Skriptum zur Vorlesung Analysis 1 - Universität Innsbruck · 2020. 2. 20. · Skriptum zur Vorlesung Analysis 1 Tobias Hell & Alexander Ostermann Universit at Innsbruck Wintersemester

Skriptum zur Vorlesung

Analysis 1

Tobias Hell & Alexander Ostermann

Universität Innsbruck

Wintersemester 2019/2020

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.3 Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Reelle Funktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.1 Potenz- und Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7.2 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . 291.7.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.4 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.1 Komplexe Exponentialfunktion und Polardarstellung . . 36

1.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1 Grenzwerte reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3 Grenzwerte für x→ ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4 Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.6 Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.7 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.8 Ausblick: Grenzwerte der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 82

iii

iv Inhaltsverzeichnis

2.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1 Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3 Mittelwertsätze der Differentialrechnung und ihre

Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3 Der Logarithmus als Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.4 Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5 Skalare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . . 1425.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . 1435.3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 1455.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.1 Teilfolgen und Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.2 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.3 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.3.1 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.4 Vergleichskriterien für uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . 1596.5 Taylor-Formel und Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7 Gleichmäßige Konvergenz und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . 1697.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . 1697.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8 Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen . . . . . . . . . . . 1778.1 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.2 Zwei Approximationssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.1 Approximationssatz von Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859.2 Wärmeleitung in einem Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.3 Partialbruchzerlegung des Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Inhaltsverzeichnis v

9.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.5 Konvergenz im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A Kardinalität und das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199A.1 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199A.2 Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Kapitel 1

Grundlagen

In diesem einführenden Kapitel werden einige mathematische Grundlagenbesprochen und näher beleuchtet. An erster Stelle stehen dabei logische Aus-sagen.

1.1 Aussagenlogik

Unter einer (logischen) Aussage versteht man jeden Satz, über den man sinn-vollerweise sagen kann, dass er entweder wahr oder falsch ist. Man kann einerAussage also stets den Wahrheitswert

”wahr“ oder

”falsch“ zuordnen. Man

beachte, dass eine Aussage nicht gleichzeitig wahr und falsch sein kann.

Beispielsweise ist

”Die Summe zweier positiver reeller Zahlen ist stets positiv.“

eine wahre Aussage und

”Das Quadrat einer reellen Zahl ist negativ.“

eine falsche Aussage. Hingegen handelt es sich bei

”Dieser Satz ist falsch.“

um keine logische Aussage.

Möchte man das (mathematische) Objekt a mit der Bezeichnung b versehen,so schreibt man

b := a . (Definition)

Man sagt dann, dass b für a steht oder b definitionsgemäß gleich a ist. Solldie Aussage

”3 ist eine Primzahl“ mit A bezeichnet werden, schreibt man

A :=”3 ist eine Primzahl“.

1

2 1 Grundlagen

Aus Aussagen können neue Aussagen gebildet werden. Ist A eine Aussage,so bezeichnen wir mit ¬A die Negation von A (

”nicht A“), wobei ¬A wahr

ist, wenn A falsch ist, und falsch ist, falls A wahr ist. Dies kann wie folgt ineiner Wahrheitstafel zusammengefasst werden, wobei

”w“ für wahr und

”f“

für falsch steht.

A ¬Aw f

f w

Ist B eine weitere Aussage, so nennt man die Aussage A ∧ B (”A und B“)

Konjunktion und die Aussage A ∨ B (”A oder B“) Disjunktion von A und

B. Dabei ist A ∧ B wahr, falls sowohl A als auch B wahr sind, ansonstenfalsch. Andererseits ist A ∨ B falsch, falls sowohl A als auch B falsch sind,andernfalls wahr, vgl. untenstehende Wahrheitstafel.

A B A ∧B A ∨Bw w w w

w f f w

f w f w

f f f f

Man bezeichnet ∧ und ∨ auch als Junktoren, da diese zwei Aussagen mitein-ander verbinden.

Die zusammengesetzte Aussage

A⇒ B := ¬A ∨B

bezeichnet man als Implikation (”aus A folgt B“ oder

”A impliziert B“).

Somit ist A ⇒ B wahr, falls sowohl A als auch B wahr ist oder A falschist, und daher nur dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch. Aus einerfalschen Aussage kann also sowohl eine wahre als auch eine falsche Aussagegefolgert werden, hingegen kann aus einer wahren Aussage nur eine wahreAussage folgen. Ist A⇒ B wahr, so sagt man, dass A hinreichend für B undB notwendig für A ist.

A B A⇒ Bw w w

w f f

f w w

f f w

1.1 Aussagenlogik 3

Dass aus wahren Aussagen nur wahre Aussagen gefolgert werden können,führt auf eine der grundlegenden Beweistechniken und zwar auf den direk-ten Beweis. Dabei startet man mit einer Annahme A , also einer wahrenAussage, und zeigt durch logische Schlussfolgerungen die Richtigkeit einerinteressierenden Aussage B . Man möchte also zeigen, dass A⇒ B wahr ist.Schematisch lässt sich das Vorgehen wie folgt darstellen:

Annahme A|

logische Schlussfolgerungen↓

Konklusion B

Beispiel 1.1 (Direkter Beweis). Wir wollen den Satz

”das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist ungerade“

beweisen, also zeigen, dass es sich hierbei um eine wahre Aussage handelt.

Annahme: Es sei n eine ungerade natürliche Zahl.

Zu beweisende Aussage: Die natürliche Zahl n2 ist ungerade.

Wir gehen also davon aus, dass es sich bei n um eine ungerade natürlicheZahl handelt. Für n = 1 ist die zu beweisende Aussage offensichtlich wahr,für n > 1 können wir eine weitere natürliche Zahl k finden können, sodass

n = 2k + 1.

Dies wiederum impliziert

n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k)︸︷︷︸gerade

+1,

woraus wir unmittelbar auf die Richtigkeit der zu beweisenden Aussageschließen. �

Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist durch

A⇔ B := (A⇒ B) ∧ (B ⇒ A) (”A gilt genau dann, wenn B gilt“)

gegeben. Damit sind zwei Aussagen äquivalent, wenn ihre Wahrheitswerteübereinstimmen, also falls A notwendig und hinreichend für B ist.

4 1 Grundlagen

A B A⇔ B (A ∧B) ∨ (¬A ∧ ¬B)w w w w

w f f f

f w f f

f f w w

Satz 1.2 (De Morgansche∗Regeln für Aussagen). Es seien A und Bzwei Aussagen. Dann gilt

¬(A ∧B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B sowie ¬(A ∨B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B.

Beweis. Diese beiden Äquivalenzen können leicht mittels einer Wahrheitsta-fel nachgeprüft werden. Wir widmen uns der ersten Äquivalenz, die zweiteverbleibt als Übung, siehe Aufgabe (1.1). Wir müssen also nachweisen, dass¬(A ∧B) und ¬A ∨ ¬B stets denselben Wahrheitswert besitzen.

A B A ∧B ¬A ¬B ¬(A ∧B) ¬A ∨ ¬Bw w w f f f f

w f f f w w w

f w f w f w w

f f f w w w w

Aus obiger Wahrheitstafel geht dies jedoch unmittelbar hervor. ut

Wie man leicht verifiziert, gilt

(A⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A), (∗)

vgl. Aufgabe (1.2). Diese Äquivalenz liegt dem indirekten Beweis, diesennennt man auch Widerspruchsbeweis, zugrunde. Dabei nimmt man an, ¬Bwäre wahr (Widerspruchsannahme), und zeigt die Richtigkeit von ¬B ⇒¬A , man führt also die Annahme A zu einem Widerspruch. Aufgrund derÄquivalenz (∗) ist damit dann A ⇒ B gezeigt. Schematisch lässt sich einBeweis durch Widerspruch wie folgt darstellen:

Widerspruchsannahme ¬B|

logische Schlussfolgerungen↓

Widerspruch zu A

Beispiel 1.3 (Indirekter Beweis). Es sei n eine natürliche Zahl. Wir zei-gen

∗Augustus De Morgan, 1806–1871, englischer Mathematiker

1.2 Mengen und Abbildungen 5

n2 gerade =⇒ n gerade.

Diese Aussage ist jedoch äquivalent zur Aussage

n ungerade =⇒ n2 ungerade,

welche wir bereits in Beispiel 1.1 bewiesen haben. �

Beispiel 1.4 (√

2 ist irrational). Wir zeigen durch Widerspruch, dass eskeine rationale Zahl x ∈ Q mit

x2 = 2

gibt. Dazu treffen wir die Widerspruchsannahme, dass es ein x ∈ Q mitx2 = 2 gibt. Wir können o. B. d. A. x > 0 annehmen. In diesem Fall könnenwir teilerfremde natürliche Zahlen m und n finden, sodass

x =m

n.

Durch Quadrieren obiger Gleichung und anschließende Multiplikation mit n2

erhalten wirm2 = 2n2.

Somit ist m2 gerade und nach Beispiel 1.3 daher auch m gerade. Folglichkönnen wir eine natürliche Zahl k finden, sodass m = 2k. Setzen wir für mein, so führt dies auf

4k2 = 2n2.

Dies impliziert, dass auch n gerade ist. Somit sind m und n beide gerade,insbesondere ist also 2 ein gemeinsamer Teiler. Dies steht jedoch im Wider-spruch zur Annahme, dass m und n teilerfremd sind. �

1.2 Mengen und Abbildungen

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, dieseObjekte werden Elemente der Menge genannt. Ist X eine Menge und x einElement von X, so schreiben wir

x ∈ X.

Weiters setzen wirx /∈ X := ¬(x ∈ X).

Mengen können im Wesentlichen auf zwei Arten angegeben werden.

6 1 Grundlagen

Aufzählen der Elemente. Dabei werden die Elemente zwischen zwei ge-schwungene Klammern (

”Mengenklammern“) geschrieben und durch Beistri-

che getrennt. Setzen wir beispielsweise

X := {1, 2, 3, 4},

so ist X die Menge, welche 1, 2, 3 und 4 enthält. Man beachte, dass es dabeiweder auf die Reihenfolge der Aufzählung noch auf die Anzahl der Nennun-gen eines Elements ankommt. Oftmals ist es nicht möglich alle Elementeanzugeben. Beispielsweise definieren wir die Menge der natürlichen Zahlendurch

N := {1, 2, 3, . . .},

da offensichtlich ist, wie die drei Punkte zu interpretieren sind. Analog defi-nieren wir

N0 := {0, 1, 2, . . .},Z := {0, 1,−1, 2,−2, . . .}. (ganze Zahlen)

In der Linearen Algebra werden die strukturellen Eigenschaften von Z ge-nauer besprochen werden, es handelt sich bei (Z,+, ·) um einen Ring.

Angabe von definierenden Eigenschaften. Eine weitere Möglichkeit ei-ne Menge anzugeben, besteht durch Angabe von Eigenschaften, welche ihreElemente definieren. Beispielsweise ist

{2, 3, 4} = {x ∈ N : 1 < x < 5}.

Anstelle eines Doppelpunktes wird oftmals auch ein senkrechter Strich oderein Strichpunkt gesetzt. Auf diese Weise definieren wir die Menge der ratio-nalen Zahlen und zwar durch

Q :={mn

: m ∈ Z ∧ n ∈ N}.

Bei (Q,+, ·) handelt es sich um einen Körper, vgl. Lineare Algebra.

Um Aussagen über alle Elemente einer Menge X zu treffen, werden wir dieSchreibweise

∀x ∈ X (”für alle x in X“)

verwenden. Man nennt ∀ den Allquantor . Beispielsweise ist

∀n ∈ N : n ≥ 1

eine wahre Aussage. In Worten: Für alle Elemente n der Menge N gilt n ≥ 1.Möchten wir hingegen aussagen, dass eine Menge X mindestens ein Element


mit einer bestimmten Eigenschaft enthält, so werden wir die Schreibweise

∃x ∈ X (”es gibt ein x in X“)

verwenden. Entsprechend nennt man ∃ den Existenzquantor . Etwa lässt sichso die falsche Aussage

∃n ∈ N : n < 1

bilden. In Worten: Es existiert ein n in N mit n < 1. Offenbar ist

¬(∃n ∈ N : n < 1) ⇐⇒ ∀n ∈ N : n ≥ 1,

bei Bildung der Negation wird also ein Allquantor zu einem Existenzquantorund umgekehrt, die darauffolgende Aussage muss verneint werden.

Es seien X und Y zwei Mengen. Wir definieren die Inklusion vermöge

X ⊂ Y :⇐⇒ ∀x ∈ X : x ∈ Y.

Gilt X ⊂ Y , so nennt man X Teilmenge von Y und entsprechend Y Ober-menge von X, man schreibt dann auch Y ⊃ X. Offenbar gilt

N ⊂ Z ⊂ Q.

Weiters setzen wir

X = Y :⇐⇒ (X ⊂ Y ) ∧ (Y ⊂ X) ⇐⇒ ∀x : (x ∈ X ⇔ x ∈ Y ).

Die Mengen X und Y sind also genau dann gleich, wenn jedes Element vonX in Y enthalten ist und umgekehrt. Außerdem setzen wir

X 6= Y :⇐⇒ ¬(X = Y ) und X ( Y :⇐⇒ X ⊂ Y ∧ (X 6= Y ).

Gilt X ( Y , so sagt man, dass X eine echte Teilmenge von Y ist.

Mit ∅ bezeichnen wir jene Menge, welche kein Element enthält, die sogenannteleere Menge. Für jede Menge X gilt offenbar ∅ ⊂ X . Des Weiteren bezeichnenwir mit

P(X) := 2X := {M : M ⊂ X}

die sogenannte Potenzmenge von X , diese ist die Menge aller Teilmengenvon X . Für eine Menge X mit endlich vielen Elementen bezeichnet |X| dieAnzahl der Elemente von X , hat X unendlich viele Elemente, so schreibenwir |X| =∞ . Für die Potenzmenge einer endlichen Menge X gilt dann∣∣2X ∣∣ = 2|X|,

8 1 Grundlagen

vgl. Aufgabe (1.12). Wie wir bereits in Beispiel 1.4 gesehen haben existiertkein x ∈ Q mit

x2 − 2 = 0,

diese Gleichung hat in Q also keine Lösung. In Abschnitt 1.5 werden wirden Zahlenbereich der rationalen Zahlen erweitern und den angeordnetenvollständigen Körper R der reellen Zahlen einführen.

Die reellen Zahlen lassen sich auf der sogenannten Zahlengeraden nach Wahlvon 0 und 1 , wobei man 1 rechts von 0 wählt, in eindeutiger Weise anordnenund füllen diese aus, vgl. Abbildung 1.1.

−1 0 1 2− 73

√2

Abb. 1.1 Die reellen Zahlen auf der Zahlengeraden.

Bemerkung 1.5. Jede reelle Zahl a ∈ R lässt sich als unendliche Dezimalzahl

a = ±d0.d1d2 . . .

darstellen, wobei d0 ∈ N0 und d1, d2 . . . ∈ {0, 1, . . . , 9} . Dabei schließen wirden Fall aus, dass die Dezimalentwicklung auf 9 periodisch endet.

Liegt eine reelle Zahl a ∈ R auf der Zahlengeraden links der reellen Zahlb ∈ R, so schreiben wir

a < b bzw. b > a,

genaueres zur Ordnung auf R folgt in Abschnitt 1.5.

0 1a b

Für a, b ∈ R setzen wir außerdem

a ≤ b :⇐⇒ b ≥ a :⇐⇒ a < b ∨ a = b.

Definition 1.6 (Intervalle). Es seien a, b ∈ R. Die Mengen

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b},(−∞, b) := {x ∈ R : x < b},

(a,∞) := {x ∈ R : a < x}


heißen offene Intervalle,

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b},

[a,∞) := {x ∈ R : a ≤ x}

abgeschlossene Intervalle und

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b},[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}

halboffene Intervalle.

Bemerkung 1.7. Intervalle mit endlichen Endpunkten nennt man beschränkt.Ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall wird auch als kompaktes In-tervall bezeichnet.

1.2.1 Mengenoperationen

Wir lernen nun einige grundlegende Operationen kennen, welche aus zweiMengen eine weitere Menge bilden.

Definition 1.8 (Vereinigung, Durchschnitt und Differenz). Für zweiMengen X und X setzen wir

X ∪ Y := {x : x ∈ X ∨ x ∈ Y }, (Vereinigung,”X vereinigt Y “)

X ∩ Y := {x : x ∈ X ∧ x ∈ Y }, (Durchschnitt,”X geschnitten Y “)

X \ Y := {x : x ∈ X ∧ x /∈ Y }. (Differenz,”X ohne Y “)

Man nennt X und Y disjunkt , falls X ∩ Y = ∅ gilt.

Beispiel 1.9 (Vereinigung, Durchschnitt, Differenz von Intervallen).Es seien a, b ∈ R mit a < b . Dann ist

(a,∞) ∩ (−∞, b] = (a, b) ∪ {b} = (−∞, b] \ (−∞, a] = (a, b].

Wir legen nun die De Morganschen Regeln, welche wir für Aussagen bereitskennengelernt haben, auf Mengen um. �

Satz 1.10 (De Morgansche Regeln für Mengen). Es seien X eine Men-ge und M,N ⊂ X . Dann gilt

X\(M∪N) = (X\M)∩(X\N) und X\(M∩N) = (X\M)∪(X\N).

Beweis. Wir zeigen die erste Gleichheit, die zweite verbleibt als Übung,vgl. Aufgabe (1.4). Es sei dazu x ∈ X beliebig. Zu zeigen ist

10 1 Grundlagen

x ∈ X \ (M ∪N) ⇐⇒ x ∈ (X \M) ∩ (X \N).

Wir beginnen auf der linken Seite und erhalten mittels Satz 1.2 die Äquivalenzen

x ∈ X \ (M ∪N) ⇐⇒ x /∈M ∪N ⇐⇒ ¬(x ∈M ∨ x ∈ N)⇐⇒ x /∈M ∧ x /∈ N ⇐⇒ x ∈ (X \M) ∩ (X \N)

und damit die gewünschte Aussage.

1.2.2 Abbildungen

Es seien X und Y zwei Mengen. Eine Abbildung oder Funktion f von X nachY ordnet jedem Element aus X genau ein Element aus Y zu. Man schreibt

f : X → Y : x 7→ f(x)

und nennt X Definitionsbereich, Y Bildbereich und x 7→ f(x) Zuordnungs-vorschrift der Abbildung f . Die Menge

im f := {f(x) : x ∈ X} ⊂ Y

heißt Bild von f . Für x ∈ X heißt f(x) Funktionswert von f an der Stellex, man nennt x dann das Argument . Das Bild von f ist also die Menge allerangenommenen Funktionswerte. Die Menge aller Abbildungen von X nachY bezeichnen wir mit Y X .

Bemerkung 1.11. Für endliche Mengen X und Y gilt∣∣Y X ∣∣ = |Y ||X|,vgl. Aufgabe (1.13)

Beispiel 1.12 (Quadratfunktion). Die Abbildung

f : R→ R : x 7→ x2

ordnet jeder reellen Zahl ihr Quadrat zu. Es gilt f ∈ RR.

Bemerkung 1.13. Eine Abbildung f : X ⊂ R → Y ⊂ R bezeichnen wir alsreelle Funktion. �

Definition 1.14 (Gleichheit von Abbildungen). Zwei Abbildungen

f1 : X1 → Y1 : x 7→ f1(x) und f2 : X2 → Y2 : x 7→ f2(x)

sind genau dann gleich, wenn


X1 = X2 ∧ Y1 = Y2 ∧ ∀x ∈ X1 : f1(x) = f2(x) .

In diesem Fall schreibt man f1 = f2. Also sind zwei Abbildungen genau danngleich, wenn ihre Definitionsbereiche, Bildbereiche und Zuordnungsvorschrif-ten übereinstimmen.

Definition 1.15 (Hintereinanderausführung). Es seien f : X → Y undg : Y → Z Abbildungen. Die Hintereinanderausführung oder Kompositionvon f mit g ist die Abbildung

g ◦ f : X → Z : x 7→ (g ◦ f)(x) := g(f(x)). (”g nach f“)

Bemerkung 1.16. Die Assoziativität der Hintereinanderausführung geht un-mittelbar aus der Definition hervor. Bei mehrfachen Kompositionen kann alsoauf Klammern verzichtet werden.

Definition 1.17 (Familie). Es seien I und X beliebige Mengen. Für eineAbbildung x ∈ XI schreibt man auch

(xi)i∈I := (x(i))i∈I := x

und spricht dann von einer durch die Indexmenge I induzierten Familie vonElementen in X.

Bemerkung 1.18.

. Man beachte den Unterschied zwischen (xi)i∈I und {xi : i ∈ I} = im(x).

. Speziell nennt man für n ∈ N die Familie

(x1, . . . , xn) := (xi)i∈{1,...,n} ∈ X{1,...,n}

n-Tupel von Elementen in X und setzt

Xn := X{1,...,n}. (”X hoch n“)

Für i = 1, . . . , n nennt man xi die i-te Komponente von (x1, . . . , xn).. Weiters heißt (x1, x2) ∈ X2 (geordnetes) Paar und (x1, x2, x3) ∈ X3

Tripel von Elementen in X.

Definition 1.19 (Kartesisches Produkt). Sind X und Y zwei Mengen,so nennt man

X × Y := {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } (”X kreuz Y “)

das (kartesische) Produkt von X und Y .

Den Schaubildern, welche man häufig von reellen Funktionen anfertigt, ent-spricht der sogenannte Funktionsgraph.

12 1 Grundlagen

Definition 1.20 (Graph). Für eine Funktion f : X → Y nennt man

Γ (f) := {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y

den Graphen oder Funktionsgraphen der Abbildung f .

Beispiel 1.21 (Graph der Quadrat- und der Betragsfunktion). DerGraph der Quadratfunktion f : R→ R : x 7→ x2 lautet

Γ (f) ={

(x, x2) : x ∈ R}⊂ R× [0,∞),

jener der Betragsfunktion

| · | : R→ R : x 7→

{x, x ≥ 0,−x, x < 0,

ist durchΓ (| · |) = {(x, |x|) : x ∈ R} ⊂ R× [0,∞)

gegeben, vgl. Abbildung 1.2. �

−1 1

1

2y = x2

y = |x|

x

y

Abb. 1.2 Funktionsgraphen der Quadrat- und der Betragsfunktion

Wir kommen nun zu grundlegenden Eigenschaften von Abbildungen.

Definition 1.22 (Injektiv, surjektiv und bijektiv). Es sei f : X → Yeine Abbildung. Dann heißt f injektiv, falls

∀x1, x2 ∈ X : (x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)) ,

also wenn zwei verschiedene Argumente stets unterschiedliche Funktionswerteliefern. Man nennt f surjektiv, falls im(f) = Y , also wenn jedes Element desBildbereichs als Funktionswert angenommen wird. Schließlich heißt f bijektiv,wenn f sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Man spricht auch von einerInjektion, Surjektion bzw. Bijektion.


Bemerkung 1.23.

. Eine Funktion f : X → Y ist also genau dann bijektiv, wenn

∀ y ∈ Y ∃!x ∈ X : f(x) = y,

wobei ∃! für”es existiert genau ein“ steht.

. Durch Einschränkung des Bildbereichs einer Abbildung f : X → Y aufim(f) erhält man die Surjektion

f̃ : X → im(f) : x 7→ f(x).

Bemerkung 1.24 (Injektion, Surjektion und Bijektion). Die Abbildung

f : R→ R : x 7→ x2

ist offenbar weder injektiv noch surjektiv. Hingegen ist

g : R→ [0,∞) : x 7→ x2

eine Surjektion, da im(f) = [0,∞), jedoch keine Injektion. Bei

h : [0,∞)→ [0,∞) : x 7→ x2

handelt es sich um eine Bijektion. Ein weiteres Beispiel einer bijektiven Funk-tion ist die Identität auf einer Menge X, welche durch

idX : X → X : x 7→ x

gegeben ist. Beweisen werden wir die Bijektivität dieser Abbildungen später,vgl. Bemerkung 2.60

Satz 1.25 (Umkehrabbildung). Eine Abbildung f : X → Y ist genaudann bijektiv, wenn eine weitere Abbildung f−1 : Y → X mit

f−1 ◦ f = idX und f ◦ f−1 = idY

existiert. Im Fall der Existenz nennt man f−1 die Umkehrabbildung oderInverse von f , diese ist dann eindeutig bestimmt.

Beweis.”⇒“: Es sei f : X → Y bijektiv. Dann gilt

∀ y ∈ Y ∃!xy ∈ X : f(xy) = y.

Daher können wir durch

f−1 : Y → X : y 7→ f−1(y) := xy

eine Abbildung definieren, für welche die gewünschten Eigenschaften leichtnachzuprüfen sind.

14 1 Grundlagen

”⇐“: Es seien x1, x2 ∈ X mit f(x1) = f(x2). Dann ist

x = f−1(f(x1)) = f−1(f(x2)) = x2

und damit f injektiv. Aus f ◦f−1 = idY folgt analog die Surjektivität von f .

Eindeutigkeit. Es sei g : Y → X eine weitere Abbildung mit

g ◦ f = idX und f ◦ g = idY .

Dann ist

g = g ◦ idY = g ◦ (f ◦ f−1) = (g ◦ f) ◦ f−1 = idX ◦f−1 = f−1

und damit die Eindeutigkeit gezeigt. ut

Beispiel 1.26 (Quadratwurzel). Die Quadratfunktion

[0,∞)→ [0,∞) : x 7→ x2,

ist bijektiv, vgl. Bemerkung 2.60. Ihre Umkehrfunktion bezeichnen wir mit

√· : [0,∞)→ [0,∞) : x 7→

√x. �

1 2 3

0.5

1

1.5

2 y =√x

x

y

Abb. 1.3 Funktionsgraph der Quadratwurzelfunktion.

Satz 1.27 (Hintereinanderausführung bijektiver Abbildungen). Esseien f : X → Y und g : Y → Z bijektive Abbildungen. Dann ist auch dieKomposition g ◦ f : X → Z bijektiv und es gilt

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Beweis. Aufgabe (1.7).

Definition 1.28 (Bild und Urbild). Es sei f : X → Y eine Abbildung.Für M ⊂ X heißt

f(M) := {f(m) : m ∈M}

1.3 Summen und Produkte 15

Bild von M unter f . Weiters nennt man für N ⊂ Y die Menge

f−1(N) := {x ∈ X : f(x) ∈ N}

Urbild von N unter f .

Bemerkung 1.29. Man beachte, dass das Urbild einer Menge N ⊂ Y unterf stets gebildet werden kann, die Umkehrfunktion muss dazu nicht existie-ren. Genauso sollte man das Urbild unter f nicht mit der Umkehrfunktionverwechseln.

1.3 Summen und Produkte

Es seien n,m ∈ Z mit n ≥ m und am, . . . , an ∈ R. Wir schreibenn∑

k=m

ak := am + . . .+ an

für die Summe der ak und

n∏k=m

ak := am · . . . · an

für deren Produkt. Man nennt dann k den Summationsindex beziehungsweiseMultiplikationsindex .

Für ` ∈ Z gilt offenbar

n∑k=m

ak =

n+∑̀k=m+`

ak−` und

n∏k=m

ak =

n+∏̀k=m+`

ak−`. (Indexverschiebung)

Sind m,n ∈ Z mit m > n, so setzt mann∑

k=m

ak := 0 und

n∏k=m

ak := 1. (leere Summe und leeres Produkt)

Definition 1.30 (Fakultät). Für n ∈ N setzen wir

n! :=

n∏k=1

k. (”n Fakultät“)

Entsprechend der Defintion des leeren Produkts setzt man 0! := 1.

16 1 Grundlagen

Beispiel 1.31 (Berechnung einer Doppelsumme). Für n ∈ N soll dieDoppelsumme

n∑`=1

(n∑k=`

`

k

)=

n∑`=1

n∑k=`

`

k

berechnet werden. Unter Verwendung der Gaußschen Summenformel

n∑k=1

k =n(n+ 1)

2,

vgl. Beispiel 1.32, und da{(k, `) ∈ N2 : 1 ≤ ` ≤ n, ` ≤ k ≤ n

}={

(k, `) ∈ N2 : 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ ` ≤ k},

erhalten wir

n∑`=1

n∑k=`

`

k=

n∑k=1

1

k

k∑`=1

` =

n∑k=1

k + 1

2=

1

2

(n(n+ 1)

2+ n

)=n(n+ 3)

4. �

1.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion

Es sei n0 ∈ N und A(n) eine Aussage für jedes n ∈ N mit n ≥ n0. Wirmöchten zeigen, dass A(n) für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 wahr ist. Dies könnenwir mittels vollständiger Induktion über n bewerkstelligen. Dazu geht manwie folgt vor:

(IA) Induktionsanfang: Man zeigt, dass A(n0) wahr ist. (n = n0)(IS) Induktionsschluss: Es sei n ∈ N mit n ≥ n0 fest.

Induktionsvoraussetzung: Man nimmt A(n) als wahr an. (IV)Induktionsschritt: Man zeigt, dass A(n)⇒ A(n+ 1) gilt. (n→ n+ 1)

Damit ist dann gezeigt, dass A(n) für alle n ∈ N mit n0 ≥ n gilt. Denn lautInduktionsanfang ist A(n0) wahr und aus dem Induktionsschritt erhält mansomit die Richtigkeit der Aussage A(n0 + 1). Daraus folgt wiederum aus demInduktionsschritt, dass dann auch A(n0 + 2) gilt und so weiter und so fort.

Beispiel 1.32 (Gaußsche†Summenformel). Wir zeigen

∀n ∈ N :n∑k=1

k =n(n+ 1)

2

mittels vollständiger Induktion über n.

†Johann Carl Friedrich Gauß, 1777–1855, deutscher Mathematiker

1.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion 17

(IA) n = 1: Offenbar gilt

1∑k=1

k = 1 =1 · 2

2. X

(IS) Es sei n ∈ N und es gelte

n∑k=1

k =n(n+ 1)

2. (IV)

n→ n+ 1: Nach Induktionsvoraussetzung ist

n+1∑k=1

k =

n∑k=1

k + (n+ 1)(IV)=

n(n+ 1)

2+ n+ 1 =

(n+ 1)(n+ 2)

2

und damit der Induktionsschritt gezeigt. �

1.4.1 Binomischer Lehrsatz

Für x ∈ R und n ∈ N0 setzt man

xn := x · . . . · x︸︷︷︸n Faktoren

=

n∏k=1

x, (n-te Potenz)

entsprechend dem leeren Produkt ist also x0 = 1. Man überzeugt sich fürx, y ∈ R leicht, dass

(x+ y)0 = 1 ,

(x+ y)1 = 1 · x+ 1 · y,(x+ y)2 = 1 · x2 + 2 · xy + 1 · y2,(x+ y)3 = 1 · x3 + 3 · x2y + 3 · xy2 + 1 · y3,(x+ y)4 = 1 · x4 + 4 · x3y + 6 · x2y2 + 4 · xy3 + 1 · y4

gilt. Doch welche Koeffizienten ergeben sich bei (x + y)n für beliebiges n ∈N0? Die auftretenden Koeffizienten können im Pascalschen‡Dreieck wie folgtübersichtlich dargestellt werden:

‡Blaise Pascal, 1623–1662, französischer Mathematiker, Physiker, Schriftsteller und Philo-soph

18 1 Grundlagen

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

Die durch das unschwer zu erkennende Bildungsgesetz auftretenden Zahlenkönnen auch als Binomialkoeffizienten geschrieben werden.

Definition 1.33 (Binomialkoeffizient). Für x ∈ R und k ∈ N0 nennt man(x

k

):=

k∏j=1

x+ 1− jj

=

∏kj=1(x+ 1− j)

k!(”x über k“)

Binomialkoeffizienten. Speziell gilt für n ∈ N0 mit n ≥ k, dass(n

k

)=

n!

k!(n− k)!.

Schreiben wir die im Pascalschen Dreieck auftretenden Zahlen als Binomial-koeffizienten, so ergibt sich folgendes:(

0

0

)(

1

0

) (1

1

)(

2

0

) (2

1

) (2

2

)(

3

0

) (3

1

) (3

2

) (3

3

)(

4

0

) (4

1

) (4

2

) (4

3

) (4

4

)Der Addition im Pascalschen Dreieck entspricht folgende Rechenregel fürBinomialkoeffizienten.

Lemma 1.34 (Addition im Pascalschen Dreieck). Für x ∈ R und k ∈N0 gilt (

x

k

)+

(x

k + 1

)=

(x+ 1

k + 1

).

Beweis. Wir beweisen die Aussage lediglich für x = n ∈ N, der allgemeineFall ist eine Übung, siehe Aufgabe (1.14). Durch Ausschreiben der Binomi-alkoeffizienten und Erweitern erhalten wir

1.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion 19(n

k

)+

(n

k + 1

)=

n!

k!(n− k)!+

n!

(k + 1)!(n− k − 1)!

=n!(k + 1) + n!(n− k)

(k + 1)!(n− k)!

=(n+ 1)!

(k + 1)!((n+ 1)− (k + 1))!=

(n+ 1

k + 1

). �

Satz 1.35 (Binomischer Lehrsatz). Es seien x, y ∈ R sowie n ∈ N0. Danngilt

(x+ y)n =

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k.

Beweis. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über n.

(IA) n = 0: Offenbar gilt

(x+ y)0 =

0∑k=0

(0

k

)xky0−k =

(0

0

)x0y0 = 1. X

(IS) Es sei n ∈ N0 und es gelte

(x+ y)n =

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k. (IV)

n→ n+ 1: Nach Induktionsvoraussetzung ist

(x+ y)n+1 = (x+ y)(x+ y)n(IV )= (x+ y)

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k

=

n∑k=0

(n

k

)xk+1yn−k +

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k+1

=

n+1∑k=1

(n

k − 1

)xkyn−k+1 +

n∑k=0

(n

k

)xkyn−k+1

=

n+1∑k=0

(n+ 1

k

)xky(n+1)−k,

wobei wir für die letzte Gleichheit Lemma 1.34 verwendet haben. Damitist der Induktionsschritt gezeigt. ut

20 1 Grundlagen

1.5 Reelle Zahlen

Wir führen nun die reellen Zahlen R anhand der 13 Axiome (A1)–(A13) ein,welche präzisieren, was es bedeutet, dass R einen angeordneten vollständigenKörper bildet.

1.5.1 Körperaxiome

Auf R sind die beiden Operationen

+: R× R→ R : (x, y) 7→ x+ y (Addition)

und· : R× R→ R : (x, y) 7→ x · y (Multiplikation)

erklärt, wobei es sich bei (R,+, ·) um einen Körper handelt, es gelten alsodie folgenden neun Körperaxiome.

(R,+) ist eine kommutative Gruppe

(A1) ∀x, y, z ∈ R : x+ (y + z) = (x+ y) + z (Assoziativität)(A2) ∃ 0 ∈ R∀x ∈ R : x+ 0 = x (neutrales Element, Nullelement)(A3) ∀x ∈ R ∃ (−x) ∈ R : x+ (−x) = 0 (inverses Element)(A4) ∀x, y ∈ R : x+ y = y + x (Kommutativität)

(R∗, ·) ist eine kommutative Gruppe, wobei R∗ := R \ {0}

(A5) ∀x, y, z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (Assoziativität)(A6) ∃ 1 ∈ R∗ ∀x ∈ R : x · 1 = x (neutrales Element, Einselement)(A7) ∀x ∈ R∗ ∃x−1 ∈ R∗ : x · x−1 = 1 (inverses Element)(A8) ∀x, y ∈ R : x · y = y · x (Kommutativität)

(A9) ∀x, y, z ∈ R : x · (y + z) = x · y + x · z (Distributivgesetz)

Bemerkung 1.36.

. Man beachte, dass die Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elementsgezeigt werden muss, damit die Bezeichnungen 0,−x, 1, x−1 sinnvoll sind,vgl. Satz 1.25.

. Anstelle von x−1 schreiben wir auch 1x und xy statt x ·y. Schließlich setztman xy := x · y

−1. Für das Bruchrechnen lassen sich aus obigen Axiomendie üblichen Rechenregeln ableiten.

1.5 Reelle Zahlen 21

1.5.2 Anordnungsaxiome

Es existiert eine Teilmenge R+ ⊂ R , welche man die Menge der positivenreellen Zahlen nennt, mit folgenden Eigenschaften:

(A10) Für jedes x ∈ R gilt genau eine der drei Aussagen: x ∈ R+, −x ∈R+ oder x = 0.

(A11) ∀x, y ∈ R+ : x+ y ∈ R+(A12) ∀x, y ∈ R+ : x · y ∈ R+

Eine reelle Zahl x ∈ R+ nennt man positiv und wir schreiben x > 0. Entspre-chend nennt man x negativ, falls −x ∈ R+. Sind x, y ∈ R+ mit x − y ∈ R+,so schreiben wir x > y bzw. y < x. Man nennt x nichtnegativ und schreibtx ≥ 0, falls x > 0 oder x = 0. Weiters schreiben wir x ≥ y bzw. y ≤ x, wennx > y oder x = y.

1.5.3 Vollständigkeitsaxiom

Um das letzte Axiom zu formulieren, benötigen wir noch einige Definitionen.

Definition 1.37 (Untere/obere Schranken, Maximum/Minimum).Es sei A ⊂ R.

(1) Eine reelle Zahl ξ ∈ R wird eine obere Schranke von A genannt, falls

∀ a ∈ A : a ≤ ξ,

und nennt dann A nach oben beschränkt. Man bezeichnet ξ ∈ R als eineuntere Schranke von A, wenn

∀ a ∈ A : a ≥ ξ,

und nennt dann A nach unten beschränkt.(2) Ist A sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt, so heißt A be-

schränkt. Andernfalls heißt A unbeschränkt.(3) Falls ξ ∈ A obere Schranke von A ist, so heißt ξ Maximum von A und

wir schreiben maxA = ξ. Ist hingegen ξ ∈ A eine untere Schranke vonA, so nennt man ξ das Minimum von A und schreibt minA = ξ.

Bemerkung 1.38. Untere und obere Schranken sind nicht eindeutig, Maxi-mum und Minimum jedoch schon.

Beispiel 1.39 (Untere und obere Schranken eines Intervalls). Wirbetrachten das Intervall (−∞, x], wobei x ∈ R. Offenbar ist x + y für je-des y ∈ R+ eine obere Schranke von (−∞, x], jedoch kein Maximum. Es

22 1 Grundlagen

ist max(−∞, x] = x. Dieses Intervall ist unbeschränkt, genauer nach untenunbeschränkt. �

Definition 1.40 (Supremum und Infimum). Es sei ∅ 6= A ⊂ R.

(1) Ist A nach oben beschränkt, so nennt man im Fall der Existenz

supA := min {ξ ∈ R | ∀ a ∈ A : a ≤ ξ}

das Supremum von A und es handelt sich dann also um die kleinste obereSchranke von A.

(2) Im Fall, dass A nach unten beschränkt ist, heißt, falls existent,

inf A := max {ξ ∈ R | ∀ a ∈ A : a ≥ ξ}

das Infimum von A, also ist inf A die größte untere Schranke von A.(3) Ist A nach oben unbeschränkt, so schreibt man supA =∞. Entsprechend

setzt man inf A = −∞, falls A nach unten unbeschränkt ist.

Bemerkung 1.41. Im Fall der Existenz sind Supremum und Infimum eindeu-tig.

Beispiel 1.42 (Supremum und Infimum eines Intervalls). Es seienx, y ∈ R mit x < y. Wir betrachten das Intervall A := [x, y). Dann ist

inf A = minA = x und supA = y,

jedoch besitzt A kein Maximum. �

Nun können wir das letzte der 13 Axiome formulieren, das Vollständig-keitsaxiom.

(A13) Das Supremum jeder nichtleeren und nach oben beschränktenMenge Teilmenge von R existiert in R.

Bemerkung 1.43. Aus (A13) folgt, dass das Infimum jeder nach unten be-schränkten Menge ∅ 6= A ⊂ R in R existiert.

1.6 Ungleichungen

Es seien a, b, c ∈ R und d > 0. Wie man sich leicht anhand der Anordnungs-axiome überzeugt, gelten folgende Rechenregeln für Ungleichungen:

. a < b ⇐⇒ a+ c < b+ c (Addition einer reellen Zahl)

. a < b ⇐⇒ a · d < b · d (Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl)

. a < b ⇐⇒ −b < −a (Multiplikation mit -1)

1.6 Ungleichungen 23

Obige Rechenregeln gelten analog für >,≤ und ≥.

Achtung. Bei Multiplikation mit einer negativen reellen Zahl dreht sich alsodas Ungleichheitszeichen um.

Definition 1.44 (Monotone Funktionen). Es sei f : D ⊂ R → R einereelle Funktion.

. f monoton wachsend :⇐⇒ ∀x, y ∈ D : (x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y))

. f streng monoton wachsend :⇐⇒ ∀x, y ∈ D : (x < y ⇒ f(x) < f(y))

. Man nennt f (streng) monoton fallend, falls

−f : D → R : x 7→ −f(x)

(streng) monoton wachsend ist.

Bemerkung 1.45.

. Streng monotone Funktionen sind injektiv.

. Es seien f : D ⊂ R → R eine streng monoton wachsende Funktion unda, b ∈ D. Dann gilt

a < b ⇐⇒ f(a) < f(b).

Ist f hingegen streng monoton fallend, so gilt

a < b ⇐⇒ f(a) > f(b),

vgl. Aufgabe (1.10). Man beachte also, dass streng monoton wachsen-de Funktionen Ungleichungen mit < bzw. > erhalten, während sich beiAnwendung einer streng monoton fallenden Funktion das Ungleichheits-zeichen umdreht. Entsprechendes gilt für monotone Funktionen und Un-gleichungen mit ≤ bzw. ≥.

Achtung. Die Quadratfunktion [x 7→ x2] ist auf [0,∞) streng monoton wach-send, jedoch streng monoton fallend auf (−∞, 0], vgl. Abbildung 1.2. Dahermuss beim Quadrieren einer Ungleichung eine entsprechende Fallunterschei-dung durchgeführt werden. Dies gilt es auch für Gleichungen zu beachten:Für a, b ∈ R gilt also etwa

a2 = b2 ⇐⇒ a = b ∨ a = −b ⇐⇒ |a| = |b| ⇐⇒: a = ±b

und für c ≥ 0 giltx2 = c ⇐⇒ x = ±

√c.

Beispiel 1.46 (Auflösen von Beträgen). Man bestimme die Lösungsmengeder Ungleichung

|x− 3| ≤ 5

über R, also die Menge

24 1 Grundlagen

L = {x ∈ R : |x− 3| ≤ 5} .

Lösung. Es ist

|x− 3| ≤ 5 ⇐⇒ (x ≥ 3 ∧ x− 3 ≤ 5) ∨ (x < 3 ∧ 3− x ≤ 5)⇐⇒ 3 ≤ x ≤ 8 ∨ −2 ≤ x < 3⇐⇒ x ∈ [−2, 3) ∪ [3, 8] = [−2, 8] = L.

Satz 1.47 (Quadratische Gleichungen in R). Es seien p, q ∈ R. Wirbetrachten die quadratische Gleichung

x2 + px+ q = 0. (QG)

Man nennt D := p2 − 4q die Diskriminante der quadratischen Gleichung(QG). Es können die folgenden drei Fälle auftreten:

. D = 0: Die Gleichung (QG) besitzt eine (doppelte) reelle Lösung, nämlich

x1 = x2 = −p

2.

. D > 0: (QG) hat zwei, voneinander verschiedene, reelle Lösungen. Dieselauten

x1 = −p

2+

√p2

4− q und x2 = −

p

2−√p2

4− q.

. D < 0: Es existiert keine reelle Lösung der Gleichung (QG).

Im Falle, dass D ≥ 0 gilt, ist weiters

(x− x1)(x− x2) = x2 + px+ q, (Zerlegung in Linearfaktoren)x1 + x2 = −p und x1 · x2 = q. (Satz von Vieta)

Beweis. (a) Quadratisches Ergänzen von (QG) führt auf(x+

p

2

)2− p

2

4+ q = 0 ⇐⇒

(x+

p

2

)2=p2

4− q.

Aufgrund von(x+ p2

)2 ≥ 0 besitzt die Gleichung nur dann eine reelle Lösung,wenn die rechte Seite ebenfalls größer gleich Null ist. Ist also D ≥ 0, so kannauf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel gezogen werden. Somiterhält man ∣∣∣x+ p

2

∣∣∣ = √p24− q ⇐⇒ x = −p

2±√p2

4− q.

(b) Setzen wir für x1 und x2 ein, so ergibt sich

1.6 Ungleichungen 25

x1 + x2 = −p

2+

√p2

4− q − p

2−√p2

4− q = −p.

Genauso einfach sieht man

x1 · x2 =

(−p

2+

√p2

4− q

)(−p

2−√p2

4− q

)=p2

4−(p2

4− q)

= q.

(c) Nun folgt unmittelbar

(x− x1)(x− x2) = x2 − (x1 + x2)x+ x1x2 = x2 + px+ q. ut

Beispiel 1.48 (Quadratische Ungleichung). Man bestimme die Lösungs-menge der Ungleichung

x2 − x− 6 < 0

über R.

Lösung. Wir bestimmen zuerst die Lösungen der quadratischen Gleichungx2 − x− 6 = 0, welche man mittels des Satzes von Vieta leicht als x = −2, 3erkennt. Somit ist

x2 − x− 6 < 0 ⇐⇒ (x+ 2)(x− 3) < 0,

was genau dann der Fall ist, wenn x+2 und x−3 unterschiedliches Vorzeichenbesitzen. Das kann nur dann passieren, wenn x zwischen den Nullstellen dernach oben geöffneten Parabel [x 7→ x2− x− 6] liegt. Folglich ist L = (−2, 3).

�

Beispiel 1.49 (Bruchungleichung). Man bestimme die Definitions- undLösungsmenge der Ungleichung

5

2x− 2≤ 1x− 3

über R.

Lösung. Wie anhand des Beispiels erklärt wird, ist die DefinitionsmengeD die Menge all jener x ∈ R, für welche sämtliche in der Ungleichung auf-tretenden Ausdrücke definiert sind. Bei obiger Ungleichung müssen wir alsosicherstellen, dass die Nullstellen der Nenner der Brüche ausgenommen wer-den. Es ist also D = R \ {1, 3}.

1. Fall: x ∈ (1, 3) : 5x− 15 ≥ 2x− 2 ⇐⇒ 3x ≥ 13 ⇐⇒ x ≥ 133

⇒ L1 = ∅

26 1 Grundlagen

2. Fall: x ∈ R \ [1, 3] : 5x− 15 ≤ 2x− 2 ⇐⇒ x ≤ 133

⇒ L2 = (−∞, 1) ∪(3, 133

]⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, 1) ∪ (3, 133 ]

Man beachte, dass L ⊂ D. �

Beispiel 1.50 (Wurzelungleichung). Man bestimme in Abhängigkeit vona ∈ R Definitions- und Lösungsmenge der Ungleichung

a <√x− 1

über R.

Lösung. D = [1,∞)

1. Fall: a < 0: Die Ungleichung ist erfüllt, da√x− 1 für alle x ≥ 1 nicht-

negativ ist.

1. Fall: a ≥ 0: Da beide Seiten nichtnegativ sind, darf quadriert werden:

a2 < x− 1 ⇐⇒ x > a2 + 1

Die Lösungsmenge hängt also von a ab und lautet

L =

{(a2 + 1,∞), a ≥ 0,[1,∞), a < 0.

�

1.7 Reelle Funktionen und ihre Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden wir einige elementare reelle Funktionen kennen-lernen.

Definition 1.51 (Vielfaches, Summe, Produkt, Quotient von Funk-tionen). Es seien f, g : D ⊂ R→ R zwei reelle Funktionen und λ ∈ R. Danndefinieren wir die reellen Funktionen

λf : D → R : x 7→ λf(x),f + g : D → R : x 7→ f(x) + g(x),fg : D → R : x 7→ f(x) · g(x),f

g: {x ∈ D : g(x) 6= 0} → R : x 7→ f(x)

g(x).

1.7 Reelle Funktionen und ihre Eigenschaften 27

1.7.1 Potenz- und Polynomfunktionen

Für x ∈ R \ {0} und n ∈ N setzt man

x−n :=1

xn.

Die Potenzfunktion[0,∞)→ [0,∞) : x 7→ xn

mit natürlichem Exponenten n ist bijektiv, wie wir später zeigen werden,vgl. Bemerkung 2.60. Wir bezeichnen ihre Umkehrfunktion mit

n√· : [0,∞)→ [0,∞) : x 7→ n

√x. (n-te Wurzel)

−2 −1 1 2−5

5 y = x3

x

y

−4 −2 2 4

−4

−2

2

4

y = x−1

x

y

−4 −2 2 4

0.5

1

1.5y = x−2

x

y

Abb. 1.4 Funktionsgraphen dreier Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten

Sind x ≥ 0 und n ∈ N, so schreibt man auch

x1/n := n√x.

Für m ∈ Z und n ∈ N definiert man Potenzen mit rationalem Exponentendurch

xm/n :=(xm)1/n

=(x1/n

)mfür x > 0,

wobei für m ≥ 0 auch x = 0 auch zugelassen wird. Aus obigen Definitionenleiten sich folgende Rechenregeln für Potenzen ab.

Rechenregeln für rationale Potenzen

Es seien x, y > 0 und r, s ∈ Q. Dann gilt:

. xr · xs = xr+s (”bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert“)

. (xr)s = xr·s = (xs)r

. xr · yr = (x · y)r

Es seien n ∈ N0 und a0, . . . , an ∈ R. Dann heißt

28 1 Grundlagen

p : R→ R : x 7→ p(x) :=n∑k=0

akxk

(reelle) Polynomfunktion. Man nennt a0, . . . , an Koeffizienten von p und sagt,dass p Grad n besitzt, falls an 6= 0 gilt, an heißt dann der Leitkoeffizient vonp. Man nennt ξ ∈ R Nullstelle von p, falls p(ξ) = 0 gilt.

2 4

5 y = 2x2 − 7x+ 3

x

y

−2 2

−5

5

y = x3 − 4x

x

y

Abb. 1.5 Funktionsgraphen zweier Polynomfunktionen

Der Quotient r zweier Polynomfunktionen p, q : R → R wird als rationaleFunktion bezeichnet, diese ist durch

r : R \ q−1({0})→ R : x 7→ p(x)q(x)

gegeben. Die Nullstellenmenge q−1({0}) des Nenners wird also ausgenommen.

−2 −1 1 2

−4

−2

2

4

y = 1x2−1

x

y

−2 2

−2

2

y = x2+1x3−1

x

y

Abb. 1.6 Funktionsgraphen zweier rationaler Funktionen


1.7.2 Exponentialfunktion und Logarithmus

Die Eulersche§Zahl ist durch

e :=1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+ . . . =

∞∑k=0

1

k!= 2.71828182 . . .

gegeben. Genaueres zur Definition dieser irrationalen reellen Zahl, d. h. eshandelt sich bei e um keine rationale Zahl, folgt in Abschnitt 4.1 sowie Bei-spiel 6.40.

Die Funktion

exp: R→ (0,∞) : x 7→ ex := sup {eq : q ∈ Q mit q ≤ x}

heißt Exponentialfunktion zur Basis e, welche wir schlechthin als Exponen-tialfunktion bezeichnen. Man beachte, dass {eq : q ∈ Q mit q ≤ x} für jedesx ∈ R nicht leer und nach oben beschränkt ist, etwa durch en für ein n ∈ Nmit n ≥ x . Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

log : (0,∞)→ R : x 7→ log x

wird natürlicher Logarithmus¶genannt. Es ist auch die Bezeichnung ln := logüblich.

−4 −2 2 4

−2

2

4

y = ex

y = log x

x

y

Abb. 1.7 Graphen der Exponential- und der Logarithmusfunktion

Um für diese Funktionen einige Rechenregeln abzuleiten, benötigen wir fol-genden Satz. Für zwei Mengen A,B ⊂ R definieren durch

A ·B := {a · b : a ∈ A, b ∈ B}§Leonhard Euler, 1707–1783, schweizer Mathematiker¶Logarithmus naturalis

30 1 Grundlagen

das elementweise Produkt von A und B.

Satz 1.52 (Supremum von Produkten). Es seien A,B ⊂ R+ zwei nicht-leere Mengen. Sind A und B nach oben beschränkt, so ist auch A · B nachoben beschränkt und es gilt

sup(A ·B) = supA · supB.


Für x, y ∈ R folgt unmittelbar aus obigem Satz

ex · ey = ex+y. (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)

Für a > 0 mit a 6= 1 ist die Funktion

R→ (0,∞) : x 7→ ax := ex log a

bijektiv, wie wir in Abschnitt 4.3 zeigen werden, und heißt Exponentialfunk-tion zur Basis a, ihre Umkehrfunktion

loga : (0,∞)→ R : x 7→ loga x

Logarithmus zur Basis a. Man beachte, dass obige Defintion von aq für q ∈ Qmit der bisherigen übereinstimmt. Des Weiteren werden wir für x, y ∈ R noch

(ex)y

= exy = (ey)x

zeigen. Aus den Rechenregeln für die Exponentialfunktion zur Basis e lässtsich dann folgendes ableiten.

Rechenregeln für reelle Potenzen

Es seien a, b > 0 und r, s ∈ R. Dann gilt:

. ar · as = ar+s (”bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert“)

. (ar)s = ar·s = (as)r

. ar · br = (a · b)r

Übertragen wir obige Rechenregeln für Exponentialfunktion auf deren Um-kehrfunktionen, so erhalten wir die folgenden Logarithmusregeln.

Logarithmusregeln

Es seien a > 0 mit a 6= 1, x, y > 0 und α ∈ R. Dann gilt:

. loga(xα) = α loga x

. loga(xy) = loga x+ loga y

. logaxy = loga x− loga y


1.7.3 Trigonometrische Funktionen

Wir werden Winkel stets im Bogenmaß angeben. Der Umfang des Einheits-

Grad 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 360◦

Radianten 0 π6

π4

π3

π2

π 2π

Tabelle 1.1 Einige Winkel im Grad- und Bogenmaß.

kreises in R2, welchen wir mit

S1 :={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

bezeichnen, beträgt 2π, wobei es sich bei der Kreiszahl

π = 3.14159265389793 . . .

um eine irrationale Zahl handelt.

S1 Pα = (cosα, sinα)

(1, 0)αx

y

Abb. 1.8 Sinus und Cosinus am Einheitskreis.

Die Drehung des Punktes (1, 0) um einen Winkel α ∈ R liefert den PunktPα ∈ S1 am Einheitskreis, vgl. Abbildung 1.8. Dabei entspricht α > 0 einerDrehung im Gegenuhrzeigersinn und α < 0 im Uhrzeigersinn. Die erste Ko-ordinate von Pα heißt Cosinus des Winkels α, die zweite Sinus von α undman schreibt cosα bzw. sinα. Dies definiert die reellen Funktionen

cos : R→ [−1, 1] : α 7→ cosα und sin: R→ [−1, 1] : α 7→ sinα.

Anhand des Einheitskreises überzeugt man sich leicht, dass folgende Iden-titäten gelten.

32 1 Grundlagen

−π2

π4

π2

π 3π2

-1

1√2

1y = sinxy = cosx

x

y

Abb. 1.9 Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion

Elementare Identitäten zu Sinus und Cosinus

Es sei α ∈ R und k ∈ Z . Dann gilt:

. sin2 α+ cos2 α = 1 (Satz des Pythagoras)

. sin (α+ 2kπ) = sinα und cos (α+ 2kπ) = cosα (2π-periodisch)

. sin(−α) = − sinα (sin ist eine ungerade Funktion)

. cos(−α) = cosα (cos ist eine gerade Funktion)

. sin(α+ π2

)= cosα und cos

(α− π2

)= sinα

. sin (α+ π) = − sinα und cos (α+ π) = − cosα

Satz 1.53 (Additionstheoreme für Sinus und Cosinus). Für α, β ∈ Rgilt

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ,

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ.


Definition 1.54 (Tangens und Cotangens). Die reelle Funktion

tan: R \{π2 + kπ : k ∈ Z

}→ R : α 7→ tanα := sinα

cosα

heißt Tangens, die Abbildung

cot : R \ {kπ : k ∈ Z} → R : α 7→ cotα := cosαsinα

nennt man Cotangens.

Definition 1.55 (Einschränkung). Es sei f : X → Y eine Abbildung undD ⊂ X. Dann nennt man

f |D : D → Y : x 7→ f(x)

die Einschränkung oder Restriktion von f auf D.


−π −π2

π4

π2

π

-1

1

y = tanx

y = cotx

x

y

Abb. 1.10 Funktionsgraphen des Tangens und des Cotangens

α 0 π6

π4

π3

π2

sinα 0 12

1√2

√32

1

cosα 1√3

21√2

12

0

tanα 0 1√3

1√

3 /

cotα /√

3 1 1√3

0

Tabelle 1.2 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen

Die Restriktionsin|[−π2 ,

π2 ]

:[−π2 ,

π2

]→ [−1, 1]

ist bijektiv, wie wir später zeigen werden, vgl. Bemerkung 2.60. Ihre Umkehr-funktion

arcsin : [−1, 1]→[−π2 ,

π2

]: x 7→ arcsinx :=

(sin|[−π2 ,

π2 ]

)−1(x)

heißt Arcussinus. Auch die Einschränkung cos|[0,π] ist bijektiv, vgl. Bemer-kung 2.60, ihre Umkehrabbildung

arccos : [−1, 1]→ [0, π] : x 7→ arccosx :=(

cos|[0,π])−1

(x)

34 1 Grundlagen

wird Arcuscosinus genannt.

-1 1

−π2

π2

π

y = arcsinx

y = arccosx

x

y

Abb. 1.11 Funktionsgraphen des Arcussinus und des Arcuscosinus

Die Umkehrfunktion des Tangens eingeschränkt auf(−π2 ,

π2

)heißt Arcustan-

gens und wird mit arctan bezeichnet.

-1 1

−π2

−π4

π4

π2

y = arctanx

x

y

Abb. 1.12 Funktionsgraph des Arcustangens

1.7.4 Hyperbelfunktionen

Die Funktionen

sinh: R→ R : x 7→ ex − e−x

2

und

cosh: R→ R : x 7→ ex + e−x

2

1.8 Komplexe Zahlen 35

heißen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus. Die Identität

sinh2 x+ 1 = cosh2 x für x ∈ R

wird sich später mehrfach als nützlich erweisen.

1

1

y = sinhx

y = coshx

x

y

Abb. 1.13 Funktionsgraphen des Sinus Hyperbolicus und des Cosinus Hyperbolicus

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen undwerden in Aufgabe (1.37) eingeführt.

1.8 Komplexe Zahlen

Die Menge R2 der geordneten Paare reeller Zahlen bildet mit der Addition

+: R2×R2 → R2 : ((x1, y1), (x2, y2)) 7→ (x1, y1)+(x2, y2) := (x1+x2, y1+y2)

und der Multiplikation

· : R2 × R2 → R2

((x1, y1), (x2, y2)) 7→ (x1, y1) · (x2, y2) := (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)

einen Körper, welcher mit C bezeichnet und Körper der komplexen Zahlengenannt wird. Die reellen Zahlen werden als Teilmenge der komplexen Zahlenaufgefasst, indem man x ∈ R mit (x, 0) ∈ C identifiziert. Wie man leichtnachrechnet, gilt

(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).

Die komplexe Zahl i := (0, 1) ist also Lösung der Gleichung z2 + 1 = 0. Füreine komplexe Zahl (x, y) werden wir stets die Darstellung

36 1 Grundlagen

x+ iy := (x, 0) + i(y, 0) = (x, y)

verwenden. Man beachte, dass x, y ∈ R.

Definition 1.56 (Realteil, Imaginärteil, Betrag, Konjugation). Füreine komplexe Zahl z = x+ iy ∈ C setzt man

Re z := x, (Realteil)

Im z := y, (Imaginärteil)

|z| :=√x2 + y2, (Betrag)

z := x− iy. (konjugiert-komplexe Zahl)

1.8.1 Komplexe Exponentialfunktion undPolardarstellung

Die komplexe Exponentialfunktion ist durch

exp: C 7→ C : z = x+ iy 7→ ez := ex (cos y + i sin y)

gegeben. Für ϕ ∈ R gilt offenbar∣∣e iϕ∣∣ = √cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1,der Einheitskreis wird also mit wachsendem ϕ im Gegenuhrzeigersinn durch-laufen. Zu z = x+ iy ∈ C \ {0} setzen wir r = |z| und wählen in eindeutigerWeise ϕ ∈ [0, 2π) mit

z = re iϕ. (Polardarstellung)

Man nennt dann r den Radius und ϕ =: arg z das Argument von der kom-plexen Zahl z.

Weitere nützliche Identitäten erhält man für ϕ ∈ R durch Addition bzw. Sub-traktion der beiden Gleichungen

e iϕ = cosϕ+ i sinϕ,

e−iϕ = cosϕ− i sinϕ,

es ergeben sich die Eulerschen Formeln

cosϕ =e iϕ + e−iϕ

2und sinϕ =

e iϕ − e−iϕ

2i.

1.9 Aufgaben 37

1.9 Aufgaben

(1.1) De Morgansche Regeln für Aussagen. Zeigen Sie die zweite Äquivalenzin Satz 1.2.

(1.2) Kontraposition. Es seien A und B zwei Aussagen. Man zeige, dass

(A⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A).

(1.3) Verneinen von Aussagen. Bilden Sie die Negation folgender Aussagenund

”vereinfachen“ Sie:

(a) A⇒ B , wobei A und B Aussagen sind.(b) ∃x ∈ Z ∀ y ∈ Q : x · y = 0(c) ∀x ∈ N ∃ y ∈ N : x+ y = 0(d) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ Bδ(ξ) ∩D : f(x) ∈ Bε(L)

(1.4) De Morgansche Regeln für Mengen. Zeigen Sie die zweite Gleichheit inSatz 1.10.

(1.5) Gleichheit von Abbildungen und Funktionsgraph. Es seien f, g : X → Yzwei Abbildungen. Zeigen Sie, dass

f = g ⇐⇒ Γ (f) = Γ (g).

(1.6) Eigenschaften von Abbildungen. Definieren Sie Abbildungen f : R→ Rmit folgenden Eigenschaften:

(a) f ist injektiv, aber nicht surjektiv(b) f ist surjektiv, aber nicht injektiv(c) Für unendlich viele x ∈ R ist f−1({x}) eine unendliche Menge.(d) f ist injektiv und im f = {x ∈ R : − 1 < x < 1}.

(1.7) Komposition bijektiver Abbildungen: Beweisen Sie Satz 1.27.(1.8) Injektivität einer Selbstabbildung. Es sei f : A → A eine Abbildung.

Zeigen Sie:

f injektiv ⇐⇒ f ◦ f injektiv

(1.9) Bijektivität einer Polynomfunktion. Bestimmen Sie jene k ∈ R , fürwelche die Funktion

f : R→ R : x 7→ −x3 + kx

bijektiv ist.Hinweis. Zeigen und verwenden Sie 2xy ≤ x2 + y2 für x, y ∈ R.

(1.10) Monotone Funktionen und Ungleichungen. Es seien f : D ⊂ R→ R einestreng monoton wachsende und g : D ⊂ R → R eine streng monotonfallende Funktion sowie a, b ∈ D. Zeigen Sie

38 1 Grundlagen

a < b ⇐⇒ f(a) < f(b) und a < b ⇐⇒ g(a) > g(b).

(1.11) Ungleichungen und Induktion. Für welche n ∈ N0 gelten folgende Un-gleichungen?

(a) 2n+ 1 ≤ 2n(b) n2 ≤ 2n

Stellen Sie eine Behauptung auf und beweisen Sie diese mittels vollständigerInduktion über n.

(1.12) Mächtigkeit der Potenzmenge. Es sei X eine endliche Menge. Zeigen Sie∣∣2X ∣∣ = 2|X|mittels vollständiger Induktion über die Anzahl der Elemente von X.

(1.13) Mächtigkeit der Menge der Abbildungen. Für zwei endliche Mengen Xund Y zeige man ∣∣Y X ∣∣ = |Y ||X|.

(1.14) Addition im Pascalschen Dreieck. Beweisen Sie Lemma 1.34.(1.15) Berechnung einer Doppelsumme. Es sei n ∈ N. Vereinfachen Sie

n∑i=1

2i∑j=i

j

i

zu einem Polynom in n.(1.16) Berechnung einer Summe mit Beträgen. Es sei n ∈ N. Vereinfachen Sie

n∑i=0

n∑j=0

|i− j|

zu einem Polynom in n.(1.17) Berechnung von Supremum und Infimum. Zeigen Sie für

A ={

1n : n ∈ N

},

dass

(a) supA = maxA = 1,(b) inf A = 0,(c) A kein Minimum besitzt.

(1.18) Eigenschaften von Supremum und Infimum. Es sei ∅ 6= A ⊂ R. ZeigenSie:

(a) Es giltinf A = − sup(−A),

wobei −A := {−a : a ∈ A}.

1.9 Aufgaben 39

(b) Ist A nach oben beschränkt, so gilt

∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : supA− ε < a.

(c) Falls A nach unten beschränkt ist, gilt

∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a < inf A+ ε.

(1.19) Supremum von Summen. Es seien A,B ⊂ R. Wir definieren die ele-mentweise Summe von A und B durch

A+B := {a+ b : a ∈ A , b ∈ B} .

Zeigen Sie: Sind A und B nach oben beschränkt, so ist auch A+B nachoben beschränkt und es gilt

sup(A+B) = supA+ supB.

(1.20) Supremum von Produkten. Beweisen Sie Satz 1.52.(1.21) Additionstheoreme. Beweisen Sie Satz 1.53.(1.22) Wurzelgleichungen. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der

Gleichungen

(a)√

6 + x =√

10− 4x−√x (b)

√x− 1−

√x+ 1 =

√x2 + x− 2

über R.(1.23) Quadratische Gleichung mit Parameter. Bestimmen Sie zu festem a ∈ R

Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung

(a2 − 1)x2 − ax− 1 = 0

über R.(1.24) Betragsungleichung. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der

Ungleichung|x2 − 2x− 3| > 1

über R.(1.25) Wurzelgleichungen mit Parameter. Bestimmen Sie zu festem a ∈ R die

Definitions- und Lösungsmenge der Gleichungen

(a)√x2 − 1 = a+ 2

(b)√x2 − ax = 2x− 1

über R.(1.26) Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung

6− 2x√4x2 − 8x+ 4

= 2 + x

40 1 Grundlagen

über R .(1.27) Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge der Ungleichung

x+ 1

x2 + x− 34> −1

2.

über R .(1.28) Gleichung mit Doppelbetrag. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge

der Gleichung ∣∣|x− 1| − |x+ 1|∣∣ = 1über R.

(1.29) Wurzelungleichung. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die Lösungs-menge der Ungleichung

−x <√

36− 2x2

über R.(1.30) Doppelsumme mit Binomialkoeffizienten I. Es sei n ∈ N. Vereinfachen

Sie

n∑i=0

n∑j=i

(j

i

).

zu einem Polynom in n.(1.31) Doppelsumme mit Binomialkoeffizienten II. Es sei n ∈ N. Vereinfachen

Sien∑k=0

n∑j=k

(j

k

)j

2j

zu einem Polynom in n.(1.32) Summe mit Binomialkoeffizienten. Es sei n ∈ N0. Vereinfachen Sie

n∑k=0

(n

k

)sin kx .

zu einem Polynom in n. Bestimmen Sie weiters für n = 5 die Mengealler x ∈ [0, 2π], für welche dieser Ausdruck 0 wird.

(1.33) Harmonische Schwingungen. Es sei ω > 0. Eine Überlagerung zweierharmonischer Schwingungen der Form

C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt), (C1, C2) ∈ R2\{(0, 0)}

kann geschrieben werden als

1.9 Aufgaben 41

A cos(ωt− ϕ).

Dabei wird mit A > 0 die Amplitude und mit ϕ ∈ [0, 2π) die Phasenver-schiebung bezeichnet. Drücken Sie C1, C2 durch A, ϕ und umgekehrtA, ϕ durch C1, C2 aus und berechnen Sie speziell A, ϕ für C1 =

√3,

C2 = −1 und C1 = 2, C2 = −2.(1.34) Trigonometrische Substitution. Für x ∈ R\{(2 k + 1)π : k ∈ Z} und

u = tan x2 zeigen Sie folgende Identitäten:

sinx =2u

1 + u2und cosx =

1− u2

1 + u2.

(1.35) Größtmöglicher Definitionsbereich. Geben Sie für die folgenden Funk-tionen den größtmöglichen Definitionsbereich D ⊂ R sowie das Bildan.

(a) f1 : D → R : x 7→ sin(arcsinx)(b) f2 : D → R : x 7→ arcsin(sinx)

Skizzieren Sie die Graphen dieser Funktionen.(1.36) Trigonometrische Ungleichung. Bestimmen Sie Definitions- und Lö-

sungsmenge der trigonometrischen Ungleichung√sinα

4> sinα

√cosα

über R.(1.37) Areafunktionen. Zeigen Sie, dass

arsinh: R→ R : x 7→ arsinhx := log(x+

√x2 + 1

)die Umkehrfunktion von sinh ist und

arcosh: [1,∞)→ [0,∞) : x 7→ arcoshx := log(x+

√x2 − 1

)jene von cosh|[0,∞). Die Funktionen arsinh und arcosh heißen Areasinushyperbolicus und Areacosinus hyperbolicus.

(1.38) Komplexe Lösungen. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung

z2 = 7− 24i

über C.(1.39) Komplexe Gleichungen I. Bestimmen Sie Definitions- und Lösungsmenge

folgender Gleichungen über C:

(a) |z + 1| = 2z (b) z2 = iz (c) zz − 5zz − z

= 5

42 1 Grundlagen

(1.40) Komplexe Gleichungen II. Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen fol-gender Gleichungen über C:

(a) z2 = −5 + 12i (b) z4 = z2 − 1

(1.41) Potenzen der Sinusfunktion. Schreiben Sie sin5 x als Linearkombinationvon Sinusfunktionen der Form sin(kx), wobei k ∈ N.

(1.42) Geometrische Summe. Es sei n ∈ N0.

(a) Zeigen Sien∑k=0

qk =qn+1 − 1q − 1

für q ∈ C \ {1}.(b) Vereinfachen Sie für x ∈ R die Summe

n∑k=0

sin(kx)

entsprechend und bestimmen Sie anschließend jene x, für welchedieser Ausdruck verschwindet.Hinweis: Im e ikx = sin(kx)

(1.43) Anwendung zum Binomischen Lehrsatz. Schreiben Sie (sin)5 als Line-arkombination von Sinusfunktionen, d. h. als

sin5 x =

n∑k=0

ak sin(kx) für x ∈ R

mit n ∈ N0 und a0, . . . , an ∈ R.Hinweis. Drücken Sie sin durch die komplexe Exponentialfunktion ausund verwenden Sie den Binomischen Lehrsatz. Die auftretenden Koef-fizienten können aus dem Pascalschen Dreieck abgelesen werden.

Kapitel 2

Grenzwerte und Stetigkeit

In diesem Kapitel widmen wir uns dem zentralen Konzept der Analysis undzwar jenem des Grenzwerts. Speziell untersuchen wir im Folgenden zunächstGrenzwerte reeller Funktionen.

2.1 Grenzwerte reeller Funktionen

Gegeben sei eine Funktion f : D ⊂ R → R und wir stellen uns der Frage,wie sich der Funktionswert f(x) verändert, wenn sich das Argument x einemPunkt ξ ∈ R nähert. Um dies zu untersuchen, muss es allerdings möglich sein,dass die Argumente dem Punkt ξ beliebig nahe kommen können. Dazu de-finieren wir im Folgenden die Begriffe Umgebung und punktierte Umgebungeines Punktes.

Definition 2.1 (Umgebung und punktierte Umgebung). Man nennteine Teilmenge U ⊂ R Umgebung des Punktes ξ ∈ R, falls es ein ε > 0 mit(ξ− ε, ξ+ ε) ⊂ U gibt. Weiters nennt man dann U̇ := U \ {ξ} eine punktierteUmgebung von ξ.

Rξ1

U

ξ2

V̇

Abb. 2.1 Umgebung U des Punktes ξ1 ∈ R und punktierte Umgebung V̇ des Punktesξ2 ∈ R

Bei einer punktierten Umgebung ist es also möglich, sich kontinuierlich demPunkt ξ von beiden Seiten zu nähern, vgl. Abbildung 2.1.

Beispiel 2.2. Betrachten wir die Funktion f : D ⊂ R→ R mit

43

44 2 Grenzwerte und Stetigkeit

x 7→ sinxx

,

so können wir den Definitionsbereich D als punktierte Umgebung von 0wählen, denn (sinx)/x und somit der Funktionswert f(x) ist für alle x 6= 0definiert. Die größtmögliche Wahl wäre also die punktierte Umgebung D :=R \ {0}. �

Von speziellem Interesse im Hinblick auf die Definition des Grenzwertes einerFunktion sind für uns Umgebungen der Form

Bε(ξ) := (ξ − ε, ξ + ε) für ξ ∈ R und ε > 0

und punktierte Umgebungen Ḃε(ξ) := Bε(ξ) \ {ξ}.

Bemerkung 2.3. Mit Umgebungen lässt sich mathematisch fassen, was esheißt, dass Punkte nahe beieinander liegen. Sind etwa ξ1, ξ2 ∈ R und giltfür alle Umgebungen U ⊂ R von ξ1, dass ξ2 ∈ U , so folgt ξ1 = ξ2. Dennwir können zu jedem ε > 0 speziell die Umgebung Bε(ξ1) betrachten underhalten damit |ξ1 − ξ2| < ε, woraus die Gleichheit folgt.

ξ

η

yy = f(x)

V

Ux

y

Abb. 2.2 Veranschaulichung von Definition (2.4) des Grenzwertes einer Funktion

Wir setzen im Weiteren voraus, dass der DefinitionsbereichD ⊂ R der Funkti-on f : D → R eine punktierte Umgebung des Punktes ξ ∈ R enthalte. MittelsUmgebungen werden wir nun die Forderung, dass der Funktionswert f(x) ei-nem Punkt η ∈ R beliebig nahe kommt, sofern das Argument x entsprechendnahe bei ξ liegt, mathematisch fassen.

Definition 2.4 (Grenzwert). Für η ∈ R schreibt man limx→ξ f(x) = η,falls es zu jeder Umgebung V ⊂ R von η eine punktierte Umgebung U̇ ⊂ Dvon ξ mit f

(U̇)⊂ V gibt, vgl. Abbildung 2.2. Man nennt η Grenzwert

2.1 Grenzwerte reeller Funktionen 45

von f an der Stelle ξ, falls limx→ξ f(x) = η gilt. Existiert ein η ∈ R mitlimx→ξ f(x) = η, so sagt man, dass limx→ξ f(x) (in R) existiert .

Ausschlaggebend bei der Grenzwertbildung ist, dass die Umgebung V belie-big klein gewählt werden kann. Gilt limx→ξ f(x) = η, so rückt in Folge derFunktionswert f(x) beliebig nahe an η, sofern nur das Argument x entspre-chend nahe bei ξ liegt.

Beispiel 2.5. Abbildung 2.3 lässt erahnen, dass der Funktionswert sin xx ineiner beliebig kleinen Umgebung von 1 liegt, sofern das Argument x 6= 0 nurnahe genug bei 0 liegt. Diese Beobachtung gilt es natürlich noch exakt zufassen, indem wir limx→0

sin xx = 1 zeigen werden. �

0

1

y = sin xx

x

y

Abb. 2.3 Grenzwert von [x 7→ (sinx)/x] im Nullpunkt

Man beachte, dass ξ nicht im Definitionsbereich von f liegen muss. Ist ξ ∈ Dund damit D eine Umgebung von ξ, so ist darüber hinaus der Funktionswertf(ξ) für die Grenzwertbildung unerheblich, vgl. Abbildung 2.2.Wie aus der Definition von Umgebungen und punktierten Umgebungen her-vorgeht, gilt limx→ξ f(x) = η genau dann, wenn es für alle ε > 0 ein δ > 0

gibt, sodass f(x) ∈ Bε(η) für alle x ∈ Ḃδ(ξ) gilt, es ist also

limx→ξ

f(x) = η ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: f(Ḃδ(ξ)

)⊂ Bε(η). (2.1)

Es genügt damit ganz spezielle Umgebungen zu betrachten und zwar um denjeweiligen Punkt symmetrisch liegende offene Intervalle, vgl. Abbildung 2.4.Man beachte, dass wir implizit stets Bδ(ξ) ⊂ D voraussetzen, d. h. δ wirdimmer entsprechend klein gewählt. Dies ist möglich, da es sich bei D selbstum eine punktierte Umgebung von ξ handelt.

Bemerkung 2.6. Gilt für ε > 0 und δ > 0, dass


f(x) ∈ Bε(η) für alle x ∈ Ḃδ(ξ),

so gilt dies auch für jedes δ̃ > 0 mit δ̃ ≤ δ, denn es gilt Ḃδ̃(ξ) ⊂ Ḃδ(ξ), vgl. Ab-bildung 2.4. Anschaulich bedeutet dies, dass es bei der Grenzwertbildung nurauf das Verhalten der Funktionswerte f(x) für Argumente x sehr nahe beiξ ankommt. Genauer haben nur die Funktionswerte zu Argumenten in einernoch so kleinen punktierten Umgebung des betrachteten Punktes einen Ein-fluß auf die Grenzwertbildung. Daher spricht man bei der Grenzwertbildungin einem Punkt von einem lokalen Prozess.

Formulieren wir (2.1) mittels Ungleichungen, so führt dies auf

limx→ξ

f(x) = η ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D :(0 < |x− ξ| < δ ⇒ |f(x)− η| < ε

)und wie wir im Folgenden sehen werden, bietet diese Darstellung rechnerischeVorteile.

ξ − δ ξ ξ + δ

η − ε

η

η + ε

y = f(x)

Ḃδ/2(ξ)

x

y

Abb. 2.4 Veranschaulichung der Definition (2.1) des Grenzwertes einer Funktion

Aus den bisherigen Betrachtungen geht nicht unmittelbar hervor, dass derGrenzwert einer Funktion eindeutig ist und somit den bestimmten Artikelverdient hat.

Satz 2.7 (Eindeutigkeit des Grenzwertes). Für η1, η2 ∈ R gelte

limx→ξ

f(x) = η1 und limx→ξ

f(x) = η2.

Dann ist η1 = η2.

Beweisidee. Die Voraussetzungen bedeuten anschaulich, dass die Funktions-werte f(x) sowohl η1 als auch η2 beliebig nahe kommen, woraus η1 = η2folgen sollte. Diese Idee ist Anlass für folgenden Beweis.


Direkter Beweis der Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass |η1 − η2| < ε für alleε > 0 gilt, denn dies ist äquivalent zu η1 = η2. Aufgrund der vorausgesetztenGrenzwertaussagen, können wir zu ε > 0 ein δ1 > 0 mit

f(x) ∈ Bε(η1) für alle x ∈ Ḃδ1(ξ)

und ein δ2 > 0 mit

f(x) ∈ Bε(η2) für alle x ∈ Ḃδ2(ξ)

finden. Setzen wir δ := min{δ1, δ2}, so gilt demnach für alle x ∈ Ḃδ(ξ), dass

|f(x)− η1| < ε und |f(x)− η2| < ε.

Die Anwendung der Dreiecksungleichung, vgl. Aufgabe (2.2), führt auf

|η1 − η2| ≤ |f(x)− η1|+ |f(x)− η2| < 2ε

für alle x ∈ Ḃδ(ξ).

Ein entsprechender Beweis der Eindeutigkeit mittels Widerspruch erlaubtdarüber hinaus eine bildliche Darstellung, vgl. Abbildung 2.5.

Indirekter Beweis der Eindeutigkeit. Wir nehmen η1 6= η2 an, setzen ε :=|η1 − η2|/2 und wählen δ > 0 wie im direkten Beweis der Eindeutigkeit. Füralle x ∈ Ḃδ(ξ) gilt dann

f(x) ∈ Bε(η1) und f(x) ∈ Bε(η2).

Da aber Bε(η1) ∩ Bε(η2) = ∅ gilt, widerspricht dies der Eindeutigkeit desFunktionswerts von f . ut

ξ − δ ξ ξ + δ

η1

η2 y = f(x)

x

y

Abb. 2.5 Veranschaulichung des indirekten Beweises der Eindeutigkeit

Unser nächstes Ziel ist, den Grenzwert einer Funktion an einer vorgegebenenStelle mit dem Funktionswert in diesem Punkt zu vergleichen. Dazu müssenwir natürlich voraussetzen, dass der Definitionsbereich der Funktion nicht nur


eine punktierte Umgebung des betrachteten Punktes enthält, um den Grenz-wert bilden zu können, sondern es muss sich bei sogar um eine entsprechendeUmgebung handeln.

Definition 2.8 (Stetigkeit in einem Punkt). Der Defintionsbereich D ⊂R der Funktion f : D → R sei eine Umgebung des Punktes ξ ∈ D. Dannnennt man f stetig im Punkt ξ, falls limx→ξ f(x) = f(ξ) gilt.

Bemerkung 2.9. Man beachte, dass limx→ξ f(x) = f(ξ) insbesondere bedeu-tet, dass der Grenzwert existiert. Wenn der Grenzwert limx→ξ f(x) nichtexistiert, ist die Funktion in ξ jedenfalls nicht stetig, vgl. Beispiel 2.10 undBeispiel 2.11. Wenn limx→ξ f(x) existiert, aber limx→ξ f(x) 6= f(ξ) gilt, so

”springt“ f im Punkt ξ, vgl. Abbildung 2.6.

Bei Stetigkeit in einem Punkt handelt es sich um eine lokale Eigenschaft,vgl. Bemerkung 2.6, d. h. Funktionswerte zu Argumenten in einer beliebigkleinen Umgebung des betrachteten Punktes entscheiden darüber, ob dieFunktion in diesem Punkt stetig ist oder nicht.

ξ

η

f(ξ)

y = f(x)

x

y

Abb. 2.6 Der Grenzwert im Punkt ξ existiert, ist allerdings nicht gleich dem Funktions-

wert. Demnach handelt es sich bei ξ um eine Sprungstelle der Funktion f .

Beispiel 2.10 (Sprungstelle). Für die Funktion

f : R→ R : x 7→

{x2 − 1, x ≥ 0,1− x2, x < 0

existiert der Grenzwert limx→0 f(x) nicht, anschaulich gesprochen ”springt“ f

im Nullpunkt, vgl. Abbildung 2.7. �


−1 1

−1

1 y = f(x)

2 x

y

Abb. 2.7 Aufgrund einer Sprungstelle im Nullpunkt existiert dort der Grenzwert nicht

Beispiel 2.11 (Nicht existierender Grenzwert). Wir zeigen, dass derGrenzwert limx→0 sin(1/x) nicht existiert. Betrachtet wird also die Funktionf : R \ {0} → R : x 7→ sin(1/x). Man beachte, dass es sich beim Defini-tionsbereich R \ {0} um eine punktierte Umgebung des Nullpunktes han-delt. Wir zeigen die Aussage mittels Widerspruch. Dazu treffen wir die“Widerspruchsannahme“, dass es ein η ∈ R mit limx→ f(x) = η gibt. Danngibt es zu ε = 1/2 ein δ > 0 mit

|f(x)− η| < 1/2 für alle |x| < δ. (2.2)

Für n ∈ N setzen wir

xn :=1

2nπ + π/2und yn :=

1

2nπ + 3π/2.

Dann gilt f(xn) = 1 sowie f(yn) = −1 und in Folge ist |f(xn)− f(yn)| = 2.Nun können wir n ∈ N so groß wählen, dass |xn| < δ und |yn| < δ gilt. DurchAnwendung der Dreiecksungleichung und mit (2.2) erhalten wir

2 = |f(xn)− f(yn)| = |(f(xn)− η) + (η − f(yn))|≤ |f(xn)− η|+ |f(yn)− η| < 12 +

12 = 1

und mit 2 < 1 offenbar einen Widerspruch. Daher ist die “Widerspruchs-annahme“ falsch und es gibt somit kein η ∈ R mit limx→0 f(x) = η. Alsoexistiert der Grenzwert limx→0 sin(1/x) nicht. �

Beispiel 2.12 (Unbeschränktheit und Grenzwert). Ist f : D ⊂ R→ Reine Funktion, welche bei ξ ∈ R unbeschränkt ist, das heißt

∀ δ > 0 ∀M > 0 ∃x ∈ Ḃδ(ξ) : |f(x)| > M,

so existiert der Grenzwert limx→ξ f(x) nicht in R, vgl. Abbildung 2.9. An-genommen, für η ∈ R gilt limx→0 f(x) = η. Zu ε > 0 können wir dann einδ > 0 mit


−2 −1 1 2

y = sin 1x

1

−1

x

y

Abb. 2.8 Der Grenzwert in Null der in einer punktierten Umgebung des Nullpunktes

definierten Funktion [x 7→ sin(1/x)] existiert nicht. Die Funktion ist daher insbesondere inNull nicht stetig fortsetzbar.

|f(x)− η| < ε für alle x ∈ Ḃδ(ξ)

finden. Aus der Unbeschränktheit schließen wir auf die Existenz eines x ∈Ḃδ(ξ) mit |f(x)| > |η| + ε und mit der umgekehrten Dreiecksungleichung,vgl. Aufgabe (2.2), folgt daher

|f(x)− η| ≥ |f(x)| − |η| > ε,

also der gewünschte Widerspruch zur Grenzwertaussage. �

−δ x δ

M

f(x)

y = 1x2

x

y

Abb. 2.9 Unbeschränktheit der Abbildung [x 7→ 1/x2] im Nullpunkt

Um eine Funktion f : D ⊂ R → R in jedem Punkt ξ ∈ D auf Stetigkeituntersuchen zu können, muss der Definitionsbereich D eine Umgebung allseiner Punkte sein – man nennt D dann offen.

Definition 2.13 (Stetigkeit). Der Defintionsbereich D ⊂ R der Funktionf : D → R sei offen. Dann nennt man f stetig oder auch stetig auf D, falls fin jedem Punkt ξ ∈ D stetig ist, d. h. falls limx→ξ f(x) = f(ξ) für alle ξ ∈ Dgilt.


Um die im weiteren Verlauf dieses Abschnitts auftretenden Funktionen aufStetigkeit untersuchen zu können, betrachten wir im Folgenden stets offeneDefinitionsbereiche.

Beispiel 2.14 (Stetigkeit affiner Funktionen). Für ξ ∈ R und α, β ∈ Rzeigen wir limx→ξ(αx + β) = αξ + β, vgl. Abbildung 2.10. Wir betrachtenalso die affine Funktion

f : R→ R : x 7→ αx+ β

und geben uns ε > 0 vor. Gesucht ist nun ein δ > 0, sodass

|f(x)− f(ξ)| = |αx− αξ| = |α||x− ξ| < ε für alle x ∈ Ḃδ(ξ).

Die Wahl von δ hängt also offensichtlich vom Betrag der Steigung α ab. Jegrößer |α| umso kleiner muss δ in Abhängigkeit von ε gewählt werden. Fürα = 0 führt jede Wahl von δ > 0 zum Ziel, denn dann gilt |f(x)− f(ξ)| = 0für alle x ∈ R. Ist hingegen α 6= 0, so setzen wir δ := ε/|α| und erhalten

|f(x)− f(ξ)| = |α||x− ξ| < |a|δ = |a| ε|a|

= ε

für alle x ∈ Ḃδ(ξ) und damit die gewünschte Grenzwertaussage. �

ξ

η

xξ

η

xξ

η

x

Abb. 2.10 Grenzwerte affiner Funktionen

Bemerkung 2.15 (Stetigkeit der Identität und konstanter Funktionen). Ausobigem Beispiel ergibt sich insbesondere

limx→ξ

β = β und limx→ξ

x = ξ

für alle ξ ∈ R und β ∈ R. Die Identität [x 7→ x] sowie die konstante Funktion[x 7→ β] sind also stetig auf ganz R.


Beispiel 2.16 (Stetigkeit der Betragsfunktion). Wir zeigen für ξ ∈ R,dass limx→ξ |x| = |ξ|, vgl. Abbildung 2.11. Nach der umgekehrten Dreiecks-ungleichung, vgl. Aufgabe (2.2), gilt

||x| − |ξ|| ≤ |x− ξ| für x ∈ R.

Zu ε > 0 setzen wir daher δ := ε, denn für x ∈ Ḃδ(ξ) ist dann

||x| − |ξ|| < δ = ε.

Damit ist limx→ξ |x| = |ξ| gezeigt. �

ξ

η

y = |x|

x

y

Abb. 2.11 Grenzwerte der Betragfunktion

Beispiel 2.17 (Stetigkeit der Quadratwurzelfunktion). Für ξ > 0 zei-gen wir limx→ξ

√x =

√ξ, wobei wir die Quadratwurzelfunktion auf (0,∞)

betrachten, vgl. Abbildung 2.12. Für x > 0 ist

|√x−

√ξ| = |x− ξ|√

x+√ξ≤ |x− ξ|√

ξ.

Zu ε > 0 wählen wir daher δ := ε√ξ, denn dann ist

|x− ξ|√ξ

<δ√ξ

= ε

und somit |√x−√ξ| < ε für alle x ∈ Ḃδ(ξ). �

Beispiel 2.18 (Stetigkeit der Quadratfunktion). Wir betrachten dieQuadratfunktion R→ R : x 7→ x2 und zeigen für alle x ∈ R, dass limx→ξ x2 =ξ2, vgl. Abbildung 2.12. Dazu beobachten wir zuerst, dass

|x2 − ξ2| = |x+ ξ| · |x− ξ| ≤ (|x− ξ|+ 2|ξ|) · |x− ξ| für alle x ∈ R.

gilt. Sofern wir bei vorgegebenem ε > 0 ein entsprechendes δ > 0 zum Nach-weis der Grenzwertaussage finden, können wir δ ∈ (0, 1) annehmen, vgl. Be-


merkung 2.6. Dann gilt

|x2 − ξ2| = |x+ ξ| · |x− ξ| ≤ (|x− ξ|+ 2|ξ|) · |x− ξ| für alle x ∈ R.

Zu ε > 0 wählen wir daher δ ∈ (0, 1) mit δ < ε/(1 + 2|ξ|) und erhalten

(|x− ξ|+ 2|ξ|) · |x− ξ| < (1 + 2|ξ|)δ < ε,

also somit |x2 − ξ2| < ε für alle x ∈ Ḃδ(ξ). �

ξ

η

y =√x

x

y

ξ

η

y =√x

x

y

ξ

η

y =√x

x

y

ξ

η

y = x2

x

y

ξ

η

y = x2

x

y

ξ

η

y = x2

x

y

Abb. 2.12 Grenzwerte der Quadratfunktion (oben) und der Quadratwurzelfunktion (un-

ten)

Definition 2.19 (Lipschitz-Stetigkeit). Eine Funktion f : D ⊂ R → Rheißt Lipschitz-stetig auf D, falls eine Konstante L ≥ 0 mit

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y| für alle x, y ∈ D

existiert. Man nennt dann L eine Lipschitz-Konstante von f .

Satz 2.20 (Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig). Eine Lipschitz-stetige Funktion f : D ⊂ R→ R ist stetig.


Beweisidee. Zu zeigen ist limx→ξ f(x) = f(ξ) für ξ ∈ D. Für x ∈ D istaufgrund der Lipschitz-Stetigkeit von f der Abstand zwischen den Funkti-onswerten f(ξ) und f(x) durch ein Vielfaches des Abstandes zwischen denArgumenten ξ und x beschränkt. Ist also x nicht weit von ξ entfernt, soauch f(x) von f(ξ). Veranschaulicht liefert dies gerade die zu beweisendeGrenzwertaussage.

Beweis. Auf Grundlage obiger Beobachtungen geben wir nun den Beweis. Essei dazu ξ ∈ D und L > 0 eine Lipschitz-Konstante von f , es gelte also

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y| für alle x, y ∈ D.

Zu ε > 0 müssen wir ein δ > 0 finden, sodass

|f(x)− f(ξ)| < ε für alle x ∈ D mit |x− ξ| < δ gilt.

Für x ∈ D mit |x− ξ| < δ ist aber

|f(x)− f(ξ)| ≤ L|x− ξ| < Lδ

und daher wählen wir δ > 0 so, dass Lδ < ε, also δ < ε/L. ut

2.2 Grenzwertsätze

Wir haben bereits erste Grenzwerte von einfacheren Funktion berechnet.Kompliziertere Funktionen lassen sich oftmals als Komposition eben solcherFunktionen schreiben und wir lernen in diesem Abschnitt einige Resultatekennen, welche es uns ermöglichen werden, auch für diese Funktionen ent-sprechende Grenzwertaussagen abzuleiten. Als ersten Schritt zeigen wir infolgendem Lemma die Positivitt der Funktion in einer punktierten Umge-bung im Fall, dass der Grenzwert positiv ist.In diesem Abschnitt enthalte D ⊂ R stets eine punktierte Umgebung desPunktes ξ ∈ R.

Lemma 2.21 (Positivität in einer punktierten Umgebung). Für dieFunktion f : D → R existiere der Grenzwert limx→ξ f(x) = η ∈ R. Ist η > 0,dann ist f in einer punktierten Umgebung von ξ positiv, d. h. es gibt einδ > 0 mit

f(x) > 0 für alle x ∈ Ḃδ(ξ).

Beweisidee. Ist limx→ξ f(x) = η > 0, so müssen die Funktionswerte f(x)näher bei η als bei 0 liegen, sofern wir nur Argumente x genügend nahe beiξ betrachten. Folglich sind diese Funktionswerte dann positiv.

2.2 Grenzwertsätze 55

ξ − δ ξ ξ + δ

0 < η2

η

3η2

y = f(x)

x

y

Abb. 2.13 Positivität in einer punktierten Umgebung

Beweis. Da limx→ξ f(x) = η > 0 gilt, können wir zu ε = η/2 > 0 ein δ > 0mit

f(x) ∈ Bη/2(η) für alle x ∈ Ḃδ(ξ)

finden. Für alle x ∈ Ḃδ(ξ) gilt demnach |f(x)−η| < η2 und dies ist äquivalentzu η2 < f(x) <

3η2 . Insbesondere ist dann f(x) >

η2 > 0 für alle x ∈ Ḃδ(ξ). ut

Bemerkung 2.22. Gilt η 6= 0, dann ist f in einer punktierten Umgebung vonξ von Null weg beschränkt, d. h. es gibt eine Konstante c > 0 sowie ein δ > 0mit

|f(x)| ≥ c für alle x ∈ Ḃδ(ξ).

Insbesondere verschwindet f in dieser punktierten Umgebung nicht und dieFunktionswerte haben dasselbe Vorzeichen wie η, es gilt also f(x) · η > 0 füralle x ∈ Ḃδ(ξ).

Satz 2.23 (Grenzwertsätze: Vielfaches, Summe, Produkt, Quotientvon Grenzwerten). Es seien f, g : D ⊂ R→ R zwei Funktionen mit

limx→ξ

f(x) = η und limx→ξ

g(x) = γ

für η, γ ∈ R. Dann gilt:

(1) ∀α ∈ R : limx→ξ αf(x) = αη(2) limx→ξ (f(x) + g(x)) = η + γ(3) limx→ξ f(x)g(x) = ηγ(4) limx→ξ f(x)/g(x) = η/γ, falls γ 6= 0

Beweisidee. Liegt für ein Argument x ∈ D der Funktionswert f(x) nahe beiη sowie g(x) nahe γ, so sollte sich dies auch auf das skalare Vielfache, die


Summe, das Produkt und den Quotienten der Funktionen und der entspre-chenden Grenzwerte übertragen. Der rigorose Nachweis der wenig überrasch-nenden Tatsache, dass etwa das P

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