Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS PERHITUNGANGAYA INTERNAL RANGKA RUANG DENGANMENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
(Skripsi)
Oleh
OKTAVIANY WIDYAWATY
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS LAMPUNG
2016
ABSTRACT
ANALYSIS OF INTERNAL FORCES OF SPACE TRUSS WITH FINITEELEMENT METHOD
By:
Oktaviany Widyawaty
The finite element method is a method of modeling of an object to divideinto smaller parts as a whole still has the same properties as the whole thingbefore it was divided into smaller sections (discretization). The finite elementmethod can be used to analyse various types of structures, such as plane truss,space truss, plane frame, space frame, beam, and grid.
The main difference space truss and space truss are the number of degreesof freedom at each node. Each bar in order to space has six degrees of freedom. Aspace truss structure formed by the combination of elements order in XYZ space.Variations of incorporation requires the transformation of the characteristicelements of the local coordinate system to the global coordinate system.
In this study, analysis of space truss using the finite element method willbe assisted with the software Matlab. Where the result of Matlab will becompared with result from the SAP2000. The results of this analysis by usingMatlab and SAP2000 are getting -0,073 cm for joint displacement on Z directionand 62,5 Kgf for joint reaction. The result of axial forces by Matlab is -1253,121Kgf, but by using SAP200, the result is -1253,120 Kgf.
Keywords: Finite Element Method, Space Truss, Matlab
ABSTRAK
ANALISIS PERHITUNGAN GAYA INTERNAL RANGKA RUANGDENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
Oleh:
Oktaviany Widyawaty
Metode elemen hingga adalah metode pemodelan dari suatu benda denganmembagi-bagi dalam bagian yang kecil yang secara keseluruhan masihmempunyai sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagianyang kecil (diskritisasi). Metode elemen hingga dapat digunakan untukmenganalisis berbagai tipe struktur, yaitu rangka batang, rangka ruang, portalbidang, portal bidang, portal ruang, balok, dan balok silang.
Perbedaan utama rangka ruang dan rangka batang adalah jumlah derajatkebebasan di tiap nodal. Tiap batang pada rangka ruang memiliki 6 derajatkebebasan. Suatu struktur rangka ruang terbentuk dari gabungan elemen rangkadalam ruang XYZ. Variasi penggabungan membutuhkan transformasikarakteristik elemen dari sistem koordinat lokal ke sistem koordinat global.
Dalam penelitian ini, analisis rangka ruang dengan menggunakan metodeelemen hingga akan dibantu dengan perangkat lunak Matlab. Dimana hasil dariMatlab akan dibandingkan dengan hasil dari SAP2000. Hasil dari analisis denganProgram Matlab dan Program SAP2000 mendapatkan perpindahan titik sebesar -0,073 cm di arah Z, reaksi tumpuan sebesar 62,5 Kgf. Hasil dari analisis gayabatang yang didapatkan dari Program Matlab sebesar -1253,121 Kgf, sedangkandengan menggunakan Program SAP200 didapatkan hasil sebesar -1253,120 Kgf.
Kata kunci: Metode Elemen Hingga, Rangka Ruang, Matlab
ANALISIS PERHITUNGANGAYA INTERNAL RANGKA RUANG DENGANMENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA
(Skripsi)
Oleh
OKTAVIANY WIDYAWATY
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA TEKNIK
Pada
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Universitas Lampung
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS LAMPUNG
2016
Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Agung pada tanggal 30 Oktober
1993. Merupakan anak kedua dari tiga bersaudara dari
keluarga Bapak Zulkarnaen dan Ibu Derryana Karwa.
Memiliki kakak perempuan bernama Karina Permata Sari
dan adik laki-laki bernama Ahmad Thoriq Ramadhan.
Penulis memulai jenjang pendidikan dari Taman Kanak-kanak Dharma Wanita
Kota Agung pada tahun 1997, pada tahun 1999 memasuki Sekolah Dasar Islam
Az Zahrah Palembang, kemudian pada tahun 2005 melanjutkan jenjang
pendidikan di SMP Negeri 1 Palembang, dan SMA Negeri 1 Palembang pada
tahun 2008 dan lulus pada tahun 2011.
Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Fakultas Teknik, Jurusan Teknik Sipil,
Universitas Lampung melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi
Negeri (SNMPTN) Undangan pada tahun 2011. Selama menjadi mahasiswa
penulis aktif di organisasi Himpunan Mahasiswa Teknik Sipil (HIMATEKS
UNILA). Pada tahun 2014 penulis melakukan Kerja Praktik pada Proyek
Pembangunan Graving Dock selama 3 bulan. Penulis juga telah melakukan
Kuliah Kerja Nyata (KKN) di desa Sumber Agung, Kecamatan Kemiling, Kota
Bandar Lampung selama 40 hari pada periode Agustus-September 2014.
MOTTO
Jangan pernah menyerah.
Everything is hard before it is easy.
(Goethe)
Honesty is the first chapter in the book of wisdom.
. (Unknown)
“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya... “
(Al Baqarah : 286)
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan karya kecil sederhana ini untuk mewakili
pengabdianku kepada papa dan mama yang selalu ada disampingku
Atas jasa mereka yang telah membesarkan, memberikan kasih sayang,
perhatian dan semangat serta mendoakanku disetiap langkah
perjalanan hidupku.
Saudara,keluarga, serta teman-temanku yang senantiasa menantikan
keberhasilanku
Dan
Almamater tercinta.
SANWACANA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat dan karuniaNya,
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini sesuai dengan yang diharapkan.
Judul skripsi yang penulis buat adalah “Analisis Perhitungan Gaya Internal
Elemen Rangka Ruang dengan Menggunakan Metode Elemen Hingga”.
Terwujudnya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan saran dari berbagai pihak.
Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Bapak Prof. Drs. Suharno, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Teknik
Universitas Lampung.
2. Bapak Gatot Eko Susilo,S.T.,M.Sc.,Ph.D., selaku Ketua Jurusan Teknik
Sipil Fakultas Teknik Universitas Lampung.
3. Ibu Hasti Riakara Husni, S.T., M.T., selaku pembimbing I atas pemberian
judul dan bimbingan yang diberikan selama penyusunan skripsi.
4. Bapak Suyadi, S.T., M.T., selaku Pembimbing II atas bimbingannya selama
penyusunan skripsi.
5. Bapak Bayzoni, S.T., M.T., atas kesempatannya untuk menguji sekaligus
membimbing penulis dalam seminar skripsi.
6. Ibu Dr. Rahayu Sulistyorini, S.T., M.T., selaku dosen Pembimbing
Akademis.
7. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas
Lampung atas ilmu bidang sipil yang telah diberikan selama perkuliahan.
8. Papa Zulkarnaen dan Mama Derryana Karwa atas seluruh kasih sayang dan
perhatian yang telah diberikan hingga detik ini. Terima kasih untuk selalu
memberikan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini.
Terima kasih untuk selalu memberikan tawa sukacita di kehidupan sehari-
hari penulis. Terima kasih atas semua dukungannya. Terima kasih banyak
telah menjadi panutan kehidupan terbaik bagi penulis.
9. Kakakku tersayang Karina Permata Sari dan Hafiz Rahtio serta adikku
tersayang Ahmad Thoriq Ramadhan yang telah memberikan semangat,
keceriaan dan kasih sayang serta motivasi.
10. Sahabat seperjuangan terbaikku di masa kuliah Fera Lestari, Karina
Hardiyanti Ananta, dan Intan Bonita Lumban Gaol.
11. Donny Ananta Dyamandica yang senantiasa memberikan semangat, berupa
waktu, tenaga, dan kata-kata motivasi. Terima kasih untuk selalu ada di saat
senang dan sedih. Terima kasih telah menghadirkan momen keceriaan yang
tidak akan pernah terlupakan. Terima kasih telah hadir mewarnai kehidupan
penulis.
12. Rekan-rekan seperjuangan angkatan 2011 Teknik Sipil, Nyoman, Galuh,
Yohana, Trinov, Indah, Ira, Angga, Fahri, Fajar, Salman, Krisna, Ekanto,
Prayoga, Ubai, Ridho, Komang, Rizki, Jundi, Dinda dan teman-teman
lainnya yang tidak bisa disebutkan satu persatu, yang telah memberikan
semangat, bantuan dan rasa persaudaraan selama kuliah.
13. Sahabat terbaikku sedari bangku Sekolah Menengah Atas Pedi, Bella, dan
Lala yang selalu memberikan semangat.
14. Rekan Kosan Soleha Falen, Rani, Dina, Sari, Yossy, Anita, sesama anak
rantau yang berjuang bersama meraih gelar sarjana dan selalu menemani
hari-hari dengan kebahagiaan.
15. Teman-teman KKN Desa Sumber Agung, Ayu, Laras, Ayuni, Daniar,
Bagus, Dayat, Lili, Antoni, dan Alwi beserta keluarga besar Desa Sumber
Agung yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu terimakasih untuk segala
motivasi, semangat serta berbagai bantuan yang telah diberikan.
Serta semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah membantu
dan memberikan dukungan dalam penyelesaian skripsi ini. Penulis berharap
semoga Allah SWT membalas segala kebaikan mereka dan semoga skripsi ini
bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung, Februari 2016
Penulis
Oktaviany Widyawaty
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR GAMBAR.............................................................................. iii
DAFTAR TABEL....................................................................................iv
I. PENDAHULUAN ............................................................................ 1
A. Latar Belakang .............................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ......................................................................... 2
C. Batasan Masalah............................................................................ 2
D. Tujuan Penelitian........................................................................... 3
E. Manfaat Penelitian......................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA ................................................................... 4
A. Tipe-tipe Struktur .......................................................................... 4
B. Metode Elemen Hingga................................................................. 5
B.1. Istilah dalam Metode Elemen Hingga ................................... 7
B.2. Penurunan Matriks Kekakuan Batang ................................. 10
B.3. Transformasi pada Sistem Koordinasi................................. 12
B.4. Kompatibilitas, Keseimbangan, Penentuan dari Matriks
Kekakuan.............................................................................. 20
B.5. Syarat Batas (Boundary Condition). Perpindahan Titik
dan Gaya Batang .................................................................. 27
C. Dasar-dasar Pemrograman dengan MATLAB............................ 31
C.1. Pendahuluan......................................................................... 31
C.2. Lingkungan Kerja Matlab.................................................... 31
C.2.I. Beberapa Bagian dari Window Matlab............................ 31
C.2.II. Interupting dan Terminating dalam Matlab .................... 33
C.2.III. Variabel pada Matlab...................................................... 33
C.2.IV. M File ............................................................................ 35
C.2.V. Langkah-langkah Penyelesaian Metode Elemen Hingga
dengan Matlab............................................................... 36
D. Program Sap2000 ........................................................................ 37
III. METODOLOGI PENELITIAN .................................................. 38
A. Umum.......................................................................................... 38
B. Bahan dan Alat ............................................................................ 38
C. Metode Penelitian........................................................................ 39
D. Model Rangka Ruang (Space Truss)........................................... 42
E. Diagram Alir Penelitian .............................................................. 43
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN...................................................... 46
A. Hasil Analisis Program MATLAB.............................................. 46
B. Hasil Analisis Program SAP ....................................................... 59
C. Perbandingan Hasil .................................................................... 68
V. KESIMPULAN DAN SARAN ....................................................... 80
A. Kesimpulan.................................................................................. 80
B. Saran............................................................................................ 81
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 1. Penomoran Simpul pada Elemen .............................................. 20
Tabel 2. Hasil Perpindahan Titik dengan Program Matlab..................... 51
Tabel 3. Hasil Reaksi Tumpuan dengan Program Matlab ...................... 52
Tabel 4. Hasil Gaya Batang Tiap Elemen dengan Program Matlab ....... 52
Tabel 5. Hasil Perpindahan Titik dengan Program SAP......................... 63
Tabel 6. Hasil Reaksi Tumpuan dengan Program SAP .......................... 64
Tabel 7. Hasil Gaya Batang dengan Program SAP................................. 65
Tabel 8. Verifikasi Perpindahan Titik..................................................... 69
Tabel 9. Verifikasi Reaksi Tumpuan ...................................................... 70
Tabel 10. Verifikasi Gaya Batang........................................................... 71
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 1. Elemen Rangka di Bawah Pengaruh Gaya Luar pada
Node 1 dan 2 ....................................................................... 11
Gambar 2. Elemen dalam Ruang ............................................................ 13
Gambar 3. Transformasi Sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat
Lokal..................................................................................... 15
Gambar 4. Penomoran untuk Nodal Batang ........................................... 20
Gambar 5. Tanda dan Arah Gaya............................................................ 25
Gambar 6. Tampilan Layar dari Matlab.................................................. 33
Gambar 7. Contoh Gambar M-file .......................................................... 36
Gambar 8. Menara Air ............................................................................ 42
Gambar 9. Diagram Alir Penelitian ........................................................ 43
Gambar 10. Diagram Alir Penelitian dengan Matlab.............................. 44
Gambar 11. Diagram Alir Penelitian dengan SAP2000.......................... 45
Gambar 12. Model Rangka Ruang............................................................46
Gambar 13. Tampilan Program SAP ...................................................... 55
Gambar 14. Deformed Shape .................................................................. 64
Gambar 15. Joint Reaction...................................................................... 65
Gambar 16. Axial Force .......................................................................... 68
I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seiring perkembangan teknologi yang ada, bangunan sipil tidak hanya berupa
bangunan gedung, terdapat juga bangunan sipil bukan gedung, seperti
jembatan, menara, ataupun rangka bangunan baja lain. Bangunan-bangunan
bukan gedung tersebut tentunya memerlukan perhitungan dan perencanaan
yang lebih matang. Sama halnya seperti menara yang merupakan salah satu
contoh bangunan sipil yang termasuk kategori space truss (rangka ruang)
memerlukan waktu yang cukup lama serta ketelitian yang cukup besar untuk
perhitungan gaya internal aksialnya.
Dalam bidang teknik sipil, perhitungan gaya internal aksial pada rangka ruang
dapat dilakukan dengan berbagai cara. Salah satu cara untuk perhitungan gaya
internal aksial rangka ruang yaitu dengan menggunakan metode elemen
hingga. Metode elemen hingga merupakan metode pemodelan dari suatu
benda dengan membagi-bagi dalam bagian kecil yang secara keseluruhan
masih mempunyai sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi dalam
bagian yang kecil (diskritisasi).
2
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan permasalahan diatas, maka rumusan masalahnya adalah
bagaimana melakukan perhitungan gaya-gaya internal yang terjadi pada
rangka ruang dengan menggunakan metode elemen hingga.
C. Batasan Masalah
Untuk membatasi ruang lingkup penelitian ini diperlukan batasan-batasan
sebagai berikut :
1. Struktur yang ditinjau terdiri dari batang prismatis. Batang prismatis
adalah elemen struktur lurus yang mempunyai penampang konstan di
seluruh panjangnya.
2. Titik kumpul dari rangka batang ruang dianggap sebagai sendi.
3. Jenis titik tumpuan yang ada di rangka adalah sendi.
4. Kenaikan dan penurunan suhu secara mendadak yang akan menyebabkan
batang-batang mengalami perubahan bentuk tidak diperhitungkan.
5. Prategang tidak diperhitungkan
6. Eksentrisitas tidak diperhitungkan
7. Jenis material adalah homogen elastis dan isotropis.
8. Perhitungan metode elemen hingga pada rangka ruang akan dilakukan
dengan bantuan Program MATLAB (Matrix Laboratory).
9. Perhitungan gaya batang juga akan dilakukan dengan Program SAP2000,
yang dimaksudkan sebagai pembanding dari hasil yang didapatkan dari
Program MATLAB.
3
D. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan gaya aksial dari elemen
rangka ruang (space truss), perpindahan titik (joint displacement), dan reaksi
tumpuan (joint reaction) dengan menggunakan Program Matlab, lalu akan
dibandingkan hasil yang diperoleh dengan menggunakan SAP2000.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah melakukan analisis perhitungan gaya
internal aksial pada elemen rangka ruang yang dapat dilakukan dengan
metode elemen hingga sehingga bisa menjadi alternatif untuk perhitungan
gaya-gaya aksial pada rangka ruang.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Tipe-tipe Struktur
Struktur dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa tipe struktur, yaitu adalah:
1. Truss (rangka)
Truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik
dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan
ringan guna mendukung atap atau jembatan.
Truss dibagi menjadi 2 jenis yaitu truss 2 dimensi dan truss 3 dimensi.
Truss 2 dimensi adalah truss yang dapat menahan beban arah datar saja
(sumbu x, y) dan umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat
nodal. Sedangkan truss 3 dimensi adalah kumpulan batang yang dimana
batang-batangnya berarah sembarang dalam ruang, yang dapat menahan
beban pada semua arah (sumbu x, y, dan z) dan beban yang bekerja adalah
beban terpusat nodal.
2. Beam
Beam adalah bagian struktural sebuah bangunan yang kaku dan dirancang
untuk menanggung dan mentransfer beban menuju elemen-elemen kolom
penopang. Beam dapat menerima beban lateral atau beban yang tegak
lurus yang bekerja pada beam tersebut.
5
3. Frame (portal)
Frame adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih bagian konstruksi
yang disambungkan yang bertujuan untuk stabilitas, umumnya dapat
menahan gaya momen, gaya geser, dan aksial. Frame sama halnya dengan
truss, juga dibagi menjadi 2 jenis yaitu frame 2 dimensi dan frame 3
dimensi. Frame 2 dimensi merupakan frame yang dapat menahan beban
pada arah datar saja (sumbu x, y) dan biasanya beban yang bekerja adalah
beban terpusat nodal dan beban batang. Berbeda halnya dengan frame 2
dimensi, frame 3 dimensi dapat menahan beban pada semua arah (sumbu
x, y, dan z) dan beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban
batang.
4. Grid
Grid adalah sebuah struktur 1D yang terbentuk dari rangkaian balok-balok
yang terhubung secara kaku (rigid) pada nodal, di mana seluruh balok dan
nodal tersebut berada pada bidang yang sama. Grid merupakan struktur
data yang dipersiapkan untuk menerima beban yang tegak lurus pada
bidang datar struktur.
B. Metode Elemen Hingga
Suatu kontinum yang dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil,
elemen yang lebih kecil inilah yang dinamakan elemen hingga. Dinamakan
elemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding
dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga, kita dapat mengubah
6
suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu, sehingga proses
pemecahannya akan lebih sederhana.
Susatio (2004) menyatakan bahwa metode elemen hingga adalah metode
numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan
problem matematis. Tipe masalah teknis dan matematika yang dapat
diselesaikan dengan metode elemen hingga terbagi dalam dua kelompok,
yaitu kelompok analisis struktur dan kelompok masalah non-struktur.
Masalah analisis struktur, meliputi analisis tegangan, buckling, dan analisis
getaran. Sedangkan masalah non-struktur antara lain adalah perpindahan
panas dan massa, mekanika fluida, serta distribusi dari potensial listrik.
Menurut Purba dan Tarigan (2012), persoalan yang menyangkut geometri
yang rumit terhadap struktur yang kompleks, pada umumnya sulit dipecahkan
melalui matematika analisis. Formulasi dari metode elemen hingga dapat
digunakan untuk mengatasi permasalahan ini. Akibat adanya beban pada
balok, akan mengakibatkan lendutan. Permasalahan ini dapat ditinjau dan
diselesaikan dengan menghitungnya secara elemen hingga.
Konsep yang mendasari metode elemen hingga menurut Bargess, Lesmana,
dan Tallar (2009) adalah prinsip discretization. Discretization atau
diskritisasi adalah membagi sesuatu menjadi bentuk yang lebih kecil dan
penyatuan secara keseluruhan yang dapat menstimulir keadaan tersebut
secara menyeluruh.
7
Katili (2008) menyebutkan bahwa struktur diskrit terbentuk dari gabungan
elemen yang perilakunya diharapkan mewakili perilaku struktur kontinu.
Perilaku masing-masing elemen digambarkan dengan fungsi pendekatan yang
mewakili peralihan dan tegangan yang akhirnya dapat dinyatakan dalam
bentuk persamaan matrik.
B.1. Istilah dalam Metode Elemen Hingga
Beberapa istilah-istilah yang digunakan dalam analisis struktur yang
digunakan dalam metode elemen hingga yang dijelaskan oleh Katili (2008)
adalah sebagai berikut.
1. Beban
Beban adalah semua gaya yang menimbulkan tegangan dan regangan
dalam suatu struktur. Beban nodal (BN) adalah beban terpusat yang
langsung bekerja pada nodal. Beban nodal ekuivalen (BNE) adalah
beban terpusat atau beban merata yang bekerja di antara nodal dan
ditransmisikan menjadi beban nodal.
2. Gaya Nodal Struktur
Gaya nodal struktur adalah resultan atau hasil penggabungan beban
nodal atau reaksi perletakan. Gaya tersebut akan didistribusikan ke
seluruh elemen struktur dan menimbulkan gaya internal geser, aksial,
momen torsi, dan momen lentur sampai akhirnya disalurkan ke
perletakan. Gaya nodal struktur juga berperan dalam menjaga
keseimbangan struktur bebas (free-body structure) bila perletakan
dilepas.
8
3. Gaya Nodal Elemen
Gaya nodal elemen adalah gaya yang muncul pada nodal elemen
dengan peran untuk menjaga keseimbangan elemen bila elemen dilepas
dari struktur sebagai free-body. Gaya nodal elemen ini akan
menghilang bila elemen-elemen dirangkai menjadi satu kesatuan
dengan struktur dan bergabung menjadi gaya nodal struktur.
4. Peralihan Nodal
Peralihan nodal adalah terjadinya perpindahan derajat kebebasan nodal
pada elemen struktur yang dapat berupa rotasi atau translasi dalam arah
horisontal maupun vertikal akibat pembebanan.
5. Nodal Struktur
Nodal struktur adalah titik pertemuan elemen-elemen yang merupakan
acuan dalam merangkai elemen-elemen pembentuk struktur. Pada
nodal struktur gaya nodal struktur dan derajat kebebasan struktur
didefinisikan untuk kemudian dibentuk relasi persamaan kekakuan
struktur.
6. Nodal Elemen
Nodal elemen adalah titik-titik pada elemen dimana gaya nodal elemen
dan derajat kebebasan elemen didefinisikan untuk kemudian dibentuk
suatu persamaan kekakuan elemen.
7. Elemen Struktur
Elemen struktur adalah komponen-komponen pembentuk struktur yang
dibatasi oleh minimal dua nodal.
9
Tujuan utama analisis dengan metode elemen hingga adalah untuk
memperoleh nilai pendekatan (bukan eksak) tegangan dan peralihan pada
suatu struktur. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan
teknik yang seringkali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat
digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan
asumsi tersebut:
1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang
berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat, dan
lain sebagainya).
2. Pada titik-titik pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal,
dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.
3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa
sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh
nilai-nilai titik nodalnya.
4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus memenuhi syarat
hubungan regangan peralihannya dan hubungan tegangan-regangannya.
5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen
dengan menggunakan prinsip usaha atau energi.
6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik
nodal.
7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik
nodal.
8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.
10
9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila
diperlukan.
Beberapa kelebihan dalam penggunaan metode elemen hingga menurut
Susatio (2004), antara lain adalah:
1. Benda dengan bentuk yang tidak teratur dapat dengan mudah dianalisis.
2. Tidak terdapat kesulitan dalam menganalisis beban pada suatu struktur.
3. Pemodelan dari suatu benda dengan komposisi materi yang berlainan
dapat dilakukan karena tinjauan yang dilakukan secara individu untuk
setiap elemen.
4. Dapat menangani berbagai macam syarat batas dalam jumlah yang tak
terbatas.
5. Variasi dalam ukuran elemen memungkinkan untuk memperoleh detail
analisis yang diinginkan.
B.2. Penurunan Matrik Kekakuan Batang
Gambar 1 merupakan gambar suatu elemen rangka dengan penampang
melintang yang konstan, elastik dan linier. Sistem koordinat yang dipakai
dalam Gambar 1 ada 2 macam, yaitu sistem koordinat lokal ( ̅ , ) yang
berlaku hanya untuk elemen tersebut dan sistem elemen global (x , y) yang
berlaku untuk semua elemen yang ada (struktur).
Dengan anggapan bahwa elemen rangka memiliki penampang melintang A
yang konstan, modulus elastis E, dan panjang L. Derajat kebebasan dari
11
nodal adalah displacement lokal ke arah axial (searah elemen rangka)
berturut-turut adalah d1x, d2x masing-masing untuk node 1 dan node 2.
Gambar 1. Elemen Rangka di bawah Pengaruh Gaya Luar F pada Node 1
dan 2
Berikut ini adalah beberapa asumsi yang digunakan untuk menurunkan
persamaan matrik kekakuan elemen.
1. Truss hanya menerima gaya pada arah axial (searah elemen) dan tidak
menerima gaya pada arah lateral (tegak lurus elemen). Oleh karena itu,
F1y dan F2y, masing-masing sama dengan nol.
2. Semua perpindahan ke arah selain arah panjang elemen diabaikan.
3. Elemen mengikuti hukum linier x = E x (pada arah axial).
Persamaan Hooke menyatakan bahwa perpindahan (du) adalah akibat dari
pengaruh gaya luar (F).= .. ..................................................................................(pers. 1)
12
= .................................................................................(pers. 2)= ....................................................................................(pers. 3)
Dimana:
k = koefisien kekakuan pegas
E = modulus elastisitas
A = Luas penampang melintang
L = panjang elemen
Persamaan 2 juga berlaku untuk:
Node 1:= . ( − ) ...........................................................(pers. 4)
Node 2:= . ( − ) ............................................................(pers. 5)
Dalam bentuk matrik persamaan 4 dan 5 dapat dituliskan sebagai:
= . 1 −1−1 1 ...................................................(pers. 6)
Matrik kekakuan lokal adalah:[ ] = . 1 −1−1 1 ................................................................(pers. 7)
B.3. Transformasi pada Sistem Koordinat
Pada Gambar 2, node 1 terletak pada titik A berada pada sistem koordinat
global (x1,y1,z1) dan node 2 pada titik B pada koordinat (x2,y2,z2). Sudut
13
antara koordinat global ̅ dengan sumbu global x, y, z berturut-turut adalah
Ɵx, Ɵy, dan Ɵz. ̅ diambil pada arah longitudinal dari elemen rangka, dalam
arah node 1 ke node 2.
Gambar 2. Elemen dalam Ruang
Akan ditentukan matrik transformasi T* yang akan menghubungkan antara
sistem koordinat global dengan sistem koordinat lokal:̅ = ∗ .................................................................................(pers. 8)
Persamaan awal yang digunakan adalah:̅ = ........................................................................................(pers. 9)
Dalam 3 dimensi, persamaan ditulis sebagai berikut:+ + = + + ..................................(pers. 10)
Dimana:̅ , ̅ , : vektor satuan dalam arah sumbu lokal berturut-turut pada arah
sumbu lokal x’, y’, z’
14
i , j , k : vektor satuan dalam arah sumbu global berturut-turut pada arah x ,
y , z
Perkalian secara skalar (dot product) persamaan dengan i akan dihasilkan
persamaan:+ 0 + 0 = ( ̅ . ) + ( ̅ . ) + ( . ) .....................(pers. 11)
Dari definisi dot product :̅ . = = cos =̅ . = = cos =̅ . = = cos = .....................................................(pers. 12)
Dimana:
L = [(x2 – x1)2 + (y2 – y1)
2 + (z2 – z1)2)]1/2
Substitusi harga-harga dari persamaan 11 ke persamaan 12 diperoleh:1 = Cx dx1 + Cy dy1 + Cz dz12 = Cx dx2 + Cy dy2 + Cz dz2
Kedua persamaan di atas dalam bentuk matriks ditulis:
= 0 0 0 0 0 0[ ∗] ⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫
....................(pers. 13)
Dimana [T*] adalah matrik transformasi.
Pada bagian ini akan diturunkan persamaan yang menghubungkan matrik
kekakuan dalam koordinat global [K] dengan matriks kekakuan dalam
koordinat lokal [ ].
15
Gambar 3. Transformasi Sistem Koordinat Global ke Sistem Koordinat
Lokal
Koordinat titik A yang berada dalam Sistem Koordinat Lokal. Untuk
keperluan ini akan diturunkan terlebih dahulu persamaan Matrik
Transformasi yang akan memindahkan sistem koordinat tersebut.
Pengembangan dari matrik transformasi yang diperoleh, akan
dikembangkan untuk kasus dalam ruang tiga dimensi. Dalam sistem
koordinat global, koordinat A(x,y) dan dalam sistem koordinat lokal,
koordinat A(OC,AC).̅ = = + = + = Ɵ + Ɵ........(pers. 14)= = − = Ɵ − Ɵ...............................(pers. 15)
Kedua persamaan 14 dan persamaan 15 ditulis dalam bentuk matrik menjadi
sebagai berikut:̅ = Ɵ Ɵ− Ɵ Ɵ ………………………………………(pers. 16)
Jika cosƟ = γ dan sinƟ = µ, maka matrik transformasi koordinat global ke
koordinat lokal adalah:
16
[ ] = μ−μ ……………………… .……………………….......(pers. 17)
Satu titik (x1,y1) pada koordinat global dinyatakan dalam koordinat lokal
yang membentuk sudut Ɵ dengan sumbu koordinat global adalah:
= Ɵ Ɵ− Ɵ Ɵ ……………………………….......(pers. 18)
Demikian juga titik (x2,y2) dalam koordinat global, jika dalam koordinat
lokal menjadi:
= Ɵ Ɵ− Ɵ Ɵ ……………………………….......(pers. 19)
Sebuah elemen dibatasi oleh 2 buah node (x1,y1) dan (x2,y2) pada koordinat
global, maka elemen tersebut dalam koordinat lokal menjadi:
= −μ00μ0000−μ00μ
[ ]…………………………….......(pers. 20)
[T2] adalah matrik transformasi elemen dengan 2 node dari koordinat global
ke koordinat lokal.
x,y tanpa garis di atasnya (bar) menandakan sistem koordinat global,
sedangkan ̅ , (memakai garis atas atau bar) menandakan sistem koordinat
lokal.
Matrik transformasi koordinat lokal ke koordinat global adalah:[ ] = μ−μ …………………………………………………….(pers. 21)
Matrik transformasi koordinat global ke koordinat lokal adalah:[ ] = μ−μ …………………………………………………….(pers. 22)
17
Seperti halnya dengan persamaan 20, maka matrik transformasi koordinat
lokal ke global adalah:
= −μ00μ0000−μ00μ
[ ]…………………………….......(pers. 23)
Dapat ditulis:[ ] = 00 ……………………………………………… .........(pers. 24)
Persamaan 23 dapat ditulis dalam kaitannya dengan displacement nodal
sebagai:
= [ ] ……………………………… .………….......(pers. 25)
Dalam bentuk simbol ditulis sebagai:
{q}xy = [T2] { }( )…………………………………… . . …….......(pers. 26)
Rumus-rumus transformasi seperti di atas berlaku juga untuk
mentransformasikan vektor gaya seperti dilakukan di bawah ini (lokal ke
global).
= [ ] ̅ untuk node 1 yang dikenai gaya
= [ ] ̅ untuk node 2 yang dikenai gaya
Transformasi dari sebuah elemen yang berbatas dari 2 buah node, node 1
dan node 2, yang masing-masing dikenai gaya Fx1, Fy1, Fx2, dan Fy2
diperoleh hubungan:
18
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫ = [ ] ⎩⎨
⎧ ̅̅ ⎭⎬⎫…………………… . . …… .………….......(pers. 27)
Dalam bentuk simbol ditulis:
{Q}xy = [T2] {Q}(xy) ……………………………… .… . . …….......(pers. 28)
(lokal ke global) yang diketahui adalah vektor kolom pada ruas kanan.
Dalam sistem koordinat lokal berlaku{ }( ) = [ ]( ) { }( )………………………… .… . . …….......(pers. 29)
Dalam sistem koordinat global berlaku{ }( ) = [ ]( ) { }( )………………………… .… . . …….......(pers. 30)
Substitusi {q}xy dari persamaan 29 ke persamaan 30 diperoleh{ }( ) = [ ]( ) [ ] { }( )……………………… .…….........(pers. 31)
Dari persamaan 26.
{q}xy = [T2] { }( ) maka; { }( ) = [T2]-1{q}xy .......................(pers. 32)
Karena matrik [T2] bersifat orthogonal, maka; [T2]-1 = [T2]T
Persamaan terakhir menjadi { }( ) = [T2]T {q}xy
Substitusikan kembali hasil di atas dengan persamaan 29, sehingga menjadi
sebagai berikut:{ }( ) = [ ]( ) [T ] {q} ...................................................(pers. 33)
Dari persamaan.{ }( ) = [T ] {Q} ..............................................................(pers. 34)
Kedua persamaan 33 dan persamaan 34 ekuivalen, maka:[T ] {Q} = [ ]( ) [T ] {q}
19
Perkalian dari awal persamaan ini dengan [T2], maka:[T ] [T ] {Q} = [T ] [ ]( ) [T ] {q}{ }( ) = [T ] [ ]( ) [T ][ ]( ) {q}Lihat kembali persamaan 30
Jadi:[ ]( ) = [T ] [ ]( ) [T ] ....................................................(pers. 35)
Persamaan 35 ini mentransformasikan matrik kekakuan dalam koordinat
lokal ke koordinat global. Sehingga dapat diturunkan persamaan matrik
kekakuan dalam koordinat global sebagai berikut:
[ ] =⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 000
000⎦⎥⎥⎥⎥⎤ . 1 −1−1 1 0 0 0 0 0 0
[ ] = .⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡−−− −−−
−−−−−−
−−− −−−⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
....................................................(pers. 35)[ ] = − − ........................................................................(pers. 36)
Dimana:
[ ] = .
20
B.4. Kompatibilitas, Keseimbangan, Penentuan dari Matrik Kekakuan
Diketahui konstruksi seperti Gambar 4.
Gambar 4. Penomoran untuk Nodal dan Batang
Tabel 1. Penomoran Simpul pada Elemen
Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir)
a 1 2
b 2 3
c 1 3
d 4 5
e 5 6
f 4 6
g 2 5
h 2 6
i 3 5
21
Untuk elemen a (dibatasi oleh node 1 dan node 2),= , = , == panjang elemen a = ( − ) + ( − ) + ( − )
Sub matrik Ka adalah
[ ] =Matrik kekakuan elemen a adalah:
[ ] = . − −Untuk elemen a (dibatasi oleh node 2 dan node 3),= , = , =
= panjang elemen b = ( − ) + ( − ) + ( − )Sub matrik Kb adalah
[ ] =Matrik kekakuan elemen b adalah:
[ ] = . − −Untuk elemen c (dibatasi oleh node 1 dan node 3),= , = , =
= panjang elemen c = ( − ) + ( − ) + ( − )
22
Sub matrik Kc adalah
[ ] =Matrik kekakuan elemen c adalah:
[ ] = . − −Untuk elemen d (dibatasi oleh node 4 dan node 5),= , = , =
= panjang elemen d = ( − ) + ( − ) + ( − )Sub matrik Kd adalah
[ ] =Matrik kekakuan elemen d adalah:
[ ] = . − −Untuk elemen e (dibatasi oleh node 5 dan node 6),= , = , =
= panjang elemen e = ( − ) + ( − ) + ( − )Sub matrik Ke adalah
[ ] =Matrik kekakuan elemen e adalah:
[ ] = . − −
23
Untuk elemen f (dibatasi oleh node 4 dan node 6),= , = , == panjang elemen f = ( − ) + ( − ) + ( − )
Sub matrik Kf adalah
=Matrik kekakuan elemen f adalah:
= . − −Untuk elemen g (dibatasi oleh node 2 dan node 5),= , = , =
= panjang elemen g = ( − ) + ( − ) + ( − )Sub matrik Kg adalah
=Matrik kekakuan elemen g adalah:
= . − −Untuk elemen h (dibatasi oleh node 2 dan node 6),= , = , =
= panjang elemen h = ( − ) + ( − ) + ( − )
24
Sub matrik Kh adalah
[ ] =Matrik kekakuan elemen h adalah:
[ ] = . − −Untuk elemen i (dibatasi oleh node 3 dan node 5),= , = , =
= panjang elemen i = ( − ) + ( − ) + ( − )Sub matrik Ki adalah
[ ] =Matrik kekakuan elemen i adalah:
[ ] = . − −Untuk sistem koordinat:
{ } = = ̅̅{ } = = ̅̅{ } = = ̅̅{ } = = ̅̅{ } = = ̅̅
25
= = ̅̅= = ̅̅
{ } = = ̅̅{ } = = ̅̅Sebagai syarat kompatibilitas, maka ditetapkan:̅ = ̅ = ̅̅ = ̅ = ̅ = ̅ = ̅̅ = ̅ = ̅ = ̅̅ = ̅ = ̅̅ = ̅ = ̅ = ̅ = ̅̅ = ̅ = ̅ = ̅Dan dalam titik simpul harus memenuhi syarat keseimbangan. Pada titik
simpul 1 berlaku:
{ } =Tanda dan arah gaya:
Gambar 5. Tanda dan Arah Gaya{ } = { } + { }+
_
26
{ } = { } + { } + { } +{ } = { } + { } + { }{ } = { } +{ } = { } + { } + + { }{ } = { } + { } +Dengan demikian didapat:{ } = { } ̅ + { } ̅ + { } ̅ + { } ̅{ } = { } ̅ + { } ̅ + { } ̅ + { } ̅+ { } ̅ + { } ̅ + ̅+ ̅{ } = { } ̅ + { } ̅ + { } ̅ + { } ̅+ { } ̅ + { } ̅{ } = { } ̅ + { } ̅ + ̅ + ̅{ } = { } ̅ + { } ̅ + { } ̅ + { } ̅+ ̅ + ̅ + { } ̅ + { } ̅{ } = { } ̅ + { } ̅ + { } ̅ + { } ̅+ ̅ + ̅Diubah ke dalam bentuk matrik seperti yang ditunjukkan pada Pers. 37 di
halaman 29.
27
B.5. Syarat Batas (boundary condition), Perpindahan Titik dan Gaya Batang
Titik 1, 3, 4, dan 6 merupakan tumpuan sendi, maka tidak terjadi
perpindahan
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ̅̅̅̅̅̅ ⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ =
⎩⎪⎨⎪⎧ 0̅00̅0 ⎭⎪⎬⎪⎫
Gaya yang terjadi pada titik 2 dan 5
{ } = = 0−0 dan { } = = −00Sehingga bentuk matrik struktur menjadi seperti yang ditunjukkan pada
Pers. 38 di halaman 30.
Untuk mencari gaya batang, menggunakan rumus:
{ } = [ ] ̅Dimana:
[ ] = .⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡−−− −−−
−−−−−−
−−− −−−⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
Untuk gaya batang a:
{ } = = ̅̅
28
Dimana:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ = .
Dengan memasukkan nilai dari ̅ , ̅ , dan ̅ maka matrik menjadi:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ = .
Dengan memasukkan nilai dari A, E, L, maka didapatlkan gaya batang a.
29
....................................................................................... (Pers. 37){ } = [ ] ̅Dimana:̅ = vektor dari perpindahan (displacement)[ ] = matrik kekakuan
30
....................................................................................... (Pers. 38)
Dengan memasukkan nilai { } dan { } , maka matrik menjadi:
31
C. Dasar-dasar Pemrograman dengan MATLAB
C.1. Pendahuluan
Menurut Sianipar (2013), MATLAB (Matrix Laboratory) adalah suatu
paket perangkat lunak yang mampu untuk melakukan komputasi,
menganalisis data, mengembangkan algoritma, melakukan simulasi dan
pemodelan, dan menghasilkan tampilan grafik dan antarmuka grafikal.
Matlab merupakan bahasa pemrograman yang hadir dengan fungsi dan
karakteristik yang berbeda dengan bahasa pemrograman lain seperti Delphi,
Basic, maupun C++.
Matlab hadir dengan membawa warna yang berbeda. Hal ini karena Matlab
membawa keistimewaan dalam fungsi-fungsi matematika, fisika, statistik,
dan visualisasi. Matlab dikembangkan oleh MathWorks, yang pada
awalnya dibuat untuk memberikan kemudahan mengakses data matrik pada
proyek LINPACK dan EISPACK.
C.2. Lingkungan Kerja Matlab
C.2.I. Beberapa Bagian dari Window Matlab
Current Directory
Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan
Matlab. Kita dapat mengganti direktori ini sesuai dengan tempat
direktori kerja yang diinginkan. Default dari alamat direktori berada
dalam folder works tempat program files Matlab berada.
32
Command History
Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-perintah apa saja
yang sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap Matlab.
Command Window
Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat
untuk menjalankan fungsi, mendeklarasikan variabel, menjalankan
proses-proses, serta melihat isi variabel.
Workspace
Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel
yang sedang aktif pada saat pemakaian Matlab. Apabila variabel
berupa data matriks berukuran besar maka user dapat melihat isi dari
seluruh data dengan melakukan double click pada variabel tersebut.
Matlab secara otomatis akan menampilkan window “array editor”
yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user.
Getting Help
Matlab menyediakan fungsi help yang tidak berisikan tutorial lengkap
mengenai Matlab dan segala keunggulannya. User dapat menjalankan
fungsi ini dengan menekan tombol pada toolbar atau menulis perintah
‘helpwin’ pada command window. Matlab juga menyediakan fungsi
demos yang berisikan video tutorial Matlab serta contoh-contoh
program yang bisa dibuat dengan Matlab.
33
C.2.II. Interupting dan Terminating dalam Matlab
Untuk menghentikan proses yang berjalan pada Matlab dapat dilakukan
dengan menekan tombol Ctrl+C. Sedangkan untuk keluar dari Matlab
dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exit atau quit pada command
window atau dengan menekan menu exit pada bagian menu file dari menu
bar.
Gambar 6. Tampilan Layar dari Matlab
C.2.III. Variabel pada Matlab
Matlab hanya memiliki 2 jenis tipe data yaitu Numeric dan String.
Dalam matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User
dapat langsung menuliskan variabel baru tanpa harus
mendeklarasikannya terlebih dahulu pada command window.
Persamaan variabel pada Matlab bersifat caseSensitif karena itu perlu
diperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan variabel.
Apabila terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka Matlab
34
secara otomatis akan me-replace variabel lama tersebut dengan variabel
baru yang dibuat user.
Dapat diasumsikan bahwa di dalam Matlab setiap data akan disimpan
dalam bentuk matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada Matlab,
setiap isi data harus dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan
kurung siku tutup ‘]’. Untuk membuat variabel dengan data yang terdiri
dari beberapa baris, gunakan tanda ‘titik koma’ (;) untuk memisahkan
data tiap barisnya.
Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk
menghasilkan bentuk-bentuk matriks yang diinginkan.
Fungsi-fungsi tersebut antara lain:
- Zeros
Untuk membuat matrik yang semua datanya bernilai 0
- Ones
Matrik yang semua datanya bernilai 1
- Rand
Matrik dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform
- Randn
Matrik dengan data random dengan menggunakan distribusi normal
- Eye
Untuk menghasilkan matrik identitas
35
Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk
operasi matematika antara lain sebagai berikut:
- Abs(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x
- Sign(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0, dan 1 jika
x>1
- Exp(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai eksponensial natural
- Log(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai logaritma natural
- Log10(x)
Fungsi untuk menghasilkan nilai logaritma dengan absis 10
- Sqrt(x)
Fungsi untuk menghasilkan akar dari nilai x
- Rem(x,y)
Fungsi untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap
y
C.2.IV. M File
Di dalam Matlab, kita dapat menyimpan semua script yang akan
digunakan dalam file pada Matlab dengan ekstensi .M. M-File dapat
dipanggil dengan memilih file>new>M-File.
36
Gambar 7. Contoh Gambar M-File
Di dalam M-File, kita dapat menyimpan semua perintah dan
menjalankan dengan mengetikkan nama M-File yang kita buat pada
command window. Di dalam M-File, kita dapat menuliskan fungsi-
fungsi yang berisikan berbagai operasi sehingga menghasilkan data
yang diinginkan.
C.2.V. Langkah-langkah Penyelesaian Metode Elemen Hingga dengan
Matlab
1. Tentukan matrik kekakuan lokal dari struktur = [K]lokal
2. Transformasikan matrik untuk global ke sistem sumbu lokal = [T]
3. Konversi matrik untuk sumbu lokal ke sistem sumbu global
4. Bentuk matrik kekakuan sumbu global setiap elemen =
[K]global
5. Bentuk matrik kekakuan sistem sumbu global dengan superposisi =
[K]sis
6. Bentuk matrik vektor beban dengan superposisi [Q]sis & [P]sis
7. Bentuk persamaan keseimbangan [K](d) + (f) = (P)
37
8. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu global
[P]global
9. Hitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu lokal [P]lokal
= [T] (P)global
10. Hitung gaya-gaya dalam struktur per elemen
D. Program SAP2000
SAP2000 merupakan program yang menghadirkan state of the art dalam
teknologi tiga dimensi finite element method bagi struktur teknik. SAP2000
mampu menggeser tugas menghitung yang rumit ke konsep perilaku struktur,
pembagian beban dan analisa output sehingga konsep perancangan jauh lebih
baik. SAP2000 dapat mengambil tugas analisis struktur karena jika kita sudah
melakukan input data dengan benar, maka proses analisis akan langsung
diambil alih oleh SAP2000 dan prosesnya pun tergolong sangat cepat.
Secara garis besar, perhitungan analisis struktur rangka dengan SAP2000 akan
melalui beberapa tahap, yaitu:
1. Menentukan geometri model struktur
2. Mendefinisikan data-data, seperti jenis dan kekuatan bahan, dimensi
penampang elemen struktur, macam beban, dan kombinasi pembebanan
3. Menempatkan data-data yang telah didefinisakan ke model struktur,
seperti data beban dan data penampang
4. Memeriksa input data
5. Analisis mekanika teknik
III. METODOLOGI PENELITIAN
A. Umum
Metodologi penelitian merupakan suatu cara peneliti bekerja untuk
memperoleh data yang dibutuhkan yang selanjutnya akan digunakan untuk
dianalisa sehingga memperoleh kesimpulan yang ingin dicapai dalam
penelitian. Metodologi penelitian ini bertujuan untuk mempermudah
pelaksanaan dalam melakukan penelitian guna memperoleh pemecahan
masalah dengan maksud dan tujuan yang telah ditetapkan secara sistematis.
B. Bahan dan Alat
1. Bahan
Bahan – bahan yang digunakan dalam penelitian ini adalah :
a. Materi mengenai contoh perhitungan rangka ruang (space truss) dengan
menggunakan metode elemen hingga.
b. Bahasa pemrograman Matlab.
c. Panduan analisis struktur dengan SAP2000.
2. Alat
Alat- alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
a. Komputer atau laptop
39
Dalam penelitian ini saya menggunakan laptop Acer 4741, dengan
Processor Intel Core i3, RAM 1 GB, System tipe 32-bit operating
system.
b. Mouse dan Keyboard
c. Perangkat lunak
Perangkat lunak atau software yang dipakai dalam analisis perhitungan
gaya internal aksial pada rangka ruang, meliputi:
1. Program Matlab
2. Program SAP2000
C. Metode Penelitian
Dalam pelaksanaan penelitian ini menggunakan dua metode yaitu metode
analisis dengan Program Matlab dan metode analisis dengan Program
SAP2000.
1. Metode Analisis dengan Matlab
Metode analisis dengan script programming yang dipakai dalam analisis
ini adalah dengan menggunakan Matlab (Matrix Laboratory), dengan
langkah-langkah sebagai berikut.
1. Menentukan matriks kekakuan lokal dari struktur = [K]lokal
2. Mentransformasikan matriks untuk global ke sistem sumbu lokal = [T]
3. Mengkonversi matriks untuk sumbu lokal ke sistem sumbu global
4. Membentuk matriks kekakuan sumbu global setiap elemen= [K]global
5. Membentuk matriks kekakuan sistem sumbu global dengan
superposisi = [K]sis
40
6. Membentuk matriks vektor beban dengan superposisi [Q]sis & [P]sis
7. Membentuk persamaan keseimbangan [K](d) + (f) = (P)
8. Mengitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu global
[P]global
9. Menghitung reaksi dan perpindahan nodal per sistem sumbu lokal
[P]lokal = [T] (P)global
10. Menghitung gaya-gaya dalam struktur per elemen
File-file Matlab yang dibentuk pada waktu pemrograman antara lain
adalah:
1. File fungsi extract (extract.m), file ini berfungsi untuk mengekstrak
matriks dengan indeks informasi baris dan kolom
2. File fungsi assembly (assembly.m), file ini berfungsi untuk merangkai
berdasarkan informasi baris dan kolom pada bahasa mesin (assembly)
sehingga dapat mempercepat proses analisis matriks
3. File fungsi sdata (sdata.m), file ini berfungsi untuk membaca masukan
data berupa jenis portal, koordinat, batang elastisitas, luas penampang,
dan inersia penampang
4. File fungsi ldata (ldata.m), file ini berfungsi untuk membaca masukan
data berupa beban terpusat dan beban batang, serta kekangan dari
perletakan.
5. File fungsi t3d_stiff (t3d_stiff.m), file ini berfungsi untuk membentuk
matriks kekakuan sumbu lokal, matriks transformasi dan matriks
kekakuan sumbu global.
41
6. File fungsi analysis_result (analysis_result.m), file ini berfungsi untuk
menganalisis matriks kekakuan sumbu lokal dan kekakuan sumbu
global, serta matriks vektor beban dan dengan syarat batas dihitung
reaksi perletakan dari struktur serta perpindahan nodal serta gaya-gaya
dalam pada setiap elemen.
7. File fungsi print_result (print_result.m), file ini berfungsi utnuk
menampilkan hasil berupa reaksi perletakan, perpindahan nodal, dan
gaya batang pada monitor dalam bentuk text.
2. Metode Analisis dengan SAP2000
Secara garis besar, perhitungan analisis struktur rangka dengan SAP2000
akan melalui beberapa tahap, yaitu:
1. Menentukan geometri model struktur
2. Mendefinisikan data-data, seperti jenis dan kekuatan bahan, dimensi
penampang elemen struktur, macam beban, dan pembebanan
3. Menempatkan data-data yang telah didefinisikan ke model struktur,
seperti data beban dan data penampang
4. Memeriksa input data
5. Analisis mekanika teknik
42
D. Model Rangka Ruang (Space Truss)
Gambar 8. Menara Air
Model rangka ruang yang dipakai pada penelitian ini adalah menara air yang
terletak di depan Laboratorium Jalan Raya Jurusan Teknik Sipil Fakultas
Teknik Universitas Lampung. Bentuk dari konstruksi yang akan dihitung
berupa menara air dengan tinggi 14 meter, panjang alas 4 meter, dan lebar
alas 4 meter, panjang dan lebar di ketinggian 14 meter sebesar 2,6 meter,
dengan volume air yang dibebankan sebesar 5 m3.
42
D. Model Rangka Ruang (Space Truss)
Gambar 8. Menara Air
Model rangka ruang yang dipakai pada penelitian ini adalah menara air yang
terletak di depan Laboratorium Jalan Raya Jurusan Teknik Sipil Fakultas
Teknik Universitas Lampung. Bentuk dari konstruksi yang akan dihitung
berupa menara air dengan tinggi 14 meter, panjang alas 4 meter, dan lebar
alas 4 meter, panjang dan lebar di ketinggian 14 meter sebesar 2,6 meter,
dengan volume air yang dibebankan sebesar 5 m3.
42
D. Model Rangka Ruang (Space Truss)
Gambar 8. Menara Air
Model rangka ruang yang dipakai pada penelitian ini adalah menara air yang
terletak di depan Laboratorium Jalan Raya Jurusan Teknik Sipil Fakultas
Teknik Universitas Lampung. Bentuk dari konstruksi yang akan dihitung
berupa menara air dengan tinggi 14 meter, panjang alas 4 meter, dan lebar
alas 4 meter, panjang dan lebar di ketinggian 14 meter sebesar 2,6 meter,
dengan volume air yang dibebankan sebesar 5 m3.
43
E. Diagram Alir Penelitian
Diagram alir analisis perhitungan gaya internal rangka bidang dengan
menggunakan metode elemen hingga adalah sebagai berikut:
Gambar 9. Diagram Alir Penelitian
Menentukan model rangka ruang
Menentukan tinggi menara (H), panjangmenara (P), lebar menara (L), diameter
tangki (d), tinggi tangki (t), profil baja, luasprofil (A), Ebaja
Menghitung gaya aksial, displacement,joint reaction
Mulai
Selesai
44
Pengolahan data untuk mendapatkan gaya internal pada rangka bidang ini
menggunakan bantuan Program Matlab, dengan diagram alir yang dapat
dilihat dibawah ini:
Gambar 10. Diagram Alir Penelitian dengan Matlab
Fungsi assembly
Fungsi extract
Fungsi truss3d
Fungsi sdata
Fungsi t3d_stiff
Fungsi analysis_result
Fungsi print_result
Mulai
Selesai
45
Pengolahan data untuk mendapatkan gaya internal pada rangka bidang ini
juga menggunakan Program SAP2000 yang digunakan sebagai pembanding
dari hasil yang diperoleh dengan menggunakan Matlab, dengan diagram alir
yang dapat dilihat dibawah ini:
Gambar 11. Diagram Alir Penelitian dengan SAP2000
Menentukan geometri model struktur
Mendefinisikan data-data(jenis dan modulus elastisitas, dimensi penampangelemen struktur, macam beban, dan pembebanan)
Menempatkan data-data yang telahdidefinisikan ke model struktur, seperti data
beban dan data penampang
Mulai
Selesai
Memeriksa input data
Analisis Mekanika Teknik
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
1. Dengan dibuatnya program MATLAB untuk menganalisis rangka ruang,
perhitungan perpindahan titik, reaksi tumpuan serta gaya batang elemen
lebih mudah dan efisien.
2. Perhitungan dengan program ini dapat dilakukan dengan sangat cepat,
dibandingkan dengan perhitungan manual.
3. Selisih hasil perhitungan dengan menggunakan program MATLAB dan
program SAP2000 kurang dari 5% yang diakibatkan adanya pembulatan
koma.
4. Program MATLAB yang dibuat harus sesuai dengan ketentuan input
program yang ada, sehingga program dapat berjalan sesuai dengan fungsi-
fungsi yang ada.
81
B. Saran
1. Dengan adanya program ini diharapkan nantinya akan ada lagi
pengembangan dan penambahan program MATLAB untuk berbagai tipe
struktur.
2. Diperlukannya ketelitian dalam membuat bahasa pemrograman MATLAB
agar fungsi yang ada dapat dijalankan.
3. Diharapkan bagi para pengguna menjadikan program MATLAB untuk
menganalisis rangka ruang ini sebagai sarana pembelajaran, khususnya
untuk mahasiswa teknik sipil.
DAFTAR PUSTAKA
Alkaff, M. Firdaus. 2004. MATLAB 6 untuk Teknik Sipil. Maxikom. Palembang.
Anonim. 2002. SNI 03-1729-2002. Tata Cara Perencanaan Struktur Baja untukBangunan Gedung.
Bargess, M. F., C. Lesmana, dan R. Y. Tallar. 2009. Analisis struktur bendungdengan metode elemen hingga. Jurnal Teknik Sipil. Volume 5 Nomor 1.
Katili, I. 2008. Metode Elemen Hingga untuk Skeletal. PT. RajaGrafindo Persada.Jakarta.
Purba, Sadvent M. Dan J. Tarigan. 2012. Analisa Perbandingan PerhitunganElemen Hingga dengan Menggunakan Elemen Segitiga (Constant StrainTriangle) dan Elemen Segiempat (Bilinear Quadrilateral). UniversitasSumatera Utara. Medan.
Sianipar, R.H. 2013. Pemrograman MATLAB dalam Contoh dan Penerapan.INFORMATIKA. Bandung.
Sitorus, DP. 2013. Relevansi Metode Ritter dan Metode Elemen Hingga denganProgram Matlab pada Rangka Batang. Jurnal Teknik Sipil USU.
Susatio, Yerri. 2004. Dasar-dasar Metode Elemen Hingga. ANDI. Yogyakarta.
Universitas Lampung. 2010. Format Penulisan Karya Ilmiah UniversitasLampung. Universitas Lampung. Bandar Lampung.
