Sommes arithmetiques

et elements de Stickelberger

A. Bayad et W. Bley ∗

Institut fur Mathematik der Universitat Augsburg,

Universitatsstr. 8, D-86159 Augsburg, Germany

Ph. Cassou-Nogues

U.E.R. de Mathematiques et d’Informatique, Universite Bordeaux I

F-33405, Talence Cedex, France

March 10, 1994

1 Introduction et resultats

Le celebre theoreme de Stickelberger fournit des annulateurs du groupe desclasses d’ideaux des corps cyclotomiques. La demonstration de ce theoremerepose de maniere essentielle sur la factorisation en produit d’ideaux pre-miers des sommes de Gauss, [2], [9].L’etude d’une situation relative, lorsqu’on remplace par un corps de nom-bres F , est introduite dans [4]. On etudie pour cela la factorisation decertaines resolvantes, introduites par Abel et Jacobi, construites a partird’une courbe elliptique munie d’un point d’ordre premier rationnel sur F .Cette factorisation est analogue a celle des sommes de Gauss.On s’interesse ici aux proprietes de nouvelles resolvantes introduites dansle cas de la multiplication complexe par S.P.Chan [5] qui generalisent lesfonctions considerees dans [4].Le but de cet article est notamment d’etudier leur factorisation en produitd’ideaux premiers et ses consequences arithmetiques. Les theoremes 1.1, 1.2et 1.3 que nous obtenons generalisent les theoremes 1 et 2 de [4], qui ensont des cas particuliers, et les theoremes A et B de [1]. Ils les ameliorentegalement en donnant la valuation en des premiers que l’etude de [4] excluait.On sait que l’etude de la structure galoisienne des anneaux d’entiers de corpsde nombres depend de maniere cruciale du comportement arithmetique dece type de resolvantes de Lagrange, [3], [5] et [7].

∗Les auteurs tiennent a remercier la DFG pour son soutien financier a l’aboutissement

de ce travail

1

Il est a noter que les resolvantes considerees ici sont a une constante multi-plicative non nulle pres celles de [7].Si n est un entier, n ≥ 2, on note ζn une racine primitive n-ieme de 1.Pour tout entier t, 1 ≤ t ≤ n, (t, n) = 1, on note σt l’automorphisme de

(ζn) induit par ζn 7→ ζtn; par abus de notation, σt designe egalement touterestriction ou prolongement ”naturel“ de cet automorphisme. Si E est unecourbe elliptique definie sur un corps de nombres on pose E[n] le groupe despoints de n-division de E.On fixe un nombre premier l, l ≥ 5, et un corps de nombres F . On sup-pose que F ∩ (ζl) = . On pose N = F (ζl + ζ−1

l ) et Γ = Gal(N/F ) ouΓ = σt, 1 ≤ t ≤ (l − 1)/2. Soit (E,P ) une courbe elliptique E definiesur F munie d’un point rationnel sur F d’ordre l. A tout nombre premierp tel que (l, p(p + 1)) = 1 et a tout point Q ∈ E[l] \ P nous associons une”sommes de Gauss elliptique“, Tp(P,Q) dont la definition precise est donneeen (2.3). On verifie que Tp(P,Q) ∈ F (E[l]) et que T lp(P,Q) ∈ N .

Definition On definit l’element de Stickelberger quadratique θ2(p) de [Γ]par :

θ2(p) = (p3 − p2)

(l−1)/2∑

t=1

γ(t)σ−1t , σt ∈ Γ

avec

γ(t) = (p2 − p)β(t) +p−1∑

s=1

α(t, s)

ou β(t) et α(t, s) sont les rationnels definis par :

β(t) =l

p

(t

ltpl + inf(0, 1 − t

l− tp

l))

α(t, s) = −tp alp + lp inf(

t

l, alp)

eta = lsx+ pty,

ou x, y ∈ sont choisis tels que lx− py = 1.On pose z la partie fractionnaire du nombre reel z.

Remarques

(i) La definition de α(t, s) ne depend pas du choix de x et y.(ii) L’element θ2(p) de [Γ] est dit quadratique car il satisfait la congruencesuivante :

θ2(p) ≡12npl

(l−1)/2∑

t=1

t2σ−1t (mod [Γ])

ou

np =p2(p− 1)2(p+ 1)

12.

2

Lorsqu’on choisit p ≡ 1 (mod l) on montre dans l’appendice 2 l’egalite

θ2(p) =6npl

(l−1)/2∑

t=1

(tl − t2)σ−1t .

Pour tout ideal premier p de F on note rp la valuation p-adique du discrim-inant minimal DE/F de la courbe E/F .On designe par R(E,P ) l’ensemble des diviseurs premiers p de DE/F , pre-mier a l, pour lesquels la reduction de P modulo p est un point regulier dela courbe reduite.Si a et b sont des ideaux fractionnaires de N , on ecrit :

a ≡ b (mod l)

lorsque les diviseurs de ab−1 divisent l.Maintenant on peut enoncer les principaux resultats de cet article.

Theoreme 1.1 Tout ideal premier p de R(E,P ) possede un relevement P

dans N tel que :

(

Tp(P,Q))l

Dlnp

E/F ≡( ∏

p∈R(E,P )

Prp)lθ2(p)

(mod l)

Theoreme 1.2 On suppose que tout diviseur premier de DE/F , premier al, appartient a R(E,P ). Alors on a:

( (l−1)/2∏

t=1

Tp(P, tQ))

≡ DE/F

l(l−1)2

np (mod l).

Il est a remarquer que le theoreme 1.2 se deduit immediatement du theoreme1.1 et de l’evaluation des sommes suivantes :

l−1∑

n=1

β(n) etl−1∑

n=1

p−1∑

s=1

α(n, s)

qui sont riches en proprietes analytiques et arithmetiques.

Theoreme 1.3 Soient l et p des entiers tels que (l, p(p+ 1)) = 1. Alors ona les egalites :

(i)l−1∑

n=1

β(n) =l2 − 1

12p

(ii)l−1∑

n=1

p−1∑

s=1

α(n, s) =p(p− 1)(l2 − 1)

12

3

Remarque

Lorsque les hypotheses du theoreme 1.2 ne sont pas remplies on pose

DE/F,reg =∏

p∈R(E,P )

prp .

Le theoreme 1.2 doit etre remplace par

( (l−1)/2∏

t=1

Tp(P, tQ))

≡ (Dl+1E/F,regD

−1E/F )

(l−1)2

np (mod l).

Le plan de cet article est le suivant : le paragraphe 2 contient la definitionde nos resolvantes et leurs proprietes. Ces proprietes se demontrent commedans [4], paragraphe 2. Le lecteur peut aussi se reporter a [1]. Les para-graphes 3 et 4 sont consacres a l’etude complexe et p-adique de ces sommes.Le point crucial est leur expression comme produit de fonctions θ complexes,theoreme 3.9 et p-adique theoreme 4.6.Les demonstrations techniques du paragraphe 4 sont donnees en appendice1. Dans le paragraphe 5 nous donnons une demonstration analytique dutheoreme 1.3. Une demonstration de ces egalites reposant sur la theorie dessommes de Dedekind nous a ete communiquee par C. Meyer.Le theoreme 1.1 est demontre dans le paragraphe 6. Enfin dans le para-graphe 7 nous donnons une application du theoreme 1.1 a l’annulation decertains groupes de classes d’ideaux ainsi que quelques exemples. Nous in-diquons notamment une methode de calcul de l’ideal

∏

p∈R(E,P )

Prp .

Lorsque l = 5 nous determinons explicitement cet ideal dans plusieurs cas.Les calculs de ce paragraphe ont ete effectues avec le systeme Pari. Lesauteurs remercient H.Cohen, A.Jehanne et M.Olivier de leur aide. Ils re-mercient egalement J.Cougnard pour ses nombreuses suggestions.Une partie de ce travail a ete realise lors d’un sejours de l’un des auteurs auFields Institute. Il le remercie de son hospitalite.

2 Resolvantes elliptiques

Ce paragraphe contient la definition et quelques proprietes de nos “sommesde Gauss elliptiques”. Les demonstrations donnees dans [1] sont essentielle-ment celles de [4], paragraphe 2.On fixe deux nombres premiers l et p distincts, l ≥ 5, et un corps de nombresF qu’on suppose lineairement disjoint de (ζl).Soit E une courbe elliptique definie sur F , munie d’un point P rationnel surF , d’ordre l.Soit S,R un couple de points de E[p] qui forment une base de E[p] sur

p.

4

Definition 2.1 On designe parD(·, S,R) une fonction appartenant aM(E),M = F (E[p]), telle que :

(D) =p−1∑

k=0

(

(S + kR) − (kR))

.

Remarque 2.2 L’existence d’une telle fonction est assuree par le theoremed’Abel-Jacobi, [8], III, remarque 3.5.1 .

Definition 2.3 Soient S et T deux points primitifs respectivement de p-division et p2-division de la courbe E tels que S,R = pT forment unebase de E[p] sur p. Si Q est un point d’ordre l de E, n’appartenant pas a< P > , alors on associe a (P,Q, S, T ) la somme de Gauss elliptique :

R(P,Q, S, T ) =∑

u∈ l

D(Q+ uP, S,R)

D(T, S,R)el(Q,uP )−1

ou el designe l’accouplement de Weil sur les points de l-division de E.

On deduit de la definition de D que R(P,Q, S, T ) ne depend que de laclasse de S modulo < R > . On definit une nouvelle somme independantedu choix de S et T en posant :

Tp(P,Q) = p−(p4−p3) ∏

T∈E′[p2]

∏

S∈E′′[p]

R(P,Q, S, T )

ou E′[p2] designe l’ensemble des points primitifs de p2-division de la courbeE et E′′[p] designe un systeme de representants des points non nuls deE[p]/ < R > . Par raison de simplicite on note desormais T la somme Tp.Les proprietes de ces sommes sont rappelees ci-dessous.

Proposition 2.4

(i) T (P,Q) ne depend pas du choix de modele de la courbe E sur F .(ii) T (P,Q) ∈ F (E[l]) pour toute l-base P,Q de E[l].(iii) Soit ω ∈ Gal(F (E[l]/F ) defini par

Qω = aωQ+ bωP avec aω ∈ ∗l , bω ∈ l,

Pω = P.

On a alors :

T (P,Q)ω = el(P,Q)p2(p−1)2(p+1)aωbω T (P, aωQ).

(iv) T (P,Q)l ∈ N et T (P,Q) = T (P,−Q).(v) L’ideal (T (P,Q)) est un ideal ambige pour (F (E[l])/N).

Puisque l’ideal (T (P,Q)) est ambige pour F (E[l])/N nous aurons

(

T (P,Q)l)

≡ I l∏

P

PsP (mod l),

5

ou I est un ideal de N et P parcourt les ideaux premiers de N , ramifiesdans F (E[l]), qui ne divisent pas l. Les ideaux P sont necessairement desrelevements dansN d’ideaux premiers de F ou la courbe E possede mauvaisereduction. Il est a noter que l’existence d’un point rationnel sur F d’ordre l,l ≥ 5, implique qu’en de tels premiers la reduction de E est semi-stable, [4],paragraphe 1. Le but des paragraphes 3 et 4 est de preciser la factorisationde (T (P,Q))l en produit d’ideaux premiers.

3 Resolvantes complexes

Dans ce paragraphe l et p designent des entiers tels que (l, p) = 1, qu’on nesuppose pas necessairement premiers. On donne le lien entre nos resolvanteset les resolvantes considerees dans [7], puis on les factorise en produit defonctions de Klein.Pour cela, on fixe un reseau Ω de et une base ω1, ω2 de Ω telle queIm(ω1

ω2) > 0. On note E[n] le groupe des points de /Ω annules par n,

n ∈ . On fixe un systeme de generateurs ϕ,ψ de E[p] sur , λ ∈ E[p2]tel que pλ = ψ et un systeme de generateurs α, γ de E[l] sur .

Definition 3.1 Soit D(·, ϕ, ψ) une fonction elliptique pour Ω qui a pourdiviseur :

(

D(·, ϕ, ψ))

=p−1∑

k=0

(

(ϕ+ kψ) − (kψ))

.

On definit la resolvante elliptique

R(α, γ, ϕ, λ) =l−1∑

u=0

D(γ + uα,ϕ, ψ)

D(λ,ϕ, ψ)el(γ, uα)−1, (1)

ou el designe l’accouplement de Weil sur les points de l-division de /Ω.Pour etudier (1) on introduit une fonction elliptique pour Ω, definie par :

R(z, α, γ, ϕ, λ) =l−1∑

u=0

D(z + uα,ϕ, ψ)

D(λ,ϕ, ψ)el(γ, uα)−1. (2)

Dans la suite on note R(z) cette fonction. Elle a les proprietes suivantes :

Proposition 3.2

(i) R(z+ψ) = ωΩ(ϕ,ψ)R(z), ou ωΩ(ϕ,ψ) est une racine p-ieme de l’unite.(ii) R(z + α) = el(γ, α)R(z).

Si l’on definit Dψ(·, ϕ, ψ) par

Dψ(z, ϕ, ψ) = D(z + ψ,ϕ, ψ)

on note que les fonctions D et Dψ ont le meme diviseur. Elles sont doncegales a une constante ωΩ(ϕ,ψ) pres. Puisque ψ est d’ordre p on en deduit

6

que ωΩ(ϕ,ψ)p = 1 ce qui demontre (i). La demonstration de (ii) se deduitde la definition (2).

On considere la fonction theta definie par

ϑ

(

z

∣∣∣∣

ω1

ω2

)

= 2πie− 1

2η2ω2z2σ

(

z

∣∣∣∣

ω1

ω2

)

η2(ω1

ω2)ω−1

2 ,

ou η designe la fonction η de Dedekind, η1 et η2 les quasi-periodes de lafonction ζ de Weierstrass et σ la fonction sigma de Weierstrass pour lereseau Ω = ω1 + ω2. La fonction theta verifie les proprietes suivantes,que l’on deduit de celles de la fonction σ, [3], III, proposition 3.10 .

Proposition 3.3

(i) ϑ(

z∣∣∣ω1ω2

)

est une fonction holomorphe sur

dont les zeros sont simples et sont les elements de Ω.

(ii) ϑ(

z + ω1

∣∣∣ω1

ω2

)

= −e−2πiω2

(z+ 12ω1)ϑ(

z∣∣∣ω1

ω2

)

(iii) ϑ(

z + ω2

∣∣∣ω1ω2

)

= −ϑ(

z∣∣∣ω1ω2

)

Soit Ω un reseau de , Ω = ω1 + ω2, Imω1ω2

> 0, et x en point d’ordren de /Ω. On definit le reseau Ω + x en posant Ω + x = Ω + u ou uest un representant quelconque de x dans . On utilise souvent le lemmesuivant

Lemme 3.4 Il existe un representant γ de x dans et β ∈ Ω tels que

Ω + x = β + γ avec Imβ

γ> 0,

Ω = β + nγ.

Montrons qu’il existe un representant γ de x tel que nγ = n1ω1 +n2ω2 avec(n1, n2) = 1. Soit u un representant de x. On a

nu = a1ω1 + a2ω2.

On suppose que a1a2 = 0, par exemple a1 = 0. Puisque x est d’ordre n alors(a2, n) = 1. On pose γ = ω1 + u. On suppose dorenavant a1a2 6= 0. Onpose d = (a1, a2) et a1 = dm1, a2 = dm2. Soit m

′

2 le plus grand diviseur dem2 premier a n et m

′′

2 tel que m2 = m′

2m′′

2 . Puisque (n, dm′

2) = 1 il existeb1, b2 ∈ tels que

1 − dm1 = b1n+ b2(dm′

2).

On pose γ = u+ b1ω1. On obtient

nγ = (dm1 + nb1)ω1 + (dm2)ω2.

On note n1 = dm1 + nb1 et n2 = dm2. Soit l un nombre premier. Si l|dm′

2

alors l ne divise pas n1 = dm1 + b1n. Si l 6 |dm′

2 et l|m′′

2 alors l|n, mais

7

l 6 |dm1, donc l 6 |n1. On a donc montre que (n1, n2) = 1. Soit (u0, v0) ∈ 2

tel queu0n2 − v0n1 = 1.

On note β = u0ω1 + v0ω2. Puisque

M =

(

u0 v0n1 n2

)

∈ Sl2( )

les egalites du lemme sont immediates.

Soit Λ = Ω + ψ. On choisit un representant de ψ qu’on note aussi ψ et unelement β1 de Ω tels que ψ, β1 (resp. pψ, β1) soit une base sur de Λ(resp. Ω) et Im( ψβ1

) > 0.

Definition 3.5

(i) On designe par m0 et n0 des elements de tels que

ϕ = m0ψ − n0β1

p.

(ii) On definit la fonction h par

h(z) =ϑ(

z + n0β1

p

∣∣∣ψβ1

)

ϑ(

z∣∣∣ψβ1

) .

D’apres la proposition (3.3), on sait que h est une fonction elliptique pourΩ. Son diviseur est donne par

(h) =p−1∑

k=0

(

(−n0β1

p+ kψ) − (kψ)

)

=p−1∑

k=0

(

(ϕ+ kψ) − (kψ))

.

Donc, d’apres le theoreme d’Abel-Jacobi, la fonction h(z) est egale aD(z, ϕ, ψ)a une constante multiplicative non nulle pres.On considere le reseau Σ = Λ + α. Puisque (l, p) = 1, Σ/Λ est un groupecyclique d’ordre l.

Definition 3.6 On designe par χ le caractere de Σ/Λ defini par

χ(uα) = el(γ, uα).

Alors on obtient

R(z) =1

h(λ)

l−1∑

u=0

h(z + uα)χ(uα).

Remarque

La quantitel−1∑

u=0

h(z+uα)χ(uα) est la resolvante consideree par Schertz dans

8

[7]. Il est a noter que cette resolvante depend du modele choisi de la courbeE, tandis que R(z) ne depend pas de ce modele.

Grace au lemme 3.4 on peut choisir un representant de α modulo Λ qu’onnote aussi α de facon que lα = n1ψ + n2β avec (n1, n2) = 1. On fixe(u0, v0) ∈ × tel que u0n2 − v0n1 = 1 et l’on pose β2 = u0ψ + v0β1. Onsait que β2, α (resp. β2, lα) est une base de Σ (resp. Λ).On designe par a et b des entiers tels que :

el(γ, α) = e2πia

l ,

ωΩ(ϕ,ψ) = e2πib

p .

On deduit alors de la proposition 3.2 :

R(z + α) = e2πia

l R(z)

R(z + β2) = e2πibu0

p R(z)(3)

On considere une nouvelle fonction qu’on definit par

T (z) = e2πiaαlzϑ(

lz + δ∣∣∣lβ2

lα

)

ϑ(

lz∣∣∣lβ2lα

) (4)

ou δ = −bu0αlp + aβ2.

On remarque que T satisfait les proprietes (3), donc la fonction R/T estelliptique pour Σ et ne peut avoir qu’un pole en z ≡ − δ

l (mod Σ) qui estsimple. Cette fonction est donc une constante.Soit C ∈ ∗ tel que

R = CT. (5)

On pose z0 = − δl , w0 = lpz0. La condition (l, p) = 1 implique que la fonction

R elliptique pour Ω est de valence lp. On deduit de (4) le diviseur de T quiest aussi grace a (5) celui de R.

Proposition 3.7

(R) =∑

0≤i≤p−10≤u≤l−1

(

(−δl

+ iψ + uα) − (iψ + uα))

avec δ = −bu0αlp + aβ2.

On exprime maintenant la fonction R a l’aide de la fonction σ(z) = σ(

z∣∣∣ω1ω2

)

.

Proposition 3.8 La fonction R s’exprime comme le produit:

R(z) = ezη(w0)−λη(pϕ)p−1∏

i=0

σ(λ+ iψ)σ(−ϕ + iψ)

σ(λ− ϕ+ iψ)σ(iψ)×

×∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

σ(iψ + uα)σ(z − z0 + iψ + uα)

σ(−z0 + iψ + uα)σ(z + iψ + uα).

ou, par convention, chaque facteur du produit qui donne σ(0) est remplacepar 1.

9

De la proposition 3.7 on deduit la decomposition de R en produit de fonc-tions σ pour le reseau Ω

R(z) = Aσ(z − z0)

σ(z − w0)

∏

i,u

σ(z − z0 + iψ + uα)

σ(z + iψ + uα), (6)

ou (i, u) parcourt l’ensemble

0, 1, . . . , p− 1 × 0, 1, . . . , l − 1 \ 0, 0

et A est une constante a determiner. Pour cela nous etudions la limite deσ(z − w0)R(z) lorsque z → w0. On deduit immediatement des proprietesdes fonctions σ et η, [3], III, l’egalite

limz→w0

σ(z − w0)R(z) = Ae−w02η(w0)σ(−z0)

∏ σ(iψ + uα− z0)

σ(iψ + uα). (7)

On veut maintenant calculer cette limite en revenant a la definition de R.Puisque R ne depend pas du choix de la fonction D satisfaisant (3.1), nouschoisissons

D(z, ϕ, ψ) =σ(z − ϕ)

σ(z − pϕ)

p−1∏

i=1

σ(z − ϕ+ iψ)

σ(z + iψ).

On obtient alors

limz→w0

σ(z − w0)R(z) = limz→w0

σ(z − w0)D(z)

D(λ),

d’ou l’on deduit

limz→w0

σ(z − w0)R(z) = e−pϕ2η(pϕ)σ(−ϕ)

D(λ)

p−1∏

i=1

σ(−ϕ+ iψ)

σ(iψ). (8)

La proposition 3.8 est alors une consequence de (6), (7) et (8).

Comme la fonction ϕ de Klein fournit par une specialisation “convenable”des entiers algebriques, il est naturel d’exprimer R(α, γ, ϕ, λ) comme produitde fonctions de Klein. On rappelle qu’on definit la fonction de Klein par :

ϕ

(

z

∣∣∣∣

ω1

ω2

)

= 2πi e−12zz∗σ

(

z

∣∣∣∣

ω1

ω2

)

η2(ω1

ω2)ω−1

2 , Imω1

ω2> 0,

ou

z∗ = a1η1 + a2η2 avec a1, a2 ∈ tels que

z = a1ω1 + a2ω2.

De la definition de ϕ et la proposition 3.8, on deduit le resultat suivant :

10

Theoreme 3.9 On a l’egalite :

R(z)2lp2

= F (z)2lp2.

ou

F (z) =p−1∏

i=0

ϕ(λ+ iψ)ϕ(−ϕ + iψ)

ϕ(λ− ϕ+ iψ)ϕ(iψ)×

×∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

ϕ(iψ + uα)ϕ(z − z0 + iψ + uα)

ϕ(−z0 + iψ + uα)ϕ(z + iψ + uα).

Par convention, chaque facteur du produit qui donne ϕ(0) est remplace par1.

4 Resolvantes locales

Nous nous proposons dans ce paragraphe d’introduire l’analogue p-adiquedes resolvantes considerees dans le paragraphe 2. La decomposition de cesresolvantes en produits de fonctions theta qu’on obtient dans le theoreme4.6 est l’analogue p-adique de la proposition 3.8. Soient K une extensionfinie d’un corps p-adique et K une cloture algebrique de K. On note vKla valuation discrete normalisee de K. On considere q un element de Kde valuation strictement positive. Nos references pour ce paragraphe sontchap. III, VI et App. I de [1].On definit la fonction θ fondamentale par

θ(w) = (1 − w)∏

n≥1

(1 − qnw)(1 − qnw−1), w ∈ K∗.

Pour tout m ∈ elle satisfait l’equation

θ(qmw) = (−1)mq−m(m−1)

2 w−mθ(w). (9)

Si n est un entier,n > 0, on note E[n] le groupe des points x dans K∗/q

tels que xn = 1. On fixe un entier p, p > 0 et ϕ,ψ une base de E[p] sur/p . On considere une fonction q-periodique D de diviseur

(D(·, ϕ, ψ)) =p−1∑

i=0

(

(ϕψi) − (ψi))

. (10)

Si l’on fixe de representants dansK∗

de cette base, qu’on note encore ϕ,ψ,on sait qu’a constante multiplicative non nulle pres on a l’egalite

D(z, ϕ, ψ) =θ(zϕ−1)

θ(zϕ−p)

p−1∏

i=1

θ(zψiϕ−1)

θ(zψi). (11)

Soit l un entier, l > 0 tel que (l, p) = 1. On suppose l premier a la car-acteristique residuelle de K. On fixe une base α, γ de E[l] sur /l etλ ∈ E[p2] tel que λp = ψ.

11

Definition 4.1 On definit la resolvante

R(α, γ, ϕ, λ) = D(λ,ϕ, ψ)−1l−1∑

u=0

D(γαu, ϕ, ψ)el(γ, αu)−1,

ou el est l’accouplement de Weil sur les points de l-division de K∗/q .

Pour etudier cette quantite on introduit la fonction q-periodique R ou

R(z) = R(z, α, γ, ϕ, λ) = D(λ,ϕ, ψ)−1l−1∑

u=0

D(zαu, ϕ, ψ)el(γ, αu)−1.

De la definition de la fonction R et de (9) on deduit

Proposition 4.2

(i) Soit s (resp. t) l’entier defini par ϕp = qs (resp. ψp = qt), on a alors :

R(zψ) = ϕtψ−sR(z).

(ii)R(zα) = el(γ, α)R(z).

Remarque 4.3 Soit n un entier , n ≥ 1, et q1/n (resp.ζn) une racine n-ieme de q dans K (resp. primitive n-ieme de 1) fixee. Soient x et y deselements de E[n] respectivements representes par qa/nζbn, q

c/nζdn. On peutverifier l’egalite suivante [1], Chap II, lemme 3.1

en(x, y) = ζad−bcn .

C’est une generalisation de [3], lemme 3-18.On veut factoriser la fonction R(z) en produit de fonctions theta. On intro-duit pour cela des fonctions auxilliaires. On fixe des representants de la baseα, γ de E[l] qu’on note encore α et γ. A tout point non nul de lp-division,z0, on associe la fonction

Tz0(z) =θ(zz−1

0 )

θ(zz−lp0 )

∏

j,i

′ θ(zz−10 ψiαj)

θ(zψiαj)

ou le couple (j, i) parcourt 0, . . . , l − 1 × 0, . . . , p− 1 \ (0, 0).On fixe ζl (resp. ζp) une racine primitive l-ieme (resp. p-ieme ) de 1 et q1/l

(resp. q1/p) une racine p-ieme (resp. p-ieme ) de q dans K. On peut ecrireα = qm1/lζl

m2 et ψ = qs1/pζps2 ou s1 = t et m1 et m2 (resp. s1 et s2 ) sont

des entiers non tous deux divisibles par l (resp.p).

Definition 4.4 On associe a α, γ et ϕ,ψ les entiers a = a(α, γ) etb = b(ϕ,ψ) definis par

el(γ, α) = ζal , 0 ≤ a ≤ l − 1,

ϕtψ−s = ζbp, 0 ≤ b ≤ p− 1.

12

Il existe des entiers a1 et a2 qui satisfont le systeme d’equations suivant :

−m2a1 +m1a2 ≡ a(α, γ) (mod l)−s2a1 + s1a2 ≡ b(ϕ,ψ) (mod p) .

(12)

Puisque (l, p) = 1 on peut choisir une racine primitive lp-ieme de 1 et uneracine lp-ieme de q de facon que

ζplp = ζl, ζ llp = ζp, (q1/lp)l = q1/p, (q1/lp)p = q1/l.

On pose

z0 = qa1lp ζa2lp , a1, a2 ∈ .

Proposition 4.5

(i) Tz0(zα) = ϕtψ−sTz0(z)(ii) Tz0(zψ) = el(γ, α)Tz0(z).

Ces egalites se deduisent immediatement de (9) et de la remarque (4.3).

Theoreme 4.6 La fonction R satisfait l’egalite

R(z) = λsz−a1p−1∏

i=0

θ(λψi)θ(ψiϕ−1)

θ(λψiϕ−1)θ(ψi)×

∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

θ(ψiαu)θ(zz−10 ψiαu)

θ(z−10 ψiαu)θ(zψiαu)

,

ou, par convention, chaque facteur du produit qui donne θ(1) est remplacepar 1.

On deduit des propositions 4.2 et 4.5 que R/Tz0 est une fonction meromorphesur K

∗de valence inferieure ou egale a 1 comme fonction de K

∗/q α ψ .

Comme dans le cas complexe on deduit de [1], lemme 3-14 que

R = C.Tz0 .

Pour calculer C on multiplie les deux membres de cette egalite par θ(zz−lp0 )

et on fait tendre z vers zlp0 . Le calcul, analogue a celui de la proposition 3.8,est laisse au lecteur.

Remarque 4.7 Il est important pour la suite de notre etude de remarquerqu’on ne change pas la valeur de R(α, γ, ϕ, λ) en remplacant α ou ψ par toutautre generateur du sous-groupe qu’il engendre dans K

∗/q . On remarque

egalement les egalites

R(α, γαu, ϕψv , λ) = R(α, γ, ϕ, λ) ∀u, v ∈

Ainsi l’etude dans le cas general de la valuation de R(α, γ, ϕ, λ) se ramenelorsque l et p seront premiers a l’etude des cas consideres dans les theoremes4.8 et 4.9.

13

Dans ce paragraphe si x et y ∈ K∗

on note x ∼ y si xy−1 est une unite deK

∗

Theoreme 4.8

(i) Soit u un entier tel que 1 ≤ u < p2 et (u, p) = 1. Alors on a

R(q1l , ζl, ζp, q

up2 ) ∼ (1 − ζp).

(ii) Soient s et u des nombres entiers tels que 1 ≤ s ≤ p − 1, (s, p) = 1,0 ≤ u < p2 et u ≡ 0 (mod p). Alors on a

R(q1l , ζl, q

sp , ζp2q

up2 ) ∼M(u, s)q

sup2 −inf(s,u

p)

avec

M(u, s) =

1 si u 6= 0, u 6= ps,(1 − ζp) si u = 0,(1 − ζp)

−1 si u = ps.

On s’interesse maintenant au cas ou α est une unite. Si x ∈ on note xsa partie fractionnaire. Enfin on rappelle que l’entier np et les rationnelsβ(n), γ(n) et α(n, s) sont definis dans l’introduction.

Theoreme 4.9

(i) Soient n et u des nombres entiers tels que 1 ≤ n ≤ l − 1, (n, l) = 1,1 ≤ u < p2 et (u, p) = 1. Alors on a :

R(ζl, qnl , ζp, q

up2 ) ∼ (1 − ζp)q

β(n)

(ii) Soient n, s et u des nombres entiers tels que 1 ≤ n ≤ l − 1, (n, l) = 1,1 ≤ s ≤ p− 1, (s, p) = 1, 0 ≤ u < p2 et u ≡ 0 (mod p). Alors on a :

R(ζl, qnl , q

sp , ζp2q

up2 ) ∼M(u, s)q

sup2 −inf(s,u

p)+α(n,s)

ou M(u, s) est defini dans le theoreme 4.8.

Les demonstrations de ces theoremes sont donnees dans l’appendice. Onsuppose dorenavant que l et p sont des nombres premiers distincts.

Definition 4.10

T (α, γ) = p−(p4−p3) ∏

λ∈E′[p2]

∏

ϕλ∈E′′λ[p]

R(α, γ, ϕλ, λ)

ou E′[p2] est l’ensemble des points primitifs de p2-division de K∗/q et E′′

λ[p]designe un systeme de representants non nuls de E[p]/ < pλ >.

Proposition 4.11

(i)Pour tout entier m, 1 ≤ m ≤ l − 1, on a

T (qml , ζl) ∼ q−np ,

(ii)Soit n un entier, 1 ≤ n ≤ l − 1,alors on a

T (ζl, qnl ) ∼ q−np+(p3−p2)γ(n).

14

On designe par E′1[p

2] (resp.E′2[p

2]) l’ensemble des λ ∈ E′[p2] tels queλp

2= qu avec 0 ≤ u ≤ p2 − 1 et u ≡ 0 (mod p) ( resp. u 6≡ 0 (mod p)).

On associe a cette partition de E′[p2] une decomposition de p(p4−p3)T (α, γ)en produit

T1(α, γ) · T2(α, γ)

avec

T1(α, γ) =∏

0≤u<p

0≤x<p2

(x,p)=1

∏

1≤s≤p−1

R(α, γ, qsp , ζxp2q

up )

T2(α, γ) =∏

0≤u<p2

0≤x<p2

(u,p)=1

∏

1≤s≤p−1

R(α, γ, ζsp , ζxp2q

up2 )

On deduit du theoreme 4.8 (i) et (ii)

T2(qml , ζl) ∼ p(p4−p3)

T1(qml , ζl) ∼ q(p

2−p)v

ouv =

∑

1≤s<p1≤u<p

(su

p− inf(s, u))

on verifie immediatement les egalites

∑

1≤s<p1≤u<p

su

p=p(p− 1)2

4,

∑

1≤s<p1≤u<p

inf(s, u) =1

6p(p− 1)(2p − 1).

(13)

d’ou l’on deduit v = −p(p − 1)(p + 1)/12, ce qui demontre (i). On deduit(ii) du theoreme 4.9 (i) et (ii) et de (13).

5 Sommes arithmetiques

Ce paragraphe contient la demonstration du theoreme 1.3. Pour cela on fixedeux entiers l et p qui verifient (l, p(p + 1)) = 1. Il s’agit de determiner lessommes

l−1∑

n=1

β(n) etl−1∑

n=1

p−1∑

s=1

α(n, s)

qui proviennent des valuations des resolvantes R(α, γ, ϕ, λ) dans le cas local.La strategie de la demonstration est d’utiliser d’une part le theoreme 3.9 quiest l’analogue complexe du theoreme 4.6 et d’autre part les proprietes desfonctions ϕ de Siegel. Notre reference pour ce paragraphe est [6], chap. 2,paragraphe 4.

15

Pour τ ∈ , Imτ > 0, nous notons Ωτ le reseau τ + . Soit n un entier,

n ≥ 1, on note Sn l’anneau des series formelles de Laurent (ζn)((q1nτ )) ou

qτ = e2πiτ . Si f et g sont des elements de cet anneau on note f ∼ g lorsque

f = gh ou h =∞∑

k=0

ckqknτ avec ck ∈ (ζn) ∀k ≥ 0 et c0 6= 0.

On rappelle les qτ -developpements des fonctions ϕ et ∆ :

∆

(ω1

ω2

)

=

(2πi

ω2

)12

qω

∞∏

n=1

(1 − qnω)24, qω = e2πiω, (14)

ou ω = ω1ω2

tel que Imω > 0. Pour tout a1, a2 ∈ on a :

ϕ(a1τ + a2

∣∣ τ1

)= −q

12B2(a1)

τ e2πia2(a1−1)/2(1 − qa1τ e2πia2)

∞∏

n=1

(1 − qn+a1τ e2πia2)(1 − qn−a1τ e−2πia2)

(15)

ou B2(X) = X2 −X + 16 et qτ = e2πiτ . On verifie facilement que

ϕ12n(

a1τ + a2

∣∣∣∣

τ

1

)

∼ ϕ12n(

a1τ

∣∣∣∣

τ

1

)

(16)

pour tout (a1, a2) ∈ 1n

2, a1 6= 0, n ∈ .Demontrons (i). On suppose les elements α, γ, ϕ, ψ et λ respectivementrepresentes modulo Ωτ par

α =1

l, γ =

n

lτ, ϕ =

1

p, ψ =

1

pτ, λ =

1

p2τ.

On verifie que dans ce cas l’element z0 introduit au paragraphe 3 est egal a

z0 = − n

lpτ +

1

lp.

D’apres le theoreme (3.9) on a

R(

1l ,nl τ,

1p ,

1p2τ)12lp2

=

p−1∏

i=0

ϕ( τp2 + ipτ)ϕ(−1

p + ipτ)

ϕ( τp2 + ipτ − 1

p)ϕ( ipτ)×

×∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

ϕ( ipτ + ul )ϕ(nl τ + i

pτ + ul + n

lpτ − 1lp)

ϕ( ipτ + ul + n

lpτ − 1lp)ϕ(nl τ + i

pτ + ul )

12lp2

.

(17)

On va appliquer plusieurs fois le theoreme 4.1 de [6], chap. 2, paragraphe4 pour simplifier le produit (17). On a les resultats suivants qui decoulentimmediatement de ce theoreme :

p−1∏

i=1

ϕ12lp2(i

pτ

∣∣∣∣

τ

1

)

=

∆(τ/p1

)

∆( τ

1

)

lp2

, (18)

p−1∏

i=0

ϕ12lp2(

ξ +i

pτ

∣∣∣∣

τ

1

)

= ϕ12lp2(

ξ

∣∣∣∣

τ/p

1

)

(19)

16

pour tout ξ ∈ \ Ω 1pτ et tel que lp2ξ ∈ Ωτ ,

∏

(i,u)6=(0,0)

ϕ12lp2(i

pτ +

u

l

∣∣∣∣

τ

1

)

=

∆(τ/p1/l

)

∆( τ

1

)

lp2

, (20)

∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

ϕ12lp2(

ξ +i

pτ +

u

l

∣∣∣∣

τ

1

)

= ϕ12lp2(

ξ

∣∣∣∣

τ/p

1/l

)

(21)

pour tout ξ ∈ \ ( 1pτ + 1

l ) et tel que lp2ξ ∈ Ωτ .

De (16), (18), (19), (20) et (21) on obtient :

R(1

l,n

lτ,

1

p,

1

p2τ)12lp

2 ∼

ϕ(

−1p

∣∣∣τ/p1

)

ϕ(nl τ + n

lpτ∣∣∣τ/p1/l

)

ϕ(nlpτ

∣∣∣τ/p1/l

)

ϕ(nl τ∣∣∣τ/p1/l

)

12lp2

×

∆(τ/p1/l

)

∆(τ/p1

)

lp2

.

Les proprietes d’homogeneite des fonctions ϕ permettent d’ecrire l’equivalenceprecedente

R(

1

l,n

lτ,

1

p,

1

p2τ

)12lp2

∼

ϕ(

−1p

∣∣∣τ/p1

)

ϕ(

(p + 1)np τ∣∣∣lτ/p

1

)

ϕ(np τ∣∣∣lτ/p

1

)

ϕ(

nτ∣∣∣lτ/p

1

)

12lp2

×

∆(τ/p1/l

)

∆(τ/p1

)

lp2

.

En utilisant le qτ -developpement a l’infini (14) et (15) de ϕ et ∆ on obtient

R(1

l,n

lτ,

1

p,

1

p2τ)12lp

2 ∼ q12lp2δ(n)+lp(l−1)

τ . (22)

ou

δ(n) =l

2p

(1

6l+B2(

np

l+n

l) −B2(

n

l) −B2(

np

l))

.

On verifie que 12lp2δ(n) + lp(l − 1) = 12lp2β(n).Comme (p+ 1) et p sont premiers avec l l’ensemble des elements (p+ 1)np τ(resp. n

p τ , resp. nτ) , 1 ≤ n ≤ l − 1 constitue un systeme de representantsnon triviaux de Ω 1

pτ/Ω l

pτ . On en deduit que

l−1∏

n=1

R(

1

l,n

lτ,

1

p,

1

p2τ

)12lp2

∼

∼ ϕ

(

−1

p

∣∣∣∣

τ/p

1

)12lp2(l−1)

∆(τ/p1/l

)

∆(τ/p1

)

lp2(l−1)

∆(lτ/p

1

)

∆(τ/p1

)

lp2

.

17

On utilise maintenant les qτ -developpements de ϕ et ∆. Un calcul elementairenous donne :

l−1∏

n=1

R(

1

l,n

lτ,

1

p,

1

p2τ

)12lp2

∼ qlp(l2−1)

τ . (23)

Le theoreme 1.3 (i) se deduit donc de (22) et (23).Demontrons maintenant (ii). On suppose α, γ, ϕ, ψ et λ respectivementrepresentes par

α =1

l, γ =

n

lτ, ϕ =

s

pτ, ψ =

1

p, λ =

1

p2.

On verifie que dans ce cas

z0 =z1lpτ avec z1 = lsx+ pyn

ou x et y verifient lx− py = 1. On considere la fonction

R(

1l ,nl τ,

spτ,

1p2

)12lp2

=

p−1∏

i=0

ϕ( 1p2

+ ip)ϕ(− s

pτ + ip)

ϕ( 1p2

+ ip − s

pτ)ϕ( ip )×

×∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

ϕ( ip + ul )ϕ(nl τ + i

p + ul −

z1lp τ)

ϕ( ip + ul − z1

lp )ϕ(nl τ + ip + u

l )

12lp2

.

(24)

Comme dans le cas precedent en appliquant plusieurs fois le theoreme 4.1de [6], 2, paragraphe 4 on obtient :

p−1∏

i=1

ϕ12lp2(i

p

∣∣∣∣

τ

1

)

=

∆(

τ1/p

)

∆( τ

1

)

lp2

, (25)

p−1∏

i=0

ϕ12lp2(

ξ +i

p

∣∣∣∣

τ

1

)

= ϕ12lp2(

ξ

∣∣∣∣

τ

1/p

)

(26)

pour tout ξ ∈ \ ( τ + 1p) et tel que lp2ξ ∈ Ωτ ,

∏

(i,u)6=(0,0)

ϕ12lp2(i

p+u

l

∣∣∣∣

τ

1

)

=

∆(

τ1/lp

)

∆( τ

1

)

lp2

, (27)

∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

ϕ12lp2(

ξ +i

p+u

l

∣∣∣∣

τ

1

)

= ϕ12lp2(

ξ

∣∣∣∣

τ

1/lp

)

(28)

pour tout ξ ∈ \ ( τ + 1lp) et tel que lp2ξ ∈ Ωτ .

18

De (16), (25), (26), (27) et (28) on deduit :

R(

1

l,n

lτ,s

pτ,

1

p2

)12lp2

∼

∆(

τ1/pl

)

∆(

τ1/p

)

lp2

×

ϕ(

1p2

∣∣∣τ

1/p

)

ϕ(nl τ −

z1lp τ

∣∣∣τ

1/lp

)

ϕ(

− z1lp τ

∣∣∣τ

1/lp

)

ϕ(nl τ∣∣∣τ

1/lp

)

12lp2

.

Des qτ -developpements de ϕ et ∆ on deduit l’equivalence :

R(

1

l,n

lτ,s

pτ,

1

p2

)12lp2

∼ q12lp2ω(n,s)+lp3(l−1)

τ (29)

ou

ω(n, s) =lp

2

(1

6l+B2(

n

l− z1pl) −B2(−

z1pl) −B2(

n

l)

)

et l’on verifie que 12lp2ω(n, s) + lp3(l − 1) = 12lp2α(n, s).On est donc ramene a demontrer que :

p−1∏

s=1

l−1∏

n=1

R(

1

l,n

lτ,s

pτ,

1

p2

)12lp2

∼ qlp3(p−1)(l2−1)

τ .

On applique de nouveau le theoreme 4.1 de [6]. Compte-tenu de l’homogeneitede la fonction ϕ, on trouve :

p−1∏

s=1

l−1∏

n=1

R(1

l,n

lτ,s

pτ,

1

p2)12lp

2 ∼

∼

∆(

τ1/lp

)

∆(

τ1/p

)

lp2(l−1)(p−1)

∆(lpτ1

)

∆(pτ

1

)

lp2(p−1)

ϕ

(1

p

∣∣∣∣

pτ

1

)12lp2(l−1)(p−1)

×

×p−1∏

s=1

l−1∏

n=1

ϕ(

pnτ − z1τ∣∣∣lpτ1

)

ϕ(

−z1τ∣∣∣lpτ1

)

12lp2

︸ ︷︷ ︸

A(s)

.

Nous demontrons quep−1∏

s=1

A(s) ∼ 1. D’apres la definition de z1 on a :

A(s) =l−1∏

n=1

ϕ(

n(1 − y)pτ − lxsτ∣∣∣lpτ1

)

ϕ(

−ynpτ − lxsτ∣∣∣lpτ1

)

12lp2

.

Comme lx− py = 1 et (l, p(p+ 1)) = 1, on deduit que (l, y) = (1− y, l) = 1.Par consequent, les elements n(1 − y) (resp. −yn) parcourent un systemede representants non nuls de /l . On conclut que A(s) = 1.On utilise maintenant les qτ -developpements de ϕ et ∆ pour demontrer que

p−1∏

s=1

l−1∏

n=1

R(

1

l,n

lτ,s

pτ,

1

p2

)12lp2

∼ qlp3(p−1)(l2−1)

τ ,

ce qui termine la demonstration du theoreme 1.3.

19

6 Demonstration du theoreme 1.1

On designe par S l’ensemble des ideaux premiers de F pour lesquels lacourbe (E/F ) a mauvaise reduction ou qui divisent l. Pour demontrer letheoreme 1.1 on doit determiner la valuation des resolvantes T (P,Q) en toutideal premier. Cette etude se decompose en deux parties suivant que l’idealconsidere releve ou ne releve pas un element de S.

A. Etude aux places de bonne reduction

On exprime T (P,Q) comme valeur de fonction modulaire et on utilise leprincipe du ”q-developpement”. On fixe un modele de Weierstrass de E,defini sur F , associe a un reseau Ω = ω1 + ω2 de ou τ = ω1

ω2∈ H. Si

℘ designe la fonction de Weierstrass de Ω on considere l’isomorphisme devarietes complexes :

/Ω 7−→ E( )z 7−→ (℘(z), ℘′(z)) si z 6∈ Ωz 7−→ 0 si z ∈ Ω.

(30)

Le point M de E( ) de coordonnees (℘(z), ℘′(z)) est dit de parametre z.Pour tout entier n, n ≥ 1, on identifie via (30) les groupes E[n] et 1

nΩ/Ω.

Soit α ( resp.γ) un parametre de P ( resp. Q). Alors T (P,Q) s’exprime al’aide des resolvantes introduites en (1) , paragraphe 3, par l’egalite

T (α, γ) = p−(p4−p3) ∏

λ∈E′[p2]

∏

ϕλ∈E′′λ[p]

R(α, γ, ϕλ, λ). (31)

Les notations et les choix des elements α, γ, ϕ, ψ, λ sont dorenavant ceuxprecises au paragraphe 3. Nous utilisons le lemme suivant

Lemme 6.1 Pour tout couple (i, u), 0 ≤ i ≤ p − 1, 0 ≤ u ≤ l − 1, lesnombres complexes γ − z0 + iψ + uα et −z0 + iψ + uα sont des parametresde points de E[pl] \E[p].

On rappelle les definitions et les choix du paragraphe 3.On a Λ = Ω + ψ, Σ = Λ + α. En outre ψ,α, β1, β2 ont ete choisis demaniere que :

Ω = β1 + (pψ),Λ = β1 + ψ = β2 + (lα),Σ = β2 + α. (32)

Puisque β2 ∈ Λ − Ω on peut ecrire β2 = v0β1 + u0ψ, avec (p, uo) = 1. Ondeduit facilement des egalites precedentes

Ω = (pβ2) + (lα). (33)

On a pose

z0 = bu0α

p− a

β2

l, (34)

20

ou a et b satisfont

el(γ, α) = e2iπal , ωΩ(ϕ,ψ) = e2iπ

bl , (a, l) = (b, p) = 1.

Puisque (bu0, p) = (a, l) = 1 on deduit de (33) et de (34) que z0 est leparametre d’un point primitif de lp-division. Puisque pβ2

l , α est une basesur l de E[l] on peut ecrire

γ = x0pβ2

l+ y0α, (35)

ou x0, y0 ∈ et (x0, l) = 1. On obtient alors l’egalite el(γ, α) = e2iπ

lx0, ([1],

I, proposition 1-3), d’ou l’on deduit que a ≡ x0 (mod l). Supposons qu’ilexiste u, 0 ≤ u ≤ l − 1, tel que

p(γ − z0) − uα ≡ 0 (mod Ω).

On deduit de (34) et (35) que

(a+ x0p

l)(pβ2) + (

py0 − bu0 − u

l)(lα) ∈ Ω,

i.e (a+ x0p) ≡ 0 (mod l) et (py0 − bu0 − u) ≡ 0 (mod l).La premiere congruence est equivalente a

x0(p + 1) ≡ 0 (mod l).

Ce qui est impossible puisque (l, p) = (l, p + 1) = 1. On demontre ainsi queγ−z0 + iψ+uα definit un element de E[pl]\E[p]. On demontre de la mememaniere la propriete souhaitee pour −z0 + iψ + uα.

On veut maintenant exprimer R(α, γ, ϕ, λ) comme valeur de fonction mod-ulaire. On fixe a ( resp. c, resp. d, resp. r, resp. s, resp. t ) appartenanta 1

l2 (resp. 1

l2, resp. 1

pl2, resp. 1

p2, resp. 1

p2, resp. 1

p22) tels que

αω2

= aτ ( resp. γω2

= cτ , resp. z0ω2

= dτ , resp. ϕω2

= rτ , resp. ψω2= sτ , resp.

λω2

= tτ) ou, lorsque x = (x1, x2) ∈ 2 on note xτ l’element x1τ + x2 de .

Pour tout x ∈ 2 − 2 on definit la fonction ϕ(x) par

H 7−→ω 7−→ ϕ

(

xω

∣∣∣∣

ω

1

)

.

On rappelle la convention ϕ(x) = 1 si x ∈ 2. On pose

G(a, c, r, t) =p−1∏

i=0

ϕ(t+ is)ϕ(−r + is)

ϕ(t− r + is)ϕ(is)×

∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

ϕ(is + ua)ϕ(c − d+ is+ ua)

ϕ(−d+ is+ ua)ϕ(c + is + ua).

(36)

21

Le theoreme 3.9 fournit l’egalite

Rm(α, γ, ϕ, λ) = Gm(a, c, r, t)(τ) , m = 12lp2. (37)

On utilise maintenant la terminologie et les resultats de [6] II, paragraphe 2.Si n est un entier, n ≥ 1, on designe par Fn le corps des fonctions modulairesde niveau n dont les coefficients de Fourier aux pointes appartiennent a

(ξn). On designe par Rn la cloture integrale de [j] dans Fn. Le theoreme2.2 de [6] II, implique que G(a, c, r, t) est une unite de Rlp2[

1l ,

1p ].

Definition 6.2 Soient f et g des elements de Flp2 on note f ≈ g lorsquefg−1 est une unite de Rlp2[

1l ].

Proposition 6.3 On a l’equivalence

Gm(a, c, r, t) ∼p−1∏

i=0

(ϕ(t+ is)ϕ(−r + is)

ϕ(t− r + is)

)m.

On sait grace au lemme 6.1 que pour tout couple (i, u), les elements de1p2l

2, c− d+ is+ua, −d+ is+ua et c+ is+ua sont d’ordre composite ou

egal a l modulo 2. Le theoreme 2.2, de [6] II, affirme alors que les fonctionsϕ associees sont des unites de Rlp2[

1l ] . Ce meme theoreme implique

∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

ϕ(is + ua) ∼p−1∏

i=0

ϕ(is).

Ce qui permet de conclure.

Soit E ′[p2] un systeme de representants dans 1p2

2 des points d’ordre p2

du groupe ( / )2. Pour tout t ∈ E ′[p2] on considere le quotient du groupe1p

2/ 2 par le sous-groupe engendre par l’image de pt. On note E ′′t [p] un

systeme de representants des elements non nuls de ce groupe.

Proposition 6.4 On a l’equivalence∏

t∈E ′[p2]

∏

r∈E ′′t [p]

Gm(a, c, r, t) ∼ pm(p4−p3).

Designons par F le membre de gauche. La proposition 6.3 nous donnel’equivalence

F ∼∏

t∈E ′[p2]

∏

r∈E ′′t [p]

p−1∏

i=0

(ϕ(t+ is)ϕ(−r + is)

ϕ(t− r + is)

)m. (38)

On verifie facilement les egalites

∏

t∈E ′[p2]

∏

r∈E ′′t [p]

p−1∏

i=0

ϕ(t+ is) =∏

t∈E ′[p2]

∏

r∈E ′′t [p]

p−1∏

i=0

ϕ(t− r + is) (39)

∼∏

t∈E ′[p2]

ϕp2(t). (40)

22

On deduit de (39) et (40)

F ∼∏

t∈E ′[p2]

∏

r∈E ′′t [p]

p−1∏

i=0

ϕm(−r + is). (41)

Si E ′[p] designe un systeme de representants dans 1p

2 des points d’ordre p

de ( / )2, on obtient de (41)

F ∼( ∏

v∈E ′[p]

ϕm(v))(p4−p3)

. (42)

Pour tout ω de H notons Ωω le reseau ω + . Le theoreme 4.1 de [6], IInous fournit l’egalite

∏

v∈E ′[p]

ϕ12p(v) =(∆((1

p)Ωω)

∆(Ωω)

)p= p12p. (43)

La proposition s’obtient alors a partir de (41) et (42).

Proposition 6.5 T (P,Q) est une S-unite.

Grace a (37) et la proposition 6.4 on sait qu’il existe une unite H de Rlp2[1l ]

telle queTm(P,Q) = H(τ).

Soit P un relevement premier dans N d’un ideal premier p de F , p 6∈ S.Puisque vp(j(τ)) ≥ 0, le principe du q-developpement implique que

vP(Tm(P,Q)) = 0.

B. Etude aux places de mauvaise reduction

Soit p un ideal premier de F , de caracteristique resduelle t 6= l, en lequel lacourbe E/F a mauvaise reduction. On pose rp = −vp(j(E)). On rappelleque N = F (ξl + ξ−1

l ).

Proposition 6.6 (i) Si p 6∈ R(E,P ), on a

vP(T l(P,Q) = −lnprp.

pour tout relevement premier P de p dans N .

(ii) Si p ∈ R(E,P ) il existe un relevement premier P de p dans N telqu’on ait

vP

σ−1t

(T l(P,Q)) = lrp((p3 − p2)γ(t) − np), 1 ≤ t ≤ l − 1

2.

23

Les resultats de cette proposition se deduisent de la proposition 4.11 suivantla methode developpee dans [4], paragraphe V, demonstration du theoreme6.1.Nous la rappelons brievement. On fixe un plongement h de dans t quipar restriction a F ( resp. N) definit le premier p ( resp. q). La courbeE/F devient via h une courbe elliptique sur le corps local Fp. Puisque Epossede un point rationnel sur Fp d’ordre l ≥ 5, la reduction de E en p estnecessairement semi-stable, [4], proposition 1.1. On sait qu’il existe alorsun unique element q de F ∗

p , de valuation rp, une extension non ramifiee(L/Fp), [L : Fp] ≤ 2 et un isomorphisme defini sur L de Eq, la courbe deTate associee a q, sur E, [4], paragraphe 1. On deduit un isomorphisme demodules galoisiens

ξ : Fp∗/q ≃ E(Fp).

Soit M ∈ E(Fp), on appelle parametre de M tout element de Fp∗

dontl’image par ξ de la classe modulo q est egale a M . Soit α ( resp. γ) unparametre de P ( resp. Q). On a

h(T l(P,Q)) = T l(α, γ),

ou T l(α, γ) est defini au paragraphe 4.

Pour tout entier t, 1 ≤ t ≤ l−12 , on a :

vq

σ−1t

(T l(P,Q)) = vq(Tl(P,Q)σt). (44)

Puisque σt possede un relevement σt dans Gal(F (E[l])/F ) tel queQσt = P + tQ, on deduit de (44), via la proposition 2.4, que

vq

σ−1t

(T l(P,Q)) = vq(Tl(P, tQ)). (45)

On suppose que p 6∈ R(E,P ). Le point P possede un parametre α de laforme q

nl avec 1 ≤ n ≤ l − 1.

Puisque T l(P,Q) ne depend que du sous-groupe engendre par P , on peutsupposer n = 1. Le point Q possede un parametre de la forme γ = q

ml ξl.

PuisqueT l(P, tQ) = T l(P, tQ−mtP ),

on obtient donc

h(T l(P, tQ)) = T l(q1l , ξtl ). (46)

Le point (i) de la proposition se deduit donc de (45), (46) et de la proposi-tion 4.11 (i).

On suppose que p ∈ R(E,P ). Alors P ( resp. Q) possede pour parametreα = ξl (resp. γ = q

nl , 1 ≤ n ≤ l − 1). Soit m, 1 ≤ m ≤ l − 1, tel que

mn ≡ 1 (mod l) et P = qσ−1m . On obtient

vP(T l(P,Q)) = vq(Tl(P,mQ))

24

avech(T l(P,mQ)) = T l(ξl, q

1l ).

On deduit que pour tout entier t, 1 ≤ t ≤ l−12 ,

vP

σ−1t

(T l(P,Q)) = vq(Tl(P,mtQ)), (47)

ou h(T l(P,mQ)) = T l(ξl, q1l ). Le point (ii) de la proposition se deduit donc

de (47) et de la proposition 4.11 (ii).Le theoreme 1.1 est donc un corollaire immediat des proposition 6.5 et 6.6.

7 Annulation de groupes de classes

Comme dans le cas du theoreme de Stickelberger classique le theoreme 1.1nous permet d’introduire un sous-quotient du groupe des classes d’ideauxde N annule par lθ2(p).On rappelle que l est un nombre fixe, l ≥ 5. Le nombre premier p peut-etreconsidere comme auxilliaire, il satisfait (l, p(p + 1)) = 1.

Definition 7.1 On appelle l-groupe des classes du corps de nombres L etl’on note Cl′(L) le quotient du groupe des classes de L par le sous-groupeengendre par les classes des relevements premiers de l dans L.

Si M/L est une extension de corps de nombres on note Cl′(M/L) le conoyaude l’homomorphisme induit par l’extension des scalaires de Cl′(L) dansCl′(M).Soit F tel que F ∩ (ξl) = . A tout couple (E,P ) ou E est une courbeelliptique definie sur F et P un point rationnel sur F d’ordre l et a toutpoint Q ∈ E[l] \ P nous associons l’ideal de N

M(E,P,Q) =∏

p∈R(E,P )

Prp (48)

introduit dans le theoreme 1.1. On remarque que cet ideal est independantde p. On deduit de la proposition 2.4 et du paragraphe 6.B les egalites

M(E,P, aωP + bωQ) = M(E,P,Q)ω ,

Pour tout ω ∈ Gal(F (E[l])/F ).

Definition 7.2 On designe par E(N) (resp. E(N/F ) ) le sous-groupe deCl′(N) (resp. Cl′(N/F ) ) engendre par les images des ideaux M(E,P,Q)associes aux couples (E,P ) rationnels sur F .

On deduit immediatement du theoreme 1.1

25

Theoreme 7.3 (i) Pour tout nombre premier p, (l, p(p + 1)) = 1, alorslθ2(p) annule le groupe E(N/F ).(ii) On a l’inclusion :

(

E(N))

l−12∑

t=1

t2σ−1t

⊂ Cl′(N)l.

Remarque 7.4 (1) On peut noter que le theoreme 1.1 fournit parfois unresultat meilleur que celui donne en (i). Si la courbe E/F possede un modeleminimal global sur F , l’ideal M(E,P,Q)lθ2(p) definit la classe triviale dansCl′(N). Si en outre les relevements premiers de l dans N sont principaux,alors l’ideal M(E,P,Q)lθ2(p) est principal.(2) Il faut noter que pour un corps de nombres F la ” boundness conjecture”affirme qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers l pour lesquels ilexiste des couples (E,P ) rationnels sur F . La liste de ces nombres premiersl est connue lorsque F = grace a Mazur et lorsque F/ est un corpsquadratique grace a Kamieny.

Nous terminons ce paragraphe par des exemples. Nous donnons en parti-culier une methode qui permet de determiner explicitement, a conjugaisonpres, les ideaux M(E,P,Q).Le couple (E,P ) est defini sur le corps de nombres F . Soit p un ideal premierde F de caracteristique residuelle k premiere a 6l. On suppose que

vp(j(E)) = −rp, 1 ≤ rp < l.

On sait que p ∈ R(E,P ), [4], paragraphe 1. Soit Q ∈ E[l] \ P . Nous nousproposons de determiner le relevement premier de p dans N qui apparaitdans l’egalite (48). On dira qu’il s’agit du ”bon relevement de p”.On fixe un plongement h de dans k dont la restriction a F definit p. Onnote P le relevement de p dans N defini par h. Si L est un sous-corps deon designe par L′ l’adherence de h(L) dans k.On suppose la courbe E donnee sur F par une equation de Tate

Y 2 +XY = X3 + a4X + a6, a4, a6 ∈ F, (49)

et l’on suppose que (49) definit via h un modele minimal de E/F ′. PuisqueE/F ′ est de mauvaise reduction multiplicative on sait associer a j(E) ununique element q de F ′ de valuation rp tel que

j(E) =1

q+ 744 + 196884q + ...

On pose

a′4 = −5∑

n≥1

n3qn

(1 − qn),

a′6 = − 112

∑

n≥1

(7n5 + 5n3)qn

(1 − qn).

(50)

26

On considere la courbe Eq d’equation

Y 2 +XY = X3 + a′4X + a′6. (51)

Il existe un isomorphisme de module galoisien

θ : k∗ 7−→ Eq( k)

z 7−→ (X ′(z), Y ′(z), 1), si z 6∈ q ,

z 7−→ 0 si z ∈ q ,

ou

X ′(z) =∑

n∈

qnz

(1 − qnz)2− 2

∑

n≤1

nqn

(1 − qn),

Y ′(z) =∑

n∈

q2nz2

(1 − qnz)3+∑

n≥1

nqn

(1 − qn),

(52)

( [8], appendice C, paragraphe 14).On sait en outre qu’il existe un isomorphisme ϕ de Eq sur E, d’equation(49), defini sur une extension F ′′/F ′ non ramifie ou [F ′′ : F ′] ≤ 2. Cetisomorphisme est explicitement donne par

X = v2X ′ + r,Y = v3Y ′ + sv2X ′ + t,

(53)

ou r, s, t et v ∈ F ′′ et satisfont

v = 1 + 2s,0 = −s− s2 + 3r,0 = r + 2t,

v4a′4 = a4 − (t+ rs) + 3r2 − 2st,v6a′6 = a6 + ra4 + r3 − rt− t2.

(54)

Puisque les modeles sont minimaux v est une unite, puisque (k, 6) = 1, ondeduit de (54) que r, s et t sont des entiers. Soit p′ l’ideal de valuation deF ′. On deduit de (50) que

a′4 ≡ a′6 ≡ 0 (mod p′).

Il existe en outre n4 et n6 ∈ OF tels que

a4 ≡ n4 (mod p′), a6 ≡ n6 (mod p′).

On deduit facilement de (54), les congruences

3r2 + r2 + n4 ≡ 0 (mod p′),

r3 + r2

4 + n4r + n6 ≡ 0 (mod p′).(55)

Ces congruences nous permettent la determination explicite de xp ∈ OF telque

r ≡ xp (mod p′). (56)

27

Il est caracterise modulo p par la relation

(2

3n4 −

1

72)xp ≡ (

n4

36− n6) (mod p′). (57)

On rappelle maintenant les conventions du paragraphe 6. On pose ξ = ϕoθ.On dit que M ∈ E( k) est de parametre z en h si l’on a

M = ξ(z mod q ).

Lemme 7.5 On suppose que Q( resp.P ) est de parametre qnl (resp. ξl) en

h. Alors on a

vP(∏

0≤k≤l−1

(X(Q+ kP ) − xp)) = rp inf(n, l − n).

On identifie dans la demonstration tout element de et son image par h.On deduit de (52)

X ′(Q+ kP ) ∼ qinf(nl,1−n

l), 0 ≤ k ≤ l − 1,

d’ou, puisque v est une unite,

X(Q+ kP ) − r ∼ qinf(nl,1−n

l).

Puisque, 1 ≤ rp < l et que F ′(q1l )/F ′ est totalement ramifiee on conclut que

X(Q+ kP ) − xp ∼ qinf(nl,1−n

l), 0 ≤ k ≤ l − 1,

d’ou l’on deduit le lemme.On peut maintenant conclure. Soit (E,P ) definie sur F , Q ∈ E[l] \ P etp ∈ R(E,P ) tel que 1 ≤ rp < l.(1) On cherche une equation de Tate de E/F minimale en p.(2) On determine xp ∈ OF par la congruence (57).(3) On determine le polynome minimal P (T ) de X(Q) sur N . C’est unpolynome de degre l.On pose

R(T ) = P (T + xp).

Alors le bon relevement de p est le relevement P tel que

vP(R(0)) = rp.

Pour finir ce paragraphe nous appliquons cette methode dans le cas ou l = 5.Soient F/ un corps de nombres non ramifie en 5 et N = F (

√5). On a le

lemme suivant

Lemme 7.6 Soit u ∈ F tel que (u− 1)(u2 + 9u− 11) 6= 0. Alors la courbeEu d’equation

Eu : y2 + uxy + (u− 1)y = x3 + (u− 1)x2

est une courbe elliptique et P = (0, 0) est un point d’ordre 5 de Eu. Enoutre le discriminant de Eu est donne par

∆(u) = (1 − u)5(u2 + 9u− 11).

28

On suppose dorenavant que u ∈ OF et que Eu est un modele minimal surF . On note que c’est toujours le cas si F = et que c’est souvent le cas siF est une extension quadratique de .On pose p(u) = u2 +9u−11. On deduit immediatement de l’equation de Euque les elements de R(Eu, P ) sont les facteurs premiers dans F de (p(u)).Le theoreme 1.1 devient alors :

Theoreme 7.7 Tout diviseur premier p de (p(u)) possede dansN un relevementpremier P tel qu’on ait

(

T 5p (P,Q)

)

∆(u)5np ≡( ∏

p|p(u)

Prp)5θ(p)

(mod 5).

On sait que l’ideal M(Eu, P,Q) est independant, a conjugaison pres par unelement du groupe de Galois de (F (ξ5)/F ), du choix de Q. On note M(u)l’un quelconque de ces ideaux. On montre maintenant comment la methodeprecedemment decrite permet de determiner explicitement M(u).On pose

S5 = x(R), R ∈ E[5] \ O.On sait que x(P ) = 0 et x(2P ) = 1 − u appartiennent a S5.On definit

5f(T ) = 5∏

a∈S5

(T − a)/T (T − 1 + u).

On obtient

5f(T ) = 5x10 + (5u2 + 15u− 15)x9 + (u4 + 3u3 + 29u2 − 33u+ 1)x8

+ (−u5 + 8u4 + 4u3 + 77u2 − 184u+ 96)x7

+ (u6 − 9u5 + 49u4 + 122u3 − 549u2 + 575u− 189)x6

+ (−u7 + 10u6 + 32u5 + 47u4 − 589u3 + 1036u2 − 706u+ 171)x5

+ (u8 + 4u7 + 38u6 − 75u5 − 279u4 + 910u3 − 988u2 + 473u − 84)x4 +

+ (5u8 + 10u7 − 30u6 − 185u5 + 675u4 − 880u3 + 540u2 − 145u + 10)x3

+ (10u8 − 15u7 − 95u6 + 325u5 − 375u4 + 115u3 + 115u2 − 105u + 25)x2

+ (10u8 − 50u7 + 70u6 + 70u5 − 350u4 + 490u3 − 350u2 + 130u − 20)x

+ (5u8 − 40u7 + 140u6 − 280u5 + 350u4 − 280u3 + 140u2 − 40u+ 5).

En examinant l’action de Gal(F (E[5])/N) sur S5 on verifie que f(T ) sedecompose en produit de 2 polynomes irreductibles f1(T )f2(T ) de N [T ].En effectuant le changement de variables

X + 112 = x+

(u2 + 4u− 4)

12,

2Y +X = 2y + ux+ (u− 1),(58)

on obtient une equation de Tate de la courbe Eu

Y 2 +XY = X3 + a4(u)X + a6(u),

29

ou

a4(u) =(u− 1)

48(−u3 − 9u2 + 7u+ 15),

a6(u) =(u− 1)

1728(2u5 + 26u4 + 23u3 − 281u2 + 487u − 257).

(59)

Le polynome P (T ) = f1(T − 1

12u2 − 1

3u+

5

12) est le polynome minimal de

X(Q) ou Q ∈ E[5] \ P.Si p est un facteur de (p(u)), on utilise (59) pour determiner xp. Le bonrelevement premier P de p dans N est caracterise par l’egalite

vP(P (xp)) = rp.

Le tableau qui suit regroupe les exemples traites avec le systeme Pari.Le corps F est quadratique imaginaire, F = (

√−d) ou d est un entier

strictement positif sans facteur carre.

On pose w =√−d ( resp. 1+

√−d

2 ) si d ≡ 1 ou 2 (mod 4) ( resp. d ≡ 3(mod 4) ).Lorsqu’un ideal premier de OF est note

[p, (x, y)],

cela signifie qu’il est egal a

pOF + (x+ yw)OF .

On note N le corps F (√

5) et hN son nombre de classes. On fixe un elementprimitif y de N/ et l’on note g(T ) son polynome minimal sur . Les lignesw et b contiennent respectivement la decomposition de w et d’une -basede ON , (ω0, ω1, ω2, ω3), sur la base de puissances 1, y, y2, y3.On note [p, (a0, a1, a2, a3)] l’ideal premier de ON

pON + αON , α =3∑

k=0

akωk.

Le systeme Pari fournit une famille de generateurs x1, x2,..., xm du groupedes classes Cl(N) de N . Nous avons fait suivre chaque facteur premier P

de M(u) d’une suite d’entiers n1, ...,nm qui traduit l’egalite

x = xn11 ...xnm

m

ou x la classe de P dans Cl(N). Enfin la ligne xp contient un representantmodulo p de l’element considere en (57).

Remarque 7.8

(1) Il est a noter que dans les exemples traites M(u) est principal.Il serait interessant d’exhiber un tel ideal non principal. C’est certainementdifficile. En effet on remarque que le polynome p(T ) = T 2 + 9T − 11 etant

30

totalement decompose dans (√

5) si l’on a (p(u)) =∏

prp dans OF il existetoujours un produit

∏

P|pPrp

qui est principal dans ON . Ainsi si (p(u)) est la puissance d’un ideal pre-mier M(u) est principal. On sait en outre, [4], paragraphe 6, que M(u) estd’ordre premier a l pour l < 11.(2) Dans les exemples consideres Eu est une equation minimale de Weier-strass. La connaissance de la factorisation de (u − 1), (p(u)) et M(u) enideaux premiers rend explicite le theoreme 7.3 .

31

Exemples l=5

d 47 47 83 83 41

hN 5 5 15 15 32 = (16, 2)

g(T ) T4 − T3 + 35T2 + 12T + 144 T4 − T3 + 62T2 + 21T + 441 T4 + 123T2 + 1681

w −1

13y3

+2

13y2−

24

13y +

12

13

1

22y3−

1

11y2

+21

11y +

1

22−

1

41y3− 2y

b (1, y, y2,1

156y3

+11

156y2

+11

156y +

12

13) (1, y, y2,

1

462y3

+10

231y2

+10

231y +

21

22) (1, y,

1

41y2

,1

41y3)

u 1 + w −1 + 3w −2 + 6w −5 + 2w −1 + w

(1 − u)F [2, (0, 1)]2 [2, (0, 1)] [3, (0, 1)] [2, (0, 0)] [3, (1, 1)]

[3, (0, 1)] [53, (17, 1)] [83, (41, 1)] [3, (0, 1)]3 [5, (−2, 1)]

[3, (−1, 1)]

p(u) −13 + 12w −127 + 30w −781 + 66w −115 + 2w −60 + 7w

(p(u))F [1741, (144, 1)] [61, (10, 1)] [11, (3, 1)] [11, (3, 1)] [71, (32, 1)]

[379, (160, 1)] [11, (−4, 1)] [29, (−14, 1)] [79, (14, 1)]

[41, (−5, 1)] [41, (4, 1)]

[131, (10, 1)]

xp x1741 = 873 x61 = −7 x11 = x′11 = 3 x11 = 3, x71 = −17,

x379 = −19 x41 = −2 x29 = 16, x79 = −7x131 = 32 x41 = −2

(

M(u)

)

[1741, (−814, 1, 0, 0)](1) [61, (−3, 1, 1, 0, 0)](2) [11, (17, 14, 12, 12)](2) [11, (18, 18, 22, 16)](13) [71, (4, 1, 0, 0)](15, 0)

[379, (168, 1, 0, 0, )](3) [11, (17, 14, 13, 12)](7) [29, (−7, 1, 0, 0)](14) [79, (25, 0, 0)](1, 0)

[41, (17, 1, 0, 0)](12) [41, (6, 1, 0, 0, 0)](3)

[131, (1, −1, 0, 0)](9)

32

8 Appendice 1

Les hypotheses sont celles du paragraphe 4. On rappelle que le corps estde caracteristique residuelle differente de l. Le theoreme 4.6 nous donnel’egalite

R(α, γ, ϕ, λ) = A(ϕ, λ)B(α, γ, ϕ, ψ),

ou

A(ϕ, λ) = λsp−1∏

i=0

θ(λψi)θ(ψiϕ−1)

θ(λψiϕ−1)θ(ψi),

et

B(α, γ, ϕ, ψ) = γ−a1∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

θ(ψiαu)θ(γz−10 ψiαu)

θ(z−10 ψiαu)θ(γψiαu)

.

ou le choix de z0 et des entiers a1 et a2 est donne dans le paragraphe 4. Pourdemontrer les theoremes 4.8 et 4.9 nous allons determiner les valuations deA(ϕ, λ) et B(α, γ, ϕ, ψ) suivant les differents choix de α, γ, ϕ, ψ et λ.

Lemme 8.1

(i) A(ζp, qup2 ) ∼ (1 − ζp) si 1 ≤ u < p2 et (u, p) = 1.

(ii)A(qsp , ζp2q

up2 ) ∼ 1

pM(u, s)q

sup2 −inf(s,u

p)

si 0 ≤ u < p2 et u ≡ 0 (mod p).

Puisque dans le cas (i), ϕ est une unite on deduit de la definition de θ

θ(λψi) ∼ θ(λψiϕ−1), 0 ≤ i ≤ p− 1,

θ(ψiϕ−1) ∼ θ(ψi), 1 ≤ i ≤ p− 1,

θ(ϕ−1) ∼ (1 − ζp),

ce qui demontre (i). On suppose maintenant que ψ est une racine primitivep-ieme de 1, ψ = ζp. On obtient alors

θ(λψi) ∼

(1 − ζp2), si u = 0,1, si u > 0,

0 ≤ i ≤ p− 1.

θ(ψiϕ−1) ∼ θ(ϕ−1) ∼ q− s

p , si 0 ≤ i ≤ p− 1.

θ(ψi) ∼ (1 − ζp), si 1 ≤ i ≤ p− 1.

θ(λψiϕ−1) ∼ θ(λϕ−1) ∼

1, si u > ps,(1 − ζp2), si u = ps,

qup2 − s

p , si u < ps.

On en deduit l’equivalence de (ii).

Lemme 8.2 Si γ est une unite alors

B(α, γ, ϕ, ψ) ∼

1, si ϕ est une unite,p, si ψ est une unite.

33

Puisque γ est une unite, on choisit ζl = γ et on se ramene a α = q1l . Si ϕ

est (resp. n’est pas) une unite, on choisit ϕ = ζp, ψ = q1p (resp. ϕ = q

sp ,

ψ = ζp). Ces choix etant faits on deduit de (4.3) et (4.4) les egalites

a(q1l , ζl) = l − 1, b(ζp, q

1p ) = 1, b(q

sp , ζp) = p− s.

Puisque m1 = 1 et m2 = 0, le systeme (12) devient

a2 ≡ −1 (mod l)

a2 ≡ 1 (mod p) (resp.a1 ≡ s− p (mod p)),

si ϕ est (resp. n’est pas ) une unite. Dans le premier cas on choisit a1 = 0,a2 = lx + py ou (x, y) verifient lx − py = 1. Dans le second cas on prend

a1 = s, a2 = −1. On traite le cas ou ϕ = ζp et ψ = q1p , λ = q

up2 avec

(u, p) = 1. On obtient

θ(ψiαu) ∼ θ(γψiαu) si (i, u) 6= (0, 0),

θ(γ) ∼ 1.

Puisque z0 = ζpxζyl , alors

θ(γz−10 ψiαu) ∼ θ(z−1

0 ψiαu) ∼ θ(ψiαu) si (i, u) 6= (0, 0).

En outre

θ(z−10 ) ∼ 1 − ζp

−xζ−yl , θ(γz−10 ) ∼ 1 − ζp

−xζ1−yl .

On deduit de la definition de x et y et du fait que (l, p + 1) = 1, que x ety sont non nuls et y 6≡ 1 (mod l). On a donc θ(z−1

0 ) ∼ 1 ∼ θ(γz−10 ). On

deduit des equivalences precedentes que

B(α, γ, ϕ, ψ) ∼ 1

dans ce cas.On suppose maintenant que ϕ = q

sp et ψ = ζp. On sait qu’alors z0 = q

slp ζ−1

lp .

Si u 6= 0, on a θ(ψiαu) ∼ θ(γψiαu). En outre θ(ψi) ∼ (1− ζp), 1 ≤ i ≤ p− 1et θ(γψi) ∼ 1, 0 ≤ i ≤ p− 1. Comme dans le cas precedent

θ(γz−10 ψiαu) ∼ θ(z−1

0 ψiαu) pour tout (i, u).

On conclut que B(α, γ, ϕ, ψ) ∼ (1 − ζp)p−1 ∼ p.

Nous nous proposons de traiter maintenant le cas ou α est une unite. Nousposons

α = ζl, γ = qnl , 1 ≤ n < l.

On determine les entiers a1 et a2 dans les deux cas que nous avons a etudier.

Si ϕ est une unite on choisit ϕ = ζp et ψ = q1p . Ainsi a1 et a2 satisfont

−a1 ≡ n (mod l),

34

a2 ≡ 1 (mod p).

On choisit donc a1 = −n, a2 = 1 et z0 = q−nlp ζlp.

Si ϕ n’est pas une unite, on a ϕ = qsp et ψ = ζp.

Le systeme (12) devient

−a1 ≡ n (mod l)

a1 ≡ s (mod p).

On choisit alors a1 = lsx+ pyn avec lx− py = 1 et a2 = 0.On pose a = lsx+ pyn et l’on a z0 = q

alp .

Lemme 8.3

B(ζl, qnl , ζp, q

1p ) ∼ qβ(n).

On verifie immediatement les equivalences suivantes :θ(ψiαu) ∼ 1, pour tout couple (i, u). En outre puisque il n’existe pas d’entieri, 0 ≤ i ≤ p− 1 tel que n

l + ip + n

lp ou nl + i

p soient entiers, on obtient

θ(γz0−1αuψi) ∼ θ(q

nl+ i

p+ n

lp ), 0 ≤ u ≤ l − 1,

θ(γαuψi) ∼ θ(qnl+ i

p ), 0 ≤ u ≤ l − 1,

θ(z−10 αuψi) ∼ θ(q

nlp

+ ip ), 0 ≤ u ≤ l − 1.

On en deduit que

B(ζl, qnl , ζp, q

1p ) ∼ q

n2

l

p−1∏

i=0

θ(q

nl+ i

p+ n

lp )

θ(qnl+ i

p )

l

.

Soit i0 le plus petit entier, 0 ≤ i0 ≤ p− 1, tel que nl + i0

p + nlp ≥ 1. Puisque

1 ≤ n ≤ l − 1 on a les inegalites

n

l+i0 − 1

p<n

l+i0 − 1

p+n

lp< 1 ≤ n

l+n

lp+i0p<n

l+i0 + 1

p.

On en deduit grace a (9) les equivalences

p−1∏

i=0

θ(qnl+ i

p+ n

lp )

θ(qnl+ i

p )∼ q

− nlp

(p−i0−1) θ(qnl+

i0p

+ nlp )

θ(qnl+

i0p )

∼

qnl(

i0p−1)−(n

l+

i0p−1)

, si nl + i0

p < 1,

qnl(

i0p−1), sinon .

On interprete i0 comme l’entier p− [npl + nl ], ou l’on note [x] la partie entiere

du rationnel x. On verifie alors l’egalite

n

l+i0p− 1 =

1

p

npl + n

l

− 1

pnl.

35

Ainsi

n

l+i0p− 1 =

1

pnpl > 0, si np

l +

n

l< 1,

1

p(np

l − 1) < 0, sinon .

On conclut que

qn2

l

p−1∏

i=0

θ(q

nl+ i

p+ n

lp )

θ(qnl+ i

p)

l

∼

qnpnp

l, si np

l +

n

l< 1,

qnpnp

l+ l

p(1−n

l−np

l, sinon .

Ce qui acheve la demonstration du lemme.

Lemme 8.4

B(ζl, q

n

l , q

s

p , ζp) ∼ pqα(n,s).

Si (i, u) 6= (0, 0) on a l’equivalence

θ(ζipζul ) ∼ (1 − ζipζ

ul ),

∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

θ(ζipζul ) ∼ p.

Puisque 0 < n ≤ l− 1 et que alp et n

l − alp ne sont pas entiers on obtient que

θ(qnl ζipζ

ul ) ∼ 1, ∀(i, u),

θ(qnl− a

lp ζipζul ) ∼ θ(q

nl− a

lp ), ∀(i, u),

θ(q− a

lp ζipζul ) ∼ θ(q

− alp ), ∀(i, u).

On ecrit que alp = [ alp ] + alp et l’on utilise (9) pour montrer que

θ(qnl− a

lp ζipζul )

θ(q−alp ζipζ

ul )

∼ qnl[ alp

].θ(q

nl− a

lp)

θ(q−alp )

, ∀(i, u).

Puisque 0 < alp < 1, −1 < nl − alp < 1 et n

l 6= alp, on obtient

θ(q− a

lp) ∼ q

− alp,

θ(qnl− a

lp) ∼

qnl− a

lp, si n

l < alp,1, sinon.

On conclut que

∏

0≤i≤p−10≤u≤l−1

θ(ψiαu)θ(zz−10 ψiαu)

θ(z−10 ψiαu)θ(γψiαu)

∼ pqlp(nl[ alp

]+inf(nl, a

lp)).

Puisque γ−a1 = q−nal , on obtient l’equivalence souhaitee.

Les theoremes 4.8 et 4.9 se deduisent maintenant immediatement des lemmesprecedents. Plus precisemment on applique les lemmes 8.3 et 8.4 pourdemontrer le theoreme 4.9.

36

9 Appendice 2

Les theoremes 1.1 et 1.2 ont ete demontres pour tout couple de nombrespremiers l et p tels que l ≥ 5 et (l, p(p + 1)) = 1. Le but de cet appendiceest de demontrer que si l’on suppose p ≡ 1 (mod l) l’element θ2(p) prendsalors une forme tres simple. Puisque, comme nous l’avons deja remarque,le groupe de classe E(N/F ) ne depend pas du choix de p, nous utilisons lasimplification precedente pour obtenir un annulateur plus simple du m-sous-groupe de Sylow de E(N/F ) pour m 6= l et m > 3.

Theoreme 9.1 Pour tout nombre premier p, tel que p ≡ 1 (mod l), on al’egalite

θ2(p) =6npl

(l−1)/2∑

t=1

(tl − t2)σ−1t .

Si m est un nombre premier on note E(N/F )m le m-sous-groupe de Sylowde E(N/F ).

Corollaire 9.2 L’element

(l−1)/2∑

t=1

(tl − t2)σ−1t annule le groupe E(N/F )m

pour tout nombre premier m, m > 3 et m 6= l.

Remarque 9.3 Si l = 5 on note l’egalite

(l−1)/2∑

t=1

(tl− t2)σ−1t = 4(σ1 + σ2) +

2σ2. Puisque la norme de N/F annule E(N/F ) on deduit, compte tenu dela remarque 7.8, que

E(N/F )m = 1 si m 6= 2 et 3.

Demonstration du theoreme 9.1 et du corollaire 9.2

Les methodes sont celles du paragraphe 5. On suppose dorenavant la con-gruence p ≡ 1 (mod l). Compte tenu de la definition de θ2(p), donnee auparagraphe 1, il suffit de montrer l’egalite:

γ(t) =(p2 − 1)

2l(tl − t2), 1 ≤ t ≤ l − 1

2. (60)

On deduit de la definition les egalites

γ(t) = (p2 − p)β(t) +p−1∑

s=1

α(t, s)

avec β(t) = lp

(t2

l2+ inf(0, 1 − 2t

l ))

.

(61)

On verifie immediatement que (60) se deduit de (61) et du lemme suivantque nous allons demontrer.

Lemme 9.4 Pour tout entier t, 1 ≤ t ≤ (l − 1)/2 on a l’egalite:

p−1∑

s=1

α(t, s) =l(p− 1)

2

(

t

l(p+ 1) − t2

l2(p+ 3)

)

− l(p− 1)inf

(

0, 1 − 1 − 2t

l

)

.

37

On utilise les notations et les resultats du paragraphe 5. On a les equivalences:

R(

1

l,t

lτ,s

pτ,

1

p2

)12lp2

∼ q12lp2α(t,s)

τ ∼

∼

∆(

τ1/pl

)

∆(

τ1/p

)

lp2

×

ϕ(

1p

∣∣pτ

1

)

ϕ(

(tp− z1)τ∣∣∣lpτ1

)

ϕ(

ptτ∣∣∣lpτ1

)

ϕ(

−z1τ∣∣∣lpτ1

)

12lp2

, (62)

ou z1 = lsx+ pyt et lx− py = 1.Puisque p ≡ 1 (mod l) on peut choisir y = −1.On utilise le theoreme 4.1 de [6] pour montrer l’egalite

p−1∏

s=1

ϕ12lp2(

(tp − z1)τ∣∣∣lpτ1

)

ϕ12lp2(

(−z1)τ∣∣∣lpτ1

) =

ϕ(

2tpτ∣∣∣lτ1

)

ϕ(

tpτ∣∣∣lpτ1

)

ϕ(

2tpτ∣∣∣lpτ1

)

ϕ(

tpτ∣∣∣lτ1

)

12lp2

.

On note H(τ) cette expression. On obtient alors

p−1∏

s=1

R(

1

l,t

lτ,s

pτ,

1

p2

)12lp2

∼

∼(

∆(

τ1/pl

)

∆(

τ1/p

)

)lp2(p−1) (ϕ(

1p | pτ

1

)

ϕ(ptτ | lpτ1 )

)12lp2(p−1)

H(τ).

(63)

On sait par (62) que le membre de gauche de l’equivalence (63) est equivalenta

q

12lp2

p−1∑

s=1

α(t, s)

τ .

On determine par un calcul elementaire, a partir de (14) et (15), un equivalentdu membre de droite de (63). C’est la comparaison de ces equivalents quifournit l’egalite du lemme 9.4 et acheve la demonstration du theoreme.

On pose θ =

(l−1)/2∑

t=1

(tl − t2)σ−1t . Soit m un nombre premier. On sait que

pour tout nombre premier p, p ≡ 1 (mod l), alors 6np

l θ annule E(N/F )m.Si m > 3 et m 6= l il existe un nombre premier p, tel que p ≡ 1 (mod l) etp 6≡ 0,±1 (mod m). On en deduit que (

6np

l ,m) = 1 et que par consequentθ annule E(N/F )m, ce qui demontre le corollaire.

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