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Editorial Santi l lana | República Dominicana
PROYECTO
SABERHACER
Solucionario Evaluaciones Contenido Básico Matemática
4to. Secundaria
Material para los Docentes
EVALUACIÓN 1
2
Identifica la hipótesis y la tesis en el siguien-te teorema.
Por un punto, P, exterior a una recta, L, puede trazarse una perpendicular y solamente una a dicha recta.
Modela y representa
Construye dos proporciones con las longi-tudes de segmentos presentes en la figura siguiente.
Usa algoritmos
Prueba, mediante inducción matemática, que la siguiente proposición es verdadera. NOTA: n = 1, 2, 3, …
3
L)
P
4
A E
B
C
D
5
P(n): 3 + 5 + 7 + … + (2n + 1) = n2 + 2n
Comunica
Describe cada uno de los elementos presen-tes en la prueba de un teorema.
Razona y argumenta
Observa el esquema, piensa y, luego, respon-de la pregunta.
• Dos proposiciones, T y T’, tales que una afirme lo contrario de la otra, ¿pueden ser teoremas en el mismo sistema formal S?
• Presenta argumentos que justifiquen la res-puesta que diste.
1
2
T es verdadera
T no es verdadera
Axiomas (A)
y reglas (R)
Ejemplos: AB/AE = AC/AD; BE/AE = CD/AD
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
3
EVALUACIÓN 1
Resolución de problemas. Lean y, luego, hagan lo que se pide.
El área A de una figura F se obtiene multiplicando dos de las longi-tudes presentes en la figura, l1 y l2: A = l1 l2.
El área A’ de una figura F’, semejante a la figura F, se obtendrá mul-tiplicando las longitudes homólogas, l1’ y l2’: A = l1’ l2’.
• Si r es la razón de semejanza de F y F’: l1’ = r l1 y l2’ = r l2, de-terminen la razón de las áreas de dos figuras semejantes.
• Resuelvan el problema.
El área de una placa de cristal es de 640 pulg2. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de cristal se necesitan para construir una placa seme-jante a la primera con r = 2.5?
9
Conecta
Mide con una reglilla sobre el plano las lon-gitudes de a, b y c y, luego, calcula las dimen-siones reales de a, b y c.
8
0 500Escala:
Obtén el valor de x de la figura siguiente.
• Describe qué hiciste para calcular x.
Determina los valores de x e y en las siguien-tes figuras semejantes.
6
70º
30º8 cm
12 cm
16 cm
7
y
8”
15”
4.8”
6”
x
x = 24 cm
x = 9; y = 10
A’/A = r2 = 2.52 = 6.25
A’ = 6.25 x 640 pulg2 = 4 000 pulg2.
A’/A = l1’ l2’ / l1 l2 = r l1 r l2 / l1 l2 = r2
Respuestas libres.
EVALUACIÓN 1
4
• ¿Cómo argumentas tu respuesta?
Usa algoritmos
Determina el valor desconocido x.
Transforma las medidas angulares de com-plejas a incomplejas o viceversa.
• 35º 12’ 18”
• 3 200’
• 15 640”
• 158º 26’ 57”
Obtén lo que se te pide.
ƫ El complemento de los ángulos cuyas medi-das se especifican abajo.
• 19º 35’ 56’’. • 41º 12’ 48’’.
ƫ El suplemento de los ángulos cuyas medidas se muestran abajo.
• 79º 58’ 22’’. • 128º 55’’.
13
60º12º + 3x
14
15
Comunica
Escribe en el lenguaje de la vida cotidiana la proposición simbólica siguiente.
[\A > \B ` \B > \C] $ \A > \C
Nombra los ángulos siguientes.
Razona y argumenta
Lee las proposiciones A y B y, luego, respon-de las preguntas.
A: Si dos ángulos son adyacentes, entonces dichos ángulos son consecutivos, es una pro-posición condicional, p $ q.
B: Si dos ángulos son consecutivos, entonces dichos ángulos son adyacentes, es la recípro-ca de la anterior condicional, q $ p.
• ¿Es verdadera la recíproca de A?
10
11
12
R
P Q
R
P
Q
C
AB
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
70º 24’ 4’’
100º 1’ 38’’
48º 47’ 12’’
51º 59’ 5’’
9 506.95’
4º 20’ 40’’
53º 20’
35.205º
x = 16º.
ABC
PQR
RPQ
5
EVALUACIÓN 1
Responde las preguntas.
• ¿Qué entiendes tú por una ciudad inclusiva?
• ¿Qué relación puedes establecer entre democracia e inclusión?
19
Lean y, luego, respondan argumentando sus respuestas.
La velocidad angular, v, de una rueda es el ángulo barrido por su radio en una unidad de tiempo, t: v = Ángulo/t.
La velocidad tangencial es el arco de circunferencia recorrido por cualquier punto de la periferia en una unidad de tiempo: v = s/t.
Para una rueda con rapidez constante: v = 2π/T; v = 2πr/T, donde T es el tiempo que tarda la rueda en dar una vuelta o periodo.
• ¿Cómo se relacionan matemáticamente las velocidades, v y v?
• Si dos ruedas de radios distintos tienen igual velocidad angular, ¿la de mayor radio recorre mayor distancia en el mismo tiempo?
• Si la respuesta anterior fuera un no, ¿cómo ruedas de radios dis-tintos podrían recorrer la misma distancia en un mismo tiempo?
18
Conecta
Si la ruleta da 20 vueltas cada segundo, res-ponde las preguntas.
• ¿En qué tiempo da la rueda una sola vuelta?
• ¿Cuántos radianes por segundo recorre la rueda?
17
Transforma las medidas angulares.
• 5π/6 rad al sistema sexagesimal.
• 240º al sistema circular.
• 63º al sistema centesimal.
• 60G 25M 36S al sistema sexagesimal.
16
r
R
BB’
A’A
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Sí.
v = v x r.
La rueda de menor radio debe dar más vueltas por unidad
de tiempo que la de mayor radio.
150º
4π/3 rad
70º
54º 13’ 41.7’’
1/20 s.
40π rad/s.
EVALUACIÓN 1
6
Construye la recta perpendicular que pasa por el extremo Q del segmento.
QP
Razona y argumenta
Prueba con la hipótesis H y los lemas L1 y L2 la proposición del recuadro.
N)
T)
M)
• H: Las rectas M y N son paralelas.
• L1: Los ángulos alternos internos son ángulos congruentes.
• L2: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
22
23
) )
Los ángulos alternos externos formados por un par de paralelas y una transversal son congruentes.
Comunica
Observa las figuras y, luego, construye un enunciado con la propiedad que se muestra en cada caso.
L(AB) = L(CD)
B
A
D
CL)
M)
Modela y representa
Traza una parábola a L que pase por P y una perpendicular a Q.
L)
Q
P
20
21)
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
7
EVALUACIÓN 1
Responde las preguntas.
• ¿Qué manifestaciones artísticas te gustan de manera especial?
• ¿La matemática requiere, como el arte, de creatividad?
• ¿Qué relaciones puedes establecer entre arte y matemática?
26
Conecta
Observa, lee y, luego, responde.
Las calles A y B son paralelas. Un vehículo que va hacia el nordeste por la calle C gira hacia el este para tomar la calle A.
• ¿Con qué ángulo dobla el vehículo para tomar la dirección este?
25
Usa algoritmos
Obtén las medidas de los ángulos siguientes.
x – 40º
x
40º
80º
y x
24
Calle B
Calle A30º
Calle C
O E
N
Sx = 110º ; y = 70º.
x = 100º ; y = 140º.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Debe girar 150º.
8
EVALUACIÓN 2Calcula las longitudes desconocidas.
R
t h
S
T
m
n33
28
Conecta
Resuelve el problema.
Un modelo de pieza triangular tiene la forma y dimensiones de la figura siguiente.
C
B
A
0.12 m 0.10 m
0.15 m
Se quiere construir una pieza semejante al mo-delo que tenga un perímetro de 5.55 m. ¿Qué longitud habrá que dar a cada uno de los lados de la pieza?
Calcula la altura del pino.
30
31
32
Comunica
Observa la figura y describe una o más de una propiedad que presente en la misma.
AF
ED C
B
Razona y argumenta
Piensa y, luego, responde dando razones.
• Si la base y la altura de dos triángulos cuales-quiera son segmentos proporcionales, ¿los triángulos son semejantes?
• ¿Y si los triángulos fueran rectángulos y to-máramos como altura uno de sus catetos?
Usa algoritmos
Determina los valores de x e y.
5
x
y
2.50
4 5
27
28
2936 cm
18 m
30 cm
x = 6.25; y = 2
t = 305 ≈ 17.46 ; m = 305/33 ≈ 9.24 ;
n = 784/33 ≈ 23.76 ; h ≈ 14.81.
1.8 m; 1.5 m; 2.25 m.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
h = 15 m.
9
EVALUACIÓN 2
Responde las preguntas.
• ¿Qué relaciones guardan los inventos y descubrimientos con la satisfacción de las necesidades humanas?
• ¿En qué sentido la técnica es un factor que multiplica las capacidades naturales del ser humano? Señala tres ejemplos.
• ¿Qué logros o ingenios técnicos son los representativos de la época actual? Señala los que más llaman tu atención.
34
Resolución de problemas. Observa la ilustración, lee y, luego, responde las preguntas.
Se planea instalar una antena que, por recomendación técnica, debe estar a una distancia de 1.8 veces su altu-ra de una valla metálica de 3.16 m de altura. La sombra de la antena sobrepasa 6 m a la distancia de seguridad y estos 6 m son, justamente, el largo de la sombra, a la misma hora del día, de la valla.
• ¿Cómo ayudarías a los técnicos a calcular la altura de la antena que cumple con las condiciones del problema?
• ¿Cuál deberá ser la altura aproximada de la antena a ser instalada?
33
3.16 m
6 m
h
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
h = 61 m.
10
EVALUACIÓN 2Modela y representa
Observa las circunferencias C1 y C2 y, luego, escribe en forma conjuntista.
• El conjunto de puntos de C1 y los conjuntos de puntos interiores y exteriores a C2.
• El conjunto de puntos comunes a las circun-ferencias C1 y C2.
• El conjunto de puntos en el exterior de ambas circunferencias, C1 y C2.
Usa algoritmos
Calcula la circunferencia, de radio o diámetro dados a continuación.
• r = 15.8 cm.
• d = 12 2 cm.
• r = 0.75 m.
• d = 2.54648 dm.
Determina la longitud de los arcos de circun-ferencia interceptados por los ángulos cen-trales en cada circunferencia.
37
E
KAI
JFD
C GH
BC1 C2
•
•••
• ••
• ••
•
38
39
O
D C
36 cm
5π/12
O AB 5”
200º
Comunica
Observa detenidamente la figura y, luego, escribe la propiedad que aparece en el re-cuadro.
PA = PB
B
P
A
O
Razona y argumenta
La propiedad anterior es un teorema. Escribe su hipótesis, su tesis y haz su prueba.
Hipótesis:
Tesis:
Prueba:
35
36
C = 99.27 cm.
C = 4.71 m.
C = 53.315 cm.
C = 8 dm.
AB = 17.45”.C CD = 47.124 cm.C
{I, J, K}; {C, D, E}; {A, B, F, G, H}.
{J, K}.
{A, B, H}.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
11
EVALUACIÓN 2
Responde las preguntas.
• ¿Qué relaciones puedes establecer entre la Geometría y el desarrollo de la ciencia y la tecnología?
• ¿Qué ejemplos podrías dar que pongan de manifiesto esas relaciones entre Matemática y avance científico y técnico?
43
Conecta
Resuelve.
Una bicicleta, diseñada en Francia en 1870, tenía ruedas de radios distintos. Al desplazarse la bicicleta ambas ruedas debían tener la mis-ma velocidad tangencial.
• ¿Ambas ruedas tendrán el mismo número de revoluciones por minuto?
• ¿Cómo se relacionan los radios con el núme-ro de revoluciones por minuto?
42
Demuestra que si AB, BD y DE son segmen-tos tangentes a la circunferencia, entonces se cumple la igualdad dada.
Determina las longitudes desconocidas de los lados del cuadrilátero cíclico.
R
x – 3
x + 1
6 cm SP
x
Q
40
41
BD = AB + DE
E
CB
A
D
O
BC = AB y CD = DE, luego:
BC + CD = BD = AB + DE
PQ = 10 cm; QR = 11 cm; RS = 7 cm.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
No.
v1 r1 = v2 r2 (v es omega).
12
EVALUACIÓN 2Usa algoritmos
Obtén el área de la figura plana siguiente.
Determina el área de cada figura.
Escribe la desigualdad satisfecha por cada conjunto de puntos especificado.
• Los puntos pertenecientes a un círculo con centro en el origen cuyo radio mide 3.
• Los puntos pertenecientes al borde de un cír-culo con centro en el origen y radio 18.
46
18 cm
47
a
9 cm
15.59 cm
6.2 cm
2.8 cm a
m \a= 120º. m \a= 62º 30’.
48
Comunica
Expresa el procedimiento mediante el cual obtienes el área de …
• un círculo de diámetro, D.
• un sector circular limitado por un ángulo cen-tral, de medida m, en un círculo de radio r.
Razona y argumenta
Responde la pregunta justificando tu res-puesta con argumentos.
¿El efecto que tiene sobre el área de un círcu-lo el duplicar su radio o su diámetro es el mis-mo en ambos casos?
• Si tu respuesta fuese afirmativa, pruébala al-gebraicamente.
44
45
A = 572.56 cm2.
A = 16.69 cm2.
x2 + y2 < 3.
x2 + y2 = 324.
A = 49.75 cm2.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
13
EVALUACIÓN 2
Responde las preguntas.
• ¿Qué importancia ha tenido el arte en el desarrollo de las sociedades humanas? Sustenta tu respuesta con ejemplos.
• ¿Qué relaciones puedes establecer entre la geometría y las creaciones de las artes visuales?
52
Resolución de problemas. Lean el texto y, luego, traten de resolver el problema planteado.
Un equipo de arqueólogos analiza pedazos de un plato de cerámica griego en el que se escenifica una batalla. El plato quiere ser reconstruido y para hacerlo el equipo ha escogido el trozo mayor como referencia. Puesto que hay pedazos de platos que habrían sido de tamaños distintos, para la re-construcción se deben tomar aquellos que encajen con la circunferencia del pedazo mayor elegido. ¿Cómo puede la geometría ayudar en la recons-trucción de la circunferencia del plato?
• Elaboren una estrategia para abordar el problema del equipo de ar-queólogos: ¿cómo, a partir del pedazo presentado en la figura de la derecha, pueden reconstruir la circunferencia?
51
Resolución de problemas
Calcula el área de la figura.50
R =15 cm140º
60º
28.19 cm
15 cm
Conecta
Resuelve.
Un huracán abarca las longitudes 62º y 67º, hacia el oeste. Un grado equivale a unos 111 km. ¿Cuál es el área del disco del huracán?
49
67º 62º
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
A = 483.89 cm2.A = 241 922.26 km2.
1 4
EVALUACIÓN 3Usa algoritmos
Identifica el polígono cuyos vértices salen:.
• 15 diagonales.
• 21 diagonales.
Infiere a partir de los siguientes conjuntos de puntos, una expresión para el número total de segmentos que los conectan.
Número de puntos
Número de segmentos
0
1
3
6
Calcula el perímetro y el área del octágono regular siguiente.
55
56
57
24.14
cm26.1
3 cm
Comunica
Enuncia lo que se te indica.
• La expresión que proporciona el número total de diagonales de un polígono.
• La regla para obtener la reflexión de un punto tomando como espejo la recta y = x.
Razona y argumenta
Responde empleando argumentos.
• ¿Por qué la congruencia de los lados de un polígono es una condición necesaria, pero no suficiente, para que dicho polígono sea regular?
• ¿Por qué un cuadrilátero cóncavo no puede tener más de un ángulo mayor que uno llano?
53
54
1 •
1 • • 2
2
31
2
34
1
P = 80 cm; A = 482.8 cm2.
Octadecágono.
Un polígono de 24 lados.
N = ½ n(n + 1).
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
15
EVALUACIÓN 3
Responde las preguntas.
• ¿Por qué se afirma que la vida en nuestro planeta tiene todas las características de un sistema complejo de interrelaciones?
• ¿Por qué debemos velar por la sostenibilidad de la diversidad bio-lógica en la Tierra? ¿Cómo expresas tú este cuidado?
62
Identifica las transformaciones de la figura.
Conecta
Se quiere una reproducción dos veces más pequeña del marco. ¿Cómo la harías?
60
a
a’
B
B’
C
C’
12
3 4 5
61
O
Determina las medidas desconocidas de los ángulos del siguiente cuadrilátero.
Observa el polígono regular y determina la medida de los ángulos coloreados.
56
A Dx
C2x – 40º2x + 10º
B
59
g
ba
\a = 154º 17’ 8.6”;
\g= 25º 42’ 51.4”;
\ = 77º 8’ 34.3”.
\b = 25º 42’ 51.4”;
\B = 80º; \C = 130º; \D = 60º.
1 2: T(3, 1); 2 3: T(3, – 1);
3 4: S(bb’); 4 5: T(4, 3).
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
1 6
EVALUACIÓN 3Modela y representa
Copia, recorta la plantilla del tetraedro y constrúyelo. Luego, haz lo que se te pide.
• Perfora en el tetrae-dro el punto medio de cada arista y pasa un alambre por los puntos medios de una arista y su opuesta. ¿El alam-bre pasa por un eje de simetría? ¿Cuán-tos ejes de simetría tiene, en total, el tetraedro?
Usa algoritmos
Determina el número mínimo de aristas que debe tener un poliedro cuyo número de caras es igual al de vértices.
Obtén lo que se te pide.
• La medida desconocida de los ángulos inter-nos de las caras pentagonales del poliedro.
• La suma de las medidas de los ángulos inter-nos de las caras del poliedro.
66
67
68
2x + 6x 2x – 16
Comunica
Construye, a partir de la figura siguiente, una definición de planos secantes.
Escribe una oración que se refiera a la sime-tría central del cuerpo C respecto a O.
Razona y argumenta
Responde justificando tu respuesta.
• ¿Puede haber un poliedro convexo tal que su número de caras y de aristas sea el mismo?
63
64
A
A'
O
65
P1
P2L
No. Porque tendría solo dos vértices.
C tiene simetría respecto a un centro O,
si para dos puntos cualesquiera del cuerpo,
A y A’: OA = OA’.
Dos planos son secantes si tienen en
común una y solo una recta.
mínimo de C = 4 caras, entonces: A = 6.
A = 2(C – 1), como un poliedro tiene un
74º, 154º y 132º.
2 880º.
7 ejes.
17
EVALUACIÓN 3
Responde las preguntas.
• ¿Cómo ha impactado el desarrollo de la ciencia y la tecnología en la vida de la humanidad? Da ejemplos.
• ¿Crees que es suficiente el avance tecno-científico para conseguir una civilización más humana?
72
Determina el número de vértices de un po-liedro tal que la suma de los ángulos internos de sus caras poligonales es 3 600º.
• ¿Cuál es su número de aristas, si tiene 10 caras?
Lee y, luego, haz lo que se te pide.
Las coordenadas del punto medio del seg-mento que une a P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) son: 1
2 (x1 + x2);
12
(y1 + y2); 12
(z1 + z2).
• Un triángulo tiene por vértices los puntos del espacio A(0, 4, 1); A(3, 5, 2) y A(4, 3, 0). Deter-mina los puntos medios de sus lados y, luego, calcula cuántas veces mayor es el área del triángulo original en relación con el área del triángulo que une esos puntos medios.
69
70
Conecta
Resuelve el problema.
Un avión se halla en un punto de coordenadas P(10, 15, 24) y se dirige en línea recta a otro punto de coordenadas Q(36, 13, 10). ¿En qué posición lo ubicaría una torre de control cuan-do vaya a mitad de su recorrido?
71
Tiene V = 12 vértices.
Tiene A = 20 aristas.
4.67 veces.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
En la posición Pm (23, 14, 17).
1 8
EVALUACIÓN 4Modela y representa
Infiere una expresión para calcular el área.
Usa algoritmos
Obtén el área total del prisma de base cua-drada siguiente.
AB = 194 cm.
Lee y, luego, haz lo que se te pide.
La sección recta del prisma oblicuo es la región poligonal determinada por un plano que lo corta perpendicularmente a cualquiera de sus aristas laterales.
Su área total se calcula con:
At = 2Ab + Psr al
• Calcula el área total de un prisma oblicuo de base cuadrada de arista basal de 10 cm y aris-ta lateral de 18 cm. El perímetro de su sección recta, Psr, es de 37.32 cm.
76
77
12 cm
A
B
78
s.r. a1
ab
Comunica
Enuncia la igualdad de volúmenes de los cuerpos de igual altura.
Razona y argumenta
Observa la figura y, luego, responde.
• ¿Por qué hay un error en la medida 5” de la distancia de la sección de área A’ al punto V?
• ¿Qué valor debería tener esa distancia?
Infiere, a partir de las expresiones del Saber más de la página 165, la siguiente expresión, válida para poliedros regulares.
1nl
12
1na
2A+ +=
NOTA: nl es el número de lados del polígono de las caras; na, el número de aristas que llega a un vértice y A, el de caras del poliedro.
73
74
A
A’
V5”
9”
20”
20”
8”
75
A1
X Y
A1 = A2
A1 A2
A2
A = 290 cm2.
A = 871.76 cm2.
Porque: 10/14 ≠ 4/5.
10/15 = 4/6 = 0.666.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
19
EVALUACIÓN 4
Responde las preguntas.
• ¿Qué importancia tiene la geometría en los oficios y profesiones dedicados a la construcción?
• ¿Cómo la geometría ayuda al necesario rigor de los proyectos de construcción y a su seguridad?
82
Resolución de problemas. Lean el texto y, luego, respondan.
Un artesano quiere construir piezas de madera en forma de pirámide trun-cada de base cuadrada. Para construirlas, corta una pirámide pequeña a una pirámide grande inicial, de altura h. Quiere saber qué altura, h’, dará a la pirámide pequeña que debe cortar, para que el área, A’, de la base menor de la pirámide truncada sea la mitad del área de su base mayor, A. El pro-blema lo tiene ocupado, sin que haya podido resolverlo satisfactoriamente.
• ¿Cómo podrían ayudar al artesano a resolver el problema?
• ¿Qué solución encontraron y cómo la comprueban?
ƫ Demuestren que la altura, ht, de un tronco de pirámide se relaciona con la altura, h’, de la pequeña pirámide mediante:
( A – A’)h’A’
ht =
81
Conecta
Resuelve el problema.
El pedestal en que se colocará una estatua conmemorativa tiene forma de pirámide trun-cada de bases hexagonales. Si la altura del pedestal es de 3 m y las áreas de sus bases miden, la mayor 23.4 m2 y la menor 13.8 m2, ¿cuál es el volumen del pedestal?
80
Determina el volumen del prisma oblicuo de base pentagonal regular.
79
5.47”
10.32”15”
16”
A
A’
ht
h’
h’ = h/ 2.
V = 5 818.9 pulg3. V = 55.17 m3.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
Respuestas libres.
20
EVALUACIÓN 4A partir de la figura siguiente, infiere la ex-presión del volumen, Vtrc, del cilindro circu-lar recto truncado de la página 175.
• ¿Qué debió asumirse para realizar la inferencia?
Modela y representa
Completa la tabla donde se representan los valores numéricos correspondientes al radio, la generatriz y el área total de un cono circular recto.
r (en cm) g (en cm) Al (en cm2)
4 75
16 63
12 25
Usa algoritmos
La vista de planta corresponde a un cubo de arista a inscrito en un cilindro de altura igual a la arista del cubo. Obtén la razón Vcil/Vcubo.
85
86
87
Comunicación
Escribe la diferencia entre la tangencia exte-rior de dos esferas y la tangencia interior.
Razona y argumenta
Observa los cuerpos y, luego, responde.
¿En cuáles razones te apoyarías para afirmar que los volúmenes de esos cuerpos son igua-les? NOTA: Toma como volumen de referen-cia el del cilindro del centro.
83
84
3h
r
h
r
h
r 3
h
GG
g
gr
2a
Que ambos cilindros truncados tienen
igual volumen.
2Vtrc = πr2h = πr2(G + g),
entonces: Vtrc = ½πr2(G + g).
En la tangencia exterior las esferas tienen
solo un punto en común el de sus superficies
y en la tangencia interior son comunes
el punto de tangencia y todos los puntos
de la esfera interior.
Para el cono, en la proporcionalidad
con el cuadrado del radio, r.
de la derecha, en la proporcionalidad
de su volumen con la altura, h. Para el cilindro
1.9683
1.9683
1 394.867
Vcil/Vcubo = π/2.
21
EVALUACIÓN 4
Responde las preguntas.
• ¿Qué relaciones puedes establecer entre el desarrollo socio-eco-nómico, la tecnología y la ciencia? Da ejemplos.
• ¿A qué factores de índole socio-económica y cultural atribuyes el avance del conocimiento del medio en que vivimos?
91
Aprendizaje por descubrimiento. Lean el texto y, luego, hagan lo que se les pide.
Si un plano corta a un cilindro o un cono paralelamente a sus bases, sus secciones transversales son círculos. Pero cuando el plano corta oblicuamente con respecto a sus bases la intersección deja de ser circular.
ƫ La figura de la derecha corresponde a una red bidimensional de un cuerpo redondo. Copien, recorten y construyan el cuerpo.
ƫ Respondan las preguntas.
• ¿Qué cuerpo redondo construyeron?
• ¿Cómo se modifica la cara opuesta a la base circular con su inclinación respecto a dicha base? Anoten sus conclusiones y coméntenlas en el aula.
90
Conecta
Resuelve el problema.
El Atomium es una es-tructura de metal insta-lada en Bruselas en ocasión de una exposi-ción internacional en 1958. Está formada por 9 esferas iguales con un diámetro de 18 m.
¿Qué radio debería tener una esfera que igua-le el volumen de las nueve del Atomium?
88
Observa la figura y, luego, responde.
• La lente convergente está formada por dos casquetes iguales tallados de una esfera de 18 cm de radio. ¿Qué volumen tiene la lente?
89
2 mm
r r
r = 18.72 m.
Un cono truncado oblicuamente.
Se alarga conforme crece la inclinación respecto a la base.
V = 0.56 cm3.
