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2012
JBMP - CAÑETE
J. BORIS MENDOZA PORTOLATINO
ONEM 2012 – NIVEL I
CON MÉTODO SENCILLO DECOMPRENDER
SOLUCIONARIO ONEM 2012 PRIMERA FASE - NIVEL I
Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO Correo: [email protected] RPC: 993074361
Página2
1. Cuando viaje de Lima a Huancayo en bus meinformaron que servían la cena justo a la mitad delviaje. Si salí de Lima a las 06:00 pm y llegue aHuancayo a las 11:20 pm. ¿a qué hora sirvieron lacena?
A. 08:00 pm B. 08:50 pm C. 08:20 pmD. 08:40 pm E. 08:45 pm
RESOLUCIÓN:
CLAVE D
2. Tengo 11 naranjas y 13 manzanas. ¿Cuántas frutasdebo comer como mínimo para que el número demanzanas sea el doble del número de naranjas?
A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 E. 9
RESOLUCIÓN:
Primero hay quesaber cuánto tiempotranscurrió desde quepartimos hasta quellegamos
Y eso es:
11:20 pm - 06:00 pm.Nos da 5horas 20min
Y en la mitad delcamino sirvieron laCENA, es decircuando pasó 2h y40min.
La CENA lo sirvieron alas 6:00 + 2h y 40min.
08:40
Es necesario comeruna cantidad IMPAR
de manzanas para quepueda quedarme una
cantidad par.
También es necesariocomer una ciertacantidad de Naranjas.Sea “X” la cantidad deNaranjas que comeré ysea “Y” la cantidad deManzanas que comeré.
2(11-X) = 13 – Y22 – 2X = 13 – Y
9 = 2X - YAhora busquemos elmínimo.
Para comer la mínima cantidad es necesario que tanto“X” como “Y” sean los mínimos posibles.Eso ocurre cuando X = 5 y Y = 1
CLAVE B
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Página3
3. En el colegio Laura tiene cada mañana 6 clases de 1hora pedagógica cada una. Además tiene dos recreosde 20 minutos cada uno. Si se sabe que 1 horapedagógica equivale a 45 minutos y que las clases deLaura empiezan a las 08:00a.m. ¿A qué hora terminanlas clases?
A. 01:20 pm B. 12:30 pm C. 02:40 pmD. 02:10 pm E. 01:10 pm
RESOLUCIÓN:
CLAVE E
4. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de la sumade sus dígitos?
A. 2012 B. 2013 C. 2014D. 2015 E. 2016
RESOLUCIÓN:
CLAVE E
El tiempo que dura miclase es: 6 clases deuna hora pedagógica+ 2 recreos
Esto es:6x45 + 2x20 = 270+40
= 310 min
310 min es:5 horas y 10min
Luego Salgo a8:00 +5h y 10min
01: 10 pm
Haber:2012 tiene como suma decifras 5
Luego 2012 o5
2013 tiene como suma decifras 6
Luego 2013 o6
2014 tiene como suma decifras 7
Luego 2014 o7
2015 tiene como suma decifras 8
Luego 2015 o8
Por lo tanto la respuestaes 2016 ya que tienecomo suma de cifras a 9Además:
2016 =o9
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5. Dos equipos de futbol, a modo de entrenamiento, pactana jugar 8 partidos durante el verano. En cada partido, elequipo ganador recibe 3 puntos y el perdedor 0 punto.En caso de empate cada equipo recibe 1 punto. Luegode los 8 partidos los dos equipos suman 22 puntos,¿Cuántos partidos terminaron en empate?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
RESOLUCIÓN:
CLAVE B
6. En un salón de clase, el 70% aprobó matemáticas, el80% aprobó comunicación y el 60% aprobó amboscursos. ¿Qué porcentaje no aprobó ninguno de los doscursos?
A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% E. 50%
RESOLUCIÓN:
CLAVE A
Llamemos a los equiposA y B, Si el equipo Agana “X” veces,entonces el equipo Bpierde “X” veces
Si el equipo A pierde “Y”veces, entonces elequipo B gana “Y”veces, entonces lospartidos empatadossera 8 –(X+Y)
Se puede hacer una tabla depuntajes
A B PTSGana X Y 3(X+Y)
Pierde Y X 0Empata 8-(X+Y) 8-(X+Y) 16-2(X+Y)
Sumando los puntos de ambosequipos tenemos 16+(X+Y) yesto por dato del problema es22, entonces:16+(X+Y) = 22
(X+Y) = 6 (Entre ganados yperdidos) y como se han jugado8 partidos, entonces empatan 2
Consideremos al totalde alumnos como el100%, y como son doscursos, eso nos da laidea de usar conjuntos.
Mat. Com.
60%
70% 80%
10% 20%
Del gráfico podemosobservar que en losconjuntos hay un totalde 90%, entonces el10% faltante está fuerade ellos (NO APROBÓLOS CURSOS)
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7. Los números de tres dígitos a7b , b8ay 9ac tienensuma 2012. Calcula el valor de b.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
RESOLUCIÓN:
8. Considere todos los números naturales que usanexclusivamente los dígitos 0, 1, y 2 estos números sonordenados de menor a mayor para formar una listainfinita:
1, 2, 10, 11, 12,…, 2010, 2011, 2012, a, b, c, d,…
Calcula el valor de d – a.
A. 81 B. 88 C. 80 D. 89 E. 82
RESOLUCIÓN:
CLAVE C
Al sumar en formavertical tenemos:
a7b+b8a9ac
2012
En las unidadestenemos que:
a + b + c =…2Ahora podemos pensarque es 2 ,12 o 22
Ahora lo que puedo llevaren la columna de lasdecenas es 2 , 1 o biennada. Con esto se puedededucir en la columna delas decenas que “a” puedeser … 4 , 5 ó 6
Si a + b + c=2Entonces a= 6 (IMPOSIBLE)Si a + b + c= 12Entonces a= 5 y b + c=7y llevaría 2 en las decenasy tendría que a + b = 9por lo que b = 4
Si a + b + c = 22, entonces a = 4 y b + c = 18 , por lo queb= 9 y c= 9 ,además en la columna de las centenastendría que a + b = 9 y como a=4 entonces b= 5 (quecontradice lo anterior)
Por lo tanto b = 4 CLAVE B
Después del 2012continua 2020, 2021,2022, 2100, ….
Entonces a = 2020
d = 2100
d – a = 2100 -2020
d – a = 80
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9. Los números del 1 al 8 deben ser ubicados en loscírculos (uno numero en cada circulo) de tal forma quela suma de los números de tres círculos alineados seasiempre 14. ¿Cuál es el número que debe ser ubicadoen el círculo que está marcado con una X?
A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8
RESOLUCIÓN:
CLAVE E
10. ¿Cuántos días martes, como máximo, puede haber en60 días consecutivos?
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11
RESOLUCIÓN:
D L M X J V S1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 31 1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 30
CLAVE C
X
7
Como la suma en la cada línea de 3círculos es 14 y al observar la figura nosdamos cuenta que el 7 está al centro detres líneas.Entonces los extremos del 7, tienen quesumar 7, por lo que en ningún extremose encontrará el 8Y el único lugar para el 8 es donde seencuentra la X.
8
1
5 7
4
2
3 6
X = 8
Podemos encontrar lamáxima cantidad de
martes, cuando dichomes empieza en este
día
Y en este año lopodemos encontrar
en los meses deMAYO y JUNIO
Por lo tanto podemos encontrarcomo máximo 9 martes en 60 días
consecutivos
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11. José debe comprar alfajores para 5 personas, dándolea cada uno la misma cantidad de alfajores. En lapanadería solo venden alfajores en cajas de 2 ó 7unidades. ¿Cuántas cajas debe comprar José comomínimo?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
RESOLUCIÓN:
CLAVE E
12. Halla el mayor entero positivo “n ” para el cual secumple que n3 es un divisor del número 112266.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
CLAVE D
Se compra alfajores para 5personas y a cada uno se
da por igual cantidad, estoquiere decir que se
comprará una cantidadmúltiplo de 5
Se “X” la cantidad de cajasde 2 alfajores y sea “Y” la
cantidad de cajas de 7alfajores.
Luego tendremos:
2X + 7Y =05
Luego:
2X + (2+05) Y =
05
2X + 2Y =05
2(X + Y) =05
X + Y =05
El mínimo es: X + Y = 5
Por ejemplo puedo comprar 3 cajas de 2 alfajorescada uno y 2 cajas de 7 alfajores cada uno y tendría:
3x2 + 2x7 = 6 +14 = 20 alfajores
Empezaremos a resolvereste problema
descomponiendo elnúmero 112266:
11x10000 + 22x100 +6611(10206) = 11x2x36x7
Como podemosapreciar el máximo
valor de “n” es 6
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13. Sea N un número de cuatro dígitos tal que sus cuatroson distintos. Al multiplicar N por 9 se obtiene unnúmero de 4 dígitos, que tiene los mismos dígitos deN pero en orden inverso. Calcula la suma de loscuadrados de los dígitos de N .
A. 112 B. 130 C. 132 D. 146 E. 227
RESOLUCIÓN:
CLAVE D
14. Sean a, b, c dígitos tales que2
ba =3
cb . Calcula elvalor de a + b + c.
A. 11 B. 12 C. 15 D. 18 E. 19
RESOLUCIÓN:
CLAVE A
Sea abcd el número.Luego según el problema:
9 xabcd= dcbaabcdx
9
dcba
1bc9 x9
9cb1
Se tendría que C=7¡NO cumple con los datos!
Se deduce que “a” debeser 1, ya que si fuera otrovalor el resultado ya nosería de 4 cifras
Como a =1 d = 9 yb= 0 ó 1, entonces:C .9 + 8 =…bAdemásSi b= 1
Si b=0, entonces:
Se tendría en C .9 + 8 =…bque: C = 8
¡Cumple con todos los datos!
Luego el número N es: 1089 y la suma del cuadrado desus cifras será: 12+02+82+92= 146
De la condición delproblema se puede observar
que3
ba cb , esto nosquiere decir que cb es uncuadrado perfecto
cb cb 3cb
16 4 6425 5 12536 6 21649 7 34364 8 51281 9 729
Del cuadro anterior podemos ver que el único valor que
cumple las condiciones es cuando cb =16, por lo que
ba=64, luego:
a + b + c = 4 + 6 + 1 = 11
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15. En un concurso de matemática están participandoalgunos colegios con una delegación de 3 alumnospor cada colegio. Todos los alumnos participanteshicieron una cola para recoger sus credenciales.Sandra, Raúl y Tomas son alumnos del mismocolegio. Cuando todos los alumnos estaban en lacola, Sandra se dio cuenta que adelante de ella habíala misma cantidad de alumnos que había detrás deella, además, Raúl y Tomas estaban algunos lugaresmás atrás que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomas en ellugar 28. ¿En que lugar estaba Sandra?
A. 14 B. 17 C. 15 D. 18 E. 16
RESOLUCIÓN:
CLAVE B
16. Una lata de café cuesta S/. 10 y se vende a S/. 14, esdecir, ganando el 40% (sobre el precio de costo). Encambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20%.Si la cantidad de latas de café vendidas es el doble delas de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del36%, ¿a cuánto se vendió cada lata de cocoa?
A. S/.5, 00 B. S/. 5, 40 C. S/. 5, 80D. S/. 6, 00 E. S/. 7, 20
RESOLUCIÓN:
... … … …
“n” alumnos “n” alumnos
Partimos de que la cantidad de alumnos en la filaes múltiplo de 3. Si Sandra está más adelante queRaúl (que esta en 19º puesto), entonces ella podríaestar en el puesto 18 y delante de ella habría 17alumnos y detrás de ella también (cosa que esimposible) ya que en la fija habría 35 alumnos(que no es múltiplo de 3)
19º 28º
Si Sandra estaría en el puesto 17, entonces lacantidad de alumnos en la fila seria 33 (si es posible),Si estaría en el puesto 16, entonces la cantidad dealumnos en la fila seria 31 (NO es posible), Si estaríaen el puesto 15, entonces la cantidad de alumnos enla fila seria 29 (NO es posible) y si estaría en el puesto14, o antes No sería posible ya que se tendría unacantidad de alumnos que es menor que 28 (que es ellugar que se encuentra TOMAS).
Sandra esta el puesto 17
Sea “X” la cantidad delatas de COCOA.Sea “m” el precio de cadalata de COCOA.
En CAFÉ:El precio de compra es 20Xy se gana 4. (2X)En COCOA:El precio de compra es mX yse gana 20%m.X
Luego:8X+20% m X=36% (20X+m X)
8+20% m =36% (20+m ) 800+20m =36(20+m ) 800+20m =720+36m 80=16m S /.5 =m
Por lo tanto cada lata de lata de COCOASe vende en 5 + 20%5 = S/.6
CLAVE D
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15. En un concurso de matemática están participandoalgunos colegios con una delegación de 3 alumnospor cada colegio. Todos los alumnos participanteshicieron una cola para recoger sus credenciales.Sandra, Raúl y Tomas son alumnos del mismocolegio. Cuando todos los alumnos estaban en lacola, Sandra se dio cuenta que adelante de ella habíala misma cantidad de alumnos que había detrás deella, además, Raúl y Tomas estaban algunos lugaresmás atrás que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomas en ellugar 28. ¿En que lugar estaba Sandra?
A. 14 B. 17 C. 15 D. 18 E. 16
RESOLUCIÓN:
CLAVE B
16. Una lata de café cuesta S/. 10 y se vende a S/. 14, esdecir, ganando el 40% (sobre el precio de costo). Encambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20%.Si la cantidad de latas de café vendidas es el doble delas de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del36%, ¿a cuánto se vendió cada lata de cocoa?
A. S/.5, 00 B. S/. 5, 40 C. S/. 5, 80D. S/. 6, 00 E. S/. 7, 20
RESOLUCIÓN:
... … … …
“n” alumnos “n” alumnos
Partimos de que la cantidad de alumnos en la filaes múltiplo de 3. Si Sandra está más adelante queRaúl (que esta en 19º puesto), entonces ella podríaestar en el puesto 18 y delante de ella habría 17alumnos y detrás de ella también (cosa que esimposible) ya que en la fija habría 35 alumnos(que no es múltiplo de 3)
19º 28º
Si Sandra estaría en el puesto 17, entonces lacantidad de alumnos en la fila seria 33 (si es posible),Si estaría en el puesto 16, entonces la cantidad dealumnos en la fila seria 31 (NO es posible), Si estaríaen el puesto 15, entonces la cantidad de alumnos enla fila seria 29 (NO es posible) y si estaría en el puesto14, o antes No sería posible ya que se tendría unacantidad de alumnos que es menor que 28 (que es ellugar que se encuentra TOMAS).
Sandra esta el puesto 17
Sea “X” la cantidad delatas de COCOA.Sea “m” el precio de cadalata de COCOA.
En CAFÉ:El precio de compra es 20Xy se gana 4. (2X)En COCOA:El precio de compra es mX yse gana 20%m.X
Luego:8X+20% m X=36% (20X+m X)
8+20% m =36% (20+m ) 800+20m =36(20+m ) 800+20m =720+36m 80=16m S /.5 =m
Por lo tanto cada lata de lata de COCOASe vende en 5 + 20%5 = S/.6
CLAVE D
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15. En un concurso de matemática están participandoalgunos colegios con una delegación de 3 alumnospor cada colegio. Todos los alumnos participanteshicieron una cola para recoger sus credenciales.Sandra, Raúl y Tomas son alumnos del mismocolegio. Cuando todos los alumnos estaban en lacola, Sandra se dio cuenta que adelante de ella habíala misma cantidad de alumnos que había detrás deella, además, Raúl y Tomas estaban algunos lugaresmás atrás que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomas en ellugar 28. ¿En que lugar estaba Sandra?
A. 14 B. 17 C. 15 D. 18 E. 16
RESOLUCIÓN:
CLAVE B
16. Una lata de café cuesta S/. 10 y se vende a S/. 14, esdecir, ganando el 40% (sobre el precio de costo). Encambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20%.Si la cantidad de latas de café vendidas es el doble delas de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del36%, ¿a cuánto se vendió cada lata de cocoa?
A. S/.5, 00 B. S/. 5, 40 C. S/. 5, 80D. S/. 6, 00 E. S/. 7, 20
RESOLUCIÓN:
... … … …
“n” alumnos “n” alumnos
Partimos de que la cantidad de alumnos en la filaes múltiplo de 3. Si Sandra está más adelante queRaúl (que esta en 19º puesto), entonces ella podríaestar en el puesto 18 y delante de ella habría 17alumnos y detrás de ella también (cosa que esimposible) ya que en la fija habría 35 alumnos(que no es múltiplo de 3)
19º 28º
Si Sandra estaría en el puesto 17, entonces lacantidad de alumnos en la fila seria 33 (si es posible),Si estaría en el puesto 16, entonces la cantidad dealumnos en la fila seria 31 (NO es posible), Si estaríaen el puesto 15, entonces la cantidad de alumnos enla fila seria 29 (NO es posible) y si estaría en el puesto14, o antes No sería posible ya que se tendría unacantidad de alumnos que es menor que 28 (que es ellugar que se encuentra TOMAS).
Sandra esta el puesto 17
Sea “X” la cantidad delatas de COCOA.Sea “m” el precio de cadalata de COCOA.
En CAFÉ:El precio de compra es 20Xy se gana 4. (2X)En COCOA:El precio de compra es mX yse gana 20%m.X
Luego:8X+20% m X=36% (20X+m X)
8+20% m =36% (20+m ) 800+20m =36(20+m ) 800+20m =720+36m 80=16m S /.5 =m
Por lo tanto cada lata de lata de COCOASe vende en 5 + 20%5 = S/.6
CLAVE D
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17. En clase de matemática, el profesor a pedido a susalumnos que encuentran n números enteros cuya sumaes 0 y cuyo producto sea n. Después de variosminutos algunos de sus alumnos dijeron lo siguiente:
Ana dice: Yo creo que no existe un número “n”con esas propiedades.
Beatriz dice: Yo creo que si existe y que dichonumero es par.
Carlos dice: Yo en cambio, creo que “n” debe serimpar.
David dice: Yo creo que “n” puede ser par y quetambién puede ser impar.
¿Cuál de ellos tiene razón?
A. Ana B. Beatriz C. CarlosD. David E. Ninguno tiene razón
RESOLUCIÓN:
CLAVE B
Empecemos el análisisdiciendo que si tengo unasuma formada sólo por1 y -1, estos se podránanular siempre y cuando lacantidad de 1 sea igual a lacantidad de -1
Es decir la cantidad de 1 y-1 como grupos de doselementos tiene que serPAR: (1-1) + (1-1) + (1-1)+…. (1-1) =0
Ahora un número impar sepuede descomponer como elproducto de una cantidadpar de factores o unacantidad impar de factores.Ejemplo: 105 = 1 x 105
105 = 5 x 21105 = 3 x 5 x 7
Echemos un vistazo que pasaría si el “n”fuera una cantidad impar.
Para que el producto de los números sea“n”, deben aparecer los factores de “n”(que puede ser PAR o IMPAR) y los 1 y -1.
Si la cantidad de factores de “n”es PAR tendría que aparecertambién una cantidad PAR de -1para que lo anulen, pero como:
#PAR + #PAR = #PAREstarían faltando otra cantidadIMPAR formada por 1 y -1, peroestos no podrán anularse, ya queestos se anulan solo paracantidades pares.
Si la cantidad de factores de “n”es IMPAR tendría que aparecertambién una cantidad IMPAR de -1 para que lo anulen, pero como:
#IMPAR + #IMPAR = #PAREstarían faltando una cantidadIMPAR formada por 1 y -1, peroestos no podrán anularse ya quesiempre se anulan de dos en dos
Con esto concluimos que “n” no puedeser IMPAR, pero si puede ser PAR, comopor ejemplo.
n=4-1+1+2-2 =4
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Página11
18. Andrés le dice a Raquel que él ha escrito en sucuaderno 5 enteros distintos y también le dice lasuma de esos 5 números. Con esa informaciónRaquel puede saber con seguridad que númerosescribió Andrés. ¿Cuántos valores puede tomar lasuma de los números de Andrés?
A. 1 B. 5 C. 2 D. 4 E. 3
RESOLUCIÓN:
CLAVE C
Del problema puedodarme cuenta que cuandoAndrés le dice la suma delos 5 números enteros,Raquel ESTÁ SEGURA decuáles son los números.
Esto quiere decir que NOexiste otra posibilidad paralos números cuando seconoce la suma.Pensemos ahora en losposibles números.
Una estrategia seriaempezar en losNUMEROS menores:1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15No hay otra forma deexpresar 15 como lasuma de cinco númerosdiferentes.
Vamos si es posibleexpresar 16 como lasuma de cinco númerosdiferentes y que sea sólode una forma.
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
¿Y se podrá con 17?1+2+3+4+7 = 171+2+3+5+6 =17
¡NO, tiene que ser sólo deuna forma, para que exista
certeza!
Si la suma toma valores mayores que 16 se incrementala cantidad de formas de expresarlo como la suma decinco números.Ejemplo: 1+2+3+5+7 =18
1+2+3+4+8 =18
1+2+3+4+9 =191+2+3+5+8 =19
.
.
.Por lo tanto, sólo existen 2 formas de expresar la sumade estos cinco números y estar seguros de cuáles sonlos números.
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19. Al sumar tres números de dos dígitos cada uno, seobtuvo como resultado un número de 3 dígitos, comose muestra a continuación:
+
Si los 9 dígitos empleados son diferentes y ninguno esigual a cero, determine el mayor valor que puede tomarel número de 3 dígitos y de cómo respuesta el productode esos 3 dígitos.
A. 12 B. 20 C. 24 D. 40 E. 50
RESOLUCIÓN:
CLAVE C
Pensemos en un primerintento que pasaría si lascifras de las decenas delos números de 2 cifras
fueran máximas
Es decir: +
En el caso anterior nosería posible acomodar al
1, 3, 4 y 6
en las unidades
Hagamos algún intercambio deuno de los números de las
decenas por uno de las unidades,pero siempre tratando de
mantener el máximo valor delnúmero de 3 cifras
9
8
7
52
Es decir: +6 5
9 7
8 1
4 32
De esta manera hemos podido acomodar los números 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Y podemos decir que el resultado es el mayor, porque sólose intercambio el menor número de las decenas.
Bueno la suma es 243 y sólo puede ser 243, para que seamáximo.
Por lo tanto el producto de los dígitos del número de trescifras es: 2 x 4 x 3 =24
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20. ¿De cuantas formas se pueden ordenar los números1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en una fila de tal forma que losnúmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, aparezca en ese orden peroen cambio, los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 noaparezcan en ese orden?
Ejemplo: Una forma de ordenar los números 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 de tal forma que se cumplan lascondiciones requeridas es 129384567.
A. 63 B. 56 C. 64 D. 55 E. 72
RESOLUCIÓN:
CLAVE A
Que los númerosaparezcan en el orden 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, no quieredecir que aparezcan en
forma consecutiva
- - - - - - - - -Primero escogeremos 7
casilleros de los 9 que haypara los números 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7 de tal manera quemantengan ese orden
Para ello utilizamos unatécnica de conteo “LA
COMBINACION”, esto nospermitirá saber la cantidad
de GRUPOS de:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
97
9!C7!.2! = 36
Y las otras dos casillasrestantes pueden cambiar
de lugar 2!
Entonces la cantidad total formas de elegirlos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de los 9 que hayes:
36 x 2! = 72
Ahora a esta cantidad hay quequitarle todos los que estarán
en este orden:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
ya que estos grupos estaránincluidos en el grupo anterior
y de manera similarprocedemos hallarlo.
98
9!C8!.1! = 9
Y por cada grupo formado elque queda no tendrá opcióna cambiar de lugar.
Finalmente restamoslas dos cantidades
halladas:72 – 9 = 63