10. el primer nmero: x el segundo nmero: y

El producto es 600:

Nmeros consecutivos:

Simplificando la expresin del producto tenemos: ---> xy=600 expresin 1 Resolviendo los nmeros consecutivos:

----> ---> ----> expresin 2

despejando x de la primera expresin xy=600 ---> x=600/yy reemplazando en la expresin 2:

Las races de la ecuacin de grado 4 son:

reemplazando y1 en la 1era expresin: x = 600/20 = 30 ; que coincide con la segunda solucin, por lo que no es necesario hacer ms reemplazos.

los nmeros son 20 y 30

_____________________________________________________________________

11. el primer nmero: x el segundo nmero: y

---> Expresin 1 ---> ---> --> Exp.2

Despejando "y" de la exp. 1 tenemos: y = 112 - xReemplazando "y" en la expresin 2 tenemos:

las races son:

Reemplazando las races en la expresin 1 nos quedan los mismos resultados.Realizando la diferencia de los nmeros:

____________________________________________________

12.

Mayor promedio: Menor promedio:

Expresando matemticamente "el producto del mayor y menor promedio es igual a cuatro veces su media aritmtica", tenemos:

---> simplificando la expresin: ---> elevando al cuadrado a ambos lados de la igualdad: ----> Simplificando, nos queda:

Dado que a y b son pares y diferentes, y al multiplicarse dan 16 (como se vi en el ltimo resultado), los nicos nmeros que cumplen esta condicin son 8 y 2. (Otros dos nmeros pares que multiplicados den 16 son 4 y 4, pero stos son iguales)

Sacando el mayor promedio, que es la media aritmtica, de 8 y 2 es:

_________________________________________________

13. 1ra expresin. 2da expresin.

"8 veces la diferencia de su media geomtrica y de su media aritmtica " se expresa as:

3ra expresin.

"y se sabe que su diferencia es 8 veces la diferencia de su media geomtrica y de su media aritmtica" se expresa as:

4ta expresin.

Despejando "y" de la 1ra expresin: ---> -->

Reemplazando "y" en la 4ta expresin:

, multiplicando la ecuacin por "x":

--> Despejando y dividiendo para 5:

Sacando las races de la expresin cuadrtica, tenemos:

Solucin: uno de los nmeros es 63.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Nos da como dato que la diferencia de ambos nmeros es 12, as:

-( Despejamos x y nos queda: ( Expresin1.

Luego, tenemos que la M.A. excede en 3 a la M.H.:*** la M.A. es: *** la M.H. es: Por tanto, la expresin anterior se expresa matemticamente as:

, y seguimos resolvindola hasta dejarla ms simple:

, igualando todo a cero:

Expresin 2.

Reemplazando la Expresin 1 en la Expresin2, tenemos:

---( de donde: Luego, se valor de y reemplazamos en la Expresin 1:

---( Ahora s, hallamos la M.A. y la M.G.:

Luego, el exceso viene dado por:

( Sacando el factor comn, que es 6, tenemos por ltimo:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15. El promedio geomtrico de 4 nmeros vendra dado por la frmula:

---> .

Ahora, buscamos una equivalencia de raz cuarta para :

Si cogemos grupos, para que formen nmeros distintos:

--> pero nos falta un nmero, al cual podemos considerar como "1", as:

De esta manera tenemos los 4 nmeros enteros y distintos:

El promedio (o media) aritmtico es:

___________________________________________________

17. Al tratarse de 10 nmero consecutivos, cada nmero aumenta en 1 al anterior. por ejemplo, si el primer nmero es 3, el segundo es 4, el siguiente es 5, etc... Expresndolo de forma matemtica, si no sabemos el nmero inicial lo llamaremos "x", y el siguiente aumentar en 1, y lo pondremos como "x+1", y el siguiente aumentar en 1 al anterior, siendo "(x+1) + 1 --> x+2", entonces el siguiente sera "x+3" y as sucesivamente. Los 10 nmeros consecutivos seran:

primero: xsegundo: x+1tercero: x+2cuarto: x+3quinto: x+4sexto: x+5sptimo: x+6octavo: x+7noveno: x+8dcimo: x+9

Suponiendo que olvid sumar el mayor delos nmeros, es decir "x+9", aun as debemos dividir para 10, porque dice que solo "olvid" sumar el ltimo nmero, lo que quiere decir que estaba "consciente" de que son 10 en total. Expresando esto matemticamente tenemos:

y como deca que en M.A. supuestamente obtuvo 18:

---> despejando "x":

, de donde:--->

y "x" representa al primer nmero, por tanto, los 10 nmeros consecutivos son: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

La media geomtrica del mayor (25) y menor (16) de los nmeros es:

__________________________________________________________

24. La frmula general para M.H. es:

de esta forma, la M.H. para dos nmeros es: (perdn, en esta frmula esa n no va)

Ponindola con los datos del ejercicio tenemos:

****** Para "a" y "b": ---> Expresin 1

****** Para "a" y "c": ---> multiplicando por 10:

----> Dividiendo para 4 ----> Expesin2

****** Para "b" y "c": ---> dividiendo para 2: ------> Expresin 3

De esta manera tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas: Ec.1 Ec. 2 Ec. 3

Despejando "b" de Ec1 y "c" de Ec 2:Ec.1: ---> ---> ----> Expresin 4.

Ec. 2: ---> ---> ---> Expresin 5.

Reemplazando "b" y "c" en la Ec.3:

------> (otro resultado: a=0)

Reemplazando "a" en la expresin 4 y en la expresin 5:

Entonces, la M.H. de a, b, y c es:

---> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

27. Consideraremos al primer nmero como: Consideraremos al segundo nmero como: Luego:

Luego, dice que la M.A. excede a la M.G. con 2601, que matemticamente se expresa as:

, pasando a multiplicar el 2:

( Ahora, puede expresarse tambin como , quedndonos:

( Podemos reemplazar por quedndonos:

----> y si despejamos x: ( Reemplazando esto en la expresin anterior:

( Despejando e igualando a cero:

( Hallamos las races:

Races: De estas races, solo nos interesa 18 dado que las otras son races complejas.

Ahora, dado que supusimos que:

( ( Sumando las cifras de 5832:

Solucin: la suma de las cifras da 18.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------30. Este ejercicio es un poco ms complicado:

Tenemos una serie:

2, 6, 12, 20,,420

2 es el primer trmino. Si le sumamos una distancia de 4, obtenemos el segundo trmino, que es 6. Si a 6 le sumamos una distancia de 6, obtenemos el tercer trmino, que es 12. Si a ese 12 le sumamos una distancia de 8, obtenemos el cuarto valor que es 20. Y as sucesivamente hasta obtener el ltimo trmino, que es 420.

Podemos sacar los trminos intermedios uno por uno hasta llegar a 420, pero sera un proceso largo y tedioso.

Se asemeja mucho a una progresin aritmtica, pero en este caso, la distancia no es constante sino dinmica, puesto que la distancia aumenta de dos en dos a partir del 4; es decir:

2 (+una distancia 4)( 6(+una distancia 6)(12(+ una distancia 8)( 20.

Comenzamos con una distancia de 4, y vamos subiendo su valor de dos en dos.

La frmula general para una progresin aritmtica es:

En donde es el trmino a hallarse; es el primer trmino, es la distancia y es la posicin del trmino a hallarse.

Como la distancia de nuestro ejercicio es dinmica, esta distancia dinmica es tambin una progresin aritmtica. Para diferenciarla usaremos una D mayscula para saber que es dinmica, as:, donde m es la posicin del trmino distancia a hallarse; D1 es la primera distancia (4), d es la diferencia entre las distancias (que es 2 porque las distancias aumentan de dos en dos) y D es la distancia a hallarse. Luego explicar por qu puse m en lugar de n.De esta manera:

Expresin 1.

Ahora, escribimos la progresin aritmtica con distancia dinmica de nuestro ejercicio as:

Expresin 2.

Donde a1 es el primer trmino de la serie (2), D es la distancia dinmica, y n es la posicin del ltimo trmino (420). Ahora, fijmonos que, cuando queremos hallar el segundo trmino de la serie (que es 6), se da la primera distancia (que es 4), cuando queremos hallar el tercer trmino de la serie (que es 12), se da la segunda distancia (que es 8); por tanto concluimos que el trmino de la serie est avanzado en 1 a las distancias respectivas; Adems, esta distancia debe sumarse a la anterior (aqu es donde interviene S), por lo cual establecemos la frmula de la sumatoria de una progresin aritmtica:

Aplicado a las distancias:

Ahora, n est adelantado a m por 1: ( m = n 1 , por tanto:

Reemplazando la expresin 1 y la expresin 3 en la expresin 2, tenemos:

(Puedes comprobar que esta expresin s funciona)Ahora, en la progresin, ( entonces podremos saber cuntos trminos tiene la progresin sabiendo el valor de n:

Al despejar, tenemos que n vale:

( de donde escogemos 20 porque es una cantidad positiva y coherente con el ejercicio.

Es decir, hay 20 nmeros en total.

Luego, deducimos la frmula para la sumatoria de todos los trminos:

Entonces, la frmula de este ejercicio para determinar la M.A. es:

Como habamos calculado que n vale 20:

Solucin:

Pero estamos buscando la M.H.:

Como a1=2:

Reeemplazando:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

60. Mayor promedio: ( ( ( Expresin 1.

Menor promedio: ( ( ( Expresin2.

De la Expresin 1 despejamos b:

Reemplazamos en la Expresin 2:

De donde : (Si reemplazamos obtenemos los mismos nmeros.)

Por tanto, la diferencia entre ambos es:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

61. Cuando hablamos de promedio, deducimos que se trata de una media aritmtica:

Expresin 1Ahora, cuando dice que una de ellas puede tener una mxima edad, debemos dejar a las otras en la mnima edad.

Como dice que ninguna de ellas es menor de 40, la expresin matemtica para ello es: Esto implica que la edad mnima es 40. Por tanto, 5 de esas edades ser de 40 aos (vamos a considerar a x como la mxima edad, y las otras letras como si tuvieran 40), y al reemplazarlas en la expresin 1:

Si comprobamos, el promedio de las edades debera dar 45:

Comprobacin:

Entonces s se cumple para la mxima edad entre ellas:

Por tanto, la mxima edad que una de ellas puede tener es: