seSkolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik, Nationella kvalitets-granskningar 2001-2002 Utbildningsdepartementet (2003). Åtta vägar till kunskap – en ny struktur för gymnasieskolan. SOU 2002:120.

i