Slides Dia 2

Fundamentos de lenguajesde programacin cuntica

Da 2: Algoritmos cunticos

Alejandro Daz-CaroUniversidad Nacional de Quilmes

22o Escuela de Verano de Ciencias InformticasRo Cuarto, Crdoba 9 al 14 de febrero de 2015

Algoritmos ms conocidos y criptografa

I Deutsch

I Deutsch-Jotza

I Grover

I BB84

Alejandro Daz-Caro Fundamentos de lenguajes de programacin cuntica - RIO15 2 / 14

Algoritmo de Deutsch

Objetivo:Dado un orculo Uf que implementa la funcin

f : {0, 1} {0, 1}, determinar si f es constante o no

Uf |x , y = |x , y f (x)

|0 HUf

H

|1 H

|01 Deustch alg.

|f (0) f (1)[|0|1

2

] |0 [ |0|12 ]|1

[|0|1

2

]Si es

constante

Sino


Algoritmo de Deutsch

Objetivo:Dado un orculo Uf que implementa la funcin

f : {0, 1} {0, 1}, determinar si f es constante o no

Uf |x , y = |x , y f (x)

|0 HUf

H

|1 H

|01 Deustch alg. |f (0) f (1)[|0|1

2

] |0 [ |0|12 ]|1

[|0|1

2

]Si es

constante

Sino


Algoritmo de Deutsch-JotzaObjetivo:

Dado un orculo Uf que implementa la funcinf : {0, 1}n {0, 1}, determinar si f es constante o balanceada

Uf |x , y = |x , y f (x)

|0 H

Uf

H

|0 H H...

...

|1 H

|0n|1 DJ alg.

|0n[|0|1

2

]|

[|0|1

2

]Si es

constante

Si esbalanceada

donde | noincluye |0n


Algoritmo de Deutsch-JotzaObjetivo:

Dado un orculo Uf que implementa la funcinf : {0, 1}n {0, 1}, determinar si f es constante o balanceada

Uf |x , y = |x , y f (x)

|0 H

Uf

H

|0 H H...

...

|1 H

|0n|1 DJ alg. |0n

[|0|1

2

]|

[|0|1

2

]Si es

constante

Si esbalanceada

donde | noincluye |0n


Algoritmo de bsqueda de GroverPreliminares: Orculo

Uf |x , y = |x , y f (x)

Tomar y = | = 12 (|0 |1) entonces

Uf |x , y = Uf(|x 1

2(|0 |1)

)= 1

2(Uf |x , 0 Uf |x , 1)

= 12(|x , f (x) |x , 1 f (x)) = |x 1

2(|f (x) |1 f (x))

= (1)f (x)|x , y

Uf no modifica y . . . lo omitimos

OrculoU|x = (1)f (x)|x


Algoritmo de bsqueda de GroverPreliminares: Inversin sobre el promedio

| = 12n

x{0,1}n

|x

=

12n...12n

2n

Inversin sobre el promedioG = 2|| I

22n 1 22n 22n2

2n22n 1 22n... ... ...

22n

22n 22n 1

2n2n

G

x{0,1}n

ax |x

=

x{0,1}n(2A ax )|x

donde A es el promedio de los ax


Algoritmo de bsqueda de GroverPreliminares: Inversin sobre el promedio

| = 12n

x{0,1}n

|x =

12n...12n

2n

Inversin sobre el promedioG = 2|| I

22n 1 22n 22n2

2n22n 1 22n... ... ...

22n

22n 22n 1

2n2n

G

x{0,1}n

ax |x

=

x{0,1}n(2A ax )|x

donde A es el promedio de los ax


Algoritmo de bsqueda de GroverEl algoritmo

Objetivo:Localizar el x0 tal que f (x0) = 1

1. Aplicar Hadamard a |0n

2. Aplicar el orculo U3. Aplicar la inversin sobre el promedio G

4. Repetir pasos 2 y 3 durante

pi

4arcsen(

12n )

iteraciones

(clculo del nmero ptimo de iteraciones, en el apunte, seccin 2.3.4)

Explicacin paso a paso en el pizarrn(y ejemplo)


Aplicacin criptogrficaOne-time pad, un mtodo clsico infalible. . .

b1 b2 b1 b2 (b1 b2)b2

1 1 0 11 0 1 10 1 1 00 0 0 0

ClaveMensajecifrado

Mensaje

original

Mensaje

Clave

Mensaje

cifrado

Probabilidad de adivinar el mensaje original a partir del cifrado: 12nIgual que la posibilidad de adivinar el mensaje original sin ninguna

informacin extra!



b1 b2 b1 b2 (b1 b2)b2

1 1 0 11 0 1 10 1 1 00 0 0 0

ClaveMensajecifrado

Mensaje

original

Mensaje

Clave

Mensaje

cifradoProbabilidad de adivinar el mensaje original a partir del cifrado: 12n

Igual que la posibilidad de adivinar el mensaje original sin ningunainformacin extra!



Entonces, si es tan simple y seguro. . . porqu no es utilizado?

I Largo del mensaje = largo de la clave (para 100% de seguridad)I Clave de encriptacin y desencriptacin iguales (y secretas)

I Dificultad para distribuir las claves

Ah entra el mtodo BB84: es un mtodo dedistribucin de claves de manera segura.


Aplicacin criptogrficaQKDBB84

Objetivo: Crear y transmitir una clave de manera segura

Esquema + Base {|0, |1} {|+, |}

Codif. 0 = |01 = |1

0 = |1 = |+

1. A: secuencia aleatoria de 0s o 1s y eleccin aleatoria de esquemas para c/bit2. B: eleccin aleatoria del esquema de medicin para cada bit recibido3. A: transmite la sucesin de esquemas empleada4. B: informa en qu casos coincidieron5. La clave queda definida por los bits donde se usaron los mismos esquemas6. Intercambio de hashes para verificacin


Aplicacin criptogrficaQKDBB84: Ejemplo

+ : 0 = |0, 1 = |1 : 0 = |, 1 = |+1. A: secuencia aleatoria de 0s o 1s y eleccin aleatoria de esquemas para c/bit2. B: eleccin aleatoria del esquema de medicin para cada bit recibido3. A: transmite la sucesin de esquemas empleada4. B: informa en qu casos coincidieron5. La clave queda definida por los bits donde se usaron los mismos esquemas6. Intercambio de hashes para verificacin

Bits de A 1 0 0 1 0 0 0 1Esquemas de A + + + +Valores de A |+ |0 |0 |+ | |0 | |1

Esquemas de B + + + + Valores de B |0 |+ |0 |+ |1 |0 | |

Coincidencias Clave 0 1 0 0


Aplicacin criptogrficaQKDBB84: Ejemplo

+ : 0 = |0, 1 = |1 : 0 = |, 1 = |+1. A: secuencia aleatoria de 0s o 1s y eleccin aleatoria de esquemas para c/bit2. B: eleccin aleatoria del esquema de medicin para cada bit recibido3. A: transmite la sucesin de esquemas empleada4. B: informa en qu casos coincidieron5. La clave queda definida por los bits donde se usaron los mismos esquemas6. Intercambio de hashes para verificacin

Bits de A 1 0 0 1 0 0 0 1Esquemas de A + + + +Valores de A |+ |0 |0 |+ | |0 | |1

Esquemas de B + + + + Valores de B |0 |+ |0 |+ |1 |0 | |Coincidencias

Clave 0 1 0 0


Aplicacin criptogrficaQKDBB84: Inviolabilidad (terica)

Agregamos un espa: C

I A enva 0 con esquema : |I Si C usa esquema +, el estado pasa a |0 o |1I Si B usa esquema , obtiene | con probabilidad 12 y |+ con

probabilidad 12I Mientras ms bits se envan, la probabilidad de no detectar a C

decrece exponencialmente:Bits Probabilidad1 bit 3/4 = 0,758 bits (3/4)8 = 0,10011128 bits (3/4)128 = 1,018 10161Mb (3/4)1024 = 1,155 101281MB (3/4)8192 = 3,17 101024




I A enva 0 con esquema : |I Si C usa esquema +, el estado pasa a |0 o |1

I Si B usa esquema , obtiene | con probabilidad 12 y |+ conprobabilidad 12

I Mientras ms bits se envan, la probabilidad de no detectar a Cdecrece exponencialmente:Bits Probabilidad1 bit 3/4 = 0,758 bits (3/4)8 = 0,10011128 bits (3/4)128 = 1,018 10161Mb (3/4)1024 = 1,155 101281MB (3/4)8192 = 3,17 101024





probabilidad 12

I Mientras ms bits se envan, la probabilidad de no detectar a Cdecrece exponencialmente:Bits Probabilidad1 bit 3/4 = 0,758 bits (3/4)8 = 0,10011128 bits (3/4)128 = 1,018 10161Mb (3/4)1024 = 1,155 101281MB (3/4)8192 = 3,17 101024


Aplicacin criptogrficaQKDBB84 en la vida real


Ejercicio

En una lista de 1000 elementos,1. Cul es el nmero ptimo de iteraciones del

algoritmo de Grover?2. Cul es la probabilidad de error?


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