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solucionario del examen de admision UNASAM 2010 - I area MATEMATICA
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MATEMÁTICA
Academia
SIGMATH
1
MATEMÁTICA
DE PIE SOBRE LOS HOMBROS DE LOS DEMÁS
SIGM
AT
SOLUCIONARIO UNASAM - 2010 I
SIGMATHACADEMIA
Pregunta N.º 01La suma de dos números es 930. Su cociente es 17, y su residuo de su división es el mayor posible. In-dique la diferencia de los números.
A) 822 B) 832 C) 842D) 850 E) 845
Resolución
Tema: Cuatro operaciones
Sean A y B los números buscados, entonces según las condiciones del problema se tiene:
930 (1)A B
1 17
A BB
17 1A B B
18 1 (2)A B
Reemplazando (2) en (1)
18 1 930B B
19 931B
49 B
88149
AB
Respuesta:Por lo tanto la diferencia de los números es:
881 49 832A B Alternativa B
Pregunta N.º 02Hallar el valor de “y” si:
1 2 3 1317yy y y
A) 9 B) 14 C) 13D) 12 E) 11
Resolución
Tema: Numeración
Descomponiendo polinómicamente
1 2 3 1317yy y y
21 2 3 1317y y y y y
3 2 2 2 3 1317y y y y y
3 3 1317y y 3 1320y y
2 21 11 11 1y y
Por igualdad de componentes
11y
Respuesta:
Por lo tanto el valor de 11y Alternativa E
Pregunta N.º 03Si el producto de dos números A y B es 1 000 y el
2, ,MCM A B MCD A B .
¿Cuánto es el valor de
2,
,
MCM A B
MCD A B
?
A) 1 000 B) 1 100 C) 2 500D) 3 000 E) 1 500
Resolución
Tema: MCD y MCM
Nos piden calcular el valor de
2,
,
MCM A B
MCD A B
Según condición del problema
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2
2, ,MCM A B MCD A B
Simplificamos adecuadamente esta expresión para darle forma a lo que se pide:
, , ,MCM A B MCD A B MCD A B
,
,,
MCM A BMCD A B
MCD A B
2,
, ,,
( )
MCM A BMCD A B MCM A B
MCD A B
Por propiedad del MCD y el MCM para dos números A y B se cumple:
, ,MCD A B MCM A B A B
Entonces:
, , 1000 ( )MCD A B MCM A B dato
Reemplazando en ( )
2,
1000,
MCM A B
MCD A B
Alternativa A
Pregunta N.º 04Si se sabe que la magnitud “A” es directamente pro-porcional al cuadrado de la magnitud “B”, determi-nar en qué fracción de su valor aumenta “A” si “B” aumenta en un medio de su valor.
A) 74
B) 45
C) 54
D) 34
E) 35
Resolución
Tema: Comparación de Magnitudes
Construyamos el siguiente cuadro
2
232
A B
Bx
. .D PComo B aumenta en ½ de su valor, entonces
B+1/2B=3B/2
Sea x el valor de A cuando B aumenta:
Como A D.P. 2B , entonces
2
valor de B
ctevalor de A
2
23
92 4
BB
x AA x
Ahora determinamos en que fracción de su valor au-mentó A, para ello hacemos la siguiente diferencia
9 54 4A A A
Respuesta:Por lo tanto, cuando B aumenta en ½ de su valor, A aumenta en 5/4
Alternativa C
Pregunta N.º 05Dado el polinomio:
1 3 2 3m n m nmP x m n x x mn
n
ordenado
y completo, la suma de sus coeficientes es:
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
Resolución
Tema: Polinomios
Como el polinomio es ordenado y completo
1 2 3 2 3 1m n m n
De donde: 2
1mn
Reemplazando estos valores en el polinomio P
23 2 2P x x x
Para hallar la suma de coeficientes, evaluamos el po-linomio en el punto 1x
21 3 1 2 1 3coeficientes P
7coeficientes Respuesta:
Por lo tanto, 7coeficientes Alternativa C
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Pregunta N.º 06Sean los conjuntos:.
2 3A x x ,
1 4B y y
Y sea la relación
, 0S x y B A x y .
La suma de los elementos del rango de S es:
A) – 2 B) 0 C) – 1D) 1 E) 3
Resolución
Tema: Relaciones
Definimos los elementos de los conjuntos A y B.
2, 1,0,1,2,3A
1,0,1,2,3B
Se tiene una relación
, 0S x y B A x y
En el diagrama de Veen
10123
21
0123
SB
A
De donde:
1,0,1,2Dom S
2, 1,0,1Rang S
Respuesta:
Por lo tanto la suma de los elementos del rango de 2 1 0 1 2S
Alternativa A
Pregunta N.º 07
Si , ,a b es un conjunto solución de la
inecuación, 2 12 3x x , el valor de 1a
b
es:
A) 58 B) 60 C) 30D) 72 E) 64
Resolución
Tema: Desigualdades e Inecuaciones
:
0 ; 0
Teorema
y x y x
Aplicando el teorema se tiene:
2 12 3 x x
2 12 0x x
4 3 0 x x
, 3 4,x
Como la solución tiene la forma , ,a b , entonces igualando componentes se tiene:
333 1 1
4 644 4
aab b
Respuesta:
Por lo tanto el valor de 164
a
b
Alternativa E
Pregunta N.º 08
Si ,x y tal que 10
log log3y xx y , 256xy .
El valor de 2
x y es:
A) 28 B) 30 C) 32D) 34 E) 36
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Resolución
Tema: Logaritmos
En 10
log log ( )3y xx y
Hacemos el siguiente cambio de variable:
1log logy xx m y
m
Reemplazando en ( )
1 103
mm
3 1 3 0m m
13
3m m
Si 33 log ym x x y
Del dato
3 4256 256 256xy y y y
24 4 16 0y y y
4 4 4 4y y y i y i
Pero como , x y 4y
Luego 64x
Por lo tanto:
64 434
2 2x y
Respuesta:
Por lo tanto 342
x y
Alternativa D
Pregunta N.º 09
De un grupo de 8 hombres y 6 mujeres se elige al azar 2 personas. La probabilidad de que ambas sean mujeres es:
A) 591
B) 791
C) 1391
D) 1591
E) 1791
Resolución
Tema: Probabilidades
Piden: ¿Cuál es la probabilidad que ambas sean mu-jeres?. Se tiene:
: 8 se extraen 2 personas al azar
: 6HM
142
14 13 7 13 91
2!N casos totales C
Queremos que las dos personas elegidas sean mu-jeres.
62
6 5 3 5 15
2!N casos favorables C
Por lo tanto la probabilidad de que las dos sean mu-jeres es:
2 15 91
las sean N casos favorablesP
mujeres N casos totales
Respuesta:
Por lo tanto, 2 15
91las sean
Pmujeres
Alternativa D
Pregunta N.º 10En un trapecio isósceles la base mayor mide 60 cm y los lados no paralelos 30 cm. Si sus diagonales son perpendiculares a los lados no paralelos, la base menor mide:
A) 15 cm. B) 30 cm. C) 40 cm.D) 20 cm. E) 25 cm.
Resolución
Tema: Cuadriláteros
Bosquejando la gráfica
60
x
30 30
A
B C
D
30 3
30
30
30
30
30 30
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En el triángulo ACD , usamos el teorema de Pi-
tágoras para calcular AC :
2 2 230 60 30 3AC AC
Como 30 3AC BD y // AD BC
Entonces el triángulo BCD es isósceles, por lo tan-to 30 .x cm
Respuesta:Por lo tanto el valor de 30 .x cm
Alternativa B
Pregunta N.º 11En la figura adjunta T, Q, E, F son puntos de tangen-cia. 12AB y 18AC . Hallar TQ
A
B
E
FC
T
Q
A) 6 B) 3 C) 9D) 4 E) 5
Resolución
Tema: Circunferencia
Se sabe que:
BT QC m BE BQ m x
A
B
E
FC
T
Q
18
12
m x
m
m m
m
x
Pero como AF AE , entonces:
18 12m m x
6x
Respuesta:
Por lo tanto el valor de 6TQ
Alternativa A
Pregunta N.º 12Dada la figura, hallar “x” en función de “a” y “c”
A B
C
c
x
a
A) 2ac
B) 3
2ac
C) 2ca
D) 3
2ca
E) 4
3ac
Resolución
Tema: Semejanza de triángulos
Nos piden hallar “x” en función de “a” y “c”
A B
C
c
x
a
Dm
E
Por teorema se tiene:2 (I)a cm
Como ABC DBE
(II)c a ac
mm x x
Reemplazando (II) en (I)
32
2 ac a
a c xx c
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Respuesta:
Por lo tanto el valor de 3
2a
xc
Alternativa B
Pregunta N.º 13
Simplificar cos
tan1 sen
E
A) sen B) sec C) tan
D) cot E) cos
Resolución
Tema: Identidades trigonométricas
Transformando a senos y cosenos
2cos 1 sen sencos sen1 sen cos 1 sen cos
E
1
2 2cos sen sen 1 sen1 sen cos
E
1 sen cos
1sec
cosE
Respuesta:Por lo tanto el valor de secE
Alternativa B
Pregunta N.º 14
La longitud del lado recto de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de ordenadas es 20 u; las
coordenadas del foco son 3; 2 y su vértice está arriba del foco. La ecuación de la parábola es:
A) 25 15 7x y
B) 212 10 4x y
C) 28 5 3x y
D) 21 10 1x y
E) 21 10 1x y
Resolución
Tema: La Parábola
Bosquejamos la gráfica según los datos
3;3V
3; 2F RR’
p
p
Directriz : 8L y
X
Y
Vemos que la parábola se abre hacia aba-jo. Luego su ecuación debe tener la forma:
24 ; 0 ( )x h p y k p
Por definición de parábola:
( , ) ( , ) 10d R F d R L , y Como p es la distancia del
foco al vértice con 0p , entonces:
( , ) 5 5d F V p p
Del gráfico también se puede observar que:
3,3 , 3 , 3V h k h k
Ahora, para obtener la ecuación de la parábola,
reemplazamos estos valores en ( )
23 4 5 3 x y
23 20 3x y
Respuesta:
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es
23 20 3x y
Alternativa E
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Pregunta N.º 15
Indique el valor de 2cot 32
E
A
B
C
16 12
30
A) 3 B) 2 3 C) 5
D) 7 E) 2 5
Resolución
Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos
Piden calcular el valor de 2cot 32
E
Haciendo uso de la identidad auxiliar
cot csc cot2x
x x
simplificamos la expresión E
2 csc cot 3 ( )E
En el gráfico:
A
B
C
16 12
30 8 3 4 5x
8
60
D
En el BCD aplicamos Pitágoras
2 2 212 8 4 5x x
Reemplazando las razones trigonométricas en ( )
12 4 52 3
8 8E
3 5 3E
5E
Respuesta:
Por lo tanto, 5E
Alternativa C