Sortiranje

Ivan Bilobrk - Odjel za Informa5ku - PMFSTStrukture podataka i algoritmi 2011/2012

STRUKTURE PODATAKA I ALGORITMI

sor)ranje

Ivan Bilobrk - Odjel za Informa5ku - PMFSTStrukture podataka i algoritmi / 38

SORTIRANJE

Sor)ranje je postupak ponovnog rasporeivanja stvari prema nekoj njihovoj odrednici, na nain da te stvari budu rasporeene uzlazno ili silazno.

Neke od najvanijih primjena sor)ranja

- rjeenje problema zajednitva kod kojeg su svi elemen) s is)m opisom doneseni odjednom

ako je dano 10 5sua elemenata u proizvoljnom poretku, pri emu mnogi od njih imaju istu vrijednost, a potrebno je presloi5 te elemente tako da svi elemen5 s jednakim vrijednos5ma budu jedan pored drugoga

- usporeivanje elemenata u jednoj ili vie datoteka

ako je nekoliko datoteka sor5rano na is5 nain (npr. uzlazno) mogue je pronai sve podatke koji se poklapaju u samo jednom sekvencijalnom prolazu kroz njih, bez kretanja u suprotnom smjeru

- potraga za informacijom prema vrijednos: kljua

telefonski imenik

2


SORTIRANJE

Jedna od prvih primjena sor)ranja u velikim informacijskim sustavima je bila 1960. u tvrtci Computer Sciences Corpora)on

U tom desetljeu proizvoai raunala su tvrdili kako vie od 25% vremena u kojem njihova raunala rade, otpada na sor)ranje, a u nekim tvrtkama taj postotak je rastao i do 50%.

Odavde su se kristalizirala 3 zakljuka

- sor)ranje ima mnogo vanih primjena

- ljudi sor)raju kada i ne bi trebali

- u upotrebi su neuinkovi) algoritmi sor)ranja

Na prvi i drugi zakljuak raunarstvo nije moglo utjeca), ali na trei itekako je, razvojem novih i uinkovi)jih algoritama sor)ranja

3


SORTIRANJE

Za bolje shvaanje sor)ranja potrebno je poblie denira) problem kojeg ono ima rijei)

Dano je n elemenata koje treba sor)ra), pri emu se elemen) esto zovu zapisi (eng. record)

Svakom od zapisa pripada odgovarajui klju koji usmjerava proces sor)ranja.

- Kljuevi predstavljaju neku odrednicu zapisa po kojoj se sor)ra. Ako zapis predstavlja studenta s imenom, prezimenom, godinom roenja i sl. onda jedan od kljueva moe bi) dob ili prezime

4

R1,R2 ,,Rn

Rj K j


SORTIRANJE

Zapise sor)ranjem valja poreda) na specian nain, a ta relacija poretka (ureaja) koja se denira nad kljuevima mora zadovoljava) sljedee uvjete za bilo koja tri kljua

- naelo trihotomije - uvijek vrijedi tono jedan od izraza

- tranzi:vnost - iz odnosa i lslijedi odnos

Cilj sor)ranja je pronai permutaciju nad indeksima koja e postavi) kljueve u nepadajui poredak

Sor)ranje se dodatno naziva stabilnim ako zapisi sa is)m kljuevima nakon sor)ranja zadre svoj is) rela)vni poredak u odnosu na poetno stanje

5

a,b,ca < b,a = b,a > b

a < b b < c a < c

p 1( ) p 2( )p n( ) 1,2,,n{ }

Kp 1( ) Kp 2( ) Kp n( )


SORTIRANJE

Neka je dano pet uzastopnih memorijskih lokacija M1, M2, M3, M4, M5 a na svakoj od njih po jedan cijeli broj. Napii program koji e izmijeniC poredak brojeva na lokacijama, ako je to potrebno, tako da budu poredani uzlazno.

Za vjebu, pokuajte ovo rijei: na neki va nain! Moe i na papiru.

6


SORTIRANJE

Neka je dano pet uzastopnih memorijskih lokacija M1, M2, M3, M4, M5 a na svakoj od njih po jedan cijeli broj. Napii program koji e izmijeniC poredak brojeva na lokacijama, ako je to potrebno, tako da budu poredani uzlazno.

Ako ste napravili takav algoritam on gotovo sigurno spada u jedan od sljedeih )pova:

- sor)ranje umetanjem

brojevi se razmatraju jedan po jedan i svaki novorazmatrani broj se umee na odgovarajuu poziciju ovisno o prethodno sor5ranim elemen5ma

- sor)ranje izmjenom

ako se za dva susjedna broja utvrdi da nisu u povoljnom meusobnom odnosu tada oni mijenjaju mjesta, a ovaj postupak se ponavlja sve dok zamjene vie nisu potrebne

- sor)ranje izborom

prvo se pronae najmanji (najvei) element i na neki nain izdvoji od ostatka, a potom se proces ponavlja za preostale elemente

- sor)ranje spajanjem

- neto totalno drugaije

7


SORTIRANJE - UMETANJEM

Algoritmi iz ove skupine podsjeaju na algoritme koritene pri slaganju karata u kartakim igrama treeC ili remiju.

Prije razmatranja zapisa

- pretpostavljamo da su prethodni zapisi sor)rani

- potom ga umeemo na odgovarajue mjesto meu prethodno sor)rane zapise

Postoje zanimljive varijacije na ovu temu

- inser)on sort

- shell sort

8

Rj

R1,R2 ,,Rj1


SORTIRANJE - UMETANJEM - INSERTION SORT

Algoritam

I1 [Vr: se u petlji po j] Obavljaj korake I2 do I5 za a potom zavri algoritam

I2 [Postavi i, K, R] Postavi

I3 [Usporedi K sa Ki] Ako je idi na I5

I4 [Pomakni Ri, smanji i] Postavi a ako je idi na I3

I5 [Smjes: R] Postavi

9

j = 2,3,,ni = j 1,K = K j ,R = Rj

u sljedeim koracima pokuat emo smjes55 R na pravo mjesto, usporeujui K s Ki za sve padajue

vrijednos5 od iK Ki

Pronaeno mjesto za RRi+1 = Ri ,i = i 1

i > 0

Ako je i = 0, tada je K najmanji do sada pronaeni klju, tako da zapis R pripada na mjestu 1

Ri+1 = R



10



11



Ovaj program se izvrava 9B + 10N -3A -9 vremenskih jedinica pri emu je

- N = broj zapisa koje treba sor)ra)

- A = koliko puta se i smanjuje do 0 u koraku S4

- B = broj micanja elemenata

Vremenska sloenost ovog algoritma je za najgori sluaj

12

O n2( )



13

static void Insertion(int[] niz) { int i;

for (i = 0; i < niz.Count(); i++) { /* Umetnimo niz[i] u sortirani podniz */ int j, v = niz[i];

for (j = i - 1; j >= 0; j--) { if (niz[j]


SORTIRANJE - UMETANJEM - SHELLOV SORT

Ako je dan algoritam sor)ranja koji pomie elemente samo jednu po jednu poziciju tada e njegov prosjeno vrijeme izvoenja u najbolju ruku bi)

Za unaprijeenje su potrebni odreeni mehanizmi koji pomiu elemente koji su meusobno udaljeni za puno vie od jedne pozicije.

U srpnju 1959. Donald L. Shell je objavio rad u kojem je izloio jedan takav mehanizam, a taj algoritam njemu u ast nosi algoritam Shellov sort.

Ideja algoritma je jednostavna:

- promatra) svako k-) element u nizu

- tako nastale k podnizove sor)ra) inser)on sort algoritmom

- smanji) k i ponovi) postupak

- kada je k = 1, cijeli niz sor)ra) inser)on sort algoritmom

14

O n2( )



Algoritam

S1 [Vr: se u petlji po s] Obavi korak S2 za a onda zavri algoritam

S2 [Vr: se u petlji po j] Postavi i obavljaj korake S3 do S6 za

S3 [Postavi i, K, R] Postavi

S4 [Usporedi K sa Ki] Ako je idi na S6

S5 [Pomakni Ri, smanji i] Postavi a ako je idi natrag na S4.

S6 [Smjes: R] Postavi

15

s = t 1,t 2,,0h=hs

Ri+h = Ri ,i = i h i > 0

t je korak

Ri+h = R

h < j < n

i = j h,K = K j ,R = RjK Ki



16



Oito je da e za izvrenje algoritma treba) manje ili vie vremena ovisno o odabiru koraka k kojima se stvaraju podnizovi.

Najgori sluaj se ne moe spus)) ispod

Iscrpna istraivanja ovog problema su pokazala da je trenutno najbolji niz koraka onaj kojeg denira poljski matema)ar Marcin Ciura

Ukoliko je potrebno povea) korak, svaki sljedei je za otprilike 2.3 puta vei od prethodnog.

17

1,4,10,23,57,132,301,701,...{ }

O n32( )



18

static void ShellSortPomocna(int[] niz, int duljina, int korak) {! int i;!! for (i=0; i < duljina; i++) ! {! ! /* Umetnimo niz[i] u sortirani podniz */! ! int j, v = niz[i];! !! ! for (j = i - korak; j >= 0; j -= korak) ! ! {! ! ! if (niz[j]



19

static void ShellSort(int[] niz, int duljina) {! int[] CiurinNiz = new int[8] {701, 301, 132, 57, 23, 10, 4, 1};! double prosirenje = 2.3;!! int korak_idx = 0;! int korak = CiurinNiz[0];! if (duljina > korak) ! {! ! while(duljina > korak) ! ! {! ! ! korak_idx--;! ! ! korak = (int)(korak*prosirenje);! ! }! } ! else ! {! ! while(duljina < korak) ! ! {! ! ! korak_idx++;! ! ! korak = CiurinNiz[korak_idx];! ! }! }!! while (korak > 1) ! {! ! korak_idx++;! ! if (korak_idx >= 0) ! ! ! korak = CiurinNiz[korak_idx];! ! else ! ! ! korak = (int)(korak/prosirenje);! !! ! ShellSortPomocna(niz, duljina, korak);! } }


SORTIRANJE - IZMJENOM

Druga familija algoritama za sor)ranje koris) zamjenu ili transpoziciju kao metodu sor)ranja, pri emu sistema)no zamjenjuje svaka dva elementa koja nisu u eljenom odnosu, sve dok takvih parova vie nema.

Budui da se u svakom algoritmu sor)ranja odvija barem neka zamjena, nezahvalno je jedan algoritam strpa) u jednu familiju a drugi u drugu, ali razlike ipak postoje.

Varijacije na temu su

- bubble sort

- quicksort

20


SORTIRANJE - IZMJENOM - BUBBLE SORT

Vjerojatno najoi)ji nain sor)ranja izmjenom je usporeiva) kljueve K1 i K2 te onda zamijeni) zapise R1 i R2 ako nisu u dobrom odnosu, a postupak nastavi) s parovima R2 i R3, R3 i R4 itd

Metoda se zove bubble sort budui da najvei elemen) (ako sor)ramo uzlazno) odmah isplivaju na povrinu poput mjehuria zraka u vodi.

U najboljem sluaju e se bubble sort izvri) samo jedan prolaz kroz sve elemente, dok je naelno potrebno vie prolaza.

Vremenska sloenost u najgorem sluaju je

21

O n2( )


SORTIRANJE - IZMJENOM - BUBBLE SORT

22


SORTIRANJE - UMETANJEM - BUBBLE SORT

Algoritam

B1 [Postavi GRANICU] GRANICA = n

B2 [Vr: se u petlji po j] Postavi . Obavi korak B3 za i za)m idi na korak B4

B3 [Usporedi/Zamijeni Rj i Rj+1] Ako je zamijeni te postavi

B4 [Je li bilo zamjena?] Ako je zavri algoritam. U pro)vnom GRANICA = t i vra) se na B2

23

Rj Rj+1

t= 0

GRANICA je najvii indeks za koji se ne zna je li zapis na svom konanom mjestu. prak5ki naznaavamo

kako u ovom trenutku nita ne znamo.

K j K j+1 t= j

j = 1,2,,GRANICA 1

t=0


SORTIRANJE - UMETANJEM - BUBBLE SORT

24

static void Bubble(int[] niz) { int i, j, t = 0;

for (i = 0; i < niz.Count() - 1; i++) { for (j = i + 1; j < niz.Count(); j++) ! ! ! ! if (niz[i] < niz[j]) ! ! ! ! { ! ! ! ! ! Zamjena(ref niz[i], ref niz[j]);! ! ! ! ! ! t++;! ! ! ! }! ! ! if (t == 0) break; } }


SORTIRANJE - IZMJENOM - QUICK SORT

Unaprijeenje bubble sorta je algoritam Quicksort kojeg je izumio C.A.R. Hoare 1962.

Algoritam se temelji na proceduri sor)ranja koja bi se mogla nazva) par:cijska zamjena budui da koristei rekurziju par)cionira niz na dva podniza prethodno napravivi odgovarajue zamjene.

Odabere se neki element koji se proglasi pivotom.

- prvi, zadnji, srednji...

Potom se provjeravaju svi preostali elemen) tog niza i ako su manji od njega a desno ili vei od njega a lijevo, mijenjaju mjesta s pivotom.

Algoritam je izrazito brz, ali i sloen za analizu.

Vremenska sloenost quicksort algoritma u najgorem sluaju je ali brzina algoritma se strahovito ubrzava u preostalim sluajevima gdje mu je sloenost reda

25

O n2( )O n lnn( )



26

static void QuickSort ( int[] niz, int n ) { QuickPomocna ( niz, 0, n - 1 ); }

static void QuickPomocna ( int[] niz, int prvi, int zadnji ) { if ( prvi < zadnji ) { int pivot = Particija ( niz, prvi, zadnji ); QuickPomocna ( niz, prvi, pivot - 1 ); QuickPomocna ( niz, pivot + 1, zadnji ); } }



27

static int Particija ( int[] niz, int prvi, int zadnji ) { int pivot = prvi;

while ( prvi < zadnji ) { if ( niz[prvi]


SORTIRANJE - IZBOROM - SELECTION SORT

Trea familija algoritama sor)ranja bazirana je na ideji opetovanog izbora

Klasini predstavnik ove familije je Selec)on sort iji algoritam izgleda ovako

- pronai najmanji (najvei) klju

prenesi zapis s 5m kljuem na privremenu lokaciju zamijeni taj klju vrijednou veom (manjom) od maks broja elemenata (0)

- ponovi prethodni korak

poto je prethodni najmanji (najvei) klju sada postao vei (manji) od najveeg (najmanjeg) vie nije u igri

- nastavi ponavlja) korak 1 dok svih n zapisa nije odabrano

28



29

Vremenska sloenost za selec)on sort u najgorem sluaju je

Boldane vrijednos) su kandida) za maksimum, ali ipak je samo jedan

O n2( )



30

static void Selection(int[] niz) { int i, j, mmax;

for (i = 0; i < niz.Count(); i++) { mmax = i; for (j = i; j < niz.Count(); j++) if (niz[mmax] > niz[j]) mmax = j;

Zamjena(ref niz[i], ref niz[mmax]); } }


SORTIRANJE - SPAJANJEM - MERGE SORT

Spajanje podrazumijeva kombiniranje 2 ili vie nizova u jedan ureeni niz.

Primjerice spajanje nizova 503 703 765 i 087 512 677 u ureeni niz 087 503 512 677 703 765

Najjednostavniji nain za ovo je usporeiva) dva najmanja elementa iz )h nizova te kao rezultat izbaci) manji od njih dva

31



Merge sort koris) ovaj princip, no takoer koris) i princip podijeli pa vladaj.

Polazni niz se rekurzivno komada na dva niza po pola, sve dok duljina nastalog niza nije 1.

Nakon toga, spajanjem se formiraju novi podnizovi ali sada sor)rani.

Vremenska sloenost u najgorem sluaju za merge sort je

Merge sort je prilino brz algoritam, ali mu je najvei nedostatak to to stalno stvara nove podnizove i na taj nain zauzima puno memorije.

32

O n lnn( )



33



34

static void merge ( int[] niz, int first, int mid, int last ) {! int i = first, j = mid, k = 0;! int[] save = new int[last-first];

while ( i < mid && j < last ) {! ! if ( niz[i]



35

static void merge_sort ( int[] niz, int first, int last ) { if ( first < last - 1 ) {! ! int mid = ( first + last ) / 2;! ! merge_sort ( niz, first, mid );! ! merge_sort ( niz, mid, last );! ! merge ( niz, first, mid, last ); } }


SORTIRANJE - TOTALNO DRUGAIJE - RADIX SORT

Ovaj algoritam je drugaiji od drugih zato to ne usporeuje elemente ve njihove znamenke

Poinje s usporedbom jedinica, pa dese)ca, pa )suica, ...

Kako je potrebno obavi) sve prolaze (ovisno o broju znamenaka najveeg broja) to se u meustanjima pojavljuju nelogini poreci koji se na kraju ipak srede

Vremenska sloenost u najgorem sluaju za radix sort je gdje je k broj znamenaka najveeg broja

36

O kn( )


SORTIRANJE - TOTALNO DRUGAIJE - RADIX SORT

37

radixodredi koliko znamenaka ima max broj = kpetlja po i od 1 do k

formiraj niz znamenaka poevi s jedinicama (1) pa s deseticama (2) do ksortiraj taj niz znamenakapetlja po j od 0 do n-1 po nizu brojeva

etaj paralelno po nizu znamenaka i nizu brojevatrai broj sa odgovarajuom znamenkom i zamijeni ga s trenutnom (1, 2, 3...)


SORTIRANJE - RADIX SORT

38

Poetak 1. prolaz 2. prolaz 3. prolaz Kraj

503 170 503 061 061087 061 908 087 087512 512 509 154 154061 612 703 170 170908 503 512 275 275170 653 612 426 426897 703 426 503 503275 154 653 509 509653 275 154 512 512426 765 061 612 612154 426 765 653 653509 087 170 677 677612 897 275 703 703677 677 677 765 765765 908 087 897 897703 509 897 908 908

Documents

Sortiranje