Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 51

Soal Babak Penyisihan 7th

OMITS

SOAL PILIHAN GANDA

1) Sebuah barisan baru diperoleh dari barisan bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, … dengan

menghilangkan bilangan kuadrat yang ada di dalam barisan tersebut. Suku ke-2013 dari

barisan baru tersebut adalah ...

a. 2055

b. 2056

c. 2057

d. 2058

e. 2059

2) Persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 memiliki panjang sisi 5. Titik 𝐸 dan 𝐹 berada di luar persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan

𝐵𝐸 = 𝐷𝐹 = 3 dan 𝐴𝐸 = 𝐶𝐹 = 4. Panjang 𝐸𝐹 adalah ...

a. 6

b. 6 3

c. 7

d. 7 2

e. 7 3

3) Bilangan positif 𝑥, 𝑦, 𝑧 memenuhi persamaan 𝑥𝑦𝑧 = 1081 dan

log 𝑥 log 𝑦 + log 𝑧 log 𝑥𝑦 = 468. Tentukan log 𝑥 2 + log 𝑦 2 + log 𝑧 2.

a. 74

b. 75

c. 74 2

d. 75 2

e. 76

4) Nilai dari sin 18° dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎+𝑏

𝑐. Nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 adalah ...

a. 5

b. 6

c. 7

d. 8

e. 9

5) 𝑁 = 9 × 99 × 999 × 9999 × 999 … 999 (2013 digit). Nilai dari 𝑁 mod 1000 adalah ...

a. 891

b. 109

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 52

c. 991

d. 199

e. 190

6) Diberikan persamaan 𝑥2 + 𝑦2 = 14𝑥 + 6𝑦 + 6, berapakah nilai maksimum yang

mungkin dari 3𝑥 + 4𝑦?

a. 72

b. 73

c. 74

d. 75

e. 76

7) Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 (tidak perlu berbeda) dipilih secara acak dari himpunan 1, 2, 3, 4, 5 ,

berapakah peluang 𝑎𝑏 + 𝑐 adalah bilangan genap?

a. 2

5

b. 59

125

c. 62

125

d. 65

125

e. 3

5

8) Untuk setiap bilangan bulat positif 𝑥, berlaku

𝑓 𝑥 = log8 𝑥 , jika log8 𝑥 adalah bilangan rasional

0

Maka, nilai dari 𝑓 𝑥 2013𝑛=1 adalah ...

a. 555

b. 6

c. 55

3

d. 58

3

e. 585

9) Jika 𝑁 = 55555

, maka digit kelima dari akhir dari 𝑁 adalah ...

a. 0

b. 1

c. 2

d. 5

e. 7

10) Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif (𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan 3𝑥 −

2𝑦 = 1?

a. 3

b. 4

c. 9

d. 23

e. ∞

11) Bila pasangan bilangan bulat (𝑥, 𝑦, 𝑧) memenuhi persamaan

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 53

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥𝑦𝑧 = −1,

maka kemungkinan dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 adalah ...

a. -1 atau 3

b. 3 atau 1

c. 1 atau -1

d. -3 atau 1

e. -3 atau -1

12) Nilai dari

6𝑘

(3𝑘 − 2𝑘)(3𝑘+1 − 2𝑘+1)

∞

𝑘=1

adalah…

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. ∞

13) Berapakah nilai minimum dari 𝑥𝑦𝑧 jika (𝑥, 𝑦, 𝑧) memenuhi persamaan

log 2𝑥𝑦 = log 𝑥 log 𝑦

log 𝑦𝑧 = log 𝑦 log 𝑧

log(2𝑧𝑥) = log 𝑧 log 𝑥

a. 4

b. 2

c. 1

d. 1

2

e. 1

4

14) Diberikan sebuah fungsi

𝑓 𝑥 = 2 𝑓 𝑥 + 1 + 𝑓 𝑥 − 1

dengan 𝑥 bilangan bulat. Bila diketahui 𝑓 1 = −2 dan 𝑓 3 = 0, maka nilai dari 𝑓 6

adalah ...

a. -2

b. 7

4

c. 4

d. -3

e. -4

15) Sebuah segitiga siku-siku 𝑋𝑌𝑍 dengan sudut siku-sikunya di 𝑋 memiliki panjang sisi

𝑋𝑍 = 2 −1

2( 6 + 2) cm. Bila diketahui besar sudut 𝑌 adalah 7,5°, luas dari

1

4

lingkaran luar segitiga 𝑋𝑌𝑍 adalah ... cm².

a. 𝜋(4 + 6 + 2)

b. 1

4𝜋 4 + 6 + 2

c. 1

4𝜋(4 − 6 − 2)

d. 1

16𝜋 4 − 6 − 2

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 54

e. 1

8𝜋(4 − 6 − 2)

16) Diberikan sebuah fungsi trigonometri sebagai berikut

𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ; 𝑥 𝑡𝑎𝑘 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙cos 𝑥 ; 𝑥 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

Jika 𝑥 ∈ 𝑍 dan 𝑥 dalam derajat, maka 𝑓(𝑥)360𝑥=0 adalah ...

a. -1

b. -2

c. 0

d. 1

e. Tidak ada jawaban yang benar

17) Lingkaran 𝐿 berpusat di 𝑀. Jika 𝐷 adalah titik yang diperoleh dari perpanjangan garis

tengah 𝐴𝐵 sedemikian sehingga garis singgung 𝐷𝐶 pada lingkaran 𝐿 membentuk ∠𝐵𝐷𝐶

sebesar 10°. Maka ∠𝐶𝐴𝐵 sama dengan ...

a. 30°

b. 40°

c. 45°

d. 50°

e. 60°

18) Liyana menuliskan suatu bilangan yang terdiri dari 6 digit di papan tulis, tetapi kemudian

Anas menghapus 2 buah angka 5 yang terdapat pada bilangan tersebut. Sehingga bilangan

yang terbaca menjadi 2013. Berapa banyak bilangan dengan enam digit yang dapat Liyana

tuliskan agar hal seperti di atas dapat terjadi?

a. 5

b. 10

c. 15

d. 20

e. 25

19) Garis 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan 𝐴𝐷 memotong 𝐵𝐶 di titik 𝑃

diantara kedua garis. Jika 𝐴𝐵 = 4 dan 𝐶𝐷 = 12, berapa jauh titik 𝑃 dari garis 𝐶𝐷 ...

a. 6

b. 5

c. 4

d. 3

e. 2

20) Pada gambar di samping diketahui 𝐴𝐵𝐶𝐷 persegi panjang, panjang 𝐴𝑂 = 6 cm, panjang

𝐷𝑂 = 5 cm dan panjang 𝐶𝑂 = 4 cm. Panjang 𝐵𝑂 adalah ... cm.

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 55

a. 3

b. 3 2

c. 3 3

d. 3 5

e. 3 7

21) Jika 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑐− 𝜋 𝑑𝑥 = 𝑐, 𝑐 ≠ 0

𝑏

𝑎. Maka nilai dari 𝑠𝑖𝑛2 𝑥

2𝑐 𝑑𝑥

𝑏

𝑎 adalah ...

a. 1

2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

b. 1

4 𝑎 − 𝑏 + 𝑐

c. 1

2 𝑎 − 𝑏 + 𝑐

d. 1

2 −𝑎 + 𝑏 + 𝑐

e. 1

4 −𝑎 + 𝑏 + 𝑐

22) Suatu lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 2𝑦 + 21 = 0 merupakan persamaan dari suatu

lingkaran setelah ditransformasikan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks

−1 00 −1

dan dilanjutkan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks 0 −11 0

.

Lingkaran asalnya adalah ...

a. 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 12𝑦 + 21 = 0

b. 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 12𝑦 + 21 = 0

c. 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 2𝑦 − 21 = 0

d. 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 2𝑦 + 21 = 0

e. 𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 12𝑦 + 21 = 0

23) Pada gambar disamping diketahui bahwa 𝐴𝐷: 𝐷𝐵 = 1: 2 dan 𝐵𝐸: 𝐸𝐶 = 4: 3. Maka

perbandingan 𝐴𝐹 dengan 𝐴𝐶 adalah ...

a. 2 : 5

b. 3 : 7

c. 1 : 3

d. 2 : 6

e. 3 : 5

24) Salah satu faktor dari 95 + 35 adalah ...

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 56

a. 1618

b. 2729

c. 3830

d. 4941

e. 5052

25) Berapakah nilai dari 1

3+

1

15+

1

35+

1

63+ ⋯

a. 1

b. 1

2

c. 1

3

d. 1

4

e. 1

5

26) Bilangan bulat positif terbesar 𝑛 yang memenuhi (𝑛 − 11) | (𝑛3 − 111) adalah ...

a. 1121

b. 1231

c. 1331

d. 1341

e. 1351

27) Jika 𝑛 adalah bilangan bulat positif, maka sisa dari 5𝑛! jika dibagi oleh 5𝑛 adalah ...

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

28) Nilai dari 𝐵𝐷 × 𝐶𝐸 × 𝐴𝐹

𝐷𝐶 × 𝐸𝐴 ×𝐹𝐵 jika 𝐸𝐶 = 𝐴𝐸 = 3 dan 𝐶𝐷 = 12 adalah ...

a. 1

2

b. 3

4

c. 1

d. 2

e. 3

29) Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar dari persamaan 𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 0 , maka nilai dari 𝑥14 + 𝑥2

4

adalah ...

a. 9132

b. 6722

c. 9846

d. 5021

e. 1134

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 57

30) Dalam sebuah perusahaan internasional, setiap pegawai memiliki kode masing-masing.

Kode-kode tersebut terdiri dari sembilan digit. Sebuah kode dikatakan cantik jika ada tiga

digit berurutan yang sama dengan tiga digit berurutan lainnya, misal adalah 123957123.

Jika 54.321 buah kode cantik telah terpakai, maka jumlah kode cantik yg masih tersedia

adalah ...

a. 8.946.549

b. 9.135.419

c. 7.065.129

d. 8.513.769

e. 9.408.159

31) Jika diameter lingkaran adalah 15, 𝑂𝑃 = 3𝑃𝐶 dan sudut 𝐴𝑃𝐷 = 30𝑜 , maka 𝑃𝐷 × 𝑃𝐵

adalah ...

a. 20,00

b. 20,25

c. 20,50

d. 20,75

e. 21,00

32) Nilai dari 2013 +2014

7+

2015

72 +2016

73 + ⋯ adalah ...

a. 98643

42

b. 98644

42

c. 98645

42

d. 98646

42

e. 98647

42

33) Banyaknya kemungkinan bilangan lima digit 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑒 dan

𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah barisan aritmatika adalah ...

a. 100

b. 101

c. 102

d. 103

e. 105

34) Banyaknya penyelesaian bilangan bulat positif 𝑎 dan 𝑏 untuk persamaan 1

𝑎+

1

𝑏=

1

2013

adalah ...

a. 9

b. 18

c. 27

d. 36

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 58

e. 45

35) Jika 2𝑎+𝑏 × 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏888 dengan 𝑎𝑏 adalah bilangan dua digit, maka nilai dari 𝑎 + 𝑏

adalah ...

a. 6

b. 7

c. 8

d. 9

e. 10

36) Nilai dari 𝑓(7) jika 𝑓(0) ≠ 0, 𝑓(1) = 3, dan 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑓(𝑥 − 𝑦) adalah ...

a. 337

b. 415

c. 698

d. 759

e. 843

37) Banyaknya bilangan 1 yang muncul jika semua bilangan dari 7 sampai 2013 diurutkan

(7891011...20122013) adalah ...

a. 1604

b. 1605

c. 1606

d. 1607

e. 1608

38) Nilai dari 1 +1

72 +1

82 + 1 +1

82 +1

92 + ⋯ + 1 +1

2012 2 +1

2013 2 adalah ...

a. 2005 +2004

7 ∙ 2011

b. 2006 +2005

7 ∙ 2012

c. 2007 +2006

7 ∙ 2013

d. 2008 +2007

7 ∙ 2014

e. 2009 +2008

7 ∙ 2015

39) Diberikan 𝑝(𝑥) = 2𝑥5 + 3 mempunyai akar-akar 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5 dan diberikan

𝑞 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 4. Nilai dari perkalian 𝑞(𝑟1)𝑞(𝑟2)𝑞(𝑟3)𝑞(𝑟4)𝑞(𝑟5) adalah ...

a. 20152

b. 20263

c. 20374

d. 20485

e. 20596

40) Jika cos 3𝑥

cos 𝑥=

1

7 maka nilai

sin 3𝑥

sin 𝑥 untuk 𝑥 yang sama adalah ...

a. 24

7

b. 3

c. 18

7

d. 15

7

e. 12

7

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 59

41) Dalam sebuah rumah, sepasang tikus dapat berkembang biak menjadi dua kali lipat dalam

sehari. 75 % tikus akan mati ketika berumur tepat 5 hari, dan sisanya akan mati ketika

berumur tepat 7 hari. Berapa banyak tikus yang masih hidup pada hari ke-13 jika pada

hari pertama terdapat satu tikus.

a. 430

b. 676

c. 824

d. 1088

e. Tidak ada jawaban yang benar

42) Suku selanjutnya dari deret 𝑜, 𝑡, 𝑡, 𝑓, 𝑓, 𝑠, 𝑠, 𝑒 adalah ...

a. 𝑒

b. 𝑜

c. 𝑛

d. 𝑏

e. 𝑥

43) Nilai dari 1

1 2+2 1+

1

2 3+3 2+

1

3 4+4 3+ ⋯ +

1

(2013 2−1) 2013 2+2013 2 (2013 2−1) adalah ...

a. 2010

2013

b. 2011

2013

c. 2011

2012

d. 2012

2013

e. 2013

2014

44) Titik 𝐷, 𝐸, dan 𝐹 masing-masing terletak pada garis 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, dan 𝐴𝐵 dengan 𝐴𝐹 =𝐴𝐵

3,

𝐵𝐷 =𝐵𝐶

3, 𝐶𝐸 =

𝐶𝐴

3. Jika luas 𝐴𝐵𝐶 adalah 1, maka luas 𝐺𝐻𝐼 adalah ...

a. 1

7

b. 1

8

c. 3

8

d. 2

7

e. 1

6

45) Seperti dalam ilustrasi di bawah ini, kita dapat membagi setiap segitiga ABC menjadi

empat bagian sedemikian hingga bagian ke-1 adalah segitiga yang sebangun dengan

segitiga 𝐴𝐵𝐶, dan tiga bagian lainnya dapat disusun menjadi sebuah segitiga yang juga

sebangun dengan segitiga 𝐴𝐵𝐶. Tentukan rasio dari ketiga segitiga tersebut.

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 60

a. 16 : 9 : 4

b. 25 : 16 : 9

c. 36 : 25 : 16

d. 49 : 36 : 25

e. 64 : 49 : 36

46) Dalam segilima 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, panjang sisi-sisinya adalah 1, 2, 3, 4, dan 5 (bisa tidak

berurutan). Misalkan 𝐹, 𝐺, 𝐻, dan 𝐼 adalah titik tengah dari 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, dan 𝐷𝐸. 𝑋

adalah titik tengah 𝐹𝐻, dan 𝑌 adalah titik tengah 𝐺𝐼. Panjang dari 𝑋𝑌 adalah sebuah

bilangan bulat. Panjang sisi 𝐴𝐸 adalah ...

a. 5

b. 4

c. 3

d. 2

e. 1

47) Tentukan nilai dari

5 + 6 + 7 5 + 6 − 7 5 − 6 + 7 − 5 + 6 + 7 .

a. 104

b. 102

c. 100

d. 98

e. 96

48) Tentukan nilai dari

1 +1

𝑎20 1 +1

𝑎21 1 +1

𝑎22 … 1 +1

𝑎22013 .

a. 1+

1

𝑎22014

1−1

𝑎

b. 1+

1

𝑎22013

1+1

𝑎

c. 1−

1

𝑎22014

1+1

𝑎

d. 1−

1

𝑎22013

1+1

𝑎

e. 1−

1

𝑎22014

1− 1

𝑎

49) Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 18𝑥3 + 𝑘𝑥2 + 200𝑥 − 1984 = 0. Jika akar-akar dari 𝑓(𝑥)

adalah 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 dan 𝑎𝑏 = −32, maka nilai 𝑘 adalah ...

a. 50

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 61

b. 62

c. 74

d. 86

e. 98

50) Terdapat sembilan rumah berjejer dalam sebuah kampung. Misalkan rumah tersebut

dilabeli dari A sampai I (tidak berurutan), maka :

A berada di sebelah kiri B, B berada di sebelah kiri C

D berada di sebelah kiri E, E berada di sebelah kiri F

G berada di sebelah kiri A, A berada di sebelah kiri C

B berada di sebelah kiri D, D berada di sebelah kiri H

I berada di sebelah kiri C, C berada di sebelah kiri E

Banyaknya kemungkinan susunan deret rumah yang mungkin adalah ...

a. 11

b. 22

c. 33

d. 44

e. 55

SOAL ISIAN SINGKAT

1) Temukan nilai 𝑐 > 0 jika 𝑟, 𝑠, 𝑡 adalah akar-akar dari persamaan

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐,

dan berlaku

1 =1

𝑟2 + 𝑠2+

1

𝑠2 + 𝑡2+

1

𝑡2 + 𝑟2.

2) Temukan bilangan bulat positif 𝑎, 𝑏, 𝑐 sehingga berlaku

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 219 + 10080 + 12600 + 35280.

3) Diberikan sebuah deret dengan 𝑎1 = 2 dan 𝑎𝑛 =𝑎𝑛−1

2

𝑎𝑛−2 untuk semua 𝑛 ≥ 3. Jika 𝑎2 dan 𝑎5

adalah bilangan bulat positif dan 𝑎5 ≤ 2013, maka kemungkinan-kemungkinan untuk 𝑎5

adalah?

4) Temukan sebuah fungi 𝑓(𝑥) dengan domain bilangan bulat 𝑥 tak negatif sehingga berlaku

𝑓 𝑓 𝑚 + 𝑓 𝑛 = 𝑚 + 𝑛

untuk semua bilangan bulat tak negatif 𝑚 dan 𝑛.

5) Tentukan pada akhir dari 107! terdapat berapa angka 0.

6) Temukan bilangan bulat terbesar 𝑛 sehingga 2𝑛 + 𝑛|8𝑛 + 𝑛.

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 62

7) Ada berapa banyak bilangan 5 digit yang digit-digitnya diambil dari {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9} jika digit-digit dari bilangan tersebut menunjukkan barisan tidak naik atau barisan

tidak turun?

8) Jika setiap sisi kubus diwarnai dengan merah, kuning, hijau, biru, hitam, putih dan tidak

ada warna yang sama pada setiap sisi, maka banyaknya kemungkinan pewarnaan yang

berbeda adalah ...

9) Terdapat lima ekor kuda yang sedang mengikuti kontes pacuan kuda. Berapa banyak

susunan urutan kuda-kuda tersebut melewati garis finish jika dimungkinkan kuda-kuda

tersebut melewati garis finish bersamaan dengan kuda-kuda yang lain.

10) Nyatakan persamaan dibawah ini kedalam bentuk yang sesederhana mungkin.

1 𝑛

1 + 2

𝑛

2 + 3

𝑛

3 + ⋯ + 𝑛

𝑛

𝑛