Solucionario-Matematicas-1º-Bachiller-Cientifico-Anaya-Ed-2008

1Pgina 27 El paso de

NMEROS REALES

REFLEXIONA Y RESUELVE

ZaQ

Di cules de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cules es necesario el conjunto de los nmeros racionales, Q. a) 5x = 60 d) 6x 2 = 10 Se pueden resolver en Hay que recurrir a b) 7x = 22 e) 3x 3 = 1 c) 2x + 1 = 15 f) x + 7 = 6

Z a), c), d) y f).

Q para resolver b) y e).

El paso de

Qab) 5x 2 15 = 0 e) 7x 2 7x = 0 c) x 2 3x 4 = 0 f) 2x 2 + 3x = 0

Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 2 9 = 0 d) 2x 2 5x + 1 = 0 a) x 2 9 = 0 8 x = 3 b) 5x 2 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = 3 c) x 2 3x 4 = 0 8 x = 3 9 + 16 35 = = 2 2 5 17 5 25 8 = = 4 4

4 1 5 + 17 4 5 17 4

d) 2x 2 5x + 1 = 0 8 x =

e) 7x 2 7x = 0 8 x 2 x = 0 8 x = 0, x = 1 f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = 3 2

Unidad 1. Nmeros reales

1

Nmeros irracionales

Demuestra que 2 es irracional. Para ello, supn que no lo es: 2 = al cuadrado y llega a una contradiccin.

p . Eleva q

Supongamos que 2 no es irracional. Entonces, se podra poner en forma de fraccin:

2 =

p p2 8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2 q q

En p 2, el factor 2 est un nmero par de veces (es decir, en la descomposicin de factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un nmero impar. De ser as, no se podra cumplir la igualdad. Suponiendo que 2 = p llegamos a una contradiccin: q

p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2. Por tanto, 2 no puede ponerse en forma de fraccin. No es racional.

Obtn el valor de F teniendo en cuenta que un rectngulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectngulo que resulta de suprimirle un cuadrado. 1 F1

F

F 1 = 8 F(F 1) = 1 8 F2 F 1 = 0 1 F1 1 1 + 4 = 2 1 + 5 2 1 5 (negativo) 2

F=

Como F ha de ser positivo, la nica solucin vlida es F =

5 + 12

.

2


UNIDAD

1

Pgina 281. Sita los siguientes nmeros en el diagrama:

3 ; 5; 2; 4,5; 7, 3; 6 ; 64 ; 27 ; 8 Q

)

3

3

Z

N

33 6

Q4,5

) 7,3

Z23

N

8

27 = 3

5 64 = 8

2. Sita los nmeros del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada nmero puede estar en ms de una casilla.NATURALES, ENTEROS,

N Q

Z

RACIONALES, REALES,

NO REALES

Aade un nmero ms (de tu cosecha) en cada casilla.NATURALES, ENTEROS,

N Q

5; 64 5; 2; 64; 273

Z

3

RACIONALES, REALES,

5; 2; 4,5; 7, 3; 27; 64

)

3; 5; 2; 4,5; 7,3; 6; 64; 27 8

)

3

3

NO REALES


3

Pgina 293. Representa los siguientes conjuntos: a) (3, 1) b) [4, + @) 1 0 3 6 9 c) (3, 9] d) ( @, 0) 0 4 0

a) c)0

3

b) d)

4. Representa los siguientes conjuntos: a) { x / 2 x < 5} c) ( @, 0) (3, + @) b) [2, 5) (5, 7] d) ( @, 1) (1, + @) 5 3

a) c)

2

0 0

b)

2

0 0 1

5

7

d)

Pgina 301. Halla los siguientes valores absolutos: a) |11| d) |0| g) |1 2 | a) 11 d) 0 f) |3 2 | = 3 2 h) | 2 3 | = 3 2 b) || e) |3 | h) |2 3 | b) c) | 5| f) |3 2| i) |7 50 | c) 5 e) |3 | = 3 g) |1 2 | = 2 1 i) |7 50 | = 50 7

2. Averigua para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones: a) |x| = 5 d) |x 4| 2 a) 5 y 5 c) 6 y 2 e) x < 2 o x > 6; ( @, 2) (6, + @) b) |x| 5 e) |x 4| > 2 c) |x 4| = 2 f ) |x + 4| > 5

b) 5 x 5; [5, 5] d) 2 x 6; [2, 6] f) x < 9 o x > 1; ( @, 9) (1, +@)

4


UNIDAD

1

Pgina 311. Simplifica: a) x 9 d) 8 a) x 9 = x 3 c) y 10 = y2 e) 64 = 26 = 22 = 49 9 3 3 5 12 4 6 12

b) x 8 e) 6412 3 9

12

c) y 10 f) 81 b) x 8 = x 2 d) 8 = 23 = 2 f ) 81 = 34 = 38 8 6 6 8

5

2. Cul es mayor, 31 o 13 ? Reducimos a ndice comn:4

4

3

31 = 29 791 ; Por tanto, es mayor 31 .4

12

3

13 = 28 561

12

3. Reduce a ndice comn: a) a 5 y a 7 a) a 5 = a 15 ; a 7 = a 1412 36 18 36 12 18

b) 513

3

y 132 6509 9

9

b) 51 = 132651 ; 132650

4. Simplifica: a)8 ( k ) 8 a) ( k ) = k8

b) x 10 b) x 10 = x 215 3

5 3

c) (x )6 c) x 6 = x6

3

Pgina 325. Reduce: a) 2 215 15 15 3 5 3 6 4 4 3

b) 9 3

c) 2 2 2

8

d) 8 4

a) 25 23 = 28 b) 34 3 = 35 c) 24 22 2 = 27 d) 83 44 = (23)3 (22)4 = 217 = 2 2512 12 12 12 12 8 8 8 8 6 6 6


5

6. Simplifica:5

a)

x 3 x

b) x3 = x5

a b 3 a bb)

6

c)

a3 3 a2

4

d)

a3 b5 c a b3 c3

a)

6 3

6

1 = x 2 x2

6

6 a3 b3 = a b a2 b2

c)

a3 = a4

6 1 = a 1 a

d)

4 5

a3 b5 c = a2 b6 c6

4

a 1 = c b c5

4

a bc

7. Reduce: a)

32 3

b)

9 3 3

c)

16 2

4

d

729 3

a)

10

6 34 = 3 33

b)

6

6 3 36 = 34 = 32 32

c)

10 10 28 = 23 = 8 25

d)

4

4 36 = 34 = 3 32

8. Suma y simplifica: a) 5 x + 3 x + 2 x b) 9 2 + 25 2 2 c) 18 + 50 2 8 d) 27 50 + 12 + 8 e) 50a 18a a) 10 x b) 3 2 + 5 2 2 = 7 2 c) 18 + 50 2 8 = 2 32 + 2 52 2 23 = = 3 2 + 5 2 2 2 2 = 5 2 d) 33 2 52 + 22 3 + 23 = 3 3 5 2 + 2 3 + 2 2 = 5 3 3 2 e) 2 52 a 2 32 a = 5 2a 3 2a = 2 2a

6


UNIDAD

1

Pgina 339. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) 5 33

7

b) 7 3

41

c)

3 23

d)

a34

e)

50 2533

f)

1813

g)

h)

4023

i)

365 = 5 7 7 7 3 3 3 2 = 3 = 3 2 4 223

j)

100

a)

b)

c)

7 7 = 21 = 3 3 3

d)

1 1 a = = 3 a2 a a a 3 = 3 = 3 3 2 = 10 5 2

e)

50

2 52

f)

4 4 4 = = = 4 2 = 2 2 2 6 3 18 2 3 3 2 2 2 2 5 = 3 = 2 5 25 53 3

g)

h)

1 2 1 = 3 = 3 = 3 40 23 5 2 53 3

3

52 = 2510 103 3

3

i)

3 3 3 2 3 3 6 = 3 = = = 2 2 2 3 6 36 2 33 3

623

j)

2 2 2 2 5 2 10 10 = 3 = = = 3 2 25 10 5 100 2 52


7

10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) 1

2 + 1a1

b)

x+y

x + y

c)

a 11 2 3 5 1

x + y d) x y

e)

f) 1

3 2 + 2 3 3 2 2 3 1

g)

2

+

1

2 1

+

2 + 1

h)

x y

+

1

x + y

2 1 2 1 a) = = 2 1 ( 2 + 1) ( 2 1) 21b) (x + y ) ( x y ) (x + y ) ( x y ) x x x y + y x y y = = xy xy ( x + y ) ( x y )

(a 1) ( a + 1) (a 1) ( a + 1) c) = = a + 1 ( a 1) ( a + 1) (a 1) ( x + y) ( x + y) x + y + 2 xy d) = xy ( x y ) ( x y ) e) 2 3 + 5 2 3 + 5 2 3 + 5 = = 12 5 7 (2 3 5 ) (2 3 + 5 )

2 (3 2 + 2 3 ) 18 + 12 + 12 6 30 + 12 6 f) = = = 5 + 2 6 18 12 6 6 g) 5 3 2 + 2 + 1 + 2 1 = 2 + 2 2 = 2 1 1 2 2

h)

x + y + x yxy

=

2 x xy

Pgina 361. Halla: a) log2 16 e) log4 64 i ) log5 0,04 b) log2 0,25 f ) log7 49 j ) log6 c) log9 1 g) ln e 4 d) log10 0,1 h) ln e 1/4

( )1 216Unidad 1. Nmeros reales

8

UNIDAD

1

a) log2 16 = log2 24 = 4 c) log9 1 = 0 e) log4 64 = log4 43 = 3 g) ln e4 = 4 i) log5 0,04 = log5 52 = 2

b) log2 0,25 = log2 22 = 2 d) log10 0,1 = log10 101 = 1 f) log7 49 = log7 72 = 2 h) ln e1/4 = j) log6 1 4

( )

1 = log6 63 = 3 216

2. Halla la parte entera de: a) log2 60 d) log10 0,084 b) log5 700 e) log9 60 c) log10 43 000 f ) ln e

a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64 5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,

b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125 4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,

c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000 4 < log10 43 000 < 5 8 log10 43 000 = 4,

d) 102 = 0,01 ; 101 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1 2 < log10 0,084 < 1 8 log10 0,084 = 1,

e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81 1 < log9 60 < 2 8 f) ln e = 1 3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log2 1 500 c) log100 200 b) log5 200 d) log100 40 log9 60 = 1,

En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin. a) log 1500 = 10,55; 210,55 1500 log 2 log 200 = 1,15; 1001,15 200 log 100 b) log 200 = 3,29; 53,29 200 log 5 log 40 = 0,80; 1000,80 40 log 100

c)

d)


9

4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula: a) log5

3

A2 25B

b) log5

5 A3 B2

a) log5

3

A2 1 1 0,8 = [2 log5 A log5 25 log5 B] = [2 1,8 2 2,4] = 0,27 25B 3 3 3

b) log5

5 A3 3 3 = log5 5 + log5 A 2 log5 B = 1 + 1,8 2 2,4 = 1 + 2,7 4,8 = 1,1 2 2 B2

5. Averigua la relacin que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y = 2x ln 5 ln y = 2x ln 5 8 ln y = ln e2x ln 52x ln y = ln e 5 2x 8 y= e 5

Pgina 381. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2. b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 19 000 al ao. a) |Error absoluto| < 0,05 m2 |Error relativo| < 0,05 < 0,00052 = 0,052% 96,4 0,5 < 0,014 = 1,4% 37

b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas |Error relativo| 180 a = 360 111 42' 56,3" 8 a = 248 17' 3,7"

c) tg a = 1,38 > 0 cos < 0 8 a 3.er cuadrante sen a < 0 Con la calculadora: tg 1 1,38 = 54 4' 17,39" a = 180 + 54 4' 17,39" = 234 4' 17,4"

38

Unidad 4. Resolucin de tringulos

UNIDAD

4

d) cos a = 0,23 > 0 8 a 4. cuadrante sen a < 0 Con la calculadora: cos 1 0,23 = 76 42' 10,5" a = 76 42' 10,5" = 283 17' 49,6"

Resolucin de tringulos rectngulos8 Resuelve los siguientes tringulos rectngulos (C = 90) hallando la medida de todos los elementos desconocidos: a) a = 5 cm, b = 12 cm. b) a = 43 m, A = 37. c) a = 7 m, B = 58. d) c = 5,8 km, A = 71. a) c 2 = a 2 + b 2 8 tg A =^ ^ ^ ^ ^ ^

Halla c, A , B . Halla b, c, B . Halla b, c, A . Halla a, b, B . c = 13 cm A^ ^ ^

^

^

c 2 = 52 + 122 = 169 8^

5 = 0,416 8 A = 22 37' 11,5 12^

B = 90 A = 67 22' 48,5"

12 cm

c

C b) B = 90 37 = 53 sen A = tg A =^ ^ ^

5 cm

B

A c= 43 = 71,45 m sen 37 43 = 57,06 m tg 37 b

43 c

8 8

37

c 43 b b=

C c) A = 90 58 = 32 cos B = b tg B = 7^ ^ ^

a = 43 m B

A 7 = 13,2 m cos 58 c b58

7 c

8 8

c=

b = 7 tg 58 = 11,2 m

C

a=7m

B


39

d) B = 90 71 = 19 sen A = cos A =^ ^

^

a 5,8 b 5,8

8 8

a = 5,8 sen 71 = 5,48 km b = 5,8 cos 71 = 1,89 km

A c = 5,8 km b 71 B C a

9 Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros, qu ngulo se deber inclinar la cinta? B sen A =^

15 = 0,6 8 A = 36 52' 11,6" 25^

25 m 15 m

A

C

10 Una escalera de 2 m est apoyada en una pared formando un ngulo de 50 con el suelo. Halla la altura a la que llega y la distancia que separa su base de la pared. h 2 d 2

sen 50 = 2m h cos 50 =

8 h = 1,53 m 8 d = 1,29 m

50 d

11 El lado de un rombo mide 8 cm y el ngulo menor es de 38. Cunto miden las diagonales del rombo?

19

8 cm

x y

sen 19 = cos 38 =

y 8 x 8

8 y = 8 sen 19 = 2,6 cm 8 d = 5,2 cm 8 x = 8 cos 19 = 7,6 cm 8 D = 15,2 cm

38

40


UNIDAD

4

12

A a r A' B' B a

Calcula la proyeccin del segmento AB = 15 cm sobre la recta r en los siguientes casos: a) a = 72 c) a = 15 8 A'B' = 15 cos 72 = 4,64 cm b) a = 50 d) a = 90

a) cos a =

A'B' AB

b) A'B' = 15 cos 5 = 9,64 cm c) A'B' = 15 cos 15 = 14,49 cm d) A'B' = 15 cos 90 = 0 cm 13 a) Halla la altura correspondiente al lado AB en cada uno de los siguientes tringulos:I C 17 cm 28 B 22 cm 25 cm A 32 15 cm B II C III 28 cm 43 A 12 cm C B

A

b) Halla el rea de cada tringulo. a) I) sen 28 = II) sen 32 = III) sen 43 = b) I) A = II) A = III) A = h 17 h 25 8 h = 7,98 cm 8 h = 13,25 cm

h 8 h = 8,18 cm 12

22 7,98 = 87,78 cm2 2 15 13,25 = 99,38 cm2 2 28 8,18 = 114,52 cm2 2A 3 cm B 2 cm D^

14 En el tringulo ABC, AD es la altura relativa al lado BC. Con los datos de la figura, halla los ngulos del tringulo ABC.

4,2 cm

C

En ABD : sen B = En ADC : tg C =^

^

2 3

8 B = 41 48' 37''; BAD = 90 B = 48 11' 23'' 8 C = 25 27' 48''; DAC = 64 32' 12''^ ^ ^

^

^

2 4,2

ngulos: A = 112 43' 35''; B = 41 48' 37''; C = 25 27' 48''


41

15 Desde un punto P exterior a una circunferencia de 10 cm de radio, se trazan las tangentes a dicha circunferencia que forman estre s un ngulo de 40. Calcula la distancia de P a cada uno de los puntos de tangencia.A 10 cm O 40 P

B 10 En OAP : tg 20 = AP

8 AP = 27,47 cm

Distancia de P a cada uno de los puntos de tangencia: 27,47 cm

Pgina 123Teorema de los senos16 Calcula a y b en el tringulo ABC en el que: A = 55, B = 40, c = 15 m.^ ^

C b 50 A 15 m^ ^

a 40 B

C = 180 (55 + 40) = 85

^

a c = sen A sen C b c = sen B sen C^

8 8^

a 15 = sen 55 sen 85 b 15 = sen 40 sen 85

8 a = 12,33 m 8 b = 9,68 m^

^

17 Halla el ngulo C y el lado b en el tringulo ABC en el que: A = 50, a = 23 m, c = 18 m. C a c = sen A sen C^ ^

8

b 50 18 m^

23 m

23 18 = 8 sen 50 sen C 18 sen 50 8 sen C = 23^

^

8^ ^

8 C = 36 50' 6'' (Tiene que ser C < A ) B^

^

A^

B = 180 (A + C ) = 93 9' 54'' b a 23 sen 93 9' 54'' = 8 b= sen 50 sen B sen A^ ^

8 b = 29,98 m

42


UNIDAD

4

18 Resuelve los siguientes tringulos: a) A = 35 b) B = 105^^ ^

C = 42 b = 30 m

^

b = 17 m a = 18 m^ ^

a) B = 180 (35 + 42) = 103; b c = sen B sen C b a b) = sen B sen A b c = sen B sen C^ ^ ^ ^

b a 17 sen 35 = 8 a= = 10 m sen 103 sen B sen A 17 sen 42 8 c= 8 c = 11,67 m sen 103^

^

8 sen A = 8 c=

18 sen 105 8 A = 35 25' 9''; C = 39 34' 51'' 30^ ^

^

30 sen 39 34' 51'' sen 105

8 c = 19,79 m

19 Dos amigos situados en dos puntos, A y B, que distan 500 m, ven la torre de una iglesia, C, bajo los ngulos BAC = 40 y ABC = 55. Qu distancia hay entre cada uno de ellos y la iglesia?

C b 40 A 500 m

C = 180 (40 + 55) = 85

^

a 55 B

a 500 = sen 40 sen 85 b 500 = sen 55 sen 85

8 a = 322,62 m 8 b = 411,14 m

La distancia de A a la iglesia es de 411,14 m, y la de B a la iglesia, 322,62 m.

Teorema del coseno20 Calcula a en el tringulo ABC, en el que: A = 48, b = 27,2 m, c = 15,3 m. B 15,3 m A 48 27,2 m a C a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A 8 a = 20,42 m^^

a 2 = 27,22 + 15,32 2 27,2 15,3 cos 48 8

21 Halla los ngulos del tringulo ABC en el que a = 11 m, b = 28 m, c = 35 m. C 11 m B 35 m 28 m A 112 = 282 + 352 2 28 35 cos A 8 282 + 352 112 8 A = 15 34' 41'' 8 cos A = 2 28 35^ ^ ^ ^ ^

282 = 112 + 352 2 11 35 cos B 8 cos B = C = 180 (A + B ) 8 C = 121 17' 51''Unidad 4. Resolucin de tringulos^ ^ ^ ^

112 + 352 282 8 B = 43 7' 28'' 2 11 35^

43

22 Resuelve los siguientes tringulos: a) b = 32 cm b) a = 85 cm c) a = 23 cm a = 17 cm c = 57 cm b = 14 cm C = 40 B = 65 c = 34 cm^ ^

a) c 2 = 322 + 172 2 32 17 cos 40 8 c = 21,9 cm 172 = 322 + 21,92 2 32 21,9 cos A^ ^ ^ ^ ^

8 A = 29 56' 8''

^

B = 180 (A + C ) 8 B = 110 3' 52'' b) b 2 = 852 + 572 2 85 57 cos 65 8 b = 79,87 cm 572 = 852 + 79,872 2 85 79,87 cos C^ ^ ^ ^ ^

8 C = 40 18' 5''

^

A = 180 (B + C ) 8 A = 74 41' 55'' c) 232 = 142 + 342 2 14 34 cos A 142 = 232 + 342 2 23 34 cos B^ ^ ^ ^ ^

8 A = 30 10' 29'' 8 B = 17 48' 56''^

^

^

C = 180 (A + C ) 8 C = 133 0' 35'' 23 Desde la puerta de mi casa, A, veo el cine, C, que est a 120 m, y el kios ko, K, que est a 85 m, bajo un ngulo CAK = 40. Qu distancia hay entre el cine y el kiosko? C 120 m 40 85 m a 2 = 1202 + 852 2 120 85 cos 40 a a = 77,44 m es la distancia entre el cine y el kiosko.

A

K

Resolucin de tringulos cualesquiera24 Resuelve los siguientes tringulos: a) a = 100 m b) b = 17 m c) a = 70 m d) a = 122 m e) a = 25 m f) a = 100 m g) a = 15 m h) b = 6 m B = 47 A = 70 b = 55 m c = 200 m b = 30 m b = 185 m b=9m c=8m^ ^

C = 63 C = 35 C = 73 B = 120 c = 40 m c = 150 m A = 130 C = 57Unidad 4. Resolucin de tringulos^ ^ ^ ^ ^

^

44

UNIDAD a) A = 180 ( B + C ) = 70 a b = 8 sen A sen B 100 b 8 = sen 70 sen 47^ ^ ^ ^ ^

4

C a b B 8 A c

100 sen 47 8 b= = 77,83 m sen 70 100 c = sen 70 sen 63^ ^ ^

8 c=

100 sen 63 = 94,82 m sen 70

b) B = 180 ( A + B ) = 75 17 a = sen 75 sen 70 17 c = sen 75 sen 35 8 a= 8 c= 17 sen 70 = 16,54 m sen 75 17 sen 35 = 10,09 m sen 75

c) c 2 = 702 + 552 2 70 55 cos 73 = 5 673,74 8 c = 75,3 m 702 = 552 + 75,32 2 55 75,3 cos A 82 2 2 8 cos A = 55 + 75,3 70 = 0,4582 8 A = 62 43' 49,4" 2 55 75,3^ ^

^

B = 180 ( A + C ) = 44 16' 10,6" d) b 2 = 1222 + 2002 2 122 200 cos 120 = 79 284 8 b = 281,6 m2 2 2 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A 8 cos A = b + c a 2bc^ ^ ^

^

^

^

8

2 2 2 8 cos A = 281,6 + 200 122 = 0,92698 8 A = 22 1' 54,45" 2 281,6 200^

C = 180 ( A + B ) = 37 58' 55,5" e) a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A 82 2 2 2 2 2 8 cos A = b + c a = 30 + 40 25 = 0,7812 8 A = 38 37' 29,4" 2bc 2 30 40^ ^

^

^

^

^

2 2 2 2 2 2 cos B = a + c b = 25 + 40 30 = 0,6625 8 B = 48 30' 33" 2ac 2 25 40^ ^

C = 180 ( A + B ) = 92 51' 57,6"2 2 2 2 2 2 f ) cos A = b + c a = 185 + 150 100 = 0,84189 8 A = 32 39' 34,4" 2bc 2 185 150^

^

^

^

^

2 2 2 2 2 2 cos B = a + c b = 100 + 150 185 = 0,0575 8 B = 93 17' 46,7" 2ac 2 100 150^ ^

C = 180 ( A + B ) = 54 2' 38,9"

^

^

^


45

g)

15 9 = sen 130 sen B^

^

8 sen B =

^

9 sen 130 = 0,4596 8 15

8

B1 = 27 21' 46,8" B2 = 152 38' 13,2"^ ^ ^ ^

La solucin B2 no es vlida, pues A + B2 > 180. C = 180 ( A + B ) = 22 38' 13,2" h) 15 c = sen 130 sen C 8 6 = sen 57 sen B^ ^ ^ ^ ^ ^

8 c=

15 sen C = 7,54 m sen 130^

^

8 sen B =

6 sen 57 = 0,6290 8 8

8

B1 = 38 58' 35,7" B2 = 141 1' 24,3"^ ^ ^ ^

La solucin B2 no es vlida, pues C + B2 > 180. A = 180 ( B + C ) = 84 1' 24,3" 8 a = sen 57 sen A^ ^ ^ ^

8 a=

8 sen A = 9,5 m sen 57

^

PARA RESOLVER25 Una estatua de 2,5 m de alto est colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ngulo de 15 y la estatua, bajo un ngulo de 40. Calcula la altura del pedestal. tg 15 = x y 8 y= x tg 15 15

2,5 + x tg 55 = y

2,5 + x 8 y= tg 55

8

x 2,5 + x = 8 tg 15 tg 55

8 x tg 55 = 2,5 tg 15 + x tg 15 8 x =

2,5 tg 15 = 0,58 m (el pedestal) tg 55 tg 15

2,5 m40

x

y

46


UNIDAD

4

26 Un avin vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avin a A y a B forman ngulos de 29 y 43 con la horizontal, respectivamente. A qu altura est el avin? V (avin)

h 29 A tg 29 = tg 43 = h x 8 x= h tg 29 80 tg 43 h tg 43 8 h tg 43 = 80 tg 43 tg 29 h tg 29 8 8 h= 80 tg 43 tg 29 = 27,8 km tg 43 + tg 29 43 80 km B

x

h 80 x

8 x=

h 80 tg 43 h = tg 29 tg 43

27 Halla el lado del octgono inscrito y del octgono circunscrito en una circunferencia de radio 5 cm.

360 = 45 8 22 30' 5 cm x l 5 sen 22 30' = x 5 8 x = 1,91 cm

Lado del octgono inscrito: l = 3,82 cm

tg 22 30' =

y 5

8 y = 2,07 cm

Lado del octgono circunscrito: 5 5 cm y 22 30' l' = 4,14 cm

l'


47

28 Calcula los lados y los ngulos del tringulo ABC.B 7 cm 50 A 3 cm^

D

C^

En el tringulo rectngulo ABD, halla AB y BD . En BDC, halla C y DC. Para^ ^ ^

hallar B , sabes que A + B + C = 180.

En ABD : 3 3 cos 50 = 8 AB = = 4,7 cm cos 50 AB BD tg 50 = 8 BD = 3 tg 50 = 3,6 cm 3 En BDC : BD 3,6 = 0,5143 8 C = 30 56' 59" sen C = 7 7 DC 8 DC = 7 cos C 6 cm cos C = 7^ ^ ^ ^

As, ya tenemos: A = 50 B = 180 (A + C ) = 99 3' 1" C = 30 56' 59"^ ^ ^ ^ ^

a = 7 cm b = AD + DC = 9 cm c = 4,7 cm

29 En una circunferencia de radio 6 cm trazamos una cuerda AB a 3 cm del centro. Halla el ngulo AOB. El tringulo AOB es issceles. P B

A

P

B

O

3 cm 6 cm

O OP = 3 cm OB = 6 cm OPB = 90

8 cos POB =

3 1 = 6 2

8

POB = 60 8

8

AOB = 2 POB = 2 60 = 120Unidad 4. Resolucin de tringulos

48

UNIDAD

4

30 Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre s 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde est la emisora. Estas direcciones forman con AB ngulos de 40 y 65. A qu distancia de A y B se encuentra la emisora?

E

b

a

40

65

A 10 kmE = 180 ( A + B ) = 75 Aplicando el teorema de los senos: a 10 = sen 40 sen 75 b 10 = sen 65 sen 75 8 8 a= b=^ ^ ^

B

10 sen 40 = 6,65 km dista de B. sen 75 10 sen 65 = 9,38 km dista de A. sen 75

31 En un entrenamiento de ftbol se coloca el baln en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la portera, cuyo ancho es de 7 m. Bajo qu ngulo se ve la portera desde ese punto?

A

(portera)

C

b=7m c=5m a=8m

B (baln)Aplicando el teorema del coseno: b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B 8^

8

2 2 2 2 2 2 cos B = a + c b = 8 + 5 7 = 0,5 8 B = 60 2ac 285^ ^


49

Pgina 12432 Calcula el rea y las longitudes de los lados y de la otra diagonal: BAC = ACD = 50 . Calcula los lados del tringulo ACD y su rea. Para hallar la otra diagonal, considera el tringulo ABD. A

B 50 20 D18 m

C

Los dos tringulos en que la diagonal divide al paralelogramo son iguales. Luego bastar resolver uno de ellos para calcular los lados: B c50

a20

C

h 18 m

A B = 180 ( A + C ) = 110 a 18 = sen 50 sen 110 c 18 = sen 20 sen 110 As: AB = BC = 8 a= 8 c= 18 sen 50 = 14,7 m sen 110 18 sen 20 = 6,6 m sen 110^ ^ ^

CD = c = 6,6 m AD = a = 14,7 m h c

Para calcular el rea del tringulo ABC : sen 50 = 8 reaABC = 8 h = c sen 50 8

18 h 18 c sen 50 18 6,6 sen 50 = = = 45,5 m2 2 2 2

El rea del paralelogramo ser: reaABCD = 2 reaABC = 2 45,5 = 91 m2 Para calcular la otra diagonal, consideremos el tringulo ABD :B

A = 50 + 20 = 70

^

6,6 m70

A

14,7 m

D

Aplicando el teorema del coseno: BD 2 = 6,62 + 14,72 2 6,6 14,7 cos 70 193,28 8 BD = 13,9 m

50


UNIDAD

4

33 Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ngulo de 127. El primero sale a las 10 h de la maana con una velocidad de 17 nudos, y el segundo sale a las 11 h 30 min, con una velocidad de 26 nudos. Si el alcance de sus equipos de radio es de 150 km, podrn ponerse en contacto a las 3 de la tarde?(Nudo = milla / hora; milla = 1 850 m).

A

127

B P La distancia que recorre cada uno en ese tiempo es: Barco A 8 PA = 17 1 850 m/h 5 h = 157 250 m Barco B 8 PB = 26 1 850 m/h 3,5 h = 168 350 m Necesariamente, AB > PA y AB > PB, luego: AB > 168 350 m Como el alcance de sus equipos de radio es 150 000 m, no podrn ponerse en contacto. (NOTA: Puede calcularse AB con el teorema del coseno 8 AB = 291 432,7 m). 34 En un rectngulo ABCD de lados 8 cm y 12 cm, se traza desde B una perpendicular a la diagonal AC, y desde D, otra perpendicular a la misma diagonal. Sean M y N los puntos donde esas perpendiculares cortan a la diagonal. Halla la longitud del segmento MN.A 12 cm N 8 cm M D^

B

C

En el tringulo ABC, halla C . En el tringulo BMC, halla MC. Ten en cuenta que: M N = AC 2 MC

Los tringulos AND y BMC son iguales, luego AN = MC Como MN = AC AN MC, entonces: MN = AC 2MC Por tanto, basta con calcular AC en el tringulo ABC y MC en el tringulo BMC.Unidad 4. Resolucin de tringulos

51

En ABC : AC 2 = 82 + 122 = 208 (por el teorema de Pitgoras) 8 Calculamos C (en ABC ): tg C = En BMC :^ ^

AC = 14,4 cm

12 = 1,5 8 8

C = 56 18' 35,8"

^

MC 8 MC = 8 cos (56 18' 35,8") = 4,4 cm 8 Por ltimo: MN = AC 2 MC = 14,4 2 4,4 = 5,6 cm cos C =^

35 Halla la altura del rbol QR de pie inaccesible y ms bajo que el punto de observacin, con los datos de la figura.Q

48 20 R

30 P' P 50 m

Llamemos x e y a las medidas de la altura de las dos partes en que queda dividido el rbol segn la figura dada; y llamemos z a la distancia de P al rbol.Q

tg 48 =

x z

8

x = z tg 48 8 x = (z + 50) tg 30

x z 48 y R20 30

P'

x tg 30 = z + 50 8

P 50 m

z tg 48 = (z + 50) tg 30 8 z= 50 tg 30 = 54,13 m tg 48 tg 30

8

z tg 48 = z tg 30 + 50 tg 30 8

Sustituyendo en x = z tg 48 = 54,13 tg 48 = 60,12 m = x Para calcular y : tg 20 = y z 8 y = z tg 20 = 54,13 tg 20 = 19,7 m

Luego: QR = x + y = 79,82 m mide la altura del rbol.

52


8

UNIDAD

4

36 Calcula la altura de QR, cuyo pie es inaccesible y ms alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la figura.

Q

22 R 18

P 32 50 m

P'

Llamemos x a la distancia del punto ms alto a la lnea horizontal del observador; y, a la distancia de la base de la torre a la misma lnea; y z, a la distancia R'P, como se indica en la figura. tg (18 + 22) = tg 40 = x tg 32 = z + 50 x z 8 x = z tg 40 8

8 x = (z + 50) tg 32

8 z tg 40 = (z + 50) tg 32 8 z =

50 tg 32 = 145,84 tg 40 tg 32

Sustituyendo en x = z tg 40 = 145,84 tg 40 = 122,37 m Para calcular y : tg 18 = y z 8 y = z tg 18 =

Q x22

= 145,84 tg 18 = 47,4 m Por tanto: QR = x y = 74,97 m mide la altura de la torre.

y R 18 R' z

P

32

P'

50 m

CUESTIONES TERICAS37 Explica si las siguientes igualdades referidas al tringulo ABC son verdaderas o falsas: 1) a = 3) c = b sen A b tg C^ ^

2) c = a cos B

^

4) b = a sen C^

^

C

5) tg B tg C = 1 7) sen B cos C = 0 9) b = c tg B^ ^ ^

^

6) c tg B = b 8) a = b cos Ca b^

^

^

10) 1 sen2 B =^ ^

c a

A

c

B

11) sen B cos C = 1

12)

sen B =1 cos C^

^


53

1) Verdadera, pues sen B = 2) Verdadera, pues cos B = 3) Falsa, pues tg C =^ ^ ^

^

b a c a

8 a=

b sen B^

^

8 a cos B = c^

c b c a^

8 c = b tg C^

4) Falsa, pues sen C =

8 a sen C = c b^

5) Verdadera, pues tg B tg C = 6) Verdadera, pues tg B =^ ^

b c =1 c b^

b c

8 b = c tg B^

7) Verdadera, pues sen B cos C = 8) Verdadera, pues cos C = 9) Falsa, pues tg B =^ ^

b b =0 a a b sen C^ ^

b a

8 a=

b c^

8 b = c tg B^

10) Verdadera, pues sen 2 B + cos 2 B = 1 8 cos B = 1 sen 2 B^

^

Como cos B =

^

c a^

8

c 1 sen 2 B =^ ^

a

11) Falsa, pues sen B cos C =^

b2 b b = 2 1 (porque b ? a ) a a a

12) Verdadera, pues

sen B b/a = =1 b/a cos C^

38 Prueba que en un tringulo cualquiera se verifica: a b c = = = 2R sen A sen B sen C^ ^ ^

B

A' O C

R es el radio de la circunferencia circunscrita. Traza el dimetro desde uno de los vrtices deltringulo ABC. Aplica el teorema de los senos en los tringulos ABC y A'BC. A

Aplicamos el teorema de los senos en los tringulos ABC y A'BC : En ABC 8

En A'BC 8

a b c = = sen A sen B sen C BC A'C = sen A' sen A'BC^ ^ ^

^

54


UNIDAD Sucede que: BC = a A' = A (ngulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco) A'C = 2R A'BC = 90 (medida de ngulos inscritos en una circunferencia) a 2R a 2R = 8 = = 2R sen 90 1 sen A sen A Por ltimo, sustituyendo en la primera expresin, se obtiene el resultado: La igualdad queda:^ ^ ^ ^

4

2R =

a b c = = sen A sen B sen C^ ^

^

39 Prueba que solo existe un tringulo con estos datos: b = 3 m,^

a = 1,5 m, b = 3 2 cm,

A = 60

^

Existe algn tringulo con estos datos?: C = 135, a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A 1,52 = 3^

c = 3 cm

( )2 + c 2 2 3

c cos 60 1 2

B a = 1,5 m

2,25 = 3 + c 2 2 3 c

c 2 3 c + 0,75 = 0 3 3 3 3 m c= = 2 2

C60

A

b= 3 m

La ecuacin de segundo grado solo tiene una raz. Solo hay una solucin. (NOTA: Tambin se pueden estudiar las dos soluciones que salen para B con el teorema del seno y ver que una de ellas no es vlida, pues quedara A + B > 180).^ ^

Podemos resolverlo con el teorema del coseno, como antes, o con el teorema del seno. Resolvemos este apartado con el segundo mtodo mencionado: b c = sen B sen C^ ^

8 8

3 2 3 = sen 135 sen B^

8

sen B =

^

3 2 sen 135 = 3^

= 2 sen 135 = 1 8 B = 90 Pero: C + B = 135 + 90 > 180 Imposible! Luego la solucin no es vlida y, por tanto, concluimos que no hay ningn tringulo con esos datos.Unidad 4. Resolucin de tringulos^ ^

55

Pgina 125PARA PROFUNDIZAR40 Dos vas de tren de 1,4 m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ngulo de corte es de 40, cunto valdr el lado del rombo?

sen 40 =

1,4 l

8 l=

1,4 = 2,18 m sen 401,4 m

l 40 40

41 Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B, fijamos dos puntos C y D tales que CD = 300 m, y medimos los siguientes ngulos: ADB = 25 ACD = 46 Calcula AB .

A

B

BDC = 40 ACB = 32

25 40

32 46

D

300 m

C

Si conocisemos AC y BC , podramos hallar AB con el teorema del coseno en ABC . A Calculemos, pues, AC y BC : En el tringulo ADC : A = 180 65 46 = 69 Por el teorema del seno:65 46^

D

300 m

C

AC 300 300 sen 65 = 8 AC = = 291,24 m sen 69 sen 69 sen 65 En el tringulo BCD : B = 180 40 78 = 62^

B

Por el teorema del seno: BC 300 = sen 62 sen 40

8

D

40

78

300 m

C

300 sen 40 8 BC = = 218,40 m sen 62

56


UNIDAD Podemos centrarnos ya en el tringulo ABC y aplicar el teorema del coseno: AB 2 = 291,242 + 218,402 2 291,24 218,40 cos 32 = = 24 636,019 AB = 156,96 m

4

A

B 218,40 m32

291,24 m

C 42 En un crculo de 15 cm de radio, halla el rea comprendida entre una cuerda de 20 cm de longitud y el dimetro paralelo a ella.

20 cm II Ia b

IIIa

Podemos dividir la zona sombreada en tres, de forma que: I = III 8 sectores circulares de ngulo a desconocido. II 8 tringulo issceles de lados iguales 15 cm y de lado desigual 20 cm.

C

15 cm

En II: Calculemos la altura h desde C : 152 = h2 + 102 8 h = 152 102 = 11,18 cm 20 11,18 As: reaII = base altura = = 111,8 cm2 2 2 Calculemos el ngulo b (el ngulo desigual) aplicando el teorema del coseno: 202 = 152 + 152 2 15 15 cos b ) 2 2 2 cos b = 15 + 15 20 = 0, 1 8 2 15 15 En I: Conocido b podemos calcular a fcilmente: a = 180 b = 48 11' 22,9" 2 Y, con esto, el rea:2 2 reaI = r a = 15 a = 94,62 cm2 360 360

b = 83 37' 14,3"

Por ltimo, el rea pedida ser: AT = reaII + 2 reaI = 111,8 + 2 94,62 8 AT = 301,04 cm2


57

43 Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden 9 m y 4 m. Halla el ngulo, 2a, que forman sus tangentes comunes.

9 O'

4 O

a P x

Los radios forman con las tangentes dos tringulos rectngulos. Como OP = 4 + x, setiene: sen a = Calcula x y despus a. 4 4+x y sen a = 9 17 + x

8 9 O'P = 9 + 4 + 4 + x = 17 + x 8 sen a = 17 + x OP = 4 + x 8 sen a = 4 4+x 8 4 9 = 8 4 (17 + x ) = 9 (4 + x ) 8 4+x 17 + x 8 68 36 = 9x 4x 8 32 = 5x 8 x = 6,4 m Sustituyendo x por su valor: sen a = 4 4 4 = = = 0,3846 8 4+x 4 + 6,4 10,4 a = 22 37' 11,5"

As: 2a = 45 14' 23"

AUTOEVALUACIN1. De un tringulo rectngulo ABC conocemos la hipotenusa a = 12 cm y el cateto c = 7 cm. Halla sus ngulos agudos.C

sen C =12 cm^

^

7 12^

8 C = 35 41' 7''

^

B = 90 C = 54 18' 53''

A

7 cm

B

58


UNIDAD

4

2. Expresa con un ngulo del primer cuadrante las razones trigonomtricas de los siguientes ngulos: 154, 207, 318, 2 456 sen 154 = sen (180 26) = sen 26 cos 154 = cos 26 tg 154 = tg 26 sen 207 = sen (180 + 27) = sen 27 cos 207 = cos 27 tg 207 = tg 27 sen 318 = sen (360 42) = sen 42 cos 318 = cos 42 tg 318 = tg 42 sen 2 456 = sen (360 6 + 296) = sen 296 = sen (360 64) = sen 64 cos 2 456 = cos 64 tg 2 456 = tg 64 3. Si sen a = 4/5 y a > 90, calcula sin hallar el ngulo a: a) cos a d) cos (90 + a) b) tg a e) tg (180 a) 16 25 c) sen (180 + a) f) sen (90 + a) 8 cos 2 a = 9 25 8 cos a = 3 5

a) cos 2 a = 1 sen 2 a 8 cos 2 a = 1 cos a = b) tg a = 3 5

4/5 4 = 3/5 3 4 5 d) cos (90 + a) = sen a = f) sen (90 + a) = cos a = 3 5 4 5

c) sen (180 + a) = sen a = e) tg (180 a) = tg a = 4 3

4. Si tg a = 3,5, halla a con ayuda de la calculadora, exprsalo como un ngulo del intervalo [0, 360) y obtn su seno y su coseno. a = s t 3.5 = {|\} Hay dos soluciones: a1 = 285 56' 43'' sen a1 = 0,96; cos a1 = 0,27 sen a2 = 0,96; cos a2 = 0,27 a2 = 105 56' 43''


59

5. Calcula el rea del tringulo ABC.B 20 cm A 28 32 cm C

B 20 cm h 28 A 32 cm C

Altura: sen 28 = rea =

h 8 h = 20 sen 28 = 9,39 cm 20

32 9,39 = 150,24 cm2 2

6. En lo alto de un edificio en construccin hay una gra de 4 m. Desde un punto del suelo se ve el punto ms alto de la gra bajo un ngulo de 50 con respecto a la horizontal y el punto ms alto del edificio bajo un ngulo de 40 con la horizontal. Calcula la altura del edificio.4m

h 40 50 x

tg 40 = tg 50 =

h x 4+h x

8

h = x tg 40 x tg 50 = 4 + x tg 40

8

8 x tg 50 tg 40 = 4 8 x = h = 11,34 tg 40 = 9,52 m La altura del edificio es 9,52 m.

4 = 11,34 m tg 50 tg 40

7. Resuelve el tringulo ABC en estos casos: a) c = 19 cm, a = 33 cm, B = 48 b) a = 15 cm, b = 11 cm, B = 30 a)B 48 19 cm A b C^^ ^

Con el teorema del coseno, hallamos b : b 2 = 192 + 332 2 19 33 cos 48 = 610,9 833 cm

8 b = 24,72 cm

Del mismo modo, hallamos A : 332 = 192 + 24,722 2 19 24,72 cos A cos A = 0,1245 8 A = 97 9' C = 180 (A + B ) = 34 51'^ ^ ^ ^ ^ ^

60


UNIDAD b) Bc 30 A 11 m C 15 m

4

Hallamos A con el teorema de los senos: a b = sen A sen B^ ^

^

8

15 11 = 8 sen A sen 30^

8 sen A = 0,6818

^

Hay dos soluciones: A 1 = 42 59' 9'' C 1 = 107 0' 51''^ ^

A 2 = 137 0' 51'' C 2 = 12 59' 9''^

^

c1 11 = 8 c1 = 21,04 cm sen 30 sen 107 0' 51'' c2 11 = 8 c2 = 4,94 cm sen 30 sen 12 59' 9'' 8. Dos amigos estn en una playa a 150 m de distancia y en el mismo plano vertical que una cometa que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno la ve con un ngulo de elevacin de 50 y el otro con un ngulo de 38. Qu distancia hay de cada uno de ellos a la cometa? C = 180 (50 + 38) = 92C 92 a 38 150 m B^

Hallamos a y b con el teorema de los senos: a c = sen A sen C^ ^

b 50 A

8

a 150 = 8 sen 50 sen 92

8 a = 114,98 m

b c = sen B sen C^

^

8

b 150 = 8 b = 92,41 m sen 38 sen 92

Las distancias de cada uno a la cometa son 114,98 m y 92,41 m, respectivamente. 9. Los lados de un paralelogramo miden 18 cm y 32 cm y forman un ngulo de 52. Halla la longitud de la diagonal mayor. a = 180 52 = 128d 52 32 cm a 18 cm

Calculamos d aplicando el teorema del coseno: d 2 = 182 + 322 2 18 32 cos 128 = 2 057,24 d = 45,36 cm es la medida de la diagonal.


61

62


UNIDAD

4


63

64


UNIDAD

4


65

5Pgina 128

FUNCIONES Y FRMULAS TRIGONOMTRICAS

1. Aunque el mtodo para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la pgina siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuntos radianes corresponden a los 360 de una circunferencia? b) Cuntos grados mide 1 radin? c) Cuntos grados mide un ngulo de radianes? 2 d) Cuntos radianes equivalen a 270? a) 2 c) 360 = 90 2 2 b) d) 360 = 57 17' 44,8" 2 270 2 = 3 360 2

Pgina 1292. Pasa a radianes los siguientes ngulos: a) 30 d) 127 b) 72 e) 200 c) 90 f ) 300

Expresa el resultado en funcin de y luego en forma decimal. Por ejemplo: 30 = 30 rad = rad 0,52 rad 180 6 a) 2 30 = rad 0,52 rad 360 6

b) 2 72 = 2 rad 1,26 rad 360 5 c) 2 90 = rad 1,57 rad 360 2

d) 2 127 2,22 rad 360 e) 2 200 = 10 rad 3,49 rad 360 9 f) 2 300 = 5 rad 5,24 rad 360 3

Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

63

3. Pasa a grados los siguientes ngulos: a) 2 rad d) 5 rad 6 a) c) e) b) 0,83 rad e) 3,5 rad b) d) f) c) rad 5 f ) rad 360 0,83 = 47 33' 19,8" 2 360 5 = 150 2 6 360 = 180 2

360 2 = 114 35' 29,6" 2 360 = 36 2 5 360 3,5 = 200 32' 6,8" 2

4. Completa la siguiente tabla y aade las razones trigonomtricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ngulos. Te ser til para el prximo apartado:GRADOS

0

30 4

60 902 3

135 150

RADIANES

GRADOS

210 2254 3

2705 3 7 4

330 360

RADIANES

La tabla completa est en el siguiente apartado (pgina siguiente) del libro de texto. Tan solo falta la ltima columna, que es igual que la primera.

Pgina 1331. Demuestra la frmula II.2 a partir de la frmula: cos (a + b) = cos a cos b sen a sen b cos (a b) = cos (a + ( b)) = cos a cos ( b) sen a sen ( b) = = cos a cos b sen a ( sen b) = cos a cos b + sen a sen b 2. Demuestra la frmula II.3 a partir de la frmula: tg (a + b) = tg (a b) = tg (a + ( b)) = (*) Como tg a + tg b 1 tg a tg b

tg a + tg ( b) (*) tg a + ( tg b) tg a tg b = = 1 tg a tg ( b) 1 tg a ( tg b) 1 + tg a tg b

sen ( a) = sen a 8 tg ( a) = tg a cos ( a) = cos a Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

64

UNIDAD

5

3. Demuestra la frmula II.3 a partir de las siguientes frmulas: sen (a b) = sen a cos b cos a sen b cos (a b) = cos a cos b + sen a sen b tg (a b) = sen (a b) sen a cos b cos a sen b (*) = = cos (a b) cos a cos b + sen a sen b

sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a cos b tg a tg b = = 1 + tg a tg b cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b (*) Dividimos numerador y denominador por cos a cos b. 4. Si sen 12 = 0,2 y sen 37 = 0,6, halla cos 12, tg 12, cos 37 y tg 37. Calcula, despus, a partir de ellas, las razones trigonomtricas de 49 y de 25, utilizando las frmulas (I) y (II). sen 12 = 0,2 cos 12 = 1 sen 2 12 = 1 0,04 = 0,98 0,2 tg 12 = = 0,2 0,98 sen 37 = 0,6 cos 37 = 1 sen 2 37 = 1 0,36 = 0,8 0,6 tg 37 = = 0,75 0,8 49 = 12 + 37, luego: sen 49 = sen (12 + 37) = sen 12 cos 37 + cos 12 sen 37 = = 0,2 0,8 + 0,98 0,6 = 0,748 cos 49 = cos (12 + 37) = cos 12 cos 37 sen 12 sen 37 = = 0,98 0,8 0,2 0,6 = 0,664 tg 12 + tg 37 0,2 + 0,75 tg 49 = tg (12 + 37) = = = 1,12 1 tg 12 tg 37 1 0,2 0,75 49 . (Podra calcularse tg 49 = sen cos 49 ) 25 = 37 12, luego: sen 25 = sen (37 12) = sen 37 cos 12 cos 37 sen 12 = = 0,6 0,98 0,8 0,2 = 0,428 cos 25 = cos (37 12) = cos 37 cos 12 + sen 37 sen 12 = = 0,8 0,98 + 0,6 0,2 = 0,904 tg 37 tg 12 0,75 0,2 tg 25 = tg (37 12) = = = 0,478 1 + tg 37 tg 12 1 + 0,75 0,2Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

65

5. Demuestra la siguiente igualdad: cos (a + b) + cos (a b) 1 = sen (a + b) + sen (a b) tg a cos (a + b ) + cos (a b ) cos a cos b sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b = = sen (a + b ) + sen (a b ) sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b cos a sen b = 2 cos a cos b cos a 1 = = 2 sen a cos b sen a tg a

6. Demuestra las tres frmulas (III.1), (III.2) y (III.3) haciendo a = b en las frmulas (I). sen 2a = sen (a + a) = sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a sen a sen a = cos 2 a sen 2 a tg 2a = tg (a + a) = tg a + tg a = 2 tg a 1 tg a tg a 1 tg 2 a

7. Halla las razones trigonomtricas de 60 a partir de las de 30. sen 60 = sen (2 30) = 2 sen 30 cos 30 = 2 cos 60 = cos (2 30) = tg 60 = tg (2 30) = cos 2 30 sen 2

3 1 3 = 2 2 22

3 30 =2

( ) () 1 2

2

=

3 1 2 1 = = 4 4 4 2

2 tg 30 2 3/3 2 3/3 2 3/3 = = = = 3 2 1 tg 2 30 1 3/9 2/3 1 ( 3/3)

8. Halla las razones trigonomtricas de 90 a partir de las de 45. sen 90 = sen (2 45) = 2 sen 45 cos 45 = 2 cos 90 = cos (2 45) = tg 90 = tg (2 45) = cos 2 45 sen 2

2 2 = 12 22

2 45 =2

( ) ( )2 2

2

=0

2 tg 45 21 = 8 No existe. 1 tg 2 45 11

9. Demuestra que: 2 sen a sen 2a 1 cos a = 2 sen a + sen 2a 1 + cos a 2 sen a sen 2a = 2 sen a 2 sen a cos a = 2 sen a (1 cos a) = 1 cos a 2 sen a + sen 2a 2 sen a + 2 sen a cos a 2 sen a (1 + cos a) 1 + cos a

66


UNIDAD

5

Pgina 13410. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las frmulas IV.1, IV.2 y IV.3. cos a = cos 2 a = cos 2 a sen 2 a 2 2 2 Por la igualdad fundamental: cos 2 a + sen 2 a = 1 8 1 = cos 2 a + sen 2 a 2 2 2 2 De aqu: a) Sumando ambas igualdades: 1 + cos a = 2 cos 2 a 2 8 cos 2 a = 1 + cos a 2 2 8 cos a = 2

(

)

1 + cos a 2

b) Restando las igualdades (2 1): 1 cos a = 2 sen 2 a 2 Por ltimo: 1 cos a 2 1 cos a tg a = sen a/2 = = 1 + cos a 2 cos a/2 1 + cos a 2 11. Sabiendo que cos 78 = 0,2, calcula sen 78 y tg 78. Averigua las razones trigonomtricas de 39 aplicando las frmulas del ngulo mitad. cos 78 = 0,2 sen 78 = 1 cos 2 78 = 1 0,22 = 0,98 tg 78 = 0,98 = 4,9 0,2 78 = 2 8 sen 2 a = 1 cos a 2 2 8 sen a = 2

1 2cos a

sen 39 = sen

78 = 2 1 cos 1 20,2 = 0,63 78 78 cos 39 = cos = = 2 1 + cos 2 1 +20,2 = 0,77 1 cos 78 1 0,2 78 tg 39 = tg = = 2 1 + cos 78 1 + 0,2 = 0,82


67

12. Halla las razones trigonomtricas de 30 a partir de cos 60 = 0,5. cos 60 = 0,5 sen 30 = sen

1 20,5 = 0,5 60 cos 30 = cos = 2 1 +20,5 = 0,866 60 tg 30 = tg = = 0,577 2 11 + 0,5 0,560 = 2

13. Halla las razones trigonomtricas de 45 a partir de cos 90 = 0. cos 90 = 0 sen 45 = sen

1 2 0 = 12 = 22 90 cos 45 = cos = 2 1 +2 0 = 22 90 tg 45 = tg = 2 11 + 00 = 1 = 190 = 2 a + sen a = tg a. 2

14. Demuestra que 2 tg a sen2

2 tg a sen 2 a + sen a = 2 tg a 1 cos a + sen a = 2 2 = sen a (1 cos a) + sen a = sen a cos a cos a + 1 = ( 1 ) cos a

1 = = sen a 1 cos a + cos a = sen a cos a cos a = sen a = tg a cos a 2 sen a sen 2 a a = tg2 . 2sen a + sen 2 a 2

(

)

15. Demuestra que

2 sen a sen 2a = 2 sen a 2 sen a cos a = 2 sen a + sen 2a 2 sen a + 2 sen a cos a = 2 sen a (1 cos a) = 1 cos a = tg 2 a 2 sen a (1 + cos a) 1 + cos a 2

68


UNIDAD

5

Pgina 13516. Para demostrar las frmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos: Expresa en funcin de a y b : cos (a + b) = .......... Sustituye en las expresiones anteriores: a+b=A 8 a=A+B 2 ab=B b= AB 2 cos (a b) = .......... Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrs dos expresiones.

cos (a + b) = cos a cos b sen a sen b cos (a b) = cos a cos b + sen a sen b Sumando 8 cos (a + b) + cos (a b) = 2 cos a cos b (1) Restando 8 cos (a + b) cos (a b) = 2 sen a sen b (2)

Llamando

a+b=A A+B AB , b= (al resolver el sistema) 8 a= 2 2 ab=B

Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene: (1) 8 cos A + cos B = 2 cos (2) 8 cos A cos B = 2 sen A+B AB cos 2 2 A+B AB sen 2 2

17. Transforma en producto y calcula: a) sen 75 sen 15 a) sen 75 sen 15 = 2 cos b) cos 75 + cos 15 c) cos 75 cos 15

75 + 15 75 15 sen = 2 2

= 2 cos 45 sen 30 = 2 b) cos 75 + cos 15 = 2 cos

2 1 = 22 2 2

75 + 15 75 15 cos = 2 2

= 2 cos 45 cos 30 = 2 c) cos 75 cos 15 = 2 sen

2 3 = 62 2 2

75 + 15 75 15 sen = 2 2

= 2 sen 45 cos 30 = 2

2 3 = 62 2 2


69

18. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fraccin y simplifica el resultado: sen 4a + sen 2 a cos 4a + cos 2a 4a + 2a 4a 2a 2 sen cos 2 2 sen 4a + sen 2a 2 sen 3a = = = tg 3a cos 4a + cos 2a 2 cos 3a 4a + 2a 4a 2a 2 cos cos 2 2

Pgina 1371. Resuelve estas ecuaciones: a) 2 cos 2 x + cos x 1 = 0 c) tg2 x tg x = 0 a) cos x = 1 1 + 8 1 3 = = 4 4 b) 2 sen 2 x 1 = 0 d) 2 sen 2 x + 3 cos x = 3 1/2 8 x1 = 60, x2 = 300 1 8 x3 = 180

Las tres soluciones son vlidas (se comprueba en la ecuacin inicial). b) 2 sen 2 x 1 = 0 8 sen 2 x = Si sen x = 1 2 1 8 sen x = = 2 2 2

2 8 x = 45, x = 135 1 22

Si sen x =

2 8 x = 45 = 315, x = 225 3 42 tg x = 0 8 x1 = 0, x2 = 180 tg x = 1 8 x3 = 45, x4 = 225

Todas las soluciones son vlidas. c) tg 2 x tg x = 0 8 tg x (tg x 1) = 0 Todas las soluciones son vlidas. d) 2 sen 2 x + 3 cos x = 3 8 2 (1 cos 2 x ) + 3 cos x = 3(*) (*)

Como sen 2 x + cos 2 x = 1 8 sen 2 x = 1 cos 2 x

2 2 cos 2 x + 3 cos x = 3 8 2 cos 2 x 3 cos x + 1 = 0 cos x = 3 9 8 31 = = 4 4 1 1/2

Entonces: Si cos x = 1 8 x1 = 0 Si cos x = 1 8 x2 = 60, x3 = 60 = 300 2

Las tres soluciones son vlidas.

70


UNIDAD

5

2. Resuelve: a) 4 cos 2x + 3 cos x = 1 c) 2 cos (x/2) cos x = 1 b) tg 2x + 2 cos x = 0 d) 2 sen x cos 2 x 6 sen 3 x = 0

a) 4 cos 2x + 3 cos x = 1 8 4 (cos 2 x sen 2 x ) + 3 cos x = 1 8 8 4 (cos 2 x (1 cos 2 x )) + 3 cos x = 1 8 4 (2 cos 2 x 1) + 3 cos x = 1 8 8 8 cos 2 x 4 + 3 cos x = 1 8 cos 2 x + 3 cos x 5 = 0 8 8 cos x = 3 9 + 160 3 13 = = 16 16 10/16 = 5/8 = 0,625 1

Si cos x = 0,625 8 x1 = 51 19' 4,13", x2 = 51 19' 4,13" Si cos x = 1 8 x3 = 180 Al comprobar las soluciones, las tres son vlidas. b) tg 2x + 2 cos x = 0 8 8 8 2 tg x + 2 cos x = 0 8 1 tg 2 x sen x/cos x + cos x = 0 8 1 (sen 2 x/cos 2 x )

tg x + cos x = 0 8 1 tg 2 x

sen x cos x + cos x = 0 8 sen x cos x + cos x (cos 2 x sen 2 x) = 0 8 cos 2 x sen 2 x

8 cos x (sen x + cos 2 x sen 2 x ) = 0 8 cos x (sen x + 1 sen 2 x sen 2 x ) 8 8 cos x (1 + sen x 2 sen 2 x ) = 0 8 cos x = 0 8 1 1 + 8 = 1 + sen x 2 sen 2 x = 0 8 sen x = 4 Si cos x = 0 8 x1 = 90, x2 = 270 Si sen x = 1 8 x3 = 210, x4 = 330 = 30 2 1/2 1

Si sen x = 1 8 x5 = 90 = x1 Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son vlidas. c) 2 cos x cos x = 1 8 2 2 x 1 + cos 2 cos x = 1 8

8 1 + cos x

cos x = 1 8 1 cos x = 1 + cos x 8

8 1 + cos x = 1 + cos 2 x + 2 cos x 8 cos 2 x + cos x = 0 8 cos x (cos x + 1) = 0 Si cos x = 0 8 x1 = 90, x2 = 270 Si cos x = 1 8 x3 = 180 Al comprobar las soluciones, podemos ver que las nicas vlidas son: x1 = 90 y x3 = 180


71

d) 2 sen x cos 2 x 6 sen 3 x = 0 8 2 sen x (cos 2 x 3 sen 2 x ) = 0 8 8 2 sen x (cos 2 x + sen 2 x 4 sen 2 x ) = 0 8 2 sen x (1 4 sen 2 x ) = 0 Si sen x = 0 8 x1 = 0, x2 = 180 Si sen 2 x = 1 1 8 sen x = x3 = 30, x4 = 150, x5 = 210, x6 = 330 4 2

Comprobamos las soluciones y observamos que son vlidas todas ellas. 3. Transforma en producto sen 3x sen x y resuelve despus la ecuacin sen 3x sen x = 0. sen 3x sen x = 0 8 2 cos cos 2x = 0 8 sen x = 0 2x 2x Si cos 2x = 0 8 2x 2x = = = = 90 270 90 + 360 270 + 360 8 8 8 8 x1 x2 x3 x4 = = = = 45 135 225 315 3x + x 3x x sen = 0 8 2 cos 2x sen x = 0 8 2 2

Si sen x = 0 x5 = 0, x6 = 180 Comprobamos que las seis soluciones son vlidas. 4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonomtricas: a) sen ( x) = cos b) sen

( )

(

3 x + cos 2

)

x + 2 sen x = 0 4

a) sen ( x ) = sen x

3 x = sen x Entonces, la ecuacin queda: cos 2 cos = 1

(

)

sen x = sen x 1 8 2 sen x = 1 8 sen x = Si sen x = 1 2 8 x1 = 7 rad, x2 = 11 rad 6 6

1 2

Al comprobar vemos: 1 x1 = 7 8 sen ( x ) = sen 7 = sen = 2 6 6 6 1 cos 3 x = cos 3 7 = cos 2 = cos = 2 2 2 6 6 3

(

)

(

)

(

)

72


UNIDAD

5

Luego la solucin es vlida, pues: sen ( x ) = 1 1 = cos 3 x + cos = + (1) 2 2 2

(

)

1 x2 = 11 8 sen ( x ) = sen 11 = sen 5 = 2 6 6 6

( ) 1 cos ( 3 x) = cos ( 3 11 ) = cos ( 2 ) = cos ( ) = 2 2 2 6 6 3sen ( x ) = 1 1 + (1) = cos 3 x + cos = 2 2 2

(

)

Luego tambin es vlida esta solucin, pues:

(

)

Por tanto, las dos soluciones son vlidas: x1 = 7 rad y x2 = 11 rad 6 6

2 cos x 2 sen x b) sen x = sen cos x cos sen x = 2 2 4 4 4Luego la ecuacin queda:

(

)

2 cos x 2 sen x + 2 cos x + 2 sen x = 0 8 2 sen x = 0 82 2 2 2 8 cos x + sen x = 0 8 cos x = sen x 8 x1 = 3 rad, x2 = 7 rad 4 4 Comprobamos que ninguna solucin vale. Luego la ecuacin no tiene solucin. 5. Escribe, en radianes, la expresin general de todos los ngulos que verifican: a) tg x = 3 c) sen 2 x = 1 b) sen x = cos x d) sen x = tg x

a) x = 120 + k 360 o bien x = 300 + k 360 Las dos soluciones quedan recogidas en: x = 120 + k 180 = 2 + k rad con k Z 3 b) x = + k rad con k Z 4 c) Si sen x = 1 8 x = + 2k rad 2 Si sen x = 1 8 x = 3 + 2k rad 2 d) En ese caso debe ocurrir que: O bien sen x = 0 8 x = k rad O bien cos x = 1 8 x = 2k rad 8 x = k rad con k Z + k rad con k Z 2

8 x=


73

Pgina 142 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOSPARA PRACTICAR

Grados y radianes1 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ngulos dados en radianes: a) d) 6 5 4 b) e) 2 3 7 6 c) f) 4 3 9 2

Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que: radianes = 180. a) 30 d) 225 b) 120 e) 210 c) 240 f) 810

2 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ngulos dados en radianes: a) 1,5 c) 5 a) c) 360 1,5 = 85 56' 37" 2 360 5 = 286 28' 44" 2 b) 3,2 d) 2,75 b) d) 360 3,2 = 183 20' 47" 2 360 2,75 = 157 33' 48" 2

3 Pasa a radianes los siguientes ngulos dados en grados. Exprsalos en funcin de y en forma decimal. a) 40 d) 240 b) 108 e) 270 c) 135 f) 126

Simplifica la expresin que obtengas sin multiplicar por 3,14...a) 40 2 0,7 rad = 180 9

a) c) e)

2 40 = 2 0,7 rad 360 9 2 135 = 3 2,36 rad 360 4 2 270 = 3 4,71 rad 360 2

b) d) f)

2 108 = 3 1,88 rad 360 5 2 240 = 4 4,19 rad 360 3 2 126 = 7 2,2 rad 360 10

74


UNIDAD

5

4 Halla el resultado de las siguientes operaciones sin utilizar la calculadora: a) 5 cos 3 cos 0 + 2 cos cos + cos 2 2 2 3 2 tg 0 + sen 2 sen 2 2 2

b) 5 tg + 3 cos c)

2 5 3 sen 4 sen + 3 sen sen 3 3 2 2 2

Comprueba el resultado obtenido utilizando la calculadora. a) 5 0 1 + 2 (1) 0 + 1 = 2 b) 5 0 + 3 0 2 0 + (1) 2 0 = 1 2 5 c) 1 4(1) + 3 0 1 = 3 3 3 5 Prueba que: a) 4 sen + 2 cos + cos = 2 6 4 2 + 4 sen 2 sen = 3 3 6 2

b) 2 3 sen

2 + (1) = 2 + 1 1 = 2 1 a) 4 sen + 2 cos + cos = 4 + 2 2 2 6 4 3 + 4 1 2 1 = 3 + 2 2 = 3 b) 2 3 sen 2 + 4 sen 2 sen = 2 3 2 2 3 6 26 Halla el valor exacto de cada una de estas expresiones sin utilizar la calculadora: a) sen + sen + sen 4 2 3 cos 2 2

b) cos cos 0 + cos c) sen

2 7 4 11 cos + tg + tg 3 6 3 6

Comprueba los resultados con la calculadora. a)

22

+1+0=

2 + 22

b) 1 1 + 0 0 = 2 c)

32

( )32

+ 3 +

( ) (33 = 3

1 1 1 53 + +1 = 2 2 3 3

)


75

7 Halla el valor exacto de estas expresiones sin usar la calculadora: a) sen b) cos 5 3 7 + cos sen 4 4 4 5 4 7 + tg tg 3 3 6 + sen 2 cos 2 3 sen 6 6 4 3

c) 3 cos

Comprueba los resultados con la calculadora. a) b)

22

+

( ) ( )22

22

=

22

1 3 1 23 + 3 = + 2 2 3 3

c) 3

32

+

1 2 3 3 1 2 23 = + 1 3 = 2 2 2 2 2 2

8 En cada caso halla, en radianes, dos valores para el ngulo a tales que: a) sen a = 0,32 c) tg a = 1,5 a) a1 = 0,33; a2 = 2,82 c) a1 = 0,98; a2 = 2,16 b) cos a = 0,58 d) sen a = 0,63 b) a1 = 0,95; a2 = 5,33 d) a1 = 0,68; a2 = 3,82

9 Indica, sin pasar a grados, en qu cuadrante est cada uno de los siguientes ngulos: a) 2 rad Ten en cuenta que: 1,57; 2 3,14; 3 4,7; 2 2 6,28

b) 3,5 rad

c) 5 rad

a) 2. cuadrante

b) 3.er cuadrante

c) 4. cuadrante

Frmulas trigonomtricas10 Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 75 sabiendo que 75 = 30 + 45. sen 75 = sen (30 + 45) = sen 30 cos 45 + cos 30 sen 45 = 3 2 = 2 + 6 1 2 = + 2 2 2 2 4

76


UNIDAD

5

cos 75 = cos (30 + 45) = cos 30 cos 45 sen 30 sen 45 = 3 2 1 2 = 6 2 = 2 2 2 2 4 ( 3 + 3)/3 = 3/3 + 1 tg 30 + tg 45 tg 75 = tg (30 + 45) = = = 1 tg 30 tg 45 ( 3 3)/3 1 3/3 2 3 + 3 3 + 3 9 + 3 + 6 3 = = = = 6 93 3 3 12 + 6 3 = = 2 + 3 6

(

)

NOTA:

Tambin podemos resolverlo como sigue: 2 2 + 6 2 + 6 2 + 6 + 2 12 sen 75 tg 75 = = = = = cos 75 62 4 6 2 8 + 4 3 = = 2 + 3 4

(

)

11 Sabiendo que sen x = valor de x: a) sen 2 x d) cos x

3 y que < x < , calcula, sin hallar previamente el 5 2 b) tg x 2 x 2 c) sen x + f ) tg x +

( ) 3 sen x 3 = cos x 4

e) cos

( ) ( ) 6 4

Calcula cos x y tg x y despus aplica las frmulas. cos x = 1 sen 2 x = tg x =

9 1 = 4 (Negativo, por ser del 2. cuadrante). 5 25

a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 b) tg x = 2

3 4 24 = 5 5 25 1 (4/5) = 1 + (4/5)

( )

1 cos x = 1 + cos x

9/5 =3 1/5 x 1.er cuadrante. 2

Signo positivo, pues si x 2. cuadrante, entonces c) sen x + = sen x cos + cos x sen = 6 6 6 3 3 4 3 3 4 1 = + = 2 5 5 2 10

(

)

( )


77

d) cos x = cos x cos + sen x sen = 3 3 3 3 3 4 4 1 3 3 = + = 2 5 2 5 10

(

)

( )

e) cos(*)

x (*) = 2

x 1 10 = = = 10 1 + cos 2 1 24/5 = 1/5 2 10 x 1.er cuadrante. 2

Signo positivo, porque

3/4 + 1 1 3/4 1 f ) tg x + = tg x + tg /4 = = = 1 (3/4) 1 1 + 3/4 7 4 1 tg x tg /4

(

)

Pgina 14312 Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 15 de dos formas, considerando: a) 15 = 45 30 b) 15 = 30 2

a) sen 15 = sen (45 30) = sen 45 cos 30 cos 45 sen 30 = 2 3 2 1 = 6 2 = 0,258819 = 2 2 2 2 4 cos 15 = cos (45 30) = cos 45 cos 30 + sen 45 sen 30 = 2 3 + 2 1 = 6 + 2 = 0,965926 = 2 2 2 2 4 6 2 6 + 2 2 12 sen 15 tg 15 = = = = cos 15 62 6 + 2 8 4 3 = = 2 3 = 0,267949 4 30 b) sen 15 = sen = 2 =

1 cos 30 = 2

1 3/2 = 2

2 3 = 4

2 3 = 0,2588192 30 = 2 1 + cos 30 = 2 1 + 3/2 = 2 2 + 3 = 0,9659258 4

cos 15 = cos

tg 15 =

2 3 = 0,258819 = 0,2679491 0,9659258 2 + 3Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

78

UNIDAD

5

13 Sabiendo que sen x = 2/3 y que x es un ngulo del primer cuadrante, calcula: a) sen 2x er x 1. cuadrante sen x = 2 3 b) tg x 2 c) cos (30 x)

8

cos x, tg x > 0 sen x/2 > 0 x er 1. cuadrante 8 cos x/2 > 0 2 tg x/2 > 0

cos x = 1 sen 2 x = 1 tg x = 2/3

5 4 = 3 9

5/3

=

2 5 5 4 5 2 5 = 3 9 3

a) sen 2x = 2 sen x cos x = 2 x b) tg = 2

=

1 cos x = 1 + cos x

1 2 5/5 5 25 = = 1 + 2 5/5 5 + 25 25 + 4 5 20 5 45 20 5 = = 9 4 5 25 4 5 5

c) cos (30 x ) = cos 30 cos x + sen 30 sen x = =

3 2 5 + 1 2 =2 5 2 3

15 + 1 = 3 15 + 55 3 15

14 Si tg a = 4/3 y 90 < a < 180, calcula: a) sen

( ) a 2 4 3

b) cos 180

(

a 2

)

sen a > 0 90 < a < 180 8 cos a < 0 Adems, a 1.er cuadrante 2 tg a =

16 25 9 3 1 = tg 2 a + 1 = +1= 8 cos 2 a = 8 cos a = 9 9 25 5 cos 2 a

sen a = 1 cos 2 a =

3 4 3 0 = a) sen a = sen cos a cos sen a = 1 5 5 5 2 2 2Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

(

)

9 1 = 25

4 = 5 16 25

( )

79

b) cos 180 a = cos 180 cos a + sen 180 sen a = cos a = 2 2 2 2 a 3 = = 1 + cos 2 1 + (3/5) 2 5 10 2 5 = = = 5 10 1 5 = 15 Sabemos que cos x = 3 y sen x < 0. 4 b) cos ( + x) e) sen x 2 c) cos 2x =

(

)

Sin hallar el valor de x, calcula: a) sen x d) tg x 2

( )

f ) cos x 2. cuadrante 2 7 7 = 4 16 3 4

( )x 2

cos x = 3/4 8 x 3.er cuadrante sen x < 0 a) sen x = 1 cos 2 x =

9 1 = 16

b) cos ( + x ) = cos cos x sen sen x = cos x = c) cos 2x = cos 2 x sen 2 x = 9 7 2 1 = = 16 16 16 8

d) tg

cos x 3/4 = = = 7 11 + cos x 11 + 3/4 7 1 3 e) sen ( x) = sen cos x cos sen x = cos x = 4 2 2 2 x = 2

f) cos

(

x x x x = cos cos + sen sen = cos = 2 2 2 2 =

)

(

1 + cos x 2

)

=

8 = 8 1 23/4 = 1 8

16 Si cos 78 = 0,2 y sen 37 = 0,6, calcula sen 41, cos 41 y tg 41. 41 = 78 37 sen 78 = 1 cos 2 78 = 1 0,22 = 0,98 cos 37 = 1 sen 2 37 = 1 0,62 = 0,8

80


UNIDAD

5

Ahora, ya podemos calcular: sen 41 = sen (78 37) = sen 78 cos 37 cos 78 sen 37 = = 0,98 0,8 0,2 0,6 = 0,664 cos 41 = cos (78 37) = cos 78 cos 37 + sen 78 sen 37 = = 0,2 0,8 + 0,98 0,6 = 0,748 tg 41 = sen 41 0,664 = = 0,8877 cos 41 0,748

17 Si tg (a + b) = 4 y tg a = 2, halla tg 2b. tg (a + b) = tg a + tg b 1 tg a tg b 8 4 = 2 + tg b 1 + 2 tg b 6 7 8

8 4 + 8 tg b = 2 + tg b 8 7 tg b = 6 8 8 tg b = Luego: tg 2b = 2 tg b = 2 (6/7) = 12/7 = 12 49 = 84 1 36/49 13/49 7 13 13 1 tg 2 b

Ecuaciones trigonomtricas18 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 cos2 x sen2 x + 1 = 0 c) 2 cos2 x 3 cos x = 0 b) y c) son ecuaciones de 2. grado incompletas. a) 2 cos 2 x 14243 sen 2 x + 1 = 0 cos 2 x 8 2 cos 2 x cos 2 x = 0 b) sen2 x sen x = 0

x1 = 90 cos 2 x = 0 8 cos x = 0 8 x = 270 2 Al comprobarlas en la ecuacin inicial, las dos soluciones son vlidas. Luego: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 270 + k 360 = 3 + 2k 2 Lo que podemos expresar como: x = 90 + k 180 = + k con k Z 2Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

con k Z

81

b) sen x (sen x 1) = 0 8 sen x = 0 8 x1 = 0, x2 = 180 8 sen x = 1 8 x3 = 90 Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son vlidas. Luego: x1 = k 360 = 2k x2 = 180 + k 360 = + 2k x3 = 90 + k 360 = + 2k 2 O, de otra forma: x1 = k = k 180 x3 = + 2k = 90 + k 360 2 con k Z

con k Z

(x1 as incluye las soluciones x1 y x2 anteriores) c) cos x 2 cos x 3 = 0 8 cos x = 0 8 x = 90, x = 270 1 2 8 3 cos x = 8 x3 = 30, x4 = 330 2 Las cuatro soluciones son vlidas. Luego: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 270 + k 360 = 3 + 2k 2 x3 = 30 + k 360 = + 2k 6 x4 = 330 + k 360 = 11 + 2k 6NOTA:

(

)

con k Z

Obsrvese que las dos primeras soluciones podran escribirse como una sola de la siguiente forma: x = 90 + k 180 = + k 2 b) cos2 x sen2 x = 0 d) 3 tg2 x 3 tg x = 0

19 Resuelve: a) sen2 x cos2 x = 1 c) 2 cos2 x + sen x = 1

a) (1 cos 2 x ) cos 2 x = 1 8 1 2 cos 2 x = 1 8 cos 2 x = 0 8 x1 = 90 8 cos x = 0 8 x = 270 2

82


UNIDAD

5

Las dos soluciones son vlidas. Luego: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 270 + k 360 = 3 + 2k 2 O, lo que es lo mismo: x = 90 + k 180 = + k con k Z 2 b) (1 sen 2 x ) sen 2 x = 0 8 1 2 sen 2 x = 0 8 8 sen 2 x = Si sen x =

con k Z

2 1 8 sen x = 2 2 2 8 x = 45, x = 135 1 22

Si sen x =

22

8 x3 = 225, x4 = 315

Comprobamos que todas las soluciones son vlidas. Luego: x1 = 45 + k 360 = + 2k 4 x2 = 135 + k 360 = 3 + 2k 4 x3 = 225 + k 360 = 5 + 2k 4 x4 = 315 + k 360 = 7 + 2k 4 O, lo que es lo mismo: x = 45 + k 90 = + k 4 2 con k Z

con k Z

c) 2 (1 sen 2 x ) + sen x = 1 8 2 2 sen 2 x + sen x = 1 8 8 2 sen 2 x sen x 1 = 0 8 8 sen x = 1 1 + 8 13 = = 4 4 1 8 x1 = 90 1/2 8 x2 = 210, x3 = 330

Las tres soluciones son vlidas, es decir: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 210 + k 360 = 7 + 2k 6 x3 = 330 + k 360 = 11 + 2k 6

con k Z


83

d) tg x 3 tg x 3 = 0 8 tg x = 0 8 x1 = 0, x2 = 180 8 tg x = 3 8 x = 30, x = 210 3 4 3 Comprobamos las posibles soluciones en la ecuacin inicial y vemos que las cuatro son vlidas. Entonces: x1 = k 360 = 2k x2 = 180 + k 360 = + 2k x3 = 30 + k 360 = + 2k 6 x4 = 210 + k 360 = 7 + 2k 6

(

)

con k Z

Lo que podra expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro anteriores: x1 = k 180 = k y x2 = 30 + k 180 = + k con k Z 6 20 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen

( )

1 x + cos x = 2 6 3

( )

b) sen 2 x 2 cos2 x = 0 Desarrolla sen 2x y saca factor comn. c) cos 2x 3 sen x + 1 = 0 Desarrolla cos 2x y sustituye cos 2 x = 1 sen 2 x. d) sen

( )

+ x 2 sen x = 0 4

1 a) sen cos x cos sen x + cos cos x + sen sen x = 2 6 6 3 3

3 sen x + 1 cos x + 3 sen x = 1 1 cos x 2 2 2 2 21 1 1 1 cos x + cos x = 8 cos x = 2 2 2 2 Comprobamos y vemos que: 1 1 +1= x1 8 sen + cos = sen + cos 0 = 2 2 6 3 3 3 6 x2 8 x1 = /3 x2 = 5/3

( ) ( ) ( ) 1 1 = sen ( 5 ) + cos ( 5 ) = sen ( 3 ) + cos ( 4 ) = 1 2 2 6 3 3 3 3 3Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

84

UNIDAD

5

Son vlidas las dos soluciones. Luego: x1 = + 2k = 60 + k 360 3 x2 = 5 + 2k = 300 + k 360 3 con k Z

b) 2 sen x cos x 2 cos 2 x = 0 8 2 cos x (sen x cos x ) = 0 8 cos x = 0 8 x1 = 90, x2 = 270 8 sen x = cos x 8 x3 = 45, x4 = 225 Comprobamos las soluciones. Todas son vlidas: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 270 + k 360 = 3 + 2k 2 x3 = 45 + k 360 = + 2k 4 x4 = 225 + k 360 = 5 + 2k 4

con k Z

Tambin podramos expresarlas como: x1 = 90 + k 180 = + k 2 x2 = 45 + k 180 = + k 4

con k Z

c) cos 2 x sen 2 x 3 sen x + 1 = 0 8 1 sen 2 x sen 2 x 3 sen x + 1 = 0 8 8 1 2 sen 2 x 3 sen x + 1 = 0 8 2 sen 2 x + 3 sen x 2 = 0 8 8 sen x = 3 9 + 16 3 5 = = 4 4 1/2 8 x1 = 30, x2 = 150 2 8 Imposible, pues |sen x | 1

Comprobamos que las dos soluciones son vlidas. Luego: x1 = 30 + k 360 = + 2k 6 x2 = 150 + k 360 = 5 + 2k 6

con k Z

d) sen cos x + cos sen x 2 sen x = 0 4 4

2 cos x + 2 sen x 2 sen x = 02 2


85

2 cos x 2 sen x = 0 8 cos x sen x = 0 82 2 8 cos x = sen x 8 x1 = , x2 = 5 4 4 Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son vlidas. Luego: x1 = + 2k = 45 + k 360 4 x2 = 5 + 2k = 225 + k 360 4

con k Z

Podemos agrupar las dos soluciones en: x = + k = 45 + k 180 con k Z 4 21 Resuelve estas ecuaciones: a) 4 sen2 x cos2 x + 2 cos2 x 2 = 0 Al hacer sen 2 x = 1 cos2 x, resulta una ecuacin bicuadrada.Haz cos 2 x = z y comprueba si son vlidas las soluciones que obtienes.

b) 4 sen2 x + sen x cos x 3 cos2 x = 0 Divide por cos 2 x y obtendrs una ecuacin con tg x. c) cos 2 d) tg 2 x 1 + cos x = 0 2 2

x + 1 = cos x 2 x + cos 2x = 0 2

e) 2 sen2

a) 4 (1 cos 2 x ) cos 2 x + 2 cos 2 x 2 = 0 4 cos 2 x 4 cos 4 x + 2 cos 2 x 2 = 0 4 cos 4 x 6 cos 2 x + 2 = 0 8 2 cos 4 x 3 cos 2 x + 1 = 0 Sea cos 2 x = z 8 cos 4 x = z 2 As: 2z 2 3z + 1 = 0 8 z = 3 9 8 31 = 4 4 x1 = 0 x2 = 180 x3 = 45, x4 = 315 x5 = 135, x6 = 225

z1 = 1 8 cos x = 1 z2 =

2 1 8 cos x = 2 2

86


UNIDAD

5

Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son vlidas. Por tanto: x1 = k 360 = 2k x2 = 180 + k 360 = + 2k x3 = 45 + k 360 = + 2k 4 x4 = 315 + k 360 = 5 + 2k 4 x5 = 135 + k 360 = 3 + 2k 4 x6 = 225 + k 360 = 7 + 2k 4 O, agrupando las soluciones: x1 = k 180 = k x2 = 45 + k 90 = + k 4 2 b) Dividiendo por cos 2 x : 4 sen 2 x sen x cos x 3 cos 2 x = 0 8 4 tg 2 x + tg x 3 = 0 8 + cos 2 x cos 2 x cos 2 x 3 8 x1 = 36 52' 11,6" x = 216 52' 11,6" 4 2 1 1 + 48 1 7 8 tg x = = = 8 8 x = 135 1 8 3 x4 = 315 Las cuatro soluciones son vlidas: x1 = 36 52' 11,6" + k 360 + 2k 5 x2 = 216 52' 11,6" + k 360 6 + 2k 5 x3 = 135 + k 360 = 3 + 2k 5 x4 = 315 + k 360 = 7 + 2k 5 x1 = 36 52' 11,6" + k 180 + k 5 x2 = 135 + k 180 = 3 + k 4 O, lo que es lo mismo: con k Z

con k Z

con k Z

con k Z


87

c)

1 + cos x 1 + cos x = 0 8 1 + cos x + 2 cos x 1 = 0 8 2 2 8 3 cos x = 0 8 cos x = 0 8 x1 = 90, x2 = 270 Las dos soluciones son vlidas. Luego: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 270 + k 360 = 3 + 2k 2 Agrupando las soluciones: x = 90 + k 180 = + k con k Z 2

con k Z

d)

1 cos x + 1 = cos x 8 1 cos x + 1 + cos x = cos x + cos 2 x 8 1 + cos x 8 2 = cos x + cos 2 x 8 cos 2 x + cos x 2 = 0 8 8 cos x = 1 1 + 8 1 3 = 2 2 1 8 x = 0 2 8 Imposible!, pues |cos x | 1

Luego: x = k 360 = 2k con k Z e) 2 1 cos x + cos 2 x sen 2 x = 0 8 2

8 1 cos x + cos 2 x (1 cos 2 x ) = 0 8 8 1 cos x + cos 2 x 1 + cos 2 x = 0 8 2 cos 2 x cos x = 0 8 cos x = 0 8 x1 = 90, x2 = 270 8 cos x (2 cos x 1) = 0 8 cos x = 1/2 8 x3 = 60, x4 = 300 Se comprueba que son vlidas todas. Por tanto: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 270 + k 360 = 3 + 2k 2 x3 = 60 + k 360 = + 2k 3 x4 = 300 + k 360 = 5 + 2k 3

con k Z

Agrupando las soluciones quedara: x1 = 90 + k 180 = + k 2 x2 = 60 + k 360 = + 2k 3 x3 = 300 + k 360 = 5 + 2k 3

con k Z

88


UNIDAD

5

Identidades trigonomtricas22 Demuestra que: sen (a + b) tg a + tg b = sen (a b) tg a tg b Aplica las frmulas de sen (a + b) y sen (a b).Divide el numerador y el denominador por cos a cos b y simplifica.*) sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b (= sen (a b) sen a cos b cos a sen b

sen a cos b cos a sen b + cos a cos b cos a cos b = = tg a + tg b tg a tg b sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a cos b(*)

Dividimos numerador y denominador entre cos a cos b. x sen x = tg x. 2

23 Prueba que 2 tg x cos2 Sustituye cos 2 x = 2

x 1 + cos x . = 2 2

Como cos

x 1 + cos 2

8 cos 2

x 1 + cos x = 2 2

Y sustituyendo en la expresin: 2 tg x cos 2 x sen x 1 + cos x sen x = 2 sen x = 2 cos x 2 = =(*)

sen x (1 + cos x ) sen x cos x (*) = cos x sen x [1 + cos x cos x ] sen x = = tg x cos x cos x

Sacando factor comn.

24 Demuestra que:

cos x +

( )

2 cos x + = cos x 3 33 3

(

)

Desarrolla y sustituye las razones de y 2 .


89

cos x + cos x + 2 = 3 3 = cos x cos sen x sen cos x cos 2 sen x sen 2 = 3 3 3 3 = (cos x)

(

)

(

)

[

] [

]

[

3 (cos x) 1 (sen x) 3 = 1 (sen x) 2 2 2 2

][

( )

]

=

3 sen x + 1 cos x + 3 sen x = cos x 1 cos x 2 2 2 2

25 Demuestra que: cos a cos (a b) + sen a sen (a b) = cos b Aplica las frmulas de la diferencia de ngulos, simplifica y extrae factor comn. cos a cos (a b) + sen a sen (a b) = = cos a (cos a cos b + sen a sen b) + sen a (sen a cos b cos a sen b) = = cos 2 a cos b + cos a sen a sen b + sen 2 a cos b sen a cos a sen b = = cos 2 a cos b + sen 2 a cos b = cos b (cos 2 a + sen 2 a) = cos b 1 = cos b(*) (*)

Extraemos factor comn.

Pgina 144PARA RESOLVER26 En una circunferencia de 16 cm de radio, un arco mide 20 cm. Halla el ngulo central en grados y en radianes.2

a 16 cm

Como la circunferencia completa (100,53 cm) son 2 rad, entonces: 100,53 = 2 8 a = 20 2 = 1,25 rad 20 a 100,53 a= 360 1,25 = 71 37' 11" 2Unidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

0

cm

90

UNIDAD

5

27 En una determinada circunferencia, a un arco de 12 cm de longitud le corresponde un ngulo de 2,5 radianes. Cul es el radio de esa circunferencia?12 cm

2,5 rad

2,5 rad 12 cm = 1 rad R cm

8 R=

12 = 4,8 cm 2,5

28 Halla, en radianes, el ngulo comprendido entre 0 y 2 tal que sus razones 11 trigonomtricas coincidan con las de . 4 0 < a < 2 11 8 + 3 = 4 4 29 Demuestra: cos (a b) 1 + tg a tg b = cos (a + b) 1 tg a tg b*) cos (a b) = cos a cos b + sen a sen b ( = cos (a + b) cos a cos b sen a sen b (*)

8

11 3 3 = 2 + a= 4 4 4

cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b = = 1 + tg a tg b 1 tg a tg b cos a cos b sen a sen b cos a cos b cos a cos b 30 Simplifica la expresin: sen 2a 1 cos2 a Calcula su valor para a = . 4

Dividimos numerador y denominador entre: cos a cos b

sen 2a = 2 sen a cos a = 2 cos a sen a 1 cos 2 a sen 2 a Por tanto, si a = 4 sen 2a = 2 cos a = sen a 1 cos 2 a 2 2 2

( )2

2

=2


91

31 Prueba que: 2sen a sen 2a a = tg 2 2sen a + sen 2a 2 2 sen a sen 2a = 2 sen a 2 sen a cos a = 2 sen a (1 cos a) = 2 sen a + sen 2a 2 sen a + 2 sen a cos a 2 sen a (1 + cos a) = 1 cos a = tg 2 a 1 + cos a 2 32 Simplifica: 2cos (45 + a) cos (45 a) cos 2a Al desarrollar el numerador, obtendrs una diferencia de cuadrados. 2 cos (45 + a) cos (45 a) = cos 2a = 2 (cos 45 cos a sen 45 sen a) (cos 45 cos a + sen 45 sen a) = cos 2 a sen 2 a 2 (cos 2 45 cos 2 a sen 2 45 sen 2 a) = cos 2 a sen 2 a 2 2 2 2/2 cos 2 a 2/2 sen 2 a 2 1/2 cos 2 a 2 1/2 sen 2 a = = = 2 2 cos a sen a cos 2 a sen 2 a =

[(

)

(

)

]

=

cos 2 a sen 2 a =1 cos 2 a sen 2 a

33 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos 2x + 3 sen x = 2 b) tg 2x tg x = 1 c) cos x cos 2x + 2 cos 2 x = 0 d) 2 sen x = tg 2x e) 3 sen x + cos x 1 = 0 2

f ) sen 2x cos x = 6 sen3 x g) tg

( )

x + tg x = 1 4

a) cos 2 x sen 2 x + 3 sen x = 2 8 1 sen 2 x sen 2 x + 3 sen x = 2 8 8 2 sen 2 x 3 sen x + 1 = 0 8 8 sen x = 3 9 8 31 = 4 4 1 8 x1 = 90 1/2 8 x1 = 30, x2 = 150

92


UNIDAD

5

Las tres soluciones son vlidas: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 30 + k 360 = + 2k 6 x3 = 150 + k 360 = 5 + 2k 6 b)

con k Z

2 tg x tg x = 1 8 2 tg 2 x = 1 tg 2 x 8 tg 2 x = 1 8 3 1 tg 2 x 8 tg x =

3 8 x1 = 30, x2 = 210 3

x3 = 150, x4 = 330

Las cuatro soluciones son vlidas: x1 = 30 + k 360 = + 2k 6 x2 = 210 + k 360 = 7 + 2k 6 x3 = 150 + k 360 = 5 + 2k 6 x4 = 330 + k 360 = 11 + 2k 6 Agrupando: x1 = 30 + k 180 = + k 6 x2 = 150 + k 180 = 5 + k 6

con k Z

con k Z

c) cos x (cos 2 x sen 2 x ) + 2 cos 2 x = 0 8 8 cos x (cos 2 x 1 + cos 2 x) + 2 cos 2 x = 0 8 8 2 cos 3 x cos x + 2 cos 2 x = 0 8 cos x (2 cos 2 x + 2 cos x 1) = 0 8 8 cos x = 0 8 x1 = 90, x2 = 270 cos x = 2 4 + 8 2 2 3 = = 4 4 1,366 8 Imposible!, pues |cos x | 1 1 3 = 0,366 8 x3 = 68 31' 51,1", x4 = 291 28' 8,9" 2


93

Las soluciones son todas vlidas: x1 = 90 + k 360 = + 2k 2 x2 = 270 + k 360 = 3 + 2k 2 x3 = 68 31' 51,1" + k 360 0,38 + 2k x4 = 291 28' 8,9" + k 360 1,62 + 2k Agrupadas, seran: x1 = 90 + k 180 = + k 2 x2 = 68 31' 51,1" + k 360 0,38 + 2k x3 = 291 28' 8,9" + k 360 1,62 + 2k d) 2 sen x = 2 tg x 1 tg 2 x

con k Z

con k Z

8 2 sen x 2 sen x tg 2 x = 2 tg x 8 8

8 sen x sen x

sen 2 x sen x = cos x cos 2 x

8 sen x cos 2 x sen x sen 2 x = sen x cos x 8 8 sen x (cos 2 x sen 2 x cos x) = 0 8 8 sen x (cos 2 x 1 + cos 2 x cos x) = 0 8 sen x = 0 8 x = 0, x = 180 1 2 8 2 cos 2 x cos x 1 = 0 8 cos x = 1 1 + 8 = 4 = 1 8 x3 = 0 = x1 1/2 8 x4 = 240, x5 = 120

Las cuatro soluciones son vlidas. Luego: x1 = k 360 = 2k x2 = 180 + k 360 = + 2k x3 = 240 + k 360 = 4 + 2k 3 x4 = 120 + k 360 = 2 + 2k 3

con k Z

Que, agrupando soluciones, quedara: x1 = k 180 = k x2 = 120 + k 360 = 2 + 2k 3 x3 = 240 + k 360 = 4 + 2k 3

con k Z

94


UNIDAD

5

e) 3

x 2 1 cos

+ cos x 1 = 0 8

3 3 cos x = (1 cos x )2 8 2

8 3 3 cos x = 2 (1 + cos 2 x 2 cos x) 8 2 cos 2 x cos x 1 = 0 8 8 cos x = 1 1 + 8 13 = = 4 4 1 8 x1 = 0 1/2 8 x2 = 120, x3 = 240

Al comprobar, vemos que las tres soluciones son vlidas: x1 = k 360 = 2k x2 = 120 + k 360 = 2 + 2k 3 x3 = 240 + k 360 = 4 + 2k 3

con k Z

f) 2 sen x cos x cos x = 6 sen 3 x 8 2 sen cos 2 x = 6 sen 3 x 8 8 2 sen x (1 sen 2 x) = 6 sen 3 x 8 2 sen x 2 sen 3 x = 6 sen 3 x 8 8 sen x = 0 8 x1 = 0, x2 = 180 sen 2 x = 1 1 8 sen x = 8 4 2 x3 = 30, x4 = 150 x5 = 210, x6 = 330

Comprobamos que todas las soluciones son vlidas. Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro: x1 = k 180 = k x2 = 30 + k 90 = + k 6 2 g) tg (/4) + tg x + tg x = 1 8 1 tg (/4) tg x 8 tg x (tg x 3) = 0 8 tg x = 0 8 x1 = 0, x2 = 180 8 tg x = 3 8 x3 = 71 33' 54,2", x4 = 251 33' 54,2" Las cuatro soluciones son vlidas: x1 = k 360 = 2k x2 = 180 + k 360 = + 2k x3 = 71 33' 54,2" + k 360 2 + 2k 5 x4 = 251 33' 54,2" + k 360 7 + 2k 5

con k Z

1 + tg x + tg x = 1 8 1 tg x

8 1 + tg x + tg x tg 2 x = 1 tg x 8 tg 2 x 3 tg x = 0 8

con k Z


95

O, lo que es lo mismo: x1 = k 180 = k x2 = 71 33' 54,2" + k 180 2 + k 5 34 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen 3x sen x = cos 2x b) c) sen 5x + sen 3x =1 cos x + cos 3x sen 3x + sen x = 3 cos 3x + cos x

con k Z

d) sen 3x cos 3x = sen x cos x Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos en productos. a) 2 cos 3x + x 3x x sen = cos 2x 2 2 1 8 x1 = 30, x2 = 150 2

2 cos 2x sen x = cos 2x 8 2 sen x = 1 8 sen x =

Comprobando, vemos que las dos soluciones son vlidas. Luego: x1 = 30 + k 360 = + 2k 6 x2 = 150 + k 360 = 5 + 2k 6 b) 2 sen 4x cos x =1 8 2 cos 2x cos x 8 8

con k Z

sen 4x sen (2 2x ) =1 8 =1 8 cos 2x cos 2x

2 sen 2x cos 2x 1 = 1 8 2 sen 2x = 1 8 sen 2x = 8 cos 2x 2 2x = 30 8 x1 = 15 + k 360 = + 2k 12 2x = 150 8 x2 = 75 + k 360 = 5 + 2k 12 2x = 390 8 x3 = 195 + k 360 = 13 + 2k 12 2x = 510 8 x4 = 255 + k 360 = 17 + 2k 12

con k Z

Al comprobar, vemos que todas las soluciones son vlidas.

96


UNIDAD

5

c)

3 8 x1 = 150 2 sen 2x cos x cos x 1 = = = 3 8 tg x = 3 2 sen 2x sen x sen x tg x x2 = 330Ambas soluciones son vlidas. Luego: x1 = 150 + k 360 = 5 + 2k 6 x2 = 330 + k 360 = 11 + 2k 6

con k Z

d) sen 3x sen x = cos 3x cos x 8 8 2 cos 2x sen x = 2 sen 2x sen x 8 (dividimos entre 2 sen x ) 8 cos 2x = sen 2x 8 8 sen 2x = 1 8 tg 2x = 1 8 cos 2x

2x = 315 8 x1 = 157,5 + k 360 2x = 135 8 x2 = 67,5 + k 360 2x = 675 8 x3 = 337,5 + k 360 2x = 495 8 x4 = 247,5 + k 360

con k Z

Podemos comprobar que las cuatro soluciones son vlidas. Agrupndolas: x = 67,5 + k 90 con k Z 35 a) Demuestra que: sen 3x = 3 sen x cos2 x sen 3 x b) Resuelve la ecuacin sen 3x 2 sen x = 0. a) Haz sen 3x = sen (2x + x) y desarrolla.b) Sustituye sen 3x por el resultado anterior.

a) sen 3x = sen (2x + x ) = sen 2x cos x + cos 2x sen x = = 2 sen x cos x cos x + (cos 2 x sen 2 x ) sen x = = 2 sen x cos 2 x + sen x cos 2 x sen 3 x = 3 sen x cos 2 x sen 3 x b) sen 3x 2 sen x = 0 8 por el resultado del apartado anterior: 3 sen x cos 2 x sen 3 x 2 sen x = 0 8 3 sen x (1 sen 2 x) sen 3 x 2 sen x = 0 8 8 3 sen x 3 sen 3 x sen 3 x 2 sen x = 0 8 8 4 sen 3 x sen x = 0 8 sen x (4 sen 2 x 1) = 0 8 sen x = 0 8 x1 = 0, x2 = 150 8 sen x = 1/2 8 x3 = 30, x4 = 150, x5 = 210, x6 = 330 Todas las soluciones son vlidas y se pueden expresar como: x1 = k 180 = k x2 = 30 + k 180 = (/6) + k con k Z x3 = 150 + k 180 = (5/6) + k


97

36 Demuestra las siguientes igualdades: a) cos (a + b) cos (a b) = cos 2 a sen 2 b b) sen 2 c) cos 2

( ) ( )

a+b ab sen 2 = sen a sen b 2 2

ab a+b cos 2 = sen a sen b 2 2

( ) ( )

a) cos (a + b) cos (a b) = (cos a cos b sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) = = cos 2 a cos 2 b sen 2 a sen 2 b = = cos 2 a (1 sen 2 b) (1 cos 2 a) sen 2 b = = cos 2 a cos 2 a sen 2 b sen 2 b + cos 2 a sen 2 b = = cos 2 a sen 2 b b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego podemos factorizarlo como una suma por una diferencia:

[ ([=4

sen a + b + sen a b 2 2

)

(

)] [sen ( a 2+ b ) sen ( a 2 b )] =

(*)

= 2 sen a cos b 2 cos a sen b = 2 2 2 2

][

]

1 cos a 2

1 + cos b 2

1 + cos a 2

1 cos b = 2

= (1 cos a) (1 + cos b) (1 + cos a) (1 cos b) = = (1 cos 2 a) (1 cos 2 b) = sen 2 a sen 2 b = sen a sen b(*)

Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que: a+b + ab =a 2 2 y a+b ab =b 2 2

c) Procedemos de manera anloga al apartado anterior, pero ahora: ab + a+b =a 2 2 cos 2 a b cos 2 a + b = 2 2 y a b a + b = b 2 2

( ) = [cos ( a b ) + cos ( a + b )] [cos ( a b ) cos ( a + b )] = 2 2 2 2= 2 cos a cos b 2 sen a sen b = 2 cos a cos b 2 sen a sen b = 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

[

][

] [

][

]

98


UNIDAD

5

=4

a a b = 2 2 2 1 + cos 1 + 2cos b 1 cos 1 cos

= (1 cos 2 a) (1 cos 2 b) = sen 2 a sen 2 b = sen a sen bNOTA:

Tambin podramos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como sigue:

cos 2 a b cos 2 a + b = 1 sen 2 a b 1 + sen 2 a + b = 2 2 2 2 = sen 2 a + b sen 2 a b 2 2(*)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) = sen a sen b(*)

Por el apartado b).

37 Simplifica la expresin: sen a cos 2a cos a sen 2a sen a (cos 2 a sen 2 a) cos a 2 sen a cos a = = sen a cos 2 a sen 3 a 2 sen a cos 2 a = = sen a cos 2 a sen 3 a = sen a (cos 2 a + sen 2 a) = sen a 38 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: x + y = 120 1 a) sen x sen y = 2 sen 2 x + cos 2 y = 1 b) cos 2 x sen 2 y = 1 Haz cos 2 y = 1 sen 2 y y cos 2 x = 1 sen 2 x. sen x + cos y = 1 c) x + y = 90 a) De la segunda ecuacin: 2 cos Como: x + y = 120 8 2 cos 60 sen 8 sen As: x + y = 120 x y = 60 2x = 180 8 x = 90 8 y = 30 xy 1 1 xy 1 = 8 2 sen = 8 2 2 2 2 2 xy = 30 8 x y = 60 2 x+y xy 1 sen = 2 2 2

xy 1 = 8 2 2

Luego la solucin es: (90, 30)


99

2 2 b) Como cos y = 1 sen y 2 cos x = 1 sen 2 x

El sistema queda: sen 2 x + 1 sen 2 y = 1 8 1 sen 2 x sen 2 y = 1 sen 2 x sen 2 y = 0 sen 2 x sen 2 y = 0 2 sen 2 y = 0 8 sen y = 0 8 y = 0

(Sumando ambas igualdades) 8

Sustituyendo en la segunda ecuacin (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene: cos x = 1 8 x = 0 cos 2 x 0 = 1 8 cos 2 x = 1 = cos x = 1 8 x = 180 2. cuadrante Luego la solucin es: (0, 0) c) x + y = 90 8 complementarios 8 sen x = cos y Sustituyendo en la primera ecuacin del sistema: cos y + cos y = 1 8 2 cos y = 1 8 cos y = 1 8 y = 60 8 2 8 x = 90 y = 90 60 = 30

Luego la solucin es: (30, 60) 39 Justifica que para cualquier ngulo a se verifica:

2 cos

( )4

a = sen a + cos a 4

Desarrollamos la primera parte de la igualdad:

2 cos a = 2 cos cos a + sen sen a =4 = 2

(4 )

(

)

(

2 cos a + 2 sen a =2 2

)

= 2

2 (cos a + sen a) = 2 (cos a + sen a) =2 2

= cos a + sen a 40 Expresa sen 4a y cos 4a en funcin de sen a y cos a. sen 4a = sen (2 2a) = 2 sen a cos 2a = 2 2 sen a cos a (cos 2 a sen 2 a) = = 4 (sen a cos 3 a sen 3 a cos a) cos 4a = cos (2 2a) = cos 2 2a sen 2 2a = = (cos 2 a sen 2 a)2 (2 sen a cos a)2 = = cos 4 a + sen 4 a 2 cos 2 a sen 2 a 4 sen 2 a cos 2 a = = cos 4 a + sen 4 a 6 sen 2 a cos 2 aUnidad 5. Funciones y frmulas trigonomtricas

100

UNIDAD

5

Pgina 145CUESTIONES TERICAS41 Qu relacin existe entre las razones trigonomtricas de los ngulos que miden /5 y 4/5 radianes? + 4 = 5 = 8 son suplementarios, luego: 5 5 5 sen = sen 4 = sen 4 5 5 5 cos = cos 4 ; tg = tg 4 5 5 5 5

(

)

42 Relaciona estas expresiones con las razones trigonomtricas del ngulo a: a) sen ( a); b) sen ( + a); c) sen (2 a); cos ( a); cos ( + a); cos (2 a); tg ( a) tg ( + a) tg (2 a)

sen ( a) = sen a a) 8 tg ( a) = tg a cos ( a) = cos a sen ( + a) = sen a b) 8 tg ( + a) = tg a cos ( + a) = cos a sen (2 a) = sen a c) 8 tg (2 a) = tg a cos (2 a) = cos a

43 Expresa A(x) en funcin de sen x y cos x: a) A(x) = sen (x) sen ( x) b) A(x) = cos (x) + cos ( + x) c) A(x) = sen ( + x) + cos (2 x) a) A (x ) = sen (x) sen ( x) = sen x sen x = 2 sen x b) A (x ) = cos (x) + cos ( + x) = cos x + ( cos x) = 0 c) A (x ) = sen ( + x) + cos (2 x) = sen x + cos x


101

44 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la funcin y = cos 2x , dando a x valores comprendidos entre 0 y 2 radianes y represntala grficamente. x y = cos 2x 0 1 12 8 4 0 3 3 8 5 12 2 1 7 12 2 5 8 2 2 3 2

32 7 8

22 11 12

2 3 1 2 2 25 4 1 7 8 0 2 0

3 2 1

3 4 0

1

22

32

1

0 4 1 2

3 4

5 4

3 2

7 4

2

9 4

PARA PROFUNDIZAR45 Representa las funciones: a) y = cos x + 2 c) y = cos

( ) ( ) x 2 3 2

b) y = sen x + d) y = sen

( ) ( ) 2 x 2 2 3 4 5 4 3 2 7 4 2

a)

1

7 4

5 4

3 4

2

4

0

4

1

b)

1

3 7 4 2

5 4

3 4

2

4

0

4

2

3 4

5 4

3 2

7 4

2

1

102


UNIDAD

5

c)

1

0 7 4 3 2 5 4 3 4 2 4 1 4 2 3 4 5 4 3 2 7 4 2

d)

1

3 7 4 2

5 4

3 4

2

4

0

4

2

3 4

5 4

3 2

7 4

2

1

46 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: sen x + sen y = 3 a) cos x + cos y = 1

sen 2 x + cos 2 y = 3/4 b) cos 2 x sen 2 y = 1/4

cos (x + y) = 1/2 c) sen (x y) = 1/2

a) Despejando en la segunda ecuacin: cos x = 1 cos y (*) entonces: 2 Como sen x = 1 cos x sen x = 1 (1 cos y )2 = 1 1 cos 2 y + 2 cos y = 2 cos y co s 2 y Y, sustituyendo en la primera ecuacin, se tiene: sen x + sen y = 3 8 2 cos y cos 2 y + sen y = 3 8 8 sen y = 3 2 cos y cos 2 y Elevamos al cuadrado: sen 2 y = 3 + (2 cos y cos 2 y) 2 3 (2 cos y cos 2 y) sen 2 y + cos 2 y 2 cos y 3 = 2 3 (2 cos y cos 2 y) 1 2 cos y 3 = 2 3 (2 cos y cos 2 y) 2 (1 + cos y) = 2 3 (2 cos y cos 2 y) Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado: (1 + cos y)2 = 3 (2 cos y cos 2 y) 8 8 1 + cos 2 y + 2 cos y = 6 cos y 3 cos 2 y 8 8 4 cos 2 y 4 cos y + 1 = 0 8 cos y = 4 16 16 1 = 8 y = 60 8 2


103

Sustituyendo en

(*),

se tiene: 1 1 = 8 x = 60 2 2

cos x = 1 b) sen 2 x + cos 2 y =

3 4 Sumando: 1 cos 2 x sen 2 y = 4

sen 2 x + cos 2 x + cos 2 y sen 2 y = 1 8 1 + cos 2 y sen 2 y = 1 8 8 2 cos 2 y = 1 8 cos 2 y =

2 8 y = 45 1 8 cos y = 2 2

(Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante). Sustituyendo en la primera ecuacin: sen 2 x + cos 2 y = 8 sen 2 x = 3 1 3 8 sen 2 x + = 8 4 2 4

3 1 1 1 8 sen 2 x = 8 sen x = 4 2 4 2 1 8 x = 30 2

Nos quedamos con la solucin positiva, por tratarse del primer cuadrante. As: sen x =

Luego la solucin es: (30, 45) c) Como x, y 1.er cuadrante x + y 1.er cuadrante y adems cos (x + y) > 0 8 er x y 1. cuadrante sen (x y) > 0 Teniendo esto en cuenta: cos (x + y) = sen (x y) = 1 2 1 2 8 x + y = 60 8 x y = 30 (Sumamos ambas ecuaciones) 2x = 90 8 x = 45 Sustituyendo en la primera ecuacin y despejando: y = 60 x = 60 45 = 15 La solucin es, por tanto: (45, 15)

104


UNIDAD

5

47 Demuestra que: a) sen x = 2 tg x/2 1 + tg 2 x/2 b) cos x = 1 tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 c) tg x = 2 tg x/2 1 tg 2 x/2

a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad: 2 cos x 11 + cos x 2 = cos x 11 + cos x

2 tg (x/2) = 1 + tg 2 (x/2)

1 cos x 1+ 1 + cos x 2 cos x 11 + cos x 2 1 + cos x

1 + cos x + 1 cos x 1 + cos x

=

=

= (1 + cos x)

1 cos x = 1 + cos x

=

1 cos x (1 + cos x )2 = (1 + cos x) (1 cos x) = 1 + cos x

= 1 cos 2 x = sen 2 x = sen x 1 + cos x 1 + cos x 1 cos x 1 1 + cos x 1 + cos x 1 (x/2) 2 cos x b) = = = = cos x 2 2 1 cos x 1 + cos x + 1 cos x 1 + tg (x/2) 1 + 1 + cos x 1 + cos x tg 2 cos x cos x 11 + 1 cos x 1 + cos x cos x cos x 11 +

2 tg (x/2) c) = 1 tg 2 (x/2)

2

2 =

1

1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x

=

2 =

cos x 11 + cos x 2 cos x 1 + cos x

=

1 + cos x cos x

x = 11 + cos cos x

= = =

1 cos x

1 cos x (1 + cos x )2 = 1 + cos x

1 1 (1 + cos x) (1 cos x) = 1 cos 2 x cos x cos x 1 1 sen 2 x = sen x = tg x cos x cos x


105

AUTOEVALUACIN1. Expresa en grados: 3 rad = 135 4 3 5 rad, rad, 2 rad. 4 2 5 rad = 450 2 2 rad = 114 35' 30''

2. Expresa en radianes dando el resultado en funcin de y como nmero decimal: a) 60 a) 60 = rad = 1,05 rad 3 5 rad = 3,93 rad 4 11 rad = 5,76 rad 6 b) 225 c) 330

b) 225 = c) 330 =

3. En una circunferencia de 16 cm de dimetro dibujamos un ngulo de 3 rad. Qu longitud tendr el arco correspondiente?

8 cm

l = 8 3 = 24 cm

4. Asocia a esta grfica una de las siguientes expresiones y di cul es su periodo: a) y = cos x1

b) y = cos 2x

c) y = 2cos x

6 4 3

2

2 3 5 3 4 6

7 5 4 6 4 3

1

Completa estos puntos para que pertenezcan a la grfica: (5/6, ...), (4/3, ...), (/4, ...). La grfica corresponde a la b) y =

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Solucionario-Matematicas-1º-Bachiller-Cientifico-Anaya-Ed-2008