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EDITORIAL "SAN MARCOS"
Solucionario
LIMA - lleRU
PEDRO CONDOR SALCEDO
DE: GRANVILLE SMITH
CALCULO INTEGRAL
SOLUCIONARlO
Compo:;lcl6n, dia\,i(;)tnación $ impresión:. Anibal Par~dcsGalv~llAv. Las Lomas lS00 Maogomi\fca, S.J.L.RVC 100909114344
Podidos:Av. Garcilaso <.le'" Vega 974. LimaTo1l5: 331-1635/331·0968/332·3664E~lnail:velltAs@·edittJlialsanmarcoo.com
Prohibida la reproducción tO($)1o parcial de esta obra .sin previa tlutoriza<.:lol\ escrita del autor y del (xjltQr.
Impreso en el Perú / Prinle"d In PetlJ
Hecho si dopósilO Icg:>len lABiblio!""" Nacion<>I del Pen¡neg. N.' 2008·093~7ISBN: 978·9072·38·378-6Fl9gisuo d. proyecto edhorial N· 31501000aOO570
Primeta adición: 2007Primera reimpresión, 2'".MITirajo"400 ~Jsmplar.. .
e Jr. O;!volos USSón 135. LinaTeletax: 33,., 522RUC20260100808E..,llalt monnes@edikJttaisanmsl'cos.com
DiS9Iio de Ponada:RicardoAtbO_Conlposición d$ interiortts: Carollna HemarldezRespOnSAble de la édiclón: Ylscla RojaR
o Edito,lal San MarGos E.I.R.L.
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.. e42) ,!( "~)()'dx',., l+tgx '
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SoLucidn.
+ e2lb'" sen al(a
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SolUt'Jidn.
40) J tg T S<lC' T éx ~ brj' í + e
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(.1:)S s2X.6 + e39) f sen '~x ce<l2x dx, ~ -
10
eln(a ...be) + eJ .._9daa + h eO •
Solución:
~ltiplic.ndO y dividiendo oOr b se ob.tiene una Integral dlreGt~
48)
},ln(y'" 4y) ..ec!y = !.f ¿(y'.+ 4y)'. 2 . y' .. 4y
=if2y"'4-, y' '.. 4),
ln(y' t·4y) .. e247) f y .. 2 éIY ~
y' .. 4y
= f di,,' ... 3xlX2 .. 3x
f ~ - ..,¡,f ~ = -1,. ln v''''C .= -i; In(a" bt,') ...e
.. eJ a+~:',·SoLuoidn,
Sea: v • ~ ...·bt' =::tJ>. ~ ,··tdt, reenplazancb 'CI'I la integral se 'tiene
45)
1~ InO ... 3X) ... e~ ln(u) ...e_o. f*. j fd~
Scr.Jlaid".
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1...tq x.
x'/2 - x + 3 In(x + 1) + e
-= JIX _ 1+' __Lrdxle + 1
X' + 2 3• le - 1+ --- . -lazanib Q!'\ la·lh.~al 9f> t.1ere'x+l )t~l'---·r. ._....
SotÍtCwn,
52) J. x: : f eh _ f -X +. 3In (x + 1) + c·2x - ln(x + 21 + e
f ~'eh _ fu'- _l-ltb<x~2 x.+2
Sot""idn,
rur divis16> 'do pol.ln:Jll1OG se t.úIna,
f 2x + J51.) le + 2 eh - 2x - In'" + 21 + e .
.~f ~ _i f d~ ~ .~ lnM + e - í lnU" btJ¡'y'I,+ e
d!isea: U _ 1 + b,t9 'Y -. "li _ sec;'ydy. """"'Pla'ar>d:? en la inte. -gral .... tiene. .
Solwic1".
50) f r;'t'tlIJ 'Y _ i Inl;l + ti ti; .'YI + e
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I 2S• 2 In(e + 1) + e e54) f e's dse' ....1
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So·~w::Wn.
Sea'! V .. 1 - x2- - ~ = :dx, r~ en la i.';~al setiene.
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[ X'd T - 2x .. 6 lr:(x , 2) .. C ] •
2·;. • zx +6 In(x <:2) , e
(2'.. 1 ldx.-x:t1'd(2x + ln(x :,. ') + el' =
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Soluc.iÓn :xl ~ ¿ 6x .. 2 ~ x - 2 .. -;+2 , ~ceJlplazill!Os ,,, la in""llral:
+Ce f(2·. x! 3 ldx • 2Jdx" I'x~ 1 $ 2x + !..r¡(x • 3)
174)
X' + 5x .. 6\2x .. 5)dxd [ln{x' + 3x'+ 6)). e
!{2X., lldx--;¡-¡;-,-
(2 ct<;t: + J) t'•de-O ctq~+ 3)~' + e)z-(-2c~c.tiJd6
1(2~'~6, n1/2
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I -<),;/2 1 f -1/> 1 wJ/z -,--;:=- .- c"2 w dw = -..,. 17f+ c·-" .+ C = -(2ct1¡+.'W
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61) ("""'~t;dt =)/S.31:92tSolu,ión :se., u • s .. 31:92t=~ ~set!-2t dt, ~14.mndo en la·.;_;'te -qTa.l:
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> f eU (2(lU) • 2 f eU fu = 2e1,l .. e e ze IX ..el
7) ¡'("XII .. .-x/.) dx = a(ex/! e""¡a} + C
<IXd __ , en la integral:.,IX
IX:Soltwidn.
f e IX",.. IXfi) w..'IIo • 2e x + e
,r;(
. ny._a__ ~Cnlna
= _1_'_ t- = __y,,_ + CnIn a n,).n. u.J dv
• n ln a, f ny d" a y
Se LlAC {..6n•
SM.: V. 11'1'fj ... dv = any (n)pnta).)dy
[~10 1 f 1 10>' +C• in 10 dU=1n-W' u+C = IiiTo'
S} f ."Y dy.a'cy
'C.......-nlna
21
Sea: v = a2xSoJuciÓn
14) f a2x dx '. 2~"a .. C·
i'ez:O, ln!.>el a ln " + In e = ln.... 01 - ~,,<ar.os
Jac)Xln a+L + .C
Solución:Sea: aX eX • (ae)X." u ...~ae) • (ae)" dx
_fodU 0= 1- fd u +c- ielX~cln (.el. ln (ee): u = lr.(.Il) - ln ft,,)
¡)X eX •• • 1 + ln .l ... e- 13) faX eX :he
= 2f etf2 d(tf2) = 2et/2 + e
lO} r e5eOX OO. x dx = ~senx+.éSolución:Macien::b: v.. sen X ~dv = 003 X dx, ~laZM'Os en la Íll.tLvJral!
: ·feY dv • eV +c a O'8efiK +C
f v dv 1= e ""í"-"2
Solu"iónsea: ..,= x'
f ' -1 o
9) xeX dx • } eY. + e
• -B.-'/2 • e4 1..-t/2 dt = .S f e-t/2 ~(-t/2)(JI "x
=~e
d(w)
171
t.l(w) [ ~ eax (a) J dx " SQax r)x.
f 5e"dU . s.f u,-=- ec:uza a
16) f ",,3.' dx
D<.>térmlnarel v~Jor de c/u de las 511jUi"""". lntc,qral"" y '~lr<>bar::;us ..t'csu1t.adoGf.XJl' diferene1ilC.!6:l:
f 5x Sx 1 Sx nSx(e' +- ~ 1<Ix = S" e + --s¡;;;- +- e
+ ef f · 5xÚU 1 . u a,..-=-- du.:.t--+Cs,"-.Slna ·SiNO . . Slr.a ~l""f aSx ex =
"u ." a5x
151
2><'; _a__ ., e21r.a.= f 2'&';;; ~ 2tla f dv . ~ 2~na + e
f (,,5x +» 14.,
x'ln(fi - 2j te. " ,). f c.~c,x--~
e - Z23)
dI.,.,) " U _ 4 e-x (-llldx = '(1 .. ,l,,-X 1"" "
n¡ f (eXe: 1.) dx ," f e~x (ex:.: 4)'~ ~f dx + 4 fe-X dx •
• x - 4c-~ + e = _
d(",)
, ,
~tip11ca.'"X30y d.1vúticr.do por 3 se tiene:
f ,~' -2>< '-~ .4 dx = ~4. ., ..n20) f 4: ~~ (a) rec
el ._ al.~----dJcd(w)
ca.= --- + c. w,) ,~C
V. + e.!:l:1,;
~:'v'
191
24
. -,-39 'ob• ,_ :} In b' ~ C· =- w¡,odO • a !b-30 ae
b~O, 'i7)
, f' , 'tZ• 1 v Z• 2~ .~ = 2J:ñ2 ... e = 2Tii'Y .. e, - W
2t' (-1 ln2 1 ', , '(1(...1.. 2W ,de ~ dt dt
-f~
261 f t 2t' dt,- ,
t' ' d.' '2 ' ,Sea: v • 2, - ZIn2 = t2t • ~~'eo la intei¡ral,
~ ~)<Ix,-IX" 'd(w) • (28 -IX • _'_1__ 3x-1/>ldx'=
2/i"
d( Í;¡) - 3 f h>: ~, , ~ ,
f 'e-IX J /i" f' f ,,..,.25) -"-=-;;.- ...3<.. d>< = _Q__ dx - j ~ ~'2 .; o,, /i" ,/i" ~ , :
= 2. x ' 6 1/.2 ",.. x -+Ccw
d(w) •-,
...Z :A. '!" e
"
.?(1(",) = - <Ix.x -.~ -,
24) f X (ex' + 2)d>< = f xe""dx .. 2 f>rlx = if 2x '",'&,. + '2 f >«Ix
,25
,P , ~ In Ulec: .ax ... tg, ax) • e
4) t; ~'dv
SoZ!!9:H1r.;.
,.Illltipl.tcando y',livldiendo ptU'! ese a.x + t:.g IIX, se tiene:,
f se<: 4,,' . (::::: t ::)6<, p.féctU.UldD él prOOUcto:
f sec1 ax + Osee ~ ~ ax ~.~. i f d(;., ax ... tg itx), sea \IX + ~ ax . ':. a. ice ax + tg ex
• C = ln sc~ bxó + C''1' ,-b (lro:,- in cx>s bx).
3) f G«; .,;. dx '.'
'f-dutb ~ f clú '1".. i. ', " = - D u'.,. _b lnu'" C'_ - 'S'm ""!" h>c • C =
Ap'UQC.1lln da ,la¡; f(I,;,wo.s dal S,_ 17
Grupo 3:
1) f=~»ee ~ -1} , 1~trX+C~ iñ 008 n:ot d (0)<), = ro
.. ..2) f t:s} h>c dx = f _, hx <]xálSto<
. '
~-" (-l>< ')dM ~ - ébr
=w:, 1 f -x'x·~ .... ~ e..f x'ax " f -x'-:;: Qx'C
30)
.:'d (vI
"
" ~.e '·-,.-+C.", ..
26
fa:' • 2 f ~. Zln u + e
91 f "l='x'dx •
Hac:1.erdo 1.. d9U1ente sustituoi6n:
u = ."" x/2. 2m ~ <XlS x/2 6<, ,..,..,pl•..,..,.. "" la ~tegral se ti"",,:
. al
. f'='u .!!t - ~ fcsc"x.u = - ~ .¡. e ,= - 5- ctg 3x + e
f ct!tJ x!2 d>c • foos ><i2 d>csen lé/2 .
du ._~_. éx, roe!ll?lazano. en la integTa 1 Ge ti""":\1 ~ 3x,
• l' +c=~~ ..e3 cos 3): 3
6) f=ay ctg llY CY = - ~ f d(csc a~) ~ _ % ese ay • e
7) f csc'3x dx •
- d~ = sen ~tdt, se tiene en la ¡,nt<>;ral:
J -.=.. oos
1)e otra manera:
j J d ísec 3t)si f SQC )1; t9 3t dt
ed(csc. v· - ':'9 .,J • In( ese v - G.tl:) ,,)ese y ...(.(9 v
(.sc2v .. ese. veto vc.s~ v .. c.:q v
I-tJJ.ti¡>lJ.c4ndo Y dj.v!d1.".n por: (ese v' - dI! vI "" tiene:
f 'l-cosx'(1 + ces Xl (Í _ ~ xl dx14)
-' ,= 2 tq • - • - 2 00" ~ + e ~ 2 't~ - 2 sao ~ - ;> + e
27
, ,
- 2 f eee ~ ~ ~ d~'• '¡(,;"",~,• _'1';-,1) d~+
f S<!n 4>2 d~cos1ot:, [san ~ J 2+ 2 -_,_d~;, 2 se e ~d~,-cos -:. . .
f -, '2 ces <lo d(oos 4-)
0rdS\0nd0 .e t:.I.anQ,
f("",,'~ + tq'~ ')~
F.ft>i::tuondO opo;:r6C1oJ'l<>S se tiene: ,
f (tg'O + 2 "" 6 Ctg e ~ ctq;o' ldS' ~," f (tq'e + 2 ~ ~"tq'&)dO' ¡;ar ser:'1 ..' "
ctq~~'~ , , '
= J e( ",,'6+ 11+ (c~'9+ l!]dE' _' J(tq'O + 11~6'- f(Cb¡¡'O+ nee =
,.f "",,'&de + f csc'ede o: tq e - Ct.g e • er
131 f (sec • - t9 +1'. f (sec~~- 2 l'CC,'¡;,1lg ~ + tq't 111+
12) f (~6 + ctq e)' <16
tq .x +.e,f d><----oos2x
Ul
· i du .tu ~ x ~ J. x dx, re6lP~aUll'Os en la integral:
¡""'u ~. j f sec'udu = ,~tg u + e w j tq'x' ~ e
10) f~- fc"¿ x d>< = :'ctg x + e '"",,'x
28
j ~ = L'll\ll" e • lnU .. tq ,,) .. e
181 'f x cos ",',Ix
• • 2 •, dv ., sec x Cbc, ~lazarr.os en la. in~ntl =
f sec'x dx =1 + tq x171
f- ~ = - ¡':- . - mM -+ e • "ln(1 + ces $) + e
f sen s ds .-1--" --= - 'lnll + ros (sI) + e+ ros s16)
-.• tg x + '·~.!'>l x +'C s tg X - ro! X .,. e ~ tq'x ....~I;X + e
2 f sec'x ;",.. f c:ce -, <!(~ xl
[ t-senx dx .f'--~cos'x cos1.x
dx •
Mv1tiplicar.óo y dlv idi endo por (1 -ser\",) i. tiene
ÍJ¡Jx-sec,,+-C
I•• ct~ x ~ ~ ,t e - - ctq x + C3C x + e
15) fl~dxsenx
-.• -c..+....x- sen X +c'_" - r
29
. liacl.en<Io el "'3":"'. cot<bto de var_le:
J sen u ( i el,,) • ~ f sen. u du ~ - ~ OO. u + c· - lCOl Jy .,. e : •
'd('~ 3 , 2x. _21 _ __ 2x dx" WJ" - T e- .enJ' J - =. l
241 f cos(b + ",,)dx
23) f sen ~ dx •
Calc-.<lar "iu de 1... ~s. into:]tales¡, O>'p,,,h-..r l,,~ .......ultados pordiferanoU>Q1ón :
f ...,20 ee f -11z "', '___..=. (1'" 2 t.g 6) eec El nP.¡¡-¡2tq e, " , di!
1bOett)S: u. 1 .. 2 tq i) ..2 = sec2a dé, rearpla~1J M ..La inteqral
f _'{1W 1 '1 -lit . 1 u'P,' tI>' /u 2" l' u (iJJ =- "2" 1/'2 :"!I u + e • (1 • 2«.g9) I '2 + e
22)
f_l + 008 X el>< e J !l(x .,. sen 'Xl,' ~ l.n(x .,.'= x) .,. eX,+senx x+senx21)
J -1)2 \1zt~. 112U oU-172+C = ~.\ +c
Haciendo u. 4 - .:lOS X .• du .. sen x dx, !'earp)azat('),. c."\ la int.eg:-.:Jl:
f _./Z(4 - eos x) . sen x.dx =
e .. ~. ix2- ces 2x} + e.l Il -y <o. 2"
19) f íx.• ><en 2x.'dx s f""" t j ~ 2x .íx = J >01x • if..", 2x. d\.2X)
f 008 V ~. ~. f ros v dv =~. senv te· } ,_ x' + e
30
f csc~4e:ae=}' fa.:;'t4~ld(Je) -t' {~ 4e'l ;. e.. '. .,... ',.' '" .''f..J!L.·oe..~~4S'
29)
(X)S eX ; eX ..~,------ <Ix
'!Jen e7C ••, " d (lo)
i d' ,.. ~ -: ln(u) .. c·= l nf s e n ~X¡ +- C._a W
28) J(,)'1:9 ( ..x),,~ -:' f oose: : "T.d.c ='. se:z\e "
Hac:i.en:!IÓ l~:$i~ente .""tituc:i6n:
U>. sen e~ "... <2\1 D eée p;X • eX 'dX¡ en 4 in~ se ~tene:
f !f., a$ b f ~.. b ••cee: ctq -e- ~ = -, d(c:sc =-)2_CSO-".'"D .e b ,8 .b . .
271
f -'!' ¡; J' e ,&26) _.. 1:9.,. de s' 2 d(oe:: t'> = 2 eee ! ..e • w. . . .
.. ,C 'Jo";' (~lt-~) = _ ~ f CSC'';;'''8 -~ (~u) +~.~~t~(a-bx)
.c (w)
d (lO) ,., € ,ese' (a' - bx) ,b dx = eso' (a - ~)dx
25)
,', di,.), • !_'(CCSII> + ax) al dx,· """ lb + eldxa "
Jese' la '_ bxl.dx •
+- e = '"~u lJ' 1, 1- = - ros u du =1 - sen U ... e ...- It:n{b .. i'X'. a a a .' a
31
I... l' 1n() .. ces 2x) + e = w
f-civil' '1' fclv ' 1, '-v- '. ,- '2' v = - '2 In1v) + e ~
,K""im'Idr! la Sustitución: v = 3 + ros 2x + dv· (- .~" 2x dx)2
- ~. sen ~~·dx.en 1a integral se tiene:
f, """2x di<3 ....'OQS2x -. ,,- .
33)
d(,,) • S "",,'hx . b ~ = a _;,b;¡ dx
.'"•~ D tg bx ... e32)
f ' 2sec 49 • t9~9 ,ooc49 1, -.. $ec49 • tg~9 ",
o- * ('"(sce 49 + tg~a.> .- e ~ '"'!
,MIlltiplicar>:.lo Y dividiendo por: (.sec 40 + t9 40 ) "" ti~",
1d(w) • -,3' (- c",,'3t) 3'dt
31) fe! 4~ • J~ 40 de =
'J' dtscn2.3t •30)
" '~.~.~ ctg 46 + e ~ w
[ -~'~ Inti ~\\ 11 2u .. e ... 1{J - ctg x) ~x. • IV
f ('SC'X d:x [ , -'1136)' •.• (3 - ctt:¡ x) csc·x rl><l3-ctqx
ll>.ciando1" Aiq,J,ü,nte.,=t1~uc.!6n,
\i - 3 - ct9 x .. du = aoc2x dx, en la integral se t{fIIr"I8:
. d() • .!. 4c.$,,8 cl~9 ¿l.~ = _<?SC.9 ~ ......o_ dS•• .... ¡;¡. 5 -4csc9 '-"ó r- ¡ese 6-
v = "". - 4 ese P. - - ~ = ese ~ c:::tq 0<1e, en la .1Jlteqral ge t.iE'.ne:
f d;'t. - t f c:: = t lo{..,) + e = t 1,,(5 - ." (.~c8) .. e • w •
2 1 -Ih c:o. t <lt• :G' • 2' ~1+esen t) . ~ 0:'11;: t dt ";1 -- ',.,~ - - ......•
(a + b ".., Ü~'
I/~+ b s~" L), + e = ~[u-1I1 (tu 1 f -"2 i u¡"? 2tí'" Ir u ciu >= b 1/2 + e - !) (il
. ,
J-:aciC':ldo L¡ ~.&idlte ~tu::.i6n= .
·u = ol -+ b KlMn t .. do = f¡ coe t dt.. ~ = U)8 t rlt. en la inb:!tJralse lU::na:
l- sen 2x . 21 ríx ~ """ 2~ tt.J + cos ' 2x. 3 + oos ¿x x
1d(wl' • - T
33
du. T" dx , en la Ln t e ge-a I se tic"'".:.:V := 3x:
Hae:endo el I!sulenté ~ambjo de varlahlc:
. [_o, ex ;/~ z . (3x) 2:
5. -
1: Jx - 21Tln(~ht + 2) .. e
1 11l(~2) + e'3 u +:
f d. f . d.'.- • -9x' - • (h) , - 2'
}lacle.l\do U • 3. 4du ; dXt reelflpla:z.aooc. lA jntegr'.)l.3 .n
2, - f dx Ix' d. 1 1n(2!.....::...2. ) e• , .. +X2 _ 11 - (2)' le + '2
3. - f dy • r /5'dy ar(:_sen z + em- y'
5y' .
f x't. 1 xL- • '3 arc.tag(J) + e• 9
ScluCión.
r x'~x 1 af'ct.:1g ~ + e+ (S) 2
• 2' 3
VERIFICAcrON DE LAS FORMULAS 1,8-21Prob 1e'mas Grup 0-4
VERIFltAR LAS SIGUIEHTES INTEGRACIONES,
·.34
f :O$e de ~¡·I cose dO- $eo'8 ' .. 2'1 _ ( •• 118)'1
Ha~iendo1& iit~~~n~eauatitucl&n.'l· ;
9,-
= are~.8 u ....C 11' aretag eX + ef du-1-'+::'::"u-'
NecLendo ~~. ~iguiénte" sustitu'ci6n.
u'= eX ... dl.l. ~:~x.dX. en 14 in,teg1'41·'!$. t'ien.:. .
f x f' ...e 4, e. dx-,-·":;+'-"e~X'"• .".,-."'-::'(e;~"í':"8. -
1 -1 (2 ~ u.- n·_12 . 2 - u
1 3><~• 3 4rcsen -+•
6. - {. dx . r dx,9' . 1 (3.)' 1y. - -
(-t.l'<c.ie~do , 3x· ~ d. • ,dx; reerapl.'z.",os ,. ..intogralu f" en
=.f du/3 ~ 1 f du, 1
1nlu - '1 e'3, u.1-1 = "3 2 •u2_1 u + .,
1 1 13>< - ~I e• & ,n 3x + +
7, - f. d. [i' d.•_. 9.t 1 - (3.) •
Haciendo! 3t • u .....~C' dt 1 reemplazamos en lo. integral3
a~.a. ": ,", "
+ euar(:"ta, -b~
a.--lO'
"
•r '.><dxx" ...' b',
.12,
f___!.!.__ - 2. 'areten v + c=-2. 2 2. 21 "V '
, .
" ,
11,
b I"x-<I~2iC l.n ax, ... e .. e
'1' Iu - el-+ lo ------ f e2c u + e
f I>dx - b r d.atx~, _ c2 (ax)l _ c~
Haciendo la siguiente $ustit~c16n.
lO,
u • sen9 + 4u.:: cose .d6, tJfI 1., inte'gra~ ae tLe'ue :
36
_v + 3..._.,..
at'c&<!r. '1 ...- .., f r::-:'.l - =: .:r.,'Ctt('I~ ~ ." e,¡?~ - 'J' •
D.~.r",j,,"r ol va,,,,.~. el\) (.. 1•• ,i8,,;.n, ee ;n t ep.ral.,' y
¡':¡¡~ie':"ldo 1.1 :.afgllier,t~ 5·..~t;)_tl::ci5n: ~ ~ :, : \l ... :'JI! : d x ,se ti ene eu .111 i:tte;:ril:.
-f d"la ! f <1"1 lnlu 11 + u' 1 • e- . -o +
¡;~ " '/1 •• ,,'o ,~ 1oloy • ;;-;-(.,) 11 + e'
a
1s , f d_ f /2'dv•
("'_(v + ,3) , - (v ., :1)'2
au.::. ~'i
+ e1 < - 2i arcta,8 31 '.: J A~~tag 3 + e
v :: t - 2 .. -:h¡ -=- dt t en JA int'Cet"dl se t í ene :
Kac1c:n<lolil a.ieuier.te sust!tuc':'6n.
13.
• • x'e r-e re g - + e
~b' . h'
f (t d, . J (Tdt o- 2)2 • 9 - 2)' + 3'
37
1 . 1 . 2te- '- '5 arc::!1~ -5 + e
I 9.
D.Ú9Y'~4:jy) }loto R 0' It_o .. 'j3 __
Jy • ~'"
lu i • 4 1 ~ e1 Ln l u .,."3f ~u/;::; ~_:-;; e
u ::; 3y _ du.: d3. Y.
Ha:: ier.d.o :'0 siJtu i en ee ece e r -:'.1(, i én-,
f dv
/(3'j)' '°4
17 °
__ .2.:0 ~- 4:"",,)'- d x(3 _" 4X)2(J ~ ~x)
1·rr
3 ... 4)(. J. - -I)e
~(~·~x)·{3.~x)(-~)
{J-4X)'----~~~~~----d.1dC",) :: ~
I In 13 • ""1 • e• 'Ff ~ -w
Sea:
~[...i::!L:....:1' -u'
.3S·
,. !. (Sx t • 3) ah .. es
Va~jrleaei6n como ejercicio.
dv ~!lnt~1 + eIft .• e vtCff .:
x• d.22 .
H"'c~endo .. Ji' 3y
. ,20.' 'J' '~~y • ~ J" .' dy _.- =
.. gy' .. t' (3y)" - 16
• ...L. 111.: (3
Hací •• do \1 e 17x ~ ~.: dx ~ ree.pl~z.,j:.aC$ en la integi-al=.,
.,r 7dx .1 + 7x'
B.
. '.
.á9
+ eI~ _."1lo ..15 + lit I
_l_. ·1,;1!.5-<~1·+ e ''il! '15, t v
13'
en !adv. 2d~ x x, reemplatamoa3x, ... dvv •. Sea:
2•.
Verific~ci6n en~o ejereitio.
+ t:rduo: s~n& d~, ree~p:a%.mol en l~ integra~:Sea: u,. cose Y,
f :tone c:el•. eeea•
23.
1 f__d_V_-:. l al'CScll .., te:. 2 "e r-c aen•• x .. e/1 _ v'
ir.tegt"a¡ .-
40
,?Ql,uni4n;.
Com.pl~t(tnd~,c~adt'adoi:' ~n ,el trlnoltJio d,e .í1d·o..g~'ado ~e. t Leoe •
x. - l.- ur-c r ag -'-.-.3-- ,* er ,3dx'
L- -_,.-==--.... $;ot .... 2S
du
+,' 3"r ··,.u
f ~' ¿l( -f d.=- ~x .... 10 ("lo( t - 2,. • 1). ... '1.0 :-1
d x .: - (x - 1)' .+ 9. ., -.~.u = x - 1 ~ 4'· dx, .r'~'~'~pla r.a!JI~s.en la ··.i'ntegr:~f
Ct"'denar.do y complet<l.ll:aC .cUáQTado .ae eLen e •
1 x - 13 arc'l.:J.g --3-.- "+". e
le
f dx 1 ln·!'U'-..Al ..·C =.1 lnl~17:~:;'2 . u + a. 2 x·t 3.' + e
x t 2 + d u = <'I:x ; y .Hac í en dc la. $iS'.Jicnt-e susti,tución, u
!"e~r.'I;,·l;:¡:ta:l"dcen la' jnt~gi-a.l·..se 'tien~':'. '
= !~,..::.a = f-(-.-_-z-'-"-X-:,I;;_'::.:.-.-,,-)- ..rtz:: /(X::')'-l
_ .
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41
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= 2 f dv /.2 .~r dv ar:: SeU;'1 v + e .er eeen (2'x )o • e/1 - " It - v'v
JI -(2. - 3)2
• 2f · Ó)<"¡í, (?" - 3.)',, 4 0_",';_'
O~d'enando' y com?le'~ando' cuad't'ados en e.l. tr.inOlllio de' 2d.. gra·'qo &P. 'tiene:
So 1. tlCiÓtl.
'3 arctag x 4 e ar'tg x • ~'• a --3-'-+ '. --y- + e
4. -I dx' (i. o 3) .. e= er-csen~.'2 o 2- .
3 f ¿Ix· 4)()I,-4)2t9.• J J-(-'-::'-.-9-X':',-:""-"-1-6-)-'-2-'5-" _ 1 6.
42
·~~mpl.tAndo c~ud~~dos el) el.de~om¡ftador ae tiene:
.. edY.
, x's. -
e re c ec ande la cU6tltuci6n U = x + 1 ~ du óx, •• c ie-
• n c eo Id integral:
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V.-rlfi:ar 10$ Sj,guien'tt,. .rnte.gra~e$
lo JI?- - 1 óx , x I l ~ • - lo lx + ¡;r~1 +, e~ x ...
3x B· 3x2 14'2. - (3x)2 + 3 drOS6n 4'" e1.. 3.
fh6 f14' 1 !Iij'7. - 9,,' dx - (3x)' 4'" - (3x)'dO.)3·~. ., ~..: .. .. . ,
(14 comproba.ción como ,éjercicio pal'ado~·p~~ diferenciación.ud . ,
; 2x - 1 110 _ 4x + 4x' T'!.'lrtl? ,_ 1 '" hO-4x+4x'I· ... c.4 4:..' v .
u/u' • 9 •. ~ lnt"· ..·.¡u.·.... 91 + e.". • I.J
e:1Sea!" U :: 2x
, .COlDp~e-eando eu ade adc 2e t ie'ne :
.'Soluci6n.
5.
':9rnpletando cue d r-adca se tier.e:
.. :,1) '. e_x ; 1 ~7 '+ t a~'~s,en(.x
...'-~'-\ ' ,Sot!4ción.
. .~~. '.5'.
~<-'---,... 2 lnlx - 1','" ·<{5·:", ·~x... )( I + ,C.
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b) Cuando b : ¡~~1 eS un nG~Qro (QP'~ y positivo s. supon.:
= -
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e ) Cua.c~¿o Ir. e 2k + 1 cs un :lGffloro. impar i' p-oSitivo·~. lupone.
,- C~soIntegralesde I~ for~a :
'[se;)·" cos:lx4x (i)
lNHGRhCION ,D~ DlnlltHCI,AL~S 1RIGONO~ETRICAS
66,
, ,• - !d(COatl + "f',¿(co'~,i'coa".
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Soluc.lÓn :
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Solu,lón: "
S.~:u , ;':'052'0 .. du • '.nlade,- -2-
s.~ • se.nZ·ó"¿ .. .d u • <os Si< d~u -6-
¡. . d" r ; fU.1dU 1 • e i . eu -- S • -u • • 2il Sen 6x •.. 2'
f ",os")(. cosx~x = ¡"'(1 :"'.8en~·x)2d(Sen)()· ?
f (1 - 2senlx + '~~"~)~(c;enx)
Q. :o 2k ... 1 l:apar y positivo
2: ) 1 5s enx - :¡- ,sen x ... S s en .x ... e
,9. jco,s5XdX'=
$oluci61"1 :
2 !:;; - cc ex "'"3 coa'" - '5 coa s)t .. e
. -ef ec-r ue ndc la op_rac'!6'~ dE!i tr~nomfo s e . tiene,l
f (1, - 2cos1llC ... co-e."x)~(cos.,..)
8. . fse.n ~Xdk. :;2 caslx 1 cos·'x e- co s x • s - 5" +
Solución :
m : 2k • l.• iopar y ,posit ~vo
, ."<:O"~ CO!l;'---5-+ ~
= -
fS'6n'x aenx e05'xdx ': -
. 1 e: --- + . ~;,)sl$ • • s'ee;. r COS$ • c.. C06. "
,. fc;;t:;l¡x .enJ:<.dx , 1 c.os.$x 1 co.-o:'.x. e- .. • .7 •,Solución :
- ICO.:-J. ~
- 1
68
2sen.1t'f" ~.n"t)sen l/~t
~f (1 -
._~ = J cos t:c.ostdt
~
,
f cos't 41: ::l r senU·t(1, _·t·se'ñ,lt: + :}'$en"t) .,... erSeii""t ,
Solución ;n ~ 2k' ...l_impar y positivo
.• 1.
• -.2
.,. . • ..: 2 9/2• - 2 eosff4'y t- 5 CO$"'''y ..''"Jco¡ .y+c
· -
~ ,'_ f'tOS y d í eesv).' c.o$yf ' :,"ce e__ y_ d(eosy)
¡C06y' , 'f 2
.. COa"Y)d(Cosy).- 2 coa'y. '¡coay
f (1·.-- f...;(:..;1~,.....:Cc:O,;:._;,,-y.!.)_2 4 ( co s y )
(cos.y
• 4' '~$el"lydycosy
,.
f .en 'y dy 2 {cooy ( 1 2 c09;2y 1 ') elO, < - -1' + - 00$ Y +JCO:lY
9
Soluci6n'n • 2)C + 1 im'par positivo
f sen'" xd ~s cnx )- 2
69
~ .d; .= co.s 2 K .d x: S(:11 ?X1. Sea~. u.
2x. dK
2 . e 2 s'_n> Ii +. e= Seu 2" - i f
1Q'.! ./sen" 2X' cos:Soluc lon
f ~os2.
.,S ~ de f(1 senZ
e . !); 2" coa = Z_
"f.}d5 a'en2.'. 2
; 2 J d (seo !) 2. f sen 2 S d(""" !)_2'2 . 2
13. fc~.'~~OSoluclón :
-n = :lk .,. 1 impar y :;aositiv,?
:..-21 C0828 .. ! co&'2& + c.6 .; _
Sóll.lc.i.ónm = 2k' 1': 1•. imyar y. pc s f-r.fvc
CalclJ1"r las sig'uient<:s 'in~ograles' y cÓ!'fl¡>robal" l?s. r-es uLta>,dos por dif.eY'enciaci6n (La comp,f',~!),a.ci6n'.§e·d~ja·. =:>~o e~~r~fe lo' per'a ud.)
t.:a2'e~e
'., . . I
'.
'70. .. :.'
., .1 ';',... ,"
, . 1 •= - _ .. ees l'Q't T:'-'COS' 'ltIt ....e
~1n. i.5m
18. fs.nsnx.dX = I
.~o~~mt)C~·~·2m~d'( c~':s1li~)
!1"',.~mtd(~~S ;;,ti ~ ~ f <QS'~U¡~~B,
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....
\.f coa"'!.2.16.
. ... J$e·~~!.se'o, CO$ .,
" .
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2. u 1/J
• f~en"t1J26 cose d.8
de• rC~SO/sen8 e ssen I/'J.e .20.
:.~gt:n(a.+.bt·~ ··3~sen.'~a + bt) + e
1 f (1 stnl:(A be»)d(."n(,,· + H»,b - .. ,
1 fd.( •• n(~ 1 J . l>t)d( •• n(a ce) )= b .. bt )) - b'- sena'Ca f ..
-: fco::1(a t bt)cos}a + l>t)dt
.. e; _ 1. cosnx + _2_ cos1nx. o 3rt .
1~. fc.,.;(.·" bt )dt
~.(.C'9S nxd cosnx)• 2 j<:.~$2n-¿.d(COSO)()' • .1.
3. n
~f c~. 'n~d Lco anx )
d ___. ni f( 1&.:l n)(. <oC= f aen'nlC
m ~ 2~ t 1. iopal' pos í t Ivc :
12
:ltt<t Cafto.
lr.t~S'ra1..'G do 18 r<:lr~a.
S!. ."11 eq e nt er-o po.sLeLvc pa:r el 'ler paso ti .3cr.i:b.ir~'..
., . 1t-2 . z .-2 a:te )( =- tg· -x t& x ; 'tE )( s.e: )1, -:.1)
Ll tu,. ~$O "Olra pr-cceder- a la soluc'i6n de eat e tipo de in~e,ral.a ~a:
2dc CAlO.ln~egr~!o& de la j~irea:
f CO.~'~2X)d(COS2Kj, " ,
. -1 !COSi(2X) di' ,
+ -2 C042x)C9S113(~~) . • .. J
1 f d e c.os 2x}2" ,oos 11> (2. )
. -
2M.l • sen211'd}lf . Z2 . d _ {1 - cos:c. x l/3
cos 2x
'11 • 2,1( + 1 1napaJ' y PO&,l't Ivc .
1> . f eti ~x J. x(19 J d. - Gt9 '3 dxf 2 x
=- e se 'J
- 1)c'tg ~ dx3
f 3)( 3' . 2 X . XIz . . °'9 -J dx· - 2 c-tg T -. 3 ~~ I··n '3 .' e
'So~"cj4n.
; ·Jt!ts.; tete ~ dx .~ J~csc'2. r
. t92• ..' 2 . + 1,1 I <os. 1. ~ e
f ¡~l"x d~ iZ' f tglx ... In cO$X~'¡'eSoL\tcj6'i.
, f tg'x tgxdx e f (.e~'.:~ 1JI:9Í< dx
1.
Demostrar l•• siguientes in~~era~iones.
J ru-1' . n"'lctg .(~)$0C x ~t8x.e&cx dx. '. . . .f · m . u A6. c tg X(lOO x,,!x
1>",-1/2 n-1eee .. x s ee x t¡X dx
f . n J -1 0-1 .1:g~}Csec xdx:l. te- xsec x tgx se.ex d:IC
. t ce ndc n es par' S~ procede como 00 el 3er 1:&$0, cuando 111el>
iGl¡¡al' se v["ooode 00.0 eeL sig'uient e .'0110:..
,14
ge:tl40~r..
• f e se? !!. cse'! ~ dx. • f (etgl !!. + 1 )CSc..1 ~ dx.. • .. •f otgl 3_ ese 1 x d. Ie ec I x dx= t. ' • ~
: _ !_ ct',' ~ .. ti etg ~,.1'.c'3,' ~
, ,,
..... ,
• fCC,g22X c tg 2x C&C 2. 4x S" f ~CScZ,2?C' - 1)ctg2XCSC2x,dx::
SolM2'iOn.ca es impar positivo'.
2x dx
J ctg2 ~ • 3 lDtscn ~/31 + e2 3
fc'tgJ i dx :
3. f et&12~ ese
u. (rl y (It) se t Lene:
,/3)./33 'f d(sen
senf cos x/3 dx : _sen x/3 .'11)
. 3 ~ Xt e ~ - - c eg - .. el
. 1 2.: .3
u ~ c e g i a du:? .CS~2 i.3.·flJ.~u: - fuI
Sea:
7ó
'1.2" c-tg 2)( 't el' •= tg2x • 6 Ti 2x
So1!lo id!! . '.
=. Its'~sc,,'+d8 ., f t~'+d"«M,) :' ~ tg>~ .. C.
• 1 '¿ es t.&...... .
de (1); ·(Ü) se t Lene ;
- - ~f~9J9d(t938) - 1/d«O,38>> T <0'39. . .' . ,
" , '
" . ,
.1 •- <8· 38 't C.1~
o'
: .. :1. (seo" se
SoLyqi6n ..
!Tg'36 tg'S6de
fctg2 ~ d t et g- x . f OSt~'1X di !!.¡• -) .. •,. 4 4
= • • x x 'oC'3 eTC.l; _.U <tg •s. [';'3048 = 1 tg' 36 !.. tg2~e 1 ln [s ec aü I e12 • ..
6 3
76
[COS:XdX
, ~&!l xSoZución .'
E •
~.¡. sol ~ción de In y ( 11) se tiene:
[ • dY. 1 <g' 1 1 1 ctg2::c C,6 2x • 2 Tg2x + 2"tg1x - '2 •
sen22xc:os"2x_'
• ~ tg .2x - + .te 2>< + .C I
_... '• fC::~2~d~_'~
1 f -".r 8ec~~.:td(2X) =
!sec"2XdX := ~f~t~2'2x.+ i)S0C22x4x
:ftg22X •• cl'xdz '+ f;ec.i2i:dlt1)
[lsen'2. + cos12x)dx , f dx J dx+seo22x cDa'2x c05102:<: senIl. c081.2x
"• .Js'ec \2X~)( + f C$~2.2x sec12xdx
Soluc=?6n.Se 'abe que sen~x+ eo.J~ : 1
77
""..::
[ <_: _1_) 'd. ;sen~x _ .
Soluci6".
f~~~:~::')~dX~C.OC&x.. '
¡('seeax) ~dx •raax :'"11.
f ae c 3/2cxd{secu) :-.' " .. f .e~ '" ad ($Oc" '.
Solucidn ..
~ .,ft"g.·2(laec '~a~·'t8(!..secad'"
•
$oluoi&n .
:.. 2 .......-9 tg )( ...e9.
~ e'tg5x .. ef cta"xdCc:tgx) :¡.
.1'. --- dx
con~)( .f eos-'x
.. een \)(
I) Itg'b'.dt..=:J t·g·bt 'tgbtdt' =¡ f l,sec2.ht·.-.:1l"t'btdt
":'. ftg b't~e'c2b'tdt ~.~Jl'tgbt~·~· ',.I
v ".",'
. ,-,
S'.z.!JJe i t1n ..
:. 'f~'fg~'2&(1 + ctg22e~~'a =. t.; .29~sc22~de
= - ~ fClg~20d(ctg2el
_ '1. (1 , .a 3' c:tg aK * ct ge x ) + e
'. '
.', .....;.._ 1· l 1._ - c~g i'iX _ -" ct.1t ax + e)a .
v..f ·2 ·2 j 2
= ctg a~Cs.c ex ex + .t;SC axdx
. ~'.'
II
.'
lac'tOt'lzao<1o y suraandc téroi!loa semC"j~ntos se -:i~ne:
de las sc r cc Lcnc s de (I). (IZ',), (lII) y (1'1) 'se t Lene :
r .+ ¡ lnJ$uubtl + :~
t •2b (!t~ b1: +.
IV) - !ct&'b-:.d.-:':: :fctg~btct,bt~t:l -·.f·(e~.;:1bT;-1)ct8htdt
i.: c~c.,'. fC1eb~d~
.'.3.~ - lr.lsen~~1 t e," .
. f l>tAt· 3f~dC :'.!!C(Senbl)111. 3 C~&... eenb t b s enbt
Ir.
'so
16.
jLí·.edC·\t.6):" z ftP.2·~4'Ct·R9) t -.J ~(tBa) •.
1 2':: S t 4j $0, .... '3 tg le 't tg& +. e
f ·...2• sec &sec.9d9 =
:f <t;'o .. ~.tg'a ... '
Ce lA tnluci6n <te (1) y (11-) ae 'tíene:
1, '1' "1- el; ax ... -=-ln s e ne x 1 t<7. -a
:
j <Ó?C'8J(-1 )ctgadx11.
l.
2 .ctg a.x.dx
H"l!.Al" el va.;or de c/u de l.iiF. sigcie.r.tes irJt.ar~le-s y comprobar
Lcs I'.uu..Lt~dQ~ pnr difet"~r,~·l:~c~6~(lé co:nprObdc16n quede cooo ~j~rcic;QpG~~u~.)
81
.f (:,u¡>n2)x 1- ccs23x)(Zx
sen" 3'5Co~.?3~- 1-
f ( . 2 x. '1) ," t x x_'v: sec 3' - sec :3 g J sea 3 "",,
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I I 1 -,~ 1n t&1: .. 2. tg t + e
f9~"td't _"[(taZt" J) s.ec2~dttg]'1:' t93 t .
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., X~'JX x- -¡- (lt-¡f ~ ... - ,ctg, -2 ... 2 Clg 2- + e., ¿!4.
82
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·.• l
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• f~'fte.'13)(d~ + j'Jec23Xd.X +'fctg23X ::'S;23xdx fC:.C23XdX
+ ·f(ctC23)t .' :)esez$xdx:.
11·3
-,d8 •f t& '2&
e-ec '2921,
f 0+2 sec.2x t.s.:»:• tg x +
f .n.~· . ftsnóltg,.; __1_ 0.3 1 0'1x.e• t& .<1«8") +. • t& x +u;t1gD • 3
J.' .n'tg xsec"~dx26.
"
• JSf;el/1x tgx seCXQX - f cO'8-l/t •• nxdX
f.ecl/"x4( •• ~")' + '/C,bS-lI'xd(COSX) =. .. . . ..
J tgJ(oxeec 1/2):
1) <1" = [tg,. .~">(t "dx(sec2l( -
ee c 1/2 x2S.
[ <.!á) 'ót • 2.3"te ' •• -31 t& '. + tg~ ••• eetC'•{ (..!..!!!...)!¡dt' • f1:8·at. secllatdt =- !t+"·3.t'(tgZat+l)Sec2:tdtce se e
de 1~ $ol~ei6"4. tI) Y (II) se tieoe~
,. 1. (1 + e032u)2
1 eco 2uSU!J u C03 U = 2"$01;2", ; 1 (l - ec s 2u)'i
a) Cuar.!lo.) 6 n son nú&eros iepar ••. 'I ,ositiv-os~ se resuelve co1110 ej, 1 er caso.
b) Cuando m y n son n~meros p~r~s y positivos, se transforma
vp.li~n¿ose de las siguient~s idGIJtidades trieonomitY'icas:
::I,LCULO :lE: l~TEGRAt.;;S 01: LA rORMA
f m n'sen cec e ud u
SlO CA.3C:
f - a- e .•- ...(l:'l ¿ e ~
t;;J2E
s~=-"2ef '_~'29_ de - fe ec 29
S5
x•=
o
~ !CC''JXd('l,X) + ~'Jd'¡( ...3~ !r:OfJ.,¡.Xd('.X)Ie
if~xo.
= "1
•t:1
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32-,-,
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1.
o}x ... ~Ol(. + :l)X)<;()$ nx COA ex -
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3e.~ :tXu..df"'.x~ ~ ['¡C"(;II! I :-.'x .. se:".(.~..n)y.=
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1 .l.' 3x .- lf se;1 1)( T .. 8 .<:en 2x ""€ti o;;cn !fx + e86
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1 . ,eos'2.. ~."2 (1 .T eeSL¡)( ) ten eec e :
teniendo en c~~nt~ que ..
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1 -en._ ,lx. l. , • ~'4 ~ "... ' a' J2 en . )( -x
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.'.~:f dx + It f eOS2x~(2X) t j'! (Ix1 !COS4Xu'(II): )+rr
4 JI' Ieo~ x'dx = ~ x + ~ $e~ 2x + 32 ~An~x + e3.
87
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f ft~-n ~ q,d41 . t 2. j(!n2~ ~ó dt" ... f ';OG1.d.~'.
1·.f<2-CO,;)2d6 =? 9 • ~s.n~+ ~ "028 + esor ....c'dll :
J(j~ 4 ¡cose ::f9oto fCOs,2&dG = t.J d8 l1J~osed8
...~f (1 1" "!.lS2iJ)dO
89
I 1~ :2 -eenx ... 'i4' sen7x + e
1 f 1 ¡, .2 <;osxdx + 2' ,cos7xdx'.
So l.t.tc i&"..
~~f (cos(lI 3»)( ... ccs(lf + ,3)x]dx .,
sena, +,~..!.! +. e--2-' 1411•
1 .•-r-,IT s.en.sx ....1;:; '2 .senx
2).
So LuajÓr¡ .
. r f [co.(3
,..en $x
10 • e$eex-2--jsen3x 06n2xd.x e.JO.
!f e e n tz x Ie x .
, t~ f~.r.6X4(6~) - f f·e~2~d(~X):
Sotución.
: r f' [••0(2, ~ O)X'" sen(2 - ./Y.J~Y. • r Iae:!(,xd*
f 'd colJ2x c,o.'J6x'''''_ e!;I~,n2xCO$':lX x ~ --.--, - '1;l T "g.
2 la,• '3 Sen .. t 32 e en ti. ... <;
9Q
,. ~ fdX - i-.f<l +.-0084.I<)dx·
• 1 1(14.
'.13. - cos2ax)(1'+ ¿O~2QK)dx a
x ,en2aK"+ 1 t ..~ ;: + 4d "'8 X ... 3"2'"ü s e n llaK 1" e .
1 •• n·axeo.·••dx : ~ 1.<'1
1.. -.. 9·
t coa14a.x )dxf dx·. !a f co:;2a.)ld(2~x) ... i./íl1.-•
S 1 1• "8 x .. q 'sen2x .. 32 san Itx .. e
- ~..f Sen2-K -+ ¡. + 3~ scn"x • e
•
.' H.,¡l.Lat' 01 V'41or. dE! c/u de las s.ig'Uient •• int .. 't".lee(L.a COlllJ,lrobación C\lRlC tjercicio para :.Id.)
f co,s-xdx = ¡} f (1 .. c:o.2)('·}'dx = ~ f dx ..."f f coa;:xdx : l'
t ~. f OOS12xdx.
12.
1 ,• ¡:;;: a - 12$ aen4Cl t el1)
,= _!. ¡da - 32' f ~O~4Cl_arA'· +6!1., ..
(~ I f, 2J5~n>_Z~ ."« ~l>->e<)S~C1)daf 4 > 1( Isen o eos o.du ~ lf
• ....Q.. - ....!..sen29 ... ...!.·sen'Q l' e'6 '- 32: ~~
.. ~ -.k s.~ne -,1: 8 .. J! .58n2& .. isen~ - ~ !:Bll'e t e
• -! fde> - >!.»f~o~ee - B -
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fu.' seo. ·.da - ~:
d. la lolucióo. de (1), (11). (111) ee" tiene:
Por l::jeccic::io 13.
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.,! f', i., 4• ~ ~~n~x CQS xd~
, 112u 3a~ 4~ + i02ü senSa + ef ". . 3 '
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ex 1.: ""i"2i + 102t;, s.enSa. + Ct
dEl l. $uluci6n+4ó Lr j., (11) s~ t Lene :
II) _;. fe'o/J 2" o.da 1 . f( 1 t' 0:oS8Q)da• 12S6"
,1 Id;' , 1 I eOS8ad(Bo)< ill + í02if
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2 1·.020d(20J- 1 •• ~~'20d(.unzaJ + t [(1 +<O.l¡a)d9
. ~x ... 4 $en~ ... f aen2x - t s.n'x .. e
.ne la loluc16n de (1), (II) ee e Lec e a
J $ un 2 x'd (&~tlx)
+ f cc s x (~. - $e~12x)dx
-. - t f dx ,'+ t J e~82~<J..(2";':·+ f c.o sxdx
.1) f41 +., J e08xd..~ - x + 3 $,en~ + e,
11) J fc.Oa2XdX + feos txdx = 1JO ... c.oa2:c.)dlC2 .
17. f(l ~ CQ$x)'dx - .J(l +:~eo$x + ~COB2.X. + co.'xldx
f dx + , fC0811.d'A. ... 3 f C()Sl·Xd~ + fco~'xrJ)(
S''''A x''':' .sen6x .' e~" ,12 '. seri4x + ~ _'---8- 5= •
l[ 1 .' 1 lt ..."_1 .41\6":o '2" 8 aen4x + 5. se.nSx .. se-n:x + 2" J2 .... C
fintl}IIl(:l\t e int ~grandQ, se r Lene s '
. I f+ '2 dx'''''
, '
"1 f "+ '2 {l -~'cosóx)d x:
t fo -,<•• h)d~ - !rCOS(3-2)X - e... (3. 2)X]4x' +
f..n~2x.dX '_ 2 !'Sen2XaenJX-dX,+ ,f~e~13XdX
2aenixlenlx'+ 'sen23x)dx.
~in.l~.nt~ incesrando
f ,_.,.. 2' 8, 3/2 .. ("'0.'" .. 2sen6) ..d8 -.$cn9 ~J (cos~) ~·20 ... en2B +'C
, 95
= x.-'1 ", ' I
2x • -: '3.coa~!, ~ COSlC: S'+scnlrx ... t'·
iuté~róndo 88 tiene:
I
l·iénij'
" 5 • sen2JC :2 -Se:n4.= Z~ ~ +- 2senx • 3' aen3x ."_-$ +C
Final~en~e intogr~n40se tiene:, ,
,',
.,} J(1
Sea JI;;&.fi tgO por consiguiente d.x ' fl ••c:tSd8
So'l.yqian.
el, 14 l'orlCl. /u1. + a2
1. f-_d::.::X~:-: -rx~=+ C( X' + 2 >'" /,2 .' + 2
DEKOSTR~R LAS SIGUIENTES INTEGRACIONES·
U :- asenh8U : ot ,8
V :- acoso81J :: "".eS 62.
U :-dtgh8u •••• ne 6
En cierto" ca.,os. en lugar de las sustitucion •• trigonométricilS
C$ iuoeferibl" emple:.r las sus'ti't: hipe~b61ic:as c,uyo earaeter esrespoc~lv4c.nte..
U :: ata8, le dundo
3. Si 14. ~ntQ&r...l cotrt Lenec.eL radical lu"., .2. se hace
2. Si ~(l in t e&ra~ cont: Lene el r-e f. iea.l w:_--;2 l Se hac e
acose
Si 11 int~g~alcon~iene1.
INTEGRACION POR S(jST!TU~ION 7RIGO~U~rT¡UCAS
97
cosh6 x en el rr iAogul:Oc.omo : .-.If
rectángulo ... titn.:Ix'-6
sen'hO • Ix'l. - 6Y e16
"
32' aent\2.8 + 3& + e =.. J. CE;nh6coshS.+ 39 +::::
+' 3 J dO3 f '• '2 ,co.h29d(lO)
- 6 f cO$»29d6
3 ¡<COaba + l)de • 3 J co,sh28dB .. 3 ¡de
• 6 (co.b'e.cnh8dilJO' ,enhO
f 6/6 co.h~e.enbOdC)
16cosh' -6
Empleand.o 111 $uscicueion ni.perbólic.a:. 'X • 16 co.ha porconsiguiente dx "'! ·16 scnhed6 de dende
Su luci4!l,
ó) • e1.
6~' ¡,+ ¡X
L-l.,,:;_&_, ____.EJ
senO x:
/",2. + '2
f(X~ ~. 1 X• 2 • e+ 2,) ~, /)('1. t 2
1 'n O2' ae nu ... -
!l8
• en el triángu10 rcct&n,uLo se tienex
.''5$en8 ::
1. s
tff rs• (S
x • Ir aenO. ent.c ne c s dx . =- 15 co.s6d6. S6 tiene:
$01"01617.
emplamndo la su~tituci6n:
• __ x + es!s _' x'f 4x
J, -=-(S _ x')V'
dond.: e _ 3 lnl6 ~ C, es una nueva CODst.lnte arbit:T'aria
::r Ixi - (> + 31n{x + Ixi - 6) - 311"1/6 ... e
teOdrlmO:l en difini't!ya.
"r x'dx " 3 x Ixi -6 31.1; (x t Ix' - 6) e+ •Ix' -& 16 16 16
3ln(_~-,,+...!../x~1_:_~6)16
• .' Ir~"'2-_-,"'&)8 • 1n("-~~::-"~,/6,onda
(Ve~ .n el texto iunciones h{perbólicas)
_X~:+....!./'::X,-2__::....:6~C.O ShO l' senb& :: -IS'
6. ,
Ix' + a-eo Lo t x .. -{xi! .. fe) .. l:x
+ e
•• ,,5 • t2
CO!:lO
1senOcosG + e: 26 -ser.28 • 26
Sútuoiól'l ..
e~plO~tndQ1~ ~uat. t = 2 Be~9. entonn.$.~r~ ?QoaOdC
t ,.--- e- "f "'1 - t 2. ... 2arcsen 2"'" e
xt & e 4 -;;.==;Ir; _ )(2
•f dx(5 _ x')O/l
100
, ln {x • Ix' B ¡ X+. e I+
Ix' • 8
donde e, • e - loff es J1)Ia conatante .r~.itl"aria
[{9u1d\: u a, e6. , - are seD
u1)1f'l I'J.- ~U23-
In,/8.• e
r!nalmentR ~~ ~iene:
x + lXl + S").1" (.;;;_.;_.:...::.-,.¡¡;-.G •
é .' x .. IX2 ... .3 .....e • C03tO senh6· :~~~~~-=~10
rect~n~il0~e t~ene:
xtgO •
Cpmo: !)~)'Ih8 = _x_ en 0·1 lri';ngulo.' ro
.. O - C,GhG + o:
. f senh2 8::tlSbSdecosh'e,
'fa'JfinhtslO CQ$.h6d€l(B •• nli'a .• a ¡'"
101
d x • S cooadO
Sea: x v S s.r.O. enecnc e s
s..,tucid".
1 x• 'r In (---;::.==~5 • /25 " x'
i: dx:k-~--:;s.
!. In/~' + 4 _ 3.). !:11l(/x2H-2) 1 In .2 .4• • 1- ,
"22 x x 2. x.(2. :. •.2+4)
• .1... In( x e..2·j~12 + + 4
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102
StlcO ,:...:..L'. ah .el.fi
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1 f dS7" eec 9
Soluci6n •..
s • ., Y,': ¡=¡ s~cO + d,y • 17 sec& tgOda
9.
1 5-/25-x') e; S l. ( " •'. e
se t Lene :I2s - x' )
X
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- 1 X'• '5 1n (----''---) + eS + 25 -r"",2__
f d Y ;' Ir ~ - 1 • e7y
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e ..:".:2..::S-,....::"_'x
lo se tie~e:
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225-x
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f cosedB• $9n05cos€l';'
l'O3
"e
SeD x : 3 se~e + dx e 3~eoatgada
sotliQión.
..-1 .. 'e ./i - ,,'=.»T otge : + CSx
Jdx I~'- 9 1 x
11- + ""Si;"" e r-ee enx l/~l. t6x2
39
lin41eente so tie".:
t&na,ulo S$ t lene:
15. - x'
= ~ , en el 'tri&ogul~ re~rs
54""" e/s - sf IS cc.e~e
SeA x e ' 15 .sene ... é x = IS :,<>s946
Ir; _ )( 2Sx ' .. e= ._
fin41~ente se tie~~;
lyZ - ? .. e7 y
l()4
I
4 tg6 d.' donde, .d)\l. 4 s~'c~:ed9
13. [xl; 16 d)t.·
So1uclO ...:$e.): )C;;
Hallar .~]..va.!.c-r. de, c/u d. J..::i in;tev.r('Jlee (la co.proba.ei6n la,de1 •• es p~ra ej.)
ar-c s en ! + e4
116 - t'- e eg& - e + e ~ - ":'::":"'-:t__:_
116 _ ',,',~ + e.. - ,et:g~
1 )d 11
. f ~_-=1..:6.::.=,.;:.:n_·..:e.,-".::;e().;;.' .::;• .::;e..~..:.8 , f"16~o.aMS&de16ser.:ta· ' 'l~ aente
"
t- ,arcsen't¡'" .. eIts _ t'
t=" -JI6 _~24'
Sol uc·i6nS<$": 't
12,
ccsG .' 3x
'.i. ..-1_ ,sen21; f e!i!t. ~OB
f I~oo -\)
15,
1.4, f dxx~/4 .. xi
"
""~~~·_2"~1~G~_4~)+ e-, Unl- x
seca Ix: • 16 ctg,e 4 oseOIx') • 16• • :-, •4 x x,
finalmtJnta t;;(I t ieo-e' : .2' , 2
16-"),~,C.z: lfsIJce ~' ln(es.e - ~tg9) + e . 16 4 In ( • •• " + • x,
cc ec : . 't&e' e : ' 'tend':'vRlOS:
'* f sec9tg8d9 .... j.C~S:'¿'
dO •
~,/
, ,
106
(3 t x - Sx1)d)l, integy.ar.d(l t e ne moe r
f(6)=-203 • x - 5xl J x: 6,dlf(x» •<Ix
S!)lJlci1n.
d(n.»
2)
la función sera: =(x) ': t >;.'- - 3x + 13
... e = 13'(2) 0'9 • 2 • G • e
= 1 xl _ 3>'. i' e23ldxt(x)..f d(f'(x}) • f (x - 3ldx
d(f(x» ~ (x - 3)dx ~ int~lrando tenemos:
F(2) • 9'..!!.!i.!U. = x - 3 • x • 2dx - ,
Sotttci6n.
1)
'flt:)BL&HAS.
Las siguien'tee e xps-eeLone e $1 han ob.tenido de r-Lvandc e í eetas fune iones. En cada casc hállese la funci6n. Pllra l~s valore
C:ddas ¿e.la •....riab¡e y de,la funcIón •
LA co e..stan'tt; do int"'egl'ación 'puede hallal's •. en un caso dado
cuando eoncee ee e el valor de lo. integ"t'al perra algún valor p a rvt
cula~ 4t la va~lrahle.
n¡;TERMI~ACION ve LA CO~S'fANTE 'DE I"Ti:'G~ACrON POR ~!:DIO DE CON[
CLONES r~ICIALES·
CONSTANTE DE INTEGRACION
CAPITULO XIII
107
COitO !t~.'). 2 e - (;OS{~') + seo(~) t e
feO) • - 00$8 t ~e~9 .,. :
df(tI) ~ (Sone .. ec eü )d9., integrando tur.emo.
S9 l.'~Cir1q.
u . d!!e> = ,,,n9 + cose, 9 = } 11", .~(t.'.'J) e 2
1"" b2 2 2f( x) " .. y ''T y. • 2b -.4la f'uncilSn S~l"~
.. e " 2b' - 4l (2) • O - 4 _.i. b' + e .....~
SO!I(c{.ón.
'df()') : (y1 _ b!y)(!y~ ·integ~andc se ll4:!1l6l
¡{2 )y = 2,~ r y' _ b'ydy3.
la funo16n _eri f(x)': 3x + ~ x2 - ~ x' • )O~
S60 + e - e: :1,,,eeee f(S).: - 20 ;¡¡ 16 t 18
f ( x I e 3x ... !.. 'X 2 S Xl.,. e2 - 3"
lO8,·
f(a) •x • a • 2a
ín't ~g,..ando,•• ti.na:..
d(f(x» _'__ ",1_dx' -7,
.'La funci6n ,trA f<.) -; t&'4 ':' ln(cos+> +. S
, 'Pero f ,(o l = s • t;iI (O·l, - 1n(ce SO·) + e - e • S'
. '.
Jd(f¡~n =, f(s.c'~ • tU)d •• J ae0"+4'9+'ftS~d~
Solución.
d'(t(~» e (sscl• , tg~)clt. i'n't~grQ_n4o·$."ti,.n.:
• ;'0. ,f(Ol = sd(f(t» = s.c'~• t&~d~
6',
",f(t) = lnOt _ ."):;a fur.ci'Ó::l ser~
como, :!(1) ~ O = 10(,1) .. .c....,.~ e; 1)
e ) • e ,= In (2 t - t') t e,
f(t) ~ ln(t) + 10(2
"
= ,f"_dt_ '.. "f', d( 2, _ t,). t . 2 .. t
Sotr.toi~6n.
Jd(.f(t),¡ = (2. _'-_'_'_¡dt' in~.'r~ndo se 'tieo."' t- 2-t' e
, L'';¡ funci6n SetO' f(91 = senS cose., t- 1,
dr( t) _ 1 ¡f( 1,)S, • ~- - 2-t t • ,. = o~
'1J¡1 ;13., .
109:
int~i:ando se tiene:
SoLuc,idn .
df(t)· ,. (r. "...1) dt,rt
1.--,r.• r.:Cf<' )--d-'-s.
ce mo : f<~). : 10 l ('b)• • <;1') 2 .•b e= .. 1'. + •., •-.. e • io b.~·- ab 2 .- 4.b-. 2'
+ ex + e. f(x) • .!x'4
d(=(x» :11, (bx' 't' 03X '+ 4~~xt ~nteyl"¿rndl) !', tlono:
f¿(f()(.» • f (bx' '+-.a.x'+ 1I):1x .:·b·f~.)dK·'"a JXdX +' ~ f~x
Sotuci6n.
f();) ;' 10• " ¡
X' :: b ;'·d(f(x,» • »x' ... a x .. c.,al<e.
La tunc:i6'n aerá: ".-""'af Ix) .:.1 arc.t~ )(• M a..
, .
';:0.:3: tCA)., .=. .!! 1" ~• , 1 .retg(1) e= r; = d-rccg •a a_' v d
y • 1 •• ero .. 11
- s r-c i••JS + e,.-,¡- • afC,)
HO'
<ly indx., intlsgrando S1!I t Lene
• mle.
~l):'A: La pA:'J¿i~nte 4. la ~6 a )HI$ ,"ut'-v;:.'en ~UI punto <:uulquier
e s 1.1.4x
. ".~O1ll0 '(2") l a Lnscn +2' .. crt ? +.'C~ C'.), .
f(8) - 1" sena + c.t:~9• ,~~ll~:'de lR !a~i¡!~ de curv~& toles que l~ ~endi~nt~ d.'la t
e~:,te ~n un' pU:lto cO~l~uiera tr.ne ~~ ~&lor 9ue sQ,indica.
<.1:1" (O) • (ctg9 ... C5'2.SJde•• in t e g e-en do se t Len e :
=(~) ,= 3H(9l.
io , ce .....ctge
f l e j - ~ t '/2 + 2t 1/2 283 , -. -::;
:.A Cuncién' ser-ñ :
o • ~' ... + e -3 '
o : ~ (~)3/' t 1(4)l/l·. e.c ccac f(")
f( t)
=t 'fdt. Itf (rr t-'-)dt ='(l
111
..c.= K1 ,-y3
Id>. ~....' '. e e peee a dc val:' i'abl.es ~ integrando1'/. '~=
dx
):2.dX T :y e X J ,+, e, . t:>epresentá la ecuaeié.n de' una
famil ~a d~ paroábola ¿ú):)icaa.
3,, d y .
.2'x2..' s epe r-andc :varo iabl.es e .inte-grando.
separando varia.ble e integrando.=_x_ •y'
,f'y2dY = f xd'x_ ~ t y3 = t X1 + C, r.épr·esoota la· ecue e Ié n
'de una "f~rnilia,dc par_!i.l:ola SE!1licGbica
!YdY,,;,' f, x2.dx . T .!.. yi .-= ! xl + .c , ne pr-esen t e lOa eC\lacióñ2', ' ,3
'de 'una 'famili'd de pal'~bola8 sem'icúbictis
"14.
'd 113. ~ = - ~ ,so ....lll'and~ 1~$: "·.!Iriabies· O' integ,rOJI\do Se 't Lened" y y
f:Y~y. ~. ¡'d,ff_ .... ,~ y:~ =.. x +. C, . rEfp·r.es·~t'.t'a une. :f.ami1ia de
paráb ol.a s ..
,r-ep r-es ea eu U:lU fami'lia deY =,.! ';(2 t' e~ .
-,;>~%,;1;:'91 d,S.
+
fdY =[.dX[dY : f .di
~" Xdx12.
f ~y -= m f ~'~:- .~;<: Ir.K + -c , 1:3. e c-uec aón r-epr-e s e e..e a una
fami1i-3. :1~' r ec t a e •
112:
facilia ~. circunfereDei~~.
... r > f y2 =- x + t .x2. + e -. 'X~ + yi + 2x : 2y ir C.
-f ydy
1 ~ y .epa~dnd~variablea e in~~grando.1 ... K I
~22. dx
21. iY ~ . ;zx'eparan.do V<3::-iables • iotegl'an40 3. t Lene :d. ;\ly
6' f ydy·. b' J. xdx. - L y' • 1>' x' e? -"1" ,
?aruilia d~ hiperbolas .
.,
• • y • C, ecueei6n ,. u.. , •• 111. d. hlplrb.?lo • •quUh.r •••
10. sz =~ .epa,t~dnclo var~;¡t>L~po !:)t"egt"'an.d.c: •• ~ienedx .~ly
•• y - , •• eJI'(.~1l1;.-- f ydx
•. x:i <; e,1 .~,:;,.. ..soparanCc.variableA O !ntagr~ndo.~:: x
1)( .'l.'18.
: 113.
~ :-2xy•• e~rando variab~es * (nte~andodx . i .25.
11l,(Y) ' .. 4x - 4
por' 'tanto l~ ecuaci6n ',particular de la corva e.se :- ..' ..!.n{l·j !l .... + e
• las coordenada, dtP(1.t)
'(" )
puesto que lk cUrva Pasa por
~e ~unt~ ~eben satisra~e-
f !(t·~(d·. V )1"
sepa~and~variab1es ~ ~nte6r4~dose tien~.
y e 1 )t2 ... !. :: 1)~ ~ ".2 .. 12 2
•
..pue sec q.u. la CU%,VA pasa per- (1.1)
P~( lo t~(lto
23, l~ pendiented~ :~ t~~g~n~e es:
é:n e/ü 4A .:.~~ :;.igl,;i.l\'tes e.j c r c Lcscs , :tal!.ar la e·';1.I.Jci6n
de Lu CU!'V4 cuya ?enüi(!:nte é:l un puntc cl:..."l~..t,(.t'a e.s ~a furo
ci6n COl:!.;)d e l~.::; ,cCJ(»'d~n"'as '1 q....tl~pllS.il P.OI' ~l' j'lunto. ¡:aI't le\: -
; MI', ....:¡igna.4Q•
114
~ 2. ... 2Y - 2x -- 3 :;. O'e:;:
la se.; pal"ti¿,ular de la -cue ve + 'C'; 3'
pue e-ro que f1l) pasa por el pU,Oto ('0,1) •
• ,'._ .• ' + 2y·_ I~·. e (OS.
f( ,.)~ .,1 2. ~,,,'2', + X ~·cx+. ~x = 2. y . + .? = 2 .. T
27· .dy· ~ x t 1
. ,. dx s » 1 ..
, .... '
.,
•' •• l~ eC\l.~c:16npal'tic'ulal;" de la c,~rva, l?e~á.!
+, ln(2)' =,'~
(~, 2 )pue sto. !lu,e '..í*) 'pasa "por .1, ¡i~:nto
r -2~ .. i,)( + eln(y)
... 10 til = 9.. + e .., .c =: -. ~.. . .. ¡,a ccuac '160 part'iclo1l.ar de- la ~ur~a: s~rá;
, ~'
11.5
in(y) .·r ln(~x' - f~)." , ln(y) =·ln(o.' - 15)
La ecuaci6n par~¡~ula~ 4_ la cunva es:
+ 1"('1) " 1n(16 - 15) • e :,. e >; o
¡ .": ,('k)'~paS'~"PP'C' $1, punto '(2~~.>:'
",puesto qu4i
30. sz, ~ likY' * s.eparando yOráble e. int~ando.dx ..... x.2 _ 15
ln(ji)
L~ ecúaci6n ?.1rticul.aI' de l'a curva 6S:
:: ~ (U) t/'l + e -, e • ":' 163+
?uestc Que (ll) Pasa pol". el puntp (q,l).'
(O).!.xli>. e3
29.' ,*. ylX; sepa r-endc- va~iabl~. ~ .integrando .
. 'La ecuación p~t'c.icu'lar de 141 curva 0.$;.. e: 'O
'r' 1k~dy: (~.• x)4x • I y'
19.
It6
2(.y - 1)~'
• o. L-a. ecu~eión part. icu~a~ <le' la ":ear-va sé"r~!'
~ '2 (.;) 1/2 • 2 + e ... e = 2.
f dy- -(Y--~l)-.,::--,
separando, variable e in~egr.ndoil. = ¡-y:-,dK J-;-: 2
34,
38 ="3'2 (3 • y)~ •• ~ O • x)*r 3
La. ~c.u",ciór. 'partlcula\" de la c'Ul"va ser':
+. e
puesto ~U.(~)p~a. po~ ~l punto (2,&)
sepat.l:ldo ".:lZ'iables • integrando33. *" ='/~,: ;f '.(3.y) "'dy
32.
31,
117
ln(lO) - 1n(5)ln (1 + .. 'J) '.•,du . ] ,• ,ln(u) !::u . ,
U1l'1 ]11n o
.tI ol/'dU • [- ~.
5·f32tdl ~2 'Tt2
u : 1 • t2 + du = 2tdt
. d u .. U s 3, - 2x + - 2 ::dx .
_1'22x) dx
1 • 0=1ln(lJ :..lne
Snl:w.cjcdn
11" A~.-n , .....(a Z. -2
PR;>BJ.tK.< ~: b
1. lie.oHN1' gU. L f(.)dx • _'[[(')(~dX'a b
f.D f(x)dx • r(b)· F(.) = .(F·(.) + F(lo» = • ~.. .
INTEGRAL DEFINIDA
CAPITULO. XIV
..rdx10. -3- =" X'. o e .
• + ln(5 j
[,'4 . .,
+ ---,o x . t 1
]"X2. o
= .La dx _.0
. fa= e •. O· ,La.. B', era
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,= r1J"- l' ~ 1t ; ~"
7,
.' .
[ X• _. _1.. ¡Z 1)]", = -+ _= ~ 2 #'- + X ... Lñ {x 't .a ln3 .
J 2. '.. z= .x dx
O
1 r 'X~l )d.X ,-
., .'... :'.
. ,~ lp[C.2)(S] " lnCS»
119
"
1 ' " "]"'.6co.s~J'COS'!I: J T 12
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[,
1 1- 2' COS2K + 6"1.-R
f,,/2
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1 S}'o'el'Jr. 1 (1 ['• ,~jo e". ,!9d '2 - e¡, •
1 9 d9'2tos= l111+' 2~o~e ue • fi[ '~1-+-.-c-.-,r6de, o
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1:;- (y + y)A as .ir.ea del 'ldo tt'f.lpee.io• I t X.
3Q se fO~lI'Iat'~n t r apec Io s usando .la~ uxtremi<lados d e las er-d e oa-
daR .o.C"H'(H~C.lt.ltiVIl1'1)1'. 111'\~';$ r-ec ta s -,
,40; Se ... be que el .!t"~.a del tt"apeci:o es la •• 1rIlsuioa de las be e e e
por l. alt'ura, e~ronces se tiene:
"o
/Íi--~I-~-'r1fxlI ¡ 1 : : r-.. /t( !.: ! : ~
. ./Í 1 .1 1 I II I I I I I I
I I I • rI I I I I L1 I I I I .11 ' I I J J
y. ~I y, '1"'" ,', rnI I : ll : ~
y la. o~4enadasco~reepon4ilQt. en ea~os pun
to••• 'a:
x =bo)to •• , IIC1,rt, ••.
se..1&. ~bscisag ~~C~
sl.v~~ d~ loa ~tosde divi.si6n.
1R) Dividit" Po l' ee gee rrr c b - a de OX en n J)4't''t1. Lgue Le e e ee
~)( J.~ lOI\&l'.'ud de une l'
pe r-e e •
El eje d~ lQ~ x,'j las ord~lt~dasx p a, x • b
El Y,)lol' da un ü e-ee :puede' d e t er.minarse apf'oxi1fl'.dam~n~e s'umando
trapeoio!,),: a 8 tl!:l er- :
y = f(xl ...• (2)
El viillul" o'.ltlC,rleo exec tc de (1) es 1;1 med.!d.. dal área de La g:J
Vel"f·.icl.. lioit.a.c!u por La ccr-ve .
Dll'EGRPCICl<AP~
1.- F<ll'MllA DE W;; 1'1W'll:lCS:s.. fb t(x)dx ..... (1)a
\
•
CO(3ai~x:b:Od['~nJPoJ'::nt .gracl6n,j, ~ 1.1l(HI}- 1n(3) =, 1.20391
4.,: "
1 1 1 1 1 1 1 .1 •% '6 ~.4" + "5 t 6" + '7 + 1 • 9 +20
I 1 1 1 1 1 1e.~ • • -,~ • 7 .. i • 9 • 20 "
1 1 1 .1 1 1 1.!'_)q:'" 5" .,. ¡; + l' ...i ..& .. 2 10 x 11- ~3
. Area
1 .!.. 1 1 1 1 1Y " S· . S • 7 , i • jo• 9
,;' .
Luego aplican'dO la f6rmuld del trapecio.
1El úrea de que se trata ea: balo la ecr-ve ' y ~ ;:: " 5ustituyéE_
do esta ecua'ci6n las ab~ei.....s )(::: 3:4.5,$~7.a,9)10.Ae tiene ~as ordenadas.
;: 10.; 3 ~ 1:::..!L.:..-2.n
Solución.
n = if lOI!x .x'
)
1.
ne".
p~oeLr.MAS •
Calcular Lcs valores apro)(imado. do las. s·:i.~ujU(,t~s in''!e¡t'ollus
+ -21Y le •n x¡.!. y + 1, + .••.2 o
•130
32 ·al.'OSen{l) - 2m ...32 al'c:s.en(~) • 32 x ~
•- 13.95&406 - 32 x 6
A = 19 .6~899S
+ 32_ "i
... ~.2HS025 + ".6636895 + 3.8729833 + 2.1838821).0.5
ñ ~ ·19.371509,
Cvm~robac: f6n ..
f /64 - x'. =4
+ S.29i5026 .0 •. &636895 ... 3.8129833 .. 2.1838821)
6.2449942 + 35.75• 1
Arca • (~x 5.92922032 • 6.6143782
x y
4 6.928220324. S 6. 6143782
5 6.24<99795.5 $.809475
5 5.2915026ti.:) v • 663699S7 3.8729833
" .~ 2.1838821
e o
Hacigndc '¡JlIU tabla;:
x'r.: á e-ee q ee ~e tr ....ta •• bajo la cur-ve y • Is~
~ b ~ • ~ = l= ·0.5x n 8 2
n '; 82.
131
Haciendo un.. tabla 4. vetoe ee p'.a.ra ,H. ,y
X YO S
2 4.94609
4 4 .,1768" .
6 4.4647,4
B 3.9365
10 2,92402
10 - 9 < 2,Sy = 7125s.~
So!uoi6n. ,
n • 5dx
A 6 1.227
4. fol "25 _ xl
'A " (0.25".,. O.!J47 .,. 0.'289 + 0'.170 ... 0.0605) 'X 1
Aplic~ndola r6~mulade los lrapecios
x y
O ~.5
1 0.447
2 0.289
a 0.170~ 0.121
Seu y ,/4 + x,
l> - .. :~• 11 : , 1x n "
Solkc,tén.
CalcU~4r los valores d~ro~imsdo~de lAa 3ia~iec~e~int.~rQlc~
por !~f(,r.~t~de lo, trapecios e~p16~néol~s valvres Lo4Je~dos
4'
a . fo -:"¡:4=:=K=X::;'-
1'l)
.'0.5A x
Sj)¡~·í6n.
y.x2~
dx5.
.•. 1 •.1S4.4.11& +. "1 •.S.5~5.C6· I O·.Q·199958) •. 1
Atoo· ('J. 5' ... 1.2159736 + 1.1.1']36113 + J.627U~46 +
Por l,a. (jrmula de Los eeep ec ré s .
JiHr.' i 911do una ,~lll<l d<! valol"$$ pAra .x , y •.'
x Y.
2 •1
3 1.~'SB73'
• 1.473&il:l
5 1.621"3.66 :.#1544116
7 1.8635lf;OB
a 1.9599916
i.\ 8 - 2 1X·-,-,::.
-.6 .n •f 8 x~.S • -:¡::=:¡:-
2, '1.4 + )()
A _ ...... 17
+ 1..6201) x 2 ,
A • (~.S + ~.~46b9 + 4.776~6+ ~.~&~76• 3.9365 +
133:
Area .. 1.13
O.lf8t3299t O.232lf~>2)x 0.5
A~ea.: (0.150155G t C.!.¡101S1S t :l.L31E(J.. a + O.4931l)~9 t
por la' f6rmula de L t ee pec Lo s e lio~'I):'
• y
1 0.301>1131.5 O.~101!i~S
2 O.1.J71·I~045 . ':2.~ .0.'9J65~8~ O.~93~969.
3.5 0'.4013299
• O.lf649~OS
~3ciendo un~ tabla 4e valores para x.y.
0.5y • -,,='==liO-;;t
n .: 6.
.Ar,&4 = 6.1~6
f 4 ~dxG.
1ho + x'.:'. ·Sotucj6ry.
• POI' la. !-5r-Ulula 1;fe. los t}'?peci.os
'Al'ea .:. (O.~98Q"'149 .. j..a7·~;a3:> + "': ..nI1115l1) )( 0 ..5
x y
o .•l.$ ;;:.!liS"' .." ~
~ 3. a71g8l~
1.5 1._lf117S"
2 O
l34
• 0.6.23356. 0.15)0.15&6666
ATeo:' (0.2301692 + 1.96565'" + Q,\o + O.7l.2'2G8 .. C-,3!'l¡B274.'
x O,'\OS561 1" 2 x "_.1'12.137 t 4 x O.160~a39 • O.'!S)·
Areo • ~ (O.23~7692t 4 x O.~O~6666~+ 1 ~ 0.2 t ~ ~, $ " •
K Yj e , 1301.692
3.' O _t¡. ó6!.656
• 0.2
". S 0.18$561
S O.1'J2'131
5.5 0.1605839
6 O.~S
6 - 3 t'""": tox Ir; -'-6- ::"2 = c. 5HG.c.ic:n~o '..na "tabla ¿SI. ve j or-ee para, X'.y
y • _• ..::x,-_I.J .¡. lo(.'
. .l,,~ .Hir,uilil:JtC:i .ln~egl""les, eepf eanco lOA valor.u :1<: n i.:it\icA':~
Ver' if j cer lo:;" L <.:sui~al!o$ ee ee euaedc llls InteS,r4c ;'O:ICO •
.1. [6 .• x~•• ~ n = 6 ,·3~~':
y ')r.
La fót"oulu de S:n,?son ?a~,J. n , val' "e s :O··T". • ,'y •• y +'" • L·'l •• 2" •~ .. -r- o 1 ¿"J2 r
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135
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Clllt.:ula.:.' 10$ va.lore. aVr'::>xi:nados de. las !:!et.:ier.~es iu-:".:-o1-. .L~S sp,g:(In 'la f,.5rm.ulO d<; Simpson. ,4.:ln?l\'tando .19a ','a..¡.pl"e 11' dt: n
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S.¡ ~,w,i~z¡.y • 1126 • Jo - r 06 • ~ e 1• o "o ,
.. ~Ol' la fórlllcla 'de ,Simpson el &r"a, :Jlra,= .
Ar••• 0.333.x (0.5 .. 1.788 + O.~·" ... 0::718. + 0.121)
I ..... (}y' __ 0_,= 1r;::::r "'X .---"o
i4"cil!nQv l¡nA ·t~bJ..a áe .valOres pi!!ra 'Kty:
• rQ 0.5, O. qlf- 7
2 00188
3 0.1'9
• 1).121 00
137
r bf(xld •• r{b) _ r(x,lx,
cuando (a < Xl (" b)'"
r(a)
Sr",. sabe que,
'f(x)dx z F(x,)&,
Descomposioi6n d.l in:terva¡l~. de 'integl'aci6n en un.. i~te_eral
definida.
por .aa fCSrlllula de Sirnp~.on 01 ,arr.ea. 'ser':
AreA e. ,0.,333 x (O ,+ 7.264 + 5~762 .,. 15.&38 ... 4.92~,)
Ared e, 11',1'9(1
X' Y1 O
? • 1.816 ",., 2.881
" 3.909
S .;924
HaoLende una tabla d,e valores para x, y:
s '_ 16x .:. --.--' 1'.
9,91"
n ~ 4.
Area ;
15. r.r'x", --,'" dx1SOll(~ian. Sea y :: 'xl .. x.
5.
?or la r.srElula de Si ..~go:t e¡: área scr&,
A'rea : u.33 ..:f x t,1".911 + &.611 .. ":927 + 11.19& + 3.137)
x1 ' L911
? 2.152
; 2,.63
• 2,799
s 3.137
Si a < b;! ~ > 0" se .lIIp1e. la siguiente dofinición.
. lor ~a,jo: .Cl,ld'odola función por. i.ntegrar ea coo'tinlA. para tooo
do .rl0s, valores d. x entré re s- t<¡.lIlit~s.4 Y )J; con ex-
1..tI) CU<"lC\GO fe)!.) es discootinua;
11) C~.ndoe~ 11~i~einf~rlQres infInito.
t" "ib' '+ J)" f(x')~)( :; Ita f(x )d" ;. . b"~.. .
1): Cuando el Limite' su;eriol' es i.nfinito.
r.NTECRALES IMPROPIAS· LIMITES INFlllr-ro.s
_ (F(b) '_ f"(a»
yF(b) _ F(O')'
s. solbe,quo;b' ,
[ f Lx Jdx ='a
,.lNT~RCÁIiBIO DE "IMITES
b
P"Y'(): f f Lx )dx, a
" F(b) _ f(a)
b.L ~\.)d. = F(x,) _ F(o) t i'(t¡,
1:!9
3..~5~::_. .P;)'~ el 2do c. .... o de (JI1) Be cien" que: .
"11" f b --:;::d=X===b+,,1lD 1: ~1 x 2'" -1
, '1
por (1) so tier, .., que
r~.,dx fb .]. "• l¡m d. " liúl [..r-c t g • 2'+ t b.. ..,. f) ~l t 1, ' b.....~ ,O
O,
f +wd"1,
x&~•
se tiene que si "'-d x ..-=- ~; ,pOr (1)O x'2 t- 1
PROBL!:l'(AS.
f(x)d)C, i :JiomVt'1) que los 1. iloLtos (DciS'tan.
(e-, ijo 'f(xJdx +",11..• +0
3.ar Caso:Si a'~ e <~, ~ f(xj continua cdlvo en x • c; entol!C~a~
siendo &¡ ~t. nClmeros positivos, la .In-r egr-e ), .n'tra a' y l? se,
q~e exista el lImitef.b-~; siemprea
b; .d.!ini.os:.Jdo C.;IOO:
CU3:KlG f(x) e:; cor.tiñud saJ.vo en ~
"h '= 11m' f f(x)dx;' s;iet:.pre que exi.ta .1 límite......
aH
1-10
1_ _ .' ] 2 -c 1(. ) =xl'
= lío _[2-' du 11m [- u )J7_.,..-o (" .. u:t}"'_ <~o ./.. - u' 11
pet"o: u' = " - x'
-.en la integral se tien~;
X : A~, ':1' dx:- ,":'udu
i'l .. u2
Haciendo 16 $U$tituci6n.
f2 -x-:':-I/,=d=:=.:;,;:= !::[2 --:-:':-11:.:4::=.:;,;:-1
por ~l 2Q ~~~ode (IJI) S~ tieno:
11.. [_ 2(H.rs::-;z -f;'~O • 3
en 10.1 i'ltegr.X5-<l::nJ xd._
'~"Ó ~1
x ~.5- ~¡• dx ._ 211~UHaciO'!odc
[
s-r xdx= 11.t"'O 1 ~f
5xd.
-'""S=-=.="1
141
f+- xcix7. 1 -(-l.....:+:=..:X:...-) -,
fa-o; 2 . 2j.... " ... u. duO
en la !nLo¡r~¡ se tiece:
- -..( \1
1- e:J];:.0
]
t•••{e ) O •Lb
1 ~;nC.- • d( -ex]
• O
'" :!xpor (J) ~e.:!un~3
142
, .a.rct:g{l}
•,A.p) ,("",do •1 3cr caso d • r:T,CO:loO: ~ .( O < t
f~.O •
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~f "'-(-.-+-7'~'-';':~:-t-t-110 (b.....
u ~ 1 .. x'pero_ [ ~b11l1l - l'o_'" . \1 1
• ~lm t[-b ....
¡- d"8. .....,....--=..::_-Xl t 2x .. '~-
!I~~cl,ndG la 3us-:jtuci6n:
f +00 ..d.·
'1<tt-X1)1
P.t (Il :;e' 'tiene:
143.
x
y
(1)
(2)
r:f {x} t,x, .1=1 _..J.u"i
¡,:nt:once·8¡ ~1 calor limite deasta suma cuando n tiande ainfinito, y cada ~ublnterv6-lo t,1endé a CérQ ee igual alvalor de la int'egral de!inida; e's d~cir7
f(x,)6X. +,f(x,)6X, +
XJ' ~.¡'..... xn respectivamente.y elij!ns8 puntoa, uno.Qn cada subintervalo, que tenga la~ ab~
Sea f.(x) una fu.nci6n C'o·ntínuaen el inter'vtllo desde x • a',hasta x _. b, Div1dase este .intervalo en n 8ubintérva.los ouyalon9:1tud80n~
SUMACOMO'INTEGRACION
xvCAPITULO
a'y o_x
144
- lu.]'['1 "a _ ,';/.;1.A s
.f."dx ,. -u x
Area _ (d xdy (4), l «
~ROBL(Y,AS1) Ka:laY' e I )ir.ca. de 1:.. :¡upc~fici~ li<?it.;.(jil VOl' la hipÉ:-.:Iola
"'y : ,Ji:; e; ,eje. de 13r. )1, y l ..~~ ,~rde:lad;;¡6 x" A. X = 13..y •
•
~1 aru~ ~11Lre~~~ c~rvA, oJ ~:c de las y, y 140 coordena¿AK
~ar1'e$~~n~ic¡lt~;x,.:, y = D vienE da~. pn~ la f6~mul¿:
,2,
....x
f (x)y
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:~:Jy I.(Ct~:.:\r.,.~ F;.r.f~T""GUl.:' .sES:ti .ir·~;. cnt r-e uo. e.u~v~.el eje e e : ....'! x , y 1.:.'4~:J:,~p.:-ta¿..;.!
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t í • H..lllar I.IflA t6t'C'lvla ~Q.r.1 e I é r-e e de tu :'il,"v~t'ri...:.{.• ~i",i'toJ.ja"
p',r la h4p'Ó1"'P()!i\ ~:¡uilút~r',) ')(1 '_ 'y' :" al. el (J)u de las: x ,J una rdctU LrA~ad~del origeL a ;UJ~1ui.r punto (x.y) de
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'..tn (;uC1d.f~do ..:clcu..lar :ó fl'ltz6o de 1 .. r.lJ)'I"l~ a la lII.n~r- ee 14$ :4-,reAs e n !,'Il:: llU* e.! d i.vil,lid9 ppt" .:adl una .;~ ies s Lgu f en r es c uc -VbS.
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.a;:u'~,.1fl~.ie de! pri~ftr cuee e-ae r e lilIli'C-:¡do por el e e-ee 4e la c;_. r
va 1U. ..... de ade el ej'e de las y hasta la lr.a In ee r s ec e Ién .COf.
Af • • i,A; • ln2(:-r ... 2)La. :"azón
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12.070!l-
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1" [~)(&e(~x ~Xcosx]:A - 'J • QKser.Xd>o: .O ' •
A1 [. x c.;nx e~~o-sx]:r
1 1 n1 ,,1. , 1} '2 . p't.O • L. p(Aa i'J '"'1.:.l .1 . F ~. 69, t • r n n ;=1
el Ai ~c.t d. ei!"cu'l&%" = 1 r,udioyl> que un s Oc':Ot' 2" • arco.
2do Se~n 40$ ángulos centrales ~e Los s~~tores;
1l.~1' A~2" '!'" e r c y :;us r'<i<lio$ 'VI' ;la' ••..
lro !}:<'o'! el üre~ podida es el lím~t. ,'dé lá JI;.m.,) de se ece r-es
c Ls-cu Le r-es ,
B'
A
P (n, .s) I
vect o ees y la: cur-ve se t~!!dl"Á:
.:I&a;
f) = f(9) 'id ec'uaeiQ(l de la
c ur- ....a: ''/ OP 1; OD dOD l'udiosveceoe e s ; Q. a 'lQ$ ~guloft
I¡·.,etor'''''''' cs eea 1"\\di.os y,ftl eje ;:'10::,,1):'
.·Apl~c~ndoel t.O~eGafu~
dllm,el)t03~ pal:"a hallar' el á ..eee ec t ee Los d03 ..adi.o:.;
ARtA D1: CURVAS PLANAS COORDENADAS PCLAP.l:S
A = l.: '999
+ COS(l)
J '-lT:1) O. -
a'J~/)(1 +<0<29) de2 '0
D ~ ~CO&Ot y 14~ roctas a ~ oSolución.
ra/J' . 13A • bo' p2~9 -, ~r..1<<>s~ed6 :
'r~/J .r/3A ~ : Jo d,t), + ~Jocos29d6~~r'~+ : ~r'~~S2ed(2e)
O • Jo
8 &O~.
, .l. - !fallar 01 Are. de .:.a su?erf'icle '1 ibitae3 po:- .1 e Lr-cuLo
~ustit",y¡nclo.G de id. ecuaci6n de la curva IJi "'a'Xol" de (J en
tér¡:;¡inoa d. 8.
POr ro tanto, el é r-ea ba'!'t'idd _por: el radi'.,;, ve e re e de: la tu!,
va cuando p.a. de La pOSfeión OP1 a La pc s Le 16:1'.:)D Se' da
por-:'a f'67'mulA: -f6.1. •
Al"ea : 2"- D de. .. .
n122-i:t' 2
H..n··are Apl fcando el
vuee c t e .' •
1110
ee al' t). ox e 1Jy.
• '. ~l ""'(,)'J: sQrá: 20.1; B
x
SI) ¡~4:~';:~'•
La CU)"'JJ! pl
Céillcular (,1 ál'ea de I,A ~uper f LeLa tnee".réiu,J por Odlda una de'
las s,.lg.llcntes CU\'V4,Q.
"1:["'/2 {"/2' '[ 1 ~~.n'~\ 'c('>a2iJjl~: ~- U'2 du2 O" " ,"1 3(:e "u . .
,O , o ,
.1f 1 -eJ:!Z ~,2- 26 !; ser. - .
2
- t:vs1& G.;2
- tI área total $cr¡
'IJta ~uyn li~i:~ d6\In t e g r-e ;,;::.i6n c s :
? ~ e cy,~do e = ~2
2. -, Halla':' al áY'e¡¡ (ola! d. 1.0 su;¡er(!cl. 1i~i!.e e e pOto ¡a tU!""~
o = ~se.n2e
Se ~:.~i,lz:. '_" " cu r v.r p - asel'l29 e...~sioét'l" ~~U co t, r-esp ec t c
161.
SOluciQft :p = Za J si 9 •. ~.
s_A '3". TP •• (1 <.o.e)
pue er e cuando e ..4 que p o • 6'
e vClf'1a desde "+ Q haata'-"6
Sol.~..cr4n : .Po~ 1a g~&tica de la tig. se ve qu~ el área será 30AB
~..n
28 .O
[- ·CO&
.. '1,,;2so 2 sen29da .
O •
•f _(./2A JO t i~,"-n29)dG
•a -_~f ve.os qee o v'4~la de -Oha~Puesto que: p ; O cuando
+ ir cosad (2e)o
= :[' dG,I"ZOOS9d9 •O O.~I(Hco.25)d9O ,: ,In da' {' 2<0.9d9. ~f' ae
. o=(29-210n9;~ a.~scn29]", , o
qr 9w.. A :' '"' + A.,· 2A :: 2
S.-Q=2 cee ü
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~ ~ = }.f (2 - 0009)'d6
'r' 2 .= 2 (~- 4<os9 ooos 9)<18
~ • '3 cuan de ti = H
33':1."r :: 'lA =- ~
+ ¡f d~ • ~f:c"s20d(29) }
'- .
. [' .r"- ;: d8 -:2J_ . C040:lS. o o
:'~'f(1 - 2 COSa + c,>s'C)óS.
o •
163
+ t t)~ t'S2tt/3,~ (1•. O
j21"/3 ~.? 1 T ""2 2(1 " )
,1 - T ( !.....::....!.- ) ,
O •1 T t' 1 • 't 7, •
p = a/l+,eo~e y la' rect as' e e O y e -110"
Solución !
+ A ,. a ;S2r./3_( 1-..::d..::6_-+ cosé)2
O
+ ~ ,¡n (a CQs8 + l>t.n8J<I&
•t {' •• n&~6afa ev.&d& ~. aone .. ~'• , bcos~ o
~:~C~~at bsen~Solucl6o ,
,C! ~ ... cuando e -e o:.
curva :
p
; ,··L·/2f '/22.' . deo ('1 t Qosé)~
a 2~;
~ + cose -1. coso2
21'/2 "6• 2. ---=-"---, o (1 .. C(I!;6)2
" .p •• se:c2_. a2 cos~ 2'
Solución
e a int:~r·¿e;Jt;a.d.g en t t-e liJ eu e va y el lad.o recto. o s e a z e
cce e-ee 't!"Qzad ... por el foco pel'per.<iic:t:lar eI eje de sime -
t 1,10 .
10. H~l3 d,:r.' ~:; á:rel' :lo parte de la parúbolA
{,
,"/6a':::- ooc1016¿ O
y e. )0·r-cce a e 8 = O
a': lc.l2" fi)"
.'~c' -- In \:;«c2.9 +•
p~~os2~= ~:'y ~~F.
501\1c Ión :
1'/6 21 a de .
~A=20'~=
6- +,~ .evero: ~l?: l
165
1·/4 .;..!. (.aet!)
2 O·
o·•o~2. P = ~e~S ~ t8~Soluc:iún :. /4
.t 1, ~ !í (:Je~e +2 o
11. o = t¡;e ~ = Q, A L ~y. t'1
Se 1uc¡'ónr/4~fa tg' Cc!6
o
~ A . ,,,[/4 ot (:¡.0..:2&,
= - 1)d6 .,,o 1s../4 l'/~ 12
1. °1l.cll)d-9 - .!. d~ 02 x•
l O 2 O o,,~[tae rilO ,
1 • ,= e ' :¡-(1 4) I
o t .,1 n
o
•• = 2' - i,I
H.,llil'::' el 'r,,¡J, de l.ac ::'~f!-?t"f:'=ie::; lllfl.it~d"'3 por lar. ~.LSuic:ltep.
~urvasy la~ rlct~G ~a~4~.
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3 .o . o
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o • 3(;Qs6, e VÓ"t"l. de nI) h.9~a, .. /1..
13. p. 3cos.9: °1.... J .. cose.Sa1uc¡6n :.el ÁJo·ea· -:JhB con s t u :1e 2 pal'tes r UJ\" oil"I'rida po-:, el radio
vect c r- p = 1 t C\"'I$6 j 9 VAl' 1.:. de O hasta" 13 '1
Cdlc\!!.>ll". ,1 Srea que t Lea e ft'~1 cO.tnún CF,4d uno de li1:" ~.ig.J..i!
to.~ ~J?t:t de l!ut''ll1:1.
ta& ..secO t !.2
16~
P' :- 1 al v.:"iar e de
O"hdbta ~/& y la Clr~
b.:trr!d..J. j:lor:
dIc ve eee e :
de ~ "JI'I-:"(8!1:
ona l:arr!l. 'P0~ .:.. roa
Solución :,El a~~~de OAS co~~~u
p , 1
2.;.
+ cOi8 al 113rrar 9' desde ni2 hasta n ,P •1""
,i -ro~ +.,
Solución:¡;l ~rp.A OA8 ,")d\,iOt."l de :e p~":4~S ;u'!,a b~r:·!. J.,¡ VOL~el rdd re
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,. • 5 ".~ ~~1:' • ~ ; I • <-M9:
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1';8 ..A = 20Aa :. 2 K f sen28d9:+
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p' = son.2$10. "J • \)0&28Soluc.lón !
:f.~/4 .
-t ~ i:.u828d¿l./61,/6
.A-40A8·2 dao
(J • 2 c.o.s2 edende O: v~r-i" 4e ~;/5 haSt4 'l/lO.
'.169
~08 de.diviai6n un ~l eje x. tn~onces ei voÁUQon del eilindTo
... y las ordeoaóas de.l. curVa De ~n lo~ pu~nSean y, , Y1'
(o ~ ~) p.e.1 volu.en buscado.
2(10 Pa&o:
El li:r.ite d'e la SUClU de eer e s. n <:\! indrosces ()1rc\,llat"e~.e s I se re e ea un e(lJ.fld'ro co noe s pcnd Lerrt e a cada una <le Lee pla-.
, yo
G
.- F 7 '\I"I
í , / 1\,, • -1- f.- o, L-• I-~- I II ¡; I I I·l'....r _.J
I1......• I I, -,-., t , /B
~ !t.x ti< )C
"I ,, , , ,_\ ,
\,, , ,
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\'" ./\ j
ler ~aso: dividir el &egaento AS en n partes cuy, longitud aea:
A.T.I' AxJ, •••• 4xn y hece r- pasar por e/punt o de' di vis i6n con pl!.
no, perpen<l.1c~alr D1 eje .)t, e se c e plano,5 dividen al sólido enp placas Qi~oular,8.
Si dentro del recinto A~CD se construye rect'n¡ulo ~e bas~
taXI• .6)(t' ...• AJ(n' ene en ee s O/rectangolo enge.nl1ra un cilindro'
4e.· re:oluci6n cue edo el' ee cLrrtc ABen se ~4Cé girat'.
y • f(x)
Sea V el' volumen ,del s,ólido engendrado haciendo airar el e e
cinto plano ABeO alrededor del eje x, aiendQ l~ .cuacian de la
ecr-ve plana DC:
17()
y=- +<t). dx =- r'(t)di y ca.h14~ los 11.1tcs eu ~1 y ~2'..S; t .. tI cue nd o x .., r.,; :.. 1:1 cu ar.do x=- b.
Elltur~C:tls: en '(1) ae debe suut.!-::uir los valores
.y , 4>(t),x ' f(t)
Si la. ecuocione$ de la curY4 en se dan C~ forma p.~a~~~r
?) c uae.ee OYes el e1e de revoluoión eaplc.l.os la fÓ1".ula:
.(I!)
1) el. volumen que r.;. engendl'oJ hee í end o girar alrededor del tj.
~ ld $u~erficie lioi~ada por la curva, el eje de la. K eUyi
or-denedas es x: il, x e 1) ca :b
v)( • 'tIf y1dx"
Por tanto:
(l)
OA • M" os =' !)
3er pcse .
Apl.i'cando el e eor-eee lundar.:tcntal (empleando Lea limite.:
engendrado poI' el rcctangulo AIrO será: .y~Axl' y lo .ulIla d.
eB~OS vol~mene3 de todo esto~ cilindros ea:
171
'2.- t1J111..tr' por i!lleg:-üción el volUfl".cn ,],;,1 cc ao trun'JdO que seen&,end'rl.!thac f cndc gi,:;'<Jr ulx'fCednl" de ü x . La r:u~~\.':·f.i.{,:if. li-,
/" mit.adlJ POY' 1':)$ re c t a c .
:·srY·d" .l~f:(I,t .. • ' )dx ' yV , I• 1))¡
~u~2)( 'jr• - ,~ :>
1.~l ~;] --: - "
.. " , '!"Y -;x
soZ.uci6" .tl yol""er. $~'r~ 2 VC ...eu 01 v('ll~-'¡f:n ~ngcl!dr"do Jler 0.-\9
1.- Ht\.ll ..tt' el vc t ue en de la ,.&[0'" que se E(~~él:l\il",.II ~JIIclbt'ldb' eJrol" el c!rculv Xl + yl e r2 .Il"edcdor de un ¿,illAl),:ro:
y ci eira ~lrcdedur del ej. y:
Vy , 2~r'(Yi. J,,'
Por ~....ntp cu e ndo gira ¿fl:r-e
dedo\" do.L u'j o ~.
l'.Jción h\)(lOO,
en el mi:.oo plano, y e s c e ~: e no cor-t ... a la s-u pe:' f i e i e
se formo!' 00 :;61 ido ~e revo-
Cuando und 'Supe:-! ie ie plana
zira 4_11".d.dol'de 1m eje en
.: .. (2)•
p\,jf.:-~tc') 'que 1<\ pa:r~bolcl
~~~4.por$1 ~Un~(l.(X"Y,)
( 1)
• _{'\~_dX •O'
yx
tic!e S~ ongandra hac16ndo,alr.dedor de Su eje _1 arco 'e
::'0 ?ürt.bold y2 ~ 2 px , cQmpt'endido entr'!t el origen 'Y el
.puntO (xl' Y1'· _.
Sp¿wCli6r."&l volumen enlendrado por OAR ;e~A
ti • , - - y • o- Ji e '4? ; • • •sotucrÓt'l ,ei vc Lcce e s~r;i :
~S:. y
• V e (" - xj~d)(,x-
• .í (35-lZ_'x' )dxO
"[3tix -j'O • &_' _',3,-., 6~.3333.
+ V. • 217._Si7
0_- Hallal' el vc J um.en del ,araboloide de revolu'ción cuya aupE
173
o
v
H~llar .1 volumen del ·s611do e~iendrado haoiondo girar alr~
dedor ele Ox 13 cuperficie limitada' por laa aisuien,tss luga
res geoDlltri~os.
;- 11 ~5. X.. Ylvy
pero: e e ec 1. pa\",~.pola pasa por el punto (K I • Y I ) •• c a.ene
y' 4y'
, 2 VI •2px, • P • 2., + " • --2 ... (2), 4.,
~ sY:.Itituyendo (2 ) en' (1) S~ 'tieo-e Q.ue:
--------_.~~------~~.. (1 )
----_. -, ....!._---,---'
/i(Y.I'Y') ,[, .• ~ 4y. '
O 'P, "v,~y
v7
""'._ U"'::"¡f.r' eJ. vn';.UII'¡er. del sóll<lo ae g'e n d r-ado haci.ndc. ai!',j,r .,lt'~
dedor ~o' Oy c L (ll'CO de la paráho!,;. y' ~ 21olX'So'u,rÓ.n : . .
::: vo t ",:;nen IIn¿entl"ado p:t!' OAf!.·se!'á :
174
v = 1T~ " !. a' ~a'8 .' + aj+
'x ~ 5 , 3
" v = ,!.!.'x 15
a
X ":' o
"
y
'Ja.L, 3'" o
8X*.,/>, s
\'x
, 2 .2m + ,I() d)(."
1.- 101 par&);()l~Sofuclón ~
V Yo,' "IoS (..~ ...¡y,.. ¡¡- ;
y • :r[ x,,'J~ :x \¡., o
6._~yt.:'Xl y.O.xca,Solución
El vo~~.ene~gend~adopor OAa será:
175
,¡
.'v •• 2
y
(1 • c<>~1x)2 dx
sen x9.- O&a ~rc~d. de ySolución. . •
Vx ' ,l 'C·O'.dX , {
-a
yti 32 ¡r.'~ "x '.= 1i5S
'/ ~2'[&~)( _1. ~to/ax5h t· .!. el iJ;¡)( 1/) X'J~x s ./ .
~\ Q.
2~G3 s , ~ l • '1'1 , . -a T ,. e ~.3J• 5
y :' 2~~·O$.' . la9dZ + 135.-..4' -' asaj• 105
, ..176
H o ~~ ·b!'uj.Solu,c:í.6n :
vx~.
'v _f4 ~6 (1~x , x2)4 x2" y
O ,.
V i~~(16_~1 ):Sx, 2·" -" 16
O
V !! {(Ot. - XZ }d"x 16
lB G . ~'v 16 1J tlix - ;, o' e .c; Bax
V "" (11i,X
1uraea engend.aGo por \lA?-o 'l\!nSro3:
1=.~ + y~15 311. A,,2 t t6y:¿ )1; ,14l1
Soluc i6n :
too -. o: , O.· s·"1 • ti ; Y • " x =So,~c.i6,,' : 5 '55 -h• e .11"1 • -hdx. 2. .J U ~ -:' x J
x o ..o y
°v , f( [. -2X]:" i
" {e -vc . 1}~ - :¡
'" o ~ ( 1 • ¡ -10)-. .~ t -_
177
V "'_[6'+ 1 J.nx • seq29 1)2 '2
y," • 2. )..l ~ V • I¡.a';,zr: x
13. y' (2. xl e ,,' : 'y : b, x = ~
...1'/2 de
• 8a1" ----. o o~c"e··
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x •
Moe
-r c.uando
y 10& 1 '\si'res de in'tegrao16n 'Ser5;
" ,S
lf(lcieTf~O la sy:titu:"
ci6n
=64~6~~__'__~,~d~.__.:J ( 2 .. ~a;tftO X
y'x:1
178
, -=,1'{aa"ln2
16' ,v, ._ - a'}• 3
'1 ' O.211811a3x'
1~. )'2. = (2 - xJ' ; y O, • • O, x = 1
Soluci6n.
1'V ::: I!':\&a3,1. (-2a') a Sa·a .- ln (-a}x - 3-
, '~O'S,,·J.n(,x - 2,,)
, ar.' '
fr t_i- +
',h }x .' 2a'{
X
yox
..~ril.c101\ y
+ mr ~.l'camb.ia!llol'i:
los llmit e.s :le int e'"
puestc ~u~ Vx > O;
~ie:np!"'e:\\
": .....
o'
'1x
Y'
179
...
Ha.+l:ar el lIo1tl•• n del sólido qpe se engendra haciendo gl!'.:sr
alredodor de Oy. La superficie li.ita.:ia p<)t" loe .igu!ences
Luger-es geo:nltr.ico s .:
.':-.•.vx
X : o e : o
• En lA int.ogNl •• .t.i~n~::./2 -/2 . . . -/2
: !!._[ .2sto1Sd·O ~_[, .s ee " Oda ~IdO 'l! (e]: /2v . • 2"X 1I o ~:.. tg10 ' o . se'ele 2 o ..
ne • 2r.ca '11:n1te& de' ~ot:.egr<lc;ión r>er~ cua ndc )( = ..'.
ció:. .
ifa.::ien<1o lo tJu$t it!_
dx
dx • 2se·~t6 d& "o
, ...nf •ex_¿ ... x!1·
~ yx
Soluci.On
y e (); ." x':, o; x::' '(9
•
yJ.75ff.y•
(-J,Ol
(-2.8)
y .
180
'ti ::. 6ca,.y
re . ¡!!.)' t (t)". 1• b
J1 r: _.v'l' .v, : --r ~L9y -rJ.
y')dy
Solu.ciÓn : .
v1 2.531; (9-y')oy'. O
+ 16)" ::. 1144
16. ,. ;: )(J. y,. O, x:; 2SolucC6n :
cuar.do el rec~.1llP't.l¡'<> ee~ir.ioo glr. ,q;·1.t'edC'I~6't~(le! ej. Y,p reduce [J·\..:cas ci!'-<:l.:l3.!~s CUtO volU.eo es: ieu31 a 11 di!~ccci~ antrQ 10$ vol~menes gG~eradou al girAr loi reot¡o
:Ou ECDr 14 di.e4ai6n 2~po~ dy~ y f.ABFde d~men.i6o x po
dy con r-e epe ct c <3..1 éj a·y 03 de e tr- el vol aacu s er-é :
'181
2 O" Lí..i eC\l.lcJ6r. d. lo . Curva os de'la figu::'D C' ) .. y' • x' •Hallar fll vel U:!IU(J del .sólid.o que 1,; e on"6ndl". Cuando la Supey.flcJ'ft. ' Y}\e
}\Ca) OAB &1:-0. al'T'ededor do ex (0,8) (·l,m(h) CAB ~¡ra ..alrededor de r.·B(e) OAi elr. alrodedor de CA(d) OñO ¡,iN "¡t'~¿cdor d" :11Ce) OAC ~iJ"'1l a'lrecet!or de OY(t) OAC ¡:.i.r4 a Lrededc r-. ~e ~!.
F~<J" CO)
v ." 12h.Y
[ y'l'6VY •• ' lOy 2 J •
UQ?'iaLdn.
-ti V91ur,¡en EJ')8endr.a94> po r- OAB Sf!ri.& ul'rec1oUofl OY sera:y
, -b
x
2•• ' {¡~X' , b
V • - -1-1 y'I'dY}y i:ll!t~ o
2.~:~ ~b• -o
• 2.. ' (b - t b)
V ~t "'b.y
19. ," • 16 < ox - y ; ,y
"
-- - (4,8)
y
182
;1) JAB ;ir'" alre~edor de OY.
• }02~ tt35
• y •~.y 35 .
tl volu~en ~cdido ser&:Dl\'ids'ulIdo el á'r',a mediante fJ'anja~ ,hol"i'~ont,ale3, cu endc el
rectSrclu.lo ~en~rico de la fig. glrd 4J.rodudol' del eje y sep1'od.uce p~ac.a" c Lr-cuLar e.s de radio 4-x; de, altura'dy y de ~Utsl
!f(¡:; • x)l.dy .
.. 1:1 voluoen pe d ioJo será
bl DA! ~ir~ alrededor de A3;
(~) OAC,!"1:~cl ~l~ededo~' de hU
(h) OAC &l~a alrcd~dor de OX
SOlttqidn.
6)
'x •. ..r~'d.. ~[(]:O
516·::-¡- a
4
J6r. ""'d'. :JO .
... VOAC':
r ) OáC gt,ra alrededor de CA
Uividien'c1o e.l &rea ined~ente, franjas hc e Le e nt a ke s , c uando
e¡ .rect4ng_ulo ,O!le1:'ico de, la fie. 6ira. a'lr,ccjeóol'l del, eje~ se pl'Oduce ·p~~c.as cireu~ar.es de radio 9 - y, 4. eL't u-.r~ ~x y de volumen .
y
51?=,11
3' ,¡~.-y'7 . ,
184
. ,v. y
2.-;12 1.(h" ')d--", ~ y X:1>1 O
v •y'
s:; iugión.
\\,
-.... _---,
19'11
- !''':]'4 ov • ,,[64x
OAe L~
21. Hallar el volumen ~ul esfe~oi¿e ~Chatadc que ~e ongen¿ra tc í cude s;:iY'd)" alr~dedc>r del cj e dQ 1.5 Y la sup.'1'tieic lilli
r ede ¡Jor 1... e ; :pse:
]:4 .
y ... 0(6 •• ,,')lxOAC
y
e ~-~---I ,, ,, ,,IIII,
x
b) OAC aira al~edcdor de OX.
tl r.ct~r.gt!lo Hcn¡'ric:o al gjrar' o1rededol' d. OX se peo
ce,placas circulare. cuyo volurn6neS igual a la difere
cia cn tr-e ~OB voltln~Jlc~ gen c r-....das a.1 girbr. Lop l"ect3.
gu~ol.
~STW de diQen~16n 8 por dx y RCJY de dl~cnsi6n y p
d"
es decir el .vc r ce.• :) :re.l'~:
185
h e :1x
J{p.,lldJ' el ve Lumen del só11dv qué "u e'ngendru b ec t cr.co ¡;tirar
,l~~d~dorde c/u ¿~ la! Riguie~t.~ ~ectas lo 5uper!lcl.que
Gtit'to la eu e vc cc r s-eepcn dLen r e .
23. Y ~ 3. y: ~x - x,Sollrci6n : ,
f:l VO.: I.ImtH~p.ed.:.~c 1:l)r&:
~o~!tci6'i.
Sea :a. cc ue e Lén -1(1 !...e s I'es-e xl + .,.' ~ :-1..
;;.1 girar .;1 re<:.tát)gulo p'f!::".Grico .1 r-e d e d c r- 4. OY ~ e e p r-c doce
pí acc e c t ucuLn r-ea c''''y() vol'u:I'I(Ju lit' ;ei.l~l a. J.~ cif(:)~(,·ltctlW f,tft
tre 105 volnre~ncG¡en.radus ai &f~ar ~1 vec~jn~u:9~?l'C G~
dl::aens i6n r pOl' «lx y RSB:; de d i .C~ISión . 1'" _ 1C.
eh' (J" - h·)3
'12. DE.ene \'lItftt'a de :'üdio r se cc e t e 11:1 s(,;gQe~'tv de una b.1.Q
de e s pe sor- n , tiet:"l(,lstT&t~ .pcr iHt"~I'llcj61l q\'ht su \'O}I,.:Ir.éO «e :
., vy
y
186
d (V.J =. ,r2h • 'Il'"r2dK .PCx,y)
d oud e :
't' =. ~ + y, h =' <l x
• V =1(4+x)'dxx
-1
V -1: CB • . 6l< + 2)(1)4"x•V .{ (64 + B6x + l4x", ·2~x~ • l&x")dx•• -1
V = ..!('l¡ • 2'" + x' 6.' + x- )dx.x• -1"
"~·Gh 12~J .1. x' '3 x' 1 x~·.V = + -'2 + S• ,3 _ 1
2'1+. y = .. 4 y;..... 6x 2)t J.
SOI",~ión': . i .tl ·YC11.nl('ft pedido 'I!r~:
y"
16 _15".v. x
• v • .J.3 (3.'. y)l~xx ·1. y
'1 {3(X." • 'x • :» tdxx
13v • 11 • (.x·" .ex' • 22x1X 1 '
- 1tJ)t T 9 idx.
V = w[i: 2.' '2,,'+ ~x x
187'
Ade.ás se tiene que:," dhsec &&5° ;1. 'dx dh :: 'I'l tx .
_. Apl.icando •.1.4 f6r;'ul. para el ;'o1ulleo ~c t 10n~ qut':
d(V) • '!I'r2b II
. .2:< _. x/
r :: De =,.
de 101'sUl'eI'ficie al .... .t"3d io. de ~j \"'0 ser':
Ln nue a't r-c Ijercic{o nOS piden el girorededor d. y : x~.'.* sco s'ign if,i'ca que e.l
.'
\2 )
• V'~)(
y Bé • YC , YL .(3.- .' - x) J
de (1) on (2 ) •• titne:
Be (2. x1»sen45° 2" - xl, - .12
sen 1)5.0 =ae ,iA,
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Ademát. c41,cultlmo$ 1" .seml vs Leo ei", ent.Y'e l.as r-ec-caa r
lt i )B(x,yC)" B(~.3x. .
7'). Y -: x y _.'. _ ..x.1Solueló'" :. L3G ~u()t"-det'l.dA. de p't<).
• lHO""""3"'" •v. x
·125'0.~ .
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V "~l 2/X)2dxx 12 0(2. -
~ .. .z,I<':x' - Sx '" • 4x)dxx fi () . (0,0)
.'S!>lución.
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~ ... • 2<l1l:(ax • i'''),Al.' • 1
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x
V. • S,8(Y"_Y~)'dX• <
la' ro.+ 1
~orA~:;1 vol.umen t..ene,!,ddo por la. ·rotacl.ón de l.a Buper-fic:i4t á Lve r
fig.) Alrededor de 1a rec~a L, seda por la siguiente t&rmu14:
']' '~ñ ~2 1'" 328x • -- -_ .. '1) t -023 5
t K \ )dx:. 1I2'r~q)(2 _ UX.J, jo .
'8• IT .12* v x
~ v x
189
,'~ (21)la e-lb/a) 11(120¡-Ife - +-2--
. b-2X/AJ.'. , o
b .a" 1'2X/Ay '. - ';> a .1( :lx/a)x a o
• V , 'fb y'dxxOb :
V S·, .!~ -X'/a.)2d• ., ¡¡-...{ e ... • xxO
V • ~,:f (eh;" 2:e x-la -x./a .-2x/.a)dx• ,0 ~x • O
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Ha"l<'lr e.J. volumen ,Qb1 ~óli'do que se. eneen()l"O ~a.o..{4nd(>l<J girar ·alr.ded~1" de 0)(.So t.kci611,.
El' "01um..n ¡>.di40 'aer!t:
'dv • lfy"dX
29. Emple.ando, 11..$ e cuee Icne s : paramé~r·ic,Ol.3 de la hipocicloide
)( : acos"ey ;:;.a ee n al)
192
"
s~tu!.!i.4r..
r.t v~l"lrr.en ce! lIt>li~o ~:"lge r:dl"',);d1) r,¡<'t<.iCJndo f!iro.r un ..\ Glr~ad.:t."e l.:l c Lcl cLd e 1I.P,:r·;j,:
"lr~cedOl' de ao .buae OX.
()e~osl"l,lr 1uc al 1.) arcad<.1 gi1'4 a_¡~e:'."or de Uy~ el ve Luraeu
que $C anf.c::nd,:,a c s r 6,,}~}
}' = <1(1
se o e )
.~u. Y.a:.:..a r- el :'..;LulI.tr. '¿el s6!i.d.o 6ngt:udr.dt: h,¡ci~nt!:) girar ur:.a
art'..t.o:t de la cLcLc f de .
... r"':-..~)It CO$~93 , s CI):,j'!J 1 ~c~1l9. S !CC',. ,6 T 'f . í...
t /'
s 1¡. S - 1S~ • 1J~ :t~ r J271..\ r.V , S'lñ ,(---- ~x 3::- 10$
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i2• .2n ,a·(~-••nS)(1-c.s9)'da
O ..• V
x
xy ~ a2(~-~enG)(1~oo~,e)
dx d(l - con8)d9
conde:
y
" xytx
194
..•.. r r i r i• (~)2 e edt
• 1 P(1" =- t1); Q(t = tl) .on .dos pU!lt~s de una OU)'V4 defi
nida por- la ecuaciones pa[" •• ~trieas lt = f(t); y s y(t) quec~QPlen 1as condiciones dg con~icuidad, la longitud del ar
co AB viene dado por:
2. - 1.0NGlTUD" DEL ARCO DE (¡l/A CURVA DA"OA EN fOR~A PARAHETRIC ••
. •• (1I).r ds.f/":Jl\ll e
s '1 ds ;rb A. + (*)' dx "' .(I)J\B :.la
.Do la misma manoJ"a: Si P(a..e); Q(::',d) 80n 40. punce s de
la eurva x ~ g(1), si.odo g(y). g'(y) con~inu.$ en el in
tervalo e ~ y" d , la longitud del arco AB vLee e dado por~
------------/Cj--- Q" I,n-l ,-J: .
J -p.I
+SO" P(.,e). Q(b,d)
~ua ~~nco$ de la eu~v~ y = f(x) donde:
t{x); (,(X)oonti.4
nuas en el. ioter"'alo" " x ~ b ; en. est as
eondieione~. la ~oDgi
tud ~e aren AD Se da
p01":
pErl1:f;CIO~: !.a longitud ele c eee de una cur-ve toe d.fin. COMO el
limite 1e la $uao de los lados de lu ,oliaona1 cuan
do 0.1 na.ero ce ]0$ puat c a d. divi$jón t Lca de ..1 (n(;nitc, e.L
mi~mo tiempo que c/u do 101 1&409 'ti~nden a cero.
LONGITUD DE U1I ARCD DE CURVA
195
+.5 9.07
9.01• ~) 1/.]8 :9 •~ S
183 11-S : - u Idu2 O
?_ x-l/'dx -+ 3 .... 1.,,-du ;: 3 2' dU • X dxHac Le ndc u • x '2/' + ~ ...9
:[
8- 213 .x úx
O'
o. to6or todo en.Y2 •• 4/'S\l6i.tituycnc!o ~ en (1) a J'in
té('1Ó1ot)3 du x,'ey '1 - illdx 3'
'( l )2.L :d.Of:!':'l var.d.o :
$0 l.ug';4n.
'\del arco de La Qurva ~tya a-
c:;nlPt'-endióo en r r e r e a punto5 (..:,.:J);
fl{OJJl~l;MÓS :
1. - Hal..tiJ.t' l,'IJ lOl"l~i't ucí -'-_-
cua<:i6r, I,!:) y~. x2,(8,4).
Po--" .6o -
J>
Si una (.vrvft vd en e dada por an a E!uca~.ió·n P .. t(O) en ~Cvt'1E
acde s polQr~5 p.9, ~u rongi,'~ud S del arco será:
~." LOl' e !TVP DE MICO S os CUHI,S ?LI',%S COORDpApH ?Ol¡\~gs,
196
s.,143
. 1t --).:\x
2 x'
1 x~·· 1.z"(-'-Jlo: x2
> S
- • 1~(~----)'2 .)( 22)('
1---- =x'
"1~t'.:I(.."it1r..
d~~·i'/ur:d.o :
x' ,y .:r .. 2x; ;l<f¡:¡¿~ e; punt e de abscisa x a 1, al punto II
ab~<.iI:A x a.
335.s --r¡'
¡8a 3/2)5á= -'l1 u Qro.
I,¡¡.. 1J:,: 9' ,,1 (it,;- ·S
di<
+ 2.. ~ d x ~4 •
11:.& du ::'9
',' .(!:)'¡'f :1
(1) i'l r in ce' 't en et- todo en térmiy , (.') 1/'. ena
ay' , ,.' rle~d.e, e1 ~:"ihe~ (x : e) ; ha s-t e !a or'dena<!a x • 50~t>¡'ua}dn . . "
de rLvun do : ·'lay :!.L. : 3x1- .. ~ • ;))(2O)
~x dx 2ay..
.1, .. I~alli;l:" \a lonPi.it'ad d~l ar(.n. de 1& parábo.ta ~·~mje:.úbica.
197
... S:: ~.9?
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..+ dS : ..¡s d x
Aplico.Iodo (X) .:¡e_ti.ne;
S•• -r ydS
Sx - 411'g !al xdx-O .
Sx .: ~rs..,xz]: ~ e{$" n
y := 2x
z ;~.d.
3.- Hall.Ar· por Lntce;"ac.ión el 'rea 1.1t~rralóel ce-ne qve se en _gendr~ cuan~g la ~eot~ y. 2x do~ae ·.x= O. M ~ 2. airaa J u lre~eóor d'e OX,
b) 41vod~dor de OY
ver Lf Lcu r- f\l r-eac.t eaee gf.:om'tric':'i"",nte.Sqtypi6.r:.
- ti Qff 13• S ~(1 t'.')* o," -~
1y ,~ , 6 3
S '13'= -11'y 3
ñS • 2.1 xds •y
~ 2.(.(1 '. ".Z)'~'dx ~
1 "f:. .'Z)'/>d'(l .. ~)(2)4 •O
dS
y
..... HaJ.l. a r- '~1.11"'011 de l~ eu pe r-rI c Ie que 'SP. ~,nge!ldra cu-ando .1:arco $le !a 'par4>? la' y • 1(2, desde y: O a y:;. 2 airaal1"eded~l' de ÓV,$o1.:.:g':4'n.aq ....t ~ . .::.2x; y:ro ,,2'
dx
g • 215"h "
a,donde
2ri
"
, 1 1/2~S • (1 + -:-m) d~
9y ,
13;.213
6.- Hall':':' el ñ r ee de "La ·supel'fiC:,le que se qc t t en e h ac'Lcndc gi-
r-a e- .. .1. as-ee de la curva y.)(3 desde (·C..(}> ;], (2,U) a Lr-ed e-.
dOT de OY.
3&,18s • t ('0,09 - IJx 6
4 lCB
y
JI
t - ~ ~4,17 - 4xu •
1 lOdS • (l '. ,4{~ ->l) dx:
-1
·$ot«91dtt.
hqul !!1.d.
S.- Halla" (11 Area de la..auperlic1t: que Se obtiene hac!ando g_!-rol" «1".4e40l' de OX el 'arco d. lit ;»al'á~o':~ ,/.' = 1,0 _' x qUf:.
.:;\:4 dentro de L pri.e'%' cuadt'ante.
x
1+ -.2
212
l'
p e ro :
.).1"
18' 1811m ( 1
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~·)OO 1l '3 E ,,2.. _ 1
1 nt 1 U· 1J"...-10(-)9 '2 u. 1 t·
u • I,y'¡' t 1·
dy ;~au er. 10 int egra1 tiene:
1) ,¡- a.6.( uZ .
·S8 ul'du
18
, 1110 2 6(u1 . 1) ,¡. . 1 y14uS 3' • 1LGT·Y <+o e tul .- 1) l~ e-se. (ul . 1)
'(
U 2 e 3 y ..h + 1 ... Y
1)01:' s e r- un a int egJ"al ic:npro
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j' :liT'.~í~nf4C:~O'l" 'sé r~~i~e'l \JI; dceit pode1bOS dC$C;~r,.po
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1) ·tl~:¡.graci~ll ppr pAr-r(!~
2) A;'li<:'~ción de la teorta de f1"A<:eionCl,s r&cioo31és'3) E1'IIs>le"'de: una sustitueiF.n eonv.:lIlenre
t~ t:L CALCUI.O t.:iTEGRAL }')l.(:':UEXTeXCflTE SE CrrCrJ.';N :'CS
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CAPITULO XVI
.,INTEGRACION.ART·IFICIOS DE
223
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Compl.t~"do cuadrado &e tiene:.
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en )11 Satl.!gr.al. 1
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Sol"ción .:"~eiendo la 9ustituci6o
_________~c~.:x::::::~;Ln ¡ -_.)2 + x ... 2/1 -t ~.+--~~S d.
, . .-~-(-::I=+=X=:+=X:;'
~ROBLEII'AS ,
VER1"CAM (.AS SlC~IENTES INTE(l~ACIO~f~
29.0
. S . 2(.' - • ...2) dx= -(-%-'-----2-)-(-(-,-.----2~~-'~-~(~z-·---~2~)-(~2~.--~-I)--+--.2-(-2"2'-----1-)-'-)-r1~
• 2 2(t 2 2)• - dI< - • ..x . • - d •h - I (1. - 1)•
O" l. integral •• tiene:
."a: - x • ~ le + 2, ,de.$p~jamos
Solil(.·i.dn. Maciando la s\lltit.~ci6n:
xC• L..(:~-~--;:;:::::::::::::;¿
2 + x + 2 {L '.jo x ... x i
2 1 /(!. 1) • 3 LoeL.n (; .. .. + ... ..x
2 + 2d + x ax .. .. xLo(.. ) . .... Loe·x
- Lo~ x . ) ~.. e... -2 + x + 2il + x .. 2x
... e_1_ l.. (~/;':::2=-::;:X=+=2:-,+:..:'-'X'--=-:,._:cI2.=~)12 /'<'-,,+2+~ .. .fi.~
... 2
2.-
291,
.. 2)' + 2(z' :t 1)(2' .. 2) - (21
2(.l ..2. - 1)
S dIp... 2)
1J ."(~_) [(/ .. 1)2, ..,
2(!.~) -2z + 2 '2z"""'+2. 2l ,+ 2
2 (z I .. 2. _ 1) ",dx • ~'-'-""'::~':"".::_!..L d.(1. + 2)'
,1 + 1.x • 2 + 2s -+
dl.pejando x R~ tiene- xl' = zIx' .. ix
Haciendo 13 iust1.tuc:i:5.n:
;::;::::,d=X=·='==~_.2arctctx +- Ix2 + :2x - 1) + e~/X2 + 2x
So~uc¡ón:SQ·lUQ1:6.u.
;,- S
¡ 'Ix' - x .. 2 + x - 12)- Ln( .. e12, /x.l-XT2+x+'/2
2 J(,' (.¡ + 2) d, Z)( ~.t ~)d.'- • - , ..• 2)[j,l 2) iJi¡2"- , .. ¡z, 2)(, • - .. 2)•
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e (x • l)~. ~lev.ftdo :-i- .-{2 .. :cSo l:~.cai6r..H9Ci~~do la ~usti~uci&~
al~c;lJod!.sdb 's e cLene :
z • /.' .. 2x ... 1 ... xpero
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... 2 e e ee 8 t: + eS (·' ~z - l)dz f d.• 2. ~(':;.-:2-.-'1:';)=--(.....",.;:..:~.:;:.;.,;_--¡....) - 2 • ' .. 1z .....~,.
-21'.dt:. ¡_{. Z ... Irdx =
Z l + 1 lE 2 ... 1(x - 2)(. - ----) O x, . 2, x::. •
z 1: +- 1,
+ 1•para x, • 2. ~ dx, O se de&C~t('3
elevando ",1 e uad r e dc para despeja!' __x .},c; _ 6 _ Xli .. (x _ 2)lz.;¿ = ~2.z;l 4)(%2 +- 411.\,
'X\l(L~ • 1) .. x("t~¿ + ;~ + 4z:<I +' 6,= O
.:.;X ,- 6 - )(. = Ix - :'.}zs()til.·.li.:.~n•,Hacumos lu s~8rituci6n:
f2 . / 2(3 - xlv+r=»: )(x _ Z) .,. e;.-1 4x
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Completil,ndo aL ..cuadr.do 01 dono,minAdor.
-s f.<.,,,atd, •x _ 1
•,S,oLuci6n.
Haciendo la su~titución
i i... 4. f- ,52 ) + C( lo. 2. + 11
L:'l-'-' o'
"1 1pe ro .X + • • .-• X
1.. 1ee ee en ( x . l + K.. = - 1 + e • - er e•• n(~) ... e
2
-.f f4
~~" • t + • du .d%
- (% ... 1)
. -S du ~+ e z + 1 e= ;p.rc,sen " - areaen -2--+i4 , 2- u
Completando cpadredo en 6L de"~m(ri$dorse tiene:
-206
+ c.\
.. er.-~¡~+-+)• xx
-. ILn\- ...I ..: >
(_1 + !. ..." x
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~ X dI!.. Ln e • L~.t: ... xt.e e = L'o'z ... x. '"' } ..n a • dx'· i~n l~ integral ~e,ticnét
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O§.ili~.n a c t ee dc 1'.$ a"u&tituc:i6n.
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1/3 x'10,
):2 _ 2", .... ) _ 7.1 '_ z e x + xl
despejaodo 21.• z. - :x.I;i"-h+l
. Sqt.:A.gi:6n. Haeemoa la $\1-sti t.ución .
IIETeRHINAa EL VALOR DE CADA UNA DE L.\S stnUIF.NT ES
·IN!ECRALES
. ~. t( t + 1) I~2 + 2t - t Ln(t + 1 + /t 1 .• 2t)J,- fi - t Ln(2 + 13)
pe 1'0 z" t + 1
eQ la inc6gral .'" t Len e :r r . ·1~~ dz12 (. - 1) + (e. - 1) dz .. "lzz_2-tz;2_21+1 diO· Q.
~~ ,f,T:j 1 izi I)J~• I - "2 Ln (1:- + -
.. ' dt • <:lB+."'I,~ = Z -; 1t + 1 00',
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. O·S·ol!.tQtiM. 'ha~iendo 'la sust.it';ci~n.
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isualani::l.o 10$' cc e f d c ti en t e a~.la mioma pótcllcia de ., ••tiene:
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_,-':::.'-, __ ::.3__ • __ A_.~_:!:..,!._ + (C O)(zi'_ 2z + 3)1 (z1 ~ 2z + )~ z2 - 2: + 3
2z + 3)d....__J) ,
'sfl.,. - 3)(,'(z2_2z ....J
2 ,.(. -J) (z -2z+3)d,
8 -[(z2_2:'+3)2]312 ,
4(S2_)(2Z:-4Z+b)d2
(z." -4 It +10: "_12:+9}l/z
, &n la inc8grflll se tiene:
802
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I,1
",...".----9' . Ix'+ _ aTct.s(:.:..:~...:-:;.....:.2?,="J .+ ~ .. 1) .¡. eIf fi
.'• !l - .~ ( JC .. ¡;r:.h .. 3)- ....... ..
(x + Ix' - 2. +,3) • - 2 (. + ¡;z - 2x·. 3) ... 3
Ix 2 _ 2% ... )• •'. -pe ec :
9 2: ... '1+ -&TcCg --- .. e12 .;:r' .8 - 4~
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e8 t (2. - 2)dz - .32 f «. ~. ... 8 f ____i!. -- .2 ))2 1)' 2)' ,
(z - 2l .+ - + (.-1.) +2
.--- 8 ]2[4(%
z . 1 f' d. ', lt" -" ..,2 '~~j~~,
27. .... 3 I) ...+. 2)• - . , ¡
A +C .. '08 ....0 ... '3
.~ A "", e - O) n, l. D = 22
SOS·
igualando lo~ co~ttcient•• de la .i.Da p~cenci.4e ~;
e - o
+ =.C::,'.-+,-,0_(,2" 1)•
4 f (2.' +3Jd.(,' + 1)'
~ f·- 4(2.' ... 3J.d.(, 2 + 1)' (.2) '1'
•]'"
en la integTal se ~iene,.,
- 2z dt(z.?- ... i')'
dX1 .. O, se ae s c e r e e , + tomamos x; t>~ra:bal1ar .1a solu
ción df!so:ada ..
• O¡;.< + J.) .z:2 +.1'
• (x - 2)(x -
(Z1'+ 1) -.
))(,' + J)' _6(.'· +.1)' _ (2,2 + )2 !/2Z, + 1
,~IIs. .:.6 - • • ex 2)~ : de$pej.sndo• x ,
:,ix 6,
(x,
2) : e ~ = 5" 6 - ,- • Xl'l~ 4Z_.2')( + 4"::- x '" - x
(a,
+ 1) xl - . (4., • S) x ~. 4z: , + 6 - ·0
'804
~.J -;:-::-:2.. J ~(.::.3_..::x!...) <"'X:......;:.• .;.;.2::.!_)Lx - 2)'
I;x - 6 -7(x - 2)
2. t 8 i e- SI r c tg • - arctg +12 ....
2. 10 e- aTces Z ...• +•pero: (x - 2). - ,fs';-: 6 - x z .. • .
8 [ d •.' +
.... _-.:,:20:-:.. _ 2.J ,d'~2 t ~ . z +
Rctmpla"ando en la Jn t eg.r a L se tiene:
- 4 J ( A.... B + c. .. D)d.- 4 f d~
- 8 f di(:.1 + 1)1 .' .. J (.. ...l)' ~ +
4 f • .. .!.f "z' J} aJ d.
.2<.' .. 1} 2 .' + • ..•
.. e~4x=-:2- 10 at:ctg. -
x
'1
,fr A--_ b ..,__..O
., dA ydx'; h . x,
i< • 1. y .... ·Ú>'2.
Sc~ l~ 9uper{icj~:AMPNBJ di
vida¡¡'09'l.i en Il reccan"utvG ~~/u GOtl IIA6& 6x.adtmSs .ea dA vl ¡yeN
d& Lcs c.eetlngulos y au ce!le ro de gr4v,adOld ¿(h. k)
•OETERMINA(!10~ p_gt-.. .-'tNTRO 0'[ CR~!.E,Qt\').. r.DIA.Nr~~ El, CALCt"LO_ I~TEGBA(
- PaTa a_lgu:,a$ fisur" que ~C! I.atudia:t ce :a ge cae : (l..o¡ e t eee e -
lAl. las pov.i.cloues 4 .. 1 c c n t ro tI,e ,gravedILd: s o o evi<l'~nl e s •
- Para un rcclt\;,¿:ulQ o un c.Lr cu lo , el \;.cl1(.ro d e r;rlvc,:,l<t ,-..J{nc..!.
de con el. c vnr r c 8~ametrico de 1:1 tig.- Si vua ffA. plan., r Leo e un e e ee ro ¿~ lI'~etcí a 6$~ punto <:$0
(Jl, e ee e ee de g r e ve d a d ,Si: la riS. í.l~.,\a t!.nc .cn cj e de. s tac r e-Le eI c eet rc de gravl!dad c~t3rú en ~l'eje.
~l centro cle'syavAdad de Vl14 sup~rfictA ?lBna de(il,i~BA ael
.ill:ufe;~:;e mod.o: ún t r c a c de ear::&n r¡~ido. planv }' b c r Le cn t e a .
p.c.une<::erl en cquilibr.io e t l. 4!V$!.if:r.4 en un I:~.,t() dec~r2.in3-
duo Es t e punt(J de ~?O)'o es el ce or rc de ttilvr;.dad de Lu :.HJp~~f:f.c:Lc.: JI).'l!'l,1.. del cu r t Iin .'
CENTROS DE GRAVEDAD,PAES'ION DE LIQUIDaS, TRABAJO,
VALOR 'MEDIO, MOMENTO DESÜ'PERFic'IE
,~,\') '-:'" .
III.cII,M
CAPITULO X,VIII
j12:06
Las c-oee dc ne das (;,y) elel
tentlo g.o3itrico de un~'
¡re~ plAna limitada por
la curva ~ = ¡(~)y 10$
radios viccore9 a 6\_
COORnENADAS rOIARls
K ' ti4 y • ....l!..A' A
de la cu r v... 'M.PN
Si el 5rea A se conocu, entonces, de (~) tenemos:
(1) y O) e s :
(~.Y): ha.llamo.!\ .Los momentos )1x~ )C)' que según
M • _21fbY'd~. 'M '[XYdltx a' ':1 ~.
donde debe yu~tit.uirs. el val~~ de y en funci~q de ~ deducido
(4 )1\_ - My ,
Si el cent~u de gravedad de la fi8. AHP~B es C(x,;) y el área A
1.,relAci~n entro los mom6n~os de eup er f LcLe (3) v x\,. Y se dOr
p.Ol" :
ne que:
El Q)<lM(:nto de 1+l. 8uper,fl..c:i~ pl{\n~ AH!NB se qbt.iene aplicando el
t4ore~. fun4amental'dQl calculo a 1~ suma d. los momeut.os de la
e upc r r t c j e , de 105 rec.:tán8uios', f~n~alllentales. de 40Dda se Obti.!
Si as,t.os ,~ '<11\ t'&$Pí!:C'tiva-tTO de Ar;~veda~. (Ix (\1 O)'·),
me1\ te dJof y Dt1 eotoeeesx y
dM - kd.\; dI< = kdA ,,'" (2), x y
.El mOmentO d~ superficie de ose, raceingu!o ~On re&peCto al·Ox.(u Oy) 'es ~1 pr~~uc.to de su ~t"e.'por'la "i8~&neia de ~u· eee-
307:
d>l - IIdAy
h+' K -fa kdA- O • M - O (2)
x X
ih " {h(2p) II'X'" J:= xydx - (2p)1I> ~'tl'd:K: )1 S
M '. -Zy O O y
dA - ydltdond~ k - O : n e X,~ dH • tiSA -x
2·) Halla.05 108 lDomantó. de ~uperCi.(:io
h
(2p) 1/'[ xl"d~, O
InSotl4¡;iÓn.
l! Hal141Doael $ree
PRQ8LaMAS,
HallAr el centro de gravedad d. "V de la•• up.rfi~ie$ li.itaóa&
por l~s siguientes ,utvas;
1.- ,2:' 2px;'" ~ h
u = ;j I
y el área-plana li.itada por ~ - f(6) Y 108 radio6 vccto~~s:
- 1r ,Ax :" X 216) " 4'" =
)'- 1.,,:55 .•
308
(21)0 (h
IfZ-T ;'dA·O
1[16 .,'- -x -2 .).
Kx
(2)
'12~ X(41C-O
M • (\'¡Ay JO
h • x: k , 1. (4" + x' )2
* A ·f: dA .[.2 (~. _ Xl )d>tO
2 1 r- h - 4' x ' (o
A • .... ( 1 )
1: .... '1 -= xa y" 4" (primal' cua4r"l\t:e)Soluciór .:
Sc';a (h,k) '-"+ ce nt r e de gr.-vedat. y.
~A f (4~ ...xJ)dX
-.})~ .. o
Ay
,.
de (1). (2) ., (3) se. t.iene!
(.3)
1 [ •- r )1
'f 3I ' .2 (5y-y')(3y-O ,
MY
309
d. (1) • (2) y (l) .e ti~J\e:
K 12. M 6~x" _.!. .. y - _A -A 15 A 21
~ (it, y) '- (~ !!.)15 2 I
3,- .&y - ,x 1 x' 1
So!~aidd·s•• e (h.') 01 e en't.r o d.
gravedad
dA • (&y - y' - y) dy
'h1 (4y t ... y) k2' - y - y
3 . fol Oy~ A ·fa dA - y') dy -G • J -; ]
• 1._..l.. Jy 3 • ' 2X
... A - 9 ..... (1)í
Los mlJlDélnto. d. superficie aeran:
3 f3 'H . fo ~d.,• y (3y - '. [y' 1
Y -]'0 Í1y ,)dy . ."4X O ' 4
... li . 27 Ci)4' , ..•
.~
.¡
{l,21).
310
32." . J (3).y -4
d'C (l). (2) '1 (3) se tiene final1lleate que:
+ 2 .. 1 - x, ),dlt -'rJ= (h.-1
'HY
(2)
x') ,-1
, 4 • . l·+ 6x .. 3 X - S
h . x1 l. (2¡i + 3 + ,,' )k • 2" y 2" -----3
• 'A .J' (h +. 3 . x'2) dx [x' ... 3x - 1. ",'J'.3 ·1-1
'. .1.t (1)1
y
.. dA. (2x + 3:
tol ue, sS);.S.. C(h.k) el centro
de. graved.ad
., = 2x + Jo,.."4.- Y
"1 d d . (:,y.) • (125 • 23,._ e.n~ro e grave so es: _ L
H 1Y. = .2... -2
.(1
311
___ _ __ _ (2,5)
- - ~ g'(x,y) - (), ,)
!\.':1 =~
0\
48/S 48 4-1-2-~ro- r
de (1), (2)'y (3).e tien. rln.f •• n'r e
Mx _ ____.z:.A
(3)}ly
-21(8y'" dy " l[l . 1/>]' • ~Jo' , 2 5 ,Y,. 5'
e .M .j hdAY .0
(2)) "'J" 3847 y • - -7-Mx
, f8• y"'. dy
O
Lo.$; momentos de suporfie~ ••• tl,,:
A - 12 '" (1)
(8 lh [3)0 y dy' ¡
k = y~ dA· )l.úy ,
Y",8. x·OS.-y=x·So tución'.Se~ <h,kJ el ee ne re de araved.d
el, L~)'
17.~,r5
,"y .• ....lL.
A
- I h .. 9) d••.~x
'J ,1. ) cA -[O 1 _
ti 'l(y(-t-1
• ffO (- x'
-1
,.".1 (x, .. 6• )))I ...
fO1 , 3)(2 x .. .3 x!!)dx2' (x h + --1
{3/2 [z.-. - iJ{;.#1 < 'le - x2}d:ot .: 1 x' 1 • 11A, ')
O ' . &
r-, .[3 (O. - x ~ 2x' 'i" 1) tt~ .[3(2. + ) - x: )dx
3/2 3/2
;. [x' ... -h - 1 )1x 27--:lo< ' "S) .1JI'
T._OS CENTROS 1) ~: CR:\VEll,\O i.ll';:
1-.t ')• ,~l
•-j,.{1A1
..--lj -¡
I;
I _1I II :i
í~7 3) dx~)dx ~
(l ... = ls x - ,= 2. 3y " -y -
¡;~ld~~illl11'Célc:.u.Lo <la áre.aa de.:L-lA, • - (o. - , - fX ... :;)~.x.[-1A, • - (2. + 3 x2)dx
r• lI! l'It ~ - 2" - 3) d.
O •
~ -, [f .' , 3.1-1 5- x .'31 _ J_ ,
¡-TI
[1 .: ' .. ,,) .
x··-Z(6~':-3:.- •• ,) .-.' ~. '4 =>, "
•.ID64
1 ],¡'.. - x' "~ 'O
. "iV~ .',2 • • .' 2 • .. •• :x )dx _'Ó· (4x .. )( )dx ..M .J3;;(4x
y·0
9 .. 167 1~03•. .....,-¡r¡r-: IbO.I "1 '/1- .5~. .
.' 1 ['". ) ,.Mx ·1 3" x - 2,,· .+
f 3a .1 l! . ..e - (J6« -8~ +~.)dx2 O ...
. f' /2' .. ,-.1" (4 'x ~'. O .:
'1 ][x. 2 Y,
"
. .~ [- ; z'J ~ : lt 21 ~ "-1:
• 3x)d'X -
. 3/2K _r .(2x ,_y ~O .
-. l)~•• - ~)d.'3/2
1[ (,.'2 'O .
3/2 .II¡J, (-2. • 3)(2.O. .
~2 El.,ce.ntro del reet:¡ngulo &~néTico es:
[,,:t (-h + 3l]
. ] .- .!,..~ =4, '_1
M .JO .(2:0: + ) - .~)dxy -1
22-'"7 -"'5
'!t. ,
••,~
'~.~.era .1
".,
314
finalDent •• plicando el .igllieQte eOD.cepto.
,; (49 IH)24. t 20
4563/160 169 ,.27/8 - 20
441~64 _.~27 8 244.- :c;,. -
., - 23 167.... C, lOO (xt,Y,> • (24', 60)
_ 1503/160Y., 27/8 !!l.
60207~64 23278 -2'4J.-
e, - (;,; 1,)'- (í, - 1)
-7 -66(20' -rr)
!L!• .!.,. y,..::....2..ll. _ l',/4 l' 9/42.-
1.-
El cilcu.lo d. los ce..nt.rO$ de grave.dad de. c:ada area
M .f.) z(2x + 3Y 3/2
[t' xi •3 2"2 X
] " 4563- 9x ~,l. l60
f.3
1 ' •• 2' (x3/2
)r ('.,;Jo .. ,y, .. ,
- X ~dy•
z ,• 3' e .
... 1( .r~y(••x Jo
ll~s2Z• _!...L_a 2 .
A • _.1 • [a'Y _ .! y"l": 3 ~ 1)
f a• 1. (a"a .O
,"
1d~ - zdy j h .y; k-- T •A ·~Iaa(.,- y') oy -.. •
. ' $a1.Y4\6n"AQ,utl 'e.l ce ne e c de. graved.,d aeré ,Ch, k)150.,4. ~
y • 0'1... ax .,
• A7.- y'
t:l centro 4e grllvtda4 SID.eral &erá:
• 2.. '13
(1) (_!!.) + (2.) 1( (_) + (27.}.,,> (ill) ~ (ill) x (2;)y _ _,3:...._·X ..2""5_~.'"'4'--';-_.-r-:- 8 60_-,- ..•~ 29 S
1.+_+_3 4 8'
•• ci.ne:5 7 (1) (.!) + (11) (~) 27 491x(- W + x x • 8' x -
" 4 2 8 24 24~ 1+ !. 27 ¡) ,.. '.) 4 + 8' + 8
AlYl + Al)'¡¡_ ... Al',!, ... A.y ... Al <t- Al + '\, ... Á,!y -
'"
{r./2
b 1- - (.• O
{X~ a, 6~WI2x_O,6 __0
- ._...
9.- Ballar el centro de.glavedad de 13 p~rte de la tlip••
Sea el c.nt~o de &l:&vedad C(h?k)
dA ~ ydx ; h,· 'X.' k - O
8 ...· ))811.1' Ll ceneee de graved¿d de 1" Aupel:fi'c;ie 11m!eeee por ·,,1 1020 dela curve ~1.·4')(2 _ ",'
~~H016!1.
Sea el ~.nt~pde grav~d~d(h.\}. ,
.~ dA - yd": h .. x i K = l' y'
.•
1 Ja+5'y"-O'
2 "-"3. y
317
ti. =)t, . te. • ()
Sea el ct'nLc.o <le 8't3ved,ad t(h.k)
' ..y~(23 _ ~) • x' y su asíntota x = la
Sol.Hcii:r¡..
-,',c(i,y) = (4a3'
.~
y -
de. (i), (2) y (.l) obc~.o-s 10& centros de ET8ved..d.
••"°0-
, ". "(2)•M _A.x J
b'c __
.sloa 1I01K'QCOScS•• uperfieie serán,;
. a
fI. - _JLf (8'",'X'. :l.2 O
.•..•••. (1)
A -
,~ ti • [- .E.,(4 - x)....·+~ (4 -'"x) '" - ~ ,(4, - X),i>]:.y ,,3" , ,5 I
'(32,,16.h = --"ti + -...Uy 3, •
L'4 ' ,', "[4 ', (. 2.l t· . (" l' . Ijt\ ~ , ":.'.u ,) (-2u ),~u • .32u, '... ,_I6u '-: O -Ó.Ó: .... 'O" ",'
2 ~.- - u', , .
HaciendO la eU8tituci6n';': 2 : ~:t ~ . ¡
'u- - 4 - x. ~ 'x: -. 4· .... \1 + ax .. - 2udu
'en u iJlteg'r'al •• t-te:b.:
A ~ Ji (4'~'x)'¡" '_ ~ (4" _ 1<)>1')' • '128,[5 ,~:'. 15
, 128,-:,.A ... :ULos clnlTo, ~e gravedad sarfnl
•4
M =, OdA • O
~:'.I4X(4X' ~ >~Ii'dX :. r 'x't4 _ x)I/'<I><~ O, 10
x
[1u·- !u']' ,r, 3 •
'dx • - 2uduen la iru:egru •• tiene:'
A .L4 (Jo - U'):'-2u')ou'O ,
=14 t2u' Bu'ldu" O
Haciendo La austicuei6n.,2 2, y.u -4-x ~ x .. 4.-.u
, 319
'[/2 ¡'/22.' ( !13 - "00264(.28) +
0-
IX"la¡II
IIIr
& • 1f12e • o- O,
... ,{:dondez • <g<l + d. - .oc '1l d!l
nuevamente haciendo la aUGtituci6n:
[~ ..8 t. , dz.a, O 0<' + 1)'
y
en 13 integr31 se tiene;
•••• • O
'f donde
4..dx-
o1
X .._!!!_.2 '• + I
'Naciendo la 6U$.tituci6n:
- - 16e • (., y) • ('7 ' O)
M2048
y .. iOsH
+ -. _:¡_ 16- Oy.-A --:; y
53'· ($)K e--y 2
Lo. c.entros ~.grav~d8d ~e~Sn:'1{ 5aX • -.L .- y • Oh 3
,..,
9 e O
My ló~li-.'"
( + i)'O •
Haciendo la BuSCitutiónt
o e "/2{
Z ='~. .z - O ,
~ • tgO .:
en la in~e8ral se tiene:
•• o- -,Z,· -
{
X - 2." • O
f'·2.a, ,,~M • .Í' (2. _ ~)lP
O
. .GZl.....~M • O.x .
J ]"+ ¡¡ •...4& Q••
'"~.x •+
821
(2)
",los' momentosde superficie ser'n:
f rsene'H" OdA-O~ O
.(1)1 "A _ 2,r &
¡ ]rBen6a'(t$.~I\~ - 1'YZces\! o
[sene '• '<
=O~dY
- el áreA ,erá:.. (rsenO ;'.:. =J. '(~ _:y ccee)dS
,O
1 ,h • i I't.K = O.- dA
a la de I del eje x, y que limit4Sres que $e halla en~im8, ,'1 L. recta 'J. x tga .
;:
,: r
ser' !gU4lpor )(1.+ y'i
, 5'- c « (;,y) ,. <J 0), ~)
Il. lIallar 1(1di8t9.nci~ dél cent.rc Oel círculo al ceat rc de ¡rave.dad de unsec ece ei\'eular de radio'r y 1l11i{\.Ilo2e.SoZ,!fCl':Sn.
En eoeeere gráfico hemos,situado el secto! \l. t.¡l aa1\era que- ec eentro
geométrico esta s~br& el eje x pnr simetría, la·abscis~ de esta centro
"
x
322
. ;' [e 2IH~Oa e 1 rA ... + 'i + 4' .0.,2(1 ,.'A
3a2.~--4-
I I+ 2'+ '2 C08 z6)d6,('
A • ;1)0 U'" 2CO$e
P - 0(1 + rose>
:e?~:m¡.{"p'de.~l" (1. cosO)lde2Jo , , Z· O
A - 'ff: (1 + 2eose' ... co,'6)d6
12. Hallar e.1cene ec de 8l".vedad de la supeTfic.ie limi tada por l~ c..rclicide
Luegn.la distanci3 del centro del círculo al centTo de gtavadad dll .ec~or
circular eJ'J:
K - ~ yJaen6 ..... (3)Y 3
4. (1) , (2) y (3) ,. tie" •.. 'M
C(2$ •• n9_:¡_ 2rsen8 • o o)X -A ... ~ Y 39
,l. t ]t"sen3
- 'j y ceg e, ~ ,
1 r a • , I ,"y ~ ~ Lr y - 3 y
2 1 lo.y - y «~o)dy'!rsen91 ,.2 (:r
y
,roenF.
1 --11·- (fr'-y'y 2
y
(IJ El ~mc~tode cilittdro conrespecto al plano que pese
por O'l pcq:endicu!.;or • OX es:d}1 • xdV • 1fxy 't.xy
El eentro de graved.d mecánico
de un s61ido hOaOg6oeo coineide
con el e~ntro de gravedad geom!
~rico de ~se cuerpo $1 el sóli
do eeeee un p13M de sf.aetTía
al cant,ro de gr-ave4e.d.tI t8TIi enes e- -plano.
CElITRO pr. GRA1IEIlADDI lq¡ SOL[OO' oc ll!VOLUCIOK
~' e - ti, yl - (t • . O)
el eje de si.etT'f. de la fit. es el eje x, entoneu la oTdenada el.l ceetco de &raye~.d.. y. O
'_ Sk - 6' a
. 1 1+ '2 (,01211+. i (,004$)<18
i· .3atu-:IJ- x e -3 a (,,::088'4 . O
Los tent~o.dt .r~dsd &er{o:
AX -1[0 ~c.aIl~ - ~'a'fo~u +'coalll'co.e<18
324
s.il=i':!n ..Sea la ecuaei6n seneratrtá:
(':'C_h)"+yt' •. h1 -e ys::.lll_ Ix-tú"
.j,r
de (1) y O> •• ti.ene qUAI
(2)
• í. a 1 ,]r- x )d~.• nlr x - l~ o
x'
A
••11 • -4r , .... (1)y
S~luei(.'St~.La ecuacJ.óa de. la 8enerat.rí·~AP8 es;2. l • 2 r;---"';
'x + y • r ~ y. ir:' ... x"
(r 2 t. 2 "
.. lo{ '"'~ 'rrlCy dx • -i,., s(r - % )dx
11: = 'Lr~2x- ~10)dx. ~fr;x2 - t .'J:
, • rnODLEMA5:
RQllar el ~~ntTode graved3d pa~6c/u da los giguientes .61ido;.
1. H.~mL¡¡fe:,i.o: y,
", Ir- ' ,Vx. .. K '= 'Wxy dzy O
11'. tL IIOMEN'IO DEL SOL1OO: os:
..
x
&l volum*ñ lerá.•
9 •:.T 11'.
1 l •• ]2&--.x. 2 a[.1 ,
• ft' •• X. 4
- -e l.x)d.xti •. ·1
50t:cw,..&. l'I'lO~nto de cilindro swS;
x· h
~l Sres lilllit.Ad:\ ptl'l' Ox Y cada uua. <3e l~s cuevassig.uiw.\tc.s gira el.tcde ..
dar de Qx, l&lllAr el centro de A,ravedad del &61ido de t'i.'.volu~iÓnql,le. 10:~.
en~end-rit:
'i
¡z
"X
d. (1) y. (2) ae ti.na que:
.'
•
y
326
de (l) 'f ~2) ~v .et ene que e
(2)
. ~[..v" '-z 11: dx =• O .
..... (J)
"~ 'J""- X.' .r f
a .'ll lf ;.
" O x 'l dx ._,- ,le dx c'a O
M •y
SOtkai4?n. .El ~nto de cilindro ser~:
tay - X • X • a4._
g, ._ M "4~' 21... x _-L - __ • -- a
V 4 16- 11.'3
I
i
327
__________~~------~xO
_!.1L.ti" .... (1)96a 1
yque se ensendr ••. .
6.- . y .. 4ax, y - b'
'SolUl3i4n. b'
-¡ 'YX'dr'O _'_._ t" y5,dV •Mx··)O l6.' Jo '
La superficle limitada. pot' Oy y cada n&ode la5 <'Ur'VI•• "sviente.s ¡iTa
alrcdedoT d. Oy. Hallar el centro de srawdi1d. d.el s61ido de. revolucwn
21-s- x = 4'
, l~0_4_11.T
M = .f2x"l _1. 7("] l. ~2. •JI L~ 4 • 4
v • .!1. •3
.~
Mooent.o de eilin4ro ¡,¡~rá':r >' (1 ,M)' • 1rJo xC4 ... lt )dx .. jiJo (4% - x )dx'
,1
I
III
[~J'b96.' O
328
•
!! ln• 4 '(
.y .. v-: ~':l-IT3
- 9y • 16
x .['1
n (1 + y')ci,O·
. r. ¡ IJI 4• I'~ + l'i 0- 3" "«
v -
'1 AI.11f (1)'x 4 .....
. "- ... _--- ~~---,.
, I,
lI2.1~1M • w.... y .~ y Jx ¿ ~. O
yf1 .'
+ y')dy.=; (; + y')dyO· .
l l7.- x - y • l._ y ... O ,. '! • 1
~bÓJ~w.2- ~b5/80.1
en dOD,daK,.)(' 800 funciones. de x unicamenc" y Y,"{' oop funciones de
y·ún~e~menta,puede redu~jr$e4 l~'foroa(1) diy'diendo todo los t§t~inos
por x'y3! ?ASO. se. ín.t.ertl c.ad:\ paree separadL'ilcnte? como (tu (2)
, .,
2~ ~; sc',.c..n l., diferenciares come factorco~Gn. si enconces
peee.ícnee .
REC!"\:l! PASO,: quitCtT "enoai.nAdorea;si la ecuación ·conti~. ·del'ivad.,s. se IIUlti
plic.n todo los l~rminos por la ~iferenei~l d& la Y3tlsble inde -
(2 )c., const.antef «.)ob. + f F(y)dy _.e,
" "
dOI\de f(.x) tll vnl:l t~"ci6n de x unicamentt:, F(y,> una func.ión do y unica-
mente este procadtmiento 68 llama 6epa~ación de varLablé y *u ~olueión Be
obtiene por ~Dt.3T.ci6D directa.
f(,,)dx + F(y)dy _ O. (1)
Son la5 e.euacionos diferenci.ales cuyos ·t~rllin08ea rueden di!'lpt'neTs.
1, ECUACION!.~CONVARIABLESSEl'AIWILES,
donde: Ji, ti .00 lGftcione.& de ~,Y de las e.cu.1.cione:s dif.renclale,s que pé'c t!.uecen a ut.a cl.'. las .as eOllllunes pueden dividirse U\ c.uat:rC?ti.po6 a saber
l\~ eC\l¿tci6n d. primer ot"den y de primer grado S8 pu.d~ olcribi'l' en la
fot"mól:
ECUAClcnres DI!'ERE'NCI.u.tS DE 1.1 'OlUltN Y DE PRIMfJ\ GJW)O
830
.!l.y
2l sú< + l)Ar - 1(2s .. ll~x • eSOtugi.6n.3 fin de ,ep.at:at' 1aa variables divld.iQoa por:. y:x(x + 3)
- (J - slU + y) • C~r fU tee • 1)"
- Ln(,l - .. ) - !.nO .¡. yl - LnC
• - Ln{3 - x)(2 + y) • LnC - Ln{3 - sH~ .. y) • Ll>C 1ItOlll!lndo e.xponeucú.l • ,U.1>o1mnbro. se tll1le:
• C ~ _[ d(l ~ s) f dz _ e, 3-1<,- T+Yf j,~"x - fl;y
dx -~-O=~ 2+y
1) C2 + y)dx - () - x)dy e DS9tu~4n.
A fin de. separar 1•• Mt1"blea 41vid.ia11oe JIOr (l + y) (J - xl
PROBL'DIAS :
y 8u're8uelven haciendo lá 8uaticueión y - UX. e$to mas dar¡ un« ecuación
dil .•reacial.n u 'f 11: en 1", que las varuble.. son .eparable ya.' procf;de
a t'2$olver de acuerdo a las re.gla~ del tipo l.
"Es M=ogfnea cuando M,H. SCrn func.ion~1ru::,.,a:@nea.de ::K,y del 1I)..{BIIiD grado:es'dociT ·que verifican l. &iguienta identidad:
4.- O - ..ldy - ,y·dx.- oSot'Fi6!!,SepaTaodo variable le tiene ¡" (div1di~por ': (1 _ X)yl:)
.J.L _ ---!!L. _ ~. 1 1 - xy
int~8rADdo se tiene:
• arcaeny - LnCix + ~)
- .. e... y • 14"''' ~) + Lne • LnCú: ''!' ~):
f dy f dx - are.... y - 14ú: + ..r;;» - Loe, i[':7, ~
lr\tegrancSo •• tiene.:
dy=-.;;.<.--.A.:7
3.- fi7' dy - ...r:7 dx - o
5oL!Ct6!!.p&._ oepara. var~bl. d~ldimo. _por ,(~)(~I,
y • Cx'" .. )
• Lay - LnC.. )(. + 3) - 14C
- Lny • t••ú: + 3) + ü>C: l.axC" + )e
~ l..n:{ = Ln ex (x .. 3)
-f$L - fU. + 3)d" • ey x(x + j)
To.. ndo intesralet s. tiene:
, 332
Lnx ... t l.ny = Lnc , peTO: V - 1 + 4", - Ju'
•
1 . duV ~ 1 + 4'u - 3u ~ '""'2. (2 -,3u)du
= f~+.!..f~» e)t 2 v··
Rac_iendo el eQlbio~de v:.ariable en el 2do 'llLÍ:e-'oro:
3u)du • 'e3u'J dX ¡'i-o - ..
x l+4u
integr:lndo se tiene:
dx (2 - 3u)d~ O.--.. .X l+4u-lul
A fin dt $epara~la v~riable divi4io08 por:
(,x + 2\.O:.)d)C. + (h - lux) (udx + xdu), • Ot .:! •,. x(l + '4", - 3u )dx ;. l(. ('2 - 3u)du • O
hacemos ia .ustituci6ñ Y': ux + dy ~ udx + xdu en la ecuatión'~c tiene
Se!uci4)'J"
AquI M(x,y)>> 'x .. 2y -:- M,h,~y) o ~(x .. 2y)
N(x,y) • 2x - 3y .:... N(H,l.Y) • ~(2); - 31)
1 ' '- - -+ toa' - x) • toe
,Y
• :!. • to(l -' x) .. toC- l.nC(l - x)'y
1 " Y LnC(1 ~ x) ,
5.- (¡. .. 2y) dx" (2x - 3y)dy _ o
... ~.f ~ -f d.I 1 - xy
333
í dx S (6. + 4)du .•J ""7," (6u...3)(u +0 • e. f..2..+J (4 ~ 'u)dux ~. ~u ....9u. T ,)
inteSTando s~ ~icne:
• ..2... (4 ... 6u)du • Ox 3+9ú. ....6ul
A fin de 6ep~raT la' vat1abl~.·dividimo8por:z ' 2
• (3 ... 9u ... 6u )
• x(3 + 9u + 6u1)dx + x'l4 +- 6u)du .. O
'_ (3. + 5ux)dx ... (4)t +',,,,,)(udx + xdu) ." Q
~ dy. udx + xdu. en la aC4Qei6n se ~ienc:, ,y'.=. ux,
.'. 11v<,y), N(Jc,y) een _,E.....y <k &<&"" 1,
i,- C;¡. +, ~y)dx.. eh + 6y)dy" o
Solwi"". "H(.,y) • 3x + 5y + l1(ftx,~y) - ),(3x + 5y)
),ex,y) _ 4. + 6y 4 No.x.~y)' Á(h + iy)
1 '2•• '+4i<y-3y-C,
+ 4.1.·3.1...)• 'X • 1. ·s.
....ro: u.2x
• t,\)(l{l + 4u _ 3\11) • LnC2
~ x2(J +'4u - 3u2} .• e
....• ~Lox+ 1.0(1 + 4u ~'3u') _-'2Lile
.c
334
(8"" ... 10")<1><.'" (5<>z - 1,,)(uolX ... xdy) - :l(.l.\l~+ 15.+ lOla·...
.+ .hac:etD08 la .u~c:i~ci6Jll
1.: tiz., - 4y- udx + xeSu' ea 1" éCWlAlUn ,•• tic.!
..• HÓt.y}, N(J:,y) .0.0. bollÓgénou de 1.2 gtad.o
,i.- (By ... 1Ox)~ + 07 + 7x)dy - O
So¡ucr:6n.MCx,y} • By + IOx _ Mo.x,~y) • )leay + lOx)N.ex,y) - 5y ... t« : .+ N(~~,~~).- ~,(Sy+ 7,<)
.-•• .1..
l<'pe.ro
ce_nde ~nen~1.al •• a. _bos adaln'04:
. ; ~l(jl~'+ JH." 1)' • C
• Lru<! (6. + 31'" + 1)' • Lnr!
2+3' !.neu ... 1) - LnC
2 f du 1...J --;¡'+T - Lox + 3.Ln(jly + J) ....• Jd" ...1[d(6u .. 3)x '3 6u ... 3
f olX+2f du lJ--..4!L_C..x Tu+1 +3' u. + 1f cht ... f (6. + 4}du- -;- e.u ... 3)(u + 1)
A + ,38 ~ 4
19udlando ~. c?CficieatU de 13 tai.na pote.ne.il d. u a. tlene:A ... 6B - ti
- (1. + 68). + A + )8
6y+4 A B(6y + 3) (y + 1) - ~ + il+"T - A(•• +._ll .+ !(6u + 3) •
COmplet,an4o cuadrado al' segundo t'naino se tiene:
S35
\integrando se tiene I '
_ 2dv ..... lit:. -o1 - 2... .0. + H
__ fd(2V _:1)2" ¡f 'dw [ dz• - 2 ,2v 1'" -.(,3. ,+ 1)
8.- 2.(3. + l)dw + U - 2w)dz • oSelutti<ln _~r~ae,lrdlC va_ri'.blt: d.ivid:iG'lO" por: z(J, + 1)U .._2.w)
• <1 + 2'l<)'{Y + x)· • e
pero ; ~. 1.. _.. K
t0m8Qdo e~ponen~iale8a s.boa aieabros:
.' z• '" (u + 2)' (u + 1) " e
(dx 3 f' du 2 [ du, 3 2"}-;: + 3' u + 2 + 'S u + 1,- Ln'K + 3' l.Q(u + 2) + S1.o(u + 1) • LDe
inte&rando se cito.:
. [..é.+ f ~u + ¡)du _ f~''': 1.!(Su + 7ldu• , Su' + 15~' + ID' . " S (u +2) (0+1)
.fdx 1'(. (Su ~ 7)d~ = O~ )Su2 + lSu +,10
" -x (5" '1' lSu + 10):
+ X2 (.Su + )du • O. f p.a.c •• eparar variable. dividU:.os pot;
336
en la eCLJtlci6'n $~ tiene:
.= - (2~)l + Ix', + 4U4e~2)!]X + 2,,(ud-x + }{dlJ) • O
.'. M(:c:,z), H(.¡c:,'Z.)Son ambos Me!O&E1\ea.s de l! erado .... 1'.aCeJIoSlA 8'U'ttituclán z. wc, dz • üdx + xdu
"Se~uc-i6n..°ti ¡-(2z +. Y'L + 4~ .)dx + 2xdoz.e O
(2" - l~p-t 00+1)0" CoEU.. - 1)(3z + 1) .3tC
9.- 2xdz - 2.&111\• ~:I 1- 4z% dx
MÚ',z)O. _ Ut + IX' ~ 4.') + M().X,AZ)
N(.x,<) ,;.2%, ~ MO.x,Áz) =0 A(2~)
" - Ln(21.' " 1) + 1.n(~) • - Ln(2v - 1) - J.nl_l) Ln(3z+I)'. LnC3% + 1 . "31"-
" ) (6) + 1 - 1, I.n~ - Ln...." - 1 + Ln 6. + 1 + 1'· ,e
f de2" _ 1) + 2f deh + 1)2v-lo (6&+1)'-1'
._nf o , ~.
(6. + 1)2 - 1_ f~(2v - i)
2v - 1 ...
inte8rando S& ~n.:
f ~ +f ~. + ~u)~,u:"- ,¡<Ix '+:.!.'f' d()';' ",30' +0.>;";' 'C" =::s Ju' .. 3u2 .... 2 1C l. 31,1'+ Ju2. + 2. .~-
= O(;luZ .. 2u)du
3u'+3uz+2
, 4x--+"
"',' :-;
para separar 1.0 variableg' diyj.dimos .por: ' I ' •
• (2,,' + (u.~)')dx + (lx(~i +, 3(1llC)'Hu41C + "du) '-," '.
,+ haceme.8 l. lIu.. tic.Oci8n· y' .. ux .;. d-y';' ud:x + xdu,' ~Q 'le eCl.laei6u .e.tiene: .
.'. M~IY)' N(;c:,y) 500 funciones h0m08énea. ae 2do 8r.d~
2 . '1~ lI(lX,AY)' A (2"y .. 3y )N(><,y) - by .. 2y'
'.1. 4:." 't',
lO, (2x' .. y~)dX+ (ley + 3y')dj' ·,0
So¡ucidr. ,
" ,,' .
• 2. - x1C •. - AZ1 + x" ; elevando al c:u.4~.dO
4,1 _ 4~xzC+ X~C2• 4zl +'XZ
- Inx + Ln(2. + ~) = LnC
• L,,(2 ... ~) = lñ xC
lOlE!ll\adOeX'pon(~tlc:i..Lee Bé tiene:
• 2u + .Q'""';l xC pero " .!. .. ,x
338
, ~,
12. U + y)xdx - (! + x)ydy • O
SOl""6n,A fin de 8epara't' v&riallle dividi.o. por: (.1 + Y)U + X.):
- C(l - "HI + yl • 1 " (1 - '!) (J + y) - !-e
l· 1 "U - ~)dJ< + U - -l-¡ay. O
,L+X +yxdx vot.; '...-+~ _0=l+x 1+y ,-
- - LoO - x)(l :. y) - Lm: ! LnCU - x)(1 + y) - O
- 1.1>(1. + y) - Lo.C
f · f .dx· d_ 2 ---_ ~a O1 - x 1 + y
zf d(1 _.~) - f____!lI_ - ~ ;1.0U'- x), ..1 - x 1+ y .
;., -
,11. 2.(1 .. y)dJ<- (1 - x)dy • oSoJ:",,-isln,
A fin de aepar3! ..,.riahlltt> divldimo.$ por (1 + y) (1 - x)
• 2dx _....&.... _ Or::-;c .1 + Y
2) • 3y' + 3]1;12 + 2x' • e
TomanOo exponenciales a aabo, .ieDbroa:
+ 2) - LnC1 ,.... ,- L..". + - t.lvu + 3u,3
8$9
u_I.x'P.ro:
· toundo. é1ll:('onenciele..eee tiene:, .,· - x ~u. + 2u + 3). • e
• t.nx + t Ln(ut.+ ~u" 3) - LnC',
,. f~~f(u + l)du., - [g~1..f de.' + 2u + 3), • O· x· Ut. + 2u t 3. :x ,2 u; +, 2u + 3 "
•g + '(v + l)du _ O.. x" ~2 + .2u + 3 .integrando se tiene: .
- q~+ uz) dJ< + (x +' u.xHudx + "dv)
- :&,(uJ: + 2u + 3)dx + X2 (,La + l}du _ opara .eparar laa variables 4ividinoB porr 12(Ut + 2u ~ 3)
,.ux ~ dy~ud?C+;cdu
••. M('x.,y) , ll(.x.,y} .on ~amo8éoeas de ler Brado.
e,oClandoexponenciales a ~os c:ielllbros
- ~e~; ,0(1; y) - ..-el<+ y)13, (3x + y)dx + (x + y)dy • o
Sp¡"":&'.
lt(x,y) • 3''',+ y + M(h,Ay)'. A(3x + yl
9(x,y} • " + y + NQ,,,.~y) - ),(z + y)
~ 1.nC(l .. x)(1 + 1J • - (x + y)
- " - '[.n(J + x) + y - to(J + ~ • Loe
(dY - J....il:.._ . eJ' 1 +,y,I d>. - J~+1 + xJ,- -)dy.1 + yI(l -mIdo< + I (1
_ W +' 2)d. • O1 _ 4" _ u'
odxx
o::. ;.:-:'•• ',:. o'," :.: _••••• '
para se.parar variable diyid1mo$ por:•• - :.¡.
','!.~ (~ - ZUlO)<Ix - (21 + ",,) (udx + xdu)., ~ O
• ,xti - 4. - ,,'),<Ix - ,,' (2 + .)<1" • O
~ hace~. 'la s~tit~16a. y ~ u:z + dI·:~ + iau .
Nex,y) - 2x + y +
""'.,Ay) - A(x - 2~
N(~x.Ayl - A(2x + r).
K(x,y) • x - 2y ~
15. ex ~ 2y)clJ! - (2:0:'¡' y)dy .' O,
,• c;'(y' + 2y) = '!"
, "LnCa(y2 ... 2y) .• ';J:.l
tomando 81Cpone\lc:iA.19,•• e tie.ne.:
%2 1 2O2 - '2 Ln(Y .!:2y) • LoC
f xdx-[:(y: l)dy = [xclJ< - t [<1«( ~ 21) o e'"-'1 + 2y , Y'''' 2y, .'
, , ,inteetilndo al' tiene.:,0:
(y + l)dy • oy(y + 2J~ xdx ..
, 14. xy(y + 2)cIJ< - (y .. I)dy. o
,..(i.. ~+ 3) • y' + 2"" .. Jx' ~ e• x
'&
, "
.. x~(3 + lv) .c e
tosando allCil'on&nc,ial.e tiene:
• Ln.'(.J (3 i;: 3u) .. LnC'
integrando •• tiene:' ~J ~ +.·f 1!uli1 ··f~..tI l"!U3u,.~ e:
a Lu ..~'tll(J...3u) ~ LoC '
=.!!!.+ ¡ 4u' _ Os. 3 + 3\1
s.~(~'" 3u): \!
(J)C +- 2t«),cb ~ x(~dx.+ 1~U?". i .
.. x{3 + 3u)c!x .. :1: du .. O
M(z,y), ~(".y) 'son fiJt\eiooes holDogé.neas.de .lo! arado .. naeelaOi la
&ust1tucióo '1" ux .. dy" v4x ... du.
16. (3" +. 2y)d" +. .dy • O.H(x,y) .- 3.' .. 2y • Mo.·x,~yl··='>.(:1:<" 2;)U{.;t,y) • x ... !f(>.x ,).y) ... ),)C
• x'U '- 4q - u') • e, .', ,pero: ,u .. 'l/X .."
tomando espon~nciAles'8e tiene:
I ( u')~"X+ 2 Ln 1 - ~u- .. Loe
Lnx"(1 _ 4u ... u"2) .. I,~C:
• er~ +. .!.fd .:;<::.1_-....,.:.4::.u~-.,.".u'..l.,.)'x '2' - l!, 1 - 4\J ... U
Intcgr~ndcse ciene:
= r~-f~'+, 2ldux. L_¿u~u2.
, 342
- ,,'(u' + 3uz.+ 11. epe'rot. u _ y/x .. _ x' (y' ,xJ + JyZ ¡Xl + i) _ y~ + .sy2x+ s,' '. e
CGlN.Q40e:xpon.e.ncill a eIbo. -t-.bros:
, ,
. 1 • 'Z- LA~ + 3Lu(u + 3u ...1) • LeC
_ LnxS(u· + 3u1 +'1) ;, Lnc'
"
- o_~+ (2. + u')dU$ 1 ... 3u~+ \1'
inte.C'Cruose táDe:
-f~+f (2.'+,.')d•• f~+.!.f deU' + 3.' ~ 1) - e'X J + 3u~ + uJ, X 3 u· '!" 3uZ;+ 1
i• ". M(:x.y), NÚl,,,> son funcionu homogéneas~ 2! grado
.. haeeecs la suetitu.ci6n y. \IX ~' dy ~ 'udx + xduen la eeuaciÓD •• tIene:
• (:,t2: ... ~txi)4E ... (.2uxt ...u1:.?)'(\lcbt. + xdu) ~ O
'e ,.)" '" ,.. ,x 1 + lu + u dx + )C ",.u'. u }du • oA fin.M. s~aral' Lta vari~bl •• dividiaos por ,,3U + Ju~ + uJ);
iH(,I... ~y) • ~'ex' + 'y')
Ne~.Ay) - A'(2xy• y'¡
M(x,y) ~ Xí + y~ •
N(.x.y) • 2%y +,1 -+
17, (1'• y')~+ (2Xy • y')dy - O
Sot""Mn.
..pero: u - y/x
343
+I d(.1. . I-f ":2[ "du,
. 1.- u
integrando se tiAne~
para .eepa1:'8T variable. d.ividi-o. por;
(x' + u'x')dx = 2x'u(..:lli,+ mu)
M(x,y) t N{x,y} eoc. func.ioc •• ho-mog~peN de aTado 2.•
.. hace'lDOsla au.tituci6nt Y· UX ... dy;:; udx + m\1
+ KQ.%.Ay) _ .A'(,e' + y'¡
+ .HOox,Ay)-A' ax'y)
la solueion "articular Be ob,tien. reemplazando e en 1& ec.l. &~neral
Xl + 4)12 • 32
19. (,e' + y')<Ix - 2xydy¡ (,e,.y) - O ,O)
Sctuc~Ón.
e = 16+16 + 16 _ le
ic:poniendo 1.8 c:ondic.i6n: ,e a 4, y" 2 en 1.. aoluci.6n genaral SI tiene:
solúei6n 8&Ueral
separando vartil'ble. & ticn.~. I lntegra.ndo se. tlené: .
18: ~+ 1.!!L. O x _ 4 " - 2'1.% J .JJ
Soluc-i6n.
Sn c.ada ceo de los sifluiente-s probleJlla~1 ballar la .oluei5n plll't-i,eula.rque se ci.e~ermiQ. por los valore5 dld~ de x,y.
-f xdx + f 4ydy - o
. ,1
e •
to~ndo ezpoñenclale.' se tiene:
~ Ln(u'" ~) • LnCx .'
inteSTando 8~ tiene:
~--o '~._ .5!!.'~x
(w;c ... /xl + uzst)ch' +- x{udx + xdu) • O
x ..~ dx + .x1d~ ",,1)
t~(x,y) lO le ... !;(.\x,>.y) .. ),x
o', M(x.y). ~(X.1) .00 fuocior.e~ho~g€na&s d.8rado 1,
haceQO. la IU$titución y - uz + dy ..udX + xdu
:l.·:~If(x,y) - '-(y + ~i ~Ji' ( ~.,~y)'
"'(y, + ~)dx + xc!y ~ O:'
.' f ,,; "'. , .......
S,o. l,i!~;'ón•
(1/2, O)h + 'y'10. >.y - yO< - ,.,. dx , (x,y)
,• xIy'
lJt solueión paTtfcul'8.I s-er5;a ¡
% - '1 • x
(x,y) .. (1.~)en (") se t-ienc::ill~pOl!í~ndola condi(:ión
(')o = y/x
'xU - uJ) .. e-to~ando'tXPo~cnci~~e6se ri~n.:
2 ,.x{x - y l ..
~2.ce -.
, .:,.'Cnx·· .. LnC)" .. u2) -1.nC
t.n~(.¡...u2) .. LnC. '.
- e.[~.+!.f d(l + 2.)x- 2 1 + 2uf dr+f 4u
-~. 1+2u
inte&~Qdo •• tiene:
_ ~ + J.!L_.·O• JI: 1+2u-
•K U. + lu):A fin de .eparar la. variables dividimos por::
_ '" + ux)cb< + x(w:Ix + "cIu) -·0
x(l + 2ulcbt + .stdu··• O
.. hac.eDlOa 1~8'fSt1tuci~n -.y w \D(. • tty .. udx + xUu
tiene:
&n l. e,cuae.i6~se'.M(x,y). NÓt,y) ecn furccloD.u\ homOgéne.a.ede grado l.
NCx.y) • :x
• 1I(><.,r1 - " + y + 1«ftx,Ay) - >'Út + y)
'" + ,la + ltdy _ o
.. _ .!!L_. U +2)d% "
S4Ibemosque 1. 'P~l\dieñte.
21. Hallar la écuacl6n. de la curva que pasa por el punto (2,1), y c:.uya·pen -diente en un 'Puntocualquie.r. es': ....() ... '1Ix).
Sol..aión,
~' e. la .~Boluci6npa'rtic!Jlar.L + 41 - 4x' _ o+ Reemplal~ndo e - 2 obteneco9:
e • ± 2-
~ _ es1 _ y' f elevando al ~drado se ti~n.:
1 1 l~ 1 1x +y -ex -2xyC+y
_¡+2yC-C'x'-0 (.}
imponiend()la eondi.ei50 % D 1/2. 'f • o, en "l') .& tteD&el va'lar de
u + .~ - Cx
p.e.TG: .- yl. • ~y+ .{';? • ex'
346
','pero (lit) pa•• por ,el puato (1,0) - •• titDe e .. - 2
••• 1.& e.cuac·16n de 1. C-'Ilrva.. e~1 - (y-l)..(.x+l)-2s - y(%+l).l~
C*l" (y - Il.Ú< + 1) - ex
._ Ln(y - l)(x +1) _ LnC
'"
- L.(y - II _ Lrut + LIi(x + l) _ L"C
f-~-f~ -f dy ·-fs.+f-.A.. - e~ xl + lE..y-::-y X x ....1
integrando se t~~ne:
eepar,ndo vati~bl& fe tien6:
~-~-Oy - 1 .Xl + k
.... y - 1Sabemos que 1& ptodiente • - ..::.Ldx_ -L__~X2 + X
diente en un punto cualquiera e, l&ua1"a
23. Hallar 1.& ocuaci6n de la curva qee p... por el punto (1 ,O) I 'cUY. pen -y - 1
.. La Qcu~ci6Qde, 13 r.UrYA .era!
e - Be = 2(2 + 2) • 8 -
iMponiendo la condición' de que (.) pua por el punto (2,1) se obtiene el
valor de e:
_ x'úc + 2y)- -"-~.:...::¿;_.... e e ~ x(x + 2yl = e (Olx
u .. y/~ ..pero:- x' (l + 20) - e
'.IC~do oxponencialesle tiene:
1l."" + 2' Ln (1 + 211) - LnC•
.. L1UC2O + 21,1) _ LnC'
;,'
Bl tipo de tal•• ecuacione. ea.
1;+ 1 '.(xl - Q("ly"', (.), (Ec....ci6nd. B._uUi)
Si l\ - 1, ea (..) I 1... vaTi.les 80a separables8i 1\ ~ 1. par. Aducir 1.& fo~ (111) baeeaio. l •• U8t~tl,)Ci6Q:
-n+l . ""• _ y 4. dr • U - D)Y dy (U)
IV ECUACIOHES qUE PUEDE!I REDUCIRSE LA FORl1A LINEAL
fp(x).dxb} obtener el factor int&&rante ~x} - ee) Apli~arel factor integrante $ la ec.uaol6n en su fo~a etan4'T
d) Resolver ia ecuaci8~exacta r~ultant~.
ra iñtegrar (1).
a) Poner (1) • 10
Ttnie.ndo UD. tac.tD!' de lntearaei5Q a la mano, da~. lA .1&uient;e regla; pa-
La cual e&Iiof¡emos como 1~ .for1Dascandar da la ee~AciSD (1) if ' (' (P(,,)dx. P(x).dx~
6 P(x)<b: dv') P(x)dJt + p,..) el 1 ~dx P(,,)y)~(. ) ........ e y vo<1><' ··dx
. .. fP(x)dx.. A: y(s). e df!OO1L\.namoefactor iDtesrente y su prioit:.iva es:
fP(Xldx J' .' !P(1<)<!x.y e =. QW.. <Ix + e
dy + yP(x)dx = Q(x)dx
donde P,Q, ,.00 funcioneS' de x unicalDfnte o eOQltante.. de 1, .il1ll.a mane"a.
: + x F(x) - J(y)
dunde P, Q 80n tunclobee de y unic~mente o coo8tQntc&.
d~ (1) obtenemo.:
*+ y p(x) - Q(x) •••. (1)
s~ 11~ ~cU&ei6nlineal de 1~ gra~~tl~ orden 8 1& tcuaelon que eS li -
neal t30to en 1. v.Ti.ble dependiente como en $U derivada f tienu la fo~:
nr ECUACIONES LINEALES "
347
S~8.
~-2y=-xdx
Sotuc1:6n.poniendo la ecuaoi6n a su forma sundar se ti4:ú:'e:'
2.
~ y - e X2 - 2xlo + ex- --,-" y
2--+cx2f~=x'
1nt~grafldose t1ener
se tiene,,'==+ multiplicando a CO) por el factor integrante ~lx)
=..2l:. _ 2ydx = ~?el' X' xa
-lnx2 1•. =-x'
J . f- 2d)<XP(x)dx ..Q • e ~ e.,,<x) -
-==> el factor 1.nteqral"l¡te ser':2p (x) = - ilqu1:
Sq?i+c1:dn •. poniendo, la eqiac.i.6n a su forma standar se tiena:~ dy _ ll:. dx = 2 dx CO)" .
" .!!t - 2y • 2xdxl.
PRCllLEHASHallar la soluc16n gencr~1~e C/U de las siguiente" ecuacionesdiferenciales.
~, se tiene una ecuecLén dé la torma 'standa.t en x, z ,
= dz ~ (1 - n)z P(x) ~ (1 - n)Qdx
349
1 -2x;¡-ev· -<Iv
o • X, du - dxf udv • uv - f vdu:
"-2'x• dx" por intE!r:g'rac16n por pactes sé tiene:1J-
.J -2x2 x·e· dx
(= J
integrando 88 tiene:
f 2,. -2x'd(e- yJ _ e' y
2x)<lx
==- 1O1l1tiplicando a (.) por e 1.-2x '-2x - 2xe <ly.- 2ye <Ix· e- (1 -.
-2x 2x -2x• d (e y). e- dx - 2xe dx
-2xfactor integrante ~(x).e .
• cly - 2y.dx_ (1 -.;!",}dx (*)
P(x) _ - 2 ....,. el factor 1,_ntegrante'ser':
-2IdX -z«y(x) • e = e
poniendo la ecuac16n a su forma standar se tiene:
3. dy _ 2y'- 1 - 2xdx ..sotyoi&n ..
y a et' + X-integrando se· ti,ene;
[d(X-'y) • -r~-:>x'
x'dx.---.__d(x y)
(') por el factor integrante \t'(X) =....!_,,'==- muJ.tipl1c:ando a= dy _ ~ cIx __ ~
Xl X, y"l
1.x'
0:::::::::lIO 61 fac.tor integran'te aar'2~ P(x) • - -x
II(*)dy _ 2 ydx .(_ l)dx
x
aso• da -t; s' et9 Ctldt = [1 - Ct + 2)etq t)<1t C*)
Llevando la ecuaoión a su f'orma st!lndar se tiene:
d.5. Tt - S otq t .' 1 - It .. 2)c~Ct)
-x -2x -x x'..... e y. e t e ~ y = e +' e e
-integr&nd~ se tiene I
. -x't'(xl=e-=-=" 'multipl'ic:ando (*_, por el 'factor int.cjrante
.-xdy _ y e-xdx ~ '- 2 e-2xdx
factor inte~ran~e será.p Cx) .. - 1 --- el.' :_JdX .
'f/(x)' - e ., e-x
-.-x• dy .- ydX = - 2. dx C*)
dv '-x- - y.~ - 2edx
poniendo. la eeuac16n a su tO'rma ",tandar ae tiene;
••
~ de (11 y (Xl) se tiene:f -2x 1 -2" -2x '1 -2x eCe' y) • - '2 ,e • xa +"-e· •2"
!. !. . 2x ' e 2x- y x + ce: = x + e2· 2
"2"! x e_-Zxdx = +- j x e-2x + ,f f e-2xdx • ~é-2X +
351
_ de (t), (IX), (III) se ti.....que:
_3_ .'ln(eo~ t - ct¡¡ tl +....L - ln(csc t' - eee el +sen t "$8n t -:tC
f o:at +2-2 --dt·-- +<;. sen't " sen t
III)
u .• t-o-ctu-dt
·dv.~dt ~ v •. -~sa1:lt sen
{~e 't'fat t ' ,
-- - t - (le = -- - "'=""""" - ---". - ln(csct - ct<J t)+ C,&en1t sen t sen ~ sen, e .'
I) f___5. ln(ese t - ct¡¡ tl + 'csen~ . 1
11) -rt~dt - (iut_ad:> por portes: .f 1XÑ. \IN - f-senlt .
" f ee~. Bent
do '_ s ct¡¡ t dt =~_ (t .. 2lCb¡t dt-s:eñt sen t sen t. ~ t
llOJ.ltiplicando a
= P(x) .'_ otq(t) _el factor: iotegrante será,
,.' j Cf4I:ñt,,'(l:) • e = e-In ,S<ln t = _1_r sen t
(.) por el factcr iotegrante ft/( t) a ~
.'(0)
~' S • t2 + _c__ . t2. + ecos tsee t
.'
. J.(X) en (... ) se tiene,
-- ~.S ~ 2 f t:sectdt ...é~ ..,2 J ~t +:~
. w - ts;¡t.sectdt ..... q = .seet
. a t'.eect - 2 J'tsectJlt + e
. 1) J t't.gt.~t =
u • t,l _. du ~ 2tdt
6. ~ + lO tg t·_ 21:.+ t'tg t
Llevaroo Ls IOQIaCU" a su .<otlI\O standar ee ti......e '
as + stg (t)dt.- (2t + t't.gt)dt (O)
. . . f tz¡t>Jt •in(sect)_ P(t) - t>g(t) _ .'o'1t)2 e ='8 - SéCt.
t
fac_ 1ntegrilnte, rnlltiplicamoal") ptIr el faotór integrante.!¡I(t) =' sec t
. = secb3a + otg t sect dt = 2t:.oectdt + t'tgt.sec:1:dt
~ ·él(geCt.a) - 2""""tdt + t'tgit.sectdt)·
. .integrando "" ti""" .
f él (seee. S) - sect.~_ 2f ~t +j t2trit.~t .• (.')
353
-("..1j..nq. ay en (*) S9 t.Lon$~nZ' = Y ._.,. d~ =
y haciendo la sustituc16n1
( ')n
2v ' n+l"6y .. .;;.o...dx=y dx, x• Si
Sd(2,) • .s , - 2S a.X= 1.+ e • % ,; 2x'" ex:tx' x' x' x'
-1 1 +pero: • _ y --x'..L = 2x .. ex1 a;; 'cx.1y1 + 2xy' - 1 '= oy'
8. nxay + 2y _ xyn+l<'Ix
·poniendo la $oouaó16n a su forma standa.t':
_le!.x'
'<'1% h,,--- - dx &. xl x)
roultiPlie""do', a (•• )'I¡I(X) =1- ',se,tiene,:,,'
1.-'x'p (x)= _! - el factoi integrante será.:
"_2fdX, x -lnx2I¡I (x) =" , = e .
<l ' 22_...!. ....:.dx _ dx e dz - -c!x = - '2 dx .(")2 X . X .
en (') ... ti"",o:, ,
.dz -J__ 'a Y ay2=-1*1 ....2 _1
Z ,= y • y c:.~ d.z = ._ 2y dy
354
{'.)
, integrando se tiene:CQstdt'•• n't
• ___2!_ _ scost. dtsént senat
• __1_ se tiene:sen t, t ..
dt _ e ctqt dtsent
multiplicando,~ {O) por ljI{t)
poaiendo la ecuaci6n & su forna standar:
;111 ds' - 6ctgtdt ~ "tdt -'ctgtdt C') ,,)p (t) • - ctg (t) ~ ·el factor i.n-togrante ser:i~
I¡/(t) - -fct9tdt _ e-lnsent _ 1e sent
1 1 e 1 = CX'yn n....._ ___ a-+ =' • xynx, xy n n
"""'" ac'y + xy - 1 • o
9., ds sctqt • t - ctgt),"'iit - e, (1
-s~, x'1 .. ex
z__ a
X'.i.ntec¡rar.Qo
'dz 22d>: _~~----,-.xl' x' X2
éS el factor integrante ==;. multiplicando ,.*) por ....(x)se tie.ne:
"""'" ~ (x) • l/x'2f~J(- X -lnxle ==- o -2~--xP(x)
'" 42 ~ 2<12,= _ dli:x.; uz + .1!..dx = (Ixx
• du = dx 'r dv· eXdx ~ eXu x_'" v
2 [xeXdx. 2 xox fx . 2xex 2ex e= 2 e.dx· - ~
1) 2 J xexdx '_ mediante .la inteqrac:idn por partes Sé tiene
x x f"e y =, 2~ + 2 .xe dx
se tiene!x
,e e y • 2
integrando
IdlQXYI
X I X X= d(e y),- 2 e dx, .. , 2",e dx
• dy + ydx = 12 + 2xjdx l·)
Plx) = 1 ~ El Éactor integrante e., V(,,)
multiplicando' (O) por ~(x) se'~i,ne:
eXdy x ', . x x:+ ya dx - (2" .. .zxe )dx
10 ~ + y 2'.2x'dx ,,=
.poniendo la ecuaei6n a su forma standar:
... S •• ~. e sent-$-sent
f t ft St t• ~_ .. COatti dt 1Il ~+ _e_sent aenl t . senc l 5ént
__5_sent
Reemplazando (1) en (••) se tiene:
f vdu = uv - r vdu u - ~t """'" du = etdt'
~ \ t -f ",tdtdv •e- V •
__ o =---9E!n~t sont ser.t sent
por la integraoi6t, 'por partes',,¡ t '_ e cost SI
sen" tX)
356
dx • dxz
x'~-x
multiplicando ('.) por' ~(x) se ~enet
1• - 'i" -=a- el factor integran.te s~rl;
V(x)• e-/~x·.e-l~.!p (xj
en (*,) .e tiene,
. - dz ... .! dx • - xdx ~ dz·= !. dx ~ xdx' ( •• )x x
- elz-.~.-,yz •-n+1z - y
- xdx
x e~Y.=e·x.. x&_ + y ~ _ x2yZ
elx' .
yx • xex + e
intogrand? se tiené:
f d exy) - xy -.1e"elX + I ""xex
pe,,) ,; 1. -.. EÍ factor integrantex
'I'(x}• fll~ _ elnx = ,,'
multiplicanclo (0) por .",ex) = )C se tien'" t
(*)d +.L elx - e~)exa". y x .X
poniendo. la ecúactón a su forma star.dar:
11.
1) Sil C"'·) Be tiene:
eXy • 2ex + 2xex _ 2cx • e
-==-> y • 2x .,. ~-xdv . xx~.,. y. (1 + x)e
pon1én~o la ecuac16n a $U forma·ótandar:-,ay +.Lclx- - xy'o:!x :_ y-'ay .--'!_dx-x xy h30icndo l~ sustitución:
S57
p (x) = - 1 ~ el' .factor 1ntegunte ser4,.
z. y-Z ~ d~en (lit) se tiene:• - d% ... 'zdx • (x - l)dx .=::&O> dz - zdx • - (x-l)dx (*.)
poniendo l~e~~4c16na BU forma etandar:
2cly + ydx. (x - i')y'dx -== 2y-'dy + y-'ox 2 (x-l)dx (')y haciendo la 8ustituci6n:
Ecuaci6n de 8errioulli2.&14. dx +. y = (x- 111'"
-L= _1_ ...e .... s = 1 + e sent·sont sent
__1__ + esenef dt
'set\ 2t. s="Señt = -J d (s!nel
inte~randose tiene:dt
sen't• di s 1 =._~señt=..2L-~dt
sent san1t
ds sctgt .' eseeQ Señt - s.ent dt = - S'iñt dt.
ault'plicando a (') por:
'i'Jt)
(A)
d..13. 'dt- sctgt + ese e • Oel9
= Tt - s<::tgt = - ese t
.po:liendo la ecuaciÓn a 5\,1forma stand.lr:'
i~teq.cando·se tiene fd(~) = z f dx + e- . • xxZ x'
_.1-= = x + C. ...,.. • - + ex ; pero: z = y ~x y
...... ! x' + ex ~ x'y + o.xy - 1 • Qy
será:-.- ctqt ~ el factor integrante-jct9tdt _ ,,-lnsent =_.L
• e s.e.n t1\1(t) • Se'ñ"t
P (t)
-f~'dxx'
" . t.)(xy2' + cy • -1=0
• leZ = x· + ce
.enJC + ex~ _ .se~ " + ,C ...... ,y
r ..!.El!....!. dx +. ex' ,
integrando se tiene
. cosx ..lI·_-~xle
1
"muitiplicando ,(a) por o¡. {x}
le1.--10.)(
8
ser':- l.. -==>- él tactor inteqran-tex " ' -fd~'!V("') • e
p (x)
= dy _:t. dx = (cos x - ~)dx (O)x "
cosx - aenx><d..L_y_xd"
poniendo ~a,ecuaci6n ,a su forma standa~;
15.
1-.y'
1.-y'
-,ypero:
--xxe e-X ~ e-X + e-xe- ,
integrando se ~iene:
fd(Ó~xZ) - e-xl = - fxe~~x + fe-~dx
mu'ltipl.ic:~ndo a ("') por ",Cx) a e"'x se tiene:
-xe-J4><·~(x), = e
I .
359
1=-x,a -21nx
.'" (x) •
el factor inte9rante aQrA:-=-I2dl<e x =
p (x) -
(O)
poniendo la écuaci6n a su 'forma standar:
17. y = Ox = 1,
en .cad~ uno de 'los s,:1guientes' pro~lQmas, halle.r 'la soluci6npartíeul~rdQterminadapor lQS ~alore8 dados a X,X.
~ _ll.. x'ex "dx . x
~ z = )(.2 + ce-x
eX4: + zeXdx = eX(x2 + 2xldx
d(eXz) • x1eXdx + 2xex~
integrando le tiene: f d (e~%) • f )(.2QXax + 2 f X~XdX
2f XQxdx' ... 2' f xexdX + e
multiplicando a {.....} por 't' IxI = eX se tiel\Q:
===> dx + zdX' • ' (x2 + 2x)<lx ( *1l Jz tx) • 1 - el factor integrante será:
~ (x)fdx, x
.4ii • é
,- dz' - zdx.= - (x' ~ 2xldxen (*) se tiene!
• _ {x' ... 2x)dx (al
1 haciendo la sustituci6n.·
z = y-n __ dz ~ _ ny-<n"'l)dY ~ - d-z • ny-Cn+l)dY
poniendo la ecuectén ~ su fo!t.tnastündar
IX' + 2xly~+1 = Ot -n+L- (x ~ 2xly
16.
y - son X. - cos x
=son(OI +.C: 00,,(0) - - 1 __ e =.- 1poniondo e = ....1 en ("''*) ae Obtiene' la soluci6n particular'
"¡
-=<> y$eCx .. tgx ... e - y -~ ._c_ = senx + ccosxseox seGx
-= y = sen" + Ct:08X (")
. i.CI1poniendo la condioi6n x ~ O, Y ~ - 1
m~~tiplicando a (') por liJ(x) • secx
. secxdy + yt9x secxdx - I.o'd~ d(oecx.y) SQc2xdx
1nto~randot~ndrem(,)A:
.. J d (•.~C'l<:y)• ysecx . f ~eolx2dx
'J¡(x) •
Sér&.--=o el f actor integrante
Jt9XdX lnsecx• e ., secx
P(x) = t9x
,poniendo la ccuac16n a au forma standar,
dy ~·yt9xdx • secxdx C*)
general:y _ x, (ex - el
18;. . :~ .....y t9x. ~ seex, x .. O, y. - 1
en la soluci6nLa'soluc16n particular h~ll~$ al ree~1azar
e -- - e-deo1, 'timponiendo la co!""iciOn:
. y=--x'
y J x,,_ ~ é dxx'f d(Lx'intE!<¡rando se tiene:
:'~.~.~~
¡;anaJ1tOsel valor .~J'1';
e = - e ~"""l
1--,,'~(x)mu.l tiplicando (•.) por
I
361"
DI, ,_ ~= 2y + x ... 1·óx. )C
Sabemos q~ la pendlante'.
So¿uci6,. .
por el pu~to(1,0)1
e'; 19uai a:20. Hallar la ecuación de la curva que pasa
y cuya pendiente eh un pu'nto ~alguiera2~ .. x ...·1
x
2C = 2 ==- C s 1
reempl.i"zando,'" ..
tiene:.c· 1 en (**) $e
2y'~ (x .. 1)' (x' .. 2" ..2) • (x + ll.'[(!< .. 1)' ... 1]_.
2y 5 (x .. H' .. (x .. 1) ,
=- 2y = (x + 1)' (x' + 2x .. 2e) (")iID~oniendo la condici6n x. O, x - 1,' hallamos el valor'de'C:
.f d'(· Y ) • l!: = {(X .. l)óx. tx + 1)' (x .. 1)'r xdx .. f dx
. ~1 x" Ce a2 +(x + 1) ,
= 9:r '2ydx = (x + l)dx'.tx + 1) • tx + 1)'
- d ( ~ ) '(x .. ll<IX , integrando tendremos(x + 1) ,
pormultiplicando a (*)
(.x + 1)'1
P(X) = - _L ~ el factor 1-ntegrClnte aer&":x + l. .
2 (_dx~(X) _.9-;->1.+1. _ ,,-21n(x+1) _ e-1n(X+l),
(0)
19. ~-/¡l=(X+l)·,X.=.O, y=·l.
po.ñ~endo la ecua~i~" a su forma s.taJ}_dar;
dy - ~~t'= Ix + lI'dx
862
"" ~ + ~. :. yt!n.~poniendo ~A ecuae16n a su fo~ etandar
..2:L;; y'lnx - yIn dx " xSabe<oo9que la pendiente
SoZ.u9(Ón.
por ":1 pun.to (1•.11ea i<;lual ", . '
.21. Hallar la ecuación de .~aou.~a que pasay cuya pend.1enta en un punto ·cua.l~era
y'lnx - yJI.
Reemplazandoal valor de C2y - 3x1 - 2tc -
(.. ) se tie"e
3e ~"23.2' en
1
-por el'punto (1,01la curva. Pflsa·1O = - 1 - 2 +·C
...... y = _. x - t + Oc'. (•• )
pero
integrando ~e tiene:
mUltiplioando t') pon
-sdy_2Y'dxa~dx'Xl x, Xl
'1
dy _ ~ d~ ~ (x + 1) dl< (*)x . x
p (x) - 1. -==o- el factor iritograntc sé.rix
-2fdX 2.• (x) , e' x :- é:-lnx • J:_
x'
poniendo la ecuación'a su fo~mastandart
1 = y(ln x + 1)La ftC'Wlo16n de i" curva a.~
pr.oponiend.ola concliéi6n éle que ("U) pasa por el punto·(1·,1) -.. C-.Or
==' .! .. lnx' + 1 + ex' _ 1 .. y (1m<.; 1 + Cx)y,
1- ..x-!• .. yz - l~ x ~,l + ex
- Jinx. x'
•.. _.x
_ - .!n.! dxx'
d (~)xi :-,,'~-..!... dxx
.l? (x) 1 el factor tn te.qrahte~ - -,-= esx -fdx -1n"'P,(x)x' 1• e ~ e , ,- " JC
mult,1pl1clÍndo (U) .lJI (x) • 1 tienepo~ sex
.. -!. dxx=> dz- dz .. .!dx .~dxx x
en .(") se t,1ene:
(.).:x11nx -1dx _ ..!.mi. dxdy + :t... <1x -, +..:L·x ~ x """"':.y dy x ' X,
Y haciendo la 5ustttuqi6n:-1 -i y-'dy" = y - d~ c·_ y dy ===> - dz ~
Hallar la soluci6n general de. c/u' de lila siguientes eeuacrones diferenciales.
5. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables x,y, quedan sep!radas y podamos integrar otra vez.
3. Pero. y'dx. dy ~. la ecuac16r\:~nterior se .transforma:
y'dy' • Ydy, '..
donde en la ecuaci6n lAOvl."tria'blea y I YI quedan gepar,adas
4.' integrando 'se t1(!n~: . ~ '1,1 - f Xdy + el
dondé el 2do miembro e. un. funci6n de y.
y 'dy" _ 'Iy'dx .
2. multiplicamos ambos miembro. por y' y se tiene:
oy' ~ Ydxl. Escribimos la 8Cu4'ci6n en la forma
El método para integrar ea como sigue:
XI. El 2do tipo lo con.Utuyen las eauaclones de 1<> forma:
d'v"'-"-. rdx'
donde: y es una lune10n unicamente de JI:
(n - 1) veces.Después se repite el ~
Para integrar 1& multlplic&moG a arnbg& míQmbros ?or dx
dn~l~:·f dX ~. S ><Ix + C,dx dx
Dos tipos Especiales de EcuacionesDiferenciales de' Orden Superior
~) El primar tipo lo c:onatituyen las ecuaciones de la fO:fma·~n2..L. X
dxndondo x,as una función añicamente de x 6 una constante.
-S dx ~S dt -- ·ln(x + Ix2 + e,' - t + e,Ix' + e,
aG5
&eparando variable a integrando
Hac1Qnd~2c. ell y tomando la parta positiva
X• ' .. dx' =- /:f"x:"'-dt + e,-Xl = :t ¡xl. + 2C
X2- '2 + e=f ,,'dx-5 x'dx'1 X'2
2'
x'dx' = X'dx inteqrando• x'dx'. X'x'dt ~
dxx' = dtmultiplicamos aJObosmiembros por;
dx' - x'dt
=='tt x --ti t,*' ... el t, + C2
a'x--= X'clt'Sol~9i6n.Escrib~mosla ecuaci6n en la forma:
2.
t't1dt • ~ + el ' repitiendo eL procedimiento~-sclt. ==eI>
multiplicando ambos miembros 30n dt, e integrando se tiene:So ~uci&r;.
d~x--- t'clt'
1.
cltJ
(~ + e,)dtS dx . Sx = -- clt -. clt .
int"qrando se tiene:
S e 'd.' ', !. 8 I t .J ds l· + c,2 (.+ 1)' 2(. + 1)'
- l' = ha 1 ~ c: /ZC - 1-(a + 1)' cit. (s + 1)'
(o .. 1)'ds.•-.:=--
la '.. 1)','dtslde'
multiplio .....do ambo. Illiell1bro. por s'ds' • _~~~t:...._lo + 1)'
da" 1--=dt' l." 1)'
4.
repit1en'do el procedimiento. '
" .S t dt =S (-2 COI 2t + C,)dt. - 2) oO$2tclt +
. = - sen2t + e, t + C;I
~ x • - sen2t + cJt + el
mul t1plicando ambo'; miembros por; dt, e' integ~ando:
. 2f sen2td (2t) a -2coe2t +da S .=di:. 4 so,,2tdtSd"S'ddt'
sen 2t:.d1s ....dt'
Sotuaión.
. 3.
·1 e, ';',c•• - '2 edondaX·-t+c .x + ¡xl. +- el • e t; despejando l( se, tie.ne~
~ tomando exponenciales a ~oe ~i8~rO&
.:. x).t • e2 (~+cz)
e e-Cle-t •1
1x ,.. 2'--
367
separando variables e .~ntagran40 sé tiane:
. J./f +
/.¡;:+ 2CA ,-
J 4fi + 2,1jic •la
120s:;:=::::P 2 9' t • -19 • e .~ G'lA
integrAndo 58 tienes'clt.-ra;¡2.--r.+ eraf ds o 1 f -1/'= -----B deras la •
~u1tiplicamos.ambos mi~ros por .'
Sot.ucicSn.dtdS' =--ha
d'. 15. __ a
dt' rae
~ (C,lS" 01), - ].)>1' =0 e,o. + C,C;
e, l.'" U' 0- 1 G (C,• + e,c,)'o~ e, Is + 1)' • (C,t + e,c,)' ~ 1
~JI. + 1)(e, Is .. 1)' - lf1/2d5 f dt, 40nde: le = e,
~ 2~,JCe,I." 1)' -l]-1/2d(e,(s .. 1)'" 1)·· fdt
1 o ",-e [e, (s .. 1)' - 1.] = t ...eI 2
lo .. 1)'
. r dt."'"""f o (~+o lYds o. • oJ dt
.hc,s + 1)' - 1
48
Separando variable e inteqrando so tien~:
368
_4C_3_' ¡,rx..,.,-.-c"" }.. C') 1{'j
(•• ) .cee:D\Plazando An. ~.. ) ~e tiene;
(..)• c'}tc' Ix'-3-_(XZ(X2.2a 1
f x<lx 1:.Ix' .• é' .
zc'--3-{ 3 (x'· +- 2a
(m - n + 1) (u' .. <:,)n/2-1 -
;~-f~Jj
»-1u
1'(>11candola siguiente .f6rmu1" de reducol6n: se , tiene:
( *)2a f x'dx - • -f dt
Ix' + _é'
Haciendo:_ 2..
• fdt. - 4a
If. Xl ~ S" ax" ~ ds = 4ax'dx
Hacemos el aiquiente ~aMbiode variable:
,.~
369
1I
i
t
II•!i•I:!
•.......'. MUiendo ':.s.., - 0, .....
a'
f i ~~V> - [al2 dx .(- + -) .Y 'a' ..
separando vAriable e integrando se tiene:
...-,. y' •
f dy .' al - -a' _-_--- + e
- ':(' - -y
~nte9randose tiene:
fY'dY: - ~ Y" = ~
.._:a1Y'dx _
- ,Y,
y'dy' =
tnultiplicaNSo a, ambos m-iembros por y' se t.!.ne:·
dy'-dZy •
dx'
d'v a' O6: ..=:.......L. + - _dJC~ y"
Sotuci611.
- ac -= e. ,
2a I.fi +. la C'l V' (15·- 4ra C") 3t + =.;
a~"
= 2a'" (10. la e') 'l' (r. - 4,18 e') - 3C, - 3t
s 2a{x2 • é')I{'()(' 4C~) -3 (t,'" C, ).~.paro: x' - íf ,
a-
370
Sclu"i6"multiplicando ambo. miembros po~ dx e integrando se 'tiene,
d'v7'. _;;,_"",t._. x + sen xdx'
- _l-ln(fc"i!+',Ii .. C,y). al2x + C,le ,1 ,1
(y' el + y) 1/.
pero; %1 = Y _. z • (y.
(y) 1/' (y>l'e + 1)", - _1_ ln (rc:y + ,11 + e,y) • a~ x + e,• 1 .rc-'
, ,
- _1_ lnte: z + /1 + e,") • al2 x + e,rc '
1
• ·~x + e~ ,= .(o'e," 1)'"
",
..a' (n - l~ f ~-2d!l
-m-n+ (U,+&,)n/2
1) ", - f dz • al'l x + e. (l+s'e,)'ft: 2
-2...-f dlrc;z) ,.rc;- (1 + (rc,.)·)Jj'
• 2{a2C +
_ n + 1) (11': a1)n/2 -'1
f6rmula de reducc16n
JI-1aplicando la sigu1ente
f u"'d"(11' + a·)nl!! - (m
lIaciendo y = ~J ...... dy = 2.d.
===o- -f 2.'d. ' -al'! fdXjl ';'2.2C))/2.
1
= f dy ~ al'l, ,feix(':'+e)l/ty 1
= r yl/2dy '. al2 f dx(1 + ye )1/2
1
371
tomando exponenciales a ambos miembros S8 t,i,e,ne:
S dy =S 2a><
t·..iHaciendo ~. e.. se ti.s.na
S dy ., 2Sdx ==.. ln (y .. ,Iy' + c,> - 2x + e,
11" + C,
separando var1ah.le e integranc1o!, "
d' '~=4ydx'
S9luo~6ft.dy' • 4ydx, mUlt1Pllcand~~por y' a ambos PlieP'lbros ,$ tiene:
'y'dy' • 4y.y'dx 4ydy
integrando;1 'r.yf2 • 2yt + e ~
8.
*.!x, - eenx + C1Y.. + C,_
~inalrnente se tiene:
repitiendo el procedimiento se tiene:
~~ R f ~.dx - jc;osxdx + e, j dl<
,,'•T - ces x ... el .
d'y ..J~dx • [XdX ,+ f~enxd';dx1 4)('
"
,37?
ox ibx• .e
también raí. de (3)
-o en1x. eCa+bi)x_
-~ 11: Las ratees de la ocuaoi6n (3) son imaginarias.
eS deeir el: n1• a + ~¡:¡- a • bi
deso Ice rones partic'ularesse,r4 :
y • (tnaX sonsoluciÓn general
y = enx es la soluciOn particulilr de (1) si n es una raízde esta ecuAoión de 2do 9rAdo~
CASO X. La ecuao16rt (3) tiane raLces distintas, nl,n2; ~
(3) EouaciÓn auxiliar.n2. + pn ... q == O
~ n, x« R
reamplazamos (2) en (1) para deter~nar 105 valores de n:
(2)dx'
~ u neoxdx
TEORRKAr Toda ecuaci6n diferencial. lineal con cocfieiehtes oor.~tante tiene por aoluci6n una funci6n exponencial.
Sea: y = e"X una solución do (1)~ dcrryando: se tiene:
d,'y ~ p ~~ +'qy • 0, (1)élx'
Son las ecuaciones de la' forrr.a:TES
ECUACIONES O¡rEREHC¡ALES LINEALES OE SEGUNDO ORDEN con COEFICIENTES CONSTAN" -
-=- y
373
e en,x + e n,~y. 1 ~xe
y la soluci6n general serA:
Entonces la.s soluciones particulares serán':
~ las ratees ser~n;
n' + pn + ~ p' = (o + ~ p)' O
c~o 111: La. ratees de la ecuación (3) son reales e iguales,ias raícas de la eau3ci6n (3) sér~n i9u~les si,p2 • 4q, ==$ la ecuación {j) puede ,escribirse.
= ea,xsenhx
~ ea"xCOSbx, eaxffQnbx 'son soluciones particulares y la so
luciOn general ¡ se,¡-~:
y = Cleaxcos~x'+ c1aaxsenbx
11 eaxcosbX;
1 (,.&X.e-ibx ax -ibx • eax ,1 (Aibx + -ibx2" + e .e·) "2 - .C )==,:=.
1 ibx -ibx'2' (e ... e.. ) = cosbx 1,
1 (eibx _ e-ibx) • senbx2T
asimismo por álgebrA se sabe qUQ:
n~x (a-b·) x ax -ibxe ~ ~. ~ ~ e .9
374
rZ - 4r + 3 • O _.. jr - 3) (r - 1) • O
.... erx 1- O, ..y.- x , t &- IR..
(*)-& rx, d·v rx~ • re . ~ • r1e ,,x ' d.'(2
reel!'plazando (-, en la 9cuacidn dlferenci.al:
2. ~ - 4 ~+ Jy = o, dx a ""ifit
Sea~ y.'e'x una solución do la ~cu4c16n.
Y -e .~t + e e2tI 1
larol ..'. LO solución 9Qneral será:
-te que Ion las soluciones partic~
r • 2e .-reemplazando (*) en la ecuaaidn diferenoial se tiéna:
r2ert _' rert _ 2ert ::z ert(rz _ r - 2) _ 0,__ ert" O , .y. r,t ~ R==;¡. r1. - r - 2 = (r - 2) (r + 1) = O ...-. r1 • 2, r 2. • - 1
(0)
SolUCJ.ÓD.
S84: x - ert una sQluci6n de lA écuac16nt
2M ' Ol.
ppoat.Ell.AS
Hallar la solución gener~lde cada una de las ecuaciones dife -renciales.
dJx d.xdt. -éit-
rt" O
t' + 16 - O - - H. = - H- .. - r, r,
• u-- eUt - - 4i - " - -i4t- r x a r: r, e .¡1 let.41 ·-t(i cos4t.- y - "7 + e ) =
i ·IetH -t41 sen4ty - .. )
375
reamplazand~ (.) en la ecuaci6n •• tiene:
_ (r' + 16)Ort O
l·)
+ 16" - Od'"dt'
sea; x - art una solución de l~ eeuac16n:
4.
s • e et ...t tet,
'. r' - 2r + ~= Ir - l ), • O- r¡ - r, • 1
=- La ool.ud.<ln particular t tetes!' e t
La sOluciÓn general Ger~:
reemplazando 1°) en ¡.a ec.uac1Ón.
= r2Qrt _ 2rort,+ .rt, = ert(ra _ 2r + 1) • O
=> ert"O., ~r/t~ft
Sea: s. 'ert la solución de la ecuaci6n d~ferenC'1.1·;
"",.. r¡ • 3 """" y .,3"r, • 1 - y eX
. lA soluci6n qene~al sed:
3.. d'. _ 2dl: • • a Odt' . dt
1*)
~ La soluciÓn geñeral será.
r' - 2.- + 5 = [r - (J, ~2;.)J [r (1 - 21)J • O
==- r, - 1+ 2i ==> s = et(HÚ)
r, - 1 '21 =- • = e];(1-21)
1 (et (1+2') t(1-21) t ' '-= r .. e, , e eos2t y
1 ( t(l+21) "t(1-2i) ', e,teen2tna
= ert(r' _ 2r ..5) = O
,=- ext". O " ~ r,t E:IR
réempla2Ando (.) en la ecuaci60 se tiene:
c- r2-ertda r' rt=. "Q~ ,
San: s _ Qxt una soluciÓn de la &CUaei6n~
d.2. _ 2 de--¡¡-¡; .. 5s : o€ ,
-4"Y = e, .. e.o~ ta·eoluei6n senera~ sará:
-4"Y lo e
r (r + 4) = O ==t>. +'\ ~. () ~ y., e" • t
=- la soluci6n general se,.-!"CzSén4i:
,"y • C,cos4t .+
S. 4't_ .. 4 ~" Ody'l dx
Sea y • or" una so lu-c;ión de la éC'J.acL6n:
==:- *. r(!rx ~:s r"e rx (O);, dx'
reemplazQ.ndo ( A) en la ecuaci6n
377
rccmpl.z..ndo (.) en la ecuac.i6n Sé tiene ~
ert:.!r· ~ 3) '= O - ert ¡! O , .y r, te It
==/¡O ,,' + 3 • O .....r, • 113 =;> s = cos_~x
1', • - 113 =- s • senil,,·
~ la Doluo1(5n qeneral es:
y'. c'cos/3 " + e oe,,13 xI ,
9. ~- n &..'0dlt:!: elx·-- 1<1 oCIlaci6n caracteri$t~ca es;
r! - nr • O donda en ,. O, "1 r'/x e IR
• r!r - n) • o
(')d1s ~ r'értdt'=-00 *. rert
d'.--+38.0. dt1
~ s •• rt una 901uc16n de la Qcuaci6n
8,
~ 'la Doluo16n general será:
r' + ,6r ~ 9 = (r + 3) (r + 3) o t e + )), • O
Y • ca3x y = xe3x son soIuc tone s part,iculares
v..-Y., r E IR
ree~lazando (.)en l~ Gcuaci6~Sé tiene:
Sea: y. ,,"X una soluci6n. de la écuaciOn:
=- g* p rarx; ~~ r2Qrx (' )dx'
"~ k7. ~ 6 ax-. 9y = Odx'
378
.... C,...C•• O (1)ds -lo -210derivando (''') d't,-=: - .Cl~ . -. 2C2~
1 _'- e - 2 e (2)I ,
valor~e~e.~min4ft){'l8eldada. en (')
... la soluci6n qeneral.ser.,
S • ele -t + Cte-2t. ("J
para hallar la 801ue1.6nparti,,,,, lar ,de el' e, impon,iendo las condíci9nes
La ecuaci6n auxiliar es:
~,... Jr' ... 2 • (r ... 2)(r + 1) = O==<>. - - 2 - • -210r, • 8
• - 1 - -lor• s ~ 8,
. ds' ,•• o, dt. 1 euand6 t =. odZs dI .11. ... J dt'" 25 • O
dt'
-t 1 (31 3i .-t.en3t•x·e le -e)- <OO.
~ la soluci6n genetal el-t " ~tx • elQ co&3t + eje son3t
En 108 aí9ui,e_ntea problelM' halla.r lA soluci6n particularO' satisface laa qondicionea dadas.
: (-1-3i) t=-=;. x = e- 1 ... 31.r
I- r' ...2.r ... 10 = (r .,.' (-1 ... 3i)J [r - (-1 - Ji)1 O
~ la ecuaci6n Auxiliar es:.
+ 2~ ...lOx a O _dt10.
==> 14 aoluci6n géneral ser':
Y ~ C' ... e en~¡ •
r 2. ~ n =::. y. e"X=--r1·OJI
379
(')
r'.,
- Sr + 16 = (r - 4),' '
=$ s, • e4t .
te4t "s -
s • o, cuan'cso t = O'~= 1,dt13. d's ., 8*..16. ~ Ó ,
dt'La ecu.ci6n auxiliar'es:
~. la aoluo16n particular será: x _ ent + e-nte '_ o,C,
(2)ir nel, - .n~2 • O -. el ::-S • o
de (l)'y (2) se tiene,
IC, + 'el '_ 2·
QX nt ntQt =- n~le O" - nCte. •derivando (.) tenemos:
impon,1endolA. condiciones d~:dasen. (*) se t.iene:lQs valores de·Cl ' el
c + e • 2 (1).1. :
x = e en~ + e e...nt'1 ,=> la solu~'iOnqeneral es:
-ntx " e-- nr,
, "
.,' ¡
la ecuac16n auxiliar ese
r~ n2 __ O ....::=;:.o (rt - n1) ;;'0 .(r-n) (r'" n') • O
dx)( ",. 2... dt = O, .cuando t • O12,
-==;:> la :Joluci6n part.1cular es;-t -2t:S-e¡-e
ode (1) y (2):
380
.r' - 6r + 10 ~ [e - (3 + i 1] [5 - (3 - i)J • O,-... r, 3 .. i. ...... x = 3t it - e3teoste .8
• 3 - i - x = lt -it Q3tsentr, e .S
X. 1, : ~ 4 Quando 't·= O(i2x dx-- - G d-t .. lOx - odt'la ecuaei6naunll,u es s
15.
para <=-1 = 4" C2;. O
~ la solución pbrticular sera: s. 4~~tcos3t
'imponiendo las condiciones dadas en Ct), .( •• ) se 'tiene:
(0)
~ la soluo16n 9Gnecal es:
x = ert(clcost '+ CtsQnt)
C. O)4sen3t)}C, (3cos3t
CO)
- 4 - 31r,r::::::::;. la soluc16[J general ser!:'
, -Ct8 = e (C,Coo3t" C,sen3t)
ctartVaJldo (O)ds -4t '. .dt ~a le, (-3sQIl3t ,- 4caelt) ..
r •,. ,
14. d's 8 .!!!..,: 25s O. ds 16 cuando' ·t - O--+ • S • 4, dt = -elt" dt
..... la ecu4ci6n auxiliar es:
r' + Sr + 25 = Cr - (-4 + 31)J (r - (.,.4 - H)]aO
~ la soluci6n qonéra~ser~:Hs D e (Cl + te,l (*)
dl>rivondo (")' "_.!!§.·e ,,4t(C + e + 4tC.1 (U)dt . I .,.2 •
hallar-,
in_poniendo 146 condiciones dad.as a (.),.los valores de el' C1 se tiene: el ,_ o~ la s.oluci6n ¡:sartiC\11a.r. sor&: s =
3tll
e, = 1
"
imponiendo 1&& condiciones dadas en (-), (*.) se tiene:
~ 2tdt • e (2e ... 2t:.C, .. e,'>derivando (0)
~ la ~Qluci6nsanéral ler'~
x .' el e2t + ~2 te2t (..)
2)'. O
tQ~t
r2 _ 4r - 4· (r ~
_ • 2t_ rl e r2
la ecuaci6n auxiliar eS!
odxx • 2" d't. 5, cuando; t17.
2C1 - ,2C2• ola solución partieula'f será:.
x .=. 5e2t' ... S~-2t
el =- s.
~ la Goluci6n qeneral aor&:2t -2ex, =- ele + c~e (it,,)
imponiendo las condiciones on (.~), (*) se tiene;.
, 2tx = e
r' - 4 • (r - 2) (r• 2) = Ola ecu4ci6~auii~ia~'cs:
x = 10,' ir!. =- O cuando t =- Odt'
lte (coet ....sent), x •18,501uci6~part1cul~~CS~
<Ix 3t. 'derivandQ (A) de =" {e. (-sent;,. 'leo"t) .. e, (cost.l.QDtl l..... ,( ..)
imponiendo las ccnd'í c Lonea dadas, Q,Jl (*); {."} se tiene:para 'el =' 1, C, =- 1
:382
'i ~ V.La func16n V denom.in~o~ función c:o~lementaria efe '(11
lo denQtamos: .Ye.
II) Determinar una soluci6n particular de (1) a la que <lo.i9n,,-II'IQscomo yp (ver cuadro) sea est,a soluci®.. Yp = O
donde p. q son constantes, ~(x)es.una funciOn de la variable1ndependienee x 6 una constante.los pasos par. resolver (1) son:
.1) Fa~OlV~rla ecua~i6n; ñ +. p*+ qy .;. OdX'
sea la 801uc16n general.
U)~+ P <Ix • qy • R(x)dxl . dx
ECUACIO"ES DIfERENCIALES LINEALES DE LA FORMA
_ la solución particular:
~ la soluci6n géne.ral es:
x = .,2t(e,cos3t + e,san3t) (*)'
dar1vando (*) se tiene:.el'; 2tdi: =.. (e, (-J.en3t + 2cos3t) • e, (3coslt. + 2.on3t')
." .. (")imponiendo las condiciones d.adas,'en (*), (... ) se. tiene:el • 2, C2 ce o
x •r a. ,)( ~ e2tcosltx =- ta2tsen3t
..2t, eih
2t -!lte .8
x •-2 ~ 3i_ r,
rl. - 4r + 13 =. [r - (2 + H)] [L - (2 - 31») • O
elx2, dt. 4, cuando t • Ox •d'''_4~~18. dt,13".Odt'la ecuaci6n auxiliar e~:
l~ soluci6n particular es:
x a·202t + te2t• e2t(2 + ti
:::1
o:..,"
, ..
..'"
III) La solucil5n 9""eral de (1) será la suma <le: LA FUNCICNcnlPIEl.a.rrARIA NAS.9OILCICNPARTla:lJ\Re' decir: y. ~ U ...V = Y ... y.. .... . g . ·c p
•r
""
l..~
~.'..' , ~." .',......,;,.., \'., ,
<;CJ:nt + C2Gent:+ At ~'b1
X)~X+X':;le ,l'
"'A. aB~b
.,...~......' J.gUaXanOO las coeficientes te tierle, .
df,>rivaiXlo (4)' ~ tiene.:
, dx 1;," d'x 'oc Ó··· (5)' ,, at· d,t' '.
~ :.,.' ,'~ 1 ~'" e : 1- ~,': :rooop~ (~)en Ul.... t:JI>ne:. A + ~,., ~...• I • (, . , . t ·1
, ;" ,~,- -, ,, '
_ lA tároa de la 1!C\a-'~'. ! • i, .'.eien:part.!.cuLu' ~;;: ,
,',:' '.".:" ~,~ B '.: ,.
,
x·~t'·r ,= - I ==;.. ... x,- .la ""lUcifu a:;,i.Orren~ esi ' , .. ~' . r, • :
" '" '. C,o!..t +.é,''''';t, O)e , . ~.2~El Q' DO (l,,,nú..de ia oeu.>ci&l 'áUldÍ1ar .. '.'
,:.: "
(2)
,
J i, . ,
'.x ~COGt
,. ", , t -,
d'x ~'.1'" ._- ....X. udt"..;.: . "" ", ' .' .¡"la GC\IIIci611áW<'iUar 'de' (2j' ser6.:'... ....
..aBlEMAs .' -. -" "'.'\.' .-. ,... ;" • • • • 'v .,.
. Hallar la s:>1u:iOo g~ de e/a de las si<¡UJentes<>CIlOCJ.onés diferar.ol,al, ! d2x " , .
l. ; -,-.-+, x • '4t + 1;> , .(1), dt" .
SOluc:iú'l'.
El n~ ± 21 noe.& rw'di! la ec:Uati6nawdUar, .... la fotn>a elela ""ltri6n poIrt1c:ul.ar ....
x • l!o:Is2t :...Bseri2t . ())P
der1v-" (3)se t1.eTe:
~. - 2Men2t + 2a00e2tdt ..d2X' , .- • - 4lIoai2t - CAsen2t (4)dt'
sostit:eyezld:>· «()/' (3)"en ('1) se tI......·:
(2)nera
(1)el'"-- • x • 4senhdt'5:)}1x=16n .14 soluc:!6n OCIIlpl.árentariá es po<' el ejercicio tl) de la siguiente rra-
3,
x - x + x ~ C<'C8t. + C,sent + 2tsent9 e P -,
Esta ecu>c:!6n M ccnviert:e en una .identidad c.\Wdol
A· O: B - 2, BUStituyeRlo en (3)'se tiene:x II! 2tsentP
)a la 9Ol¡x:16nqereral '!";.
reenplazal"do (S)'. (3) "!" (1) se tiene:
~ - 2IIsen1: .. 2B00st - tj100st ...~""i:) + tU><xlet ... ·8sent) ,- A· ccet
= - 2l\sQnt ... zseese = 400st
, ..el x = _ Asent ...Doost - Asant + aDst - t(Aalót ... llIsent) (5)dt'
• • t (Al:X:St ... Bsent) (3)p
der1_: *_ I'CClGt .. Baent - t(i'señt ~ ~t) (4)
385
Xc ," 91008t .+ C2~t. (2)
2" El ntr.erQ • 1» ~ , i es raiz de la ecuac16n alX>d.l.tar "" anJen 1. .==<> la toata de la eCuac:i6n pa:ct.1cul.ar es:
386
Mt _4l'at • 'Jet ,.;... _.3Jlet = 2et
igualando loa cceficient.... se tiene ~a 11• - -32y suotituyeroo ""_2· t·.13) se tiene o. - - e ,,(5).. • P 3
SlmUdo (5) y (21 "" tiene la ooluc161 ~l.
(4).M.~ )et ~ ella • A"etdt • dt'
(4) y (31 ..... til:4Yendo"" (11 se tiBna,
darivardo (3) ea tiene,
El. n6tero Q "" 1 110 es ra.íz de la eo1ac16n aUXiliar, ez:ztcnoes la facmada la eruoc:f.61a_liar es:
• ~~é (3)p
r'·-2==:",x = e2t .
-2t,,·e-es,- 49. o
(114.
de (51. (21 se tiSTe la solud.6n _al:
4Xg = e,OQ6t ... <;sent - 3' sen2t
151
igu;olancb lee ccefici e"tes!ie la identidad .... ti_:
A = O, B • - ~ SUOtituyenjo en (J) se tiene:4"p·-r...,2t
• - 4/1crn2t - 40een2t ... .!ICOS2t+ Bsen2t • 4 san2t~ - 311<:os2t - 3Bsen2t = ~sen2t
••• (1)d'.-- - ... 2 <XlC2tdt'
(SI
2a El nIEero '*"? (O) no as ral. <le la ec:uaci6n auxiU..- entorx:ei,lafama ele la ecluc:16n ~~:
(2)
'. 2t,,_,. Z -. X=.Q
rz'. '_ 1 ~ X _ e-t-
==- la """"ci6n auxiliar es~
r' .;.r .:.;z. - O c.(r - 2) Ir + 1) = O
1" d'x -~ - 2x = Odt' dt
(lrd'" dx----- 2><= 4tdt' dt '
6.
387
_ 1" fcx:o:a ele la soluci6n partiQ,11or .,,,s = 1alc2t • Bsen2t (3)p
clerivardo (3),
~= - 2Aaen2t + 2B00s2tdt .
d's = _ 4""'<12t - 4118en2t (4)dt'
sustituyen:lo (4) y (3) en (1) se tiene:
2t -2tse =- ele + C2~ ••.• (2)
2' caro el nl'mlro ! 2i noes rah de la ecua.::itr> auxilia"
s - 8l\oce2t - 88senZt = 2coc2tiqualando, l.oo ooefici",,_. de ~ta idént.1dad ee tiene,
8 • 0, A. - ~ y_suatituyen<b "" (3) ob~8 la soloo.1dn particul.ar ..
• • - !."",,2t (S)p 4 ,. ~ ($) y (2) ... ti La solooi6n general .
.. = (' a2t + e-2t • !.aJI02t9·..... -. 4
," '.
388
(4) Y (3) sustit:uyenSo ee (1) se ti"",,:
lOle2t • ee2t¡ '1gUIll.mIo 108o:>efil::;i.sttes _,ti""" para
2~ El nIlnmo 2 no.es 'raíz' a.. l¡> ecuac16n ..wctliU, "rlt,:.""", la fonrade la BOluc16n particular "",,;!i. . .'
2ts¡; ~ le •••. (3)
derivaRlo (J) ~= 2l>é2t• d's ~ 4J!e2t' ..... (4) '.. dt 'dt2
'.
• •••. (2)' ,
"la BOluc100 OCIlPl.eIrentaria se,."1i,
-t ..c • e ce,ooet+ e,..,.,t¡
- - 1 + i-t i x. e-t~t:._ r, - x-e .e
=-r2 • - 1- 1 -t -1 x = a-t"""t=o- ,,-e .8
(1)la d's + 2 l!:!!..+ 2. = Odt' dt
.- la C!<lU1ICi6nauxUiar será:
r' + 2r + 2. O • fr - C-1•. il]fr·-·C-1.- i)] - O
sustituyer<lo (4) y (3) en (1) se t;iene:.
• - 2J\t - Il - 2B = 4t
i91Jillan:l0 CXlCt.lclaltes de la misma. potIetlCi.1 so ti ..... par"A - - 2, B = 1 Y sw:tit:uyerdO en (3) t2neIroa
" = 1 - 2t .. (5)p
3& ",""""O (S) Y (2) se ti~:)( = c;e2t + e,e-t.+ 1 -.2tg ..
7. d'~ + 2 ~+ 2; » B;,2tdt'
( che .. " d%x .• '0 (.4)derivWo 3) -dt =,»:dt'
:(3)
2A .. 4B~O
wsti~ estos val"",,, en (J) se tiene:3 3"p =-soast - IOSétlt .. , (6)
(3); (4) Y (5) sustltlQ'end6 en la i>cuaci6n orÚJ.t.nal se 't1ane: '(4A - 2B)a.t + {4a .. 2l\l...,e ~ 3 0061;iguaJ.aroo k:wl ooeficientésda esta identidadse tiene:
:"
',. ',.,4A- 2B. 3
(S) 1.I"
(4)
I"'"(3), '), • lO:>et,:" B9<lnt
derivar&> (3l:<Ixcr,- - - + I!Cxl8t
d'x • - hxlet - Dscmtdt' , v .'
"c • e~(C,<XlS2t+ C,scn2tl (2)
2·) El. nlb>ro o i ee as ral. de .la acuaci6n alll<1Har. pO<' lo tanto .lafOllM da la ooluci6n ¡>ortiQ.lllu; es,
j'1
,)( = etsen2t
- (1 .. 21) ~ t -2ir, x = 6 ~é==<>
r1:= (I - 21) ~ X 2 et ..,-2i- la ooll>:16n CXJtpI.enen~a .er~:
r' - :Ir + ~," ,O ..- (! - (1 + 218 lE - (1 - 2ií] • O
, tx ~ e QOS2t,
1" ~- 2~+ Sy = O (1l,dt' Ct
~ la ec'UZIC'16l auxi ljar de (1) es:
~ - 2~d + Sy ~ 3 costdt' t
8,
s Y:;! Q2tp 5
]A la "" Lucl6n~.r41 ""r~,
:.390
(1)......-10. fr_ y _ 2" etat' .
• 5l1c082t ... 5llsen2t = 300s~t
igualando 10& coéficien_ de la idalUdad· ... t.f.er<a¡.3· .'para: .1\. ~, 4) = O' '1 . susti~ en (31
s • -53<Xl62t . ... .(6)·P ._'
So suqordo (61, (31 se t1ana la """"i6n qeneral.
89 - C,COS2t.+ C,So01'>2t + ~ ~2t.
~ = - 4.1<:a12t= 4Bsen2t" (Srdt'
INSU~ (4),' (5) en (1) se tiene,
(41.~..~8 115 ICOSlt + 8ien2tpdel'ivanlo (4):*K _2Men2t .. 2~t
. '-Jirz =.- Ji ====- .g- f(II e
==- la $Oluc1oo """"lAmultaria es ~.
" K C ca:3t ... c,senJt ... (31e '.
la el r6rero t 21 no es rúo da la ecuac16naUld.Uar. pcx lo _t<I la
f= ele la so.llX:i6n ~lar ~á,
s • oos3tJi._. s = é.r, ;a lr
r' ...9 • O _ (r + 31) (r - 3i) • O
1" ~. 98 • O ==b (21dt'
la ecuación ..urlUar de (2) sen:
(1)d's + 95 • 300s2tdt'
9.
Jo. S\Jl'aI'J:lo (6) y (21 se tieno,t .) J"t; • O (C,c:ost. C,"""t) .¡. S ecee -10 sent.
_ la ecuac:i!r> auxiliar de (2) es:.
r' + 2 • o _. Ir - 1&) (r +. ,l2i) - O
(2)
(1)d~x+ 2x. t2 _ 2dt'1& d'x + 2x - o
dt'
11.
iqu<U.ando los coeficientes. se tiene,. 1
A s - 2. B.}" y sustiblj.."m en (4) "" tIA!na
• • - 2 ...! tet (6)P 2
Ja ....,..,..., (6) Y (3) $4 tiena la ooluci6n general,
• _ c,et + e e-t.+.;. tet._29" .2. ¿
se tiena:
•• (5)~. 3tet + ~tat'
susutuyen:Io (S). (4) en (1)
d's .La _ - y • O ••• (2).dt'la ecuaciOOauxi liar)le (2) ser~:
r' - 1 - (r - 11 Ir + 1) = O
r • L -=;lo s = etI
r --1 .... s .. e-t, .~ la ""luc1OO~l.aren!:oria .será,
t -t5c.c1e+c,Q .... ,(3)
2&El N. 1 es raíz de la eo.\OCi6nauxiliar dé orden 1, ¡.>or lo tanto
la fotrna de la 601uc:i6n partie>rlar es ,. t
.p - }\...~te ••.• (4)
derivando (4) se tiene:
d3 t tTt- SI<! .+ Be
391
392
='O> lA soluo1l5n c:orpl.om>ntaria getá
• e e-t + e e-ze (3)So 1 :
59« Clooe~t • C,""'~ t. t t' -~d'. da12. - ••- .. 3 =+ as. 2sent (1)dt' ot
1" d's + 3 ds + 2s a O (2)dt' dt
Ente"""" la eOJ¡¡c:i1Sn aU><iliar de (2) -ese
r'·. 3z + ¿. (r + 2) (r .. 1) = O
_ r = - 2 _ 'S = c-2tI
r --1 __. s-=e-t1
A = í' ~.o. e = - ~ : sustit1.rjerdo ant.eo wlor... en 4 se tiene
Sp • t t' -t ....(6)3a ~ (6) Y (3) oe tiene la ",,1_60 generAl.
s /21 ~r 1 = 2 i ..;> x ~ e -==> x '" 00511' t
=- -.'i irz • - .,¿, 1. ~ x <= e==>)( = SQ)'I;fft
==<o lA sol\1016\ (Olpl<:lmntar ia es.:
Xc. c,ool..1-t .. c,smfft ..•. (3)
210 El O..., ... u1z de la ecuaa6n auxiliar par lo tanto la foma de la501ucl6\ po.rticu4z sen,
"¡, •• t' ..Bt .. e (4)
: • 21>1:" B
~ • 2x (5)dt'
.""tituyen:lo (5) y (4) en (1) se tiene'
2J1t:2 ... 2Bt ... 2C + 2A= t2 - 2'
!
(4)y - 1OOO2t + Boen2tPderivando (4):
, ,
r' - Sr + 2~. lE - (e + 3i)) lE -:- (4 -.3i.U e O
=> r1 = 4 + 3i .... y ~ e~t,e3i c=> y:s' e4t<Xl$3t
r = 4 _ Ji _ Y= ,,4t.e-3i ~ y ~ ,,4t.en3t·2
~ la 001"01(",<XJIl?l_orla ser<1, .4tYc. e, (C,CC<I3t + C,'~ lt) (3)
2" t:I. rúmro, ~ 21 no "" raíz da la ec:uaci6n auxil.i.ar; entonces la fO!.-- "" da 'la soluci6n par1:icIllar ser.¡,
1'" d'y _ B <ly. + 2.5y = o ." (2)dt1 dt
'=00 l~ ecuac16n au><illar de (2) es,
13, ~ - 82x..d + 25)' • 5 cos2t (1)de t
.\lStibJyendo (4), (5); (6) ..en (1) se ti"",,:
_ (/1 + 313)cost + (Il - ~l\lsent;= 2s",,¡'_
igu<>l.atx'lO los ooefi_eientes de la 1dcntid,ad 'se ti""" pua:
31' .A= -'5 ' B.!l" y ,:""tit,ey.e<lte en (4) obt:.enoo>::G:
3 1 ', ., .p. - '3' Q06t ""5 sen t •... (7)
34 s~ (3) y (7) .se tiene la ""lúci6n qeneral
-t -2t 3 . 1s9 ::t ele + ClG - 5' cost ...5~t
(6)
(5)
· 2R él nO:I'ero ~ i no es raíz de la ecuac16n auxiliar, por lo tallto
la eOJl>C.Í6ncIo la soluci6n par'"...i,cum ser:i:
S • P<xlet + asent ,," (4)
(4)~ ::. = - _t +.Baost
"'s"'-'" = - J>a:>s~ - Bsentdt'
(5)
derivando (~). ~= JI J d's - 'O (tIdt dt'
SUGtitl.tyerdo (4), ()) en (1) se tiene: 9At + 9B = t + tigual,lnGl<n:oefic1entes de la m.I.!IIia potendia,de t Be ti_ para:
A· f ¡ B~ ~ y sustitllye!>lo en ())
. 1 1s·-t-+p, 9 18
(3)
.. = C.0CIB3t+ C,sen3t ' (2)e ,,2a El Ono es Iai..de la 00\IaC1&l auxi.llar por 10 tanto la loma de 14
II()~ porliaW:r es.
es :la del ejercicio (91:
(l)• 3. ds_!._._~ t O-18' dt 9~"'" =14. dZs .~ Ss - t + 12dt'
)a 0U!IBrd0 (71 Y (31 se tiene la soluc.f.&l general,
4t 15 "80Yp = C; (C,OOS)t+ C,een3t) +n"""2t - i97"",,2t
&1 l"!' siql.tientes probl.<!<au hal.Lar la aroluc:1&lpartirular que s¡>tisf.ce las oaadici<rll!S dadas,
(1)
'sustituywdo (4), (5). (61 en ll.) se tiene,
- (21A - 16ll)CXlS2t .. 12lB + 16J\lsen2t- 500s2t
i9Uala.">do loe ooe!icientes de la 1dent.tdad tia ti_ para
A=~i;a = - 4:~ y sustituyendoen (4) se ti..,~,
, 15 80'YP • ;¡-eo:; 2z - ID "",,2t
*--2Men2t '+ 2.8o;>S2t (51
~ ~ - 41>CoOZt - 4Bsen2t (6)dt'
·'
3* slm\rdo (5), (2) se ti la eolu=16n gQOOl'al.
. 89= c,éosJt C,0en3t ... <XIG2t (6)
(S)s s c:os 2t.P
tgua lardo 1001ooefident.es de la idant1dad se tiene pora JI. 1; B. OY .UGti~ en ·la).
= Shxle2t ... 5Been2t • 50c>02e••••••
4'.- = - 4.l\coG2t - 4Bo..nze •... (4).dt'
xeerrplazando (4), (3) en (1) B8 tiene:
G • lIXalt + Bsen2t •• ••• (3)P
derivando (3) cis'= - 2-.2e + 2llcos2tde
d'. da . . .15. -- + 9.... 5 ooo:2t; 4. 1 ; -d = s cuando t • O (1)dt' . t
l··del ojerclcio (9); la ooluc16">ooopJ.emmtaria de
. 1 1s.=-gt "'lB
3" SUt8ró:> (5), (2)se tiene la solu::i6n_al. .
. ·1' 1Sg • C,ooslt + C,sen3t + 9" t ...18 ..... (6)
inpOniendo 1"" CDrdiCliooes i.nicia.les dado "'\ (6) ... tiene:
_!. • c, + ..L ..;...c, = OlB . 18derivando (6) se tiem:
~~ = - BC,aen3t ... 3C,cos3t + 1~ (7)
iJ¡p<Neo:lo J.as o:>rd1dooas dadas en (7) GGtiene para:1 1 .
3e,. + "§". 9" - c, = O
la ""l..:i6n particular s;rá l
(2)d'8 + Ss • o A.' S = C~3t + C,'s-lt~. c'~ --dt' .2" el nCoero:. t 21 IX) .. ral: de la ecuoci6'> auxiliar por 10 tanto
la fOXl!\O de 14 901",:115"part1c:ular as,
396
s~tit:1l)'<ll'do (4), (5) en (1) •
• - 3/0: - 2A - 38 • 2t + 1
19uoJ.anlo ¡.,.¡ OCXlficien_ de la'misma potencia (le t se ti.....para
A = - ~: S - ~ sustituymdO en (4) se tiene:
2 1xP = - "3 t + 9" ..... (61
lA SUtBnd:> <.3)Y (6) ce tiene la ""lud.oo _Al
x - e e3t + c,e-t - ~ t + .!. (7)p' 3 9
- 14 soluci6l CQlPI.erentaria .'H3t -txc· C,e + C,e' ...... (3).
. 2" El nI)rero Ono es ra1z ele la ecuac.ioo...wd.l.Í.... es ele la focaax • At..+ ·s ...... (4)P .
. dx .d'xdar1vando (4).. dt = }\ I = O ..... . (S)
dt'
r • 3 ~ x. 'e3t .,-tr·-l .... x-e,
la """"dOn auxiliar de (2) <>s,
r' - 2r - ) • O - (r - 3) tr + 1) = O, .
(2)
1 dx '4oc· = "3 ' 'dt = - 9" c:uon1o t = O ••• (1)16.
s • sen3t + oos2t
cjerivaJ'do {61, : '= - 3C,sen3t.+ 3C,"053t - 2~t 171
~ondo 1... <:lClr>iic:iooes _,' en (7); (6) .... tiene para:
1• e ~ 1 ==O> c'= o }I r (81
.3 • le, ==;:. 'C2 = 1 .
sust1tl.1yetldo (8) "" (6) se tiene la soluciOO des.".. :
sustituyerdo (6) (lO (4) se tiene:. . .2 . .
"p - - J t ..-.. (7)
la SUIlIIlldo (7) y ,(3) ... ti_ L>' solucl6n general,
·897
(6)
tgualando los ooefieientes de la mismapot:cnd.a de t oe tiene pata
- 9.1>J1:.-.98. 6t
.... (5) .
"*a'·• l\; __5. O'
,t dt2
"",ti ~. (5) Y (4) en (1)
darivardo
Sp.IV;+,S •.••.••
(4)
2a El nI\n:lro o no es raíz de la ~On a\IlCiliar por 10 tanto la forma de la ",,1uc1~particular:
(4)
" .'•. la eco.li>C i6n a<.Dd.liAr de i2) QS:
r' - 9. (r - 3) (r + 3) = O
r .3 -=:;¡¡. B.='e3t ...1
. -3trt • - 3. =;ao. s = e
==- la so1uc16n carpJ.anentariá es: .
8 lO e e3t + e 8-3t , .e -, ,
..... ·m
x • ~ (eh .. e-t _6t.+ 1)
d2s ds17, 'd~7- 9•• 6t, • = O at ~ O cuat'ClO t • O .... (1)
en (1) se tiene:
23C -.C/2 - ... -1 9.""tituyerdo (9)
(9)
ilIponiendo las oc:>nij,c:ione.11ldas; en (8) y (7) se tJcne:2e, .. C'2 • '§'
(8)deriv·-A- (7) ~ = 3e e3t _ C·"-:t _ ~ ..=~ . dt , , 3 -, •• ,
3!ll!
• - 3kxl82t - 311lsen2t• 2 "",,2t1~ los """ficüntes de la i.d<s'otidad:
2, A= - - ¡ 8. O CO), 3 y
......t:it:uyerdo (6) "" (4) o
x .. - ~ ' 2t ")I? 3~ v
: • - 4k<:62t - 4Bson2t, (5)
sust1~ (4) y (S) en (1),
clerivando (4).
_ la ool1.lCi6n aDpl.olrentaria es,x = c;cost + C,sent o o o (3)e , '
'2a EL ~ t' 21 ro es raíz tIe la 00Jac:16n alll<illal: por lo. tanto laroma de la ooluc:i.6n pa.rtl.cu.ta.: .'H
"p - JfOC62t + Bsen2t ... (4)dx, 'dt'= - ~t + :roc:.:-2t
1 3t -3t 2s • - 9, (e -.. ,) - ! ~
18. :: +:x =.2co¡2t; x. O; .: 2 c:uamo t. O •..• (1)
i..'d'x + x _ O (2)dt'
la ecúOQilSn ,aux:Uiar de (2) ea:
r' + 1 = O' _.. (r - 1) (r + tI = O
i X = eit t~1· ~ -.. x - C06
r ~ - 1 ~ x;; e--it .....;. x c cent,
o a '3C,-3C,=ysusti~o (10) en (8) se t:iere La ooluci6clcIe_
(10)·~c-!.·c .....!• 1 9' 2 9
el. + C, =- o
ds 3t -lt 2 oderiyando (810 (it= l e," - 3Ci" - 3 00 o (9)
.\nP:niendo las <Or1diciOt.", dadas, en (8) y (9) SE tiene:
(8)
399
_. . 4 21I=5"B··5· ....11-28=0
"p • l\oo9t +. I!Se!'t
der1vardo (4),
~~ - 10ent + 8008t (5)elt " .d1x ._ _ - l'<Xl6t - a.ent (6)dt'
suotituyeOio (4). (5). (6) en (1) s:e tiene,
• (1. - 28)oc:.t + (O·+ W ..... t = 2&ent
.I<pal.ardo los o:ef1c1.entes de la identidad se ti""."
(4)
=- la ooluei6n 00I\).l.elrentaria es'
Xc - "t(C,=t + C.sent) (J)
2A El mm.ro tino es cal. de la ec::uac:i6n awtil.i4r¡ p:>rlo tanto la
fama de la lOOluei6I1 particular serl,, .'
t it . t'.-;O x = e,e ~ x = e cost
t·t t... x. e·, e-l. ~ x. e aent
d'x dxla -- - 2 -d + 2x = O .. .. (2)elt' t
la ecuación a1JlC1114rde (2) es:
c' - :Ir + 2 - O =- [! - .(1 + 10 [! - (1'- 1)J - O
.. ... (1)
Ja ~o (3) y (7) se tiene la soluciOn 'J"'lCI'al, . 2
"q • C,"""t $ c,sent - 3 ces·2t , .. ,. (8)
decivardo (8), *.-c,sent + scost + t~ ze (9)
:in¡:oniaIxlo .lAS <X>rdicionesdadas QIl (8) y. (9) "" tJ.cne para
<; • t .c. • 2 • (lO)
sust1t:1Jy<!1OO(10) eri (9) "" tiene la '01",,1611 cJcsead ••2 2x • - oost + 2sent - ":"ccs2t3 .,
d'x dx d~_ - 2 -+ 2:K .' ,2&efit; x =:1 0, dt = O, 0J.aI"d0 t • Odi' dt
19.
400
," .. '."
sustituyando (6) en (4) "". ~':."
u • !:__~t (7)'p 4 ~ ••• 0 ••• ' •• ••••
3" ~ (7) Y (3) se tiene; la'soluci6n~.
rusti~ (4) Y' (5) en (1). .2e 2t .. ¡ 1
16.1>0 • -le _ A = ~ .: •• ,. (6)
"
==;o 13 solu::i6n =Plementar.ia 5eÚ:, '2J< " -2><Yo • ,Cle. +' C2lCe i' :;:..~:. (3) . \
2" El n1m!tr:o2 no ... "a!.z ~ la. 9cuaci6n A~., ¡;xx lo tanto la fOEroa&1 la 'sol¡lc16n partia;¡l;>r ..' .. , ,
2t,Yp• M ...... (4)
derivarxlO' (4).• ::: • 21./< dOy'= ':u,.2t ..•.•• (S)dK'
~ la ec:uDCiooauX1Uar de (2) es:rl + 4r ••• O .. (r + 2)'2 = e
(1) ,d" ~ 2x20. ~+ 4 - +, 4Y 5 4e , •dx' "'.
, .. t '4 2x s e (C¡OCl8t.. C,-tl .f s·cxst .. S ..ent .... (9)
6=iVM<b 19) se .~, '
dx t· .. 4' 2dt • e {e, (cose - """tI .. C; (""":t :¡. ;sent)) - '5 'sent ...5' Q06t (10)
, . .,'iIlPOJÚ.cnclo 1!'S' oondiciOl'leSdada.o en (9) y (10) ... ti"'""
e, '5 ~ r'¡ e, .~; y:,,:.....tiWY.t.noo en (9) se,tiero 1'4 801~ioo péd.id.¡i
t 4 I 2 4' '2 'x * e (- - coot .. - sent) + -'Cb5t + - ...nt:S 5 S' S
/,S\A5t.ib.IYoo3o (7): en (4) se, wne: 10;.,' •.
'·''''P.5 ~ oost"""f Son,t·- " ... '.:' '(8)
3" ~ (8l Y ()), se.tiere la.sbluci61 9erera1•
4Ó1·
sc,a. y = capital, "" 'pesos. a:>looando,'a,.tntar6s catpUeSt'O
1s intaris, en ~sC?S, da un peso en un añolit = ~ de't:ienpo ~<b én'oñoo : " ,
/!¡f • interés &! Y ..".,.. "" el inte<valo <le tieopo ,\.: :~'-.i'Iooo;::,. . /, ~... .~. '-. '. t ...•
_'/!¡f = iy·llt por tan",?,,; :1fa"l,v ..,.. ,.,: qL:- """;
A la f6ma.tla: ~. ky se ha dado el ncmbr8 de 'ley del .l.nteres',~to"
pa: la &i;¡uiente anoJoq1a:
". ,dende e es una """"tante arbii:r&r1at para ....té caso la func:i6n Y es una 1'u!!.cioo~al.R2d;prt>OOnient.e teIliardo (2) ¡ pa: dif~6n d<m::lotramoll que. . . . '. .' . .
y • ce-+0<, satiofaoe a (1)... ,.' .: .' "
..'La """"cioo' (1) ea de variable oeparabla del tipo 1,intagrond:> (1)~: ,
1.. ""kx (2)
'APLICACHIIES DE lAS ECIlACIOHES DIFDlEHCIAUS
1) LEY [E, ~ ~
U>a apl:Lqacillnda 10s ecuocrl.on... difer~ se ofreoa en lDs problemasen lee (ji» la varioc:i(r¡ de la fIa1cUn ron reapect:o a la var1>b1epara Ql&lquier valar de la vo.r!.able el¡ p<q¡atcional' al'vala: 'oorreO(JCll'd1efltede l. "func::iÓt1.; osea:
~i y e f (x) , ...;.. ~. ky ... :.. (1) cIon:Ie k <= IR. .' .
, "
.'. ,
C = 1, susti~_ en 8 .... tiere la ""lución dese&da,tl..., para:.. ~.' (9) I+! e?x2 '
Y (9r se
. ,: •• ;' (8)" C Q-2><+ C xe-2><,+ !.e2><Yg, • 4
cleriv.mlo (8),' '" ' , ,.... -2>: ,-2><, -2x~= - 2C,e ' + Ci(-2xe" + 9, )
~ J..o.s¡ oondiciooaa dadas. en '(8)
402
.' .','"
hallar la .leY.qua relacicna x e y
. .la var~c1&l de una f~ y <XI' <'!spec:tD a ~ es iqu4l a. .' , . .
PROBI..ElU,S.l. L. rapidez
1r y, ~ y • .( ~ s • - 1,
(6)y. oakx + a
La ecu>.c:i.6n (3) e~ que la v~iad6n lIII!dLada y Ea el Ut!q>o t..t ... pro~ ". .' -pcxc100al a y.
..... para adaptar la ecuac1ón (3) ~ 1<8 fenf¡renoo naturalR8 debeiros sUponer. .. .' . . .que el ""Pital 'i •• capitalizo Q;mtín":"""l"~es cIeC1r que el intervalo detí"""? es ~ WUUtes'i.'tp, en~ ~ ~ (3)."!! oor¡vierte ...
*.1'1,'i la rapidez da y !'" p¡q>or<:J.onal .. 'i lo w.e (XI>euerda oon 1.. ecuaci6n (1)&1lc=1._ la fIJnc1.6n dada en la ....,"<16¡1 (1) variq de aQll!1'<lo con la ley delinterés cxrp.... to.~ BegurdO ejeoplo se encuentra ... la saluci6n q""'f~ da la ~6n
~. leY + e, .•..• (4)
don:Ie k, e" 110. Y diferentes di! oero.I!ht.onceseee, c. ak, sustit~ en (4) ~ t.i~:
d('faX al • k(y + a) ..... (S)
Esta ecuaci6n expresa 'NI' 1.. flO>Qi6> y + a vax!a e'l!jGn la ley del ínter"a:npuestD.
la eruac16n ~et'eDCial (4)¡ esea (5) .... del; típo r, (varúobl.a$~ -bl.e) =O> la 0010016>es:. . .
, .
;¡""!"!6;-pcr la ley del inter6!; <:D!f'IlOSto se tiencll
~ = !y ¡ _.!I!r>lo """lAble e kt<m!l(lil<> ~ ~,<IX ~ ," ., ..... ", • .' , '. ','
-J~=tf dK+ t.c.-lny.~~é"r~ i,n~-r~~aGO)boS.~ .
~ ~ = eX/J _ y~,;'ifj' (~;
403
- oí = 6931 lltZcs,
1.0000e>h
'pOr lo6 dat<:S 'dád",,, para x = O ~ s'; 10;000'; .":'ti~ Il!l
CO) se Ue.lE; pá%a C~, 10,000, - J9.Q.!!.. ...!
pato, aL), = 5,000, ;.:.,;. ;, ,.;; ro,ó~ e,10000 _ lOO()(i e 2
(O)f di, .f dx· -*IV_-- -~ fi-ce·s v . .
3, D> el ej.,;,pl.Ó 2,' ¡ver _i si V = lÍl,ooo UtroS ¿OJanto ~ lqJIi... ~ baO¡ór ~ peA,'l!Útar ei SO. ele oaJ.?-sOJ,~~. .
, :qiJ1 la vanaci6n ele la cantidad da sal viene dada por;<1S ,.!¡',a;¡= - V,·,,· (1)
..~ ~ vm:akes é ~aMo se tiene,
ÍIIt)O!Úeroci -la CCI1dtd.&\ de qii, y. 8 .i x • O, se tiene para,C-6__ la ley,ó'eri" y';' ~-x ~ 2
-:(..y • Ce' .. 2 .',."-
ixporúlitl:lo Ias OOrdidooes ele y =, 4 0JaÍrl0 x • - 1 en (0) se tiene,
• f • ce-1/3 ~ e - 4e,j, ~ e = s.SS
_ la ley que r4c:tCX1A y con x es:, 558,></3y. . e
2. Ui rO¡:Mez ae v.ttlaCi6n de i.ina: fuio,CÍlln Y ooh ",,,,pecto ax ..a .i9claJ. á 2 .; y, y • ¡¡ ~ :ic = O. Hallar la ley,Soluél<:O. "SegIÍn la 2a fama de la ley del iñteras ~to es,
-t-- 2 - y; ~~I k • - 1
-<> d'l:i - 2) • _ (y _ 2), dí(
~o ¡¡."l.bl~e 'integr~:• ( d(y - ~) = -J dx ~ e ==> InCy- 2) • - x .. IecJ y - 2 "
, .~, .. ',.,. \"'. . ....
, ' .... 1n:lO - ln 20 + Ili··4"::_' '0.13 t1n e-;~.i3t• In i . ''', .":'.':'__ t. 10.09minutoS
.. '.
" ..•..: eÓ, " ': .:.~.,
• lnaO "t'.ln...f;°·~3t .....
2) paza x .. 20-;...;o 20 = 80 eO.13t
j:.a1'anjo In a 8l11hQs lIdeott><Os .. ~ 20. In'80'~~O.13t
(1)"s ~= - kSdt ==>o In x ~ - kt ·=-Q'x. Ql-kt
~ las oan:licialea dada$.
. '
• •La ley de llewtan sobre el enfriamiento. Si el """""" eSe taq;;eraturaele un cuerpo oobl:e .La del aire ani:>íente es x qrado, rÁ dismifuJcifu diOx con resp>Ctoal t:iar¡:o "" prq,Orcicr.aJ. ,a x. Si este exceso de ~
ratura era al prin::ip1o 80 9'f'l'lDs, y ~ de ~ llinuto"es 70 ....ados¿Ml será dáspués de 2 Jn1nuta,? ¿en cuÁntO· Úa<po d1Bn1nUiri. '20'}t'a -dos? .. "..., '. . .
'; , "
SOluc:i.(n.
lio variaciM de la ~ 1M Con 'r'i!speCto' al tla<po es:<1>< •(it= -.o< ...
_ando variable e integrllJ"do se ti""":
4.
._ poI" .9'Joitar el 50\ de sal se ha de _ correr 6931 lit;os de
da a<;Ua
, .~
a) t = O _ x ~ BO' en (1) se tiene,BO = e .... (2)
b) t. ~.__..:.x > '7(}
70= 80 ,,-k
taMnlo In a .mas mienbroe,
Jn:70.=I.~(80 .-1<) " lJIOO'+1na-k = In(OO) - klnioIn 70 = In 80 - k ~ J.ñ 80 - ln 70 '.' . ''' .
.l._ ".0.13 .... (3)
_t:i.t~o (2); ·(3)·Qn (l)' ¡je·t:i.ene,·x.80 ,,-0.13t
1) para t. 21\'dnUtc1o: ·x·. 'BO' .. -~0.13).(2) =·6i.58 .... odaI·
405,
6. la veloc14ad de una reaoc.I6n qWmica en La qua x es la ';"!"ltidad que setr.nafoma en el ~ t es la ra:oSnde la vuÍaci6n de x con~to al tJ.mltlo. " ',' , '"
_ociÓ" del lA tiOlll'O' 9Oa: a la.'''''''''''''tliac1<fri al 'pr:i.1lcipio cIoJ. ex
¡:erilronllo, en~ : ~ ,k(a,,- X)" pJI>S~!qua ],a "."Jqc:j¡:lod.e1e variA -
ci6n ele la cantidad que .. ~aana es, F~'" : a, ],a 'l9'X"'Itra -
-.P _ 513g x an1
" ""bl para h = 3000. . ~..
P • icoo ~(-l. )3xJ.0- )(3000) ';" 513
'o ••',:"
. -._ P = lOOOe(-l. 33X1.0 ) (2000) .. '~6
P = 766 'l' X='.
. al para ha 2600,;
(4)
sustJ;~" (2) '1 (J) GIl (1) Oc tiMl: " '
" 1.13:ixlO"'h'P=lOOO" '
~
....~..--- 1000·C .....
670 = 100 a-300Ok.....: tcmaIxSo~~:.~ ~ ~'. ,~.?70 =.ln 1000 - 3000k.>-=- k. 1n1000 - In 670 _.. k = l,'33.'X lo7fo ,' .... ~ '~3)
."....." '; -...'(1)
".
:.
.,' O,Y • ':, " .'fl,"*.-kp .•••
sopa.nuxb variabla 6 1nt:egr¡u"dose tiana,
5. ' la'¡XlllSi&l'atllOSfériC>4p¡cn:urr.lugar; en funo16n de la al'tura h scbteel nivel del mar, canDi~ ~,l:a J.ay dol 1nteds ~to.' ,.~rdo: 1".'1000. x'm' cuOIxId,.h a O y .67Oq ltc;m',c:uanIoh. JODOmts. Hallar p, a) cuardo h =:2000. m; bl <:>JaOOo h. 5000
406
(3)..- k· - 0.022315
800 _ 1000 "UJIc
to""d:> In " """"" nWlnbtaoIn' 800 - In 1.000+ ,lO le
, __ lOk ~ liI SOO- ln 1000 • 1118 - ln 10
'Pa:ra t = 10 ""'" x - 900 en (1) "" tiene
sea x la ~Wad de ,..scob.dt>, ehtc:nces pcr al emnc.ia<Jo del problsM
se t.IeM, l1lL= kxdt
~ variable e iAtei;¡i...d>
f ~. k f dt - x - e "kx (1)
ilr¡X:iúen:io las OO!liiic:ioni>s <ladas, t. o =- x = 1000 en (1) .. tie-
7, En la roac:ciá> qufmica llálllaiSa •~i6D del !"""C""';"". la viOl.ocJ.dadde :inIIel:$J.6I c:on r~' al tifITpO es prq,orc1ex>al a lA canticiád elelIMscabodo ~ c¡uecla a.I.Ii úMortir.Si ,1000 I<q de "".cabeilo se recluoon al cobc> de 10 hoz.... á 900 Jcql6.J.1nto qaodart .... .tnYertil: de_pud" de 24 horas?
lJ'Ia-lno-x=kt _
en (.) Be tiaile:
le = '!'111-"_t a" - x
luc1erdo: In e = ln a:
_ InC - ln(a - x) - kt ,,., 1°)
(2)no ¡::iora - C = 1000
Sol~.
5eq(ln .!al clatlos iIeJ. problana: l = k la - x)
se¡:BrmXlc var:L;J:¡le e integran:lo:
S ..-!!!L.= kS dt '_ - 111la - x) s Jet - lnCa-x
cUSnen el misIm instanta. I~ qua • - x. la ~6n.cant>ia ~ la ley <!el int:eris cxilpuesto)
""""'tnr que la k. llimnstante de wloeUuod. es igual a:1 a't in ¡-=-x
407
" .-inte3rando (31 ea tiere:
S Rt S s ,d(.L 1) = ~ el. dt
R R RL t B .Lr t t R E L te 1... x _ e, a( _ el • '_ e' .. c·
.... R lo , R " "
, ,, (31...,.,;.
," \ .a rn
Ce ].o¡ datoe del prd:>la>a se tiene que:
~ ddi +Ri. E _ ~+ .!i =!t d'tlo lo
,_ CIi + ~ .!.dt • idt; • • • (1)
Hal.lanlo el faetpr 'integrjlnte:, ~Sdt ~ ,w(tl • e ' - e .•.•• (21
r
sustituyando (2) Y (3) en (1) $a t1are
x • 1000 e-0.022315t
lta:a pul!. t. 24; x. 1000 ,,(:-(1.022315)(24)_ x2586¡'_
8. el un circulo eUctrtoo el ",,1ta~ dado EY la 'Jntensldod lI""""rjos¡el voltaje E se (X,n,,,..,.,en:1) La ros1ste.nc1a R (dr.lios) del eircuito;2) La 1n:lJct:AnOia L. la ecuaci6n que rige. 08'
E ~ JU .. ~ osea: ~ = i: (E - Ril
POr tanto, .. este. prooe$O se le aplica la eouaci(n (4), s1é1idoE.R. loconstanteS. n.dos L = ~40, R a 250, E = 500 Y i· O 'C\WiIot. O. ~tr¡q: que la corriente $a aprao:m.rl " 2 m¡>e.rioe a n>9dida
que t ...-renta 8IIlom.1s det.e:Illinor en cuantos segunIIaJ, i llega.-4 u 90%de lN ,valar m&.'QZ<l.So]lritm.
408
v _ 100%
t,
1011 .:. " ; ,:- e - 1O~ ..... e = O.'lV" .... (21e - 10\
(11' ;'
_<In:lo variable 11 1.nI:egranlo;>
S ev = kf dt - v - e ~'kt'kt-=- v-Ce
..por el enuncia&:> cIel prol>.lm\>, .ee ti_, ,:;..~;.
, ;ve.
9. E)l la descarga ele un cx:rderlsacDr, el voltaje v disa1nuye <Xn el ti"'l'OYU. variaó61 de v can resp>cI:o al ti"'l'O "" pn:poreÍonal' ;, v ; _
k.- !D' I>allar t, 01v ~ ~ el'lO' d.e 'su VIllar.primiti-
. "-256'4t 1" -Q.I-
_1á.t_. e 64 .'0.,1
_ 25 t• e 69 = 1 - 0,9
, ' "R " " " , .. 25 '--t ,,-n-t
_, 1.8 = 2(1"- e ,1, ) ~ 1.8 = 2(1-'. )
.', .:
• E SOO ' 7)'-¡¡-J50=2', (,~~ ,el,~ va,lC;'" ele ,i .....4 ,2 _106, =>o ,el 90% sedl.~, ..... usti~ en (b)'Sé tiene,
:(6,)
R'E -¡;t
15-(1-" )R
" "SU$ti~ (S) en (4) teran:s:. " .,.... '
lJq)CrUénCo las ooo11¡:la>,>s·~. en. (4) se t1éne:E' '
para t = D, i - O - e = - R .. ",' (5)
-! t.. = ~ ... e e 1, (4)• R , •• ,.:
~09.
"¡r, .'"APLICACllJtES' A rRO&LEMAS,DE HECAHJCA"
¡.,-~'~tqjoe ax;>llcados ...; .... :e ;;;;P~t;ulot.!An";' ..ña ~plicaci':;';'CU'.ct'O\;aa la ~1i.ca y Fl'siCú, asi!>OC ojEl1l':L:, les F~l~ ';;'1 """I.I.mi~to rllCtilineo wnduCcll trec:u~.r:wr~nte8 Q<::JJ9.ci.~ dif~~ 'de pr~~o'~ ~~..!
',,' ',. . , . ' '.!" .~<,do ClCIl<li'" puesto qW< la solucien 00 estos p.{tlblel'QS de¡;iencIoo do la,."e,;olu ~ ,
, ' .,t
',. '.
", .de y CX)n :rcSpecb:> a -x es' ded. r #:.
.,' ..;
En c1ord> v • vol...... · i9->ú " a:oisblnt,,! y • ~1;í<!ad <'e s;¡l '(o- ácido): eJ).. el 't¡¡rq,l9 en 'un'~to cuali¡:uiera, r 'x. oointi&4de' ....i, (o do .~
cloi,:qIJ"'sé'na añodido'desdo ol'pr1!-.::1¡jio, oeilúscasee.te"re~ultádo y,corpári,ce QQrI el e~a:plo 2,SÑ1r:'6ry. .Et\ la mezclA <kt voluren v • ~t.':into ... la ~ de eal es.y, la c~ .t.ld'a:i sal 'l"'" '00 "';;..:¡., ~'.. <le ,oq_ú 1.:> CMtic.a dé"sai. eh """'~~ IIQ-
~ " • t V - Y . •l"",~ IJdA lA mezcLa es; (v--) u , , ..
.ols1l4s. S'''l'O"90r0& que w\ ",,1...,.,...:Ax de lA a=ela sQ lIi\ade, la "onU'-dad de sal que asi se aqt'<Ig" será: . .'
'!:. :. .:. ,'" _,_ ~ ../. '.
(v ~ Y)e.>¡;, P.OC_lo,t,¡~t.::.. l canelo, de lá car.t:¡daJ;I..!Ü' e,al ,aJ:I:e1 ~viene dado por! .
._: t··'92·&eg.
io. .ei ~trar ...... solud6:1Salina '(? ác14al ~e:-do.sal (o áci&') ""'!!~ie."odo OOt'Alltante 'el v.oluren. oom,x., a l. ec-~,
" .,," ,,' •• ~'/,. ,O', ':'. 'l.... " '.~'::'.
~: ... ~ (v -.y) . ,
, ,
.'1 .. v ~ o.fv et/{O _ e40·1: ~ 10
""" _L t··= ln 1040... ".'" '. '. 0,,
410
Pe<J;p!llzOndo J.aa cx>nstantes e,' e, en (4) por b y 11
.CJ = b ,seo A, C, =- b (.'f;6A
sustituyendo _tos valores (4) se redlce a:
s • l.loIc\;co&kt + lx:cs~se.'\kt• • lJoC\ (Jet: .. Al
"li'Rlll..D1I\SiN CinI'.\1'10 [F. les STGUIDll'ES PR:l8lE'IPS SE [W.I LA N:ElO>.ACJCNy LIS <XNIllCIQ .
NES. 1I11IJJ\R (JI Il(l)lO'CN IEL MaIIMl1Nl'O.
L, a=-- )clSi S. O¡ v =- v. ~o t ~O
SQ~I!n.se .o.b!t qUA>:
11.i,1
. 1
1
(4), • e, oos1<t .. c,.alktde (4i por der1v3d.6nse tiene:
: _ v • k (-e,salkt + <;rosl<t) •••• (5)
ESenl ver que el'mMJn1ento dsí1nido por (4) es ..,. aoelaracl6n peri6cU
ca entre las fraccic:ne& axt..rcmcE;. s ' b¡: .8· - b, determinada por:
el'" + k's = O (3)clt'
de la integrae11!n da (3) cbter.arcs la soluc1m o:xq>l.sta.
si..,,;o k' = ""Snibl4 de a a 14 mi<1ad de distancia.lf;t dentro a.. ast4 roiIclo tenemos el ''I'iO'IIII'IIEN1'O ~ICXl SIMPIE"<»:la oc""!!_
(2) ,
}S1;.i"", es ¡><ecUo reco>:dar que:
<lo d'. dv <Iv <u"-"dt"' 4 ce dtl =-Tt;;: VdS ~•......
Siendo Vi a, ~ct.1v~teJ la w)ocidad y aoelerac:i6n en cualquierinstanto <-t). y S 14 distanda del IlÓliil en'estQ ins~te a un oriqan
fijo sobre 14 trayectoria.th :ocóclo 1.1rpc:Irta:lte.de Ift:I\1i1II1mtorectilíneo ea-""",,1 'l" ..1 que 14 aceler .....cim y 14 distanc1<> estSn m razm ccnstante y ti",m signos cpuestoB·.
411
I.l,IStit~o (4).>tI (2) se tia",,: .
s· .. socoskt + tI) 5é1) Kt.
.. , (4)e ~Ya.• k
. d!:; .v ~ -d ~ - R C' SMl<t • kC coskt , •• (3)t .,. Z
, .illPOni..-d:> las cond!d.CMS cladzu¡, cil (2) 'y (3) se tiene,
(2)s· C,coskt+ 1;derivando ,(2).
(1)d1' d2sa .""._"-. - )t1S ~ _- + kas =' Odt' dt'
por el prob1ora",,~1or,~,tienG que:
s • C,C05i<t + C,senkt (2)
derivardo (2):<la ' .v • -: - kC senkt • k e coekt .. .•. {31dt 1 ,
ilrponi..-d:> las <::e>r>d1d.<ne!l' dadas: en (2) y (3) se tiene para
<; • O ¡ ....... (4)
, .. Vv•• )t~? ~ C; = . k (~)
SIlStituyen&> ,(4)'; (S) en (2) &8 tiene:
V' .$·k~kt
.-ola 001uc1Cn,general _!:
s= sen kt, --
dJ:s 2' d2sa. • -. - k s -=::o -- + k~s -= O •••• (1)elt' at'
la ecuaciCn auxiliar de (1) es:
412
4. • ~ sen2t - e. ~ = o, v = O. ~ t = !JSoluci6n.
..- . ~;e ~ 6.(1- ~tl
en (1),y':(81 se tiene:'(9) ,
iJqx:ní_end.o w' condiciar.es dw.s¡c,·-6; .c,=o
19) s~tituy<>ndoen Ol se ~:
.: .. (8) ,
3" Slmando (~) y (6) se tie"¡".
s • e <;oet • C.$e"t ~ 6 •••.• (7)9 I ,
der1va:.,do ,(7)
""(si sust1tU\,Qtdo en (3) se~: S = 6 " •••• (6)'p. :
(5)
(3) Y (4) _Ut\lYCfldo en (1).
(4)'.d'"-=0
clt' .
(3),• = JIP
duivatXlo ():
lis = Oclt
".~",J
'=o> la soluci6n cooplementariaes::. 8 - e coat, +' 'c,'SéJ\~: .:., (2) "c '. I ':
2A El roro noes raiz de la,eo.Jaci6n auxiliar, por tanto la fanra de, .
.0's - sent;
d'"1") --+ ...O . .• (1)dt'
el'"a=- ...6-sclt'
a..; 6 - s, s-o, v = O,j' cua."'do. t =.0Sbluc:i.6n . " '1'
, ,
t
~
~
1S lIi calt
='> la ecuaci6n auxiliar de (1) es:, . 1trt ... 1 • O -=r:")o (r' - i) (r Ti) ; D -=> r, =,1 _., e
, , -
5. a = _ 2v _ 2$. ~ = 3, v', - ) cuando t = O
deriVMdo (7)
v ~ ~ • -C;sen~, ~ C,C05t' _ t O<.'5t ... (O)
~<nierxJo laG oor-diC1OtlCS dadas , en (7) y (81 se t1Q1,,':2para ,e, • o: e,,' ,3 .... (9)
, ' . -:(9) 5""U b.lyec-.lo en (7)' se tie:...:
2 t iSéJ>2t,S-jsen -3
(7)
I1
• - 3J1OO62t - 3Dseri2t.' - .scnzei~ !.os a:>efic:ien_ de l~idE:1tidad se 'Uene:
A. 0, 8~ - !....;.'(5)(5) &ustituyordo en (3) se ti...,:
1 'S • _ 3' sen 2t , .. , •• (6)P ' ... '
3a sunon:Io (2) y (6) se ti..,.,:,, L'
,a e C1QORt + C..SEmt - 3" sen2t
(3) Y (4):sus ti tuyendo en (1) tenem:>5:
(4)
" ','
d1s ' , d2s ' 'a =--# aen2t - s ~ .._-+ S" sen2tclt clt'
la <1'5 + G • O (1)¿t2
..... pce el ejercicio (3) la solucl6n,CCllPJ.ementar.l..lles:
Se:'· <;oost + c,~ -r: ,(2)
2a El nemero ! 2i 00 es raí. de la ecuaci(¡n au>dUar POr tanto la sol];
-ci6n particular será: "s = .1CO<2t + BsEh2t (3)p
derivan:lo (3) se tic",,:'
, $L = _ Zl'seil2t +, 2Bcos2j;c!t' ':,d"s_ = '_ 4l.cc<;2t __ 2tcJt2 •
'.414 .
.., ne, 1:' n(4) su<tl.t:,¡ycndcen (2) se tiene, s ~ 1 _ " -eit.
(4)e = - 11.
c.+c,,-o
•;,ustl.tuyerdo las <x>rdicionesdadas en (2) y (3) se tiMe:
da . -ntv .. i!t= - nC,e .... (3)
(2)
.~.... la. solucilln ge""".l será,
$ • Ca + '10-nt
rl +, ro: • O => r (r + n) !:l O
r1 = O ~ s • e",= 1-ntr:l -= - n ~ s· e
1<1ecuacioo ailldliar de (1) es,
(1)
)•1d's da-TN"~ -~n-·O
dt' dt
.$ = o, V = n cuardo t = O.! = - nv:~lIo.
. d:l$•s-.M!
6.
clerivaMo (2).ds -tú . . J .~ a e lel.(..,...,t - dOSt) + C, (ooet - sent) (3).
iHp:>fúerdo ~ ClOll4iciones _, en (2) y í3) se tJ.e. :paz:cr C;, .. 3; e2• O .•••. (4) .
(4) suotl.tuyendo,.,., (2) se~, s = Jé-tdOSt
(21 derivando (2).
d's ds d's ds'== -- M - 2 - - 2. '""'" ._- + 2 't + 28 e O' .... (1)dt' . dt dt''''
la aUXiliar .aUlÚlJ..ar de (1) sera:
x' + 2r + 2 ~ o =- lE - (-1 + 11] fr - 1'-1 - i)]
====$> r = - 1 + i~' s. e-t.eit ~ 8 = Q-tc:ost• 1, . -t -it -tr, -, - 1- i ===- .S·= e e =$ 8 .. e sc:nt
=> la soluci6n c¡ensral ~:
igualando la< ocef.iCie"tes de lA' ideflt1clad se tiene:" JI
pa.... A = O ¡ 8 = J .. __(6)
(6) _tituyerdo en (4) oe tiene:4,
.p = 'í sene . "'" (7)
3·) s_rdo (3) y (7) se tiene ,j.¡¡ solución general.
4 ' ."9 =' C,cos2t + C,sen2t + 3' sent· (8)
cIerívaodo (8):
4J!)
• lA:ost ... lBsQnt • 4scnt
1sustil:IJ}'erXlo (4) y (5) "" (l), se ti ene:
r = - 2i _8. e2L ,==> •• ....,21:1
... la so¡uci6\ o::xrplere.nt.aria ser~¡
se • C1ccs.2t + C2sen2t (3)
2&El ru..ero ! 1 ro ... raíz de Ia ccUa6:ón .uxJ!.iar; por tanto .la for.... de" lA soi.ud6n partJ.C>lL1r" ..irá:
s • l>alOt + B6Qnt', """.. (4)pdorivMclo (3) se tiene,
vesO Oolamo 1:.=07. A •• eent - 4s; 11• O
SOlDc:i{¡p"
"1(1)dts . . d2&a ---= 4 sent - 4s ~ __ o +. 4$ -= 4sentdt' dt'd2.s .l' --+ 4s = O' , ••• (2)dt'
la eOJaCÍIDauxiliar de (2) ser:f:
r' + 4 = O ==> (r - 2L) (r + 21) • O
r • ii ~ s = e-2i ==;¡. s. c:os2t,
, 416
.(1)8', '
9. 'se dan: o:l. e - 48: v = C¡ S = O' cuan:Jo t. o; Dem::::f,;trar que el rro-v:i..r.\(en.tc ~e U!"'..;) vibr('lCi6n a.rn6-~Uca9~lc CI.."'"jO ~ntro es. s .: '2, BUaI:\',lJtud 2 y su ]Xaiodo -r.Sclu:if.'n•
-t• =" (co;2t .. ,,,,,,,2tl
,?U'A: CI• 1 ; el e 1 l4)
(4) 6ustil~o en (2) se: Uené:
v • : " ,,-t[e, (-2:ocn2t - COS1t) + <; (2<:os2t -,,¡en2t)] (3)
il11'(ln1CnD'¡". ccn:\tcic.r". dbdas, e." <2} y 9)' so>tcndró:
r' .. 2r ,+ S ~ O =- [!- - (-1 + 2ilJ ~ - (..¡, - '2i)J .. O-t 2i. '-t' ,,par.: r." (-} -t 2,{) ==:::. s = e Q ~ S = e ooc2t-t -2i, , ' -tr~• (-1 - 21) ~ 11 = e e ':==O s ~'e sen2t
~ la sollJCi6n <¡ener"l es:
~. e-t(C,cos2t .. C.SEI.~2t) .... ; (2)
der1vanOo (2J se tiene :,'
(1)d's ds'~.--=-2-- 5.. dt2 dt.
e.. a. - 2\T - Ss; s Al 1; v .. 1, cu:.n:lo t • OSqhy:1oo
éls 4v .-.= - 2C,scn2t + 2C,CQSt + -3CX)O;t ••• (9)', clt
~encb las CX'I'X!.1ciOnes _, .,,' (B) y (9) se ~, para:
e, = o 1 e,· ~t (10)
(lO) re«l\'l$z..,.;o En (8);
4 2s : '3 llént - J .",,2t
<117,
al Si el punto porte dél rq>a¡ó'en el' 6Í:~, h&llai' Su ec'\I.OCJ.6n de~to. ,lo:. ; .... ,•• '> ': .'
,O>n e. la "")'Or di$tancia elel ari9"'l que el ~to aic.lnza?:. • ... = 1..,. .... ,>, •• _' - .. .~.~.,
b) Si el p.¡nto ¡:e.rte <!el or.l';'''I'''''''.\ veloci4all v _' G,'¡"Iiallar GIlecuac:iOn de IOOViDoJ.<mto.
, ra= s «00 2t-,9s, '
lO,"
, ,..... '(9) I<!pl""""nta un llDYWanto am6n1oo s1JlplEr,2n 1 •
el,pe>:1odo es "2 s rr seq, '
la '~litud ...: m·2 = Id ..2--v " 2
la aceJ.e.ac:iOn de U1\ punto nnterial viera dado por ,la f6xnula:
, "(9)"s = 2(1 - oos2t)
pora: e, = - 2, e, = O ,'y estos valores "'lStituyen:1o en (7) se ti ....
(S)
l:end:rem:ls :
,ÓI1r:ÍvAlIdo (7),!
, de ', V=-·-2C~ .. 2COO$2tdt 1 ,. 2,
il:porú.ando las ClOniidones dadas, en (7) y (~)
.S Q C,0002t + ctsenit .. 2 .... : (7) ,:.' ..
, .=- 8 • '? ..... (6)p(3) Y (6) tcnEm:IO la sol\lCi6n:ge,_al!
..2:!.= O, di. = O (S)dt • dt': ....
sustiuzyen::lo (4) y (5) en (1) 'teN!m:lG para lA. Ú,
derivanl.;' (3):
"
l-'?r lo tMlto ,la faxma.c = <; ..,..2< .. C,"""2t ••. • (3),
2a El cero oó es raíz de la.ecuación Iluxi.liar¡da la soll>'14n particular ...rá, ,
s • A (4)P
(2)d',l~ -+ 45,= Odt'
del ejQrclcio, (7) la so11.tl&loonpl"""rytaria éS:
418
"p • (X)$ 2t •• •••• ••.• ••••••• (7)
:¡.a..- (3) Y (7) se ti_:
8 • C,oo< + <;s0n3t + eoc2t (~)
del"ivando (8):
da . •V· Ft:"- - 3C,s0n3t <' 3<;oos3t. ~ 20en2t •••. (9)
($) oust:i~ en (4) ee tiene:
• Sl'cC>s~t+ SBsa>2t = 5 OOG2ti¡¡ualaido lOII ooaf~J.en~ de la identiclac;l tenl.:t1lDfJ para:
!!!.. - 2Asen2t + 2B:xls2tdt .
d'$- • - 4Acc&2t - 4Ilaen2t •••• (5)dt'
"""ti~o (4) y IS) en (1) ~:
derivando (4):
=00 la solua16n o::or¡;l.etlwotaria."..,,6:
se = C,cos3t + C,senlt ••••• (31
2a El nma.ro tU no ee mz de la· eouaci6n au.'CiUar, entonces la fomade la .01",,1& particular es:
S - 100slt + Bsen2t (4)P
dls d2sa a__ + 500s2t - 9s ~ -- + 9s = 5<xls2t ••••• (1)dt2 dtl<I'sl~ -- + 98 • O ••.• (2)dt'
La ecuac:16l 4U1C1l.lMde (2) es:
r' + 9 • D _ (r - 3i) (r+ 3i) = O
~ r, - 3i ~ s = Q:li __ S • cos3t. -Jir2, = - 3i ~ s • e ..., e· senlt
¿001 es la a>o¡yor di.5tancib del origen que el pwlto II.lc.anza?Soluc16n.
A - 1 ¡ B. O •••• ;......... (6)
419..
11. U10.>erpo- """ partisd:> dal ~ y eecoeee una distanQa da 24.50;""penisndo a - 'SI.8 - V, hal.l.!n: el tiUlFO~4nt<) el ~ cae.s»'uoí6n.
$Ilsti tuyerdo (11) "" (8)
C; ·2b) para s ~ O; v = 61 c:uando. t ~O
s • o;:e2t - (X)sJt
e,. e - 11 e, '7 o .: ... (10)
sustitu~ (10) en B .!lO tiene
4) s = O .; v. O, cuando t. O entonces se time para
.llipDtien1o las ccuHcicnas dadas; en (8) y (9) ~ para:
a.S::420
er,X , Qrt~, .1..• , errr
y ia solucl6\ qereral será Y9 -- C1er1x + <;er¡x + pO· + cnernx 1bJ las raioe. de peA) sen roalés, pe;.., algunas de ella.o nl.l.t4>l.eG
a) r ,r;z'" °0_ ', r SCI\ reales y distintas, e:l esté cese el &1sten\'! fi1rd"3r.'im- ., n ,tal de sola::.I.onti de (1) será de la fOIllB:
sean r ,r , ... r , ra!oé.s disbnta,s de p{A), -C/U re:pit1én:1oaeI 2 n . .
k ,k , •••• k veces réspect1varrente.l' nk 'k' 1<n .
==> peA) = (,\ - r ) '(A - r ) , ...• (A - r ) " y par.. el polinanio aso -1. t n
ciado """.1: k' l<'p(O¡ • (D - r) I {D - r,)k, ••• (O _ r ) n y • O1 ,n
se puo;len }XQOEntar 1", s1gu1cntes casos:
Sea (J.) ).n )."-1 ).n-2 l..íroIUoP B + P, + P, ........ Pn "" pO
calOllams el paI.JnooIio dado en: .l. = o_ 1'(01 = rf' + l' ¿r1 .. l' ¿>-2 ........ p y se llan1.ri operador ~-
. • 1 ~ ncial A9OC1adoa (11.
,."•3
n .,.,..1 rf'-2(O .. P,u + P, t .... : + "nI)' =,0
.En_s (1) se transE"""," en,
.J=1> rf, on-.l., .. :., o, ea q¡"l(IlIi,na.rá oper;ack>res dif<;renciales
"
dorde: p.,i. 1,2,3,: .. n st::Jn constanteS.>
.í h3~ la .....Utl.CiÓl>: .
d"' rf' dn-1 ¿rl ~, = o~. , -:--n-f= , ..... , ex, dX ébI
Ecuaciones Diferenciales lineales ..de n-éslrno Orde ·con coeñclentesConstante ' .. '~ solxiOn <J'"'Oral d<! \:M ccuact6n Cifer<:<1CÍi!l lineal hoTcgdnca •
.n.. dn-1 ¿>-2~. P :n:\'+ p. ~t .••. + p y - o (11dxn 1 dxn- '1 dx_rt- IJ"'
421
==- J>~I - A(~' - 11 = l(A - 1)U + 1) (A+ !)o. - 11==<> p«ll -,P(I) - 1) (O t'l) lO + 1) 10:- i) • O
(O- O) da <nrO soluc1tn e = 1
. "
::
1 21 -21 1 21 -21..... '2 (e + e ). COS·:be.; 2i (e - o ) e sen:bc
don<;Ie 1, <:t>.:be; senzx ooostituye el .,:,;t:a>1a fun(lanent&lde ~l""lonea==<> la ""luo;~ general _S,
1-g • C, + C, oos2x .. c,sen2K
fr_~_ OdX' dX
IlOluci6a.,
2,
(O - 21) a e21-21-"(O + 21)
pUl. Á' + 4X - O ...... X{X' .. ~) &_~(), + 2illX - >.i)
'....... P(Pl • O«l_ + 2J.l10 - 21) • (P - O) {D+ 21'} (O - 21)'• O
,.... (D- O): da cxmo ""l~ er:tx. = 1
1,
1'R:BI&1I\S
Hallar la 8Olu::itn'gencr8lc:Je,,/u de las s,:guíErltos~iones difereociale.
~.+ ~~- Odx' dx
- - -= e crlX + e ~r.x + e x1erx +Yq l l'" :l
e ernxne) alg=a. do,lae ra10es de p(X) son maginarias:
_ r e. una ral. k ITlHtipl.ede p{X), mi.mtr as que las rr-k ra!oas di>
tillta.,Eh este caso 01 sistema furd""';tal de 001""1""",, .08 do La 00"""
rx. ñc 1 rx x-i rk+lx .rk+lx .rnxe ,)II! • x e , .... x e , e , ....
422
(1)_4's -a=t.'+ltdt'
s.
-t" '-1: • ~ ..•. ,.te l' te.
las ralees 9On; -2,-2,~2_ El.sisw.w._tal de ",,1~ es:y la ",,1<C.llln <¡ene':"l ea'
x • e,e-t ...c.,te-,t • ,c t,~-t. e"t (r .. e t ..e 1;'1q. ' , ""'1:1 3
P¡A) • l' • 6),' .. 12). .8= o, peA) • (Iv. 2) (A .. 2)' • u ... 2) •
_ P(c)' = (J) ... 2) ID + 2)' • (J) .. 21' = o
!!o1.ucl6n.. ?Q.) ~ l' -1'.9).' - 9) -= o
= ~I~' -,).' ... 9), - 9). A(A -l)(A' + 3i)l)., - Ji)
P lA) • HA - 1) () + 11) lA - 3i)
P(O) ~ 1>10-, lJ ID +' 31);1> - ji) • ose tiene W r&1oos. 0,1,.31, -Ji qua """ <Ion el ~ sis~
_tal <le solucialesI 1, ex, 00II 3x, """ 3x_ la 1101",,;& qeOeral e.',
y , • e + e .i" .. c,c:os3x .. C,oen3x9 1 1. .
d'X + 9 d'X'+ ~+ 8><. odt' <!t' dt'
Iibl..::i&:
4.
(D - 1) da <XlIII> solu::.u;" ti<lO .. 1) da oaro solucMn e~x
, (J) + 1) da cceo solu:.i6n cosxlO - i) da <XIIl'O solucUn sen><
~ la ",,1ucU5n_al as:x -xy • el ....<;e ... C~e + C..C'lOISX + Cs&QJ'lX'
'1
3. h_fr+9d'Y_9dy~ci, ctx" <be: 3; dx2 ax
423
.p = - t3 _ Jt • ••• •• . •• (7)
3· Su1wdo (~1 y (7) "" tione la 9pluclOOgena:al :
S • e et + 'c,e-t + C,o::l8t + e !lM\t - tI - 3t9 1 •
A - - 1 ¡ B = o le. - 3, Da O (6)(5) BUBtituyardo en, (3),
(3) y (4) lIUSt:ltuyaRlo en (1)
-;At' - Bt2 - ct - D - t' + 3ti9UoJ,ondo loo mef1c:1.entee de la _ poI:ancla de t, se t:erd.rii:
.... (5)
(4)~ = ~ ... lit' + ct .. D
de.rivardo ... tiMe: ,
do = l!\t' .. 8t + edt
d'. = 6JOt... 28dt',
d'. = 6Adt'
d~~~ odt'
Las raíces son: -1,1,1,-1
_ la sol...,ién ~J.eñentaria s: es:-e-ve- e'
e 't e -t ' t ('1',se ,= .e + :te + e,ces + <;sant ~
2" E!l nírreroQ ro os ra1z del ¡:olin:>nio a.ooclado (21¡ ent""""" la for-... de la 9p.lllc1OOparticW.ai ser': '
P(q (~ .. 1)(~ - 1)(), .. i) (~- 1,)
_ P(Dl = ID+ 1)(D - 11 (D + i) {D - il - O .... (2)'
SOluc16l.!in pt:úrer l~ 'ha..l1.ano6 la soluc:iá> <aq;>lI!nent:ar1a de la ecuac:iOndiferencial lineAl hCJrc:>génea "" decir de:
d~5 _ SI • O
ctt'
_ P(~) = ~' - l· O
y • eq 1
'. ,,.' .
)a ..,.".,..:la (4) y•. (9) tendl:eros la solJ.JaUSn ·general•• '¡' '( • . <.
• 2x . -2>< 1 , l'+Ce .eJe _¡.x -¡x
.' .(9)
, .1e- -:-',4 ..... ~ (8)A.-! lB-O6 •
(8) "sWrtitl.1yGOOO en (5)
'1 -_!,.-'-xp 6
~ loe oceficialtee cla la _ P"'-=,o de " ten:!teriai,.: '_.. • o" '.'
d'y .~ 6A ......... (7)c1x'
",:",tit~ (6) Y (7). en ·IU ,.. tiene,
_ ti'"" ~ liBx _. 4C + 6A = 2><'
, .. , •• ' (6)2L= ~t ... 28x ... edJt -
dOy = 61lx + lBc1x'
2a'l!.Ii:·núoor:X> O es ~ de. (3) de orden. 1 p<%·lo tanto lo fo_ de .la""1ud6n parUru]ar sea, '.'
)'p -. XlAX' .+. Bie + e) = A;(' ... EO<.' ... O< ' .. z • (5) .
.derivamo (5): '. ". . .' •
las 'rafoes ac:n, 0, -2,· 2. que no. <!an. ,,1 s~t<I •.(5~ ·fo.r>dlmcntal._ b .ele ool~~ 1: e ¡.. .
_ .la sol\lOUn<XlIlt>laftentariá es:.. ' ,
1" ..!!.):_ _ 4 ~ = o ... , (2)clx 3 cll\ .
..... p(Al -.Á· -.~ = )d)" _ 4) =),0. + 2)(J..- 2) • O
__ P(D) ':" DIO·. 2) iD _ 2) ,_ :0' .,_. (3),
',(11'.- ...6,
. ,
42:;
(7l """ti tI.1yllncIo en (4):.~ 3 3xYp- (1'X - .le (8)
Ja ~ (3) Y (a)2X 3xYr¡-c,e"+c,e + (ix~~e
~ e A(9lcel>: + 2e~ + 9Be3x (6)<Ix'
(4), (5J¡ (6) sustit;)lj~. en (l).
2lIl<e3x _ (lA'" 2B)e3x= ",,3xJ.9Ilalando l.oo ooof.1c1ent;" ele la >denUdad "" tiene
i: 3'¡ara A-'2' 8--. \1>
2~ e:J. nOroroO n¡) es raíz'de (2), por lo tanto 11l tOt:11'a de la ""1",,,611particular ... ,
y _ (l»< + B)~l>: . (4)I?' .
darivazxlo (4):·*.."Óx.el>: + e3xi + 3Ee3x (S)
(3)
las raSccs '""n: 2; 1 y 006 dan él siguiente 5ist81\! t~t;al de SO~ X .-
lucioné&' el - e •
end'y ~ 3x7. dx' -3<1x+2y=,.,
1" d'y _ )".!!:t.+ 2y = O<lxl ctx .
. p().) _).. - J).'.~ 2= (). - 2) ()'.- i) ~O
~ p(D) • (D - 2) lO - 1) =.0 •••. (2)
Integracl ~n de Formas Elen>entales Ordln,rlas_ Regla" PrincIpales para la Integraci6n 1
CAPIlUlO: XIIIConstantes de.Int~graeI6n_ Detor1ill'na:cl6n de la Constante de Integrat'íón por ~Iedió .:
de Condiciones Inldales .. : ,.' 106.cAp·nUlO : XIV
_ Integral Definida ; : 117. _ tntegraci6n Aprox11nada•.••••.••......••••.• : •.••••.••.. 00.......... 128_ Integrales Impropias. llml·tes Infinitos 138
CAPllULO: XVIntegración como'Suma_ Teorema F,ulldament.1 ael CUeula Integral •. ; .. ; ,.......... 143_ Ar., de Superfietes ,llmltada.s por cur'las Planas 144_ Are. de Curvas Planas Coorderiadas Polares ; 156_ Volumen de Sólidos de Reyoluclón : 169• Valumen de un Sólido de' Revaluc'lón ~ueco .• : .. ; ;... 171- Longitud de un Arco de Curva ",'.................. 194- Area~ de Superficies de Revaluc.ión 206
.CAPllULO: XVI_ ArtificIos. de Integr.ción " 222..: rntegraef6n por Sustit~clón de una Hueva Variable ;.... 257• Diferenciales BIn!tll1ias' 267_ Transfarm.c16nde las;Dfferenc1ales Trlgonométrfcas .. , 276- S~stltuc16n Oiversa. .. '. ~ ,,:, : .. ', ;""" .. 28~
CAP¡niLO: XV" I_ Centro' de Graved.d, Presión de liquido., Trabajo,Va10t' Medio, Noment9 de Superf1 ~fe ••.•. f.o ••• : ••••••••• '•••• ' •• "... 0'0 • ·305
- Determinación del Centro de Gravedad .""'dlante eJ .C&lculo Integr.l : .. ; , .. : :.. 305
• Coordenadas Polares ;........................ • .. 306_ Centro d. Gravedad de un Sólido de Revolución ; ; 323• Ecuaciones Diferenciales de Primor Orden y' d•. PrimerGtado •••••.••.••••..••••.•.•.•••• ~•.•••.••• O" •••••••••••••• ;' •••• ' 329
• Oos Tipos Esp,c.h·les de tcuactones ·Oiferencl.les d.Orden Superior 364
• Ecuaciones Olfarenciales Un ••.Ies da Segundo Ordencon Coefl clente Constantes, ; .. .. .. .. .. .. 372
- .lipllca~¡ones d. las Ecuaciones Dlferenclales .., ;.... 401• Ap11cact Mes a Problemas de Hacánl ca ......... ,.................... ·409.' Ecuaciones Diferenclal.s Lfnoales de n-Eslmo Orden .
-:on Coef1cien tes Const6.ntes •••••.•••••.••••••••••••••••••••••••.• 420
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