Upload
john-henry
View
32
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
logo
HIMPUNAN
Kusbudiono
Fakultas Matematika dan ILmu Pengetahuan AlamJurusan Matematika
2011
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Outline
1 Definisi dan Jenis-jenis HimpunanDefinisi HimpunanJenis-jenis HimpunanSoal-soal Latihan
2 Relasi HimpunanSoal-soal Latihan
3 Operasi HimpunanOperasi Dasar HimpunanSifat-sifat Operasi HimpunanOperasi Jumlah dan Selisih HimpunanSoal-soal Latihan
4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Outline
1 Definisi dan Jenis-jenis HimpunanDefinisi HimpunanJenis-jenis HimpunanSoal-soal Latihan
2 Relasi HimpunanSoal-soal Latihan
3 Operasi HimpunanOperasi Dasar HimpunanSifat-sifat Operasi HimpunanOperasi Jumlah dan Selisih HimpunanSoal-soal Latihan
4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Outline
1 Definisi dan Jenis-jenis HimpunanDefinisi HimpunanJenis-jenis HimpunanSoal-soal Latihan
2 Relasi HimpunanSoal-soal Latihan
3 Operasi HimpunanOperasi Dasar HimpunanSifat-sifat Operasi HimpunanOperasi Jumlah dan Selisih HimpunanSoal-soal Latihan
4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi dasar himpunan
Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi unerkomplemen (()c), operasi biner irisan (∩) dan gabungan (∪).Ketiga operasi ini ekuivalen dengan operasi negasi, konjungsidan disjungsi pada logika. Selain itu pada himpunan jugadikenal operasi selisih dan perkalian himpunan.
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Komplemen
Definisi (Operasi Komplemen)Komplemen suatu himpunan adalah himpuan yangberanggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yangtidak menjadi unsur himpuan bersangkutan.
Ac = {x |x ∈ U ∧ x 6∈ A}
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Komplemen
ContohJika U = {1,2,3, · · · ,10} A = {1,3,5} dan B = {5,7,9}
maka1 Ac = {2,4,6,7,8,9,10}2 Bc = {1,2,3,4,6,8,10}
Ilustrasi grafis komplemen himpunan diberikan pada Gambar 3.
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Komplemen
A
A A
Gambar: Diagram Venn untuk Ac
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Irisan
Definisi (Operasi Irisan)Irisan dua buah himpunan adalah himpunan yangberanggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersamakedua himpunan.
A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
Teorema
A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Irisan
A
B
Gambar: Diagram Venn A ∩ B
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Irisan
Contoh
Jika U = {1,2,3, · · · ,10} A = {1,3,5} dan B = {5,7,9} makaA ∩ B = {5}Diagram Venn irisan dua himpunan diberikan pada Gambar 4.
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Gabungan
Definisi (Operasi Gabungan)Gabungan dua buah himpunan adalah himpunan yangberanggotakan semua unsur-unsur yang menjadi unsur salahsatu atau kedua himpunan.
A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Gabungan
A
B
Gambar: Diagram Venn A ∪ B
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Dasar Himpunan
Operasi Gabungan
Contoh
Jika U = {1,2,3, · · · ,10} A = {1,3,5} dan B = {5,7,9} makaA ∪ B = {1,3,5,7,9} Ilustrasi diagram Venn dari gabunganhimpunan diberikan pada Gambar 5.
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Teorema (Komplemen Ganda)Untuk sembarang himpunan A berlaku:
(Ac)c = A (1)
Teorema ( Sifat Komutatif/ Pertukaran)Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku:
A ∩ B = B ∩ A (2a)
A ∪ B = B ∪ A (2b)
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Teorema ( Sifat Asosiatif/ Pengelompokan)Untuk sembarang himpunan A,B dan C berlaku:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C (3a)
(A ∪ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) (3b)
Teorema ( Sifat Identitas)Terdapat identitas untuk interseksi (∅) dan identitas untukgabungan (U) dan untuk setiap himpunan A berlaku
A ∩ U = A dan A ∩ ∅ = ∅ (4a)
A ∪ U = U dan A ∪ ∅ = A (4b)
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Teorema ( Sifat Komplemen)Untuk setiap A terdapat dengan tunggal Ac sehingga
(A ∩ Ac) = ∅ (5a)
(A ∪ Ac) = U (5b)
Teorema (Komplemen identitas)
∅c = U (6a)
Uc = ∅ (6b)
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Teorema (Hukum De Morgan)Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (7a)
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (7b)
Teorema ( Hukum Distributif)Untuk sembarang himpunan A,B dan C berlaku:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (8a)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (8b)
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Teorema ( Sifat Idempoten)Untuk sembarang himpunan A berlaku
A ∩ A = A (9a)
A ∪ A = A (9b)
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Operasi Selisih
Definisi (Operasi Selisih)Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yangberanggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunanpertama yang tidak menjadi unsur himpunan pengurang.
A/B = A− B = {x |x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Teorema
A/B = A ∩ Bc
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Operasi Jumlah
Definisi (Operasi Jumlah)Jumlah dua himpunan adalah himpunan yang beranggotakansemua unsur yang menjadi anggota salah satu himpunan.
A + B = {(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ (A ∩ B)}
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
ContohJika A = {1,3,5,7,9} dan B = {4,5,6,8,10} maka
1 A ∩ B = {5}2 A ∪ B = {1,3,4,5,6,7,8,9,10}3 A/B = {1,3,7,9}4 B/A = {4,6,8,10}5 A + B = {1,2,3,4,6,7,8,9,10}
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
A
B
A
B
Gambar: Diagram Venn A/B dan A + B
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlahserta hubungannya dengan operasi dasar sebelumnyadiberikan pada teorema-teorama berikut. Ilustrasi dapatmenggunakan diagram Venn sedangkan pembuktian secaraformal dapat menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
TeoremaUntuk sembarang himpunan A,B
A + B = (A ∪ B)/(A ∩ B)
TeoremaUntuk sembarang himpunan A,B
A + B = (A/B) ∪ (B/A)
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Teorema (Komutatif jumlah)Untuk sembarang himpunan A,B
A + B = B + A
Teorema (Distributif Selisih)Untuk sembarang himpunan A,B,C
(A ∪ B)/C = (A/C) ∪ (B/C) (10a)
(A ∩ B)/C = (A/C) ∩ (B/C) (10b)
logo
Definisi dan Jenis-jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Definisi (Partisi himpunan)Himpunan A dan B dikatakan partisi dari himpunan C jika danhanya jika A dan B saling lepas dan gabungannya samadengan C.
A,B partisi dari C ↔[(A ∩ B = ∅) ∧ (A ∪ B = C)
]