Embed Size (px)
Citation preview
1. (5 - 8) - [(3 - 6) - 9] - (5 - 7) = - 3 - [ - 3 - 9 ] - (- 2) = - 3 +12 + 2 = 11
2. 5(-3) - (4 + 8 - 9)2 + (-3 + 6)2 = -15 - 32 + 32 = -15
3. 6(-3) - 4·7 + 5(-2) - (6 + 3 -10 )3 = -18 -28 -10 - (-1)3 = - 56 - (-1) = - 56 +1 = - 55
4. (3 - 7) - [(1 - 7) - (3 - 35)] - (2 - 28) = - 4 - [- 6 - (-32)] - (-26)= - 4 - [- 6 + 32] + 26 =- 4 - 26 + 26 = -4
5. 52 - [12 : 4 + 3(-7)] - 8 = 25 - [3 - 21] - 8 = 25 - (-18) - 8 = 25 + 18 - 8 = 35
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. 6/11 = 0,5454…. Periódico puro.
5/6 = 0,8333…… Periódico mixto.
58/99 = 0,5858… Periódico puro.
122/990 = 0,1232323… periódico mixto.
1 58
38
38
3 18
− = =. Alos 38
le corresponden 6 euros, a le cor: rresponden 6 3 2 euros.
Luego, a le corresponden
: =
⋅ = =8 18
88
1 88 2 16 euros.⋅ =
1 314
1114
1114
11 114
− = =. A los 1114
le corresponden 33 m, a : le corresponden 33/11 3 m
Luego, a le corre
=
⋅ = =14 114
1414
1 ssponden 14 3 42 metros.⋅ =
34 36
3 364
27 2736
= = ⋅ =x x; , la fracción es
34
12
34
2 14
54
116
54
2 2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=: : : −− = −480
120
54
32
74
1021
1012
7084
56
56
106
53
:⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + = + = =
16
110
115
13
215
310
56
1915
+ + = + + =;
12
13
15
15 10 630
3130
27
35
56
11210
+ + = + + = + − =;
23
5 2 5 33
173
10 32
2 10 32
172
79
1 169
23
2 4+ = + ⋅ = − = ⋅ − = + = − = −; ; ; 33
56
45
25 2430
130
154
143
45 5612
1112
89
718
16 718
918
− = − = − = − = − − = − = =; ; 112
UNIDAD 1. NÚMEROS REALES
SOLUCIONARIOSOLUCIONARIO
310
16. x = 0,1818….100 x = 18,1818…, restando 100 x = 18,1818
x = 0,1818….99 x = 18 entonces x = 18/99 = 2/11
0,3636… = 4/110,15272727…. = 42/2750,363363… = 121/333
17. Escribe tres fracciones con denominadores 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16 y comprueba que conducen aun decimal exacto, cualquiera que sea el numerador.
18. x = 0,999….10 x = 9,999…, restando 10 x = 9,999..
x = 0,999….9 x = 9 entonces x = 9/9 = 1
1,999… = 23,1999…. = 16/50,099… = 1/10
19.0 2/3 1
-4/9 0 4/9 1
1 2 12/5 3
311
20.
21.
22. [-6, 2]
(4,∞ )
(-∞ , -1)
23.
, los extremos del intervalo son: 6 - 3 = 3 y 6 + 3 = 9
24.
, como
-2 0 4
x xx
x x≥ ≥
≥− ≥ → ≤ −
⎧⎨⎩
5 55
5 5, como
3
0 22 3
x − ≥1 3
-5 0 5
0 3 9
x − ≤6 3
x ≤ 1 -1 0 1
-1 0
0 4
-6 0 2
0 1 22 6
6
2
312
25. [ -6, 10] es el conjunto de números que cumplen que
[ -5, -1] es el conjunto de números que cumplen que
26. E = 1/ 3 - 0,33 =
27.
28. 23 · 30 = 8 · 1 = 8; (5 ·2)0 = 10 0 =1; a-3 · a4 = a-3+4 = a; (a-1)0 = a(-1) 0 = a0 = 1
29.
30.
31.
32. 0,36790000 = 3,679·10 -1; 0,000000 827 = 8,27·10-7; 1436,987 = 1,436987·103
33. 7,91 · 106 - 9,71 · 103 + 7,19 · 105 + 1,79 · 104 = (7,91 · 103 - 9,71 + 7,19 · 102 + + 1,79 · 10) · 103 = (7910 - 9,71 + 719 +17,9 ) · 103 = 8,637·106
34. Calculamos el número de segundos que tiene un año: 365 · 24 · 60 · 60 = 31 536 000 segundos.Ahora multiplicamos esta cantidad por 300 000 km/s:31 536 000 · 300 000 = 9,4608·1012 km.
35.
36. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 9 2 9 2 18
5 4 5 4 125 4 125 2
2 2 222
4 3 3 4 334 2
34
= = ⋅ = ⋅ =
= = ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ = ⋅
125 2 125 2 2 250 23
3 3 4 3 33( ) ;x x x a b a b
x − − ≤( )3 2
x − ≤2 8
5 1 5 1 5 0 0 0 81 3 3 64 2 2515 4 44 6 66= ⋅ = = = = = = =· ; ; ;
ab
bc
ac a
bbc
ac
ab c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ = ⋅
− −1 2 3
2
3
3
21 1
5 3 23 3 2
5 33
22 5 3 2 5
9 8572
4 2
3
4
1 3
22 3⋅ ⋅
⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
− −
−
−
−
−− −
4 12 4 1
14
4 4 16 4 12
14
112
11
22
4
2 4⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅ = ⋅ = ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
−−
; 66 16 1
32 4 32 164
12 25 5 53 1
: =
⋅ = ⋅ = ⋅ =− −;
E e E= − < − = = < = =2 1 41 1 42 1 41 0 012
0 011 41 0 007 0 7, , , , ; ,, , , %
13
33100
1300
13001
3
3300
1100 1− = = = = =e %
313
37.
38.
39.
40.
41.
20 4 5 4 5 2 5 99 3 11 24 8 3 8 3 2 3 81 3 33 3 3 3 3 3 3= ⋅ = ⋅ = = = = = =; ; · · ;
55
5 55 5
5 55 5 6
36 33 3
6 33 2 3
55
5 55 5
5 55 5
3
23
3 23
2323
2
=⋅
= = =⋅
= =
=⋅
= =
;
; xx33
3
23 3
33
26
2 26 2 2
2 2 2 26 2 24 2
6 2
=⋅
= =
+= −
+ −= −
−=
x xx x
x xx x
( )( )( )
( )( )
( −− = −
−= +
− += +
− = + = +
22 6 3 2
143 2
14 3 23 2 3 2
14 3 29 2
14 3 27 6 2 2
)
( )( )( )
( ) ( )
113 2
3 23 2 3 2
3 23 2 3 2
47 3
4 7 37 3 7 3
7 3
+= −
+ −= −
− = −
−= +
+ −= +
( )( )( )
( )( )
155
155 3 112
7112
7 16 4
305
6
305
6
6 305 36 6
3 4
2
= = = = =
= = ⋅ = = ⋅⋅
=
;
; ( )x xx x
xxx x
xx412 312 712⋅
=
2 18 36 6 3 9 27 35 3 5 3 5 3 5 3 2
8 3 7 8 3 7
3 3 3
2 2
⋅ = = ⋅ = =
+ − = − = − =
+ −
;( )( ) ( ) ( )( )( )) = − =64 63 1
8 18 98 2 3 2 7 2 2 2 3 2 7 2 2 245 180 20 3 5 6 5 2 5 7 5
2 27
3 2 2+ − = + ⋅ − ⋅ = + − = −
+ − = + − =
− 22 12 9 75 47 3+ =
1. a) log3 81 = log3 34 = 4 ; b) log3 243 = log3 35 = 5 ; c) log3 729 = log3 36 = 6
2. a) ; b)
c)
3. a) log 10 = 1; b) log 100 = log 102 = 2; c) log 1000 = log 103 = 3
4. a) log 0,1 = log 10-1 = -1; b) log 0,01 = log 10-2 = -2; c) log 0,001 = log 10-3 = -3
5. a) log (a·b) = log a + log b = 1,39794 + 1,77815 = 3,17609.b) log (a·b·c) = log a + log b + log c = 1,39794 + 1,77815 + 2,09691 = 5,273.
c)
d)
e) log a3 = 3 log a = 3· 1,39794 = 4,19384f) log (a2 · b5 · c3) = log a2 + log b5 + log c3 = 2 log a + 5 log b + 3 log c =
= 2· 1,39794 + 5· 1,77815 + 3· 2,09691 = 17,97736.
g)
6. Precio en la tienda A : PA = 765(1 - 0,25) = 765· 0,75 = 573,75 euros.Precio en la tienda B: PB = 742(1 - 0,20) = 742· 0,80 = 593,60 euros.Es más barato en la tienda A
7. Podemos calcular el índice total: 0,78· 1,16 = 0,9048.Aplicamos el índice a los precios y resulta:El de 35; 35· 0,9048 = 31,668 . 31,67 eurosEl de 56; 56· 0,9048 = 50,6688 . 50,67 eurosEl de 85; 85· 0,9048 = 76,908 . 76,91 euros
8. Se aplica la fórmula y se despeja el precio inicial: 256 = Pi· 0,85.
9. Se aplica la fórmula y se despeja el precio inicial: 53,20 = Pi· 0,75.
10. Se aplica la fórmula y se despeja el tiempo.20 = 4 000 · 0,06 · t ; 20 = 240 t ; años ; es decir, 1 mes .
11. Se aplica la fórmula; teniendo en cuanta que 8 meses son 8/12 años y se despeja el capital inicial.
400 0 1 812 400 0 1 2
33 400
0 2 6000= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =C C C, ; , ; , euros.
t = = =20240
224
112
Pi = =53 200 75 71,, euros
Pi = = ≈2560 85 3011176 30 12, , ,
log log( ) log log , ,a b a b a b4 354 3
54 3
54 1 39794 3 1 77815
5 2⋅ = = + = ⋅ + ⋅ =· ,,185242
log log log log , , , ,a bc a b c⋅ = + − = + − =1 39794 1 77815 2 09691 1 07918
log log , , ,ab a b= − = − = −log 1 39794 1 77815 0 38021
log , log log2 2 230 125 1
8 2 3= = = −−
log , log log2 2 220 25 1
4 2 2= = = −−log , log log2 2 210 5 1
2 2 1= = = −−
314
UNIDAD 2. MATEMÁTICA FINANCIERA
315
12. Se transformas los datos a los plazos indicados en el enunciado; 5% anual, son 5/2 = 2,5% semes-tral; el numero abono de intereses será 10 · 2 = 20 abonos; con estos datos se aplica la formula:C = 200 000 · (1 + 0,025)20 = 200 000 · (1,025)20 = 327 723,28 euros.
13. Se aplica la fórmula y se despeja C (capital inicial):100 000 = C (1 + 0,04)6 = C (1,04)6 = C · 1,2653319
14. Al rédito anual 9% le corresponde un rédito mensual 9/12 = 3/4 % = 0,0075 cada mes, el capitalse multiplica por 1,0075; por tanto, en un año se multiplicará por
1,007512 = 1,0938069 . 1 + 0,0938 = 1 + . Luego la T. A. E será 9,38%
15. 800; 800 · 0,25 = 200; 200 · 0,25 = 50; 50 · 0,25 = 12,5; 12,5 · 0,25 = 3,125, y así sucesivamente.La progresión será: 800, 200, 50, 12,5, 3,125,
16. a) El cociente 9/7 es distinto al cociente 3/1=3; por lo, que los números de esta serie no formanprogresión geométrica.
b) Los cocientes de un término al anterior es constante.
c) Los cocientes de un término al anterior valen 0,1.
d) Los cocientes de un término al anterior es constante.
17. Se aplica la fórmula;
18. La razón de la progresión será : .
El término a4 = a3 · r = 0,2· 5 = 1El término a8 = a1 · r 7 = 0,008 · 57 = 625.
19. Se aplica la fórmula:
La secuencia siguiente determina el capital final:1,07 8 1 1,07 1000 0,07 10977,989
El capital final será: 10 977,99 euros.20. Aplicamos la fórmula:
121 0 06 1 0 06 1
0 06 12 1 06 1 06 10 06 0 7A
A t t
=⋅ + ⋅ + −( )
= ⋅ −( , ) ( , ), ; , ( , )
, ; , 22 1 06 1 06 1
1 06 1 0 721 06 0 6792452 1 06 1 679245
= ⋅ −
− = = =
. ( , )
, ,, , ; , ,
t
t t 22 1 06 1 6792452; log , log , ;t =
xy - = H H ÷ =
CA r r
r
t
=+ + −⎡⎣ ⎤⎦ =
+ + −( )=
( ) ( ) ( , ) ( , ),
(1 1 1 1000 1 0 07 1 0 07 10 07
1000 18
,, )( , ),
07 1 07 10 07
8 −
0 040 008 5,, =
S a rr10
110 101
1200 0 01 1
0 01 1 202 0202= −− = −
− =( ) ( , ), ,
232
2923
22729
2 92 27
13= = = =
··
1412
1814
11618
1321
16
1632
12= = = = =
9 38100,
C = =1000001 2653319 79031 45, , euros
Aproximadamente, 9 años.
21. Se aplica la fórmula y se despeja t. ;
126,22 = 450· 1,08 (1,08t -1) ; 126,22 = 486 (1,08t - 1)
Se toman logaritmos y queda:
La siguiente secuencia calcula t :
1.08 126,22 486 1 2,99993
El tiempo será: t = 3 años
22. Se aplica la fórmula y se tiene en cuenta que se capitaliza por meses. Al 6 % anual le correspon-de 6/12 = 0,5 % mensual y se realizan 15 · 12 = 180 pagos.
23. Se aplica la fórmula ; se opera sobre esta ecuación para transfor-
marla en otra en la que se puedan tomar logaritmos.
Se toman logaritmos: t ln 1,06 = -ln 0,712; de donde
La siguiente secuencia calcula t: 1,06 10,712 5,8294789
Se toma como valor de t: 5,83 años, que corresponde a 5 años y 10 meses aproximadamente(0,83 = meses/12, meses = 0,83·12 = 9,96).
24. Se aplica la fórmula:
La secuencia siguiente determina la anualidad:
1.08 10 11 11 0,08 100000 14902.949
La anualidad que corresponde pagar es de 14 902,95 euros.Por el préstamo devolvemos: 149 029,2 euros.Intereses pagados: 149 029,2 - 100 000 = 49 029,2 euros.
xy = - = Min + = H H ÷ MR =
A = ⋅ ++ −
=100000 0 08 1 0 081 0 08 1
100000 0 08 1 010
10 · , ( , )
( , )· , · , 88
1 08 1
10
10, −
ln Min ln ± ÷ MR =
t = − ln ,ln ,
0 7121 06
2500 1 06 1 720 1 06 1 06 1 0 288 1 06
1 0 288 1 06
( , ) · , ; , , · ,
( , )· ,
t t t t
t
− = − =
− == = =1 0 7121 06 1 1 06 10 712; , · , ; , ,
t t
1 67924521 06 8 8995log ,
log , ,t = = años
2500 12000 0 06 1 061 06 1
=−
· , · ,,
t
t
C =⋅ + ⋅ + −( )
= ⋅ ⋅ −50 1 1 005 1 0 005 10 005
50 1 005 1 005 1180 180( , ) ( , )
,, ( , )
00 005 14613 64, ,≈ euros
log Min ÷ = + = log ÷ MR =
t tlog , log , ;log ,
log ,1 08 126 22486 1
126 22486 1
1 0= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
88
126 22486 1 08 1 126 22
486 1 1 08, , , ,= − → + =t t
1577 75450 1 0 08 1 0 08 1
0 08,( , ) ( , )
,=⋅ + ⋅ + −( )t
316
317
25. Se aplica la fórmula:
Por el piso se habrá pagado: 20 000 + 15 · 10431,25 = 176 468,75 euros.26. Se aplica la fórmula y se tiene en cuenta que los pagos son mensuales.
Por el coche se pagan: 24 · 617,66 = 14 823,78 euros.
27.
28.
29.
30. Tasa de variación
Significa que el
= − = −12980 1329012980 0 023,
ííndice bajó un 2,3%.
a) I19952003
17 828 8 0 618= =,
, , ó, multiplicado por 100, 61,8
ó, multiplicado por 100, 173,6I20021986
2514 4 1 736= =, ,
b) SSabemos que luegoI
II
I
20021980
19951980
19952000
198020
78 8=
=
,
0002000
1980
17 829
1
17 829
10 788
17 8 0 78829 0 484 48 8= = = ⋅ =
, ,
,
, , , ,
I
I
ó
220021980
20021995
19801995
2517 81
0 484
25 0 48417 8 0 6= = = ⋅ =
I
I,
,
,, , 779 67 9
0 788 29 0 78820001980
2000
1980 19801980
ó
I xx x x
,
, , ,c) Si = = = = 2290 788 36 8, ,= ,
es decir, el precio será 36,8 dólares el barrril.
a) II
I20072001
20072004
20012004
0 91
1 16
0 9 1 16 1 044 104= = = ⋅ =,
,
, , , ó ,, .
, , ; ,,
4
5 8 1 16 5 81 16 52004
2001
2004
2001 20012001b) I x
x x x= = = = = €kgg
kgI xx
x x20072004
2007
2004
200720075 8 0 9 0 9 5 8 5 22= = = = ⋅ =, , ; , , , €
años 2001 2002 2003 2004 2005 2006parados 1930,1 2049,6 2096,9 2113,7 2069,9 2039,4
It/2001 100 106,1 108,6 109,5 107.2 105,6It/2004 91,3 96,8 99,1 100 97,8 96,4
A =⋅ ++ −
=13520 0 0075 1 0 0075
1 0 0075 113520 0 0075 1 0024
24
, ( , )( , )
· , · , 7751 0075 1
617 6624
24,,
−≈ euros
A = ⋅ ++ −
= ⋅ ⋅100000 0 062 1 0 0621 0 062 1
100000 0 062 1 06215
15
1, ( , )( , )
, , 55
151 062 110431 25
,,
−≈ euros
1. a) Trinomio de grado tres; b) binomio de grado cuatro; c) monomio de grado cero.
2. Para x = 3; q(3) = 4· 33 - 7· 32 + 5 = 50
Para x = 2; q(2) = 4· 23 - 7· 22 + 5 = 9
Para x = -2; q(-2) = 4· (-2)3 - 7· (-2)2 + 5 = - 55
Para x = -1; q(-1) = 4· (-1)3 - 7· (-1)2 + 5 = - 6
3. 2p(x) + q(x) = 2(4x4 + 3x3 - 8x2 + 10x - 5) + (2x3 + 3x2 - 6x - 9) = 8x4 + (6x3 + 2x3) +
+ (-16x2 + 3x2) + (20x - 6x) + (- 10 -9) = 8x4 + 8x3 - 13x2 +14x - 19.
3p(x) - 2q(x) = 3(4x4 + 3x3 - 8x2 + 10x - 5 ) - 2(2x3 + 3x2 - 6x - 9) =12x4 + (9x3 - 4x3) +
+ (- 24x2 - 6x2) + (30x + 12x) + (-15 +18) = 12x4 + 5x3 - 30x2 + 42x +3.
4. a) 3x2(x3 - 4x -2) = 3x5 -12x3 - 6x2 ; b) 3x3(5x2 + 7x - 6) = 15x5 + 21x4 - 18x3;
c) 0,5x(4x3 + 6x + 16) = 2x4 + 3x2 + 8x.
5. a) 6x4 - 4x3 + 8x2 = 2x2(3x2 -2x + 4); b) 3x6 + 12x5 - 18x3 = 3x3(x3 + 4x2 - 6).
6. a) ( x2 + 5x + 2)(x + 3) = ( x2 + 5x + 2) x +( x2 + 5x + 2) 3 = x3 + 5x2 + 2x + 3x2 +
+ 15x + 6 = x3 + 8x2 + 17x + 6.
b) (x4 - 2x2 + 6x - 4)(x2 + 2x + 3) = (x4 - 2x2 + 6x - 4) x2 + (x4 - 2x2 + 6x - 4) 2x +
+ (x4 - 2x2 + 6x - 4) 3 = x6 -2x4 + 6x3 - 4x2 + 2x5 - 4x3 + 12x2 - 8x + 3x4 - 6x2 +
+ 18x - 12 = x6 +2x5 + x4 + 2x3 + 2x2 +10x -12.
c) (2x3 - 3x2 + 4)(x2 + 3) = (2x3 - 3x2 + 4) x2 + (2x3 - 3x2 + 4) 3 =
= 2x5 - 3x4 + 4x2 + 6x3 - 9x2 +12 = 2x5 - 3x4 + 6x3 - 5x2 + 12.
d) (4x4 + 5x2 + 3x)(x2 + 3x -6) = (4x4 + 5x2 + 3x) x2 + (4x4 + 5x2 + 3x) 3x +
+ (4x4 + 5x2 + 3x)(-6) = 4x6 + 5x4 + 3x3 + 12x5 + 15x3 + 9x2 - 24x4 - 30x2 - 18x =
= 4x6 + 12x5 - 19x4 + 18x3 - 21x2 - 18x.
7. a) (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 ; b) (3x - 2)2 = 9x2 - 12x + 4;c) (3x + 2 )( 3x - 2) = 9x2 - 4;d) (2x2 + x - 3)2 = (2x2 + x - 3) (2x2 + x - 3) = 4x4 + 4x3 - 11x2 - 6x + 9.
8. a) (36x4 - 16x3 + 8x2) : (4x2) = 9x2 - 4x + 2;
b) (24x5 - 12x3 + 18x) : (-3x) = - 8x4 + 4x2 - 6.
318
UNIDAD 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
319
9. El grado del cociente será 6 - 2 = 4. El grado del resto es menor que 2.
10. a) Cociente: 2x +1; resto: cero; b) cociente: 2x - 2; resto: cero.
11.x4 + 2 x2 + a x + b x2 - 3 x + 2
- x4 + 3 x3 - 2 x2 x2 + 3 x + 9 3 x3 + + a x + b
- 3 x3 + 9 x2 - 6 x9 x2 + (a - 6) x + b
- 9 x2 + 27 x - 18(a + 21) x + (b - 18) Resto
Queremos que el resto sea cero: ;
Solución: a = - 21 y b = 18
12. a) Cociente = 2; resto = 0; .
b) Cociente = 3; resto = 12;
c) Cociente = 4x - 14; resto = 50;
d) Cociente = 2x - 3; resto = - 9x+11;
e) Cociente = 2x2 - 12x + 40; resto = - 139x + 84;
f) Cociente = 2x3 + 4x2 + 12x + 24; resto = 47x + 12;
13.a) 2 x3 + 2 x2 + a x + b x2 - 3 x + 2
- 2 x3 + 6 x2 - 4 x 2 x + 8 8 x2 + (a - 4) x + b
- 8 x2 + 24 x - 16 (a + 20) x + ( b - 16)
2 4 122
2 4 12 24 47 122
5 3
23 2
2x x x
x xx x x x
x x+ − +
−= + + + + +
−
2 6 5 43 2
2 12 40 139 843 2
4 3
22
2x x x
x xx x x
x x− + +
+ −= − + + − +
+ −
6 17 5 83 4 1
2 3 9 113 4 1
3 2
2 2x x x
x xx x
x x− + +
− += − + − +
− +
4 2 83 4 14 50
32x xx
xx
− ++
= − ++
6 122 3 12
2x
x x+ = +
4 62 3 2x
x++
=
ab
+ =− =
⎧⎨⎩
21 018 0
Deseamos que el resto sea x + 7:
Solución: a = -19; b = 23.
b) 4 x3 + 2 x2 + a x + b x2 + 2x - 4- 4 x3 - 8 x2 + 16 x 4 x - 6
- 6 x2+ (a + 16) x + b 6 x2 + 12 x - 24
(a +28) x + ( b - 24)
Deseamos que el resto sea x + 7: Solución: a = - 27; b = 31.
14. a) Cociente: x2 + 5x -1. Resto: 8
b) Cociente: 2x2 + 4x + 4. Resto: 14
c) Cociente: 4x2 - 12x + 26. Resto: - 74
d) Cociente: x3 - 2x2 + x + 3. Resto: 1
15. Por el teorema del resto: a) El valor numérico para x = 1 es 8; b) El valor numérico para x = 2es 14; c) El valor numérico para x = -3 es -74; d) El valor numérico para x = -2 es 1.
16. a) 1 1 4 6 9
5 -1 8 Para el resto seguir la secuencia correspondiente y comprobar los resultados.
b) 14; c) -74; d) 1.
17. Se aplica la regla de Ruffini.
a)2 -8 9 m
3 6 -6 9
2 -2 3 m + 9 = Resto
Deseamos que el resto sea cero; m + 9 = 0; m = - 9
b)2 - 8 9 m
-2 - 4 20 - 582 - 10 29 m - 58 = Resto
Deseamos que el resto sea cero; m - 58 = 0; m = 58
Min H + = H MR - = H MR + =
ab
+ =− =
⎧⎨⎩
28 124 7
ab
+ =− =
⎧⎨⎩
20 116 7
320
321
18.1 - 7 2 4 a
-2 - 2 18 - 40 72 1 - 9 20 - 36 a + 72 = Resto
Deseamos que el resto sea 130; a + 72 = 130; a = 58
19. 3 0 - 6 b a
2 6 12 12 2b + 24 3 6 6 (b + 12) (2b + a +24) = Resto
3 0 - 6 b a-3 - 9 27 - 63 - 3b +189
3 - 9 21 (b - 63) (-3b + a + 189) = Resto
se imponen las condiciones que indica el enunciado.
; se resuelve al sistema: y se obtiene a = - 88 ; b = 32.
20. Seguir las secuencias:
1 1 0 3 2 9
1 -2 0 9 = p(1)
2 1 0 3 2 9
2 1 4 17 = p(2)-2 1 0 3 2 9
- 2 1 0 9 = p(2)
21. Se aplica Ruffini y el resto debe dar cero:
a) Cociente 5x2 + 2x + 3; resto 0.
b) Cociente 4x2 + 3x - 5; resto 0
c) Cociente x4 - x3 - 3x2 - 3x + 11; resto 0
d) Cociente 6x2 - 13x + 6; resto 0.
Min H + = H MR - = H MR + = H MR + =
Min H + = H MR - = H MR + = H MR + =
Min H + = H MR - = H MR + = H MR + =
a ba b
+ + =− + =
⎧⎨⎩
2 24 03 189 5
22. Un polinomio de tercer grado puede tener como máximo tres raíces.
Las posibles raíces enteras son
1 2 - 5 - 62 2 8 6
1 4 3 0 = resto
Una de las raíces es x = 2; las otras posibles se obtienen de la ecuación:
x2 + 4x + 3 = 0.
La soluciones de esta ecuación son x = - 1 y x = - 3.
23. El polinomio p(x) tiene por raíces x = 2, x = -3 y x = 4.
El polinomio q(x) tiene por raíces x = 3, x = 3,5 y x = 4,4.
24. a) Las raíces enteras del polinomio se encuentran entre los divisores de 1; es decir, {±1}.
Se aplica Ruffini dividiendo por x -1 y se obtiene resto cero y cociente x2 - x +1, que no tieneraíces; por tanto, el polinomio propuesto tiene por raíz x = 1.
b) Las raíces enteras del polinomio se encuentran entre los divisores de 12; es decir, {±1, ±2,±3, ±4, ±6, ±12}.
Se aplica Ruffini dividiendo por x + 4 y se obtiene resto cero y cociente x2 - 2x + 3, que notiene raíces; por tanto el polinomio propuesto tiene por raíz x = - 4
25. Se aplica Ruffini.1 a - 5 b
3 3 3a + 9 9a + 121 a + 3 (3a + 4) ( 9a + 12 + b) = Resto
1 a - 5 b-1 -1 - a + 1 a + 4
1 a - 1 (- a - 4) (a + 4 + b) = Resto
Los restos deben ser cero por tanto: .
Las soluciones del sistema son: a = - 1 y b = - 3.
9 12 04 0
a ba b
+ + =+ + =
⎧⎨⎩
± ± ± ±{ }1 2 3 6, , ,
322
323
26. Se aplica Ruffini.a) x3 + 6x2 - x - 30 = (x - 2)(x + 3)(x + 5) b) x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x + 1)(x - 2)(x + 3)c) x3 + 5x2 +7x + 3 = (x + 1)2 (x + 3)d) x4 - 10x2 + 9 = (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 3)
27. Son igualdades notables:a) x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
b) x4 + 12x2 + 36 = (x2 + 6)2
c) x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)d) 9x2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5)
28. Se aplica Ruffini y la formula de la ecuación de segundo grado.a) 2x3 + 11x2 + 2x -15 = (x -1)(x + 5)(2x + 3)
b) 3x4 -18x2 +15x =
c) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3 )2
d) 25x2 - 4 = (5x + 2)(5x - 2)
29. Se descomponen en producto de factores los polinomios p(x) y q(x):p(x) = (x + 1)(x - 1) ; q(x) = (x - 1)2
M.C.D. [p(x),q(x)] = x - 1; M.C.M. [p(x), q(x)] = (x+1)(x-1)2
30. Se descomponen en producto de factores los polinomios p(x) y q(x):p(x) = x(x - 5)3 ; q(x) = x3(x + 1)(x - 5).M.C.D. [p(x),q(x)] = x(x - 5) ; M.C.M.[p(x), q(x)] = x3 (x - 5)3 (x + 1)
31. Se descomponen en producto de factores el numerador y el denominador.
a) ; b)
32. Se calcula el M. C. M. De los denominadores de cada una de las fracciones.
a) M.C.M. = (x - 1)(x - 2)(x - 3)x
x xx
x xx
x xx
x xx x−
− ++ −
− += −
− −+ −
− −= − −1
5 62
4 31
3 22
1 31
2 2 ( )( ) ( )( )( )( 11 2 2
1 2 32 1 4 4
1 22 2
) ( )( )( )( )( )
( )( )(
+ − −− − −
=
− + + − +− − −
x xx x x
x x x xx x x 33
2 6 56 11 6
2
3 2) = − +− + −x x
x x x
x xx x
x xx x
xx
2
24 3
21 31 2
32
+ +− −
= + ++ −
= +−
( )( )( )( )
x x xx x x
x x xx x
xx
3 2
3 2 24 6
7 16 121 2 3
2 312
+ + −+ + +
= − + ++ +
= −+
( )( )( )( ) ( )
3 1 1 212
1 212x x x x( )− − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b) M.C.M. = x3 - 1.
c) M.C.M. = (x - 1)2(x + 1)
d) M.C.M. = (x + 2)(x - 3)(x + 3)
33.
a)
b)
42 1
21
4 1 2 11 1
4 4 22 2 2
2
x xxx
x x xx x
x x x− +
+ +−
= + + + −− +
= + + + −( ) ( )( )( ) ( ) (xx x
x xx x− +
= + +− +1 1
5 21 12
2
2) ( ) ( ) ( )
xx x
xx
x x xx
x x xx
x xx
−+ +
−−
= − − −−
= − + −−
= − +21
21
2 1 21
2 2 21
4 22 3 3
2
3
2( )( )33 1−
35 6
26
3 3 2 32 3 3
3 92 2x x
xx x
x x xx x x
x x+ +
− −− −
= − − − ++ − +
= − −( ) ( )( )( )( )( )
22
3 2
2
3 26
2 9 182 3
2 9 18− +
+ − −= − + −
+ − −x
x x xx x
x x x
x xx x
xx
x xx x
xx
x xx
2
2
2
2
24 46
23
4 46
32
2 33
+ +− −
+−
= + +− −
⋅ −+
= + −−
: ( ) ( )( )(( )x +
=2
12
x xx
xx
x xx x x
xx
2
2
2 24 41
12
2 11 1 2
21
− +−
⋅ −+
= − −− + +
= −+
( ) ( )( )( )( )
( )( )(xx + 2)
324
325
1. a) Ecuación; b) identidad; c) ecuación; d) identidad.
2. a) 2·32 - 4·3 - 6 = 0; 0 = 0; si es solución; b) 32 + 3 - 6 = 0; 6 = 0, falso no es solución.
3. Ejemplos : 2x = 10 ; 3x - 2 = 13.
4. a) 5 + 4x + 5(1 + 3x) = - 4(3 - 2x); 5 + 4x + 5 +15x = -12 + 8x; 19x - 8x = -12 - 10;
11x = - 22 , x = -2.
b) 5x - 2(x - 1) + 5(2 + 3x) = 3(x - 1); 5x -2x + 2 +10 + 15x = 3x - 3;
5x - 2x + 15x - 3x = - 2 -10 - 3, 15x = -15 ; x = -1
c) 6(x - 10) = -3(2x - 7) - 34; 6x - 60 = - 6x + 21 -34; 6x + 6x = 21 -34 + 60;
12x = 47; x = 47/12
d) 8(6 + 2x) = 4(2 - 3x) - 72; 48 + 16x = 8 - 12x -72; 16x + 12x = 8 -72 - 48;
28x = -112; x = - 4
5. a) ; M C M = 8; 2x + 64 = 3x - 2; x = 66
b) ; M C M = 16; 40 -2x - 10x - 3 = 40 - 40x;
28x = 3 ; x = 3/28.
c) ; M C M = 6; 6x - 9 + 102 = 8x + 6 + x + 3; -3x = - 84; x = 28.
d) ; M C M = 24;
9x + 51 - 8 + 32x = 6 - 6x - 36 - 4x; 51x = - 73; x = -73/51
e) ; M C M = 6; 9x - 3 - 2x - 6 = 3x + 3; 4x = 12; x = 3
6. a) x - 3 = ± 8; x = 11, o x = - 5; b) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0; x + 5 = 0 ; x = - 5;
c) x2 + 2x - 15 = (x + 1)2 - 1 - 15 = 0; (x + 1)2 = 16; x + 1 = ± 4; x = 3, o x = -5.
d) x2 - 8x + 15 = (x - 4)2 - 16 + 15 = 0; (x - 4)2 = 1; x - 4 = ± 1; x = 5, o x = 3.
7. a) Soluciones x = 2 y x = 1; b) soluciones x = 4 y x = -7; c) soluciones x = 3/2 y
x =- 5; d) soluciones x = 1/3 y x = 1/4; e) soluciones x = 6 y x = -7.
8. a) ; M C M = 5x ; 20 - 2x2 - x = 5x; 2x2 + 6x - 20 = 0; 4 2 15 1
xx− + =
3 12
33
12
x x x− − + = +
3 178
1 43
14
96
x x x x+ − − = − − +
2 32 17 4 3
33
6x x x− + = + + +
208
10 316
10 104
− − + = −x x x
x x4 8 3 2
8+ = −
UNIDAD 4. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES
326
x2 + 3x - 10 = 0: soluciones x = 2 y x = -5.
b) ; M C M = (x + 2)(3x - 1); 2(3x-1) -1(x + 2) = 4;
5x = 8; x = 8/5.
9. Se calculan los puntos de corte con los ejes y el vértice y se construye una tabla de valores.
10. a) Soluciones: x = 6 y x = -2; (x - 6)(x + 2) = 0.
b) Soluciones; x = 5 y x = 1; 3(x - 5)(x - 1) = 0.
c) Soluciones x = -1 doble; 3(x + 1)2 = 0.
d) No tiene solución y por tanto no se factoriza.
11. a) x = 4 y x = 2; b) x = - 3 y x = 2; c) x = 5 y x = - 6; d) x = 7 y x = - 9.
12. a) x = 5 y x = - 5; b) x = 1 y x = - 1; c) x = 0; d) 2x2 - 3x = x(2x - 3) = 0; de donde, x = 0 yx = 3/2.
13. a) - 3x + x2 = x(- 3 + x) = 0; de donde, x = 0 y x = 3.b) - 5x = x2; x2 + 5x = x(x + 5) = 0; de donde, x = 0 y x = - 5.c) x2 + 10 = 19; x2 = 9; de donde, x = 3 y x = - 3.d) x2 + 3x = 17x; x2 -14x = 0; x(x - 14) = 0; de donde, x = 0 y x = 14.
14. a) x4 - x3 - 6x2 = 0; x2(x2 - x - 6) = 0; de donde ; las soluciones de estas ecua-
ciones son x = 0 ; x = 3 y x = - 2.b) x3 + 5x2 - x - 5 = 0; se aplica Ruffini para dividir por x +1 y se obtiene como cociente x2 + 4x
- 5, se resuelve la ecuación x2 + 4x - 5 = 0 y se obtienen las soluciones; x = 1; x = - 5,esta junto a x = -1 serán las soluciones de la ecuación propuesta.
c) 16x3 - 16x2 - 9x + 9 = 0; se aplica la misma técnica que para el ejercicio anterior y se obtie-nen las soluciones: x = 1; x = 3/4 y x = - 3/4.
d) x3 - x2 - 14x + 24 = 0; se resuelve como las dos anteriores las soluciones son: x = 3; x = 2 y x = - 4.
xx x
2
2
06 0
=− − =
⎧⎨⎪
⎩⎪
(0,78 , 0) (5,25 , 0)
+ (3 , 2,5)
(- 4,24 , 0) (5,40 , 0)
(2, 6)
22
13 1
42 3 1x x x x+
−−
=+ −( )( )
327
15. a) x4 - 16 = 0; x4 = 16;
b) 81x4 - x2 = 0; x2(81x2 -1) = 0; de donde, x = 0; x = 1/9 y x = -1/9.
c) 4x4 - x2 = 0; x2(4x2 - 1) = 0; de donde, x = 0; x = 1/2 y x = -1/2.
d) x4 - 9x2 = 0; x2(x2 - 9) = 0; de donde, x = 0; x = 3 y x = - 3.
16. En todas ellas se realiza el cambio de variable x2 = y, con lo que, x4 = y2 las ecuaciones dadas setransforman en las siguiente ecuaciones de segundo grado.
a) y2 - 5y + 4 = 0; soluciones y = 4 e y = 1; con lo que tenemos, x2 = 4 y x2 = 1; de donde,x = 2; x = -2; x = 1 y x = -1
b) y2 - 10y = - 9; soluciones y = 9, e y = 1; con lo que tenemos, x2 = 9 y x2 = 1; de donde, x = 3;x = - 3; x = 1 y x = - 1
c) y2 - 16y - 225 = 0; soluciones y = 25 e y = -9; con lo que tenemos, x2 = 25 y x2 = -9; de donde,x = 5 y x = - 5
d) 64y2 - 244y + 225 = 0; soluciones y = 9/4 e y = 25/16; con lo que tenemos, x2 = 9/4 yx2 = 25/16; de donde, x = 3/2 ; x = - 3/2; x = 5/4 y x = - 5/4.
17. a) ; se elevan al cuadrado los dos miembros x2 - 5 = x2 - 10x + 25; 10x = 30; x = 3.
La solución es válida: ; 2 +3 - 5 = 0.
b) ; se elevan al cuadrado los dos miembros
La solución es válida.
c) ; se elevan al cuadrado los dos miembros
elevando al cuadrado 7+ 8x + x2 = 16 ; x2 + 8x - 9 = 0; sus soluciones son x = 1 y x = - 9.La solución válida es x = 1
d)
18. Sea x la base del rectángulo.Área del rectángulo: (49 - x)x = 570Se opera: x2 - 49 x + 570 = 0Soluciones x = 30 y 19 El rectángulo mide 30 m de base y 19 de altura.
49 - x
x
x x x x x x
x x
+ + + − + = + + + = +
+ +
4 20 2 11 0 4 20 2 114
; ; se eleva al cuadrado++ + + + = + + + = +
+ + = +
20 2 4 20 4 44 2 4 20 2 20
24 80 102
x x x x x x
x x x
; ( )( ) ;
se eeleva al cuadrado, x + 24x + 80 = x + 20x + 100 ; 4x = 22 2 00; x = 5. Solución válida.
1 7 2 1 7 16 2 2 1 7 8 7 8 42+ + + + + + = + + + = + + =x x x x x x x x x; ( )( ) ;
1 7 16 2+ + + = +x x x
x x x x x x x− = + + − + + = + = + = =3 25 2 2 5 2 10 2 30 2 3 2 9 7· ; ; ; ;
x x x x− + + = − = − +3 2 5 3 5 2;
3 5 3 5 02 − + − =
x x x x2 25 5 0 5 5− + − = − = − +;
x = = ±16 24
328
19. Sea x los metros que se deben quitar a las dimensiones para obtener un triángulo rectángulo.Las dimensiones del nuevo triángulo serán 18 - x, 16 - x y 9 - x.Para que sea rectángulo se debe cumplir el teorema de Pitágoras:(18 - x )2 = (16 - x)2 + (9 - x)2
324 - 36x + x2 = 256 - 32x + x2 + 81 - 18x + x2; se simplifica y quedax2 - 14 x + 13 = 0Las soluciones de esta ecuación son x = 13 y x = 1. La solución válida es x = 1
20. Sea x el número.; se eleva al cuadrado los dos miembros
x = 17424 + x2 - 264x; x2 - 265x + 17424 = 0La soluciones son x = 144 y x = 121La solución valida es 121.
21. Sea x uno de los números; el otro será 62 - x.(62 - x)2 + x2 = 1954; 3844 + x2 - 124x + x2= 1954; 2x2 -124x + 954 = 0Las soluciones son x = 53 y x = 9; que son los número solicitados.
22. Sea x un cateto; el otro será 23 - x.
Área: ; x2 + 23x = 120; x2 + 23x - 120 = 0
Las soluciones son x = 15 cm y x = 8 cm, que son los catetos del triángulo.
23. Sea x el lado del primer cuadrado.
(x + 1)2 - x2 = 33; 2x = 32; x = 16. Los lados de los cuadrados serán 16 m y 17 m.
24. Sea x los corderos que tenía.
son los corderos que vende.
son los corderos que le quedan.
Solución x = 150 corderos tenía.
25. Sea x la longitud del trayecto
recorrido en la 1ª etapa. recorrido en la 2ª etapa
Solución: x = 40 kilómetros.x x x= + +35 10 12
35x 1
425 10⋅ =x x
25 50 40x x+ = −
x x x− =35
25
35x
x x( )232 60− =
x x x x+ = = −132 132;
329
26. Sea t el tiempo que tarda en la ida.
2 - t tardará en el regreso.
80t = 120(2 - t) ;
km en la ida Solución: 96·2 = 192 km podrá recorrer.
27. Sea t el tiempo que tardan en encontrarse.
480 = 100t + 140t; 480 = 240t; t = 2 horas
100 · 2 = 200 km de A Se encontraron a 200 km del A
28. Sea x la altura; la base será x + 6.Dimensiones del segundo triángulo: x + 10 la base y x - 2 la altura.(x - 2)(x + 10) = x(x + 6) + 8x2 + 8x - 20 = x2 + 6x + 8; 2x = 28;
x = 14 la altura y 14 + 6 = 20 la base.
29. Sea x un número, el otro será 24 - x.
(24 - x)x = 135; 24x - x2 = 135; x2 - 24x + 135 = 0
Las soluciones de la ecuación son x = 15 y x = 9 y estos son los números que pide el problema.
30. En la figura se indican las dimensiones del rectángulo.Área : x(12 - x) = 3512x - x2 = 35x2 -12x + 35 = 0La soluciones son: x = 7 y x = 5
31. a) b) c) d)
(2, 3)
(1, 5)(2, 3)
(1, 0)
x
12 - x
80 65 96⋅ =
t = 65 de hora
330
32. a) La tercera ecuación es la primera por menos uno, más la segunda; por lo que el sistema dado
es equivalente a:
b) La tercera ecuación es suma de la primera y la segunda; por lo que el sistema dado es equi-
valente a:
c) La tercera ecuación es la primera más la segunda por menos dos; por lo que el sistema dado
es equivalente a:
33. a) x = 3 e y = 5/2; b) x = - 3 e y = 1; c) x = 8 e y = 4; d) x = 1 e y = 1
34. a) x = 4 e y = 5; b) x = 2 e y = 1; c) x = 10/13 e y = - 63/13; d) x = 3 e y = -1.
35. Se quitan denominadores y a continuación se resuelven como los de las dos actividades anteriores.
a) ; solución: x = 12 e y = 15.
b) ; solución: x = 12 e y = 12
c) ; solución: x = 1 e y = 1
d) ; solución: x = 35 e y = 14
36. a) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la tercera ecuación tiene solución
única, por lo que el sistema es compatible determinado.
x y zy z
z
− + =+ =
− = −
⎧⎨⎪
⎩⎪
3 524 39
82 117
1 1 3 54 8 2 67 8 3 4
1 1 3 50 4 14 2
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
××
⇒−
1ª F 4+2ª F1ª F 7+3ª F
660 1 24 39
1 1 3 50 1 24 390 4 14 26
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−⎛
⎝
cambiar entre si 2ª y 3º F
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ×
⇒−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟2ª F (-4)+3ª F
1 1 3 50 1 24 390 0 82 117
3 3 7 76 24 13 52
4 10 06 13 28
x y x yx y
x yx y
+ = −+ = +
⎧⎨⎩
− =− =
⎧⎨⎩
;
4 3 13 5 8
x yx y
− =+ =
⎧⎨⎩
9 8 1215 8 84
x yx y− =− =
⎧⎨⎩
15 16 42010 9 255
x yx y
+ =+ =
⎧⎨⎩
4 52 4
x yx y
− =− = −
⎧⎨⎩
3 132 4 4
x yx y
− =+ =
⎧⎨⎩
− + =+ =
⎧⎨⎩
2 5 32 3
x yx y
331
b) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la tercera ecuación tiene infinitas
soluciones, el sistema es compatible incompatible.
c) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la tercera ecuación no tiene solu-
ción; por lo que el sistema es indeterminado.
d) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la segunda ecuación tiene infinitas
soluciones, por lo que el sistema es compatible indeterminado.
37. a) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la tercera ecuación tiene infinitas
soluciones, el sistema es compatible indeterminado.
x y zy z
z
+ + =+ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
2 01
0 0
1 2 1 01 1 0 1
0 1 1 1
1 2 1 00 1 1 10 1 1 1
− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞1ª F+2ª F
⎠⎠
⎟⎟⎟
⇒⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟2ª F+ 3ª F
1 2 1 00 1 1 10 0 0 0
x y zy z
− + =− =
⎧⎨⎩
15 6 3
1 1 1 12 3 4 5
1 1 1 10 5 6 3
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × ⇒
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟1ª F (-2)+3ª F
x y zy z
z
− + =− =
= −
⎧⎨⎪
⎩⎪
6 8 323 30 3
0 10
1 6 8 34 1 2 155 7 10 8
1−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
××
⇒−
1ª F (-4)+2ª F1ª F (-5)+3ª F
66 8 30 23 30 30 23 30 7
1 6 8 30 23 30 30 0 0 10
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒−
−−-2ª F+3ª F
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
x y zy z
z
+ − =− − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
2 46 0
0 0
2 4 5 81 1 2 44 2 9 16
1 1 2 42
− −−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒−
Cambiar entre si 1ª y 2ª F −− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒
−
4 5 84 2 9 16
1 1 2 40
1ª F×(-2)+2ª F1ª F×(-4)+3ª F
−− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒−
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
6 1 00 6 1 0
1 1 2 40 6 1 00 0 0 0-2ª F+3ª F
332
Se asigna a z un parámetro; z = λ ; y = 1 – λ ; x + 2 – 2λ + λ = 0 , x = –2 + λLa solución será: (x, y, z) = (–2 + λ, 1 – λ, λ)
b) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la tercera ecuación tiene una solu-
ción; el sistema es compatible determinado.
Solución, de la tercera ecuación ; –5y –3 = -8; –5y = –5; y = 1; en la primera
ecuación x + 4 –1 = 3; x = 0.
La solución se expresa así: (x, y, z) = (0, 1, –1)
c) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la tercera ecuación tiene solución
única, el sistema es compatible determinado.
La solución se expresa así:
38. Los sistemas lineales homogéneos siempre tienen solución es decir, son compatibles.
a) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
( )x y z, , ; ;= − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
125
35
15
Solución; de la tercera ecuación; ; ; ; ez y y= − − − = = −15
35 0 3
5 nn la primera ecuación,
x x x− − = = + =65
15 1 1 7
5125; ;
x y zy z
z
+ + =− + =
= −
⎧⎨⎪
⎩⎪
2 13 0
5 1
1 2 1 12 3 5 21 3 3 0
1 2 1 10 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
××
⇒ −1ª F (-2)+2ª F1ª F (-1)+3ª F
33 00 1 2 1
1 2 1 10 1 3 00 0 5 1−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒ −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟2ª F+ 3ª F
z =−
= −55 1
x y zy z
z
+ + =− + = −
− =
⎧⎨⎪
⎩⎪
4 35 3 8
5 5
− −−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒ −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟1 1 4 5
2 3 5 23 2 4 2
1 4 1 32 3 5 23 2 4 2
1ª F+2ª F
⎟⎟⎟
××
⇒
− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟
1ªF (-2)+2ª F1ª F (-3)+3ª F
1 4 1 30 5 3 80 10 1 11
⎟⎟⎟ ×
⇒ − −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟2ª F (-2)+3ª F
1 4 1 30 5 3 80 0 5 5
333
Esta es la matriz asociada al sistemas: ; la tercera solución tiene solución
única, el sistema es compatible determinado.Solución la trivial, esto es, (x, y, z) = (0, 0, 0).
b) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la tercera ecuación tiene infinitas
soluciones, el sistema es compatible indeterminado.Solución, z =λ ; –y –2λ= 0; y = –2λ; en la primera ecuación, x – 2λ – λ = 0; x = 3λ.La solución se expresa así: (x, y, z) = (3λ, –2λ, λ).
c) Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema: ; la segunda ecuación tiene dos
incógnitas , por tanto infinitas soluciones, el sistema es compatible, indeterminado.
.
La solución se expresa:
39. Sea x los objetos e y los que corresponden a las personas presentes al principio.
; 15y = 16(y -1)+ 11; y = 5 x = 15·5 = 75 objetos
Corresponde 4 objetos a cada persona y sobran 11.
x yx y
== − +
⎧⎨⎩
1516 1 11( )
( , , ) , ,x y z = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
λ λ λ272
Solución, se hace , ; z y y x= − = = = − + =λ λ λ λ λ λ, 4 14 0 144
72
72 3 00 2; x = λ .
x y zy z
− + =− =
⎧⎨⎩
3 04 14 0
1 1 3 03 1 5 0
1 1 3 00 4 14 0
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×
⇒−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟1ª F (-3)+2ª F
x y zy z
z
+ − =− − =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
02 0
0 0
1 1 1 03 2 5 02 1 4 0
1 1 1−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
××
⇒−
1ª F (-3)+2ª F1ª F (-2)+3ª F
000 1 2 00 1 2 0
1 1 1 00 1 2 00 0 0 0
− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒−
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2ª F- 3ª F ⎟⎟
x y zy z
z
+ + =− + =− =
⎧⎨⎪
⎩⎪
07 014 0
2 5 3 02 1 0 01 1 1 0
1 1 1 02 5 3 02 1 0 0
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒ −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
3ª F pasa a 1ª F ⎠⎠
⎟⎟⎟
××
⇒
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1ª F (-2)+2ª F1ª F (-2)+3ª F
1 1 1 00 7 1 00 3 2 0⎟⎟ × ×
⇒ −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟2ª F (-3)+3ª F 7
1 1 1 00 7 1 00 0 14 0
334
40.
41. En la figura se indican las dimensiones del campo.
;
x = 1200 - 2y; (1200 - 2y) y = 160000 ;
2y2 - 1200y + 160000 = 0
Las soluciones de la ecuación son y = 200 e y = 400. Las soluciones del problema serán
x = 800 m e y = 200 m o x = 400 e y = 400.
42. Sean A, B y C los tres números.
Se escribe la matriz asociada al sistema y se trata de escalonar.
Esta es la matriz asociada al sistema:
De la segunda ecuación B = 40; de la tercera C = 120 y de la primera A = 50.
43. Sea el número 100x + 10y + z; es decir, z unidades y decenas y x centenas.
Matriz asociada al sistema: ;1 1 1 181 2 1 01 0 1 2
1 1 1 180 3 0 180 1 2
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒1ª F+ 2ª F1ª F + 3ª F 220
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
x y z
y x z
z y x x y z
x y zx
+ + =
= +
+ + − − − =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒+ + =
− +
18
2100 10 100 10 198
1822 0
99 99 198
182 0
2y z
x z
x y zx y z
x z− =
− + =
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒
+ + =− + − =
− + =
⎧⎨⎪
⎩⎪
A B CB
B C
+ + =− = −+ =
⎧⎨⎪
⎩⎪
21040160
1 1 1 2102 1 2 3800 1 1 160
1 1 1 2100 1 0 400 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
× ⇒ − −1ª F (-2)+2ª F11 160
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A B CA C B
B C
A B CA B C
B
+ + =+ + =
+ =
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⇒+ + =+ + =
+
210
2 4 95
2 80
2102 2 380
CC =
⎧⎨⎪
⎩⎪ 160
x yxy
+ ==
⎧⎨⎩
2 1200160000
y
x
En una hora el primer grifo llenará del recipiente.
En u
127
nna hora el segundo grifo llena del recipiente.
Los dos
154
jjuntos en una hora llenan
Los dos grifos llen
127
154
354+ = .
aan 3 partes de las 54 en que se ha divido el recipiente;
ppor tanto horas serán las que tarden en llenarle. 543 18=
335
de esta matriz se pasa al sistema:
De la segunda ecuación: y = 6.Sustituir en la tercera; 6 + 2z = 20; 2z = 14; z = 7.Sustituir en la primera; x + 6 + 7 = 18; x = 5.El número es 567.
44. Sea x las fotos que realiza en calidad normal e y las que realiza en calidad óptima.
Esta es la matriz asociada al sistema:
a) Si 10A -2=0 ; A=0,20 el sistema es incompatible; para el sistema es compatible determinado.b) Si para A = 0,20.c) Si ocupó con 24 fotos, 9,2 megas, como el enunciado dice que A es fijo y el sistema es compa-
tible, determinado; por tanto, hizo el mismo número de fotos de los dos tipos las dos semanas.
45. Sean x, y, z las edades de los tres vecinos.
46. Con frecuencia un problema que se resuelve mediante el planteo de un sistema es más sencilloresolverlo mediante el planteo de una ecuación; este es uno de esos casos.
Sea x los kilómetros que recorre Juan; Pedro recorrerá 2x y Luis recorrerá
x x x x x x x x+ + = + + = = = =2 32 45 2 4 3 90 9 90 90
9 10; ; , kilómetros reecorre Juan;
20 km recorrerá Pedro. km recorrerá3 102 15⋅ = Luis.
2 34
32
x x⋅ = .
x y zx y
x z
y z
+ + =
=
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
54
2 3
2 4
; se despejan , en la segunnda y tercera ecuación. ;
Se sustituyen
y x z x x= = =32
42 2
estos valores en la primera ecuación. ; 2x + x x x+ + =32 2 54 33x + 4x = 108; 9x =108;
; ; z = 2.x y= = = = =1089 12 3 12
2362 18. 112 = 24. Las edades de los vecinos serán 12, 18 y 24 años..
x yA y
+ =− =
⎧⎨⎩
2410 2 44( )
1 1 242 10 92
1 1 240 10 2 44A A
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ × −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟1ª F (-2)+2ª F
x yx Ay
x yx Ay
+ =+ =
⎧⎨⎩
⇒+ =
+ =⎧⎨⎩
240 20 9 2
242 10 92, ,
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
⎧⎨⎪
⎩⎪
180 3 0 180 2 20
336
47. Sean x, y, z las partes P, Q, R que realizan Juana y Mercedes.
En la segunda ecuación; y = 5000 euros; se sustituye en la tercera ecuación,5000 – z = -5000; z = 10000 euros.Sustituir en la primera ecuación; x = 20000 –10000 – 5000; x = 5000 eurosP = 5000 euros ; Q = 5000 euros y z = 10000 euros.
48. Sean x, y, z las edades respectivas del mayor, mediano y menor de los tres hermanos.
a) De la segunda ecuación; y = 32 – 2z.
Se sustituye en la primera ecuación; x + 32 – 2z + z = 37; x = 5 + z
c) De las dos contradicciones anteriores se observa que la edad del menor debe cumplir: 5 < z < 12y ser entero, las edades se expresan en años.
Para encontrar la solución o soluciones vamos cerrando el intervalo en el que se puede mover z.
Si no es posible, por
Si
zy
x= ⇒
= − == + =
⎧⎨⎩
632 12 205 6 17
b) 1
no es posible, por
Si
zyx
= ⇒= − == + =
⎧⎨⎩
1132 22 105 11 16
b) 2
zzyx
= ⇒= − == + =
⎧⎨⎩
1032 20 125 10 15
esta solución menor 10, mediiano 12 y mayor 15 es posible.
Si zyx
= ⇒= − == + =
⎧932 18 145 9 14⎨⎨
⎩ ; esta solución admite el siguiente razonamiento: es viiable siempre
que el mediano y el mayor hubieran nacido el mismo año, por ejemplo el mayor en enero y medianoen noviiembre; siempre que la pregunta se realice en días posteriiores al cumpleaños del mediano.
b) 1. Si no es posible, pues enzy
x= ⇒
= − == + =
⎧⎨⎩
532 2 5 22
5 5 10.
ttonces el mediano tendría más
edad que el mayor.
22. Si no es posible, ya que enzyx
= ⇒= − == + =
⎧⎨⎩
1232 24 85 12 17
ttonces el mediano tendría menos
edad que el menorr.
x y zx y z
x y zx y z
+ + =+ + =
⎧⎨⎩ −
⇒+ + =+ + =
⎧⎨⎩
372 3 69 2 1
370 2 32
ª F ª F
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
⎧⎨⎪
⎩
200000 04 0 05 0 04 8500 05 0 06 0 04 950
, , ,, , , ;⎪⎪
××
⇒+ + =+ + =+ + =
⎧; F
F100 2100 3
200004 5 4 850005 6 4 95000
ªª
x y zx y zx y z
⎨⎨⎪
⎩⎪⇒ − ×
− ×
+ + =+ + =+ − = −
2 4 13 5 1
200000 0 50000 500
ª ªª ªF FF F
x y zx y zx y z 00
⎧⎨⎪
⎩⎪
337
49. Sea x, y, z los precios unitarios respectivos de los ingredientes A, B y C.
2 0 92 0 8
2 0 7
x y zx y zx y z
+ + =+ + =+ + =
⎧⎨⎪
⎩⎪
,,,
; se reordena el sistemaa, la primera ecuación pasa a tercera.
x y zx y z
+ + =+ + =
2 0 82 0
,,77
2 0 91 2 1 0 81 1 2 0
x y z+ + =
⎧⎨⎪
⎩⎪ ,,,
; matriz asociada al sistema.
772 1 1 0 9
1 2 1 0 80 1 1 0 10 3 1,
,,
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ×
⇒ − −− −
2ª F-1ª F3ª F- 2 1ª F −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒×
− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
0 7
1 2 1 0 80 1 1 0 10 0 4 0 4,
,,,3ª F-3 2ª F ⎟⎟
+ + =− + = −De esta matriz se pasa al sistema:
x y zx y z
2 0 80 0 1
0
,,
xx y z
z
+ − = −
⎧⎨⎪
⎩⎪
= −−
= =
0 4 0 40 44
440
110
,,De la tercera ecuación: ==
− + = − =
0 1
0 1 0 1 0 2
,
, , ; ,
euros.
En la segunda ecuación: eury y oos.En la tercera ecuación: euros.x x+ + = =0 4 0 1 0 8 0 3, , , ; ,
338
1. Dada la función f (x) = x2 – 5x + 6 averigua el valor de f (-3), f (0), f (7), f (-x).
2.
3.
4.
5.
El dominio de la función a la vista de la tabla queda Dom f = [- 4, 4].
6. Averigua el dominio de yf x xx x
g x xx
x x
( ) ( ) .= −+ −
= +−
+ −
2 16
11
6
2
2 == ⇒ = − ⇒ = − −
+−
≥ ⇒+ = ⇒ = −− = ⇒ =
⎧⎨⎩
0 3 2 3 2
11 0
1 0 11 0 1
x f R
xx
x xx x
, { , }.Dom
Divvidimos la recta real en 3 trozos y ( , ), ( , ), ( , )−∞ − − ∞1 1 1 1 cconstruimos la tabla de la que deducimos
que Dom [ ), g = −1 1, yya que existe , pero no 0 0 20= .
(-∞, -4) (-4, 4) (4, ∞ )
sgn (16 - x2) - + -
Halla el dominio de las funciones yf x xx
g x x( ) ( ) .= +−
= −53 16 2
ff x xx
x x f R
g x x x x
( )
( )
= +−
⇒ − = ⇒ = ⇒ = −
= − ⇒ − ≥ ⇒ −
53 3 0 3 3
16 16 0 162 2 2
Dom { }.
== ⇒ = ±−∞ − −
0 44 4 4
x .( , ), ( ,Partimos la recta real en 3 trozos )), ( , )4 ∞ y construimos la tabla
Dada la función calcula y x y y y x h y= + − − +2 20 7 4( ), ( ), ( ), (( ).
( ) ( ) ; ( ) ( ) ;
( ) ( )
4
7 7 20 69 4 4 20 36 62 2
2
+
− = − + = − = − + = =
+ = +
h
y y
y x h x h ++ = + + + + = + + =
= + + + = + +
20 2 20 4 4 20
16 8 20 36 8
2 2 2
2 2
x xh h y h h
h h h h
; ( ) ( )
.
Dada la función halla g x xx
g g g h g( ) ( ), ( ), ( ), (= +−
− +11 5 0 3 55
5 5 15 1
46
23 0 0 1
0 1 1 3 3 13
)
( ) ; ( ) ; ( )
.
g g g h hh
− = − +− −
= −−
= = +−
= − + = + ++ −−
= ++
= +−
= =
142
5 5 15 1
64
32
hh
g
;
( ) .
Calcula las imágenes de por la función − − = −
−
2 3 7 2, , ( ) .x h f x x
f 22 7 2 7 2 5 7 7 2
7
2 2 2 2( ) = − −( ) = − = − = − − = − − + ⇒
− = +
; ( ) ( ) ( )
( )
f x h x h x xh h
f x h 22 3 7 3 22 2 2xh x h f− − = − = −; ( ) .
f f f
f x x
( ) ; ( ) ; ( ) ;
( )
− = −( ) − ⋅ −( ) + = = = − ⋅ + =
− = −( )3 3 5 3 6 30 0 6 7 7 5 7 6 202 2
22 25 6 5 6− ⋅ − + = + +( ) .x x x
UNIDAD 5. FUNCIONES
(- ∞, -1) (-1, 1) (1, ∞)
sgn11
+−xx
−+
= − ++
= + +−
= −
339
7.
De ella deducimos que
8.
obteniendo pues no existe
f (-5) y sí existe f (3)(= 0).
Dividimos la recta real en 3 trozos y
construimos la tabla obteniendo
9. Representa la función dada por la tabla
x 0 100 200 300 400
y 150 400 550 350 200
10. Se tiene la siguiente tabla, en la que se relaciona el dinero invertido en publicidad y las ventas obte-nidas de un cierto producto (ambos en miles de €). Haz un gráfico. ¿Para qué gasto en publicidadse obtiene el mayor beneficio? ¿Interesaría aumentar el gasto en publicidad indefinidamente?
Publicidad (en miles de €) 5 10 15 20 25 30 35Ventas (en miles de €) 120 122 125 130 128 124 110
Y
X
100
500
Dom g = −∞ ∪ ∞( , ) ( , ).0 2
( , ), ( , ), ( , )−∞ ∞0 0 2 2
x x x x x2 22 0 2 0 0 2− > ⇒ − = ⇒ = , .
= −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
80
Dom ( ) [ )f = − ∞ − ∪ ∞, ,5 3
Averigua el dominio de y lnf x xx
g x x x
xx
( ) ( ) .= −+
= −( )−+
35 2
35
2
≥≥ ⇒− = ⇒ =+ = ⇒ = −
⎧⎨⎩
03 0 35 0 5
x xx x
Dividimos la recta real en 3 trozzos y construimos la tabla:( , ), ( , ), ( , )−∞ − − ∞5 5 3 3
2 5 0 52
52x x g R− = ⇒ = ⇒ = −{ }Dom
(-∞, -3) (-3, 4) (4, ∞ )sgn (x2 - x - 12) + - +
Dom f = −∞ − ∪ ∞( , ) ( , ).3 4
Calcula el dominio de ln yf x x x g xx
x x
( ) ( ) .= − −( ) =−
− −
2
2
12 12 5
112 0 12 0 3 42> ⇒ − − = ⇒ = −x x x , .Dividimos la recta real en 3 trozos y construimos la tabla:( , ), ( , ), ( , )−∞ − − ∞3 3 4 4
(- ∞, -5) (-5, 3) (3, ∞)
sgnxx
−+
35
−−
= + −+
= − ++
= +
(-∞, 0) (0, 2) (2,∞)sgn (x2 - 2x) + - +
Observaciones sobre el gráfico: las escalas hori-zontal y vertical son distintas, para que se puedaapreciar mejor, dado que existe una notable dife-rencia de escala entre el dinero invertido y elobtenido. Se pone esa especie de rayo para indi-car que hay un salto desde 0 hasta 110.
En el gráfico (y en la tabla) se observa que lasmayores ventas se producen para un gasto de20 000 € y que no interesa aumentar el gasto enpublicidad pues a partir de este gasto se produ-ce un descenso paulatino y cada vez más acen-tuado de las ventas.
11. Usando la fórmula y = a + b(x -- x1) para cada pareja de puntos, se obtiene:
Usando la fórmula para Microsoft Excel que aparece en el texto se obtiene:
El error relativo (en %) en la aproximación será .
12.
13.
xi yi x y INE
2000 40.499.790 2000 40.499.7902002 41.837.894 2001 41.160.7232006 44.708.964 2002 41.837.894
2003 42.531.3042004 43.240.952 43.197.6842005 43.966.8392006 44.708.9642007 45.467.3282008 46.241.930
En la tabla obtenemos que y P z P z<[ ] = <[ ]1 36 0 9131 1 37, , , == ⇒ < <
= + −−
0 9147 1 36 1 37
1 36 1 37 1 360 9147 0913
, , , .
, , ,, ,
k
kTenemos: 11 0 9142 0 9131 1 367⋅ −( ) ≈, , , .
a) y 2006 2 08 2006 20072005 2007 2 13 2006 2005
2007 200( ) = ⋅ −−
+ ⋅ −−
, , 55 2 115
2008 2 08 2008 20072005 2007
=
( ) = ⋅ −−
+
,
,
millones de .
€
b) y 22 13 2008 20052007 2005 2 155, ,⋅ −
−= millones de €.
E = − ⋅ ≈43240952 4319768443197684 100 0 1, %
yx si xx=
+ −( ) <
+ −( )40499790 669052 2000 200241837894 679895 2002
,, ssi x
x si x2002 2004
43197684 755640 2004 2004≤ <
+ −( ) ≥
⎧
⎨⎪
⎩⎪ ,
, con loo que las previsiones serán:
;y y2001 41168842 2003 4251( ) = ( ) = 77789 2005 43953324 2008 46220244; ;y y( ) = ( ) = .
Ventas (miles de €)
Publicidad(miles de €)
110
120
130
5 30
340
341
14.
b) Usando Microsoft Excel como en el 1er ejercicio, se obtiene:
El error relativo (en %) en la aproximación será
15. Halla las coordenadas del vértice y de los puntos de corte con los ejes coordenadas de la gráficade Represéntala.
No es necesario operar en el polinomio, pues sabemos que si x vale cero nosqueda el término independiente.
Obviamente la representación no es a escala, dada la diferencia entre los resul-tados. Fíjate que yv = - 20,25.
Vértice ⇒ = − = = − = − ⇒ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⇒
x ba
y ac ba
V
f OX
V V252
44
814
52
814
2, , .
∩ ff x x x x
f OY x f
( ) , , , , .( )
= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ −( ) ( )⇒ = ⇒ = − ⋅
0 5 14 0 2 7 2 0 7 00 0 0 5
2
2∩ 00 14 14 0 14− = − ⇒ −( ), .
f x x x( ) .= − −2 5 14
E = − ⋅ ≈4 81 4 884 88 100 1 43, ,
, , %.
xi yi x y Dato
2001 3,48 2000 3,372003 3,97 2001 3,482007 6,01 2002 3,68
2003 3,972004 4,352005 4,81 4,882006 5,372007 6,012008 6,74
a) 1 trozo ; y ; :er 2001 3 48 2003 3 97
2001
, ,
(
( ) ( )
= + −( ) ⇒y a b xy 22001 3 48
2003 2 3 970 245 3 48 0 245 20
) ,( ) ,
, , ,= == + =
⎫⎬⎭
⇒ = ⇒ = + −a
y a bb y x 001
2000 3 48 0 245 3 2352002 3 48 0 245 3 72
( )⎧⎨⎪
⎩⎪= − == − =
yy
( ) , , , .( ) , , , 55
2003 3 97 2005 4 88
200320
., ,
(2 trozo ; y ; :o ( ) ( )
= + −( ) ⇒y a b xy 003 3 97
2005 2 4 880 455 3 97 0 455 2
) ,( ) ,
, , ,= == + =
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
⇒ = ⇒ = + −a
y a bb y x 0003
2004 3 97 0 455 4 4252005 4 88 20
( )
= − =
( )y( ) , , , .
,3 trozo ; y er 007 6 01
20052005 4 882007 2 6 01
; :,( ) ,( ) ,
( )
= + −( ) ⇒= == + =
⎧y a b xy ay a b⎨⎨
⎩
⎫⎬⎭
⇒ = ⇒ = + −( )
= − =
b y x
y
0 565 4 88 0 565 2005
2006 4 88 0 565 5 44
, , ,
( ) , , , 552008 4 88 1 695 6 575
.( ) , , , .y = − =
342
16. Dibuja la función y = 3x - x2 averiguando las coordenadas de su vértice y los puntos de corte conlos ejes.
Vértice:
Si (0,0) es un punto de corte con un eje, también lo será con el otro eje.
17. La relación entre el precio de un cómic y el beneficio mensual viene dado por G(x) = - x2 + 6x + 6,40,siendo x el precio en € y G el beneficio en miles de €. Halla el precio para el que se obtiene el bene-ficio máximo y también dicho beneficio máximo.
Hemos de averiguar las coordenadas del vértice de la parábola:
Se obtiene el beneficio máximo
de 15 400 € cuando el precio del cómic es de 3 €.
18. Un estudio de mercado para el lanzamiento de teléfonos móviles ha obtenido que la función
demanda de dicho producto en función del precio x (en €) es y la fun-
ción oferta ¿A qué precio deben venderse los teléfonos móviles para que la deman-
da iguale a la oferta?Hay que averiguar el punto de corte de ambas funciones, es decir, hallar para qué valor de x se
verifica que D(x) = F(x)
Hay que vender los
teléfonos a 150 € para que se igualen demanda y oferta .
19. Averigua el dominio e indica hacia dónde se acerca la función cuando
Como es una función con denominador, resolvemos la ecuación. Así, esta función tendría una asíntota vertical de ecuación x = - 3.
Vemos que (mira el signo que aparece con x = -- 3,0001,
por ejemplo), (mira el signo que se obtiene con x = -2,9999, por ejemplo). Su
representación gráfica consistirá en desplazar 3 unidades hacia la izquierda .yx
= 1
13 3x x+
⎯ →⎯⎯ ∞→− +
13 0 1
3 3x xx x+⎯ →⎯⎯
+⎯ →⎯⎯ −∞→±∞ →− −,
Dom y R⇒ = − −3{ }x x+ = ⇒ = − ⇒3 0 3
x x→ − → −− +3 3, .y
x=
+1
3 x → ±∞,
11250 718
19
12 11250 22500 22500 1502 2 2 2= + ⇒ = ⇒ = ⇒ = =x x x x x .
⇒ − + = ⇒19 11250 7
182 2x x
F x x( ) .= 718
2
D x x( ) = − +19 112502
x ba
y ac baV V= − = −
−= = − = −
−= ⇒2
62 3 4
461 60
4 15 402
, , ,
x ba
y ac ba
V
f OX f x
V V= − = −−
= = − = −−
= ⇒ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⇒2
32
32
44
94
94
32
94
2, , .
( )∩ == ⇒ − = ⇒ = ⇒0 3 0 0 3 0 0 3 02x x x , ( , ), ( , ).
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4
9,
2
3V
3
343
20. ¿Cómo sería la gráfica de ?
Efectuando la división se obtiene que
. El 4 hace que la curva se desplace
4 unidades hacia arriba y el 3 del denominador que se des-place 3 unidades hacia la izquierda. El -17 hay interpretar-
lo de la función : el trozo del 1er cuadrante (x e y
positivos) pasa a estar en el 4º cuadrante (x positivo pero y nega-tivo) y el que estaba en el 3er cuadrante (x e y negativas) pasa aestar en el 2º (x negativa e y positiva). La asíntota vertical es larecta x = - 3 , pues y la asíntota
horizontal y = 4, pues
21. Indica el dominio, la ecuación de las asíntotas y el comportamiento de la función en
el entorno de su asíntota vertical, en
Efectuando la división se obtiene La asíntota
vertical es la recta de ecuación x = 2 y la horizontal es y = 1, ya que
22. Dada la función indica su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas así como su com-
portamiento en el entorno de su asíntota vertical.
Efectuando la división se obtiene . Hay que tener cuidado
porque el denominador es 5 - x y para poder hacer el estudio necesitamos que x sea positiva, asíque cambiamos el signo a la fracción.
Tenemos Asíntota horizontal y = - 4.
La asíntota vertical es x = 5 y se verifica (prueba con x = 4,999),
(prueba con x = 5,001).− −−
⎯ →⎯⎯ −∞→ +4 20
5 5x x
− −−
⎯ →⎯⎯ ∞→ −4 20
5 5x x
− −−
⎯ →⎯⎯ − ⇒→±∞4 205 4
x x
45 4 20
5 4 205
xx x x−
= − +−
= − −−
5 0 5 5− = ⇒ = ⇒ = −x x f RDom { }.
f x xx
( ) =−4
5
1 32
1 32
2
2
+−
⎯ →⎯⎯ −∞
+−
⎯
→
→
−
+
x
x
x
x
(prueba el signo con x = 1,999)
→→⎯⎯ ∞ (prueba con x = 2,001).
1 32 1+
−⎯ →⎯⎯→±∞x x .
xx x
x y R+−
= +−
− = ⇒ = −12 1 3
2 2 0 2. .Dom { }
y xx
= +−
12
∞ − ∞y .
y x→ → ±∞4 cuando .
y x→ ±∞ → −cuando 3
yx
= − 1
4 53 4 17
3x
x x−
+= −
+
y xx
= −+
4 53
4y =
3x −=
344
23. Representa las funciones |2x – 4| y |3x + 3|.Comparando |2x| con |x| vemos que la V es más pronunciada, ya que 2x crece más rápidamenteque x( tiene mayor pendiente). P. ej, para x = 2, |x| = 2 y |2x| = 4. Dado que 2x - 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒Hay un desplazamiento 2 unidades hacia la derecha de la función |2x|.Claramente se ve que |3x| es aún más pronunciada que |2x|, pues 3 > 2. P. ej, para x = 2 |3x| = 6.Como 3x + 3 = 0 ⇒ x = - 1 ⇒ Hay un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda de |3x| .
24. Representa las funciones y = I x I + 4, y = I x - 2 I - 5.Al sumar 4 al | x| lo que hacemos es subir la V cuatro unidades hacia arriba. El vértice pasa deestar en (0,0) a estar en (0,4).| x - 2| presenta un desplazamiento hacia la derecha de 2 unidades, pasando el vértice de (0,0) a(2,0). Al restar 5 a |x – 2|, bajamos el vértice 5 unidades, por lo que pasa a (2,-5):
25. En un aparcamiento por la primera hora o fracción nos cobran 1,20 €; el resto de horas nos cobrana 1,10 €, pagándose como máximo 8,90 € por tener el vehículo estacionado durante un día ente-ro. Representa la función que nos da el coste por hora en función de las horas aparcadas (sólo enun día). ¿Qué nombre reciben este tipo de funciones?Construimos la siguiente tabla:
Vemos que siemprepagaremos 1,20 € comomínimo y que a partir de8 horas pagamos elmáximo. También esfácil darse cuenta deque pagaremos lomismo por 1h 20minque por 1h 59min, por loque tendremos una fun-ción escalonada, con unescalón de 1,10.
Horas 1 2 3 4 5 6 7 8 o más
Precio 1,20 2,30 3,40 4,50 5,60 6,70 7,80 8,90
4|x| +
5|2x| −−
)5,2V −
)4,0(V
2 -1
|4x2| − |3x3| +
1,201,10
8,90
81
345
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. La primera operación es multiplicar por 5 y restárselo a 4:
La segunda operación es sacar la raíz cuadrada:
Comprobación f g x f g x f x x�( ) = ( ) = −( ) = −( ) ( ) .4 5 4 5
f x x( ) .=
g x x( ) .= −4 5
f g x f g x f x x x x x
g f x
�
�
( ) = ( ) = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − + = − + = =
( )
( ) ( ) .
(
2 22 22
3 3 23 2 2 2
)) ( ( )) .= = +( ) =+( ) −
= + − = =g f x g xx x x x3 2
3 2 23
3 2 23
33
2
f g x f g x f x x x x
g f x g f x g x
�
�
( ) = ( ) = −( ) = −( ) + = =
( ) = ( ) =
( ) ( ) .
( ) ( )
2 2 21 1 1
++( ) = +( ) − = + − =1 1 1 1 12
x x x.
f g x f g x f xx x
g f x g f x gx
� �( ) = ( ) = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= = ( ) = ( ) = ⎛⎝⎜
⎞( ) ( ) ; ( ) ( )21
2
2 1⎠⎠⎟
= =1
21
2x
x.
f g x f x x x g f x g f x g x� �( ) = −( ) = − −( ) = − ( ) = ( ) = −( ) =( ) ; ( ) ( )1 2 7 1 7 5 2 72 2 2
== − −( ) = − − +( ) = − + −1 2 7 1 4 28 49 3 28 492 2 2x x x x x .
f g xx
x x xx
x xx
f g xx
+( ) =+
+ = + ++
= + ++
−( ) =+
( ) ( )( ) ( ) ; ( )1
1 22 1
2 12
2 11
12
−− =
= − ++
= − −+
⋅( ) =+
⋅ =+
x
x xx
x xx
f g xx
x xx
2
2 12 1
22 1
11 2 2 1
2( )( ) ( ) ; ( ) ( ) ;; ( ) .f
gx x
x x x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + =+
11
2
22
f g xx x x
f g xx x x
f g xx x x
fg
+( ) = + = −( ) = − = − ⋅( ) = ⋅ =( ) ; ( ) ; ( ) .1 2 3 1 2 1 1 2 22
⎛⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =( ) .x x
x
1
212
f g x x x x f g x x x x
f g
+( ) = + + + = + −( ) = + − +( ) =
⋅
( ) , ( )3 8 3 4 11 3 8 3 22 2 2 2 2
(( ) = +( ) +( ) = + + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ++
⎛⎝⎜
⎞( ) ; ( )x x x x x fg
x xx
3 8 3 3 17 24 3 83
2 2 4 22
2 ⎠⎠⎟.
f g x x x x f g x x x x
f g x x
+( ) = + + − = + −( ) = + − − = − +
⋅( ) =
( ) ; ( ) ( ) .
( )
3 2 1 3 2 3 2 1 4
++( ) −( ) = + − ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= +−
3 2 1 2 5 3 32 1
2x x x fg
x xx
; ( ) .
UNIDAD 6. OPERACIONES CON FUNCIONES. FUNCIONES
TRASCENDENTES: EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y TRIGONOMÉTRICAS
346
10. Cambio
11.
12.
13.
igual que en el ejemplo 4 al tratarse de una raíz cuadrada con su doble signo.
14. Habrá que resolver la ecuación exponencial
De nuevo tenemos que recurrir a tomar logaritmos en ambos miembros para poder hallar tc:
La tasa de crecimiento es del3,73 % anual.
La función es
15. No necesitamos conocer la cantidad de carbono 14 presente inicialmente pues sabemos que la cantidadpresente actualmente es el 25 % de la inicial, es decir, C(t)=0,25 ·C0. Planteamos la ecuación
. Tomando logaritmos en ambos miembros (en estecaso neperianos por estar el número e) se tiene
de antigüedad tiene la figura.t = − = ≈ln años0 250 000121 11 456 98 11 457,, ,
ln , , ln , , ,,e t e tt− = ⇒ − ⋅ = ⇒ − =0 000121 0 25 0 000121 0 25 0 000121 0ln ln ln 225 ⇒
0 25 0 250 00 000121 0 000121, ,, ,C C e et t= ⋅ ⇒ =− −
P t P e et t t( ) , .ln , ,= ⋅ = ⋅ = ⋅⋅0
1 0373 0 03661 0373 100000 100000
log( ) , , ,,1 0 0159 1 10 1 0373 0 03730 0159+ = ⇒ + = = ⇒ = ⇒tc tc tc
log log log log log( ) log1 3 30 1 3 1 330
30+( ) = ⇒ ⋅ +( ) = ⇒ + = ⇒tc tc tc
3 1 1 30 030 30P P tc tc= +( ) ⇒ +( ) = .
Cambio x yy x
x y y y y x yx→
→⎧⎨⎩
⇒ = + − ⇒ + − − = ⇒ =− ± − − −
=
=
2 22
2 1 2 1 0 2 2 4 12
( )
−− ± + + = − ± + =− ± +
= − ± + =− ± +( )
=
= − ± +
2 4 42
2 8 42
2 4 22
2 2 22
2 1 22
1 2
x x x x x
x
( )
⇒⇒ = − + + = − − +− −h x x h x x11
211 2 1 2( ) ; ( ) . Aquí hemos de proceder
Cambio x yy x
x yy xy x y xy y x
→→
⎧⎨⎩
⇒ = −+ ⇒ + = − ⇒ − = − −4 3
7 5 7 5 4 3 7 4 5 3
sacanddo factor común y⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ − = − − ⇒ − = + ⇒ = + y x x y x x y x( ) ( )7 4 5 3 4 7 5 3 5 334 7
5 34 7
1
− ⇒ = +−
−
x f x xx( ) .
Cambio x yy x
x yy
xy x y xy y x
sacando factor c
→→
⎧⎨⎩
⇒ = +−
⇒ − = + ⇒ − = +11 1 1
oomún y y x x y xx
f x xx
f x⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ − = + ⇒ = +−
⇒ = +−
=−( ) ( ) ( ).1 1 11
11
1
x yy x
x y y x y x f x x→→
⎧⎨⎩
⇒ = + ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −−7 5 7 5 57
57
1( ) .
347
16. La primera pregunta se responde calculando P(0), y dado que e0 = 1 nos quedará
habitantes.
En la segunda hemos de hallar P(10) y no hay más que sustituir t por 10 en la fórmula y calcular,teniendo cuidado en efectuar las operaciones en el orden correcto. Uno válido puede ser elsiguiente:-0,06 10 4 1 250 000 78 241,22 habi-tantes. Fíjate que he calculado primero la exponencial, después multiplico por 4 y le sumo 1.Aprovecho la existencia de la tecla que me permite poner dividiendo el número que apareceen la pantalla de la calculadora, por lo que sólo queda multiplicar por el numerador de la fracción.Sólo aprieto la tecla cuando necesito que el cálculo completo aparezca en pantalla y la calcu-ladora no lo da directamente: es el caso de sumar 1 al cálculo de 4 por la exponencial y tambiénal darle la vuelta a dicho cálculo, ya que está dividiendo.
Calcular la población en torno a la cual se estabilizará se corresponde con estudiar lo que le pasa ala función cuando el tiempo se hace infinitamente grande. Según las propiedades de la función expo-nencial decreciente, ésta se anula cuando t tiende a infinito, por lo que el denominador quedará como1 + 4·0 = 1, y dividir el numerador por 1 es dejar el numerador como está. Por lo tanto, la poblaciónde esta ciudad tenderá a estabilizarse en torno a los 250 000 habitantes.
17. Para calcular los valores de la tabla usaremos la calculadora, siguiendo lo siguientes pasos: 1 - 0,05 x 4000
De la tabla, cuyos valores están redondeados a tres decimales, se desprende que la fun-ción se va a acercar a 4 000 y que nunca va a superar dicho valor. Además, vemos que la difer-encia en las ventas obtenidas emitiendo 200, 300, 400 ó 500 veces es escasísima: de 200 a300 van 189 € (recuerda que las ventas están en miles de €), muy pequeña en relación con loscasi 4000 millones de € en ventas que tenemos en ambos casos, y para que fuese másrentable emitir el anuncio 300 que 200 veces cada emisión debería costarnos menos de
€. Desde luego, la diferencia entre 300, 400 y 500 es aún menor, por lo que no esta-
ría justificado en ningún caso emitir más de 300 veces el anuncio.Fíjate lo rápido que la función se estabiliza en torno al valor 4 000 (para x = 400 el resultado es 3999,999992), que es el valor al que se acerca la función cuando x tiende a ∞, puesto que la fun-ción exponencial decreciente se acerca cero, por lo que la diferencia 1-- e--0,05x se acercará a 1, quemultiplicado por 4 000 nos da dicho valor.
189100 1 89= ,
x 0 10 100 200 300 400 500f (x) 0 1573,877 3973,048 3999,818 3999,999 4000 4000
− × SHIFT e x = × =
Pe e
( ) ,, ,10 250 0001 4
250 0001 4
250 0001 4 0 54880 06 10 0 6=
+ ⋅=
+ ⋅= + ⋅− ⋅ − 11
250 0001 2 19525
250 0003 19525
10 78 241
= + = ⇒
≈, ,
( )P habitantes.
=
1x
× = SHIFT e x × + = SHIFT 1x × =
P( )0 250 0001 4 1
250 0005 50 000= + ⋅ = =
348
18.
19. a) Tomamos ln en ambos miembros:
b) tomamos ln (o log) en ambos miembros:
Fíjate que ésta es la ecuación que encontramos para averiguar cuando
se duplica un capital puesto a un 3% de interés.
20.
21.
22.
23. a) La amplitud es ; el período será ; tiene un desplazamiento lateral que se obtiene
al resolver la ecuación . Luego está desplazada rad hacia la izquierda.
b) La amplitud es 1; el argumento se puede escribir , obteniendo para el
período ; el desplazamiento será x = - 1 de 1 rad hacia la izquierda.
c) La amplitud vale 4; el período vale ; el desplazamiento valdrá ,
es decir, rad a la derecha.
24. a)b)
sen arc sen rad tg arc
x xx x
= ⇒ = = == ⇒ =
0 1 0 1 0 1002 5 73924
, , , , º .ttg rad
ar
4 1 3258 75 9638
3 2 4 3 2 23
= =
+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
, , º .
cos cos cosc) x x x x cc cos rad23 0 8411 48 1897= =, , º .
78
T = =28 4π π 8 7 0 7
8x x− = ⇒ =
T = =215
10π π x + = ⇒15 0
x x x+ = + = +15 5
15
15
15
4 0 4x x+ = ⇒ = −π π π4
12 T = =2
4 2π π
Cambio sen sen senx yy x
x y y x y x→→
⎧⎨⎩
⇒ = − + ⇒ − = − ⇒ − = −5 1 5 1 15( ) ( ) ( )π π π ⇒⇒
⇒ − = − ⇒ = − + ⇒ = − +−y x y x f x arc sen xπ π πarc sen arc sen15
15
15
1( )
Cambio tomando ln en ambos miembros: x yy x
x e ey→→
⎧⎨⎩
⇒ = ⇒−2 4 ln yy x
y e x y x y x y xf x
2 4
2 2 2 11
4 4 4 4
−
−
= ⇒
⇒ −( ) = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = ± + ⇒
ln
ln ln ln ln ln( )) ln( ) ln
.= +
= − +
⎧⎨⎪
⎩⎪−
x
f x x
442
1
ln ( ) ln ( ) ; lnf x x f x x x y x y xx x= ( ) ⇒ = −( ) = +( ) ⇒ = +( )−ln ln ln2 1 2 3 5 3 51 2 2xx y x x⇒ = +( )ln ln2 3 5 .
t t= ⇒ ≈lnln
21 03 23 45, , .
ln , ln ln , ln1 03 2 1 03 2t t= ⇒ = ⇒
x = ± ≈ ±ln , .5 1 2686ln lne x e xx2
5 5 52 2= ⇒ = ⇒ = ⇒ln ln ln
Cambio sacando fx yy x
x ee
xe x e xe e xy
yy y y y→
→⎧⎨⎩
⇒ = +−
⇒ − = + ⇒ − = + ⇒11
1 1 aactor
común : Tomando ln en ambose x e x e xx
y y y−( ) = + ⇒ = +− ⇒1 1 1
1 miembros:
ln ln ln ln lne xx y e x
x y xx f xy = +
− ⇒ = +− ⇒ = +
− ⇒ =−11
11
11
1( ) lln xx
+−
11.
349
1. El único posible punto de discontinuidad es x = --2 , que es donde cambia de definición.Comprobamos si cumple las 3 condiciones exigidas:
En resumen, f es continua en R --{ --2}.
2. El posible punto de discontinuidad es x = 2. Comprobamos las condiciones:
Por lo tanto, f es continua en R --{2}.
3. a) no existe y(0). Como el denominador es cero
la función presentará un salto infinito: ; . Por ello, la fun-
ción y es continua en R --{0} y presenta una discontinuidad de salto infinito en x = 0.
b) no existe y( --4). Presentará un salto infini-
to en x = -- 4: Así, la función y es conti-
nua en R -- { -- 4} y presenta una discontinuidad de salto infinito en x = --4.
4. DENOMINADOR x x x x f
f
= ⇒ − − = ⇒ = − = ⇒ − =−( ) +
⇒
⇒ − = −
0 2 8 0 2 4 25 2 1
0
2 9
2 , ( )
( )
y
005 1
2 85 12 4
902
22
⇒ +− −
= ++( ) −( ) = − = −∞
→− →−+− −
lim lim (pruex x
xx x
xx x
bba con x = 2,01 ),
lim (pruebax
xx x→−
−+
++( ) −( ) = − = ∞
2
5 12 4
90
con 1,99).
lim
−
= ⋅ + = ⇒ ++( ) −( ) = = −∞
→−−
f xx xx
( )4 5 4 10
210
5 12 4
2104
((prueba con x = 3,99),
lim es x
xx x
f→
++
++( ) −( ) = = ∞
4
5 22 4
210
. ccontinua en presentado dos discontinuidades
inev
R − −{ , }2 4
iitables de salto infinito en y x x= − =2 4.
lim limx xx x→−
−→−
+− ++ = = −∞ + = = ∞4 4
14
10
14
10
; .
DENOMINADOR x x= ⇒ + = ⇒ = − ⇒0 4 0 4
limx x→∞ += = ∞3 3
0limx x→
−−= = −∞
0
3 30
DENOMINADOR x y= ⇒ = ⇒ = ⇒0 0 0 30( )
I. existe
II. lim lim
f f
f x xx x
( ) ( ).
( )
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
2
= ( ) − ⋅ + = ⇒
= −→ →−
xx f x xx x
x
+( ) = = − = = ⇒→ →
→
+2 2 1 1 0
2 2
2
; .
lim
lim ( ) lim ln( ) ln no existe
ff x x( ) ⇒ =no es continua en .2
I. existe
II. lim
f f
f xx
( ) ( ) .
(
− = −( ) − − + = + + = ⇒ −( )
→− −
2 2 2 1 4 2 1 7 22
2)) ; ( )= − +( ) = = −( ) = −( ) − = −
→− →− →−+lim lim lim
x x xx x f x x
2
2
2 21 7 3 3 3 2 3 9 ⇒⇒
⇒→−
no existe lim por lo que f no es continua en x
f x2
( ), = 2.x −
UNIDAD 7. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
350
5.
Factorizamos numerador (queda
(x + 1)(x -- 2)) y denominador (queda ) y calculamos el límite:
En x = --1, f presenta una discontinui-
dad evitable.
(prueba con 1,49),
(prueba con 1,51).
Por lo tanto f es continua en , presenta una discontinuidad evitable en x =--1 y una dis-
continuidad inevitable de salto infinito en .
6. Para que la función sea continua en x = 3 ha de verificar las 3 condiciones que se exigen:.
Factorizamos numerador (queda
(x --3)2) y denominador (queda 3(x --3)(x + 3)) por lo que el límite valdrá
7. Factorizamos numerador y denominador:
8. multiplicamos y dividimos por el conjugado
del denominador: lim limx x
x x
x x
x x→ →
−( ) + +( )+ −( ) + +( ) =
−( ) + +( )4 4
2 8 6 1 5
6 1 5 6 1 5
2 8 6 1 5
6xx +( ) −=
1 52 2
lim indeterminaciónx
xx→
−+ −
= ⋅ −⋅ + −
= ⇒4
2 86 1 5
2 4 86 4 1 5
00
lim limx x
x xx x
xx→ →
−( ) +( )−( ) +( )
= ++ =
2
2
2 2
2 32 1
31
53
lim indeterminaciónx
x x xx x→
− − +− +
= ⇒2
3 2
3 28 12
3 400
f f x kx
( ) ( )3 03
= ⇒ =→
lim
lim limx x
xx x
xx→ →
−( )−( ) +( ) = −
+( ) =3
2
3
33 3 3
33 3
0
Exist lim lim indeterminacióne f x x xxx x→ →
⇒ − +−
= ⇒3 3
2
26 9
3 2700( )
Existe f f k( ) ( )3 3⇒ =
x = 32
R −{ }32
limx
xx
→⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
++
−− =
−= −∞
32
22 3
12
0
f xx
x x
32
32 2
0
12
02
2 332
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ =
−⇒ −
− =→⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
→⎛⎝
−lim lim
⎜⎜ ⎞⎠⎟
−−
−= ∞
12
0
lim limx x
x xx x
xx→− →−
+( ) −( )−( ) +( ) = −
− = − −−( ) −
= −1 1
1 22 3 1
22 3
1 22 1 3
3−− =5
35 .
2 32 1 2 3 1x x x x−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+( ) = −( ) +( )
f ( ) ( ) ( )− = − − − − = + − = ⇒1 1 1 20
1 1 20
00
2
indeterminación
DENOMINADOR x x x y x= ⇒ − − = ⇒ = − =0 2 3 0 1 32
2 .
351
9. Multiplicamos numerador y denomina-
dor por el conjugado del numerador:
10. Factorizamos numera-
dor (queda (x -- 7)(x + 1)(x + 2)) y denominador (queda (x -- 7)(x + 7)) y el límite queda
.
11. Multiplicamos numerador y denomina-
dor por el conjugado del denominador
12. Factorizamos numerador
((x --3)(x2 + x + 1)) y denominador ((x --3)2(x + 1)) y el límite queda
13. a) .lim indeterminación limx x
x x x xx x
x→∞ →∞
+ − + −+ −
= ∞∞ ≈ −
−1
2 3 5
2 3 4
4
4
5515
154x x
= =→∞lim
= + +−( ) +( ) = + +
−( ) +( ) = ⇒→
limx
x xx x3
2 213 1
3 3 13 3 3 1
130
lim
lim
x
x
x xx x
x xx x
→−
→
−
+
+ +−( ) +( ) = = −∞
+ +−( ) +( ) =
3
2
3
2
13 1
130
13 1
130++ = ∞
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
limx
x x x
x x→
−( ) + +( )−( ) +( )
=3
2
2
3 1
3 1
limx
x x xx x x→
− − −− + +
= − ⋅ − ⋅ −− ⋅ + ⋅ +
=3
3 2
3 2
3 2
3 22 2 35 3 9
3 2 3 2 3 33 5 3 3 3 9
00 indeterminación ⇒
=+ +( ) =
+ +( ) = ⇒+ +( ) =
→ →
→ −
lim lim
lim
x x
xx
x x x x
x x0 2 0
03
3 9 33
3 9 330
33 9 3
330
33 9 3
300
−
→+
= −∞
+ +( ) = = ∞
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪ +
limx x x
lim limx x
x x
x x
x
x x→ →
+ −( ) + +( )+ +( ) =
+( ) −
+ +(0 2 0
2 2
2
3 9 3 3 9 3
3 9 3
3 9 3
3 9 3)) = + −+ +( ) =
→limx
xx x0 2
3 9 93 9 3
lim indeterminaciónx
xx→
+ − = ⋅ + − = ⇒0 2 2
3 9 3 3 0 9 30
00
lim limx x
x x xx x
x xx→ →
−( ) + +( )− + =
+( ) +( )+ =
+( )7 7
7 1 27 7
1 27
7 1 7)(( )( )
++( )+ = =
27 7
7214
367
lim indetermx
x x xx→
− − −−
= − ⋅ − ⋅ −−
=7
3 2
2
3 2
24 19 14
497 4 7 19 7 14
7 4900 iinación ⇒
= ++( ) + +( ) =
+ +=
− +=
→− →−lim lim
x x
xx x x1 1
11 5 2
15 2
15 1 2
14
lim limx x
x x
x x
x
x x→− →−
+ −( ) + +( )+( ) + +( ) =
+( ) −
+( ) +1 1
2 25 2 5 2
1 5 2
5 2
1 5 ++( ) = + −+( ) + +( ) =
→−25 4
1 5 21lim
x
xx x
lim indeterminaciónx
xx→−
+ −+ = − + −
− + = ⇒1
5 21
1 5 21 1
00
=−( ) + +( )
− =−( ) + +( )
−( ) =→ →
lim lim limx x x
x xx
x xx4 4
2 4 6 1 56 24
2 4 6 1 56 4 →→
+ + = + =4
6 1 53
5 53
103
x
352
b) .
14. Multiplicamos y dividimos por el
conjugado:
15. a) .
b) .
16. Multiplicamos y dividimos por
el conjugado quedando
.
17.
Asíntota vertical: Denominador = 0 ⇒ 4 --x = 0 ⇒ x = 4.
Comportamiento
Asíntota horizontal
Comportamiento
No tiene asíntota oblicua porque tiene asíntota horizontal.
y y xx x
x x y y
x xH
H− = −
− − = −− ⇒
−− > → ∞ ⇒ >
−− < → −∞
34 1 1
4
14 0
14 0
cuando
cuando ⇒⇒ <
⎧
⎨⎪
⎩⎪ y yH
lim limx x H
xx
xx y
→±∞ →±∞
−− ≈ −
− = ⇒ =34 1 1.
lim
lim
x
x
xxxx
→+
→−
−
+
−− = − = −∞
−− = − = ∞
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
4
4
34
10
34
10
y xx= −
− ⇒34
= +− + + − −
≈+
= + =→∞ →∞lim limx x
xx x x x
xx x
2 23 1 5 1
2 21 1 1
2 2 2 2
limx
x x x x
x x x x→∞
− +( ) − − −( )− + + − −
=2
22
2
2 2
3 1 5 1
3 1 5 1
lim indeterminaciónx
x x x x→∞
− + − − −( ) = ∞ − ∞ ⇒2 23 1 5 1
lim indeterminación limx x
x xx x
xx→∞ →∞
− + +− +
= ∞∞ ≈ −7 4 1
3 5 67
3
3
3
3
3 == − = −→∞limx
73
73
lim indeterminación limx x
x x xx x
x→−∞ →−∞
− + +− +
= ∞∞ ≈ −2 3 6
5 3 124 2
3
44
3525x
xx
= − = ∞→−∞lim
= −+ − + +
≈+
=+
= =→∞ →∞ →∞lim lim limx x x
xx x x
xx x
3 22 3 1 2 1
32 2
32 2
32 2
32 2 2 2
224 .
=+ −( ) − +( )
+ − + +=
+ − −→∞ →∞lim limx x
x x x
x x x
x x x2 3 1 2 1
2 3 1 2 1
2 3 1 222
2
2 2
2 22
2 2
1
2 3 1 2 1
+( )+ − + +
=x x x
limx
x x x x x x
x x x→∞
+ − − +( ) + − + +( )+ − + +
=2 3 1 2 1 2 3 1 2 1
2 3 1 2 1
2 2 2 2
2 2
lim indeterminaciónx
x x x→∞
+ − − +( ) = ∞ − ∞ ⇒2 3 1 2 12 2
lim lim limx x x
x x xx x
xx
x→−∞ →−∞ →−∞
− ++ −
≈ = = −∞5 4
2
5
2
33 62 6 3 2 2
353
18.
Asíntota vertical: Denominador = 0 ⇒ x = 0.
Comportamiento:
No tiene asíntota horizontal porque .
Buscamos si tiene asíntota oblicua:
Comportamiento .
19.
Asíntota vertical: Denominador = 0 no es un número real ⇒ No tieneasíntota vertical, pues el denominador no se anula para ningún valor real.
Asíntota horizontal .
Comportamiento y < yH .
20.
Asíntotas verticales: Denominador = 0 ⇒ x2 --16 = 0 ⇒ x = --4, x = 4.
f x xx
( ) =−
3
2 16
y y xx
x xx xH− = −
+− =
− − +( )+
= −+
< ⇒7 51
77 5 7 1
112
10
2
2
2 2
2 2
lim limx x H
xx
xx
y→±∞ →±∞
−+
≈ = ⇒ =7 51
7 7 72
2
2
2
⇒ + = ⇒ = ± −x x2 1 0 1
y xx
= −+
7 51
2
2
y y xx x x
x x y y
x x y yob
ob
ob
− = + − = ⇒> → ∞ ⇒ >
< → −∞ ⇒ <
⎧
⎨2 1 1
1 0
1 0
cuando
cuando
⎪⎪
⎩⎪
n f x mx xx x x x
xx x x= −( ) = + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + − =→±∞ →±∞ →±∞lim lim lim li( )
2 2 21 1 mmx obx y x
→±∞= ⇒ =1 0
m f xx
xxx
xx
xxx x x x
= =+
= + ≈ =→±∞ →±∞ →±∞ →±∞lim lim lim lim( ) ,
22
2
2
2
11 1
lim lim limx x x
xx
xx x
→±∞ →±∞ →±∞
+ ≈ = = ±∞2 21
lim
lim
x
x
xx
xx
→−
→+
−
+
+ = = −∞
+ = = ∞
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
0
2
0
2
1 10
1 10
y xx= +2 1
354
Comportamiento
No tiene asíntota horizontal porque .
Buscamos si tiene asíntota oblicua:
Comportamiento
⇒> → ∞ ⇒ >
< → −∞ ⇒ <
⎧
⎨⎪
⎩⎪
16 0
16 0
x x f y
x x f y
ob
ob
cuando
cuando
f x y xx
x xx
xx xob( ) − =
−− =
−≈ = ⇒
3
2 2 21616
1616 16
n f x mx xx
x xxx x x
= −( ) =−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
≈→±∞ →±∞ →±∞lim lim lim( )
3
2 21616
16llim
x obx
xy x
→±∞= ⇒ =16 02
m f xx
xx
xx
x xxxx x x x
= = − =−
≈→±∞ →±∞ →±∞ →±∞lim lim lim lim( )
3
2 3
3
3
316
16== 1
lim lim limx x x
xx
xx
x→±∞ →±∞ →±∞−
≈ = = ±∞3
2
3
216
lim
lim
lim
x
x
x
xx
xx
xx
→−+
→−−
→
−
+
−
−= − = −∞
−= − = ∞
4
3
2
4
3
2
4
3
2
1664
0
1664
0
−−= = −∞
−= = ∞
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
−
→++
16640
166404
3
2limx
xx
355
1. .
2.
3.
4.
5. Definición:
1er paso:
2º paso:
3er paso:
4º paso:
6. Definición:
1er paso:
2º paso:
3er paso:
4º paso:
7. Definición:
1er paso:
2º paso: f h f h( ) ( )− = + −0 5 1 1
f f h h( ) ; ( )0 5 0 1 1 5 1= ⋅ + = = +
f f h fh
f h fhh h
'( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 0
= + − = −→ →
lim lim
limh h f
→
−+ = −
⋅ = − ⇒ = −0
92 3 2
92 2
94 1 9
4( ) '( )
f h fh
hhh h
( ) ( ) ( )( )
1 19
2 3 2 92 3 2
+ − =
−+ = −
+
f h f hh
h hh
hh( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1 3 53 2
52
2 3 5 5 3 22 3 2
92 3 2+ − = +
+ − = + − ++ = −
+
f f hhh
hh( ) ; ( )1 3 1 2
3 1 152 1
3 1 23 1 1
3 53 2= ⋅ +
⋅ − = + =+( ) ++( ) −
= ++
f f h fhh
'( ) ( ) ( )1 1 10
= + −→
lim
lim limh h
f h fh h f
→ →
− + − − = −( ) = − ⇒ − = −0 0
2 2 5 5 2 5( ) ( ) '( )
f h fh
h hh h( ) ( ) ( )− + − − = − = −2 2 5 5
f h f h h h h h h( ) ( ) ( )− + − − = − + − = − = −2 2 5 9 9 5 52 2
f f h h h h h( ) ( ) ; ( )− = −( ) − − + = − + = − +( ) − − +( ) + = − +2 2 2 3 9 2 2 2 3 5 92 2 2
f f h fhh
'( ) ( ) ( )− = − + − −→
2 2 20
lim
f x x( ) = + ⇒ = [ ] = [ ]4 5 4 4TVM en -5,10 y TVM en 0,1 .
f x x f f( ) ( ) ; ( ) ( )= + ⇒ = ⋅ + = − = −( ) + = ⇒ = −− − =3 4 7 3 7 4 5 1 3 1 4 1 5 1
7 112TVM
f x xx f f( ) ( ) ; ( )= +
− ⇒ = ⋅ +⋅ − = − =
−( ) +−( ) −
= − ⇒2 32 3 2 2 2 3
2 2 3 7 12 1 32 1 3
15 TVVM =
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− − = =7 1
52 1
3653
125( )
f x x x f f( ) ( ) ; ( ) ( )= − ⇒ = − = − = −( ) − − = − + = ⇒ =3 3 31 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0TVM
UNIDAD 8. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
356
3er paso:
4º paso: Multiplicamos numerador y
denominador por el conjugado del numerador obteniendo
8. Definición:
1er paso:
2º paso:
3er paso:
4º paso:
9. a)
b)
10.
11.
12.
13. a)
b)
c) yx x
' = − ⋅+( )
= −+( )
5 22 3
102 32 2
y x x x x x x x xx x
xx
' ln ln ln ln= + ⋅ = + = + = +− − −15
1 15 5
1 55
45
15
45
45
45 45 45
y x x x ex' = + +( ) −8 8 1 52tg tg
a) b) c) y x x y t y t t t' ; ' ; ' .= + − = − = − + +3 2 1 6 1 42 10 8 32 6 4
x x n x n x n xnx n x
n n nn
nn
nn
nnn( )′ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟′
= = = = =− − − −
− −
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1 11x
x nx nxn
n nn
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟′
= ( )′ = − = −− − −+
1 16
16
1
6
166
16
16 1 7
676
76xx x x
x x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟′
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟′
= − = − = − = −− − − −
1 6 66
6 77x
x xx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟′
= ( )′ = − = −− −
lim limh h
f h fh h f
→ →
− + − − = −+ = − = − ⇒ − = −
0 0
3 3 11
11 1 3 1( ) ( ) '( )
f h fh
hh
h h( ) ( )− + − − =
−+ = −
+3 3 1 1
1
f h f hh
hh
h( ) ( ) ( )− + − − = + − = − ++ = −
+3 3 11 1 1 1
1 1
f f h h h( ) ; ( )− = − + = − + = − + + = +3 13 4 1 3 1
3 41
1
f f h fhh
'( ) ( ) ( )− = − + − −→
3 3 30
lim
lim lim limh h h
hh h
hh h h→ → →
+ −+ +( ) =
+ +( ) =+ +
= +0 0 0
5 1 15 1 1
55 1 1
55 1 1
51 1 == ⇒ =5
2 0 52f '( )
lim lim indeterminaciónh h
f h fh
hh→ →
− = + − = ⇒0 0
0 5 1 1 00
( ) ( )
f h fh
hh
( ) ( )− = + −0 5 1 1
357
14. a)
b)
c)
15. a)
b)
c)
16. Ecuación
La recta tangente tiene por ecua-
ción
17. Ecuación
La recta tangente tiene
por ecuación
18. a)
b)
19. a)
b)
20. a)
b) f x x'( ) = −2
2 1
f x x f x x x x( ) '( )= +( ) ⇒ = +( ) ⋅ = +( ) = +( )−3 2 72 3 2 3 21
2 3 2 212 3 2
72
72 1 5
2 5
y x x x x' = +( ) ⋅ = ⋅ +( )3 5 2 6 52 2 2 2
f x x x x x'( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ − +( )⋅ = − ⋅ + ⋅ +6 2 3 5 3 5 3 36 3 5 3 5cos sen cos sen
yx x
' =−
=−
22 2 3
12 3
y t t t t t t' ( ) ( )= − + ⋅ −( ) = −( )⋅ − +cos cos5 3 2 10 3 10 3 5 3 22 2
y x y x x y− = − ⋅ − −( ) ⇒ − = − + ⇒ + + =1 2 1 1 2 1 2 1 0( ) ( )
x y f x x x f0 03 31 1 4 2 1 4 1 2 1 2= − = ⇒ = − ⇒ − = −( ) − −( ) = − ⇒, '( ) '( )
y y f x x x− = ⋅ −( )0 0 0'( )
y x x y− − = − − ⇒ + =( ) ( )5 5 1 5 0
x y f x x f0 01 5 2 7 1 2 1 7 5= = − ⇒ = − ⇒ = ⋅ − = − ⇒, '( ) '( )
y y f x x x− = ⋅ −( )0 0 0'( )
f x xx
xx
'( ) ( )= − ⋅ −
−( )=
−( )8 24
1642 2 2 2
f xx x x x x
xx x
x'( ) =
−( ) −( ) − −( )⋅
−( )= − +
−( )6 1 9 3 2
954 9
9
2 2
2 2
2
2 2
y xx x
xx
xx
xx x x
' =+( ) − ⋅
+( )=
+ −
+( )=
+( )=
+( )
12
1 12
1
12
12
12
1
12
11
2 12 2 2 22
yx x x x
xx
x' =
−( ) − ⋅
−( )= −
−( )2 4 2
48
4
2 2
2 2 2 2
f xx x x
xx
x
x
x'( ) =
+( ) − ⋅
+( )= −
+( )=
−( )+( )
6 1 6 2
16 6
1
6 1
1
2
2 2
2
2 2
2
2 2
f xx x x x x
xx x
x'( ) =
+( ) +( ) − + −( )⋅
+( )= − + +
+( )4 3 2 1 2 3 1 4
2 16 8 3
2 1
2 2
2 2
2
2 22
358
21. a)
b)
22. a)
b)
c)
23. a)
b)
24. a)
b)
25.
=−( ) −( ) − −( )
−( )= +
−( )=
+4 24 4 4 12
48 96
4
8 123 2 4 2
2 3
3
2 3
2x x x x x x
xx xx
x x(( )−( )x 2 3
4
yx x x x
xx xx
yx x x
' ''=−( ) − ⋅
−( )= −
−( )⇒ =
−( ) −3 4 2
412
4
4 24 42 2 3
2 2
4 2
2 2
3 2(( ) − −( )⋅ −( )⋅
−( )=
2 4 2 2
2 4
12 2 4 2
4
x x x x
x
y x x x x y x x' ''= − + = − + ⇒ = −44
37 2 3
7 2 3 67
3 23 2 2
f x x x f xx
f x xx x
( ) '( ) ''( ) ( )= + ⇒ = − ⇒ = − − ⋅ =4 1 4 4 2 82 4 3
=+( ) − +( ) − +⎡⎣ ⎤⎦
+( )= −
+( )=
−x x x x x
xx xx
x x2 2 3
2 4
3
2 3
24 2 4 16 4
42 24
4
2 12(( )+( )x 2 3
4
y x x xx
xx
yx x x x
' ''= + − ⋅+( )
= −+( )
⇒ =− +( ) − −( )⋅ +2
2 2
2
2 2
2 2 2 24 2
44
4
2 4 4 2 44 2
42 4
( ) ⋅
+( )=
x
x
=−( ) −( ) +⎡⎣ ⎤⎦
−( )= +
−( )9 14 9 56
942 126
9
2 2 2
2 4
2
2 3
x x x
xx
x
y xx
xx
yx x x x
' ( ) ''= − ⋅ −
−( )=
−( )⇒ =
−( ) − ⋅ −( ) −7 29
149
14 9 14 2 9 22 2 2 2
2 2 2 (( )−( )
=9 2 4
x
y x y x y x y xIV' ; '' ; ''' ;= = − = − =12 2
14 2
18 2
116 2cos sen cos sen
yx
x y x'( )
; '' ( )= −−
= − −( ) = − =− −25
2 5 4 522 3
= −−( )
= − =−( )
−125
48 5 4854
55x
y xx
IV; ( )
y e y e y e y ex x x IV x' ; '' ; ''' ;= = = =5 25 125 55 5 5 4 5
y
xx
xx
xx
xx x x x x
' ( ) ( )= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟′
−
=
−−( )
−
= −− = −
− = −3
23
2
62
32
63 2
22
22
2 −− 2x.
f x e x x ex x x x'( ) ( )= ⋅ +( ) = ++ +5 2 3 5 2 32 23 3
359
UNIDAD 9. APLICACIONES A LA DERIVADA
1. Creciente en (1, 5); decreciente en (5, 8); creciente en (8, 14).
2. Se trata de una parábola; se calcula el vértice:
Vértice: V = (2, 0)Se construye un cuadro de valores simétricos respecto del vértice y serepresenta la parábola.La función es decreciente en ( --∞, 2) y creciente en (2, ∞)
3. Se trata de una parábola de vértice (3, 0)La función es creciente en (--∞, 3) y decreciente en (3, ∞)
4. a) b) c)
a) Máximo (4,2); mínimo (0, --6).b) Máximo (--3, 3,5); mínimo (1, --4,5) y es relativo.c) Máximo (2,3); mínimo (5, ¾)
5. a) Máximo (7, 3); mínimo (0, 0)b) Máximo ( 10, 3,3) ; mínimo (7, 1).
6. a) Función derivada: f I(x) = 2xPuntos donde se anula la derivada: 2x = 0; solución x = 0. Cogiendo un punto arbitrario en (--∞, 0) y (0, ∞) y sustituyéndolos en f I(x) calculamos el signo de f I(x).La función es decreciente en (--∞, 0) y creciente en (0, ∞); por tanto en x = 0 presenta unmínimo en el punto (0, --4)
b) Función derivada: g I(x) = 3x2 – 14x + 6.Punto en los que se anula la derivada: 3x2 – 14x + 8 = 0; soluciones x = 2/3 y x = 4Se construye la tabla:
La función es creciente en (--∞, 2/3); decreciente en (2/3, 4) y creciente en (4, ∞).La función tiene un máximo en x = 2/3 y un mínimo en x = 4.Que se encuentran en los puntos: A(2/3, --13/27) y B(4, --19).
x y= = = − ⋅ + =42 2 2 4 2 4 02;
20
(2, 0)
-20
(3, 0)
x 2/3 4g I(x) + -- +g(x) creciente decreciente creciente
5
4
5
-6
-3
-5
3
54
2
-2
2 4
360
7. a) Función derivada: y’ = 2x – 2.Puntos donde se anula la derivada: 2x – 2 = 0; solución x = 1Se construye la tabla:
La función es decreciente en (– ∞ , 1); creciente en (1,∞ ); por tanto, el punto de abscisax = 1 es un mínimo de valor y = 4.
b) Función derivada y’ = 6x2 – 6x –12.Puntos donde se anula la derivada: 6x2 – 6x –12 = 0; soluciones x = 2 y x = --1.Se construye la tabla:
La función es creciente en (– ∞ , --1); decreciente en (--1, 2) y creciente en (2, ∞).La función tiene un máximo en x = --1 y un mínimo en x = 2.Que se encuentran en los puntos: A(--1, 11) y B(2, --16).
c) Función derivada y I = 3x2 –10x + 8Puntos donde se anula la derivada: 3x2 –10x + 8 = 0; soluciones x = 4 / 3 y x = 2.Se construye la tabla:
La función es creciente en (– ∞ , 4 / 3); decreciente en (4 / 3, 2) y creciente en (2, ∞).La función tiene un máximo en x = 4 / 3 y un mínimo en x = 2.Que se encuentran en los puntos: A (4 /3, 4 / 27) y B (2, 0).
d) Función derivada
La derivada no se anula; por lo que la función no tiene extremos relativos.Se construye la tabla:
La función es decreciente en (– ∞ , 1)∪ (1, ∞)
8. a) Función derivada yI = 3x2 – 6x – 9.Puntos donde se anula la derivada: 3x2 – 6x – 9 = 0; soluciones x = --1 y x = 3.Se construye la tabla:
La función es creciente en (– ∞, --1); decreciente en (--1, 3) y creciente en (3, ∞).La función tiene un máximo en x = --1 y un mínimo en x = 3.Que se encuentran en los puntos: A(--1, 10) y B(3, --22).
yx
'( )
= −−
11 2
x 1y’ -- +y decreciente creciente
x --1 2y’ + -- +y creciente decreciente creciente
x 4/3 2y I + -- +y creciente decreciente creciente
x 1y I -- --y decreciente decreciente
x --1 3y I + -- +y creciente decreciente creciente
361
b) Función derivada: y I = 4x3 – 4x.Puntos donde se anula la derivada: 4x3 – 4x = 0 ; soluciones x = 0, x = –1 y x = 1.Se construye la tabla:
La función es decreciente en (–∞ , –1); creciente en (–1, 0); decreciente en (0, 1) y crecien-te en (1, ∞).La función tiene un mínimo en x = –1, un máximo en x = 0 y un mínimo en x = 1.Que se encuentran en los puntos: A(–1, –1) y B(0, 0) y C(1, –1).
c) Función derivada: yI = 3x2 +1La derivada no se anula y es positiva para todo valor de x; por tanto, la función es crecientey no tiene extremos.
d) Función derivada:
Puntos donde se anula la derivada: – 4x = 0; solución x = 0.Se construye la tabla con los valores que anulan a la derivada y en los que la función no existe:
La función es creciente en (–∞ , –2); creciente en (–2, 0) y decreciente en (0, 2) y decrecien-te en (2,∞).La función tiene un máximo en x = 0.Que se encuentran en el punto: A(0, –1/2).
9. Función derivada: y I = –2x + 4.Valores que anulan la derivada: –2x + 4 = 0; solución x = 2.En este punto es máximo ya que yI I = –2 < 0El valor del máximo debe ser 8; por tanto 8 = – 22 + 4· 2 + a; a = 4.
10. Función derivada y I = 3x2 + 2ax + b.Para x = 2 se debe cumplir:a) La derivada se anula por ser mínimo: 0 = 3· 22 + 2· a· 2 + bb) Valer –15 para x = 2: –15 = 23 + a· 22 + b· 2 + 1
Se forma el sistema:
; solución a = 0 y b = –12
11. Sea x un número.El otro será 30 – x.El producto será: P = x(30 – x) = 30x – x2
Se desea que se máximo: P I = 30 – 2x; solución x = 15 un número; el otro será 30 – 15 = 15Derivada segunda: P II(x) = –2 < 0 (máximo)
4 124 2 24
a ba b
+ = −+ = −
⎧⎨⎩
y xx
= −−4
42 2( )
x -1 0 1y I – + – +y decreciente creciente decreciente creciente
x -2 0 2y I + + – –y creciente creciente decreciente decreciente
362
12. Sea x la base del rectángulo.La altura será 3000 – xLa superficie será: S = (3000 – x)x = 3000x – x2
Función derivada: S I = 3000 – 2x; se anula para 3000 – 2x = 0; x = 1500.Derivada segunda: S I = –2 < 0 se trata de un máximo cuando la base sea 1500 m y la altura3000 – 1500 = 1500 m.
13. Sea x un número; el otro será 50 – x.El enunciado nos indica : S = 2x2 + 3 (50 – x)2
Función derivada: S I = 4x + 6(50 – x)(–1); se anula para 4x + 6(50 – x)(–1) = 0; 4x – 300 + 6x = 0;10x = 300 ; x = 30 un número y el otro 50 – 30 = 20Derivada segunda: S I I = 4 + 6 = 10 > 0 con lo que la suma será mínima:
14. Sea x la anchura; 2x será la profundidad y h la altura .Las condiciones del problema indican que el cartón que se precisa dado que las bases gastandoble será: A = 2x2· 4 + 6xh.Como aparecen dos variables, la función relación nos la proporciona el volumen: 1000 = 2x2h;
La derivada pasa de negativa a positiva por lo que la función pasa de decreciente a creciente;luego se trata de un mínimo.
15. Función a maximizar: B(x) = - x2 + 10x – 21.Función derivada: B I(x) = -2x + 10; se anula para x = 5 eurosLa derivada segunda será: B I I = –2 < 0; se trata de un máximoB(5) = - 52 + 10· 5 – 21 = 4 miles; por tanto el beneficio máximo serán 4000 euros.
16. Si la base mide 0,50 m la altura será 1,50 – 0,50 = 1 m,El área será: A = 0,50· 1= 0,50 m2
La base se hace variable: por lo tanto, sea x la base la altura será 1,5 – x.El área será. A = x(1,5 – x) = 1,5x – x2.Función derivada: A I = 1,5 – 2x; la derivada se anula para 1,5 – 2x = 0; x = 0,75 m. la base y laaltura 1,5 – 0,75 = 0,75 m.La derivada segunda es A I I = -2 < 0 por lo tanto se trata de un máximo.
17. Función a maximizar: B(x) = -20 000 000 + 800 000x – 0,2x3
Función derivada: B I(x) = 800 000 – 0,6x2 ; la derivada se anula para,
La derivada primera pasa de positiva a negativa por lo que la función pasa de creciente a decre-ciente. Por tanto:a) Si la fábrica puede producir hasta 800 vehículos, el beneficio máximo se obtiene fabricando
todos.b) En al caso de poder producir hasta 1200 vehículos el beneficio máximo se obtiene fabricando
1155 vehículos.
x = =8000000 6 1154 70, ,
Función derivada: sea nula para, A xx
xx
' ;= − −16 3000 16 30002 22
3
3
0 5 122
5 12
= =; de donde cm
de ancho; cm de profundidad
x
y cm de altura.h = 10183
hx
A x xx
x x= → = + = +10002
8 6 10002
8 30002
22
2
363
18. a) Derivada primera y I = 2x, derivada segunda y II = 2 > 0 función convexa.b) Derivada primera y I = 3x2; derivada segunda, y II = 6x.
La derivada segunda es negativa en (–∞, 0); por tanto, la función es cóncava. En (0 , ∞) lafunción será convexa.
c) Derivada primera y I = 4x3; derivada segunda y II = 12x2 , la derivada segunda es positiva siem-pre luego la función es convexa.
d) Derivada primera y I = 5x4, derivada segunda y II = 20x3.La derivada segunda es negativa en (–∞, 0); por tanto, la función es cóncava.La derivada segunda es positiva en (0 , ∞); por tanto la función será convexa.
19. a) Derivada primera
La derivada segunda es positiva en (–∞, 0); por tanto, la función es convexa. La derivada segunda es negativa en (0 , ∞) , por tanto la función es cóncava.
b) Derivada primera
La derivada segunda es positiva en (–∞, ∞); por tanto la función es convexa.
c) Derivada primera
El dominio de la función es [0, ∞) y en este intervalo la derivada segunda es negativa, por loque la función es cóncava.
d) Derivada primera y I = 2x ln 2; la derivada segunda es y II = 2x (ln 2)2
La derivada segunda es positiva en (–∞, ∞); por tanto la función es convexa.
20. Derivada primera f I(x) = 4x3 – 6, derivada segunda f II(x) = 12x2
La derivada segunda se anula en x = 0; pero la derivada segunda es positiva para el resto de losvalores por tanto la función es convexa y no existen puntos de inflexión
21. Derivada primera y I = 4x3 –12x; derivada segunda y II = 12x2 –12.La función derivada se anula en: 12x2 –12 = 0; soluciones x1 = –1 y x2 = 1; estos serán los posiblespuntos de inflexión.
La función es convexa en (–∞ , –1) ∪ (1, ∞ )La función es cóncava en (–1, 1)La función presenta en x = –1 un punto de inflexión convexo-cóncavo. De pendiente y I = 4(–1)3 –12 (–1) = 8 y valor y = (–1)4 – 6(–1)2 = –5; I1= (–1,–5)La función presenta en x = 1 un punto de inflexión cóncavo-convexo. De pendiente y I = 4· 1 – 12· 1= –8 y valor y = 14 – 6· 1 = – 5 ; I2 = (1, –5).
22. a) Ramas del infinito
Derivada de la función: y I = –4 – 2x = –2(2 + x)y I = 0 – 4 – 2x = 0 x = –2La derivada es positiva en (–∞, –2) y negativa en (–2, ∞); por tantoel punto x = –2 es un máximo. De valor y = 2 – 4(–2) – (–2)2 = 6
x xx x x x
→−∞ →+∞− − = −∞ − − = −∞lim ( ) lim ( )2 4 2 42 2;
yx
yx
' ''= = −12
14 3
; derivada segunda .
yx
yx
' '' .= − =2 63 4; derivada segunda
yx
yx
' '' .= = −12
12 3; derivada segunda
x -1 0 1y I + – +y convexa cóncava convexa
-5
10
5
-5
-10
364
b) Ramas del infinito:
Derivada de la función: y I = 3x2 – 4Los posibles extremos son las soluciones de la ecuación: 3x2 – 4 = 0, es
decir,
Derivada segunda: y II = 6x.
Para la derivada segunda es negativa y por tanto
la función presenta un máximo de valor y ≈ 3,07
Para la derivada segunda es positiva y por tanto la
función presenta un mínimo de valor y ≈ – 3,07Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen alresolver la ecuación x3 – 4x = 0 ; como las soluciones sonentera se obtiene que la curva corta al eje de abscisas enx = –2; x = 0 y x = 2.Se representan estos datos y al unirlos se obtiene la gráfica.
c) Ramas del infinito:
Derivada de la función: y I = 3x2 - 6Los posibles extremos son las soluciones de la ecuación:
3x2 – 6 = 0; Derivada segunda: y II = 6x.
Para la derivada segunda es negativa y lafunción presenta un máximo de valor y ≈ 14,65
Para la derivada segunda es positiva y la funciónpresenta un mínimo de valor y ≈ 3,34.Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen alresolver la ecuación x3 – 6x + 9 = 0 ; la solución es x = –3Se representan estos datos y al unirlos se obtiene lagráfica.
d) Ramas del infinito:
Derivada de la función: y I = 4x3 + 6x2 = x2 (4x +6)Los posibles extremos son las soluciones de la ecuación: x2 (4x +6) = 0;
las soluciones son x = 0 y
Derivada segunda: y II = 12x2 + 12x.Los posibles puntos de inflexión son las soluciones de 12x2 + 12x = 0;es decir x = 0 y x = –1.Para x = 0 la derivada segunda es nula y por tanto no es extremo; para
x = −32
x xx x x x
→−∞ →+∞+ = +∞ + = ∞lim lim( ) ; ( )4 3 4 32 2
x = 2
x = ± 2 33 .
x = − 2
x = ± 2
x xx x x x
→−∞ →+∞− + = −∞ − + = ∞lim lim( ) ; ( )3 36 9 6 9
x xx x x x
→−∞ →+∞− = −∞ − = ∞lim lim( ) ; ( )3 34 4
x = 2 33
x = − 2 33
-5
(1,2, -3,07)
5
(-1,2, 3,07)
-10
(1,4, 3,3)
10
(-1,4, 14,6)
2
-2(-1,5, -1,7)
365
la derivada segunda es positiva y la función presenta un mínimo.
Los punto x = 0 y x = –1 son puntos de inflexión. Se representan estos datos y al unirlos seobtiene la gráfica.
23. a) Ramas del infinito:
Derivada de la función: y I = 3x2– 4xLos posibles extremos se encuentran entre las soluciones de 3x2 – 4x = 0 Soluciones x = 0 y x = 4 /3; x = 0 es un máximo y x = 4 /3 es un mínimo.Derivada segunda y II = 6x – 4
b) Ramas del infinito:
Derivada de la función: y I = 4x3 – 2x = 2x(2x2 – 1)Los posibles extremos se encuentran entre las soluciones de2x(2x2 – 1) = 0
Soluciones x = 0 y ; es un mínimo; x = 0
un máximo y un mínimo
Derivada segunda y II = 12x2 – 2
c) Ramas del infinito:
Derivada de la función: y I = –3x2 + 12x – 9 = – 3 (x2 – 4x + 3)Los posibles extremos se encuentran entre las soluciones de x2 – 4x + 3 = 0.Soluciones x = 1 y x = 3; x = 1 es un mínimo y x = 3 es un máximoDerivada segunda: y II = – 6x + 12
d) Ramas del infinito:
Derivada de la función: y I = 4x3 – 4x = 4x ( x2 – 1)Los posibles extremos se encuentran entre las solucionesde 4x ( x2 – 1) = 0.
Soluciones x = 0 y : x = –1 es un mínimo; x = 0 esun máximo y x = 1 es un mínimo. Derivada segunda: y II = 12x2 – 4
x = ±1
x xx x x x
→−∞ →+∞− = +∞ − = +∞lim lim( ) ; ( )4 2 4 22 2
x xx x x x x x
→−∞ →+∞− + − = +∞ − + − = −∞lim lim( ) ; ( )3 2 3 26 9 6 9
x = + 12
x = ± 12 x = − 1
2
x = −32
x xx x x x
→−∞ →+∞− = +∞ − = +∞lim lim( ) ; ( )4 2 4 2
x xx x x x
→−∞ →+∞− + = −∞ − + = ∞lim lim( ) ; ( )3 2 3 22 1 2 1
(1,3, -0,2)
(0, 1)
-2
2
1
-1
(-0,7, 0,2)
(0, 0)
(0,7, -0,2)
5
-5
(3, 0)
(1, -4)
-2
2
(1, -1)(-1, -1)
(0, 0)
366
1.
No tienen hijos el 30% de la familiasEl 30% + 32,5% = 62,5% tienen menos de dos hijos.
2. a)
b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de la tabla.
c) Calcula el porcentaje de alumnos que han contestado a menos de 50 preguntas correctamente.5% + 3% + 10% + 7% + 11,7% = 36,7%
3. Suponiendo que apruebe con 5, entonces la media ponderada será:
, despejando x = =3,71.
Tiene que sacar más de 3,7.
4. Media ponderada = 4,63 5 2 4 3 6 21 2 3 2
+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + =
5 8 0 3 0 70 3 0 7= ⋅ + ⋅
+, ,, ,
x 5 8 0 30 7
− ⋅ ,,
xi fi hi %0 12 0,3 301 13 0,325 32,52 8 0,2 203 4 0,1 104 1 0,025 2,55 2 1,05 5
40 1 100
Clases fi hi % Fi
[0, 10) 6 0,05 5 6[10, 20) 4 0,03 3 10[20, 30) 12 0,1 10 22[30, 40) 8 0,07 7 30[40, 50) 14 0,117 11,7 44[50, 60) 15 0,125 12,5 59[60, 70) 12 0,1 10 71[70, 80) 23 0,19 19,2 94[80, 90) 19 0,158 15,8 113
[90, 100) 7 0,058 5,8 120
25
20
15
10
5
0
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80, 90)
[90, 100)
UNIDAD 10. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS
367
5.
6. , Mo = 158, 165, 176, 184 es una distribución cuatrimodal,
tiene cuatro modas.
7. Construimos, en primer lugar, la tabla de distribución de frecuencias de la variable estadística dis-creta, agrupándola en clases
8. Completamos la tabla del enunciado
Media ponderada
5
= ⋅ + ⋅+ =
= ⋅ + ⋅
6 3 0 6 5 2 0 40 6 0 4 5 86
5 2 0 6 0 4
, , , ,, , ,
, , ,x00 6 0 4
5 3 120 4 4 7, , , ,, ,+ = − = despejando x
xx f
n Me
Mo Q
i i= = = +−
=
= + + =
∑ 74 125
10 10 70
5 2525 15 10 71 25
, , .
. , ,
70502
6 33
359 10 82 7= +
⋅ −=80
3 504 . ,
Clases xi fi Fi xi fi
55 - 59 57 3 3 17160 - 64 62 3 6 18665 - 69 67 5 11 33570 - 74 72 9 20 64875 - 79 77 6 26 46280 - 84 82 4 30 328
3fi = 30 3xi fi =2130
Clases xi fi Fi
60 - 69 64,5 25 2570 - 79 74,5 10 3580 - 89 84,5 9 4490 - 99 94,5 4 48
100 - 109 104,5 2 50
xx f
n Me
Mo
i i= = = = +−
⋅ =
= −−
∑ 23030 70
302 11
9 4
9 59 5
71, 71,7 ,
70 + ( ) ++ − ⋅−
⋅ =( )9 6 4304 6
5 41 = 72,2 , = 65 + 66,2Q
x Me= = + =174,1, 167 1762 171 5,
368
9. Completamos la tabla del enunciado que ahora corresponde a una variable estadística continua:
El recorrido intercuartílico = Q3 – Q1 = 9,97 – 8,13 = 1,84.
10. Construimos la tabla
Y de ella calculamos: 28,6, Me = 27,4, Mo = 27,13
11. Completamos la tabla
Y de ella calculamos los tres cuartiles
Q Q
Q
1 2
3
29174 01231 5
3 29
=−
⋅ = =
=⋅
20 + 22,9 , 25 + 26,8 ,
30 + 117
4 1841442 5
−⋅ = 33,9
Clases xi fi Fi
[20 - 25) 22,5 1231 1231[25 - 30) 27,5 610 1841[30 - 35) 32,5 442 2283[35 - 40) 37,5 336 2619[40 - 50) 45 173 2792[50 - 60) 55 95 2887[60 - 90) 75 30 2917
x =
Clases xi fi Fi
20 - 24 22,5 1 125 - 29 27,5 24 2530 - 34 32,5 4 2935 - 39 37,5 2 31
3fi = 31
xx f
n Me
Q
i i= = =−
⋅ =
=−
⋅
∑ 8,34 , 8 + 8,72
7 +
452 16
18 2
454 511 21 ==
⋅ −⋅ =8,13, = 8 + 9,97Q3
3 454 16
18 2
Clases fi xi Fi
[6 - 7) 5 6,5 5[7 - 8) 11 7,5 16[8 - 9) 18 8,5 34
[9 - 10) 8 9,5 42[10 - 11) 3 10,5 45
3fi = 45
369
12. Con calculadora es muy fácil obtener:s2 = 177,9s = 13,33
13. En el ejercicio 7 hemos calculado la media de esta distribución 71. Completamos la tabladel ejercicio 7 con las columnas
DM = 178 / 30 = 5,9 s2 = 54 s = 7,34
14. s2 = 9,21 s = 3,03
15. 927, 57 euros s2 = 132656,24 s = 364,22
16. 74,1 s2 = 135,84 s = 11,65
17. Equipo A : 179,47, s = 5,44, Vp = 5,44/179,47 · 100 = 3,03%
Equipo B : 178, s = 7,19, Vp = 7,19/178 · 100 = 4,03%
En el equipo A los datos están más concentrados alrededor de la media que en el equipo B.
18. Pesos: 61,2, s = 4,4, Vp = 4,4/61,2 · 100 = 7,18%
Alturas: 175,4, s = 4,49, Vp = 4,49/175,4 · 100 = 2,55%
Las alturas están más concentradas alrededor de la media que los pesos.
x =
x =
x =
x =
x =
x =
x =
x x x x fi i i− − ⋅ y .
Clases xi x xi− fi · fix xi−55 - 59 57 14 3 4260 - 64 62 9 3 2765 - 69 67 4 5 2070 - 74 72 1 9 975 - 79 77 6 6 3680 - 84 82 11 4 44
3fi = 30 3 · fi =178x xi−
370
1.
2.
3. La recta de regresión es y = --0,575 x + 42,649El tiempo estimado de coagulación para x = 30 y = – 0,575 · 30 + 42,649 = 25,399 segundos.
4. La ecuación de la recta de regresión es y = 0,83 x + 29,254
5. a) La recta regresión CV – Velocidad máxima es y = 0,393· x + 135,981Un automóvil de 110 CV se estima que puede alcanzar una velocidad máxima de y = 0,393· 110 +135,981 = 179,211 km/h
b) La recta regresión CV – Peso es y = 3,666· x + 970,391Un automóvil de 200 CV se estima que puede alcanzar un peso de:y = 3,666· 200 + 970,391 = 1703,591 kg.
6. a) La recta de regresión año olímpico – salto de altura es: y = 0,0084x – 14,35.Para la olimpíada de 1996 la estimación es y = 0,008· 1996 – 14,35 = 2,41 Para la olimpíada de 2000 la estimación es y = 0,008· 2000 – 14,35 = 2,45
b) La recta de regresión año olímpico-salto de longitud es: y = 0,0239x -- 38,84Para la olimpíada de 1996 la estimación es y = 0,023· 1996 – 38,84 = 8,86 Para la olimpíada de 2000 la estimación es y = 0,0239· 2000 – 38,84 = 8,96
50
40
30
20
10
0
tie
mp
o
0 10 20 30 40 50
temperatura
0 20 40 60 80 100
peso
190
185
180
175
170
altu
ra
UNIDAD 11. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS DOBLES
371
c) La recta de regresión año olímpico – lanzamiento de disco es: y = 0,3393x -- 606.18.Para la olimpíada de 1996 la estimación es y = 0,3393· 1996 – 606,18 = 71,06 Para la olimpíada de 2000 la estimación es y = 0,3393· 2000 – 606,18 = 72,42(Nota: conviene tomar la pendiente con tantas cifras decimales como cifras enteras tiene el valorde X sobre el que vamos a hacer la estimación, se evitan así sorpresas en el resultado).
7. La recta de regresión es y = --0,743x + 39,021Cuando x = 0, y = --0,743 · 0 + 39,021 = 39,021 grados latitud norteCuando x = --10, y = --0,743 · (--10) + 39,021 = 46,451 grados latitud norte
8. La recta de regresión es y = 0,9286x – 24,472 Cuando x = 100, y = 0,9286· 100 -- 24.47 = 68,39 metros
9. El coeficiente de correlación es = 0,952
10. El coeficiente de correlación es = 0,822
11. El coeficiente de correlación es = 0,913
12. Todas la correlaciones entre las marcas de algunas especialidades de 10 atletas de decathlon sonmuy débiles:
La correlación 100 m – 400 m, = 0,4301
La correlación salto longitud – salto altura, = – 0,1096
La correlación salto altura – disco, = 0,1882
rs
s sxy
x y= ⋅
rs
s sxy
x y= ⋅
rs
s sxy
x y= ⋅
rs
s sxy
x y= ⋅
rs
s sxy
x y= ⋅
rs
s sxy
x y= ⋅
372
1. A = { menor o igual que 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = EB = {múltiplo 7} = i.
2. A = {sumar 8} = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)}B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5) (5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,6)}
3. A = {5,6} y = {1,2,3,4}B = {3,6} y A1B = {6}.
4. A = {sumar 7} = {(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5),(1,6)}B = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) (1,6), (2,6),(3,6),(4,6),(5,6)}
tiene 36 - 6 = 30 elementos.
5. P(negra) = 5/11 = 0,45, P(gris) = 3/7 = 0,42. En el sombrero negro.
6. P(A) = 6/36 = 1/6, P( ) = 30/36. Si, porque 1/6 + 30/36 = 1.
7. P(A) = 4/6 = 2/3, P(B) = 3/6 = 1/2, P(A1B) = 2/6 =1/3,
P(AcB) = 5/6, P( )=1/3.
8. P(dos oros) = P({oro en la 1ª}1{oro en la 2ª}) = P({oro en la 1ª}) · P({oro en la 2ª condicionado aoro en la 1ª}) = 10/40 · 9/39 = 3/52P(dos oros) = P({oro en la 1ª}1{oro en la 2ª}) = P({oro en la 1ª}) · P({oro en la 2ª }) = 10/40 · 10/40== 1/16.
9.
10.
11.
12. Es una distribución B(6,1/4)
También podemos emplear el hecho .P X P X≥[ ] = − <[ ]3 1 3
P X P X P X P X P X≥[ ] = =[ ]+ =[ ]+ =[ ]+ =[ ] =
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ ⋅ +
3 3 4 5 663
0 25 0 7563 3, ,44
0 25 0 7565
0 25 0 7566
0 25 04 2 5 6⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ ⋅ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ ⋅ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ =, , , , , ,11694
x
px p x p
i
in n
0 1 2 318
38
38
18
0 18 1 3
8 2 38 3 1
8 1 51 1, ... , ,µ
σ
= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
== ⋅ − = + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =∑ x pi i2 2 2 2 2 20 1 3
8 2 38 3 1
8 1 5 0 87µ , ,
107
120108
45118
165⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = + =, , , 120 45 165.
64
6!4!(6 4)!
6!4! 2! 15,
62
6!2! 4! 15,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = − = ⋅ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠
72⎟⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =21
75
21, .
A
A
A
A
UNIDAD 12. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
373
13. Es una B(4;0,8), 0,9728.
14. Es una distribución B(4,1/2)
15. Es una distribución B(7,1/6)
16. Estamos ante una distribución B(10,1/3)
17. Se trata de una B(5,1/3) y calculamos
18. Es una B(4; 0,15) y calculamos
19. Se trata de una B(4, 2/3) y calculamos0,8889
20. Es una distribución B(5, ¼) y calculamos
21. Es una distribución B(10; 0,8) y queremos calcular:
22. Estamos ante una B(7; 0,45) y queremos calcular
23. Es una N(220, 35) y calculamos
= 0,2843.
24. Es una N(1280, 260) y calculamos
0,6217 · 365 = 223,812, truncando la parte decimal, 223 días.
0,2828· 365=103,22, es decir 103 días.
25. Es una N(28,8) y calculamos 0,4013 , 0,4013· 528 =211,88 .
26. Estamos ante un N(8,3) y calculamos:a) = 0,5 b) = 0,0039 c) = 0,1587P X >[ ]8 P X ≤[ ]0 P X <[ ]5
P X ≥[ ] =30
P X P Z P Z1100 1300 1100 1280260
1300 1280260 0 69≤ ≤[ ] = − ≤ ≤ −⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
= − ≤, ≤≤[ ] =0 07 0 2828, , ,
P X P Z P Z P Z>[ ] = > −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= > −[ ] = <[ ] =1200 1200 1280260 0 31 0 31 0 621, , , 77,
P Z P Z P Z≤ −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= ≤ −[ ] = − ≤[ ] = −200 22035 0 57 1 0 57 1 0 7157, , ,
P X[ ],≤ 200 tipificando:
P X P X P X=[ ] =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ = ≥[ ] ≤[ ]3
73
0 45 0 55 0 2918 3 33 4( , ) ( , ) , , .y
P X =[ ] =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ =5
105
0 8 0 2 0 02645 5( , ) ( , ) ,
P X P X P X P X≤[ ] = =[ ]+ =[ ]+ =[ ] =2 0 1 2 0 8965,
P X P X P X P X≥[ ] = =[ ]+ =[ ]+ =[ ] =2 2 3 4
P X P X≤[ ] = − =[ ] = − =3 1 4 1 0 0005 0 9995, ,
P X P X P X>[ ] = =[ ]+ =[ ] =3 4 5 0 0453,
a) P X P X P X P X P X P X P X≥[ ] = =[ ]+ =[ ]+ =[ ]+ =[ ]+ =[ ]+ =[ ] =5 5 6 7 8 9 10 0 2131,bb)c)
P X P X P X
P X P X
≥[ ] = =[ ]+ ≥[ ] = + =
≤[ ] = =[4 4 5 0 2276 0 2131 0 44072 0
, , ,
]]+ =[ ]+ =[ ] =P X P X1 2 0 2991,
P X =[ ] =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=474
56 0 0156
4 316 ,
P X P X P X P X≥[ ] = =[ ]+ =[ ]+ =[ ] =2 2 3 4 0 6875,
P X P X P X P X≤[ ] = =[ ]+ =[ ]+ =[ ] =2 0 1 2
374
27. Se trata de una N(450, 75) calculamos= 0,2514, 0,2414· 250= 62,85, hay 62 vacas.
P [X < 400] = P [Z <– 0,67] = 0,2514, hay también 62 vacas.Tenemos que hallar un c tal que P [450– c < X < 450 + c] = 0,8
Y tipificando
En las tablas N(0,1) vemos que el más próximo a 0,9 es 0,8997 y corresponde z = 1,28, por tanto
. El intervalo que contiene al 80% de las vacas es [450 – 96, 450 +96]=
=[354, 546].
28. Es una N(µ, σ), de la que conocemos = 0,65 y = 0,1. Tipificando:
= 0,65, = 0,1, buscamos en las tablas los valores de z que cum-
plen estas condiciones y obtenemos el sistema:
cuyas soluciones son: µ = 6,28, σ =0,56.
29. En una N(11,5; 3,75) tenemos que hallar x tal que
= 0,08, tipificando = 0,08, y como
El valor más próximo a 0,92 es 0,9207 y corresponde a z = 1,41. De = 1,41, obtenemos
x = 16,78. La calificación mínima fue 16,78.
30. En una B(20; 0,3) calculamos y , pero como 20· 0,3 = 6 > 5 y 20· 0,7 = 14 > 5,
la aproximamos por una N (6, ) = N(6; 2,05), entoncesP [X > 10] = P [Y > 10 – 0,5] = P [Z > 1,71] = 0,0436P [X = 6] = P [6 – 0,5 < Y < 6 + 0,5] = 0,1896
31. En una B(25; 0,35), que aproximamos por una N(25 · 0,35, ) = N(8,75; 2,38),tenemos que calcularP [X ≥ 15] = P [Y ≥ 15 – 0,5] = P [Z ≥ 2,41] P [X =10] = P [10 – 0,5 < Y < 10 + 0,5] = P [0,31 < Z < 0,73]
25 0 35 0 65⋅ ⋅, ,
20 0 3 0 7⋅ ⋅, ,
P X >[ ]10 P X =[ ]6
x −11 53 75
,,
P Z x P Z x P Z x> −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= − < −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= < −11 53 75 1 11 5
3 75 0 08 11 53
,,
,, , , ,
,775 1 0 08 0 92⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= − =, , .
P X x>[ ] P Z x> −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
11 53 75
,,
6 5 0 39
7 1 28
, ,
,
− =
− =
µσµ
σ
P Z > −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
7 µσP Z ≤ −⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
6 5, µσ
P X ≤[ ]6 5, P X >[ ]7
z c c= = = ⋅ =75 1 28 1 28 75 96, , ,
P Z c P Z c≤ + −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= ≤⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=450 45075 75 0 9,
P X c≤ +[ ] = + = + =450 80 10 0 8 0 1 0 9% % , , ,
P X P Z>[ ] = >[ ]500 0 67,
