Sonia Porta – Rafael Cabeza TEMA II: ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Sonia Porta – Rafael Cabeza

1

TEMA II: ANÁLISIS DE CIRCUITOS LINEALES II. PROBLEMA 1. Suponiendo que Io= 1 A y aplicando linealidad, calcular el valor real de Io

Solución: (a) 4A (b) 2.25A (c) 7

12A

(a)

II. PROBLEMA 2. Aplicando el principio de superposición, calcular el valor de Vo

Solución: (a) 24V (b) -21V (c) 4V (d) 11

2

3

42

3

4 11 VR

R

R

RV

R

R ⋅

+−⋅

+

(c)

(a) (b)

(c)

(d)


2

II. PROBLEMA 3. Aplicando el principio de superposición, calcular el valor de Io

Solución: (a) 1.8 A (b) 7 A (c) 3

16− A (d) – 0.5 A

(a) (b)

II. PROBLEMA 4. Calcular la tensión Vo en los siguientes circuitos utilizando exclusivamente ecuaciones KCL Soluci6n: (a) 1 V (b) 4.8V (c) 6V (d) 4V

(c) (d)

(a) (b)

(c) (d)


3

II. PROBLEMA 5. Calcular la corriente Io indicada en los siguientes circuitos utilizando exclusivamente ecuaciones KCL Solución: (a) - 4/3 A (b) 3A (c) 5A (d) 124/19 A II. PROBLEMA 6. Calcular la corriente Io indicada en los siguientes circuitos utilizando exclusivamente ecuaciones KVL Solución: (a) 3.4A (b) - 16/3 A

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)


4

II. PROBLEMA 7. Calcular la tensión Vo indicada en los siguientes circuitos utilizando exclusivamente ecuaciones KVL Solución: (a) -1 V (b) – 2.75 A (c) 55/16 V (d) 36/13 V II. PROBLEMA 8. Omitiendo la resistencia sobre la cual está definida la tensión de salida, calcule el equivalente Thevenin del subcircuito resultante después de dicha omisión. Volviendo a añadir sobre este equivalente la resistencia citada, calcule el voltaje de salida. Solución: (a) 76/11 V (b) 4.5 V (c) 6 V (d) 12/13 V

(a)

(b)

(c)

(d)

(a) (b)

(c) (d)


5

II. PROBLEMA 9. Omitiendo la rama sobre la cual está definida la corriente de salida, calcule el equivalente Thevenin del subcircuito resultante después de dicha omisión. Volviendo a añadir sobre este equivalente la rama citada, calcule la corriente de salida. Solución: (a) -7.5 A (b) 4 A II. PROBLEMA 10. Omitiendo la rama sobre la cual está definida la corriente de salida, calcule el equivalente Norton del subcircuito resultante después de dicha omisión. Volviendo a añadir sobre este equivalente la rama citada, calcule la corriente de salida. Solución: (a) 0.6A (b) -1/3 A II. PROBLEMA 11. Omitiendo la resistencia sobre la cual está definida la tensión de salida, calcule el equivalente Thevenin en el dominio transformado del subcircuito resultante después de dicha omisión. Volviendo a añadir sobre este equivalente la resistencia citada, calcule la tensión de salida vo (t) cuando t > 0.

Solución: (a) 232

3

174

3

8 tt ee −− −+ V (b) [ ]te 412

3 −− V

(a) (b)

(a) (b)

(a) (b)


6

II. PROBLEMA 12. Calcular la tensión de salida vo(t) cuando t > 0 aplicando el principio de superposición en el dominio transformado.

Solución: (a) te 279 −− V (b) tt ee 3

3

202

3

4 −− −+− V (c) 232

3

174

3

8 tt ee −− −+ V

II. PROBLEMA 13. Resolver aplicando ecuaciones KCL en el dominio transformado para obtener la tensión de salida vo(t) cuando t > 0. El factor u(t) que multiplica a las fuentes independientes deberá ser interpretado como la expresión formal de condiciones iniciales nulas en los componentes reactivos.

Solución: (a) )sin(cos2 tte t +− V (b) t

e 7

2

724 −

II. PROBLEMA 14. Resolver aplicando ecuaciones KVL en el dominio transformado para obtener la tensión de salida vo(t) cuando t > 0.

Solución: (a) te 451 −− V (b)

++ −− ttee tt

12

5sin

5

3

12

5cos

2

1

2

1 22 V

(b)

(a) (b) (c)

(a) (b)

(a)


7

II. PROBLEMA 15. Calcular la tensión de salida vo(t) cuando t > 0 analizando en el dominio transformado. Téngase en cuenta que el interruptor conmuta en t = 0 y, por tanto, es necesario calcular el estado estacionario inicial previo a la conmutaci6n, para poder incluir las condiciones iniciales no nulas de los componentes reactivos en el correspondiente paso al dominio transformado.

Solución: (a) te−

5

48 V (b) )31(4 23te−+ V (c) 4.224 te−+ V (d) 8.0te−− V

II. PROBLEMA 16. Calcular la corriente io(t) cuando t > 0 analizando en el dominio transformado. Téngase en cuenta las condiciones iniciales no nulas de los diversos componentes reactivos en el correspondiente paso al dominio transformado.

Solución: (a) tt ee 82.03.0 58.158.0 −− − A (b) 29

2

3 te− A

II. PROBLEMA 17. Calcular la señal v(t) del circuito mediante análisis en el dominio transformado: * Componentes: R = 4 Ω; L = 3 H; C = 1/24 F * Condiciones iniciales: vC(0) = 4 V; iL(0) = 1 A

Solución: v(t)= )1620( 24 tt ee −− − u(t)

L

+

-

C Rv(t)u(t)

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)


8

II. PROBLEMA 18. Transformar el circuito suponiendo: * Componentes: L1 = 3 H; L2 = 0.5 H; R = 1 Ω * Condiciones iniciales: iL1(0) = K1; iL2(0) = K2

Analizar aplicando KVL y extraer I2(s).

Obtener i2(t) si K1 = 2 A; K2 = 7 A y v1(t) = δ(t)

Solución: i2(t)= )43( 37te−+ u(t)

R

v1(t)u(t)

L1 L2

+- i1(t) i2(t)

II. PROBLEMA 19. Transformar el circuito suponiendo: * Componentes: C1 = 1 F; C2 = 0.2 F; R = 1 Ω * Condiciones iniciales: vC1(0) = vC2(0) = 2 V

Analizar aplicando KCL y extraer Vo(s) Obtener vo(t) suponiendo vi(t) u(t) = 6u(t)

Solución: vo(t) = )2sin32cos46( tete tt −− +− u(t)

R

vi(t)u(t)

R+

-

C1

C2

vo(t)

II. PROBLEMA 20. Considere el circuito mostrado en la figura a) Calcule el equivalente Thevenin [VTH(s) y ZTH(s)] del subcircuito a la izquierda de los nudos A y B (sin considerar la impedancia Z). b) Simplifique al máximo el subcircuito a la derecha de los nudos A y B (sin considerar la impedancia Z) utilizando reiteradamente el método de transformación de fuentes y equivalencias serie y paralelo. c) Conecte los resultados de los apartados a) y b) y, sin sustituir los valores de VTH(s) y ZTH(s), obtenga una expresión para la corriente [ ])()( tiTLsI oo = circulando por la impedancia Z.

Solución: (a) 12

)12(2)(

2

+++

=s

sssZTH ;

)12(

12)(

+=

sssVTH (b) fuente 3,5A en paralelo con 4Ω

(c) 4)()()()(

)()27()()(

sZsZsZsZsZssV

sITHTH

THTHo ++

+=

II. PROBLEMA 21. Considere el circuito mostrado en la figura: a) Calcule el equivalente Thevenin del subcircuito a la izquierda de los nudos A y B suponiendo condiciones iniciales nulas en los elementos reactivos. b) Analice el circuito simplificado en el dominio transformado para obtener una expresión de )(sIo .

c) Determine los valores adecuados para la bobina L y el condensador C que aseguren que el circuito está críticamente amortiguado, con polo real doble sobre 2−=s rad/s. d) Incorporando los valores determinados de L y C, determine una expresión compacta para la corriente de salida )(tio en el dominio del

tiempo.

2+

42H

Z12V 2A1F

A

B

io6V

+


9

II. PROBLEMA 22. Considere la parte superior de este circuito (por encima de la línea discontinua) y a) Calcule su equivalente Thévenin entre los nudos A y B. b) Incorporando dicho equivalente Thevenin, determine los valores adecuados para la bobina L y el

condensador C de modo que 2−=s sea una raíz doble en el denominador del voltaje transformado Vo(s).

c) Incorporando estos valores de L y C, determine una expresión completa para la función vo(t) en el dominio del tiempo.

Solución: (a) sLsZss

sLssV THTH +=

+++= 1)(;)2(

42)(

2

(b) L=1H, C=cualquiera (c) [ ] )()1(23)( 2 tutetv to +−= − V

II. PROBLEMA 23. Para el circuito de la figura izquierda:

a) Calcule, paso a paso, la impedancia total equivalente )(sZ AB entre los terminales A y B.

b) Calcule la corriente )(sI AB que circulará por dicha impedancia equivalente si se conecta al circuito de la

figura derecha, suponiendo que )(4)( tutiS = .

2Ω 1Ω1Ω

1F 1Ω2H

2Ω

A

B

is(t) 2F

A

B

Solución: (a)8114

21268)(

2

2

++

++=ss

sssZ AB ; (b)

ssss

sssI AB

8535616

324416)(

234

2

+++

++=

II. PROBLEMA 24. Considere la combinación de componentes pasivos mostrada en la figura de la izquierda donde 20021 == RR Ω.

a) Calcule la impedancia total equivalente )(sZ AB entre los terminales A y B.

b) Calcule la tensión transformada )(sVAB en el circuito de la derecha, suponiendo que )(4)( tutiS = .

c) Determine los valores adecuados para la bobina L y el condensador C que aseguren que 100−=s rad/s es un polo doble de dicha tensión transformada )(sVAB .

R1L

A

B

C

R2ZAB(s) is(t)

A

B

ZAB vAB(t)

+

-

Solución: (a) 1100

1100)(

2

2

++

+=CsLCs

LCssZ AB (b)

1100

1400)(

2

2

++

+−=CsLCs

LCs

ssV AB (c) L=500mH, C=200µF


10

II. PROBLEMA 25. Calcular la señal vo(t) de estos circuitos aplicando el método de transformación de fuentes en el dominio transformado

Solución: (a) )(93.493.84)( )32()32( tueetv tto

+−= −−+−

(b) )(]34[8)( 4 tuetv t

o−−=

2u(t)

1H2Ω

2Ω1F

+-

vo(t)

+

-

12u(t)

II. PROBLEMA 26. Para el circuito RCL paralelo del esquema deducir cuál es la correspondiente región de amortiguamiento y calcular una expresión para v(t > 0) suponiendo que las condiciones iniciales son: vC(t=0)=10 V e iL(t=0)=1A.

Solución: v(t) = e -4t [10 cos2t - 40sin2t] V

II. PROBLEMA 27. Para el circuito RCL en serie del esquema deducir cuál es la correspondiente región de amortiguamiento y calcular una expresión para i(t > 0) siendo R = 6Ω, L = lH, C = 0.2F, v(t) = 5sin3t y suponiendo que las condiciones iniciales son: vC(t=0)=- 4 V e iL(t=0)=4A.

Solución: i(t)= ttee tt 3cos17

33sin

34

26

136

619

8

3 5 −++− −−

II. PROBLEMA 28. Calcular para los siguientes circuitos activos de segundo orden la función de transferencia en tensión, determinar la correspondiente región de amortiguamiento y obtener la respuesta r(t) a una excitación de tipo escalón.

Solución: (a) 222 ++

−ss

s ; sub-amortiguamiento; )(sin)( tutetr t−−=

(b) 2)1(

1

+s; amortiguamiento critico; [ ] )()1(1)( tutetr t +−= −

(a) (b)

(a) (b)


11

II. PROBLEMA 29. Calcular la función de transferencia en tensiónpara los siguientes circuitos activos utilizando un modelo ideal para el amplificador operacional.

Solución: (a) 21

221

1

RRssR ++ (b)

CsCsCs 32 431

1

+++

II. PROBLEMA 30. Para la función de transferencia de segundo orden (a) del problema anterior determinar:

(a) la relación a verificar por R1 y R2 para las tres distintas regiones de amortiguamiento.

(b) en caso sub-amortiguado. el coeficiente de amortiguamiento α la frecuencia de amortiguamiento ωd

y la correspondiente frecuencia propia ωο (c) en el caso críticamente amortiguado, la correspondiente respuesta impulsional h(t)

Solución: (a) 12 4RR > sobre-amortiguamiento

12 4RR = amortiguamiento critico

12 4RR < sub-amortiguamiento

(b) 212

1

11

1;1

4

2

1;

2

1

RRR

R

RR od =−== ωωα (c) ( )tuetR

th Rt 122

1)2(

1)( −=

II. PROBLEMA 31. Transforme el circuito al dominio transformado supuestas condiciones iniciales nulas:

L

C

v(t)

i (t)x R

R

R

a) Calcule la corriente indicada en el dominio transformado supuesta una fuente de voltaje genérica.

b) Supuesto ahora los siguiente valores: R=2 Ω, L=2 H, C=1/2 F, v(t)=12cos(t) V, calcule dicha corriente en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

(a)

(b)


12

Solución:

(a) ( ) ( )sV

CLs

L

R

RCs

RCLs

Ls

RsI x 122

3

121

21

2

2

+

++

++= (b) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tettti t

x 212

3sincos

2

3 −++= −

II. PROBLEMA 32. Supuesto que el circuito había alcanzado el estacionario antes del cierre del interruptor transforme el circuito al dominio transformado.

a) Calcule el voltaje indicado en el dominio transformado supuesta una fuente de voltaje vi(t) genérica.

b) Supuesto ahora que R= 2/3 Ω, L= 1/2 H, C= 1/2 F y vi(t)=cos(t), calcule dicho voltaje de salida en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

Solución:

(a) ( ) ( )sV

CLs

RCs

CLs

sV io 11

1

2

2

++

+= (b) ( ) ( ) ( )[ ]

−

++=

−ttetttv

t

o 2

7sin

72

11

2

7cos

2

1sincos

2

1 2

3

II. PROBLEMA 33. Transforme el circuito al dominio transformado supuestas condiciones iniciales nulas.

L

C

v (t)i v (t)o

RL

RC

i (t)L


b) Supuesto ahora RL=RC=1Ω, L=1H, C=1F, vi(t)=cos(t), calcule dicho voltaje de salida en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

Solución:

(a) ( ) ( )sV

R

RR

CLs

L

R

CRs

R

R

CLs

L

R

CRs

sV i

C

LCL

C

C

LL

Co ++

++

+

++

=11

11

2

2

(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttetttv to sin3cos

5

1sin

5

2cos

5

4 ++−= −

II. PROBLEMA 34. Supuesto que el circuito había alcanzado el estacionario antes del cierre del interruptor transforme el circuito al dominio transformado.

t=0

R

L

C

v (t)i v (t)o


13


b) Supuesto ahora que R= 2/3 Ω, L= 1/2 H, C= 1/2 F y vi(t)=cos(t), calcule dicho voltaje de salida en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

Solución:

(a) ( ) ( )sV

CLs

RCs

sRCsV io 11

1

2 ++= (b) ( ) ( ) ( )[ ]

−

+−=

−ttetttv

t

o 2

7cos

2

1

2

7sin

72

11sincos

2

1 2

3

II. PROBLEMA 35. Supuesto que el circuito había alcanzado el estacionario antes del cambio de posición del conmutador y que la fuente independiente de corriente es constante en el tiempo transforme el circuito al dominio transformado.

L

v ti( )Io

t=0

R v to( )C

a) Calcule el voltaje indicado en el dominio transformado supuesta una fuente de voltaje vi(t) genérica. Identifique en esta solución la componente asociada a estado cero y la componente asociada a entrada cero.

b) Supuesto ahora que R=5Ω, L=1 H, C=1/10 F, Io=1 A y vi(t)=cos(101/2t) calcule dicho voltaje de salida en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

Solución:

(a) ( ) ( )CL

sRC

s

RCs

RIsV

CLs

RCs

CLsV oio 11

1

11

1

22 ++

++

++= (b) ( ) ( ) ( )tettv t

o 3cos510sin10

5 −+=

II. PROBLEMA 36. Supuesto que el circuito había alcanzado el estacionario antes del cambio de posición del conmutador transforme el circuito al dominio transformado.

t=0 R

L Cv (t)i v (t)o


14

50V

+

6H

+

-v (t)o

210A6 2

+ -v (t )o

LC

12 V

6 V

6 12

t = 0

6 Ω

1 H

4 Ω

10 V29cos(2t) V ¼ F

a) Calcule la corriente del inductor en el dominio transformado. Identifique en esta solución la componente asociada a estado cero y la componente asociada a entrada cero.

b) Por último calcule esta corriente en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

Solución:

(a) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )52

7

524

353

44

143

4028147

28337 2234

23

++++

+++−

++=

+++++++=

ss

s

ss

s

s

s

ssss

ssssIL

(b) ( ) ( ) ( ) ttL eettti 25

4

32cos

4

32sin

4

7 −− −++=

II. PROBLEMA 37. En estos circuitos se había alcanzado el estado estacionario cuando para t=0 se accionaran los interruptores/conmutadores. a) Calcular las condiciones iniciales sobre los componentes reactivos. b) Transformar el circuito y analizar el dominio transformado para obtener la función transformada de la magnitud incógnita. Siempre es preferible aplicar el principio de superposición para mantener la distinción entre entrada cero y estado cero. c) Incorporando los datos numéricos, anti-transformar para obtener la respuesta en el dominio del tiempo, distinguiendo las componentes natural y forzada. d) En los casos de primer orden identificar la constante de tiempo; en los de segundo orden, el régimen de amortiguamiento.

1) Datos numéricos: 21 4;F2);(4)( RRCtutvi ===

Solución: (a) 5V (b)

++

++−=

)15(

5

)15(2

)(5)(

21

2

Cs

C

Cs

sV

RR

RsV i

o

(c) )()(2)( 10 tuetutv to

−+−=

2) Datos numéricos: F31C;H3 ==L

Solución: (a) 6V, 3A (b) 16

183672)(

2 ++++=sCLCs

sLCCCsVo

(c) )()1(18)( tutetv t

o += −

R1

v ti( )

t=0

2Ωv to( )R2

C

5Ω

2V

2Ω


15

1F51H

+

-

v (t)o2

14V

3

10+

v (t)i u (t).

2

+

50VC

+

-v (t )o

10AR2R

4R +

40V

4 6H

+

-v (t)o

25A6

2

+

4 3H

iL(t)4H

2Ω

vo(t)

+

-

+

2Ω

2Ω

1Ω

8V

F13

vC(t)

+

-

cos t

C

+

-v (t )o

1A

LR

3A

3)

Solución: (a) 5A (b)

++

+=

)3/4(

3

)3/4(

210)(

ssssVo (c) )(15)(15)( 34 tuetutv t

o−+=

4) Datos numéricos: F91C;5.0 =Ω=R

Solución: (a) 44V (b)

++

++=

)3(3

88

)3(3

)9(20)(

sss

ssVo (c) )(16)(20)( 3 tuetutv t

o−+=

5)

Solución: (a) 5A, 25A (b) )43(

9060)(

++=ss

ssVo (c) )(15)(15)( 34 tuetutv t

o−+=

6)

Solución: (a) 6V, -1A (b) )45(

2

)45)(1(

)1()(

2 ++

+++−=

sss

sssVo (c) )(

205

86)()sincos9(

41

1)( 54 tuetutttv t

o−++−=

7)


)12(2)(2)(

2 ++++=

ss

ssVsV i

o (c) imposible: falta dato )(tvi

8) Datos numéricos: F32;H21;2 ==Ω= CLR


16


2)(

2 ++−−=sRCLCs

sRLCsRLCsVo

(c) )()3(3)( 3 tueetv tt

o−− −=

II. PROBLEMA 38. Transforme al dominio transformado supuestas las condiciones iniciales mostradas. L

C

v (t)ov (t)i R

C

r

a

b

0=t

1 A

1 V 1 V

Suponer para el resto del ejercicio que, con el objeto de reducir la complejidad del sistema, se cumple

la siguiente relación: Cr

LR

2=

a) Calcule el voltaje indicado en el dominio transformado supuesta una fuente de voltaje genérica. Identifique en esta solución la componente asociada a estado cero y la componente asociada a entrada cero.

b) Supuesto ahora que r=2Ω, L=1H, C=1/2 F y vi(t)=cos(2t), calcule dicho voltaje de salida en el dominio temporal. Explique matemáticamente porqué en esta expresión sólo existe respuesta natural.

Solución: (a) ( ) ( )CL

sL

rs

CL

rs

sV

CLs

L

rs

CLs

sVo 22

1

22

2

2

22

2

++

−+−

++

+= (b) ( ) ( )tetv t

o 212 +−= −

II. PROBLEMA 39. Supuesto que el circuito había alcanzado el estacionario antes del cambio de posición del conmutador y que las dos fuentes independientes son constantes en el tiempo transforme el circuito al dominio transformado.

t = 0 1R

2R

LC

Io

Vo

v (t)x

i (t)L

a) Calcule el voltaje Vx(s) en el dominio transformado. Identifique en esta solución la componente asociada a estado cero y la componente asociada a entrada cero.

b) Supuesto ahora R1=2 Ω, R2=3 Ω, L=1/2 H, C=1/2 F, Vo=10 V, Io=1 A calcule dicho voltaje de salida en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

Solución: (a) ( )

1

212

1

2

2

12

1

212

1

2

1

2

1

1

1CLR

RRs

L

R

CRs

L

R

CRs

RIV

CLR

RRs

L

R

CRss

CLR

R

sV oox ++

++

+++

++

++

=

(b) ( ) tto eetv 52 256 −− +−=

II. PROBLEMA 40. Supuesto que el circuito había alcanzado el estacionario antes del cambio de posición del conmutador y que la fuente independiente de corriente es constante en el tiempo transforme el circuito al dominio transformado.


17

L

Io C

0=t 1R

2R)(tvi )(tvo

Para simplificar las expresiones procure utilizar la siguiente constante: 21

2

RR

R

+≡α

a) Calcule el voltaje indicado en el dominio transformado supuesta una fuente de voltaje vi(t) genérica. Identifique en esta solución la componente asociada a estado cero y la componente asociada a entrada cero.

b) Supuesto ahora R1=3 Ω, R2=1 Ω, L=1/2 H, C=1/2 F, vi(t)=cos(t) y Io=1 A, calcule dicho voltaje de salida en el dominio temporal. Identifique en esta solución la respuesta natural y forzada.

Solución:

(a) ( ) ( )

CLs

L

R

CRs

sL

R

CRRIsV

CLs

L

R

CRs

CLsV oio ααα

αα

ααα

α

+

++

+++

+

++

=1

2

2

1

22

1

2

2

(b) ( ) ( ) to etttv −

++=2

11sin

2

1

II. PROBLEMA 41. En los siguientes circuitos calcular el valor de la señal de salida (puede ser vo(t >0) o io(t >0)) suponiendo que en t=0 los interruptores cambian de la posición inicial indicada en el diagrama a la opuesta.

Solución: (a) )(3 4.0 tue t−− V (b) )(13

24 1372 tue t− V (c) )(3

13 35 tue t

− − mA (d) [ ] )(6 3 tue t−− A

(a) (b)

(c) (d)


18

II. PROBLEMA 42. En los siguientes circuitos calcular el valor de la señal de salida (puede ser v(t >0) o i(t >0)) suponiendo que en t=0 los interruptores cambian de la posición inicial indicada en el diagrama a la opuesta.

Solución: (a) [ ] )(87

4 8 tuee tt −− − A (b) [ ] )(4cos4 4 tute t− A

(c) [ ] )(1028 5 tuee tt −− −+ V (d) )(45

32

15

32

9

56 23 tuee tt

+− −− V

(a) (b)

(c) (d)

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Sonia Porta – Rafael Cabeza TEMA II: ANÁLISIS DE CIRCUITOS