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evelyn-neira
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1. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Conjuntos numéricos
Habilidad Comprensión
El recíproco de 13
11 corresponde al inverso multiplicativo
11
13. Luego, su doble es
11
26
11
13·2 .
2. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Conjuntos numéricos
Habilidad Aplicación
25,075,0
25,0 =
4
1
4
34
1
=
4
44
1
= 1
4
1
= 25,04
1
3. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Conjuntos numéricos
Habilidad Comprensión
Como el símbolo * corresponde a una suma entre números pares y representa una
multiplicación entre un número par y un impar, entonces la expresión se desarrolla de la
siguiente manera:
(2 * 3) + (4 * 12) - (3 * 16)
(2 · 3) + (4 + 12) – (3 · 16)
6 + 16 – 48
22 – 48
– 26
4. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Conjuntos numéricos
Habilidad Comprensión
Analizando las alternativas, se tiene:
A) Verdadera, ya que al ser la cantidad subradical negativa pero el índice de la raíz par,
121- no puede ser un elemento del conjunto de los reales.
B) Verdadera, ya que 3
501 es entero porque 501 es divisible por 3 ya que al sumar los
dígitos 5 + 0 + 1 = 6, el cual es múltiplo de 3.
C) Verdadera, ya que 2,136252525…es un decimal semiperiódico que se puede expresar
como 25136,2 , por lo tanto es un racional.
D) Verdadera, ya que al ser la cantidad subradical negativa pero el índice de la raíz
impar, 3 8- es un número real.
E) Falsa, ya que 4 16- no es un real, puesto que la cantidad subradical es negativa y el
índice es par.
5. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Proporcionalidad
Habilidad Análisis
Se tiene que m : n = 5 : 6, por lo tanto:
I) Falsa, ya que m + n = 11 solo en el caso en que m sea 5 y n sea 6, sin embargo la
razón solo implica una comparación entre las cantidades y no el valor de las
variables.
II) Falsa, ya que la propiedad fundamental de las proporciones implica que la
igualdad es entre el producto de los extremos y el producto de los medios.
Entonces: 6 · m = 5 · m.
III) Verdadera, ya que al amplificar las razones por tres se obtiene: 18
15
6
5
n
m.
Luego, en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los
extremos, es decir, si 18
15
n
m, entonces 15 · n = 18 · m
Por lo tanto, la afirmación III es siempre verdadera.
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Proporcionalidad
Habilidad Aplicación
Si M se inversamente proporcional al cuádruple de N, entonces se puede interpretar como
M · 4N = k
Luego, si M = 5 y N = 3, entonces k = 5 · 4 · 3 = 60. Como ya se tiene el valor de k, se
reemplaza N = 5 para obtener el valor de M.
M · 4 · 5 = 60
M =20
60
M = 3
Por lo tanto, cuando N = 5, M = 3.
7. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Proporcionalidad
Habilidad Aplicación
Esquematizando la información se tiene:
secretarias horas informes
1 4 15
6 x 90
Las variables secretarias y horas son inversamente proporcionales y por otro lado, las
variables horas e informes son directamente proporcionales, entonces:
1 ∙ 4 ∙ 90 = 6 ∙ 15 ∙ x
x156
9041
Luego, 6 secretarias demorarán 4 horas en escribir 90 informes.
8. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Porcentajes e interés
Habilidad Aplicación
Las ponderaciones de las tres pruebas del semestre son las siguientes:
P1 = 25% = 0,25
P2 = 35% = 0,35
P3 = 40% = 0,4
La nota final está dada por:
NF = P1 · 0,25 + P2 · 0,35 + P3 · 0,4
NF = 4,2 · 0,25 + 5 · 0,35 + 6 · 0,4
NF = 1,05 + 1,75 + 2,4
NF = 5,2
9. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Porcentajes e interés
Habilidad Aplicación
Utilizando una proporción directa, se tiene:
100%
30%
huevos de total
blancos huevos
100
30
30
blancos huevos
30 · 30 blancos huevos · 100
9100
30 · 30blancos huevos
Si los huevos blancos son 9, entonces los huevos de color son 30 – 9 = 21. Por lo tanto la
diferencia entre los huevos color y los huevos blancos son 21 – 9 = 12.
10. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Potencias
Habilidad Aplicación
2
1
22 21
(Desarrollando las potencias)
2
1
42
1
(Restando en el numerador)
2
12
7
(Dividiendo las fracciones)
71
2 ·
2
7
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuaciones de primer grado
Habilidad Comprensión
Edad de Pedro = x
Edad de José = y
Edad de Pedro en 10 años = x + 10
Edad de José en 10 años = y + 10
Por lo tanto, la igualdad que se pide en el enunciado es:
4
3
10y
10x
12. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
Se tiene (x ◊ y = –y – xy) y (x Ω y = x + 3y), entonces:
((–3) ◊ 4) = – 4 – (–3) · 4 = – 4 + 12 = 8
Luego, 8 Ω (–2) = 8 + 3 · (–2) = 8 – 6 = 2
13. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Ecuaciones de primer grado
Habilidad Aplicación
5 – 3t = – 16 (Despejando t)
– 3t = – 16 – 5 (Desarrollando)
– 3t = – 21 (Multiplicando por – 1)
3t = 21 (Dividiendo por 3)
t = 7
14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
Dada la expresión (x – 2y + 3x – 5xy – 8y + 2xy) se puede reducir operando los términos
semejantes. Luego:
x + 3x – 2y – 8y – 5xy + 2xy = 4x – 10y – 3xy
15. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Álgebra.
Habilidad Aplicación
(2x – y)(2y + x) (Multiplicando término a término)
(2x ∙ 2y) + (2x ∙ x) – (2y ∙ y) – xy (Desarrollando)
4xy + 2x2 – 2y
2 – xy (Operando términos semejantes)
2x2 +3xy – 2y
2
16. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Ecuaciones de primer grado
Habilidad Aplicación
x
58
x
3 (Amplificando por x para quitar los denominadores)
3 + 8x = 5 (Despejando x)
8x = 5 – 3 (Desarrollando)
8x = 2 (Dividiendo por 8)
4
1
8
2x
Luego, 32
1
8
1
4
1
8
4
1
8
x.
17. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
Se tiene que 2n)(mnm , entonces:
2q)5(p)q5(pΔ (Desarrollando el cuadrado de binomio)
)q5(pΔ = 5(p2 – 2pq +q
2) (Multiplicando por 5 cada término)
)q5(pΔ = 22 5q10pq5p
18. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Álgebra
Habilidad Comprensión
c8 – d
8 (Expresando c
8 y d
8 como cuadrados)
2424 )(d)(c (Factorizando como una suma por su diferencia)
)d)(cd(c 4444
19. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
222 xyxyyxx (Reordenando los términos)
y)xy(1y)(1x
)xy(xyy)x(x
2
222
y)xy)(1(x2
y)y)(1x(x
Luego:
I) Verdadera, ya que según lo anterior, (x + y) es factor de la expresión.
II) Verdadera, ya que según lo anterior, (1 – y) es factor de la expresión.
III) Verdadera, ya que según lo anterior, x es factor de la expresión.
Por lo tanto, las tres expresiones son factores de 222 xyyxxyx .
(Factorizando)
(Factorizando los paréntesis)
(Factorizando la primera expresión)
20. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
2c4c
c (Factorizando el denominador)
c)c(4
c (Simplificando)
c4
1
21. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
Buscar los divisores de una expresión equivale a encontrar los factores. Luego
1)·(x1)(x 2 = 1)1)(x1)(x(x , entonces:
I) Verdadera, ya que 1)1)(x(x)11)(x(x1)1)(x1)(x(x 222
II) Falsa, ya que no hay manera de obtener una suma de cuadrados.
III) Falsa, ya que no hay manera de obtener un cuadrado de binomio con (x + 1)
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
22. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Potencias
Habilidad Comprensión
34 )2a( (Expresando el cubo del término numérico y literal)
343 )(a2)( (Desarrollando) 128a
23. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Raíces
Habilidad Aplicación
3:300)4875( (Descomponiendo las raíces)
3:)3 · 1003 · 163 · 25( (Desarrollando)
3:)3 · 100 3 · 163 · 25( (Calculando las raíces exactas)
3:)310343(5 (Sumando las raíces)
113:311 (Dividiendo)
24. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Raíces
Habilidad Aplicación
Racionalizando la primera expresión:
2
224
24
224
22
22 ·
22
2
22
2
Sumando ambas expresiones:
2
22
2
224 (Desarrollando)
2
22224
2
26
25. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuaciones de primer grado
Habilidad Aplicación
Utilizando el método de igualación, se despeja x en la segunda ecuación.
13yx
3y1x
1x3y
Se igualan ambas ecuaciones:
13yy2
y3y12
4y3
y4
3
Luego, 4
5
4
32xy2x
Finalmente, 5
3
5
4 ·
4
3
4
54
3
x
y
26. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Inecuaciones lineales
Habilidad Comprensión
Este ejercicio se expresa como una inecuación ya que “por lo menos” se interpreta como
“igual o mayor que”.
“Viviana tiene $x, y si regala $3.000”, puede escribirse como (x – 3.000).
El dinero que tiene su hermano, puede escribirse como (x – 4.000).
Por lo tanto, “el doble del dinero que tiene su hermano”, se escribe como 2(x – 4.000)
Finalmente, la desigualdad queda expresada por:
4.000)2(x3.000x
27. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Inecuaciones lineales
Habilidad Aplicación
3
32x
4
23x (Multiplicando)
3)(2x · 42)-(3x · 3 (Aplicando la propiedad distributiva)
128x69x (Desarrollando)
6128x9x
18x
El conjunto solución descrito por la desigualdad, es el intervalo: ,18
28. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Aplicación
Sea 2xf(x) , entonces el valor de )f(a 2 es:
222 )(a)f(a (Reemplazando a
– 2 en x )
42 a)f(a
29. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Relaciones y funciones
Habilidad Análisis
Para encontrar el dominio, se debe restringir el denominador ya que este no debe ser cero.
Luego:
032x
32x
2
3x
Por lo tanto, el dominio de f(x) es IR2
3.
30. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Función afín y función lineal
Habilidad Aplicación
Una función de comportamiento lineal su puede construir dados 2 puntos. En este caso se
tiene la variable independiente puntaje y la variable que depende del puntaje, nota. Los
puntos son (0, 2) y (20, 7). Luego:
)x(xxx
yyyy 1
12
121 (Reemplazando los valores)
0)(x020
272y (Desarrollando)
x20
52y
2x4
1y
Evaluando en la función:
24
x(x)f (Reemplazando x = 16)
24
16f(16) = 4 + 2 = 6
Por lo tanto, un alumno tendrá nota 6 si obtiene 16 puntos.
31. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función parte entera y función valor absoluto
Habilidad Aplicación
En esta función se relaciona el precio del viaje con la distancia recorrida, sin embargo el
cargo de los $50 se hace por cada 200 metros completamente recorridos, es decir, no hay
valores intermedios para la distancia. Esta es la razón por la cual la función es parte
entera, pues los $50 se multiplicarán solo por valores enteros. Además implica un valor
fijo de $250 aun cuando la distancia sea cero. De este modo la función que describe este
comportamiento es:
250200
x · 50n(x)
32. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función parte entera y función valor absoluto
Habilidad Aplicación
Como definición del valor absoluto es la distancia que existe entre un valor y el 0. Ese es
el motivo por el cual si signo siempre es positivo. Las variaciones que pueda sufrir una
variable dentro de las barras del valor absoluto, solo indicarán un cambio en el punto de
referencia de la distancia, es decir, si para 3x es la distancia de tres unidades con
respecto al 0, entonces 31x corresponderá a los números a tres unidades de distancia
con respecto a -1. Por lo tanto la ecuación 45x indica a los dos números que se
encuentran a 4 unidades de distancia del número (-5).
33. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Función cuadrática
Habilidad Aplicación
k)3(x5)x(xf(x) (Desarrollando la función)
3k3x5xxf(x) 2
3k2xxf(x) 2
Para que la gráfica de la función cuadrática NO intersecte al eje de las abscisas, el
discriminante (∆) debe ser menor que cero.
Reemplazando los valores: a = 1, b = 2 y c = 3k en la fórmula del discriminante, se
tiene:
0 c · a · 4b2 (Reemplazando los valores)
03k)( · (1) · 42)( 2 (Desarrollando)
012k4 (Despejando k)
412k
12
4k (Simplificando)
3
1k
Por lo tanto, debe cumplirse que 3
1k .
34. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Función cuadrática
Habilidad Aplicación
Dada la función 248x2xf(x) 2 , el máximo valor que toma la función es la
ordenada del vértice, cuya fórmula es 4a
b4ac 2
.
Reemplazando los valores a = – 2, b= 8 y c = 24, se tiene:
328
256
8
64192
2)4·(
82)·244·( 2
Por lo tanto el máximo valor que toma la función es 32.
35. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Raíces
Habilidad Aplicación
3x3)(2x (Elevando al cuadrado)
223)(x3) (2x
96xx3)(2x 2
Caso 1
96xx3)(2x 2 (Desarrollando)
96xx32x 2
0128x2x (Factorizando)
2)6)(x(x = 0 (Despejando)
2x6x 21
Caso 2
96xx3)(2x 2 (Desarrollando)
6x4x0 2 (Factorizando)
Las soluciones no son reales.
Se tienen dos soluciones que resuelven la ecuación, luego se reemplazan cada una de
ellas:
Para x = – 6
3x3)(2x (Reemplazando)
363))6 ((2 (Desarrollando)
3)9(
39 (NO se cumple la igualdad)
Para x = – 2
3x3)(2x (Reemplazando)
323))2 ((2 (Desarrollando)
1)1(
11 (Se cumple la igualdad)
Por lo tanto, la solución de la ecuación es – 2.
36. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Función logarítmica
Habilidad Análisis
I) Verdadera, ya que 225
1152
225
1log 2
15 .
II) Verdadera, ya que x112xlog2
11, por lo tanto x = 11.
III) Falsa, ya que 27x327log 3
x , por lo tanto 3
1x .
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
37. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Función exponencial
Habilidad Aplicación
Para solucionar una ecuación exponencial, se deben igualar las bases. Entonces:
2x
14x
82
1 (Igualando las bases)
2x314x1 )(2)(2 (Desarrollando potencia de una potencia) 63x14x 22 (Operando los exponentes)
63x14x (Desarrollando)
7x = 5 (Despejando x)
7
5x
38. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Función exponencial
Habilidad Aplicación
Para este problema se tienen los siguientes datos:
k = $100.000
i = 4% = 0,04
n = 3 (esto ocurre porque un año tiene 4 trimestres, entonces 12 trimestres = 3 años)
Reemplazando los datos en la fórmula del interés compuesto: n)i1(kc
30,04)(1 · 100000c
3(1,04) · 100000c
Por lo tanto, la expresión 3(1,04) · 100000 permite calcular el capital final que tiene
Catalina.
39. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Triángulos
Habilidad Aplicación
Si el triángulo ABC es equilátero de lado 8 cm, y D y F son puntos medios de sus lados
respectivos, entonces el triángulo ADF es equilátero de lado 4 cm.
El área de un triángulo equilátero se calcula como 4
3lado2
. Reemplazando resulta
344
316
4
342
.
Por lo tanto, el área sombreada mide 34 cm².
40. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Por trío pitagórico, al amplificar por 4 el trío 3, 4, 5 resulta 12, 16, 20. Luego, si
EG = 12 cm y EF = 20 cm, entonces CB = 16 cm.
Como ABC EGF, entonces FGCB .
Por lo tanto, FG mide 16 cm.
41. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Dado que BEBC , entonces el triángulo BEC es rectángulo en B. Como los catetos
miden BE = 5 cm y BC = 12 cm, entonces por trío pitagórico, EC = 13 cm.
Como CDBC y BEBC , entonces BE//CD . Luego, DCE = BEC = . Como
EDC = , entonces DCE EDC, luego el triángulo CDE es isósceles en E. Es
decir, ED = EC = 13 cm.
Al trazar la altura EF del triángulo CDE, el cuadrilátero CFEB es un rectángulo.
Entonces CF = BE = 5 cm. Además, F es el punto medio de CD , luego FD = CF = 5 cm,
por lo cual CD = 10 cm.
El perímetro de un triángulo se calcula como la suma de sus tres lados. Entonces,
Perímetro CDE = (CD + ED + EC) = (10 + 13 + 13) = 36.
Por lo tanto, el perímetro del triángulo CDE mide 36 cm.
F
42. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Conocimiento
En una transformación isométrica cambia solo la posición de los puntos, pero se mantiene
la posición relativa entre ellos. Esto hace que se mantengan las medidas de la figura,
como en este caso el área.
Por lo tanto, el área del nuevo triángulo es 12, igual al área del triángulo original.
43. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Comprensión
Un giro de 270° en sentido horario con respecto a un punto, significa que la figura
describa tres cuartos de vuelta en el sentido de las manecillas del reloj, con respecto al
punto dado.
Por lo tanto, si la figura adjunta se gira 270°, en sentido horario, respecto del punto
P, resulta
44. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Si al punto P(3, 2) se le aplica una simetría con centro en el punto (1, – 1), significa que
se gira en 180° con respecto a él. Luego, el punto queda en la posición (– 1, – 4), como
indica la figura.
Si luego se le aplica una simetría con respecto
al eje X, cambia solo el signo de la segunda
coordenada, quedando en la posición (– 1, 4),
como indica la figura.
Por lo tanto, el punto resultante es (– 1, 4).
45. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Análisis
El punto P tiene coordenadas (– 6, – 4). Luego:
I) Verdadera, ya que si al punto P se le aplica el vector de traslación T(– 1, 1),resulta
(– 6, – 4) + T(– 1, 1) = (– 7, – 3).
II) Verdadera, ya que si al punto P se le aplica una simetría con respecto al eje X,
cambia solo el signo de la segunda coordenada, quedando en la posición (– 6, 4).
III) Verdadera, ya que si al punto P se le aplica una simetría con respecto al origen,
solo cambian los signos de las componentes (giro de 180°), quedando en la
posición (6, 4).
1 2 3– 1
1
2
3
4
– 4
– 3
– 2
– 1
x
y
• P(3, 2)
•(– 1, – 4)
•
•(– 1, 4)
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
46. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Si las baldosas son cuadradas de 50 cm de lado, entonces el área de cada baldosa mide
50² = 2.500 cm².
Como 1 metro es igual a 100 centímetros, entonces 1 metro cuadrado es igual a
100² = 10.000 centímetros cuadrados. Luego, como la superficie de la terraza es de
25 metros cuadrados, al transformar el área a centímetros cuadrados resulta
(25·10.000) = 250.000 cm².
Si la terraza está cubierta con x baldosas, entonces se cumple 2.500·x = 250.000.
Entonces x = 500.2
000.250 = 100.
Por lo tanto, para teselar la terraza se necesitan 100 baldosas.
47. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Cuadriláteros
Habilidad Análisis
I) Verdadera, ya que tienen la misma medida dado que el rectángulo tiene sus cuatro
ángulos rectos.
II) Verdadera, ya que una de las diagonales es eje de simetría de la figura.
III) Verdadera, ya que en todos los paralelógramos las diagonales se dimidian.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
48. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Conocimiento
En dos triángulos semejantes, la razón de semejanza es igual a la razón en la que se
encuentran dos lados homólogos o dos elementos secundarios homólogos (alturas,
transversales de gravedad, etc.), así como también a la razón en la que se encuentran los
perímetros.
Por lo tanto, la alternativa correcta es E, ya que el cuadrado de la razón de semejanza
corresponde a la razón en la que se encuentran las áreas de los triángulos.
49. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Comprensión
La razón en la que se encuentran las áreas de dos triángulos semejantes corresponde al
cuadrado de la razón de semejanza. La razón de semejanza, por su parte, corresponde a la
razón en la que se encuentran dos lados homólogos.
Luego, 9
1
3
1
6
2
AB
DE
ΔCAB Área
ΔCDE Área222
Por lo tanto, la razón entre el área del triángulo CDE y el área del triángulo CAB es 1 : 9.
50. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Como DC//AB , entonces según el teorema general de Thales, DE
AD
CE
BC.
Reemplazando los valores conocidos resulta 7
8 =
DE
5, y al despejar queda DE =
8
35.
Por lo tanto, el valor del trazo DE es 8
35.
51. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Circunferencia y círculo
Habilidad Aplicación
Si AB es diámetro de la circunferencia, entonces el arco BA mide 180°. Como el arco
BC mide 50°, entonces el arco CA mide (180° – 50°) = 130°.
Un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende, entonces
652
130
2
CAarcoCBA .
Por lo tanto, el ángulo CBA mide 65°.
52. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Circunferencia y círculo
Habilidad Aplicación
Como el arco AC es 15
2 de la circunferencia, entonces su medida es 48360
15
2.
Luego, el ángulo AOC también mide 48°.
Dado que AB es diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo AOC y el ángulo
COB son suplementarios. Como AOC = 48°, entonces COB = (180° – 48°) = 132°.
53. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Circunferencia y círculo
Habilidad Análisis
Al llevar el enunciado a un dibujo resulta:
Según el teorema de la secante con la tangente en la circunferencia, cuando estas se
intersectan en un punto exterior, el producto del segmento exterior por el segmento
completo en la secante es igual al cuadrado de la tangente. Entonces, en la figura, se
puede plantear PBPAPT2
.
PA = (PO – AO) = (20 – 8) = 12 y PB = (PO + OB) = (20 + 8) = 28. Entonces, al
reemplazar los valores conocidos, queda PT² = (12·28) = 336.Al aplicar raíz cuadrada
resulta PT = 2142116336 .
Por lo tanto, la medida de la tangente es 214 cm.
54. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
El coeficiente de posición corresponde al término independiente en la ecuación principal
de la recta. Esta se debe despejar de la ecuación general dada:
2x + 3y – 9 = 0 3y = – 2x + 9 y = x3
2 + 3
OAB
T
•P
8
20
Por lo tanto, el coeficiente de posición de la recta L es 3.
55. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Triángulos
Habilidad Aplicación
Como ACAB y CBA = 45°, entonces el triángulo ABC es isósceles rectángulo en
A.
En todo triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa es igual al cateto multiplicado por
.2 Entonces, BC = AB 2 = 25 .
Por lo tanto, el valor de BC es 25 .
56. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Triángulos
Habilidad Aplicación
Como RSPQ y QRPR , entonces se puede aplicar el teorema de Euclides en el
triángulo PQR. Según este, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la
altura es igual al producto de las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
Entonces, en la figura, se puede plantear SQPSRS2
. Al reemplazar los valores
conocidos, queda 4² = 1 SQ. Luego, SQ = 16.
Por lo tanto, SQ mide 16 cm.
57. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Trigonometría
Habilidad Aplicación
El seno de un ángulo corresponde a la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa. Luego, sen α = hipotenusa
opuesto cateto = 0,8
AC
BC =
5
4
Entonces, es posible escribir cada segmento en términos de una constante de
proporcionalidad: BC = 4k y AC = 5k. Luego, por trío pitagórico, AB = 3k.
La secante de un ángulo corresponde a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente
al ángulo. Luego, sec α = adyacente cateto
hipotenusa =
AB
AC =
k
k
3
5
= 3
5
Por lo tanto, el valor de sec es 3
5
58. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Volúmenes y superficies
Habilidad Análisis
En un paralelepípedo, el volumen corresponde al producto entre el largo, el ancho y la
altura. En este caso, la profundidad cumple la función de altura. Entonces, en el Modelo
A se utiliza (3 2 1) = 6 m³ de agua y en el Modelo B se utiliza (2 2 1,5) = 6 m³ de agua.
Luego:
I) Falsa, ya que en ambos modelos se utiliza la misma cantidad de agua.
II) Verdadera, ya que se calculó inicialmente.
III) Verdadera, ya que (6 + 6) = 12 m³.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
59. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Probabilidad
Habilidad Aplicación
El planteamiento corresponde a un ordenamiento de 5 datos (permutación), de manera
que cada elemento se repite una vez. El número de resultados distintos se calcula como
5! = 5 4 3 2 1 = 120.
Por lo tanto, se pueden formar 120 agrupaciones distintas.
60. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Probabilidad
Habilidad Comprensión
Al lanzar dos dados, de las 36 combinaciones posibles,
La combinación (1,1) da como suma 2.
Las combinaciones (1,2) y (2,1) dan como suma 3.
Las combinaciones (1,3), (2,2) y (3,1) dan como suma 4.
Las combinaciones (1,4), (2,3), (3,2) y (4,1) dan como suma 5.
Las combinaciones (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) y (5,1) dan como suma 6.
Las combinaciones (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1) dan como suma 7.
Las combinaciones (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) y (6,2) dan como suma 8.
Las combinaciones (3,6), (4,5), (5,4) y (6,3) dan como suma 9.
Las combinaciones (4,6), (5,5) y (6,4) dan como suma 10.
Las combinaciones (5,6) y (6,5) dan como suma 11.
La combinación (6,6) da como suma 12.
Entonces, el espacio muestral del experimento de anotar la suma es
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Por lo tanto, el espacio muestral tiene 11 elementos.
61. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Probabilidad
Habilidad Comprensión
En un cálculo de probabilidad, es posible conjeturar la posibilidad de que ocurra un cierto
resultado, pero no se puede asegurar el resultado específico en un caso puntual.
Sin embargo, según la ley de los grandes números “al repetir un experimento aleatorio
una gran cantidad de veces, la frecuencia relativa de cada suceso tiende a aproximarse a
la probabilidad teórica del suceso”, idea que aparece representada en la alternativa D.
62. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Probabilidad
Habilidad Aplicación
Una probabilidad corresponde a la razón entre cantidad de casos favorables a un evento y
cantidad de casos posibles de un experimento. Luego, podemos plantear:
P(hombre) = posibles casos
favorables casos
alumnos de cantidad
hombres de cantidad =
5
3
Si el curso tiene 45 alumnos, entonces la cantidad de hombres es 455
3 = 27.
Por lo tanto, en el curso hay (45 – 27) = 18 mujeres.
63. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Probabilidad
Habilidad Aplicación
La condición “que NO sea mayor que 4” significa “que NO sea 5 ni 6”. O sea, los casos
favorables son 1, 2, 3 y 4. Una probabilidad corresponde a la razón entre cantidad de
casos favorables a un evento y cantidad de casos posibles de un experimento. Luego,
podemos plantear:
P(NO mayor que 4) = posibles casos
favorables casos =
6
4 =
3
2
Por lo tanto, la probabilidad de que el número NO sea mayor que 4 es 3
2.
64. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Probabilidad
Habilidad Análisis
En este caso, es posible guiarse por el triángulo de Pascal:
El total de casos es (1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1) = 32
La frase “a lo menos en dos” significa “como mínimo en dos”, o sea, podría ser en dos,
tres, cuatro o cinco. Luego, la cantidad de casos en los que a lo menos en dos de ellas sale
sello son:
2 sellos 10 casos
3 sellos 10 casos
4 sellos 5 casos
5 sellos 1 caso
Total 26 casos
Por lo tanto, la probabilidad de que a lo menos en dos de ellas salga sello es 16
13
32
26.
5ca
ras
/ 0
sel
lo
4 c
aras
/ 1
sel
lo
3 c
aras
/ 2
sel
los
2 c
aras
/ 3
sel
los
1 c
aras
/ 4
sel
los
0 c
ara
/ 5
sel
los
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
65. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Probabilidad
Habilidad Aplicación
Como el 60% de los trabajadores de la empresa son hombres, entonces el 40% de los
trabajadores de la empresa son mujeres. Es decir, la probabilidad de que al elegir un
trabajador al azar sea mujer es 100
40.
De las mujeres, el 40% están casadas, lo que significa que el 60% están solteras. Es decir,
la probabilidad de que al elegir una mujer al azar sea soltera es 100
60.
Entonces, la probabilidad de que sea una mujer soltera es 100
24
100
40
100
60 = 24%.
Por lo tanto, al elegir un trabajador al azar, la probabilidad de que sea una mujer soltera
es 24%.
66. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Estadística
Habilidad Análisis
I) Falsa, ya que todos los datos tienen la misma frecuencia (2) lo que significa que la
muestra no tiene moda.
II) Falsa, ya que al ordenar los datos de menor a mayor resulta:
0,25 – 0,25 – 0,55 – 0,55 – 0,75 – 075.
Los datos que ocupan la posición central son 0,55 y 0,55, y la mediana
corresponde al promedio de ellos, o sea 0,55.
III) Falsa, ya que la media aritmética (promedio) es
...51666,06
1,3
6
75,055,025,075,055,025,0 que no es un valor
perteneciente a los datos.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son falsas.
67. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Estadística
Habilidad Aplicación
La media aritmética (o promedio) es 6,215
39
23154
2534135241
La mediana corresponde al dato que ocupa la posición central al ordenarlos de menor a
mayor: 1 – 1 – 1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5. Entonces, la mediana es 2.
La moda corresponde al dato que tiene la mayor frecuencia, es decir, 2.
Por lo tanto, se cumple que moda = mediana < media aritmética.
68. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Estadística
Habilidad Análisis
I) Falsa, ya que la moda corresponde al dato que tiene la mayor frecuencia, es decir
650.
II) Verdadera, ya que sumando todas las frecuencias (3 + 7 + 10 + 7 + 8 + 5) = 40.
III) Verdadera, ya que la media aritmética (o promedio) es
25,68140
250.27
5871073
5800875077001065076003550 > 650.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
69. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Conjuntos numéricos
Habilidad Evaluación
(1) Paulina recibe más dulces que Mauricio. Con esta información, no es posible
determinar la cantidad de dulces que recibe cada uno, ya que podrían ser 1 y 9, 2 y
8, 3 y 7 o 4 y 6.
(2) El número de dulces que recibe cada uno corresponde a números primos. Con esta
información, no es posible determinar la cantidad de dulces que recibe cada uno,
ya que podrían ser 3 y 7, 5 y 5 o 7 y 3
Con ambas informaciones, es posible determinar la cantidad de dulces que recibe cada
uno, ya que la única opción es que Paulina reciba 7 dulces y Mauricio reciba 3 dulces.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
70. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Porcentajes e interés
Habilidad Evaluación
(1) El 30% de los alumnos NO son hombres. Con esta información, es posible
determinar el número de hombres, ya que significa que el 70% de los alumnos son
hombres. Luego, la cantidad de hombres corresponde al 70% de 30, es decir,
2130100
70.
(2) La razón entre hombres y mujeres es 7 : 3. Con esta información, es posible
determinar el número de hombres, ya que si se utiliza la constante de
proporcionalidad k, entonces el total de alumnos es (7k + 3k) = 30. Luego, k = 3 y
el número de hombres es 7k = 7 3 = 21.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
71. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Raíces
Habilidad Evaluación
(1) a es par. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de
b
0
)3(
a, ya que no se conoce el valor de b.
(2) b es múltiplo de 3. Con esta información, no es posible determinar el valor
numérico de b
0
)3(
a, ya que no se conoce el valor de b.
Con ambas informaciones, no es posible determinar el valor numérico de b
0
)3(
a, ya que
no se conoce el valor de b.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
72. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función exponencial
Habilidad Evaluación
(1) La cantidad de bacterias se duplica cada 20 minutos. Con esta información, no es
posible determinar la cantidad de bacterias que hay en el estudio de un cultivo, ya
que no se conoce la cantidad inicial de bacterias ni el tiempo transcurrido desde el
inicio del cultivo.
(2) Desde el inicio del cultivo han pasado 6 horas. Con esta información, no es
posible determinar la cantidad de bacterias que hay en el estudio de un cultivo, ya
que no se conoce la cantidad inicial de bacterias ni cada cuánto se reproducen.
Con ambas informaciones, no es posible determinar la cantidad de bacterias que hay en el
estudio de un cultivo, ya que no se conoce la cantidad inicial de bacterias.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
73. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Cuadriláteros
Habilidad Evaluación
(1) ABCD es un rectángulo de diagonal igual a 15 cm y AB = 9 cm. Con esta
información, es posible determinar el área del triángulo AED, ya que por trío
pitagórico se determina que el largo del rectángulo mide 12 cm y en consecuencia
que su área mide (9 12) = 108 cm². Los cuatro triángulos formados por las
diagonales en un paralelogramo tienen igual área, entonces el área del triángulo
AED mide 4
108 = 27 cm².
(2) ACBD , donde AC y BD son diagonales. Con esta información, no es posible
determinar el área del triángulo AED, ya que no se dan valores numéricos.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
74. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Evaluación
Según el gráfico, ambos vectores tienen la misma coordenada vertical (que llamaremos
b). Entonces, las coordenadas del vector son (a, b) y las coordenadas del vector
son (– 2, b). Luego:
(1) + = (1, 4). Con esta información, es posible determinar el valor numérico de
a, ya que se puede plantear (a, b) + (– 2, b) = (1, 4) a – 2 = 1 a = 3.
(2) – = (5, 0). Con esta información, es posible determinar el valor numérico de
a, ya que se puede plantear (a, b) – (– 2, b) = (5, 0) a + 2 = 5 a = 3.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
75. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Estadística
Habilidad Evaluación
(1) La desviación típica o estándar es 0 y el primer dato es 5. Con esta información,
es posible determinar los valores de los 100 datos de una muestra estadística, ya
que si la desviación típica o estándar es 0, entonces todos los datos son iguales.
Como sabemos que uno de ellos es 5, entonces todos los datos de la muestra valen
5.
(2) La media aritmética (o promedio) es 5. Con esta información, no es posible
determinar los valores de los 100 datos de una muestra estadística, ya que solo se
puede saber que la suma de datos es 500, pero no el valor de cada uno.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
mp
m
p m
p