Soluciones funciones SOP y POS

8/20/2019 Soluciones funciones SOP y POS

1/49


2/49

FORMAS DE EXPRESAR FUNCIONESBOOLEANASForma POS (Suma de productos)

Suma (OR) de término !rodu"to (AND)#$ormada !or %aria %aria&'e "om!'ementada ono

Forma POS (Producto de sumas)Produ"to (AND) de término uma (OR)$ormado !or %aria %aria&'e "om!'ementada ono

f(a,b,c) = a’bc + ab’c’+ abc + c

Términos

producto

f(a,b,c) = (a + b + c) (a +

b’ + c) (c’ + a)

Términossuma

Formas derepresentación


3/49

FORMAS CANONICAS

• En una e!rei*n en $orma "an*ni"a# "ada %aria&'e a!are"e en

"ada termino

Mintermino: +ermino de!rodu"to en e' "ua' "ada %aria&'ea!are"e una o'a %e, en u $orma%erdadera o "om!'ementada!ero no am&a

Maxtermino: +ermino de umaen e' "ua' "ada %aria&'e a!are"euna o'a %e, en u $orma%erdadera o "om!'ementada#!ero no en am&a


4/49

FORMAS CANONICAS

F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C) = M0.M2.M5

f(a,b,c) = A’B’C+A’BC+AB´C+ABC’+ABC = m1 + m3 + m5 +m6 + m7 Por teorema de Demor-an e !oi&'e

o&er%ar .ue/

1

m1’ = (A’B’C)’ = (A + B+ C’) = M1


5/49

CON2ERSION EN+RE FORMASCANONICAS

Pasos/

3 E%a'uar en .ue %a'ore &inario e re!reenta 'a SOPetndar

SOPestánd

ar

POSestánd

ar

f(x,y,z) = x’y’z’+ x’yz +

x’yz’ + xy’z

f(x,y,z)=(x+y+z’)(x’+y+z)

(x’+y’+z)(x’+y’+z’)

5 Determinar 'o n6mero &inario no in"'uido en e'

!ao 3

f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z

000

011

101

0100 3 5 2

A' tenere 7 %aria&'e (# 1# ,) ern 8 () !oi&'e "om&ina"ione#i e o&er%a 'a anterior e!rei*n 'o n6mero $a'tante on/3#4#9#: ;;3# 3;;#33;#333

7 E"ri&ir 'o término uma e.ui%a'ente !ara 'o%a'ore en"ontrado en e' !ao 5 1 e!rear'o en POS

f(x,y,z) = (x + y + z’)(x’ + y + z)(x’ + y’

+ z)(x’ + y’ + z’)


6/49

E


7/49

SIMPLIFICACION DE CIRCUI+OSLO=ICOS

• Algebra booleana/

Buen "ono"imiento de 'a re-'a >a&i'idad !ara a!'i"ar 'a re-'a

• Mapas de arnag!/ Método de im!'i?"a"i*n -ra?"o Baado en teorema &oo'eano# !ero de ma1or $a"i'idad a'

uti'i,ar'o

• Mapas de arnag!/ Método de im!'i?"a"i*n ta&u'ar Dire"to# itemti"o 1 no im!orta e' numero de %aria&'e No 'o %amo a tratar en e' "uro


8/49

SIMPLIFICACION POR AL=EBRABOOLEANA

Para 'a i-uiente ta&'a de %erdad en"uentre 'a do $orma

"an*ni"a# 'a SOP# e' POS 1 'a $orma no etndar m@nima Ademre!reénte'a en término de u im!'ementa"i*n en "om!uerta

S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc

S = (x+y+c)(x+y’+c’)(x’+y+c’)(x’+y’+c)

C = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc

C = (x’+y+c)(x+y’+c)(x+y+c’)(x+y+c)

POS

canónica

POScanónica

SOPcanónica

SOPcanónica


9/49

SIMPLIFICACION POR AL=EBRABOOLEANA

Para ''e%ar 'a $orma "an*ni"a a una $orma no etndar im!'i?"ada e

ua a'-e&ra &oo'eana

S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc = c(x’y’+xy)+c’(x’y+xy’) = (x!y)’c + (x!y)c’ = (x ! y) ! c

C = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc + xyc = x’yc + xy’c + xy(c’ + c) + xyc +

xyc = yc(x’+x) + xc(y’+y) + xy = xy + yc +xc

Para u im!'ementa"i*n en !uerta '*-i"ae a!ro%e"a uno de 'o XOR de 'a uma

C = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = xy(c+c’)+c(x’y+xy’)

= xy + c(x ! y)


10/49

MAPAS DE ARNAU=>

• E una representación -r?"a de una ta&'a de %erdad# 1a .ue

muetra todo 'o !oi&'e %a'ore de 'a %aria&'e de entrada 1 'o%a'ore de a'ida de 'a re!e"ti%a "om&ina"i*n de entrada• Un ma!a de arnau- !uede ma!ear !oi&'e mintermino de una

$un"i*n &oo'eana de n %aria&'e• Para una $un"i*n &oo'eana de n %aria&'e# un ma!a de arnau-

er/

Si n es par/ Un "uadrado de Si n es impar/ Un re"tn-u'o de


11/49


12/49

MAPAS DE ARNAU=>

• Lo ma!a de arnau- uti'i,an "*di-o -ra1 en 'a numera"i*n

de 'a "e'da# eto a"e .ue o'o "am&ie una o'a %aria&'eentre "e'da ad1a"ente

;0

31

34

;5

33

;2

37

36

ABC

00 01 1011

0

1

;1

33

30

;2

37

;5

36

34

C AB

00

01

10

11

0 1

A*+*

A*+

A**+*

A+*


13/49

SOP EN MAPAS DE ARNAU=>Se di&ua e' ma!a 1 e "o'o"a un 3 en 'a "e'da .ue "orre!onden a'o mintérmino de 'a $un"i*n Si e tiene una $un"i*n SOP no

etndar# éta de&e "om!'etare 1 una %e, e"o eto e u&i"antodo 'o mintérmino en e' ma!a de arnau-

;0

31

34

35

33

;2

;7

;6

ABC

00 01 1011

0

1

0 1

4 5

3 2

7 6

ABC

00 01 1011

0

1


14/49

SOP EN MAPAS DE ARNAU=>

0 1

4 5

3 2

7 6

12 13

8 9

15 14

11 10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11

30 1

34

35

33 2

7 6

3

12 13

8

39

3

15 14

11 10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11


15/49

SOP EN MAPAS DE ARNAU=>,-ué sucede cuando una .unción booleana no esta dada en.orma canónica/

Su!*n-ae .ue de da 'a i-uiente $un"i*n .ue no eta e"rita en$orma etndar/

Paso 01 Com!'etar a $orma "an*ni"a/

Paso " En"ontrar 'o mintermino (Aun.ue 'a !oi"i*n de 'o 3 e!uede dedu"ir a !artir 'a $orma "an*ni"a)

Paso # U&i"ar en e' ma!a

30 1

4 5

3 2

3

7 6

ABC

00 01 1011

0

1

3 3


16/49

POS EN MAPAS DE ARNAU=>E' !ro"edimiento "onite en di&uar e' ma!a 1 u&i"ar ; en 'a "e'da"orre!ondiente a 'o matérmino de 'a $un"i*n E ne"eario

"om!'etar 'o término "uando no etén en $orma etndar 1 'ue-oidenti?"ar 'o matérmino

;0 1

4 5

3 2

7

;6

ABC

00 01 1011

0

1

;

;


17/49

POS EN MAPAS DE ARNAU=>

0 1

4 5

3 2

7 6

12 13

8 9

15 14

11 10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11

0

;1

4 5

3 2

;7 6

12

;13

;8 9

15

;14

;11

;10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11


18/49

SIMPLIFICACION DE SOP POS

2eglas de simpli3cación/

• A-ru!ar "e'da ad1a"ente Se a-ru!an 3 (minterm) o ;(materm) de a"uerdo a' ti!o de $un"ione '*-i"a

• Lo -ru!o on !oten"ia de 5# e de"ir e &u"a unir 5# 4# 8(3 o ;) .ue etén en "e'da "one"uti%a

• Para en"ontrar 'a e"ua"i*n '*-i"a reu'tante de 'o ma!a

de arnau- e o&er%an 'a %aria&'e .ue no "am&iandentro de' -ru!o


19/49

SIMPLIFICACION DE MAPAS DEARNAU=>

2eglas de simpli3cación/

• A-ru!ar "e'da ad1a"ente Se a-ru!an 3 (minterm) o ;(materm) de a"uerdo a' ti!o de $un"ione '*-i"a

• Lo -ru!o on !oten"ia de 5# e de"ir e &u"a unir 5# 4# 8(3 o ;) .ue etén en "e'da "one"uti%a

• Para en"ontrar 'a e"ua"i*n '*-i"a reu'tante de 'o ma!a

de arnau- e o&er%an 'a %aria&'e .ue no "am&iandentro de' -ru!o


20/49

MINIMIACION USANDO MAPAS DEARNAU=>

Método general

3 Con%ierta 'a $un"i*n de'a e"ua"i*n a 'a $ormaPOS

5 Co'o.ue 'o 3 en 'a"e'da de' ma!a

a!ro!iada !ara "adatermino7 Cu&ra todo 'o 3 a'

di&uar 'a menor"antidad de "@r"u'o-rande# "on "ada 3in"'uido en a' menouno e"ri&a e'"orre!ondientetermino !ara "ada"ir"u'o

4 >a"er un OR de 'o


21/49

MAPAS DE ARNAU=> DE DOS2ARIABLES

Algunos tips/

• L'ene "ada "e'da "one' "orre!ondiente%a'or de F

• Di&ue 'o "@r"u'oa'rededor de 'o 3

ad1a"ente (=ru!ode 3# 5 o 4)• Lo "@r"u'o indi"an

o!ortunidad deo!timi,a"i*n (e!uede remo%er una%aria&'e)

• O&tener 'a $un"i*n ORde todo 'o término"ontenido en 'o"@r"u'o

xy

30

;1

2 3

0 1

0

1

3 ;

y ’

xy

30

;1

2 3

0 1

0

1 3 3

y ’ x


22/49

MAPAS DE ARNAU=> DE +RES2ARIABLES

2ecuerde/ un Gma!-r?"amente "o'o"a 'omintermino uno !r*imo aotro o'o "uando e''odi?eren en una o'a %aria&'e


23/49


Algunos tips/• Lo "@r"u'o !ueden

"ru,ar 'o 'ado dere"o

o i,.uierdo# eto !or .ue'o ee on ad1a"ente• Lo "@r"u'o de&en tener

3# 5# 4 o 8 "e'da 7# H o: no on !ermitida

• Cuando e ''enan toda

'a "e'da 'a $un"i*n ei-ua' a 3


24/49



25/49



26/49

MAPAS DE ARNAU=> DE 4 2ARIABLES


27/49


Algunos tips/• Lo Gma! de 4

%aria&'e i-uen e'mimo !rin"i!io/ Ad1a"en"ia

dere"ai,.uierda

Ad1a"en"iaarri&aa&ao

• Ad1a"en"ia im!'i"adi$eren"ia en una o'a%aria&'e/

Do 3 ad1a"entei-ni?"a .ue una%aria&'e !uede ere'iminada

Cuatro 3 ad1a"entei-ni?"a .ue 5%aria&'e !ueden er


28/49



29/49

SIMPLIFICACION DE SOP

30

31

3

4

3

5

33 2

7

3

6

312 13

8

39

315

314

11 10

ABCD

00 01 1011

00

01

10

11

ABC DC B D B A D BC A DC B A f ++++=),,,(


30/49

SIMPLIFICACION DE SOP

0

31

4

35

33 2

37 6

312 13

3

8

3

9

315

314

3

11

3

10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11

B A D A AC D A DC B A f +++=),,,(


31/49

SIMPLIFICACION DE POS

0

;1

4 5

;3

;2

;7 6

;12 13

8 9

;15

;14

;

11 10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11

( )( )( )( ) D B AC B A D B A DC DC B A f +++++++=),,,(


32/49

SIMPLIFICACION DE POS

;0

;1

;4 5

3 2

;7 6

;12 13

8

;

9

15

;14

;

11 10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11

( ) ( )( )( )( ) DC B A DC B D B A D B A DC A DC B A f +++++++++++=),,,(


33/49

ES+ADOS DONJ+ CARE EN MAPAS A'-una %e"e e !rodu"en combinaciones de las ariablesde entrada 4ue no están de3nidas# e de"ir .ue no tienenun %a'or ai-nado !ara una "om&ina"i*n de entrada ene!e"i?"o Eta "om&ina"ione e mar"an "on una X 1 !uedentomar e' %a'or tanto de K3 * K; e-6n 'a uti'idad .ue !retenen 'a im!'i?"a"i*n de 'a $un"i*n '*-i"a


34/49

ES+ADOS DONJ+ CARE EN MAPAS

30 1

4

X

5

33

X2

7 6

312 13

38 9

X15

314

311

310

ABCD

00 01 1011

00

01

10

11

0

;1

;

4

X

5

3

X2

;

7

;

6

12

;13

8

;9

X15 14

11 10

ABCD

00 01 1011

00

01

10

11

( )( ) B A DC DC B A f ++=),,,( D B D AC B DC B A f ++=),,,(


35/49

CON2ERSION SOP POS

BD

AD

DC B ACD B A DC AB DC B A BCD A ABCD DC B A f +++++=),,,(


36/49

CON2ERSION SOP POS

A+B

0 0 0 0

0

0

00 0 0

D


37/49

CON2ERSION SOP POS

30 1

4 5

33

32

7 6

312 13

3

8 9

315

314

3

11

3

10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11

0

;1

;4

;5

3 2

;7

;6

12

;13

8

;

9

15 14

11 10

AB

CD00 01 1011

00

01

10

11

SOP POS

( )( ) B A DC DC B A f ++=),,,( D B D A AC C B DC B A f +++=),,,(


38/49

PROCESO DE SIMPLIFICACION


39/49

PROCESO DE SIMPLIFICACIONCOMPLE+O

MAPAS DE H 2ARIABLES 9


40/49

MAPAS DE H 2ARIABLES 92ARIABLES

Lo ma!a de H 1 9 %aria&'e eiten !ero on di$@"i'e deminimi,ar


41/49

MAPAS DE H 2ARIABLES


42/49

MAPAS DE H 2ARIABLES• 2aria&'e/ A# B# C# D 1 E donde A MSB 1 E LSB• Se a"en 5 ma!a de 4 %aria&'e# donde un ma!a e !ara

una %aria&'e 1 e' otro e !ara 'a mima %aria&'e !ero"om!'ementada

30 1

4 5

33

32

7 6

312 13

38 9

315

314

311

310

BC

DE00 01 1011

00

01

10

11

30 1

4

35

33

32

7 6

312 13

38

39

315 14

311

310

BC

DE00 01 1011

00

01

10

11

A = 0 A = 1

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H


43/49

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H2ARIABLES

Paso 0 Identi?"ar -ru!o "omune a am&o Ma!a

30 1

4 5

33

32

7 6

312 13

38 9

315

314

311

310

BC

DE

00 01 1011

00

01

10

11

30 1

4

35

33

32

7 6

312 13

38

39

315 14

311

310

BC

DE

00 01 1011

00

01

10

11

A = 0 A = 1

f(A,B,C,D,E) = BDE + …+CE +CD +BDE

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H


44/49

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H2ARIABLES

Paso " Identi?"ar -ru!o en "ada ma!a .ue a-ru!en a 'o 3

$a'tante

30 1

4 5

33

32

7 6

312 13

38 9

315

314

311

310

BC

DE

00 01 1011

00

01

10

11

30 1

4

35

33

32

7 6

312 13

38

39

315 14

311

310

BC

DE

00 01 1011

00

01

10

11

A = 0 A = 1

f(A,B,C,D,E) = BDE ++CE +CD +BDE +ABD +ABC ABCDE


45/49

MAPAS DE 9 2ARIABLES

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 9


46/49

SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 92ARIABLES

00 1

40

5

30

2

07

06

0

12 13

08 9

0

15

0

14

011

010

CDEF00 01 1011

00

01

10

11

00 1

4 5

03

02

70

6

0

12 13

08 9

15

0

14

011

010

CDEF00 01 1011

00

01

10

11

00

01

4 5

03

02

7 6

12 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

00 1

40

5

03

02

07 6

012 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

A=0 A=1

B=0

B=1

f(A,B,C,D,E,F)


47/49



48/49


00 1

40

5

30

2

07

06

012 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

00 1

4 5

03

02

70

6

012 13

08 9

150

14

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

00

01

4 5

03

02

7 6

12 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

00 1

40

5

03

02

07 6

012 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

A=0 A=1

B=0

B=1

F D

CF A

F E B

BCE

E D B

F C B

F AC

E D A



49/49


00 1

40

5

30

2

07

06

012 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

00 1

4 5

03

02

70

6

012 13

08 9

150

14

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

00

01

4 5

03

02

7 6

12 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

00 1

40

5

03

02

07 6

012 13

08 9

015

014

011

010

CDEF

00 01 1011

00

01

10

11

A=0 A=1

B=0

B=1

F D

CF A F E B

BCE

E D B F C B

F AC

E D A

DF C B A

DF C AB

DC B A

Documents

Soluciones funciones SOP y POS