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• Solución• Cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo tiene la misma dirección y sentido
que el desplazamiento (fig A), el trabajo se define como el producto de la fuerza que actúa por el desplazamiento producido:
sFrFw
Sin embargo, en muchos casos, la fuerza aplicada a una cuerpo no tiene la misma dirección y sentido que el movimiento de éste. En estos casos la fuerza que debemos considerar para calcular el trabajo es la fuerza efectiva que se realice en la dirección del desplazamiento, cuyo valor es cosF
•Por consiguiente, el trabajo es: cos SFW
1) Un bloque se desplaza 12m sobre la superficie horizontal en que se apoya, al actuar sobre él una fuerza de 250N. Calcula el trabajo realizado por la fuerza:a)Si tiene la misma dirección y sentido del movimiento.b)Forma un ángulo de 45º con el desplazamiento.c)Forma un ángulo de 90º con el desplazamiento.d)Si el trabajo realizado en el apartado a) se efectúa en 6 s, ¿cuál es la potencia mecánica media en kw y en CV?
Que se reduce a la primera cuando =0, es decir, cuando coinciden en dirección y sentido producido.
kjjmNsFW 310312250 3
b) No coinciden la dirección de la fuerza con el desplazamiento:
jkjmNsFW 1,2101,21225045cos 32
20
disponemos de los siguientes datos:
•Fuerza que actúa sobre el bloque: F= 250 N.•Desplazamiento: S =12 m
•Tiempo: t= 6 s
•Ángulos que forman la fuerza aplicada y el desplazamiento:a)0º, b)45º,c)90º. Las incógnitas son el trabajo realizado y la potencia mecánica.
a) Coinciden en dirección y sentido la fuerza y el desplazamiento:
• c) La fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, forman un ángulo de 90º, y como cos 90ºes igual a cero, el trabajo es nulo:
090cos 0 sFW
d) En la definición de trabajo no interviene el tiempo, sin embargo, es un factor muy importante para determinar la eficacia, la potencia, de una máquina. Un motor es muy potente si es capaz de realizar mucho trabajo en poco tiempo. Se llama potencia media al cociente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado:
kwws
jtw
mp 5,05006103 3
El vatio es la unidad de potencia en el S.I. El kw es un múltiplo que equivale a 103 w Otra unidad de potencia muy utilizada en la practica es el CV (caballo de vapor) que equivale a 735,5 vatios. Por tanto, una potencia de 500w equivale a:
cvcvw
wp 68,05,735
500
2) Una grúa levanta 1000 kg de cemento a una altura de 40 m 2) Una grúa levanta 1000 kg de cemento a una altura de 40 m en un edificio de construcción, y después desplazaen un edificio de construcción, y después desplaza la carga la carga horizontalmente 20 m. ¿Qué trabajo mecánico realiza?horizontalmente 20 m. ¿Qué trabajo mecánico realiza?
Solución:
Para elevar el cemento, la grúa ejerce verticalmente hacia arriba una fuerza igual al peso del cemento que eleva:
NNkgF 310 · 8,91-Kg 8,9 · 310mgP
El trabajo que realiza en el desplazamiento vertical es:
J 5·10 3,92m 40 · 310 · 8,9 · NhFW
En el desplazamiento horizontal, la fuerza es perpendicular al desplazamiento y el trabajo realizado es nulo.
Por consiguiente, el trabajo mecánico realzado es igual a 3,92 · 105 J.
F
P = mg
3) Juan, de 70 kg, sube a una altura de 20 m.3) Juan, de 70 kg, sube a una altura de 20 m.a) ¿Qué trabajo mecánico realiza?a) ¿Qué trabajo mecánico realiza?b) ¿Efectúa el mismo trabajo si sube por una escalera b) ¿Efectúa el mismo trabajo si sube por una escalera inclinada que si lo hace por una escalera vertical?inclinada que si lo hace por una escalera vertical?
Solución:
a) La fuerza necesaria es igual al peso de Juan (Fig. 1):
NNmgPF 6861-Kg 9,8 · Kg 70
El trabajo realiza es :
JmNhFW 13720 20 · 686 ·
b) El trabajo realizado es el mismo para ambos recorridos (Fig. 2).A
OP = 70 Kg · 9,8 N Kg-1 = 686 N
F = 686 N
Figura 1
A
O B Figura 2P
rF
F
P
WOB = 0
WOA = 0
4) Un cuerpo de 20 N de peso se desplaza desde el punto 0 al punto C al aplicarle una fuerza vertical F que contrarresta su peso.a) Calcula el trabajo que realiza esa fuerza en el recorrido OABC.b) Si se llega al punto C por el camino ODEFGHC, ¿qué trabajo realiza la fuerza en este caso?.c) ¿Qué potencia debería tener b un pequeño motor para llevar al cuerpo desde el punto 0 al punto H en 4s?.
Solución:
El módulo de la fuerza F es igual a 20N puesto que contrarresta el peso del cuerpo.
El trabajo mecánico realizado por una fuerza constante de módulo F que tiene la misma dirección que el desplazamiento del cuerpo es:
sFrFW ··
50
40
30
20
10
0
S (m)
10 20 30 40 50
F
PF
P
A B
C
D
EF
GH
JmNWOA
200)010·(20
JmNmNWBC
60030·20)1040·(20
JJJJWWWWBCABOAT
8006000200
JmNhhmghhPWifif
800)040·(20)()(
a)En el tramo OA, el trabajo es:
En el tramo AB, el trabajo es nulo porque la fuerza es perpendicular a desplazamiento.
En el tramo BC, el trabajo de elevación es:
El trabajo total realizado en el recorrido OABC es la suma de los trabajos parciales:
Podríamos calcular directamente el trabajo total realizado considerando que el
trabajo mecánico que hay que efectuar al elevar un cuerpo sólo depende de lo que
cambie su altura respecto al suelo:
Cuándo la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo realizado por la fuerza es nulo.
b) Calculemos el trabajo realizado en cada tramo.
0OD
W
JmNmNWDE
80040·20)040·(20
0EF
W
JmNmNWFG
20010·20)4050·(20
0GH
W
JmNmNWHC
200)10·(20)5040·(20
JJWWWWWWWHCGHFGEFDEODT
800)200020008000(
·Tramo OD: El desplazamiento es horizontal y el trabajo nulo porque la fuerza es
perpendicular al desplazamiento:
·Tramo DE:
·Tramo EF:
·Tramo FG:
·Tramo GH:
·Tramo HC:
El trabajo total realizado en el recorrido ODEFGHC es la suma de los trabajos
parciales:
c) El trabajo realizado para desplazar el cuerpo desde el punto O al punto H es:
JmNWOH
1000)050·(20
kWWs
Jt
WP 25,02504
1000
CV
CVW
WP 34,05,735
250
La potencia mecánica es el cociente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado:
El valor de la potencia en CV es:
50
40
30
20
10
0
S (m)
10 20 30 40 50
F
PF
P
A B
C
D
EF
GH
5)La cabina de un ascensor tiene una masa m = 400 kg y transporta 4 personas de 75 kg cada una. Si asciende con velocidad constante hasta una altura de 25 m en 40 s, calcula:a) El trabajo realizado para subir la cabina y los pasajeros.b) La potencia media desarrollada en kW y CV. c) Si el rendimiento total de la instalación del ascensor es del 62 % . ¿Cuál es el coste de cada viaje del ascensor? (El precio de 1 kW h de origen eléctrico es de 20 pesetas.)Solución:
a) La masa total es m= 400 kg + 4 · 75 kg = 700 kg
Como el ascensor sube con velocidad constante, la fuerza ejercida contrarresta el
peso del conjunto:
kWWs
Jt
WPm
3,410·3,44010·72,1 3
5
J 10 · 1,72 m 25 · N 10 · 6,86 h · F W 53
N 10 · 6,86 kg N 9,8 · kg 700 mg P F 31-
El trabajo realizado es:
b) La potencia media en kW es la siguiente:
Como 1 CV equivale a 735,5 W, la potencia media en CV es:
CV 8,5CV W 5,73510·3,4 13 WmP
Wienton T W; TW
W ;Total Trabajoútil TrabajodimRe
J 10·77,262,0
J 10·72,1 55
TW
hkW 077,0
hkW J 10·6,3
J 10·77,26
5
TW
pesetas 1,54 h kW pesetas 20 ·h kW 0,077 Coste
c) El trabajo total realizado por el motor del ascensor (Wt) es el necesario para subir la cabina y los viajeros (W) más el trabajo necesario para vencer los rozamientos. Por tanto, el rendimiento es:
El trabajo realizado por el motor del ascensor en kW h es:
6) La fuerza aplicada de un cuerpo varía de acuerdo con el gráfico adjunto.
C D
A B
F(N)
40
30
20
10
0 10 20 30 40 s(m)
a) ¿Qué trabajo realiza la
fuerza F en cada tramo?
b) ¿cuánto vale el trabajo
total?
Solución.
a) En la gráfica fuerza-desplazamiento, el valor del trabajo viene dado por el área sombreada de la figura.
· Tramo OA: Se trata de calcular el área de un triángulo de base y altura conocidas:
200JN 20 · m 20 · 21 altura · base ·
21
OAW
200J m 10 · N 20 m 20)-(30 · 20 NWAB
0BC
W
· Tramo AB: El trabajo coincide con el área de un rectángulo de base igual a 10 m y altura igual a 20 N:
· Tramo BC: Como no hay desplazamiento el trabajo es nulo:
· Tramo CD: El valor del trabajo viene dado por el área del rectángulo situado bajo la recta CD:
J 400 m 30) - (40 · N 40 CD
W
J 800 J 400 J 200WWW W CDBCABOA
TW
b) El trabajo total es la suma de los trabajos realizados en cada tramo:
7. 7. Un camión de 30 t está parado al iniciarse una cuesta. Un camión de 30 t está parado al iniciarse una cuesta. Arranca y cuando se ha elevado una altura vertical de 50m Arranca y cuando se ha elevado una altura vertical de 50m sobre el punto de partida alcanza una velocidad de 72 km hsobre el punto de partida alcanza una velocidad de 72 km h-1-1, , tras permanecer 3 minutos en movimiento. Calcula:tras permanecer 3 minutos en movimiento. Calcula:a) La energía mecánica adquirida por el camión. a) La energía mecánica adquirida por el camión. b) La potencia mecánica del motor necesaria para suministrar b) La potencia mecánica del motor necesaria para suministrar esa energía.esa energía.
Solución:Solución:
a) Si tomamos como plano de referencia para medir la altura la base del plano, el a) Si tomamos como plano de referencia para medir la altura la base del plano, el camión adquiere energía potencial gravitatoria al elevarse 50 m sobre el punto de camión adquiere energía potencial gravitatoria al elevarse 50 m sobre el punto de partida, y energía cinética al adquirir una velocidad de 72 km hpartida, y energía cinética al adquirir una velocidad de 72 km h -1-1, es decir, de 20 , es decir, de 20 m sm s-1-1..
JmNkgkghgmEp
714 1047,1508,9103
JmskgvmEc
62142 100,6)20(10321
21
h = 50m
v =20ms-1
50m
h0=0
v0= 0
La energía mecánica adquirida es la suma de ambas energías:
KJJJEm
467 1007,2100,61047,1
b) La potencia mecánica medida del motor necesaria para suministrar esta energía es el cociente entre la energía suministrada y el tiempo invertido:
WWs
Jt
WP k257
1015,11015,1180
1007,2
El valor de la potencia en CV es:
CV
CVWW
P 4,1565,735
51015,1
8. Para elevar un cuerpo con una velocidad constante de 1,5 m s8. Para elevar un cuerpo con una velocidad constante de 1,5 m s-1-1 se necesita un motor de 2 CV de potencia. ¿Cuál es el peso del se necesita un motor de 2 CV de potencia. ¿Cuál es el peso del cuerpo?cuerpo?
Solución:
Para elevar un cuerpo es necesario ejercer una fuerza que contrarreste su peso.
La potencia mecánica es:
vFP ; Nsm
CVWCVvPF 2108,9
/5,1/5,7352
En consecuencia, el peso del cuerpo es igual a 9,8 · 102 N = 100 kp
9. Un proyectil de 24g de masa atraviesa una plancha metálica 9. Un proyectil de 24g de masa atraviesa una plancha metálica de 2 cm de grosor. Su velocidad a la entrada era de 400m sde 2 cm de grosor. Su velocidad a la entrada era de 400m s-1-1 y a y a la salida de 120m sla salida de 120m s-1-1. Calcula:. Calcula:a) El trabajo realizado.a) El trabajo realizado.b) La fuerza media que ejerce la plancha sobre el proyectil.b) La fuerza media que ejerce la plancha sobre el proyectil.
Solución:
a) El trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre el proyectil varía la energía cinética de este. Por consiguiente, el trabajo es igual a la energía cinética final menos la energía cinética inicial: W= Ec
JmskgmvEfcf
8,172)120(102421
21 2132
JmskgmvEici
1920)400(102421
21 132 JJJEW
c2,174719208,172
b) La fuerza que ejerce la plancha metálica se obtiene a partir del trabajo realizado:
sFW NmJ
sWF 4
2107,8
1022,1747
La fuerza es negativa porque se opone al movimiento, es la resistencia que ejerce la lámina metálica al movimiento del proyectil.
10)Un embalse contiene 80 hm3 de agua a una altura media de 60 m.Calcula la energía potencial gravitatoria que posee el agua del embalse en kW h.
Solución:
Como la densidad del agua es 1.000 kg/m3 y el embalse contiene 80 · 106 m3 de agua, la masa de agua embalsada es:
KgKgmmpvm 910803310361080
La energía potencial gravitatoria en julios es:
JmNkgKgmghpE 13107,46018,910108
La equivalencia entre julios y kilovatio·hora es la siguiente:
JsJshkWkWh 6106,33106,31310111
Por tanto, la energía potencial gravitatoria expresada en kW h es:
kWhkWhJJ
pE 7103,1/6106,3
13107,4
Solución:
a) Tomando como referencia de altura el nivel del río, la energía potencial gravitatoria inicial del agua es cero.Al elevar el agua aumenta la altura y ,por tanto, su energía potencial gravitatoria.
b) El trabajo mecánico realizado es igual al aumento experimentado por la energía potencial gravitatoria:
pfEpiE
pfEW
11) El consumo diario de agua de una ciudad es de 8·103 m3, siendo necesario elevarla a unos depósitos situados a 60 m porencima del río donde tiene lugar la captación .Sin tener en cuentaotras consideraciones, calcula:a) El trabajo diario que hay que realizar.
b) La potencia total de las motobombas que elevan el agua.
La masa de agua consumida por día es: Kgmkgmpvm 61083/31033108
b) El tiempo empleado es: shshdíat 86400/3600241
Al considerar que 1 CV es igual a 735,5 W, la potencia en CV es:
CVCVW
WP 74/5,735
54398
La potencia es el conciente entre el trabajo realizado y el tiempo empleado.
WsJ
tWP 54398
864009107,4
12) Al colgar un cuerpo de 10 Kg de un muelle vertical se :
produce un alargamiento de 6,8 cm.Calcula
a) La constante elástica del muelle.
b) La energía potencial elástica almacenada.
6,8 cm
Solución:
a)La fuerza que alarga el muelle es la fuerza del cuerpo:
NKgNKgmgP 9818,910
La constante elástica se obtiene a partir de la ley de Hooke:
13104,12108,6
98; mN
mN
xFkxkF
b) La energía potencial elástica almacena es:
JmmNkxeE 2,32
2108,613104,1212
21
13)Entre los días 16 y 22 de julio de 1994, el cometa Shoemaker-Levy chocó con el planeta Júpiter, entrando en su atmósfera a una velocidad de 60 km s-1.La masa de los fragmentos del cometa era comparable a la de una esfera de 27 km de diámetro y una densidad semejante a la del agua, es decir, de 1000 kg m-3.Calcula:
a)La energía del impacto.
b)El coste de esa energía, tomando como referencia el precio del kW h origen eléctrico que es de 20 pesetas.
Solución:
a) El volumen del núcleo del cometa es el de una esfera de 13,5 km de radio:
331003,13
3105,1314,3343
34 mmrv
Masa del cometa: KgmKgmpvm 161003,13/3103131003,1
La energía del impacto es igual a la energía cinética del cometa:
2/31060161003,1
212
21
smKgmvE
b) Al expresar la energía en kW h se obtiene:
kWhkWhJJe 18105
/6106,3
25108,1
Coste: pesetaskWhpesetaskWh 20101/2018105
¡Mucho dinero! Los presupuestos Generales del Estado , en España,ascienden a unas 4·1013 pesetas.
Principio de conservación de la energía mecánicaPrincipio de conservación de la energía mecánica
14) Si desde una terraza de un tercer piso, situado 10 m por encima del suelo, 14) Si desde una terraza de un tercer piso, situado 10 m por encima del suelo,
lanzas verticalmente desde abajo un balón de 400 g con una velocidad de lanzas verticalmente desde abajo un balón de 400 g con una velocidad de
5 m/s5 m/s-1-1..
a)a) ¿ Cuál es su energía en el punto de lanzamiento?¿ Cuál es su energía en el punto de lanzamiento?
b) ¿ Cuánto vale su energía cinética y su energía potencial gravitatoria b) ¿ Cuánto vale su energía cinética y su energía potencial gravitatoria cuando se encuentra a una altura de 2 m sobre el suelo? cuando se encuentra a una altura de 2 m sobre el suelo?
c) ¿Cuál es su energía mecánica al llegar al suelo? ¿ Cuánto vale en ese c) ¿Cuál es su energía mecánica al llegar al suelo? ¿ Cuánto vale en ese instante su velocidad?instante su velocidad?
Para calcular si nuestros cálculos son correctos, se mide la velocidad del balón alPara calcular si nuestros cálculos son correctos, se mide la velocidad del balón al
llegar al suelo utilizando un muelle cuya constante elástica es llegar al suelo utilizando un muelle cuya constante elástica es K= 1,35 · 10K= 1,35 · 104 4
N/mN/m
y se observa que , como consecuencia del impacto del balón, el muelle sey se observa que , como consecuencia del impacto del balón, el muelle se
comprime 8 cm.comprime 8 cm.
d) ¿Cuál es el valor real de la velocidad del balón al llegar al suelo?d) ¿Cuál es el valor real de la velocidad del balón al llegar al suelo?
e) ¿ Qué ha ocurrido con la energía perdida ?e) ¿ Qué ha ocurrido con la energía perdida ?
f) Si en lugar de lanzar el balón hacia abajo lo lanzamos hacia arriba o f) Si en lugar de lanzar el balón hacia abajo lo lanzamos hacia arriba o formando un ángulo de 60º con la horizontal, ¿ cambiaría en algo la resolución formando un ángulo de 60º con la horizontal, ¿ cambiaría en algo la resolución del problema?del problema?
pE cE mE
22mv
cE mghpE ;
Recuerda que la energía cinética y la energía potencial gravitatoria las calculamos así:
Solución
Se trata de un problema que podemos resolver aplicando el principio de
conservación de la energía mecánica. Si suponemos que no hay rozamientos, la
energía mecánica total permanece constante, se conserva.
Si suponemos que no hay rozamiento, que no se produce fricción con el aire,
el balón conserva su energía mecánica a lo largo de la trayectoria.
a) En el punto de lanzamiento, disponemos de los siguientes datos, en unidades del SI:
m = 400 g = 0,4 Kg ; g = 9,8 m/s-2 ; h1 = 10 m ; v1 = 5 m/s -1
En el momento del lanzamiento, el balón posee energía cinética puesto que se mueve con una velocidad de 5m/s-1 y posee energía potencial gravitatoria al estar situado a una altura de 10 m sobre el suelo.
JsmkgmvcE 5
22)1/5·(4,0
2
21
1
JmsmkgmghpE 2,3910·2/8,9·4,0
11
JJJpEcEmE 2,442,39511
b) Dado que la energía mecánica se conserva, la energía mecánica en cualquier punto será siempre 44,2J.
La energía potencial gravitatoria a una altura de 2 m sobre el suelo es:
;
JmsmkgmghpE 8,72·2/8,9·4,022
En consecuencia la energía cinética del balón es ahora:
JJJpEmEcE 4,368,72,4422
c) Puesto que la energía mecánica permanece constante, su valor al llgar al suelo es 44,2J.Pero ahora, la altura es cero y, por lo tanto, la energía potencial es nula:
33pEcEmE ; 0
3pE ;
2
23
3
mvcEmE
2/22214,0
2,44·2223
smkg
Jm
mEv
1/87,142/22213
smsmv
15.- El campeón olímpico de halterofilia en la máxima categoría, el ruso Andrey Chemerkin, levantó en la modalidad de dos tiempos 260 kg, elevándolos hasta 2,30 m sobre el suelo.a.- ¿Qué potencia desarrolló el atleta si invirtió en el levantamiento un tiempo de 5 s?b.- Al dejar caer las pesas, ¿qué energía cinética tenían al llegar al suelo?
• Solución:
a) Como la energía potencial gravitatoria de las pesas en el suelo es cero, el trabajo mecánico realizado por el atleta es igual a la energía potencial gravitatoria de las pesas e el punto más alto:
JmkgNkgmghEEEwpfipfp
31 10·86,530,2·8,9·260
Como el levantador realiza este trabajo en 5 s, la potencia media desarrollada es:
J 1086,5p
c
EE
Ws
JP 3
3
1017,15
1086,5
b) Y, de acuerdo con el principio de conservación...
16) ¿Qué Altura máxima puede alcanzar una pelota de masa m lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 12 m/s-1?
Solución
En el suelo, la energía potencial gravitatoria de la pelota es cero. A medida que la pelota asciende aumenta su altura sobre el suelo, y por tanto, aumenta su energía potencial gravitatoria, pero disminuye en igual cuantía su energía cinética porque disminuye su velocidad. Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad es nula y toda su energía cinética se ha transformado en energía potencial gravitatoria.
gv
hmghmvEE ifffpic 2
;21;
22
La altura alcanzada es independiente de la masa del cuerpo.
msm
smhf
3,7/8,9·2
)/12(2
21
17.- Un automóvil, cuya masa total es de 1,25 t, se desplaza con una velocidad de 108 km/h. Si como consecuencia de un choque cediera toda su energía a un peatón de 75 kg, ¿hasta qué altura podría elevarse?
Solución:
La velocidad del automóvil en unidades del SI es: smsmv /30
360010·108 3
La energía cinética del automóvil es:
JsmkgmvEc
52132 10·62,5)/30(·10·25,1·2
1
2
1
Si toda esta energía se transfiere al peatón y se convierte en energía potencial gravitatoria, la altura alcanzada se obtiene al igualar ambas energías:
7658,9·7510·62,5;
1
5
kgNkgJ
mgE
hmghEE cpc
No, no hay ningún error. Es necesario conducir con prudencia.
18) Desde una altura de 20m se lanza horizontalmente una pelota de 80 g de masa con una velocidad de 5 m s-1 ¿Qué velocidad tendrá cuando se encuentre a 4 m sobre el suelo?
Solución:Solución:Este problema puede resolverse aplicando el Este problema puede resolverse aplicando el principio de conservación de la energía mecánica. principio de conservación de la energía mecánica. En efecto, cuando la pelota desciende disminuye En efecto, cuando la pelota desciende disminuye su altura sobre el suelo y, por tanto, disminuye su su altura sobre el suelo y, por tanto, disminuye su energía potencial gravitatoria; pero aumenta su energía potencial gravitatoria; pero aumenta su velocidad y, en consecuencia, aumenta su energía velocidad y, en consecuencia, aumenta su energía cinética.cinética.
hi= 20 m
vi= 5 m s-1
hf = 4 m
vf
El aumento de la energía cinética de la pelota es igual a la disminución de su energía potencial gravitatoria. La energía mecánica total permanece constante:
fc
fp
ic
ipfi
EEEEEE ;
La energía inicial es:JsmkgmvE
ii
c1)·5·(10·80·
21
21 132
La energía potencial gravitatoria inicial es:
JmNKgkgmghEf
fp
1,34·8,9·10·80 13
La energía potencial gravitatoria final de la pelota es la siguiente
JmNKgkgmghEi
ip
7,1520·8,9·10·80 13
La energía cinética final de la pelota es:
2232 04,0·10·80·21
21
ffff
cvvkgmvE
De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final:
204,01,37,151f
vJJJ
121222 ·4,18)·(340;·34004,0
6,13 smsmvsmKgJv
ff
19) Un resorte de 62 cm de longitud, cuya constante elástica es 19) Un resorte de 62 cm de longitud, cuya constante elástica es k= 1,5·10k= 1,5·1044N/m , está situado verticalmente. Se comprime hasta que su N/m , está situado verticalmente. Se comprime hasta que su longitud es de 38 cm. Calcula:longitud es de 38 cm. Calcula:a)La energía potencial elástica que almacena el resorte comprimido.a)La energía potencial elástica que almacena el resorte comprimido.b) Si se coloca sobre el muelle comprimido un cuerpo de m=10Kg y se b) Si se coloca sobre el muelle comprimido un cuerpo de m=10Kg y se suelta el muelle, ¿qué altura sobre el suelo alcanza el cuerpo en el punto mas suelta el muelle, ¿qué altura sobre el suelo alcanza el cuerpo en el punto mas alto?alto?
a) Al comprimir el resorte se acorta una distancia x = 0,62m – 0,38m = 0,28m
La energía potencial elástica almacenada es:
JmmNkxEe
p432)24,0·(·10·5,1·
21
2214
2
h0=0,62m h1=0,38mh
b) La energía mecánica inicial es la suma de la energía potencial elástica
JmkgNkgmghEg
p2,3738,0··8,9·10 1
1
JJJEm
2,4692,37432
Toda esta energía se convierte en energía potencial gravitatoria del cuerpo cuando adquiere la altura h:
;mghEm m
kgkgJ
mgE
h m 8,48,9·102,469
1
20.- En el punto más elevado de un plano inclinado de 3 m de 20.- En el punto más elevado de un plano inclinado de 3 m de altura y 20 m de longitud (Fig. A) se sitúa un cuerpo de 10 kg altura y 20 m de longitud (Fig. A) se sitúa un cuerpo de 10 kg que se desliza a lo largo del plano. Calcula:que se desliza a lo largo del plano. Calcula:a) La velocidad del cuerpo al pie del plano.a) La velocidad del cuerpo al pie del plano.b) Si se mide esta velocidad siempre es menor que la b) Si se mide esta velocidad siempre es menor que la teóricamente prevista, siendo en este caso de 5,2 m steóricamente prevista, siendo en este caso de 5,2 m s-1-1. . ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento? ¿Qué valor tiene la ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento? ¿Qué valor tiene la fuerza de rozamiento?fuerza de rozamiento?
• Solución:Solución:a)a) De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, Si no De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, Si no
existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano, la energía potencial existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano, la energía potencial gravitatoria del cuerpo en el punto más alto del plano es igual a su energía gravitatoria del cuerpo en el punto más alto del plano es igual a su energía cinética en el punto más bajo, porque inicialmente el cuerpo está en reposo y cinética en el punto más bajo, porque inicialmente el cuerpo está en reposo y al final su energía potencial gravitatoria es cero:al final su energía potencial gravitatoria es cero:
smmsmv
ghvmvmgh
EEcfpt
/7,73·/8,9·2
2;2
2
2
b) La velocidad real es menor, en este caso 5, 2 m s-1, porque la fuerza de rozamiento, que siempre se opone al movimiento, realiza un trabajo negativo. Al considerar el trabajo de rozamiento, se cumple:
picfrcfrpiEEWEWE ;
La energía potencial gravitatoria es: JmkgNkgmghEpi
2943·8,9·10 1
La energía cinética en el punto más bajo es: JsmkgmvEcf
135)2,5(·10·21
21 212
Por tanto, el trabajo de rozamiento es: JJJEEWPicfr
159294135
Este trabajo se convierte en calor que se dispersa en el aire.
La fuerza de rozamiento se calcula teniendo en cuenta que el trabajo de rozamiento es igual a la fuerza de rozamiento por el desplazamiento:
Nm
Js
WFsFW r
rrr95,7
20159;·
21) Un cuerpo de masa m = 8 kg21) Un cuerpo de masa m = 8 kg inicia el deslizamientoinicia el deslizamiento por por un plano desde un punto situado a 5 m de altura sobre el un plano desde un punto situado a 5 m de altura sobre el suelo. Su energía cinética cuando llega al suelo es de 320 J.suelo. Su energía cinética cuando llega al suelo es de 320 J.a) ¿Se ha conservado su energía mecánica?a) ¿Se ha conservado su energía mecánica?b) ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento?b) ¿Cuánto vale el trabajo de rozamiento?
Solución:
a) Cuando se inicia el deslizamiento, la energía cinética del cuerpo es cero al ser nula la velocidad. Por consiguiente, en el instante inicial, la energía mecánica total es:
01
; 111
cEpEcEm
E
1
11mghpE
mE
Jmm sKgmE 392 5 · 2- 9,8 · 81
Em1 = 392 J
5 m
Wr = -72 J
Em2 = 320 J
Al llegar al suelo, la energía potencial es cero al ser la altura igual a cero. Por tanto, se cumple:
JpEcEmE 3202
cE ; 02
pE ; 222
En consecuencia, si la energía mecánica inicial es de 392 J y la final es de 320 J, se han transformado en calor: 392 J – 320 J = 72 J.
Debido a la existencia de rozamientos, la energía mecánica no se conserva.
b) El trabajo de rozamiento, que es un trabajo negativo, será:
JJJmEmErW 72 392 32012
22) Un cuerpo de 20 Kg resbala a lo largo de un plano 22) Un cuerpo de 20 Kg resbala a lo largo de un plano inclinado 30º sobre la horizontal. La longitud del plano es de inclinado 30º sobre la horizontal. La longitud del plano es de 10 m y el coeficiente de rozamiento 0,3. Calcula:10 m y el coeficiente de rozamiento 0,3. Calcula:a) El trabajo de rozamiento.a) El trabajo de rozamiento.b) la energía potencial gravitatoria del cuerpo cuando está b) la energía potencial gravitatoria del cuerpo cuando está situado en lo alto del plano.situado en lo alto del plano.c) La energía cinética y la velocidad del cuerpo al final del c) La energía cinética y la velocidad del cuerpo al final del plano.plano.
Solución:
a) La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de cuerpo, por lo que el trabajo de rozamiento es negativo:
cos mgNrF
50,9N30º cos · 2-s m 9,8 · Kg 20 · 0,3 rF
JNrW 509m 10 · 9,50
NFr
ptpn
P
o
b) Para calcular la energía potencial gravitatoria es necesario conocer la altura del plano:
m 530ºsen · m 10 h
J 980m 5 · 2-s m 9,8 · 20 KgmghpE
c) De acuerdo con el principio de conservación de la energía, teniendo en cuenta el trabajo de rozamiento, se cumple:
JJJrWpEcE 471 509 980
La velocidad del cuerpo al final del plano se obtiene a partir de su energía cinética:
1 8,620
471 · 2 ; /2 ; 2
2 sm Kg
JvmcEvmvcE
23) Un coche de 1,12t se mueve con una aceleración constante de 1,5 /s2 sobre una superficie horizontal en la que la fuerza de rozamiento tiene un valor constante de 220 N.¿Qué trabajo realiza el motor del coche al recorrer 400m?
Solución:
La fuerza total ejercida por el motor es la suma de la fuerza necesaria para producir una aceleración de 1,5 m/s2 más la dedicada a contrarrestar la fuerza de rozamiento:
NNsmkgFmaFmaamFr
323r
10·9,1220)·50,1·10·12,1( F-F ; ·
JmNsFW 53 10·6,7400·10·9,1·
El trabajo se obtiene multiplicando la fuerza por el desplazamiento:
24) Se lanza un cuerpo a lo largo de un plano horizontal con una velocidad inicial de 4m/s. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es . ¿Qué distancia recorre hasta pararse?
Solución:
Como el cuerpo se desplaza sobre una superficie horizontal, su energía potencial
gravitatoria permanece constante, no varía.
Toda la energía cinética del cuerpo se disipa en forma de trabajo de rozamiento:
2,0
mgssFmvErc
· W; 21
r2
msm
smg
mgsmvWErc
1,4/8,9·2,0·2
)/4(2vs ;
21 ;
2
222
25) Un resorte de constante elástica está unido a un cuerpo de masa , como indica la figura. Se comprime una longitud de 15cm y cuando el objeto vuelve a pasar por su posición inicial tiene una velocidad de 3,4m/s. ¿Cuánta energía se ha perdido en forma de calor por rozamiento?
Solución:
Como el desplazamiento se produce sobre una superficie horizontal, la energía potencial gravitatoria no varía.Al comprimir el resorte adquiere energía potencial elástica:
mNk /10·2,1 3
kgm 2
JmNmxkEe
5,13)15,0·(10·2,1·21·
21 2132
JmskgmvEc
6,11)4,3·(2·21
21 212
JJJEEWecr
9,15,136,11
Al pasar el objeto por la posición inicial posee energía cinética:
La energía perdida es la diferencia entre ambas energías:
