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Sommes
Le symbole
Soit n un entier naturel et In la somme des entiers
impairs 1, 3, 5, …,2n – 1.
In = 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1)
Pour n = 5 : I5 = 1 + 3 + 5 + 7+ 9
Pour n = 4 : I4 = 1 + 3 + 5 + ?+ 7
Pour n = 3 : I3 = 1 + 3 + 5 + ?+ 5 ???
On introduit la notation : 1
(2 1)n
nk
I k
Le symbole
•Plus concis•Ecriture compréhensible même si n = 1, n = 2…•Permet de savoir combien il y a de termes.
La somme n’est pas fonction de k. On peut tout aussi bien écrire :
(k et j sont des variables muettes)1
(2 1)n
nj
I j
Quelques exemples
Le symbole
5
1
( 1)j
j j
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1
1n
k n
1
n
k
a an
Le symbole
0 0 0
n n n
k k k kk k k
u v u v
Propriété 1Pour tout entier naturel n et pour toutes suites de nombres (un) et (vn) :
0 0
n n
k kk k
au a u
Propriété 2Pour tout entier naturel n, pour toute suite de nombres (un)
et pour tout nombre réel a :
Propriété 3Pour tous entiers naturel n (n > 1) et p tels que p < n, et pour toute
suite de nombres (un) : 0 0 1
pn n
k k kk k k p
u u u
Calcul de sommes d’entiers
Soit n un entier naturel non nul.
On se propose de calculer les sommes :
11
( )n
k
S n k
22
1
( )n
k
S n k
33
1
( )n
k
S n k
Un exemple historique
11
Calcul de ( )n
k
S n k
1 1 2 3 ...(10 98 99 100 0)S
1 100 99 98 ... 3 2 1(100)S
12 (100) 101 101 101 ... 101 101 101S
0
1
1 0
1
(100)k
kS
100
11
2 (100) 101k
S k k
1
100 101(100)
2S
100 100
11 1
d'où 2 (100) 101k k
S k k
1
1
100
101(100)k
S k
somme S1
1
11
11
1
1
( )
d'où 2 1
1
( )
( )
n
nk
k
n
nk
k
S n
S n
S n
k
nk k
n k
11
Calcul de ( )n
k
S n k
Première méthode : Un changement de variable
11 1
2 ( ) 1 1n n
k k
S n k n k n
1
( 1)( )
2
n nS n
22
1
1
1 1
2
1
1 2 1
2 ( )
n n n n
k k k k
S n n
k k
n
k
11
Calcul de ( )n
k
S n k
Deuxième méthode : Une somme « télescopique »
22Pour tout nombre : 1 2 1k k k k
22
1 1
Donc : 1 2 1n n
k k
k k k
22
1 1 1 1
1 2 1n n n n
k k k k
k k k
1
( 1)( )
2
n nS n
2
1
et : 2 1n
k
k n
33 2
1 1 1
3
1
2
1
13 ( )3
1 3 3
(
1
)
n n n n n
k k k k k
S n nS nn
k k k k
22
1
Calcul de ( )n
k
S n k
33 2
1 1
Donc : 1 3 3 1n n
k k
k k k k
33 2Pour tout nombre : 1 3 3 1k k k k k
33 2
1 1 1 1 1
1 3 3 1n n n n n
k k k k k
k k k k
32
( 1)3 ( ) 3
2
n nS n n n
2
23 ( ) 2 3( 1) 22
nS n n n
2
( 1)(2 1)( )
6
n n nS n
Une somme télescopique
33
1
Calcul de ( )n
k
S n k
Pour tout entier naturel k non nul :
2 2
1 1( ) ( 1)S k S k
33
1
( )n
k
S n k
2
3
( 1)( )
2
n nS n
La différence des carrés de nombres triangulaires successifs est un cube.
Donc 2 2 2
3 1 1 11
( ) ( ) ( 1) ( )n
k
S n S k S k S n
2 2 2 2
3
( 1) ( 1)
4 4
k k k k
k
2 2 2 2( 1) ( 1)
4 4
k k k k
Somme des termes d’une suite géométrique
Soit q un réel non nul.
On pose, pour tout entier naturel n :0
nk
nk
S q
1
0 0
1
alors
1
n nk k
n nk k
n
qS S q q
q
1 1Si 1,
1
n
n
qq S
q
Si 1, 1nq S n
Du bon usage des pointillés
Quel sens donner aux écritures :
0,33333…
1 1 1 11 ... ...
2 4 8 2n
0,99999…
Soit n un entier naturel quelconque.( 1)
1 2 3 ... 2
n nn
(1)
( 1)1 2 3 ... ( 1)
2
n nn
(2)
( 1)Donc: 1 2 3 ... ( 1) 1 +1
2
n nn
n
( 1)Donc: 1 2 3 ... +1
2
n nn
( 1) ( 1)Donc : +1 = d'où ( 1) 2 ( 1)
2 2
n n n nn n n n
2 d'où 1n n n
Du bon usage des pointillés
Où est l’erreur ?
On pose : S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 – 1 +…
Alors : S =1 – (1 – 1 + 1 – … – 1 + 1 – …)
S = 1 – S
S = 0,5
Où est l’erreur ?
Du bon usage des pointillés
Aire sous la parabole
La parabole ci-contre représente la fonction f définie par : f (x) = x2 + 4 . L’objectif est de calculer l’aire sous l’arche de parabole hachurée ci-contre
2
4 A = Aire (ASA’) = 8
2ème étape On ajoute les aires des 4 triangles A’I’m’, I’m’S, SIm, ImA .Ces 4 triangles ont une hauteur commune égale à 1 (AA’/4), une même base Im = OS/4Leur aire cumulée est donc A /4 = 2
Aire sous la parabole
3e étape : on ajoute des triangles dont l’aire cumulée équivaut à celle d’un triangle de hauteur AA’ et de base OS/16. elle est donc égale à A /16.A chaque étape, on rajoute ainsi des triangles dont l’aire totale est le quart de l’aire totale des triangles rajoutés à l’étape précédente.
Aire sous la parabole
Pourquoi la base est-elle ainsi à chaque fois divisée par 4 ?
A la première étape, la base vaut OS. A l’étape suivante, en posant a=0 et b=2, la base vaut :
2( ) ( ) 1 1OS
2 2 4 4
a b f a f bf a b
2
a b
2
a bf
Et ainsi de suite …
L’aire totale de l’arche de la parabole vaut donc :
Aire sous la parabole