Upload
phongmathbmt
View
233
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
SỐ PHỨC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm số phức
Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được
gọi là số phức.
a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
Tập hợp số phức được kí hiệu là C.
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R C .
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Biểu diễn hình học
Số phức z = a + bi ,a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ,u a b trong
mp(Oxy) (mặt phẳng phức).
3. Hai số phức bằng nhau
'
' ' , , ', ''
a aa bi a b i a b a b R
b b
4. Cộng và trừ hai số phức
' ' ' 'a bi a b i a a b b i
' ' ' 'a bi a b i a a b b i
Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi
5. Nhân hai số phức
' ' ' ' ' 'a bi a b i aa bb ab ba i
k a bi ka kbi k R
6. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi
z z
' 'z z z z
. ' . ' ;' '
z zz z z z
z z
2 2.z z a b
z là số thực z z
z là số ảo z z
7. Modul của số phức
Cho số phức z = a + bi
O x
y
b
a
M (a,b)
Trục thực
Trục ảo
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
2 2 .z a b z z OM
0, ; 0 0z z C z z
. ' . 'z z z z
' '
zz
z z
' ' 'z z z z z z
8. Chia hai số phức
1
2
10z z z
z
' ' '
' 1
2
. ..
.
z z z z zz z
z z zz
9. Căn bậc hai của số phức
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi 2 2
2 xw
2
y az
xy b
w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0
w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là a
Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i
10. Phương trình bậc hai
2 0 *Az Bz C (A, B, C là các số phức cho trước, 0)A
Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực
Nếu 0z C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là nghiệm của (*)
11. Dạng lượng giác của số phức
sin 0z r cos i r là dạng lượng giác của số phức z = a + bi
2 2
0
sin
r a b
az cos
r
b
r
là một acgumen của z, ,Ox OM
1z z cos isin
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)
Giải:
Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i
Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1.
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức 3 3
1 2i i
Giải:
Ta có:
3 3 2 2 3
3 3 3
1 1 3 1 3 1 2 2
2 2 8
i i i i i
i i i
3 31 2 2 10i i i
Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10.
Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết 2
2 1 2z i i
Giải:
Ta có: 1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i z i
Phần ảo của số phức z bằng: 2.
Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
2 3 4 1 3i z i z i . Tìm phần
thực và phần ảo của z.
Giải:
Gọi z = a + bi ,a R b R . Đẳng thức đã cho trở thành 6a 4b -2(a b)i 8 -6i
6 4 8 2
2 2 6 5
a b a
a b b
Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5
Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn 2
1 2 8 1 2i i z i i z . Tìm phần thực và
phần ảo của z.
Ta có: 2
1 2 8 1 2i i z i i z
2
1 2 1 2 8z i i i i
2 2 1 2 8z i i i i
8 1 282 3
2 1 5
i iiz i
i
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3
Dạng tìm môđun của số phức
Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn
3
1 3
1
iz
i
. Tìm môđun của số phức z iz
Giải:
Ta có: 3
1 3 8i
Do đó 8
4 4 4 41
z i z ii
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
4 4 4 4 8 8z iz i i i i
Vậy 8 2.z iz
Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: 2z và 2z là số thuần ảo.
Giải:
Gọi z = a + bi ,a R b R , ta có: 2 2z a b và 2 2 2 2z a b abi
Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: 2 2 2
2 2 2
2 1 1
10 1
a b a a
ba b b
Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i.
Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 10z i và . 25z z .
Giải:
Gọi z = a + bi ,a R b R ,
Ta có: 2 2 1 ;z i a b i
Từ giả thiết ta có: 2 10z i 2 2
2 1 10 1a b
và . 25z z 2 2 25 2a b
Giải hệ (1) và (2) ta được 3 5
4 0
a a
b b
Vậy các số phức cần tìm là: 3 4z i hoặc 5z
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 0z z
Giải:
Gọi z = x + yi ,x R y R , khi đó
22 2 20 0z z x yi x y
2 2 2 2 2 0x y x y xyi
2 2 2 2 0
2 0
x y x y
xy
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
2
2
0
0
0
0
x
y y
y
x x
0
1 0
0
1 0
x
y y
y
x x
0
0
1
0
0 1 0
x
y
y
y
x do x
0, 0
0, 1
0, 1
0, 0
x y
x y
x y
x y
Vậy các số phức cần tìm là: 0; ;z z i z i
Giải phương trình trên tập hợp các số phức
Bài 1: (CD10) Giải phương trình 2 1 6 3 0z i z i trên tập hợp các số phức.
Giải:
Phương trình có biệt thức 2
1 4 6 3 24 10i i i 2
1 5i
Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i và 3 .z i
Bài 2: (A09) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z . Tính giá trị
của biểu thức 2 2
1 2A z z .
Giải:
Ta có: 2 22 4.10 36 36i
Phương trình có hai nghiệm là: 1 1 3z i và 2 1 3 .z i
2 2
1 1 3 10z và 2 2
1 1 3 10z
Vậy 2 2
1 2 20A z z
Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4 3 7
2z i
z iz i
Giải:
Điều kiện: 1z
Phương trình đã cho tương đương với 2 4 3 1 7 0z i z i
Phương trình có biệt thức 2
4 3 4 1 7 3 4i i i 2
2 i
Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i và 3 .z i
Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích)
Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả
mãn điều kiện 3 4 2z i .
Giải:
Gọi z = x + yi ,x R y R , ta có: 3 4 3 4z i x y i
Từ giả thiết ta có: 2 2 2 2
3 4 2 3 4 4x y x y
GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2.
Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn: 1z i i z
Giải:
Gọi z = x + yi ,x R y R , ta có:
1z i i z 1x y i x y x y i
2 2 22 1x y x y x y
2 2 2 1 0x y y
22 1 2x y
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2 .