SOLUCIONES PROBLEMAS ÁREAS Y … · 2019-11-30 · SOLUCIONES PROBLEMAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN Calcula área y volumen de: a) Prisma cuadrangular

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SOLUCIONES PROBLEMAS ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Calcula área y volumen de:

a) Prisma cuadrangular de altura 6 cm y lado de la base 3 cm

Primero calculamos el área de la base, que al ser un cuadrado es:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐿 ∙ 𝐿 = 3 ∙ 3 = 9 𝑐𝑚2

Después calculamos el área de un rectángulo lateral del prisma, que al ser un

rectángulo se obtiene multiplicando sus dos lados, que son uno la altura del prisma

y otro el lado de la base:

𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 6 ∙ 3 = 18 𝑐𝑚2

Para calcular el área total, sumamos el área de la base dos veces (pues la figura tiene

dos bases iguales), y cuatro veces el área de un rectángulo lateral, pues las caras

laterales son cuatro y son todas idénticas:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 9 + 9 + 18 + 18 + 18 + 18 = 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟐

Para calcular el volumen de un prisma, multiplicamos el área de su base por la altura

del prisma:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 9 ∙ 6 = 𝟓𝟒 𝒄𝒎𝟑


b) Prisma rectangular de altura 5 cm y lados de la base 2 y 3 cm

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒

𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_1 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_2

Como hay tres tipos de rectángulos en la figura (base, rectángulo lateral 1 y

rectángulo lateral 2), calculamos las áreas de estos rectángulos:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 2 ∙ 3 = 6 𝑐𝑚2

𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜_𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙_1 = 2 ∙ 5 = 10 𝑐𝑚2


Para calcular el área total, como esos rectángulos están repetidos dos veces,

sumamos sus áreas dos veces:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 + 6 + 10 + 10 + 15 + 15 = 𝟔𝟐 𝒄𝒎𝟐


del prisma:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 6 ∙ 5 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎𝟑


c) Prisma triangular cuya base es un triángulo isósceles en el que los lados iguales

miden 4 cm y el otro 3 cm, sabiendo que su altura es 7cm

4 4

4 3 4 En este caso, habrá que sumar para calcular el área

total dos veces el área de la base, que es un triángulo

7 isósceles, dos veces un rectángulo que tendrá por

lados la altura del prisma y el lado de 4 cm, y otro

rectángulo que tendrá como lados la altura del prisma

y el lado desigual del triángulo (3cm)

Como la base es un triángulo isósceles, debemos calcular la altura h de ese triángulo,

mediante el teorema de Pitágoras. Si partimos el triángulo en dos, obtenemos un

triángulo rectángulo donde los catetos son la altura del triángulo, que es el dato que

buscamos, y la mitad del lado desigual (3:2 = 1’5 cm). La hipotenusa sería uno de los

dos lados iguales (4cm). Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras queda que:

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜12 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜22

42 = ℎ2 + (1′5)2

16 = ℎ2 + 2′25

16 − 2′25 = ℎ2

13′75 = ℎ2

ℎ = √13′25 = 3′64 𝑐𝑚

Ahora que tenemos la altura del triángulo, podemos calcular el área de la base

usando la fórmula del área del triángulo, cogiendo como base el lado desigual (3cm)

y la altura que acabamos de calcular:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2=

3 ∙ 3′64

2= 5′46 𝑐𝑚2

Calculamos ahora el área de los dos rectángulos de la superficie lateral que son

iguales, que son los que quedan debajo de los lados iguales del triángulo (4 cm):


Calculamos ahora el área del otro rectángulo de la superficie lateral, que es el que

queda debajo del lado desigual del triángulo (3 cm):



Calculamos ahora el área total, sumando dos veces el área de la base, dos veces la

del rectángulo que queda por debajo de los dos lados iguales, y una vez la del

rectángulo que queda por debajo del lado desigual:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5′46 + 5′46 + 28 + 28 + 21 = 𝟖𝟕′𝟗𝟐 𝒄𝒎𝟐


del prisma:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 5′46 ∙ 7 = 𝟑𝟖′𝟐𝟐 𝒄𝒎𝟑


d) Prisma triangular cuya base es un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 cm,

sabiendo que su altura es 8 cm

2 2

2 2 2 En este caso, habrá que sumar para calcular el área

total dos veces el área de la base, que es un triángulo

8 equilatero, y tres veces un rectángulo que tendrá por

lados la altura del prisma y el lado del triángulo

Como la base es un triángulo equilatero, debemos calcular la altura h de ese

triángulo, mediante el teorema de Pitágoras. Si partimos el triángulo en dos,

obtenemos un triángulo rectángulo donde los catetos son la altura del triángulo,

que es el dato que buscamos, y la mitad de uno de los lados, que es la base (2:2 = 1

cm). La hipotenusa sería otro lado (2 cm). Por tanto, aplicando el teorema de

Pitágoras queda que:

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜12 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜22

22 = ℎ2 + 12

4 = ℎ2 + 1

4 − 1 = ℎ2

3 = ℎ2

ℎ = √3 = 1′73 𝑐𝑚

Ahora que tenemos la altura del triángulo, podemos calcular el área de la base

usando la fórmula del área del triángulo, cogiendo como base un lado (2 cm) y la

altura que acabamos de calcular:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2=

2 ∙ 1′73

2= 1′73 𝑐𝑚2

Calculamos ahora el área de los tres rectángulos de la superficie lateral que son

iguales, multiplicando la altura del prisma por el lado de la base:


Calculamos ahora el área total, sumando dos veces el área de la base, y tres veces

la del rectángulo:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1′73 + 1′73 + 16 + 16 + 16 = 𝟓𝟏′𝟒𝟔 𝒄𝒎𝟐



del prisma:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 1′73 ∙ 8 = 𝟏𝟑′𝟖𝟒 𝒄𝒎𝟑


e) Prisma hexagonal cuyo lado mide 4 cm y de altura 10 cm

En un prisma hexagonal, tenemos dos bases que son hexágonos

y seis caras laterales que son rectángulos cuyas medidas

coinciden con el lado del hexágono y la altura del prisma.

Para calcular el área del hexágono, debemos calcular la apotema.

Y en este tipo de polígono, el hexágono, la distancia desde uno

de sus vértices hasta el centro del hexágono coincide con la

longitud del lado. Por tanto, esa distancia, junto con la apotema

del hexágono y la mitad del lado forman un triángulo rectángulo,

por lo que es posible calcular la apotema aplicando el teorema

de Pitágoras:

𝑙𝑎𝑑𝑜2 = 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎2 + (𝑙𝑎𝑑𝑜

2)

2

42 = 𝑎𝑝2 + (4

2)

2

42 = 𝑎𝑝2 + 22

16 = 𝑎𝑝2 + 4

16 − 4 = 𝑎𝑝2

12 = 𝑎𝑝2 → 𝑎𝑝 = √12 = 3′46

Ahora calculamos el área del hexágono, con la apotema calculada y sabiendo que

el perímetro se calcula sumando sus seis lados (es decir, será 4+4+4+4+4+4 =24):

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2=

24 ∙ 3′46

2= 41′56 𝑐𝑚2

El área de los rectángulos es:


Calculamos el área total sumando dos veces el área de la base y seis la de los

rectángulos laterales:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 41′56 + 41′56 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40 = 𝟑𝟐𝟑′𝟏𝟐 𝒄𝒎𝟐


del prisma:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 41′56 ∙ 10 = 𝟒𝟏𝟓′𝟔 𝒄𝒎𝟑


f) Cilindro de 6 cm de altura (h) y radio de la base 4 cm (r)

Primero calculamos el área de la base; al ser un círculo, se utiliza la fórmula del área

de un círculo:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 3′14 ∙ 42 = 3′14 ∙ 16 = 50′24 𝑐𝑚2

En segundo lugar, calculamos el área lateral, que al ser un rectángulo, es lado por

lado. Uno de los lados del rectángulo es la altura del cilindro, pero el otro hay que

calcularlo, y al coincidir con la longitud de la circunferencia de la base, se calcula

multiplicando 2 por el número pi por el radio de la circunferencia. Por tanto, si

multiplicamos estas tres cosas por la altura del cilindro, obtenemos el área lateral:

𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = ℎ ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 = 6 ∙ 2 ∙ 3′14 ∙ 4 = 150′72 𝑐𝑚2

Para calcular el área total, sumamos dos veces el área de la base, pues hay dos

bases, más el área lateral:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 50′24 + 50′24 + 150′72 = 𝟐𝟓𝟏′𝟐 𝒄𝒎𝟐

Para calcular el volumen de un cilindro, multiplicamos el área de su base por la altura

del prisma:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 50′24 ∙ 6 = 𝟑𝟎𝟏′𝟒𝟒 𝒄𝒎𝟑


g) Pirámide cuadrangular cuya base tiene como longitud de arista 6 cm, cuya cara lateral

tiene como apotema 5 cm y cuya altura es de 4 cm.

En este tipo de pirámides, la base es un cuadrado, y las caras

laterales son triángulos, por lo que para calcular el área total

basta con calcular el área de la base y la de uno de los triángulos,

y sumar al área de la base cuatro veces la del triángulo.

Calculamos área de la base:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑙2 = 62 = 36 𝑐𝑚2

Calculamos el área del triángulo, sabiendo que la base de cada triángulo coincide

con el lado de la base (6 cm en este caso), y que la altura del triángulo es la apotema

(5 cm en este caso):

𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑑𝑒𝑙_𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎_𝑑𝑒𝑙_𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

2

𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑎𝑑𝑜_𝑑𝑒_𝑙𝑎_𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2=

6 ∙ 5

2= 15 𝑐𝑚2

Calculamos el área total sumando el área de la base y cuatro veces la de los

triángulos laterales:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 36 + 15 + 15 + 15 + 15 = 𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟐

Para calcular el volumen de una pirámide, multiplicamos el área de su base por la

altura de la pirámide y lo dividimos entre 3:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ

3=

36 ∙ 4

3= 𝟒𝟖 𝒄𝒎𝟑


h) Pirámide cuadrangular cuya base tiene como longitud de arista 10 cm y una altura de

12 cm.

A diferencia del ejercicio anterior, en este caso nos falta como dato la

apotema. Para calcularla, aplicamos el teorema de Pitágoras, ya que

apotema, altura de la pirámide y la mitad del lado de la base forman un

triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la apotema, y por tanto, se

cumple que:

𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2 + (𝑙𝑎𝑑𝑜

2)

2

Calculamos la apotema:

𝑎𝑝2 = 122 + (10

2)

2

𝑎𝑝2 = 122 + 52

𝑎𝑝2 = 144 + 25

𝑎𝑝2 = 169

𝑎𝑝 = √169 = 13


𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑙2 = 102 = 100 𝑐𝑚2





2


2=

10 ∙ 13

2= 65 𝑐𝑚2



𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 100 + 65 + 65 + 65 + 65 = 𝟑𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟐




3=

100 ∙ 12

3= 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑


i) Pirámide cuadrangular cuya base tiene como longitud de arista 6 m, sabiendo que su

cara lateral tiene una apotema de 7 m.

En este caso nos falta como dato la altura. Para calcularla, aplicamos el teorema de

Pitágoras, ya que apotema, altura de la pirámide y la mitad del lado de la base

forman un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la apotema, y por tanto,

se cumple que:

𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2 + (𝑙𝑎𝑑𝑜

2)

2

Calculamos la altura:

72 = ℎ2 + (6

2)

2

49 = ℎ2 + 32

49 = ℎ2 + 9

ℎ2 = 49 − 9

ℎ = √40 = 6′32 𝑚


𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑙2 = 62 = 36 𝑚2





2


2=

6 ∙ 7

2= 21 𝑚2



𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 36 + 21 + 21 + 21 + 21 = 𝟏𝟐𝟎 𝒎𝟐




3=

36 ∙ 6′32

3= 𝟕𝟓′𝟖𝟒 𝒎𝟑


j) Cono de radio de la base igual a 3 cm, altura 4 cm y generatriz 5 cm

Calculamos el área aplicando su fórmula:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ (𝑔 + 𝑟) = 3′14 ∙ 3 ∙ (5 + 3) = 9′42 ∙ 8 = 𝟕𝟓′𝟐𝟖 𝒄𝒎𝟐

Para calcular el volumen de un cono, multiplicamos el área de su base (que se calcula

usando la fórmula del área del círculo) por la altura del cono y lo dividimos entre 3:

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 3′14 ∙ 32 = 28′26 𝑐𝑚2


3=

28′26 ∙ 4

3= 𝟑𝟕′𝟔𝟖 𝒄𝒎𝟑


k) Cono de radio de la base igual a 2 m y altura 7 metros.

A diferencia del ejercicio anterior, en este caso nos falta la generatriz como

dato. Pero en un cono, como se ve en la imagen, radio, altura y generatriz

forman un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es la generatriz, y por

tanto, aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que:

𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2 + 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜2

Comenzamos calculando mediante el teorema de Pitágoras la generatriz:

𝑔2 = 72 + 22

𝑔2 = 49 + 4

𝑔2 = 53 → 𝑔 = √53 = 7′28 𝑚


𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ (𝑔 + 𝑟) = 3′14 ∙ 2 ∙ (7′28 + 2) = 6′28 ∙ 9′28 = 𝟓𝟖′𝟐𝟖 𝒎𝟐



𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 3′14 ∙ 22 = 12′56 𝑚2


3=

12′56 ∙ 7

3= 𝟐𝟗′𝟑𝟏 𝒎𝟑


l) Cono de radio de la base igual a 5 m y generatriz de 10 m.

En este caso nos falta la altura como dato. Pero como dijimos en el ejercicio anterior,

radio, altura y generatriz forman un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es la

generatriz, y por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que:

𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2 + 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜2

Comenzamos calculando mediante el teorema de Pitágoras la altura:

102 = ℎ2 + 52

100 = ℎ2 + 15

100 − 25 = ℎ2

ℎ2 = 75 → ℎ = √75 = 8′66 𝑚


𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ (𝑔 + 𝑟) = 3′14 ∙ 5 ∙ (10 + 5) = 15′7 ∙ 15 = 𝟐𝟑𝟓′𝟓 𝒎𝟐



𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 3′14 ∙ 52 = 78′5 𝑚2


3=

78′5 ∙ 8′66

3= 𝟐𝟐𝟔′𝟔𝟎 𝒎𝟑


m) Esfera de radio 2m (r)

Para calcular área y volumen de una esfera aplicamos las fórmulas

correspondientes:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 = 4 ∙ 3′14 ∙ 22 = 4 ∙ 3′14 ∙ 4 = 𝟓𝟎′𝟐𝟒 𝒎𝟐

𝑉 =4

3∙ 𝜋 ∙ 𝑟3 =

4

3∙ 3′14 ∙ 23 =

4

3∙ 3′14 ∙ 8 = 𝟑𝟑′𝟒𝟗 𝒎𝟑

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