Sosa, Nicol as - UNLPdemetrio/Monografias/Materias/AF/17...2 en X, una subred de la red fx g 2 ser a otra red fy g 2 dotada de una funci on h: ! tales que: hes creciente, en el sentido

Analisis FuncionalTrabajo Final

Algebras de Banach

Sosa, Nicolas

Profesor: Dr. Stojanoff, DemetrioFacultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

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INDICE 2

Indice

1. Preliminares 31.1. Algo de topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Algunas definiciones y proposiciones varias . . . . . . . . . . . . 71.3. Observaciones y proposiciones de referencia . . . . . . . . . . . . 13

2. Algebras de Banach 252.1. Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Un poco de topologıa algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Subalgebreas autoadjuntas de C(X ), para X un espacio compacto

Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5. Algebras de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1 PRELIMINARES 3

1. Preliminares

1.1. Algo de topologıa

Definicion 1.1. Sea X un conjunto. Una topologıa en X es un sistema desubconjuntos T ⊆ P(X ) que verifica las siguientes propiedades:

a) Si σi ∈ T ,∀i ∈ I, entonces⋃i∈I

σi ∈ T

b) Si σi ∈ T ,∀i 1 ≤ i ≤ n entonces

n⋂i=1

σi ∈ T

c) ∅ ∈ T y X ∈ T

Definicion 1.2. Sea (X , T ) un espacio topololico. Si Y es un subconjunto deX , la coleccion

TY = {Y ∩ U : U ∈ T }

es una topologıa sobre Y, denominada topologıa de subespacio o topologıarelativa. Con esta topologıa, Y se denomina subespacio de X .

Decimos que Y es denso en X si Y = X

Definicion 1.3. Sea X un conjunto. Decimos que X satisface el axioma T1 si,dados x, y ∈ X , x 6= y, existen

U ∈ O(x) y V ∈ O(y)

tales quex /∈ V y y /∈ U

Definicion 1.4. Sea X un conjunto. Decimos que X es Hausdorff si dadosx, y ∈ X , x 6= y, existen

U ∈ O(x) y V ∈ O(y)

tales queU ∩ V = ∅

Definicion 1.5. Sean X y Y dos espacios topologicos. Una funcion f : X → Yse dice que es continua si para cada subconjunto abierto V de Y, el conjuntof−1(V) es un subconjunto abierto de X .

Definicion 1.6. Sea X un conjunto y T topologıa en X . Sea K ⊆ X .

1) Un cubrimiento por abiertos de K es una familia {σi}i∈I tal que

σi ∈ T , ∀i ∈ I y K ⊆⋃i∈I

σi

1 PRELIMINARES 4

2) Un subcubrimiento de K es una familia {σi}i∈J tal que

σi ∈ T ,∀i ∈ J ; J ⊆ I; K ⊆⋃i∈J

σi

Definicion 1.7. Sea X un conjunto y T una topologıa en X . Decimos queX es compacto si todo cubrimiento por abiertos de X tiene un subcubrimientofinito.

Definicion 1.8. Un conjunto ordenado ∆ (por el orden parcial ≤) esta diri-gido si para todo par αi, αj ∈ ∆, ∃αk ∈ ∆ tal que αi ≤ αk y αj ≤ αk.

Definicion 1.9. Sea X un conjunto.

1) Una red en X es una funcion x : ∆→ X , donde el conjunto ∆ esta dirigidopor el orden ≤. Usaremos la siguiente notacion mas agradable: la red seescribira x = {xα}α∈∆, donde identificamos a xα = x(α), α ∈ ∆

2) Fijada una red {xα}α∈∆ en X , una subred de la red {xα}α∈∆ sera otra red{yβ}β∈Γ dotada de una funcion h : Γ→ ∆ tales que:

h es creciente, en el sentido de que β1 ≤Γ β2 ⇒ h(β1) ≤∆ h(β2)

La imagen de h es un subconjunto cofinal de X , o sea, que para todoα ∈ ∆, ∃β ∈ Γ tal que α ≤ h(β).

Se tiene que {yβ}β∈Γ = {xα}α∈∆ ◦ h, es decir que yβ = xh(β),∀β ∈ Γ

Proposicion 1.1. Sean (X , TX ), (Y, TY) espacios topologicos. Dada f: X → Y,

entonces f es continua si y solo si para toda red {xi}i∈Γ tal que {xi}i∈ΓTX→ x

con x ∈ X , se cumple que f(xi)TY→ f(x).

Demostracion.

Sea f una funcion continua.

Sea Uf(x) entorno abierto de f(x) y sea {xi}i∈Γ una red en X tal que

{xi}i∈ΓTX−→ x con x ∈ X .

Como f es continua, f−1(Uf(x)) es abierto y, ademas, f−1(Uf(x)) es en-torno de x, entonces, ∃i0 tal que ∀i ≥ i0, xi ∈ f−1(Uf(x)).

Luego, f(xi) ∈ f(Uf(x)), ∀i ≥ i0, con lo que f(xi)TY−→ f(x)

Lo veremos por el absurdo.

Supongamos que no. Que f no es continua. Luego, dado Uf(x) ∈ TY ,f−1(Uf(x)) /∈ TX .

Entonces, dado x ∈ f−1(Uf(x)), ∀ V ∈ O(x), V 6⊂ f−1(Uf(x)), dondeO(x)son los entornos abiertos de x. Definimos un orden con la inclusion de lasiguiente manera: dados i 6= j, Vi < Vj si y solo si Vj ⊂ Vi, ∀ V ∈ O(x).

1 PRELIMINARES 5

Ası, para cada V, ∃ y ∈ X tal que y /∈ f−1(Uf(x)) Luego, tomo la red{yi}Vi∈O(x).

{yi}Vi∈O(x)TX−→x entonces, por hipotesis, f(yi)

TY−→f(x), pero f(x) ∈ Uf(x)

Luego, llegamos a un absurdo.

Por lo tanto, f es continua.

Definicion 1.10. Una coleccion C de subconjuntos de X se dice que tiene laPropiedad de interseccion finita si cada subcoleccion finita

{C1, . . . , Cn}

de C cumple que

n⋂i=1

Ci 6= ∅

Teorema 1.1. (Tychonoff)El producto arbitrario de espacios compactos es compacto en la topologıa

producto.

Teorema 1.2. (Lema de Urysohn)Sea X un espacio normal y sean A,B subconjuntos cerrados disjuntos de X .

Sea [a.b] un intervalo cerrado en la recta real.Entonces existe una aplicaion continua

f : X → [a.b]

tal que f(x) = a, ∀x ∈ A y f(x) = b, ∀x ∈ B.

Definicion 1.11. Sean (X , TX ), (Y, TY) espacios topologicos y seaf : X → Y una aplicacion continua inyectiva. Llamemos Z al conjunto ima-gen f(Y), considerado como subespacio de Y; entonces, la funcion f ′ : X → Zobtenida al restringir el rango de f , es biyectiva. Si ocurre que f ′ es un homeo-morfismo de X en Z, decimos que la aplicacion f : X → Z es un embedingtopologico, o simplemente un embeding, de X en Y.

Definicion 1.12. Se dice que una familia de funciones continuas {fα}α∈Jsepara puntos de X si para cada punto x0 ∈ X y cada entorno U de x0,existe un ındice α tal que fα es positiva en x0 y nula fuera de U .

Definicion 1.13. Un grupo topologico G es un grupo que es tambien unespacio topologico, satisfaciendo el axioma T1, tales que la aplicacion G×G 7→ Genvienado (x, y) 7→ x.y y la aplicacion de G 7→ G dada por x 7→ x−1, sonaplicaciones continuas.

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Definicion 1.14. Sea (X , T ) un espacio topologico. Una separacion de X esun par U, V de abiertos disjuntos no triviales de X cuya union es X . El espaciose dice conexo si no existe una separacion en X .

Definicion 1.15. Dado (X , T ), se define la siguiente relacion de equivalenciaen X : x ∼ y si existe un subespacio conexo de X que contiene a ambos puntos.

Las clases de equivalencia se denominan componentes o componentesconexas de X .

Definicion 1.16. Supongamos que G es un grupo y H es un subgrupo de G.Sea xH el conjunto de todos los productos xh, h ∈ H; este conjunto se conocecomo coset por izquierda (o clase por izquierda en castellano) de H en G.La coleccion de tales clases forman una particion de G.

Analogamente, la coleccion de todas las clases por la derecha Hx de H enG forman una particion de G. Decimos que H es un subgrupo normal de Gsi x.h.x−1 ∈ H, ∀x ∈ G, h ∈ H. En este caso, tenemos que xH = Hx ∀x, demanera que nuestras dos particiones de G coinciden.

Definicion 1.17. Si f, f ′ son aplicaciones continuas del espacio X en el es-pacio Y, decimos que f es homotopica a f ′ si existe una aplicacion continuaF : X × I → Y tal que

F (x, 0) = f(x), F (x, 1) = f ′(x)

para cada x ∈ X (aquı, I = [0,1]). La aplicacion F se conoce como homotopıaentre f y f ′. Si f es homotopica a f ′, escribimos f ' f ′. Si f ' f ′ y f ′ es unaaplicacion constante, decimos que f es homotopicamente nula.

1 PRELIMINARES 7

1.2. Algunas definiciones y proposiciones varias

Definicion 1.18. Sea X un conjunto. Una metrica en X es una funciond : X × X → R que verifica ∀x, y, z ∈ X :

a) d(x, y) = d(y, x)

b) d(x, y) = 0 sı y solo sı x = y

c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

En tal caso, decimos que (X , d) es un espacio metrico.

Definicion 1.19. Dado (X , d) un espacio metrico, sea {xn}∞n=1 una sucesionen X . Decimos que {xn} es de Cauchy si ∀ε > 0, ∃ N ∈ N tal que, ∀m,n ≥ N

d(xn, xm) < ε

Definicion 1.20. Dado (X , d) espacio metrico, decimos que X es completo sitoda sucecion de Cauchy {xn}∞n=1 converge a un x ∈ X .

Definicion 1.21. Sea X un espacio compacto Hausdorff. Denotamos C(C) alconjunto de las funciones continuas a valores complejos.

Definicion 1.22. Dado V un K-espacio vectorial, decimos que V es un Algebrasi dado u, v, w ∈ V y λ ∈ K cumple:

a) u · (v + w) = u · v + u · w

b) (v + w) · u = v · u+ w · u

c) u · λv = λu · v = λ(u · v)

Observacion 1.1. Dado X un espacio compacto Hausdorff. Sean f, g ∈ C(X )y λ ∈ C tales que:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (λf)(x) = λf(x)

3. (fg)(x) = f(x)g(x)

Entonces, con estas operacines, C(X ) es un Algebra conmutativa con identidadsobre el campo de los complejos.

Proposicion 1.2. Sean f, g y h ∈ C(X ), λ ∈ C. Entonces:

a) (f(g + h))(x) =3. f(x)(g + h)(x) =1. f(x)(g(x) + h(x))=?1 f(x)g(x) + f(x)h(x)

b) ((f + g)(h))(x) =3. (f + g)(x)h(x) =1. (f(x) + h(x))(g(x) + h(h))=?1 f(x)h(x) + g(x)h(x)

c) (fλg)(x) =3. f(x)(λg)(x) =2. f(x)λg(x) = ?2λf(x)g(x) =2. λ(fg)(x)

1 PRELIMINARES 8

?1 Por ser funciones continuas

?2 Por ser C un cuerpo conmutativo

d) La conmutatividad sale del asunto que todas las funciones son continuas

e) Consideramos f(x) = 1 para la unidad.

Definicion 1.23. Un Algebra de division es un algebra, en la cual, cada ele-mento distinto de cero es un elemento invertible.

Definicion 1.24. Un espacio de Banach es un C-espacio vectorial X con unanorma ‖ · ‖ que cumple:

a) ‖f‖ = 0 sı y solo sı f = 0

b) ‖λf‖ = |λ| ‖f‖ para λ ∈ C y f ∈ X

c) ‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖ para f y g en X

tal que X es completo con la metrica inducida por la norma.

Definicion 1.25. Sean X y Y dos espacios normaldos y T : X → Y unoperador lineal. Entonces, T es continuo sı y solo sı ∃ M ≥ 0 tal que:

‖T x‖ ≤ M‖x‖, ∀x ∈ X

Definicion 1.26. Un funcional ϕ : A → C se llama funcional multiplicati-vo(o homomorfismo complejo) si ϕ es lineal, ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀a, b ∈ Ay ϕ(e) = 1, donde e es el neutro de A.

Definicion 1.27. Sea T : E → F un isomorfismo (algebraico) entre espaciosnormados. Se dice que T es un isomorfismo isometrico si para todo x ∈ Evale

‖Tx‖F = ‖x‖EEn este caso se dice que los espacios normados E,F son isometricamente

isomorfos.

Definicion 1.28. Sea E un K−espacio vectorial. El espacio dual es el espaciode funciones E? tales que:

ϕ : E → K : ϕ es lineal

Observacion 1.2. Dado X compacto Hausdorff y f ∈ C(X ), f resulta acotadaya que f es continua y X es un compacto. Ahora, denotamos

‖f‖∞ = sup{|f(x)| : x ∈ X}.

‖f‖∞ = 0↔ f = 0

‖f‖∞ = 0↔ sup{|f(x)| : x ∈ X} ↔ |f(x)| = 0 ∀x ∈ X ↔ f = 0

1 PRELIMINARES 9

‖αf‖∞ = |α|‖f‖∞, ∀α ∈ K

‖αf‖∞ = sup{|αf(x)| : x ∈ X} = sup{|α||f(x)| : x ∈ X}= |α| sup{|f(x)| : x ∈ X} = |α|‖f‖∞

‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞

‖f + g‖∞ = sup{|(f + g)(x)| : x ∈ X} ≤ sup{|f(x)|+ |g(x)| : x ∈ X}

≤ sup{|f(x)| : x ∈ X}+ sup{|g(x) : x ∈ X |} = ‖f‖∞ + ‖g‖∞

Esta es la norma de f y es finita, por que el supremo se alcanza al ser acotadala imagen por f .Ahora bien, con ‖·‖, podemos definir la metrica ρ en C(X ) dada por

ρ(f, g) = ‖f − g‖∞Proposicion 1.3. Si X es un espacio compacto Hausdorff, entonces C(X ) esun espacio metrico completo

Demostracion. Si {fn}∞n=1 es una sucesion de Cauchy, entonces

|fn(x)− fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞ = ρ(fn, fm)

para cada x ∈ X . Entonces, {fn(x)}∞n=1 es una sucesion de Cauchy de numeroscomplejos para cada x ∈ X . Ası, definimos f(x) = lım

n→∞fn(x)

Necesitamos ver que f ∈ C(X ) y que lımn→∞

‖f − fn‖∞ = 0

Sea ε > 0, elijamos N ∈ N tal que ∀n,m ≥ N, m, n ∈ N, ‖fn − fm‖∞ < εPara x0 ∈ X , ∃ U ∈ T , x0 ∈ U tal que |fN (x0)− fN (x)| < ε, ∀x ∈ U . Entonces,

|f(x0)− f(x)| ≤ lımn→∞

|fn(x0)− fN (x0)|+|fN (x0)− fN (x)|+ lımn→∞

|fN (x)− fn(x)|

Donde

1) lımn→∞

|fn(x0)− fN (x0)| ≤ ε por hipotesis

2) lımn→∞

|fn(x)− fN (x)| ≤ ε por hipotesis

3) |fN (x0)− fN (x)| ≤ ε porque fN es continua

Con lo cual, la expresion queda acotada por 3ε, concluyendo que f es continua.(Osea, f ∈ C(X ))Ademas, para n ≥ N, x ∈ X , tenemos que

|fn(x)− f(x)| =∣∣∣fn(x)− lım

m→∞fm(x)

∣∣∣ = lımm→∞

|fn(x)− fm(x)|

≤ lım supm→∞

‖fn − fm‖∞ ≤ ε

Luego, lımn→∞

‖fn − f‖∞ = 0 y entonces, C(X ) es completo.

1 PRELIMINARES 10

Definicion 1.29. Una familia X de subconjuntos de un conjunto X se diceque es una σ − algebra si cumple:

∅,X ∈X

Si A ∈X , entonces el complemento Ac = X/A ∈X

Si {An}n∈N es una sucesion de conjunto en X , entonces

∞⋃n=1

An ∈X

Dada una funcion f : X → R, decimos que es X −medible si para todonumero real α, el conjunto

{x ∈ X : f(x) > α}

pertenece a X .Denotamos la coleccion de todas las funciones X −medibles no negativas en

X como M+(X ,X )

Definicion 1.30. Una medida es una funcion a valores reales (incluyendo al∞) µ definida en una σ − algebraX de subconjuntos de X tal que:

1) µ(∅) = 0

2) µ(E) ≥ 0, ∀E ∈X

3) Si En ∩ Em, ∀n 6= m, En, Em ∈X , entonces

µ

( ∞⋃n=1

En

)=

∞∑n=1

µ(En)

Definicion 1.31. Un Espacio de medida es un triplete (X ,X , µ) consistentede un conjunto X , una σ − algebra X de subconjuntos de X y una medida µdefinida en X

Observacion 1.3. Decimos que una cierto proposicion cumple con µ−casi todo puntosi existe un subconjunto N ∈X con µ(N) = 0 de manera que la proposicion secumple en el complemento de N . Decimos que dos funciones f, g con igualesµ − casi todo punto o decimos que son iguales para µ − casi todo x en elcaso que f(x) = g(x) cuando x /∈ N , para algun N ∈X con µ(N) = 0

De la misma manera, decimos que la sucesion {fn}n∈N de funciones en Xconverge para µ− casi todo punto (o µ− casi todo x) si existe un conjuntoN ∈X tal que µ(N) = 0, de manera que f(x) = lımn→∞ fn(x), x /∈ N .

Lema 1.1. (Fatou) Si {fn}n∈N es una sucesion de funciones en M+(X ,X ),entonces ∫

(lım ınf fn)dµ ≤ lım ınf

∫fndµ

Con µ una medida asociada a X

1 PRELIMINARES 11

Teorema 1.3. (Convergencia Dominada) Sea {fn}n∈N una sucesion defunciones integrables que convergen casi todo punto a una funcion medible f . Siexiste una funcion integrable g tal que |fn| ≤ g, ∀n, entonces f es integrable y∫

Xfdµ = lım

n→∞

∫Xfndµ

Definicion 1.32. (Desigualdad de Holder) Sea f ∈ Lp y g ∈ Lq donde

p > 1 y1

p+

1

q= 1. Entonces fg ∈ L1 y ‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q

Lema 1.2. (Desigualdad de Minkowski) Si f y h pertenecen a Lp, p ≥ 1,entonces la funcion f + h pertenece a Lp y vale

‖f + h‖p ≤ ‖f‖p + ‖h‖p

Definicion 1.33. Sea U un subconjunto abierto de C y f : U → C. Se diceque f es holomorfa en z0 ∈ U si existe el lımite

lımh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h

En tal caso, al valor del lımite lo denotaremos f ′(z0) y lo denominaremosderivada (compleja) de f en z0. La funcion f se dice holomorfa en U si esholomorfa para cada punto de U . Si U = C, entonces la funcion se denominaentera.

Observacion 1.4. Sea f una funcion holomorfa en un disco abierto D(a, ρ).Entonces, f admite un desarrollo en serie de potencias en dicho disco.

Observacion 1.5. (Desigualdades de Cauchy)Sea f un funcion holomorfa en un disco D(a, r0). Dado r < r0, n ≥ 1

tenemos

||f (n)(a) ≤ n!r−nM(r)

donde M(r) := max|z−a|=r

|f(z)|

Teorema 1.4. (Liouville)Una funcion entera acotada es constante

Demostracion. Por ser entera, f admite un desarrollo en serie de potenciasalrededor del cero cuyo radio de convergencia es infinito. Por las desigualdadesde Cauchy, dado n ≥ 1, ∀r > 0

|f (n)(a)| ≤ n!r−nM(r) ≤ n!r−nB

donde B > 0 es la cota uniforme de f . Haciendo tender r → ∞ se ve quef (n)(0) = 0, ∀n ≥ 1. Luego, f debe ser constante.

1 PRELIMINARES 12

Definicion 1.34. Sea f una funcion integrable de valores complejos. La Trans-formada de Fourier es una aplicacion que hace corresponder f con otra fun-cion g definida como:

g(ξ) =1√2π

∫ ∞−∞

f(x)e−iξxdx

1 PRELIMINARES 13

1.3. Observaciones y proposiciones de referencia

Definicion 1.35. Sea {fα}α∈∆ en conjunto de vectores en un espacio de Ba-nach X . Sea F = {F ⊂ ∆ : F es finito}. Si definimos F1 ≤ F2 para F1 ⊂ F2,

entonces F es un conjunto dirigido. Para cada F ∈ F , sea gF =∑α∈F

fα. Si la

red {gF}F∈F converge para algun g ∈X , entonces la suma∑α∈∆

fα se dice que

converge y escribimos g =∑α∈∆

fα.

Proposicion 1.4. Si {fα}α∈∆ es un conjunto de vectores en un espacio de

Banach X tal que∑α∈∆

‖fα‖ converge en R, entonces∑α∈∆

fα converge en X .

Demostracion. Es suficiente probar, en la nocion de la definicion anterior, que

la red {gF}F∈F es de Cauchy. Ya que∑α∈∆

‖fα‖ converge, para ε > 0, existe

F0 ∈ F tal que F ≥ F0 implica∑α∈F‖fα‖ −

∑α∈F′

‖fα‖ < ε

Ası, para F1,F2 ≥ F0 tenemos

‖gF1 − gF2‖ =

∥∥∥∥∥∑α∈F1

fα −∑α∈F2

fα

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥∥∑

α∈F1\F2

fα −∑

α∈F2\F1

fα

∥∥∥∥∥∥≤

∑α∈F1\F2

‖fα‖+∑

α∈F2\F1

‖fα‖

≤∑

α∈F∪F2

‖fα‖ −∑α∈F0

‖fα‖ < ε

Por lo tanto, {gF}F∈F es de Cauchy y∑α∈∆

fα converge por definicion.

Corolario 1.1. Un espacio lineal normado X es un espacio de Banach sı y

solo sı para cada sucesion {fn}∞n=1 de vectores en X la condicion

∞∑n=1

‖fn‖ <∞

implica la convergencia de

∞∑n=1

fn.

1 PRELIMINARES 14

Demostracion. Si X es un espacio de Banach, entonces la conclusion se consiguede la proposicion anterior. Por lo tanto, asumamos que {gn}∞n=1 es una sucesionde Cauchy en un espacio normado lineal X en la que la hipotesis de las serieses valida.

Entonces elegimos una subsucesion {gnk}∞k=1 tal que

∞∑k=1

‖gnk+1− gnk‖ <∞ de

la siguiente manera:Elijamos n1 tal que para i, j ≥ n1 tenemos ‖gi − gj‖ < 1; habiendo elejido

{nk}Nk=1, elijamos nN+1 > nN tal que i, j ≥ nN+1 implica ‖gi − gj‖ < 2−N .

Si llamamos fk = gnk − gnk−1para k > 1 y f1 = gn1

, entonces

∞∑k=1

‖fk‖ < ∞,

y por hipotesis tenemos que la serie

∞∑k=1

fk converge. Conseguimos, ası, por la

definicion de convergencia que la sucesion {gnk}∞k=1 converge en X y luegotambien lo hace {gn}∞n=1. Ası, X es completo y luego es un espacio de Banach.

Ejemplo 1. Sea l∞(Z+) la coleccion de todas las funciones complejas acotadasen los enteros no negativos Z+. Definimos la adicion y multiplicacion punto apunto y el conjunto ‖f‖∞ = sup{|f(n)| : n ∈ Z+}.

Por la observacion 1.2, tenemos que ‖f‖∞ es definitivamente una norma.Sea ahora {fk}k∈N una sucesion de Cauchy en l∞(Z+). Sea n ∈ Z+. Sabemos

que |fl(n)−fm(m)| ≤ ‖fl−fm‖∞, ∀l,m ∈ N. Luego, cada sucesion {fk(n)}k∈Nes de Cauchy en C.Como C es completo, definimos la funcion

f : Z+ → C, f(n) = lımk→∞

fk(n), n ∈ Z+

‖fk − f‖∞ −→k→∞

0

Dado ε > 0, sea k1 ∈ N tal que |fl − fm| <ε

2, ∀l,m ≥ k1.

Si l ≥ k1, entonces |fl(n)−f(n)| = lımm→∞

|fl−fm| < supm≥k1

|fl−fm| ≤ε

2< ε

pues la norma en C es continua.Luego, ‖fk − f‖∞ −→

k→∞0

f ∈ l∞(Z+)

Sea k ∈ N tal que ‖fk − f‖∞ < 1. Luego,

‖f‖∞ = ‖f − fk + fk‖∞ ≤ ‖f − fk‖∞ + ‖fk‖∞ ≤ 1 + ‖fk‖∞ <∞

Por lo tanto, f ∈ l∞(Z+)

Luego, l∞(Z+) es un espacio de Banach

1 PRELIMINARES 15

Mas aun, la coleccion de todas las funciones f ∈ l∞(Z+) tales que lımn→∞

f(n) =

0 es un subespacio cerrado de l∞(Z+) y luego espacio de Banach; denotamoseste espacio como c0(Z+).

Ademas, sea l1(Z+) la coleccion de todas las funciones complejas ϕ ∈ Z+

tales que

∞∑n=0

|ϕ(n)| <∞. Definimos la adicion y la multiplicacion por un escalar

punto a punto y sea ‖ϕ‖1 =

∞∑n=0

|ϕ(n)|. Por lo siguiente,

‖ϕ‖1 = 0↔∞∑n=0

|ϕ(n)| = 0↔ |ϕ(n)| = 0 ∀n↔ ϕ = 0

‖αϕ‖1 =

∞∑n=1

|αϕ(n)| =∞∑n=0

|α||ϕ(n)| = |α|∞∑n=0

|ϕ(n)| = |α|‖ϕ‖1

‖ϕ+ψ‖1 =

∞∑n=0

|ϕ+ψ|(n) =

∞∑n=0

|ϕ(n) +ψ(n)| ≤∞∑n=0

|ϕ(n)|+∞∑n=0

|ψ(n)| =

‖ϕ‖1 + ‖ψ‖1

podemos concluir que ‖ϕ‖1 =

∞∑n=0

|ϕ(n)| es definitivamente una norma.

Ahora bien, sea {ϕk}k∈N una sucesion de Cauchy en l1(Z+). Entonces,∀ε > 0, ∃k0 tal que

‖ϕk − ϕm‖ < ε, ∀k,m ≥ k0

Fijemos ahora un n0 ∈ Z+. Tenemos que |fk(n0) − fm(n0)| ≤ ‖fk − fm‖1.Luego, {ϕk(n0)}k∈N ⊂ C es de Cauchy y, al ser C completo, ∃ ϕ(n0) = lım

k→∞ϕk(n0)

Fijando ahora i, tenemos

(i∑

n=0

|ϕk(n)− ϕm(n)|

)≤ ‖ϕk − ϕm‖1 < ε,

∀k,m ≥ k0. Si hacemos tender m→∞ obtenemos lo siguiente:(i∑

n=0

|ϕk(n)− ϕ(n)|

)≤ ε, ∀k ≥ k0, ∀i ∈ N

En particular, aplicando la desigualdad de Minkowski, tenemos que(i∑

n=0

|ϕ(n)|

)≤ ε+

(i∑

n=0

|ϕk(n)|

)

Entonces, ∀i,

(i∑

n=0

|ϕ(n)|

)≤ ε +

(i∑

n=0

|ϕk(n)|

)≤ ε + ‖ϕk‖ ≤ ε + M , porque

‖ϕk‖1 es acotada, entonces ϕ ∈ l1(Z+).

1 PRELIMINARES 16

Luego, usando

(i∑

n=0

|ϕk(n)− ϕ(n)|

)≤ ε, ∀k ≥ k0, ∀i, si i → ∞ entonces

‖ϕk − ϕ‖1 ≤ ε, ∀k ∈ N.Con lo que l1(Z+) es un epacio de Banach.Consideramos ahora el problema de identificar espacios conjugados y empe-

zamos con c0(Z+). Para ϕ ∈ l1(Z+) definimos el funcional ϕ ∈ c0(Z+) tal que

ϕ(f) =

∞∑n=0

ϕ(n)f(n), f ∈ c0(Z+); la ultima suma converge, ya que

|ϕ(f)| =

∣∣∣∣∣∞∑n=0

ϕ(n)f(n)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=0

|ϕ(n)||f(n)|

≤ ‖f‖∞∞∑n=0

|ϕ(n)| = ‖f‖∞‖ϕ‖1

Mas aun, como ϕ es obviamente lineal, la ultima desigualdad muestra queϕ esta en c0(Z+)∗ y que ‖ϕ‖1 ≥ ‖ϕ‖, donde la ultima es la norma de ϕ comoelemento de c0(Z+)∗. Ası la aplicacion α(ϕ) = ϕ desde l1(Z+) hacia c0(Z+)∗

esta bien definido y es una contraccion. Queremos ver que α es una isometrıay suryectiva en c0(Z+)∗.

Para ese fin, sea L un elemento de c0(Z+)∗ y definimos la funcion ϕL enZ+ tal que ϕL(n) = L(en) para n ∈ Z+, donde en es el elemento de c0(Z+)definido para ser 1 en n y 0 de lo contrario. Queremos ver que ϕL = L, y que‖ϕL‖ ≤ ‖L‖. Para cada N ∈ Z+, consideramos el elemento

fN =

N∑n=0

L(en)

|L(en)|en

de c0(Z+), donde0

0es tomado como 0. Entonces ‖fN‖ ≤ 1 y una facil compu-

tacion muestra que

‖L‖ ≥ |L(fN )| =

∣∣∣∣∣N∑n=0

L(en)

|L(en)|L(en)

∣∣∣∣∣ =

N∑n=0

|L(en)| =N∑n=0

|ϕL(n)|

entonces ϕL esta en l1(Z+) y ‖ϕL‖1 ≤ ‖L‖. Ası, la aplicacion β(L) = ϕLdesde c0(Z+)∗ hasta l1(Z+) es tambien bien definida y contractil. Mas aun, seaL ∈ c0(Z+)∗ y g ∈ c0(Z+); entonces

lımN→∞

‖g −∑n=0

= Ng(n)en‖∞ = 0

y luego tenemos que

L(g) = lımN→∞

{N∑n=0

g(n)L(en)

}= lımN→∞

{N∑n=0

g(n)ϕL(n)

}

1 PRELIMINARES 17

=

∞∑n=0

g(n)ϕL(n) = ϕL(g)

Por lo tanto, la composicion α◦β es la identidad en c0(Z+)∗. Por ultimo, comoϕ = 0 implica ϕ = 0, tenemos que ϕ es inyectiva. Ası α es un isomorfismoisometrico de l1(Z+) en c0(Z+)∗

Para f ∈ l∞(Z+) podemos definir el elemento f ∈ l1(Z+)∗ de la siguientemanera:

f(ϕ) =

∞∑n=0

f(n)ϕ(n).

Proposicion 1.5. Supongamos que M es un subconjunto denso en X y {ϕα}α∈Λ

es una red uniformemente acotada en X ∗ tal que lımα∈Λ

ϕα(f) = ϕ(f), f ∈M

Entonces la red {ϕα}α∈Λ converge a ϕ en la w∗ − topologıa.

Demostracion. Dado g ∈ X y ε > 0, elijamos f ∈ M tal que ‖f − g‖ < ε

3M,

donde M = sup{‖ϕ‖, ‖ϕα‖ : α ∈ Λ}. Si α0 es elejido de manera que α ≥ α0

implica que |ϕα(f)− ϕ(f)| < ε

3, entonces para α ≥ α0, tenemos

|ϕα(g)− ϕ(g)| ≤ |ϕα(g)− ϕα(f)|+ |ϕα(f)− ϕ(f)|+ |ϕ(f)− ϕ(g)|

≤ ‖ϕα‖‖f − g‖+ε

3+ ‖ϕ‖‖f − g‖ < ε

Ası {ϕα}α∈Λ converge a ϕ en la w∗ − topologıa.

Definicion 1.36. La bola unidad del espacio de Banach X es el conjunto{f ∈ X : ‖f‖ ≤ 1} y es denotado (X )1.

Teorema 1.5. (Alaoglu)La bola unidad X ∗ del espacio de Banach dual es conpacto en la

w∗ − topologıa

Demostracion. La prueba se completa identificando (X ∗)1 con un subconjuntocerrado de un largo espacio producto que la compactificacion se consigue por elteorema de Tychonoff.

Para cada f ∈ (X )1, sea Cf1 una copia del disco unidad cerrado en C y sea

P el espacio producto χf∈(X )1Cf1 . Por el teorema de Tychonoff, P es compacto.

Definimos Λ : (X ∗)1 → P de la manera Λ(ϕ) = ϕ|(X )1. Como Λ(ϕ1) = Λ(ϕ2)implica que las restricciones de ϕ1 y ϕ2 de la bola unidad de X son identicas,conseguimos que Λ es inyectiva. Mas aun, una red {ϕα}α∈∆ ∈X ∗ converge enla w∗ − topologıa a una ϕ ∈ X ∗ sı y solo sı lım

α∈∆ϕα(f) = ϕ(f) para f ∈ X sı

y solo sı lımα∈∆

ϕα(f) = ϕ(f) para f ∈ (X )1 sı y solo sı lımα∈∆

Λ(ϕα)(f) = Λ(ϕ)(f)

para f ∈ (X )1.Esto ultimo es equivalente a lım

α∈∆Λ(ϕα) = Λ(ϕ) en la topologıa de P. Ası, Λ

es un homeomorfismo entre (X ∗)1 y el subconjunto Λ[(X ∗)1] de P.

1 PRELIMINARES 18

Completamos la demostracion mostrando que Λ[(X ∗)1] es cerrado en P.Supongamos que {Λ(ϕα)}α∈∆ es una red en Λ[(X ∗)1] que converge en la

topologıa producto a ψ ∈ P. Si f, g y f + g estan en (X )1, entonces

ψ(f + g) = lımα∈∆

Λ(ϕα)(f + g) = lımα∈∆

Λ(ϕα)(f) + lımα∈∆

Λ(ϕα)(g)

= ψ(f) + ψ(g)

Es mas, si f, λf ∈ (X )1, entonces

ψ(λf) = lımα∈∆

Λ(ϕα)(λf) = lımα∈∆

ϕα(λf) = λ lımα∈∆

ϕα(f) = λψ(f)

Luego, ψ determina un elemento ψ de (X ∗)1 por la relacion

f = ‖f‖ϕ(f

‖f‖)

para f ∈ X . Como ψ(f) = ψ(f), f ∈ (X )1, vemos no solo que ψ ∈ (X ∗)1

pero, ademas, Λ(ψ) = ψ. Ası, Λ[(X ∗)1] es un subconjunto cerrado de P, y porlo tanto (X ∗)1 es compacto en w∗ − topologıa.

Definicion 1.37. Sea E un espacio lineal real y p una funcion evaluada enreales definida en E . Entonces p se dice que es un funcional sublineal en E sip(f + g) ≤ p(f) + p(g) para f, g ∈ E y p(λf) = λp(f), f ∈ E , λ ∈ R+

Teorema 1.6. (Hahn-Banach I) Sea E un espacio lineal real y sea p unfuncional sublineal en E . Sea F un subespacio de E y ϕ un funcional lineal realen F tal que ϕ(f) ≤ p(f), para f ∈ F . Entonces, existe un funcional lineal realΦ(f) = ϕ(f) para f ∈ F y Φ(g) ≤ p(g) para g ∈ E .

Demostracion. Asumamos sin perdida de generalidad que F 6= {0}. Tomemos fque no pertenezca a F y sea ℘ = {g+λf : λ ∈ R, g ∈ F}. Primero extendemosϕ a ℘ y para esto es suficiente definir Φ(f) apropiadamente.Queremos Φ(g + λf) ≤ p(g + λf), ∀λ ∈ R, g ∈ F . Dividiendo esto por |λ|,podemos escribir Φ(f − h) ≤ p(f − h) y Φ(−f + h) ≤ p(−f + h), ∀h ∈ F oequivalentemente,

−p(−f + h) + ϕ(h) ≤ Φ(f) ≤ p(f − h) + ϕ(h)

para todo h ∈ F . Ası, un valor de Φ(f) puede ser elegido de manera que elresultante Φ en ℘ tiene las propiedades requeridas sı y solo sı

suph∈F{−p(−f + h) + ϕ(h)} ≤ ınf

k∈F{p(f − k) + ϕ(k)}

Sin embargo, para h, k ∈ F , tenemos

ϕ(h)− ϕ(k) = ϕ(h− k) ≤ p(h− k) ≤ p(h− k) ≤ p(f − k) + p(h− f)

1 PRELIMINARES 19

ası que−p(h− f) + ϕ(h) ≤ p(f − k) + ϕ(k)

Por lo tanto, ϕ puede ser extendida a Φ en ℘ de manera que Φ(h) ≤ p(h)para h ∈ ℘.

Nuestro problema ahora es de alguna manera obtener una extension maxi-mal de ϕ. Para ese fin, denotamos por P la clase de extensiones de ϕ parasubespacios mas grandes satisfaciendo la desigualdad requerida. Por lo tanto,un elemento de P consiste de un subespacio ℘ de E que contiene a F y unfuncional lineal Φ℘ en ℘ que extiende ϕ y satisface Φ℘(g) ≤ p(g), g ∈ ℘. Hayun orden parcial natural definido en P, donde (℘1,Φ℘1) ≤ (℘2,Φ℘2) si ℘1 ⊂ ℘2

y Φ℘2(f) = Φ℘1

(f) para f ∈ ℘1.Para aplicar el Lema de Zoen a la clase P, debemos mostrar que toda cadena

{(℘α,Φ℘α)}α∈A en P hay un elemento maximal en P. Si {(℘α,Φ℘α)}α∈A es

una cadena en P, sea ℘ =⋃α∈A

℘α y definimos Φ en ℘ por Φ(f) = Φ℘α(f), donde

f ∈ ℘α. Como cada elemento de la cadena contiene a F , ℘ contiene a F y esun subespacio de E . Ahora bien, por el orden que tenemos, hacemos las cuentasen el α mas grande y resulta que φ esta bien definida y que Φ(f) ≤ p(f), f ∈ ℘.

Ahora bien, como ℘ =⋃α∈A

℘α, concluimos que (℘α,Φ℘α) ≤ (℘,Φ) para cada

α ∈ AAsı, la cadena tiene un elemento maximal en P y el Lema de Zorn implica

que el mismo P tiene un elemento maximal (℘0,Φ0). Si ℘0 no estuviera en E ,entonces el argumento del parrafo anterior tendria un elemento estrictamentemayor en P, con lo que contradecirıa la maximalidad de (℘0,Φ℘0). Ası, ℘0 = Ey tenemos la deseada extension de ϕ a E .

Teorema 1.7. (Hahn-Banach II) Sea M un subespacio del espacio de Ba-nach X . Si ϕ es un funcional lineal acotado en M , entonces existe Φ ∈ X ∗

tal que Φ(f) = ϕ(f), f ∈M y ‖Φ‖ = ‖ϕ‖

Demostracion. Si consideramos X como el espacio real lineal X , entonces lanorma es un funcional sublineal en X y ψ = Re ϕ es el funcional lineal real en elsubespacio X . Es evidente que ‖ψ‖ ≤ ‖ϕ‖. Llamando p(f) = ‖ϕ‖‖f‖, tenemosψ(f) ≤ p(f) y ası por el teorema de Hahn-Banach I obtenemos un funcionallineal real Ψ ∈ X que extiende ψ y satisface Ψ(f) ≤ ‖ϕ‖‖f‖ para f ∈X .

Si ahora definimos Φ en X , de la siguiente manera Φ(f) = Ψ(f) − iΨ(if),entonces queremos ver que Φ es un funcional lineal complejo en X que extiendea ϕ y tiene norma ‖ϕ‖.

Para f, g ∈X , tenemos que

Φ(f + g) = Ψ(f + g)− iΨ(i(f + g))

= Ψ(f) + Ψ(g)− iΨ(if)− iΨ(ig)

= Φ(f) + Φ(g)

1 PRELIMINARES 20

Mas aun, si λ1, λ2 ∈ R y f ∈X , entonces Φ(if) = Ψ(if)− iΨ(−f) = iΦ(f)y ası

Φ((λ1 + iλ2)f) = Φ(λ1f) + Φ(iλ2f) = λ1Φ(f) + iλ2Φ(f)

= (λ1 + iλ2)Φ(f)

Ası, Φ es un funcional lineal complejo en X . Mas aun, para f ∈M tenemos

Φ(f) = Ψ(f)− iΨ(if) = ψ(f)− iψ(if) = Re ϕ(f)− i Re ϕ(if)

Re ϕ(f)− i Re (iϕ(f)) = Re ϕ(f)− i(−Im ϕ(f)) = ϕ(f)

Por ultimo, para probar ‖Φ‖ = ‖Ψ‖ es suficiente ver que ‖Φ‖ ≤ ‖Ψ‖ en vistadel hecho de que ‖Ψ‖ = ‖ψ‖ y Φ es una extencion de ϕ. Para f ∈X escribimosΦ(f) = reiθ. Entonces

|Φ(f)| = r = e−iθΦ(f) = Φ(e−iθf) = Ψ(e−iθf)

≤ |Ψ(e−iθf)| ≤ ‖Ψ‖‖f‖

con lo que Φ fue mostrado en ser una extension de ϕ ∈ X , teniendo la mismanorma.

Corolario 1.2. Si f es un elemento del espacio de Banach X , entonces existeϕ ∈X ∗ de norma unidad y, tal que ϕ(f) = ‖f‖

Demostracion. Asumamos que f 6= 0. Sea M = {λf : λ ∈ C} y definamos ψ enM por

ψ(λf) = λ‖f‖

Entonces, ‖ψ‖ = 1 y una extension de ψ hacia X dada por el teorema deHahn-Banach II tiene las propiedades deseadas.

Corolario 1.3. Si ϕ(f) = 0 para cada ϕ ∈X ∗, entonces f = 0

Demostracion. Consideramos que ϕ una extension a traves del teorema deHahn-Banach II que cumple con las propiedades del corolario anterior. Lue-go, ϕ(f) = ‖f‖ para f ∈ X . Por hipotesis, tenemos que ϕ(f) = 0, entonces,conseguimos que ‖f‖ = 0, con lo que concluimos que f = 0

Observacion 1.6. Espacios CocientesSea X un espacio de Banach y M un subespacio cerrado de X . Queremos

ver que hay una norma natural en el espacio cociente X /M convirtiendolo enun espacio de Banach. Sea X /M el espacio lineal de las clases de equivalencia{[f ] : f ∈X }, donde [f ] = {f + g : g ∈M }, y definimos una norma en X /Mde la forma

‖[f ]‖ = ınfg∈M

‖f + g‖ = ınfh∈[f ]

‖h‖

Entonces ‖[f ]‖ = 0 implica que existe una sucecion {gn}∞n=1 ∈ M conlımn→∞

‖f + gn‖ = 0. Ya que M es cerrado, conseguimos que f ∈ M con lo que

1 PRELIMINARES 21

[f ] = [0]. Inversamente, si [f ] = [0], entonces f ∈M y 0 ≤ ‖[f ]‖ ≤ ‖f−f‖ = 0.Ası, ‖[f ]‖ = 0 sı y solo sı [f ] = [0]. Mas aun, si f1, f2 ∈X y λ ∈ C, entonces

‖λ[f1]‖ = ‖[λf1]‖ = ınfg∈M

‖λf1 + g‖ = |λ| ınfh∈M

‖f1 + h‖ = |λ|‖[f1]‖

y‖[f1] + [f2]‖ = ‖[f1 + f2]‖ = ınf

g∈M‖f1 + f2 + g‖

= ınfg1,g2∈M

‖f1 + g1 + f2 + g2‖ ≤ ınfg1∈M

‖f1 + g1‖+ ınfg2∈M

‖f2 + g2‖

‖[f1]‖+ ‖[f2]‖

Por lo tanto ‖.‖ es una norma en X /M y solo resta ver que el espacio escompleto.

Si {[fn]}∞n=1 es una sucecion de Cauchy en X /M , entonces existe una sub-

sucesion {fnk}∞k=1 tal que ‖[fnk+1]− [fnk ]‖ < 1

2k. Si elegimos hk ∈ [fnk+1

− fnk ]

tal que ‖hk‖ <1

2k, entonces

∞∑k=1

‖hk‖ < 1 y ası la sucesion {hk} es absoluta-

mente sumable. Por lo tanto, h =

∞∑k=1

hk existe por la proposicion 1.4 ya que

[fnk − fn1] =

k−1∑i=1

[fni+1− fni ] =

k−1∑i=1

[hi]

y tenemos que lımk→∞

[fnk−fn1] = [h]. Por lo tanto, lım

k→∞[fnk ] = [h+fn1

] y X /M

es visto como un espacio de Banach.Concluimos diciendo que la aplicacion natural f → [f ] de X hacia X /M es

una contradiccion y es una aplicacion abierta. Para, supongamos, f ∈X , ε > 0y Nε(f) = {g ∈X : ‖f − g‖ < ε}. Si [h] esta en

Nε([f ]) = {[k] ∈X /M : ‖[f ]− [k]‖ < ε}

entonces existe h0 ∈ [h] tal que ‖f − h0‖ < ε. Entonces, [h] y, de hecho, todoNε([f ]) esta en la imagen de Nε(f) por la aplicacion natural. Por lo tanto, laaplicacion natural es abierta.

Observacion 1.7. (Los espacios de Lebesgue) Sea µ una medida de pro-babilidad en una σ − algebra L de subconjuntos de un conjunto X (esto quieredecir que µ(X ) = 1). Sea L 1 denota el espacio lineal de funciones complejasintegrables en X con la adicion punto a punto y la multiplicacion escalar, y seaN el subespacio de las funciones nulas. Por lo tanto, una funcion medible f ∈ Xesta en L 1 si

∫X|f |dµ < ∞ y esta en N si

∫X|f |dµ = 0. Denotamos L1 al

espacio cociente L /N con la norma ‖[f ]‖1 =

∫X|f |dµ. Que esto satisface las

propiedades de la norma es cencillo, pues

1 PRELIMINARES 22

Tomemos un representante f de [f ], entonces

‖[f ]‖1 = 0↔∫X|f |dµ = 0↔ f = 0 µ− casi todo punto.

Tomemos un representante f de [f ], entonces

‖[αf ]‖1 =

∫X|αf |dµ =

∫X|α||f |dµ = |α|

∫X|f |dµ = |α|‖[f ]‖1

Tomemos representantes f y g de [f ] y [g] respectivamente, entonces

‖[f + g]‖1 =

∫X|f + g|dµ ≤

∫X|f | + |g|dµ =

∫X|f |dµ +

∫X|g|dµ =

‖[f ]‖1 + ‖[g]‖1

y la completitud es solo un poquito mas dificil.

Sea {[fn]}∞n=1 una sucesion en L1 tal que

∞∑n=1

‖[fn]‖1 ≤ M < ∞. Tomemos

representantes fn de cada [fn]; entonces la sucesion {N∑n=1

|fn|}∞N=1 es una suce-

sion creciente de funciones medibles no negativas teniendo la propiedad de quelas integrales ∫

X

(N∑n=1

|fn|

)dµ =

N∑N=1

‖[fn]‖1 ≤M

son uniformemente acotadas. Ası, conseguimos por el lema de Fatou que la fun-

cion h =

∞∑n=1

|fn| es integrable. Por lo tanto, la sucesion {N∑n=1

fn}∞N=1 converge

en casi todo punto a una funcion integrable k ∈ L 1. Finalmente, tenemos que∥∥∥∥∥[k]−N∑n=1

[f ]

∥∥∥∥∥1

=

∫X

∣∣∣∣∣∞∑n=1

fn −N∑n=1

fn

∣∣∣∣∣ dµ≤

∞∑n=N+1

∫X|fn|dµ ≤

∞∑n=N+1

‖[fn]‖1

y ası

∞∑n=1

[fn] = [k]. Ası L1 es un espacio de Banach.

Para 1 < p <∞, sea L p la coleccion de las funciones f ∈ L 1 que satisfacen∫X|f |pdµ <∞ y llamemos N p = N ∩L p.

Observemos lo siguiente:

dado 1 < p < ∞, sea f ∈ Lp. Entonces,

∫X|f |pdµ < ∞. Ahora bien, tomemos

esa f y calculemos ‖f‖1

‖f‖1 = ‖f1‖1 ≤ ‖f‖p‖1‖q,1

p+

1

q= 1

1 PRELIMINARES 23

por la desigualdad de Holder. Sin embargo, tenemos que ‖f‖p <∞ porquef ∈ Lp y ‖1‖q < ∞ ya que estoy en un espacio de medida de probabilidad yla medida del espacio es finita (de hecho, igual que 1). Luego, concluimos que‖f‖1 <∞ y podemos decir que el espacio Lp es un subespacio de L1,∀ 1 < p <∞.

‖[f ]‖p = 0↔ ‖[f ]‖p =(∫X |f |

pdµ) 1p = 0↔ |f | = 0 µ− casi todo punto

‖[αf ]‖p =(∫X |αf |

pdµ) 1p =

(∫X |α||f |

pdµ) 1p

= (|α|p)1p(∫X |f |

pdµ) 1p = |α|‖[f ]‖p

‖[f + g]‖p ≤ ‖[f ]‖p + ‖[g]‖p es la desigualdad de Minkowski.

Con lo cual, ‖[f ]‖p es una norma. Ahora, sea {fn}n∈N una sucesion de Cauchycon la norma ‖.‖p. Entonces, si ε > 0, ∃M(ε) tal que si m,n ≥M(ε) entonces∫

X|fm − fn|pdµ = ‖fm − fn‖pp < εp

Existe una subsucesion {gk}k∈N de {fn}n∈N tal que ‖gk+1 − gk‖p < 2−k parak ∈ N. Definimos g como

g(x) = |g1(x)|+∞∑k=1

|gk+1(x)− gk(x)|

ası g ∈M+(X ,X ). Por el Lema de Fatou, tenemos que∫X|g|pdµ ≤ lım inf

n→∞

∫X

{|g1|+

n∑k=1

|gk+1 − gk|

}pdµ

Tomemos la raiz p− esima a ambos lados y apliquemos la desigualdad de Min-kowski para obtener

{∫X|g|pdµ

}1

p ≤ lım infn→∞

{‖g1‖p +

n∑k=1

‖gk+1 − gk‖p

}

≤ ‖g1‖p + 1

Ası, si E = {x ∈ X : g(x) <∞}, entonces E ∈X y µ(Ec) = 0. Por lo tanto, la

serie

∞∑k=1

|gk+1(x)− gk(x)| converge en casi todo punto y g|E pertenece a Lp.

Ahora, definimos f en X por

f(x) =

g1(x) +

∞∑k=1

{gk+1(x)− gk(x)} x ∈ E

0 x /∈ E

1 PRELIMINARES 24

Como |gk| ≤∞∑j=k

|gj+1 − gj | ≤ g y la sucesion {gk}k∈N converge casi todo

punto a f , el Teorema de Convergencia Dominada implica que f ∈ Lp. Ya que|f − gk|p ≤ 2pgp, inferimos por el Teorema de Convergencia Dominada que0 = lım ‖f − gk‖p, entonces {gk}k∈N converge en Lp a f . Teniendo en cuenta lasucesion de Cauchy {fn}n∈N, si m ≥M(ε) y k suficientemente grande, entonces∫

X|fm − gk|pdµ < εp

Aplicando el teorema de Fatou, concluimos que∫X|fm − f |pdµ ≤ lım inf

k→∞

∫X|fm − gk|pdµ ≤ εp

siempre que m ≥ M(ε). Esto prueba que la sucesion {fn}n∈N converge a f conla norma de Lp.

Luego, Lp es completo y es un espacio de Banach con la norma ‖.‖pAhora sea L∞ el subespacio de L 1 que consiste de las funciones escencial-

mente acotadas, esto es, las funciones f para las cuales el conjunto

{x ∈ X : |f(x)| > M}

tiene medida cero para M suficientemente grande, y llamemos ‖f‖∞ al menorde esos M. Si llamamos N ∞ = N ∩ L∞, entonces podemos ver facilmenteque para f ∈ L∞ tenemos ‖f‖∞ = 0 sı y solo sı f ∈ N ∞. Ası, ‖.‖∞ defineuna norma en el espacio cociente L∞ = L∞/N ∞. Para ver que L∞ es unespacio de Banach, solo debemos definir la completitud y eso lo haremos usandoel corolario 1.1.

Sea {[fn]}∞n=1 una sucesion de elementos de L∞ tal que∞∑n=1

‖[fn]‖∞ ≤ M < ∞. Elijamos representantes fn para cada [fn] tal que |fn|

es acotada por ‖[fn]‖∞. Entonces, para x ∈ [0,1], tenemos

∞∑n=1

|fn(x)| ≤∞∑n=1

‖[fn]‖∞ ≤M

Por lo tanto la funcion h(x) =

∞∑n=1

fn(x) esta bien definida, es medible y

acotada, ya que

|h(x)| =

∣∣∣∣∣∞∑n=1

fn(x)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=1

|fn(x)| ≤M

Ası, h esta en L∞.

Luego, L∞ es un espacio de Banach.

2 ALGEBRAS DE BANACH 25

2. Algebras de Banach

2.1. Algebras de Banach

Dado que C(X ) es un algebra sobre el cuerpo C con la multiplicacion y que‖fg‖∞ ≤ ‖f‖∞ ‖g‖∞ vale por ser ‖·‖∞ es norma para f, g ∈ C(X ). Estas pro-piedades nos permitiran llamar a C(X ) un Algebra de Banach.En el estudio de los espacios de Banach, la nocion de funcion lineal acotada esimportante. Para las algebras de Banach y, en particular, para C(X ) lo impor-tante es la idea de un funcional multiplicativo lineal. (Aunque no asumimos queel funcional debe ser continuo ya que probaremos mas adelante que ese funcionales necesariamente continuo). Exeptuando al funcional cero, ya que obviamentees multiplicativo y lineal, cualquier funcional lineal multiplicativo ϕ satisfaceϕ(1) = 1, ya que ϕ 6≡ 0 lo cual significa que ∃f ∈ C(X ) con ϕ(f) 6= 0, entoncesla ecuacion ϕ(1)ϕ(f) = ϕ(f) implica que ϕ(1) = 1.Enfocaremos nuestra atencion al conjunto MC(X ) de las funcionales lineales mul-tiplicativas complejas ϕ en C(X ) que satisfacen ϕ(1) = 1. Para x ∈ X , definimosla funcional compleja ϕx en C(X ) tal que ϕx(f) = f(x), f ∈ C(X ). Observemosque, dado x ∈ X,ϕx(1) = 1(x) = 1, con lo cual ϕx pertenece a MC(X ). Sea ψ laaplicacion de X a MC(X ) definido por ψ(x) = ϕx.

Proposicion 2.1. La aplicacion ψ define un homeomorfismo desde X hastaMC(X ), donde MC(X ) esta dado con la w∗ − topologıa en C(X )∗

Demostracion. Sea ϕ ∈MC(X ) y el conjunto

< = kerϕ = {f ∈ C(X ) : ϕ(f) = 0}

Primero veremos que existe un x0 ∈ X tal que f(x0) = 0 para cada f ∈ <Si ese no fuese el caso, entonces para cada x ∈ X , deberıa existir fx ∈ < tal quefx(x) 6= 0. Como f es continua, existe un abierto Ux de x en el cual fx 6= 0.Como X es compacto y {Ux}x∈X es un cubrimiento por abiertos de X , existe

un subcubrimiento finito {Uxi}ni=1 de X . Si definimos g =

n∑i=1

fxifxi , entonces

ϕ(g) =

n∑i=1

ϕ(fxi)ϕ(fxi) = 0, con lo que g ∈ <. Pero g 6= 0 en X y, por lo tanto,

es invertible en C(X ). Esto, a su vez, implica que ϕ(1) = ϕ(g)ϕ( 1g ) = 0, con lo

que es una contradiccion. Entonces, debe existir un x0 ∈ X tal que f(x0) = 0para f ∈ <

Si f ∈ C(X ), entonces f−ϕ(f)1 ∈ <, ya que ϕ(f−ϕ(f),1) = ϕ(f)−ϕ(f) = 0.Ademas,

f(x0)− ϕ(f) = (f − ϕ(f),1)(x0) = 0

ya que ϕ− ϕ(f),1 ∈ < y, por lo tanto, ϕ = ϕx0

Ya que cada ϕ ∈ MC(X ) esta acotada (de echo, es de norma 1), podemos darlea MC(X ) la w∗ − topologıa relativa en C(X )∗ y considerar la aplicacion


ψ : X → MC(X ). Si x, y ∈ X , x 6= y, entonces por el lema de Urysohn existeuna f ∈ C(X ) tal que f(x) 6= f(y). Ademas,

ψ(x)(f) = ϕx(f) = f(x) 6= f(y) = ϕy(f) = ψ(y)(f)

lo que implica que ψ es inyectiva. Veamos la continuidad de ψ. Sea {xα}α∈∆

una red en X tal que converge a x. Entonces, lımα∈∆

f(xα) = f(x) para f ∈ C(X )

o, equivalentemente, lımα∈∆

ψ(xα)(f) = ψ(x)(f) para cada f ∈ C(X ). Entonces,

la red {ψ(xα)}α∈∆ converge con la w∗ − topologıa a ψ(x) con lo que ψ resultacontinua. Como ψ es es una aplicacion inyectiva, continuo desde un compactoen un Hausdorff, ψ resulta un homeomorfismo.

Ahora, definiremos lo que es un Algebra de Banach y procederemos a mos-trar que la coleccion de funcionales lineales multiplicatifvas en un Algebra deBanach generico siempre se puede inctroducir en un espacio compacto Hausdorffde una manera natural.

Definicion 2.1. Un Algebra de Banach B es un Algebra sobre C con identi-dad 1 que tiene una norma que lo introduce en un espacio de Banach y satisface‖1‖ = 1 y la desigualdad ‖fg‖ ≤ ‖f‖‖g‖ para f, g ∈ B

Observacion 2.1. Denotamos como λ el elemento de B obtenido despues demultiplicar la identidad por el numero complejo λ.

La siguiente proposicion fundamental sera usada para mostrar que la colec-cion de elementos invertibles de B es un conjunto abierto y que la inversion escontınua con la topologıa de la norma.

Proposicion 2.2. Sea f ∈ B, B un Algebra de Banach. Si ‖1 − f‖ < 1,entonces f es invertible y

‖f−1‖ ≤ 1

1− ‖1− f‖

Demostracion. Sea η = ‖1− f‖. η < 1, entonces, para N ≥M , tenemos

∥∥∥∥∥N∑n=0

(1− f)n −M∑n=0

(1− f)n

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥N∑

n=M+1

(1− f)n

∥∥∥∥∥ ≤N∑

n=M+1

‖1− f‖n

Y ahora, remplazando con η

N∑n=M+1

‖1− f‖n =

N∑n=M+1

ηn ≤ ηM+1

1− η


y la sucesion de sumas parciales

{N∑n=0

(1− f)n

}∞N=0

es visto como una su-

cesion de Cauchy. Si g =

∞∑n=0

(1− f)n, entonces

fg = f

[ ∞∑n=0

(1− f)n

]= [f + 1− 1]

[ ∞∑n=0

(1− f)n

]= [1− (1− f)]

∞∑n=0

(1− f)n

= lımN→∞

([1− (1− f)]

[N∑n=0

(1− f)n

])= lımN→∞

([N∑n=0

(1− f)n

]−

[N∑n=0

(1− f)n+1

])

= lımN→∞

(��

��:1(1− f)0 +��

�(1− f) + . . .+��

(1− f)N −��(1− f)−��

(1− f)2 − . . .−��

(1− f)N − (1− f)N+1

)= lımN→∞

(1− (1− f)N+1) = 1

ya que lımN→∞

‖(1 − f)N+1‖ = 0 De manera analoga, conseguimos que gf = 1,

con lo cual, f es invertible con f−1 = g. Es mas,

‖g‖ = lımN→∞

∥∥∥∥∥N∑n=0

(1− f)n

∥∥∥∥∥ ≤ lımN→∞

N∑n=0

‖1− f‖n =1

1− ‖1− f‖

donde el ultimo termino resulta porque al cumplirse que ‖1− f‖ < 1, la serie esla serie geometrica.

Definicion 2.2. Para un Algebra de Banach B, sea ℘ la coleccion de loselementos invertibles en B. Denotemos:

℘i a los elementos invertibles a izquierda de B

℘d a los elementos invertibles a derecha de B

Proposicion 2.3. Si B es un Algebra de Banach, entonces los conjuntos ℘, ℘i, ℘dson abiertos de B

Demostracion.

Si f ∈ ℘ y ‖f − g‖ < 1

‖f−1‖, entonces

1 > ‖f−1‖‖f − g‖ ≥ ‖1 − f−1g‖. Luego, por la proposicion anterior,f−1g ∈ ℘ y, con lo cual, g = f(f−1g) ∈ ℘.por lo tanto, ℘ contiene la bola

abierta de radio1

‖f−1‖de cada elemento f ∈ ℘. Ası, ℘ es un conjunto

abierto en B.


si f ∈ ℘i, entonces ∃h ∈ B tal que hf = 1. Si ‖f − g‖ < 1

‖h‖, entonces

1 > ‖h‖‖f − g‖ ≥ ‖hf − hg‖ = ‖1 − hg‖. Otra vez, por la proposicionanterior, tenemos que k = hg es invertible y la identidad (k−1h)g = 1implica que g es invertible a izquierda. Mas aun, si g es invertible, entoncesh = kg−1 es invertible, con lo cual, implica que f es invertible. Estacontradiccion muestra que g ∈ ℘i, con lo que ℘i contiene la bola abierta

de radio1

‖h‖de f . Por lo tanto, ℘i es abierto.

La demostracion de que ℘d es abierta es analoga.

Corolario 2.1. Si B es un Algebra de Banach, entonces la aplicacion en ℘difinido por f → f−1 es continuo. Ademas, ℘ es un grupo topologico.

Demostracion. Sea f ∈ B, la inecuacion ‖f − g‖ < 1

c‖f−1‖implica que

‖1− f−1g‖ < 1

2y entonces,

‖g−1‖ = ‖g−11‖ = ‖g−1ff−1‖ ≤ ‖g−1f‖‖f−1‖ = ‖(f−1g)−1‖‖f−1‖ ≤ 2‖f−1‖

entonces, la inecuacion

‖f−1g−1‖ = ‖f−11− g−11‖ = ‖f−1gg−1 − g−1f−1f‖ = ‖f−1(g − f)g−1‖

≤ 2‖f−1‖2‖f − g‖muestra que la aplicacion f → f−1 es continuo.

Hay otro grupo que es importante para algunos problemas.

Proposicion 2.4. Sea B un Algebra de Banach, ℘ el grupo de los elementosinvertibles de B, y ℘o la componente conexa en ℘ que contiene la identidad.Entonces, ℘o es un subgrupo normal abierto y cerrado de ℘, las clases de ℘oson las componentes de ℘ y ℘/℘o es el grupo discreto.

Demostracion. Como ℘ es un subgrupo abierto de un espacio localmente conexo,sus componentes son subconjuntos de ℘ abiertos y cerrados.Mas aun, si f, g ∈ ℘o, entonces f℘o es un subconjunto conexo de ℘ que contienea fg y a f . Por lo tanto, ℘o∪f℘0 es conexo y, entonces, contiene a ℘0. Ademas,fg esta en ℘o con lo que ℘o es un semigrupo.

Similarmente, f−1℘o ∪ ℘o es conexo, con lo que queda contenido en ℘o, ypor lo tanto ℘0 es un subgrupo de ℘. Por ultimo, si f ∈ ℘, entonces el grupoconjugado f℘of

−1 es un subgrupo conexo conteniendo la identidad y, por ende,f℘of

−1 = ℘o. Ademas, ℘o es un subgrupo normal de ℘ y ℘/℘o es un grupo.Mas aun, como f℘o es un subconjunto conexo abierto y cerrado de ℘ para

cada f ∈ ℘, las clases de ℘o son las componentes de ℘. Por ultimo, ℘/℘o esdiscreto ya que ℘o es un subconjunto abierto y cerrado de ℘.


Definicion 2.3. Si B es un algebra de Banach, entonces el grupo de los ındicesabstractos para B, denotado

∧B, es el grupo discreto cociente ℘/℘0. Maa aun,

el ındice abstracto es un homomorfismo natural γ de ℘ a∧

B.

Definicion 2.4. Si B es un algebra de Banach, entonces la aplicacion expo-nencial en B, denotado exp, esta definido por

exp(f) =

∞∑n=0

1

n!fn

La convergencia absoluta de esta serie esta establecida igual que en el casoescalar, de donde se concluye la continuidad de exp. Si B no es conmutativo,entonces varias de las propiedades familiares de la funcion exponencial no semantienen.

Lema 2.1. Si B es un algebra de Banach y f, g ∈ B que conmutan, entoncesexp(f + g) = exp(f) + exp(g)

Demostracion.

exp(f + g) =∑n

(f + g)n

n!=∑n

1

n!

∑a+b=n

(n

a

)fagb =

=∑n

n!

n!

∑a+b=n

fa

a!

gb

b!=∑a,b

fa

a!

gb

b!=

= exp(f)exp(g)

En un algebra de Banach en geneal, es dificil determinar los elementos en elrango de la aplicacion exponencial, esto es, los elementos que tienen un “loga-ritmo”.

Lema 2.2. Si B es un algebra de Banach y f ∈ B tal que ‖1−f‖ < 1, entoncesf ∈ exp(B)

Demostracion. Sea g =

∞∑n=1

1

n(1−f)n, entonces la serie converge absolutamente

y, como en el caso escalar, sustituimos esta serie por la serie de exp(g), tenemosque exp(g) = f .

Este lema sirve para dar una condicion suficiente para determinar que ele-mentos tienen un “logaritmo”

Aunque es dificil caracterizar a exp(B) para una algebra de Banach arbi-traria, la coleccion de productos finitos de elementos en exp(B) es un objetofamiliar.


Teorema 2.1. Si B es un algebra de Banach, entonces la coleccion de productosfinitos de elementos en exp(B) es ℘o

Demostracion. Si f = exp(g), entonces f.exp(−g) = exp(g−g) = 1 = exp(−g).f ,luego, f ∈ ℘.

Mas aun, la aplicacion φ : [0, 1] → exp(B), definido por φ(λ) = exp(λg) esuna linea conectando 1 con f y, luego, f ∈ ℘o. Ademas, exp(B) esta contenidoen ℘o. Tambien, si F denota la coleccion de productos finitos de elementos deexp(B), entonces F es un subgrupo contenido en ℘o. Mas aun, por el lemaprevio, F contiene un conjunto abierto y, luego, F siendo un subgrupo, resultaser un conjunto abierto. Por ultimo, como cada una de las clases a izquierdade F es un conjunto abierto, conseguimos que F es un subconjunto abierto ycerrado de ℘o. Como ℘o es conexo, concluimos que ℘o = F , con lo que quedacompleta la demostracion.

Corolario 2.2. Si B es un algebra de Banach conmutativa, entoncesexp(B) = ℘o

Demostracion. Por el lema 2.1, si B es conmutativo, entonces exp(B) es unsubgrupo

Este corolario muestra que el problema de identificar los elementos de unalgebra de Banach conmutativo que tienen un logaritmo es mucho mas sencillo.


2.2. Un poco de topologıa algebraica

Ahora vamos a identificar el grupo de ındices abstractos para C(X ) con unobjeto mas familiar de topologia algebraica. Esta identificacion es valida paraalgebras de Banach arbitrarias conmutativas.

Observacion 2.2. Sea X un espacio compacto Hausdorff y sea ℘ los elementosinvertibles de C(X ). Luego, una funcion f ∈ C(X ) esta en ℘ sı y solo sıf(x) 6= 0, ∀x ∈ X , esto es, ℘ consiste de las funciones continuas de X aC∗ = C \ {0}. Como ℘ es localmente arcoconexo, una funcion f esta en ℘o siexiste un arco continuo {fλ}λ∈[0,1] de funciones en ℘ tales que f0 = 1 y f1 = f .Si definimos la funcion F : X × [0,1]→ C∗, tal que F (x, λ) = fλ(x), entonces Fes continua, F (x, 0) = 1 y F (x, 1) = f(x), ∀x ∈ X . Luego, f es homotopico a lafuncion constante 1. Inversamente, si g es una funcion en ℘ que es homotopicaa 1, entonces g ∈ ℘o. Similarmente, dos funciones g1, g2 ∈ ℘ representan elmismo elemento de

∧= ℘/℘o sı y solo sı g1 es homotopica a g2. Ademas,

∧es

el grupo de las clases de homotopıa de las aplicaciones de X a C∗

Definicion 2.5. Si X es un espacio compacto Hausdorff, entonces el primergrupo cohomotopico π1(X ) de X es el grupo de homotopias de las clases deaplicaciones continuas de X al grupo del circulo T con la multiplicacion puntual.

Teorema 2.2. Si X es un espacio compacto Hausdorff, entonces el grupo deındices abstractos

∧de C(X ) y π1(X ) son naturalmente isomorfos.

Demostracion. Definimos la aplicacion Φ : π1(X ) →∧

de la siguiente manera:Una funcion continua f : X → T determina, primero un elemento {f} de π1(X )y segundo, visto como una funcion invertible en X , determina la clase f + ℘ode∧

. Definimos ahora Φ({f}) = f + ℘o. Para ver, sin embargo, que Φ estabien definido, necesitamos observar que si g es una funcion continua de X a Ttal que {f} = {g}, entonces f es homotopica a g y, luego, f + ℘o = g + ℘o.Mas aun, como la multiplicacion tanto en π1(X ) como en ℘ estan definidaspuntualmente, la aplicacion Φ es obviamente un homomorfismo. Solo falta verque Φ es inyectiva y suryectiva.

suryectiva: sea f un elemento invertible de C(X ). Definimos la funcion

F : X × [0,1]→ C∗ de forma que F (x, t) =f(x)

|f(x)|t.

Entonces F es continua, F (x, 0) = f(x), x ∈ X y g(x) = F (x, 1) tienemodulo 1 para x ∈ X . Luego, f + ℘o = g + ℘o, con lo que Φ({g})f + ℘o,concluyendo que Φ es suryectiva.

inyectiva: Si f, g son funciones continuas de X a T, tales queΦ({f}) = Φ({g}), entonces f es homotopica a g en las funciones en ℘, estoes, existe una funcion continua G : X × [0,1]→ C∗ tal que G(x, 0) = f(x)y

G(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X . Sin embargo, si definimos F (x, t) =G(x, t)

|G(x, t)|,


entonces F es continua y establece que f y g son homotopicas en la clasesde las funciones continuas de X a T. Ademas, {f} = {g} y, por lo tanto,Φ es inyectiva.

El resultado anterior es usualmente dicho de una manera un poquito dife-rente.

Corolario 2.3. Si X es un espacio compacto Hausdorff, entonces∧

es natural-mente isomorfo al primer grupo Cech cohomologico H1(X ,Z) con coeficientesenteros.

Estos resultados nos permiten determinar el grupo de indices abstractos dealgebras de Banach conmutativas.

Corolario 2.4. El grupo de indices abstractos de C(T) es isomorfo a Z

Demostracion. El primer grupo cohomotopico de T es el mismo primer grupohomotopico de T y, por lo tanto, es Z.

Definicion 2.6. Sea B un algebra de Banach. Un funcional lineal complejoϕ ∈ B se dice multiplicativo si:

1. ϕ(fg) = ϕ(f)ϕ(g), ∀f, g ∈ B

2. ϕ(1) = 1

El grupo de todos los funcionales lineales multiplicativos en B es denotado porM =MB

Proposicion 2.5. Si B es un algebra de Banach y ϕ ∈M, entonces ‖ϕ‖ = 1

Demostracion. Sea R = ker(ϕ) = {f ∈ B : ϕ(f) = 0}. Como ϕ(f−ϕ(f)1) = 0,tenemos que cada elemento en B puede ser escrito en la forma λ+ f para algunλ ∈ C, f ∈ R. Ası,

‖ϕ‖ = supg 6=0

|ϕ(g)|‖g‖

= supf∈Rλ6=0

|ϕ(λ+ f)|‖λ+ f‖

= supf∈Rλ 6=0

|λ|‖λ+ f‖

= suph∈R

1

‖1 + h‖= 1

porque ‖1 + h‖ < 1 implica que h es invertible por la proposicion 2.2, queimplica que h no esta en R. Por lo tanto, ‖ϕ‖ = 1 y la demostracion es completa.

Proposicion 2.6. Si B es un algebra de Banach, entoncesM es un subconjuntow∗ − compacto de (B∗)1

Demostracion. Sea {ϕα}α∈A una red de funcionales lineales multiplicativos enM que converge con la w∗− topologıa en (B∗)1 a ϕ ∈ (B)1. Para ver queM esw∗−compacto, es suficiente, debido al teorema 1.5 probar que ϕ es multiplicativoy ϕ(1) = 1.


ϕ(1) = 1:ϕ(1) = lım

α∈Aϕα(1) = lım

α∈A1 = 1

multiplicatividad: Sean f, g ∈ B, tenemos

ϕ(fg) = lımα∈A

ϕα(fg) = lımα∈A

ϕα(f)ϕα(g) = lımα∈A

ϕα(f) lımα∈A

ϕα(g) = ϕ(f).ϕ(g)

Luego, ϕ ∈M y la demostracion queda completa.

Ademas,M es un espacio compacto Hausdorff con la w∗−topologıa relativa.Recordemos que para cada f ∈ B hay una funcion w∗ − continuaf : (B∗)1 → C dado por f(ϕ) = ϕ(f). Como M esta contenido en (B∗)1,

entonces f |M tambien es continua.


2.3. Gelfand

Definicion 2.7. Para un algebra de Banach B, la transformacion de Gel-fand es la funcion Γ : B→ C(M) dada por Γ(f) = f |M, esto es,Γ(f)(ϕ) = ϕ(f) para ϕ ∈M

Propiedades elementales de la transformada de GelfandSi B es un algebra de Banach y Γ es la transformada de Gelfand en B,

entonces:

(1) Γ es un homomorfismo de algebras

(2) ‖Γf‖∞ ≤ ‖f‖ para f ∈ B

Demostracion.

Sean f, g, h ∈ B. Tenemos que

Γ(f(g + h))(ϕ) = Γ(fg + fh)(ϕ) = ϕ(fg) + ϕ(fh) = [Γ(fg) + Γ(fh)](ϕ)

Y ahora, sean f, g ∈ B. Tenemos

Γ(fg)(ϕ) = ϕ(fg) = ϕ(f)ϕ(g) = Γ(f)(ϕ).Γ(g)(ϕ) = {Γ(f).Γ(g)} (ϕ)

y luego Γ es multiplicativa.

Veamos que Γ es contractil.

Sea f ∈ B, entonces

‖Γf‖∞ = ‖f |M‖∞ ≤ ‖f‖∞ = ‖f‖

Observacion 2.3. Veamos algunas propiedades de la transformacion de Gel-fand. Notemos primero que Γ manda todos los elementos de la forma fg − gfa 0. Ademas, si B no es conmutativo, entonces la subalgebra de C(M) que esel rango de Γ puede fallar al reflejar las propiedades de B.

Sin embargo, en el caso conmutativo, M no solo es no vacıo, sino suficien-temente grande de manera que el invertible de f ∈ B esta determinado porel invertible de Γf ∈ C(M). Este hecho convierte a la transformada de Gel-fand en una herramienta poderosa para el estudio de las algebras de Banachconmutativas.

Definicion 2.8. Sea B un algebra de Banach, f ∈ B. Definimos el espectrode f al conjunto

σB(f) = {λ ∈ C : f − λ es no invertible en B}

Y el conjunto resolvente de f es el conjunto

ρB(f) = C \ σB(f)

Mas aun, el radio espectral de f esta definido por

rB(f) = sup{|λ| : λ ∈ σB(f)}


Notacion Cuando no halla confusion, omitiremos escribir el subindice B, ysolo escribiremos σ(f), ρ(f), r(f)

Proposicion 2.7. Si B es un algebra de Banach y f ∈ B, entonces σ(f) escompacto y r(f) ≤ ‖f‖

Demostracion. Definimos la funcion ϕ : C→ B, dada por ϕ(λ) = f −λ. Luego,ϕ es continua y ρ(f) = ϕ−1(℘) es abierto, ya que ℘ es abierto. Ademas, elconjunto σ(f) es cerrado.

Si |λ| > ‖f‖, entonces

1 >‖f‖|λ|

=‖f‖‖λ‖

=

∥∥∥∥1−(

1− f

λ

)∥∥∥∥con lo que 1− f

λes invertible por la proposicion 2.2. Ademas, f−λ es invertible.

Por lo tanto, λ ∈ ρ(f), σ(f) es acotado y, por ende, compacto, y r(f) ≤ ‖f‖

Teorema 2.3. Si B es un algebra de Banach, f ∈ B, entonces σ(f) es novacio.

Demostracion. Consideremos la funcion F : ρ(f)→ B, dada porF (λ) = (f − λ)−1. Veremos que F es una funcion analitica B-valuada en ρ(f)que es acotada en el infinito y usaremos el teorema de Liouville para obtener lacontradiccion.

Primero, como la inversion es continua, tenemos para λ0 ∈ ρ(f) que

lımλ→λ0

{F (λ)− F (λ0)

λ− λ0

}= lımλ→λ0

{(f − λ0)−1[(f − λ0)− (f − λ)](f − λ)−1

λ− λ0

}lımλ→λ0

(f − λ0)−1(f − λ)−1 = (f − λ0)−2

En particular, para ϕ en el espacio conjugado B∗, la funcion ϕ(F ) es unafuncion analıtica compleja en ρ(f).

Mas aun, para |λ| > ‖f‖, tenemos, usando la proposicion 2.2, que 1− f

λes

invertible y ∥∥∥∥∥(

1− f

λ

)−1∥∥∥∥∥ ≤ 1

1−∥∥∥ fλ∥∥∥

Ası, tenemos que

lımλ→∞

‖F (λ)‖ = lımλ→∞

∥∥∥∥∥ 1

λ

(f

λ− 1

)−1∥∥∥∥∥

≤ lım|λ|→∞

sup1

|λ|1

1−∥∥∥∥fλ∥∥∥∥ = 0


Por lo tanto, para ϕ ∈ B∗ tenemos que lımλ→∞

ϕ(F (λ)) = 0

Si ahora asumimos que σ(f) es vacıo, entonces ρ(f) = C. Ası, para ϕ ∈ B∗,tenemos que ϕ(F ) es una funcion entera que desaparece en el infinito. Por elteorema de Lioville, tenemos que ϕ(F ) ≡ 0. En particular, ya que para un λ ∈ Cfijo, tenemos que ϕ(F (λ)) = 0, para cada ϕ ∈ B∗, conseguimos por el corolario1.3 que F (λ) = 0. Ası, sin embargo, tenemos una contradiccion , ya que F (λ)es por definicion un elemento invertible de B. Por lo tanto, σ(f) 6= ∅

Observacion 2.4. Notar que, a pesar de que no asumimos que B sea conmu-tativo, la subalgebra de B generada por 1, f y los elementos de la forma (f −λ)es conmutativa, y el resultado solo nos concierne realmente en esta subalgebra.

Teorema 2.4. (Gelfand-Mazur) Si B es un algebra de Banach que es unalgebra de division, entonces hay un unico isomorfismo isometrico de B haciaC.

Demostracion. Si f ∈ B, entonces σ(f) 6= ∅ por el teorema anterior.Si λf ∈ σ(f), entonces f − λf no es invertible por definicion. Como B es

un algebra de division, entonces f − λf = 0. Mas aun, para λ 6= λf tenemosque f − λ = λf − λ que es invertible. Ası, σ(f) consiste exactamente en unnumero complejo λf para cada f ∈ B. La aplicacion ψ : B → C, dada por

ψ(f) = λf es obviamente un isomorfismo isometrico de B en C. Mas aun, si ψ′

fuera otro, entonces ψ′(f) estarıa en σ(f), implicando que ψ(f) = ψ

′(f). Con

esto, completamos la demostracion.

Algebras Cociente Ahora consideramos la nocion de algebra cociente. SeaB un algebra de Banach y supongamos que M es un ideal cerrado a ambos ladosde B. Como M es un subespacio cerrado de B podemos definir una norma enB/M siguiendo la observacion 1.6 haciendolo entrar en el espacio de Banach. Esmas, ya que M es un ideal a ambos lados en B, tambien sabemos que B/M esun algebra. Luego solo restan verificar dos propiedades para afirmar que B/Mes un algebra de Banach.

Primero, debemos ver que ‖[1]‖ = 1.

‖[1]‖ = ınfg∈M‖1−g‖ = 1, si ‖1−g‖ < 1, entonces g es invertible por la proposicion 2.2

Segundo, para f, g ∈ B, tenemos

‖[f ][g]‖ = ‖[fg]‖ = ınfh∈M

‖fg − h‖

≤ ınfh1,h2∈M

‖(f − h1)(g − h2)‖ ≤ ınfh1∈M

‖f − h1‖ ınfh2∈M

‖g − h2‖

= ‖[f ]‖‖[g]‖

Con lo que ‖[f ][g]‖ ≤ ‖[f ]‖‖[g]‖. Ademas, B/M es un algebra de Banach.Mas aun, la aplicacion natural f → [f ] es un homomorfismo contractivo.


Proposicion 2.8. Si B es un algebra de Banach conmutativa, entonces el con-junto M de funcionales lineales multiplicativos en B tiene correspondencia unoa uno con el conjunto maximal ideales a ambos lados en B

Demostracion. Sea ϕ un funcional lineal multiplicativo en B y seaR = ker ϕ = {f ∈ B : ϕ(f) = 0}. El nucleo R de un homomorfismo es un ideala ambos lados propio y, si f 6∈ R, entonces

1 =

(1− f

ϕ(f)

)+

f

ϕ(f)

Como (1− fϕ(f) ) ∈ R, el span lineal de f con R contiene la identidad 1. Ası,

un ideal conteniendo tanto a R y f tiene que ser todo B ası que R es visto comoun ideal maximal a ambos lados.

Supongamos que M es un ideal propio a ambos lados de B. Como cadaelemento f ∈ M es no invertible, entonces ‖1 − f‖ ≥ 1 por la proposicion 2.2.Ası 1 no es la clausura de M. Mas aun, ya que la clausura M de M es obviamenteun ideal a ambos lados y M ⊂ M ( B, entonces M = M y M es cerrado. Elalgebra cociente B/M es un algebra de Banach que es un algebra de division,porque M es maximal y B es conmutativo. Ası, por el teorema de Gelfand-Mazur, hay un isomorfismo isometrico natural ψ de B/M en C. Si π denota elhomomorfismo natural de B en B/M, entonces la composicion ϕ = ψπ es unfuncional lineal multiplicativo distinto de 0 en B. Ası, ϕ ∈M, M = ker (ϕ).

Por ultimo, queremos ver que la correspondencia ϕ↔ ker (ϕ) es inyectiva.Sean ϕ1, ϕ2 ∈M con ker (ϕ1) = ker (ϕ2) = M, entonces

ϕ1(f)− ϕ2(f) = (f − ϕ2(f))− (f − ϕ1(f))

estan ambos en M y un multiplo escalar de la identidad para cada f en By, por ende, debe ser 0. Por lo tanto, ker (ϕ1) = ker (ϕ2) implica que ϕ1 = ϕ2,con lo que termina la demostracion.

Proposicion 2.9. Si B es un algebra de Banach conmutativa y f ∈ B, entoncesf es invertible en B sı y solo sı Γ(f) es invertible en C(M)

Demostracion. Si f es invertible en B, Γ(f−1) es el inverso de Γ(f). Si f noes invertible en B, entonces M0 = gf : g ∈ B es un ideal propio de B ya que1 /∈ M0. Como B es conmutativo, M0 esta contenido en algun ideal maximalde M. Por la proposicion anterior, existe ϕ ∈M tal que ker (ϕ) = M

Ası, Γ(f)(ϕ) = ϕ(f) = 0, con lo que Γ(f) no es invertible en C(M)

Ahora sumamos los resultados para el caso conmutativo

Teorema 2.5. (Gelfand) Si B es un algebra de Banach conmutativa, M essu espacio maximal ideal y Γ : B → C(M) es la transformacion de Gelfand,entonces:

1. M es no vacio


2. Γ es un homomorfismo de algebras

3. ‖Γf‖∞ ≤ ‖f‖, f ∈ B

4. f es invertible en B sı y solo sı Γ(f) es invertible en C(M)

El hecho crucial acerca el item 4, es que se refiere a Γ(f) siendo invertibleen C(M) mas que en el rango de Γ.

Corolario 2.5. Si B es un algebra de Banach conmutativa, f ∈ B, entoncesσ(f) = rango Γf y r(f) = ‖Γf‖∞

Demostracion. Si λ /∈ σ(f), entonces f − λ es invertible en B por definicion.Esto implica que Γ(f)− λ es invertible en C(M), lo que implica que(Γf − λ)(ϕ) 6= 0, ϕ ∈ M. Ası, (Γf)(ϕ) 6= λ, ϕ ∈ M. Si λ no esta en elrango de Γf entonces Γf −λ es invertible en C(M) y, por ende, por el teoremaanterior, f − λ es invertible en B. Por lo tanto, λ 6∈ σ(f), completando lademostracion.

Si ϕ(z) =

∞∑n=0

anzn es una funcion entera con coeficientes complejos y f ∈ B,

donde B es un algebra de Banach, entonces ϕ(f) denota

el elemento

∞∑n=0

anfn ∈ B

Corolario 2.6. (Theorema de la aplicacion espectral) Si B es un algebrade Banach, f ∈ B, ϕ funcion entera en C, entonces

σ(ϕ(f))ϕ(σ(f)) = {ϕ(λ) : λ ∈ σ(f)}

Demostracion. Si ϕ(z) =

∞∑n=0

anzn es la expancion en forma de Taylor de ϕ,

entonces ϕ(f) =

∞∑n=0

anfn converge a un elemento en B. Si B0 es la subalgebra

de B generada por 1, f y los elementos de la forma (f − λ)−1 para λ ∈ ρ(f)y (ϕ(f)− µ)−1, µ ∈ ρ(ϕ(f)), entonces B0 es conmutativo y σB(f) = σB0

(f) yσB(ϕ(f)) = σB0

(ϕ(f)). Ası, podemos asumir que B es conmutativo y usar laTransformada de Gelfand.

Usando el corolario anterior, tenemos

σ(ϕ(f)) = rango Γ(ϕ(f)) = rango ϕ(Γf)

ϕ(rango Γf) = ϕ(σ(f))

ya que Γ(ϕ(f)) = ϕ(Γf) por continuidad.

Teorema 2.6. Si B es un algebra de Banach, f ∈ B, entoncesrB(f) = lım

n→∞‖fn‖ 1

n


Demostracion. Sea B0 el subalgebra cerrada de B generada por la identi-dad, f y {(fn − λ)−1 : λ ∈ ρB(fn), n ∈ Z+}, entonces B0 es conmutati-vo y σB0

(fn) = σB(fn), ∀n ∈ Z+. Por el corolario anterior, tenemos queσB0

(fn) = σB0(f)n y, por lo tanto, rB(f)n = rB(fn) ≤ ‖fn‖; ası, la desigual-

dad rB(f) ≤ lım ınfn→∞

‖fn‖ 1n vale.

Ahora, consideramos la funcion analıtica

G(λ) = −λ∞∑n=0

fn

λn

la cual, converge para |λ| > lım supn→∞

‖fn‖ 1n por la proposicion 1.4

para |λ| > ‖f‖, tenemos que G(λ) = (f − λ)−1 y, por lo tanto,

(f − λ)G(λ) = G(λ)(f − λ) = 1 para |λ| > lım supn→∞

‖fn‖ 1n

AsırB(f) ≥ lım sup

n→∞‖fn‖ 1

n ≥ lım supn→∞

‖fn‖ 1n ≥ rB(f)

con lo que se termina la demostracion.

Corolario 2.7. Sea B un algebra de Banach conmutativa, entonces la trans-formacion de Gelfand es una isometrıa sı y solo sı ‖f2‖ = ‖f‖2, ∀f ∈ B

Demostracion. Como r(f) = ‖ΓBf‖∞ con f ∈ B, por el corolario 2.5, vemosque Γ es una isometrıa sı y solo sı r(f) = ‖f‖, con f ∈ B. Mas aun, ya quer(f2) = r(f)2 por el corolario 2.6, conseguimos el resultado.


2.4. Subalgebreas autoadjuntas de C(X ), para X un espa-cio compacto Hausdorff

Primero empezamos con la generalizacion de Stone del clasico teorema deWeierstrass en la densidad de las polinomiales. Un subconjunto U de C(X ) sedice autoadjunto si f ∈ U implica que f ∈ U

Teorema 2.7. (Stone-Weierstrass) Sea X un espacio compacto Hausdorff.Si U es una subalgebra cerrada autoadjunta de C(X ) que separa puntos de X ycontiene a la funcion constante 1, entonces U = C(X )

Demostracion. Si Ur denota el conjunto de las funciones reales en U, entoncesUr es una subalgebra cerrada del algebra real Cr(X ) de funciones continuas enX que separa puntos y contiene la funcion 1. Mas aun, el teorema se reduce amostrar que Ur = Cr(X )

Empecemos viendo que si f ∈ Ur implica que |f | ∈ Ur. Recordemos que la

serie binomial de la funcion ϕ(t) = (1− t) 12 es

∞∑n=0

αntn,

donde αn = (−1)n( 1

2n

). Luego, es una consecuencia del teorema de comparacion

que la serie {N∑n=0

αntn}∞N=1 converge uniformemente a ϕ en el intervalo cerrado

[0,1− δ], δ > 0. Sea f ∈ Ur, tal que ‖f‖∞ ≤ 1, y sea gδ = δ+ (1− δ)2, δ ∈ (0,1];

entonces 0 ≤ 1 − gδ ≤ 1 − δ. Para un δ > 0 fijo, sea hN =

N∑n=0

αn(1 − gδ)n.

Luego, hN ∈ Ur y

‖hN − (gδ)12 ‖∞ = sup

x∈X

∣∣∣∣∣N∑n=0

αn(1− gδ(x))n − ϕ(1− gδ(x))

∣∣∣∣∣≤ supt∈[0,1−δ]

∣∣∣∣∣N∑n=0

αntn − ϕ(t)

∣∣∣∣∣Por lo tanto, lım

N→∞‖hN − (gδ)

12 ‖∞ = 0, implicando que (gδ)

12 ∈ Ur. Ahora,

como la funcion raız cuadrada es uniformemente continua en [0,1], tenemos que

lımδ→0‖|f | − (gδ)

12 ‖∞ = 0, y ası |f | ∈ Ur.

El siguiente paso, es ver que Ur es un retıculo, esto es, para f, g ∈ Ur, lasfunciones f ∨ g y f ∧ g estan en Ur, donde (f ∨ g)(x) = max{f(x), g(x)} y(f ∧ g)(x) = mın{f(x), g(x)}. Esto sale de las identidades

f ∨ g =1

2{f + g + |f − g|} y f ∧ g =

1

2{f + g − |f − g|}

Mas aun, si x, y ∈ X , x 6= y y a, b ∈ R, f ∈ Ur tal que f(x) 6= f(y), entoncesla funcion g definida por

g(z) = a+ (b− a)f(z)− f(x)

f(y)− f(x)


esta en Ur y tiene la propiedad que g(x) = a, g(y) = b. Ası, existe una funcionen Ur tomando valores prescriptos en dos puntos.

Ahora terminamos la demostracion. Tomemos f ∈ Cr(X ) y ε > 0. Fijemosx0 ∈ X . Para cada x ∈ X , podemos encontrar una gx ∈ Ur tal quegx(x0) = f(x0) y gx(x) = f(x). Como f, g son continuas, existe un conjuntoabierto Ux de x tal que gx(y) ≤ f(y) + ε, ∀y ∈ Ux. La coleccion de con-juntos abiertos {UX}x∈X cubren a X , y ası, usando la compacidad, tenemosun subcubrimiento finito {Uxi}ni=1. Sea hx0

= gx1∨ gx2

∨ . . . ∨ gxn . Entonceshx0∈ Ur, hx0

(x0) = f(x0) y hx0(y) ≤ f(y) + ε, y ∈ X

Ası, para cada x0 ∈ X , ∃hx0∈ Ur tal que hx0

(x0) = f(x0) yhx0(y) ≤ f(y)+ε, para y ∈ X . Ya que hx0 y f son continuas, existe un conjuntoabierto Vx0 de x0 tal que hx0(y) ≥ f(y) − ε, y ∈ Vx0 . De nuevo, la familia{Vx0}x0∈X cubre a X y, por lo tanto, existe un subcubrimiento finito {Vxj}mj=1.

Si llamamos k = hx1∧hx2

∧ . . .∧hxm , entonces k ∈ Ur, f(y)−ε ≤ k(y) ≤ f(y)+ε, y ∈ X . Por lo tanto, ‖f − k‖∞ ≤ ε y la demostracion queda completa.

Observacion 2.5. Si [a, b] es un intervalo cerrado de R, entonces la coleccion

de polinomiales {N∑n=0

αntn} con coeficientes complejos, es una subalgebra auto-

adjunta de C([a, b]) que separa puntos y contiene la funcion constante 1. Ası,su clausura debe ser C([a, b]), y esto es lo que dice el teoprema de Weierstrass.

Ahora, consideremos las subalgebras cerradas autoadjuntas de C(X ) conte-niendo la funcion constante 1, que no separa puntos y vemos que pueden serdefinidas como C(Y) para algun Y un espacio compacto Hausdorff.

Sea X un espacio compacto Hausdorff y U una subalgebra cerrada de C(X )que contiene a las funciones constantes. Para x ∈ X , sea ϕx el funcional linealmultiplicativo en MU dado por ϕx(f) = f(x). La siguiente proposicion es deinteres, incluso en los casos no autoadjuntos.

Proposicion 2.10. Sea η : X →MU tal que η(x) = ϕx, entonces η es continua.

Demostracion. Si {xα}α∈∆ es una red en X que converge a x, entonceslımα→∆

f(xα) = f(x), f ∈ U. Por lo tanto, lımα∈∆

ϕxα(f) = ϕx(f) y luego, lımα∈∆

η(xα) =

η(x) en la topologıa de MU. Ası, η es continuo.

Observacion 2.6. En general, η no es ni inyectiva ni suryectiva. Sin embargo,la propiedad de suryectividad se mantiene si U es autoadjunto.

Proposicion 2.11. Si U es autoadjunto, entonces η : X →MU es suryectiva

Demostracion. Fijemos ϕ ∈ MU y sea Kf = {x ∈ X : f(x) = ϕ(f)}. Primeroque nada, cada Kf es un subconjunto cerrado de X , ya que f es continua. Ensegundo lugar, queremos ver que no solo cada Kf 6= ∅, sino que la coleccion deconjuntos {Kf : f ∈ U} tiene la propiedad de interseccion finita. Supongamos

Kf1 ∩Kf2 ∩ . . . ∩Kfn = ∅


para funciones f1, f2, . . . , fn ∈ U. Entonces, la funcion

g(x) =

n∑i=1

|fi(x)− ϕ(fi)|2

no se anula en X . Mas aun, g ∈ U por ser un algebra autoadjunta. Pero g(x) > 0para x ∈ X , y, el hecho de que X es compacto implica que ∃ε > 0 tal que

1 ≥ g(x)

‖g‖∞≥ ε y ya que ‖1 − (

g

‖g‖∞)‖∞ < 1. Pero entonces, g−1 ∈ U debido a

la proposicion 2.2 que implica que ϕ(g) 6= 0. Sin embargo,

ϕ(g) =

n∑i=1

(ϕ(fi)− ϕ(fi))(ϕ(fi)− ϕ(fI)) = 0

que es una contradiccion. Ası, la coleccion {Kf : f ∈ U} tiene la propiedad de

interseccion finita. Si x ∈⋂f∈U

Kf , entonces η(x) = ϕ y la demostracion queda

completa.

Proposicion 2.12. Si U es una subalgebra cerrada autoadjunta de C(X ) con-teniendo la funcion constante 1, entonces la transformada de Gelfand Γ es unisomorfismo isometrico de U en C(MU)

Demostracion. Para f ∈ U ∃x0 ∈ X tal que f(x0) = ‖f‖∞, pues X es compacto.Por lo tanto,

‖f‖∞ ≥ ‖Γf‖∞ = supϕ∈MU

|(Γf)(ϕ)| ≥ |(Γf)(ηx0)| = f(x0) = ‖f‖∞,

y luego Γ es una isometrıa. Ya que Γ es conocido por ser un isomorfismo al-gebraico, solo falta ver que Γ es suryectivo. El rango de Γ es una subalgebrade C(MU) que contiene 1, ya que Γ1 = 1, es uniformemente cerrado ya que Γes una isometrıa, y separa puntos. Mas aun, ya que por la proposicion anteriorpara ϕ ∈MU, ∃x ∈ X tal que ηx = ϕ, tenemos para f ∈ U que

(Γf)(ϕ) = (Γf)(ϕ) = (Γf)(ηx) = f(x) = f(x) = Γ(f)(ηx) = Γ(f)(ϕ)

Por lo tanto, Γf = Γ(f) y ΓU es autoadjunto porque U lo es. Por el teore-ma de Stone-Weierstrass, tenemos que ΓU = C(MU) y la demostracion quedacompleta.

Lema 2.3. Sea X e Y espacios compactos Hausdorff y θ : X → Y continuo.La aplicacion θ∗, definida por θ∗f = f ◦ θ de C(Y) en C(X ) es un isomorfismoisometrico en la subalgebra de funciones continuas en X , que son constantes enla particion cerrada {θ−1(y) : y ∈ Y} de X .

Demostracion. θ∗ es un isomorfismo isometrico de C(Y) en C(X ) Ahora, dadox1, x2 ∈ {θ−1(y) : y ∈ Y}, tenemos que, por un lado, f(θ(x1)) = f(y), y,


por el otro, que f(θ(x2)) = f(y), con lo que f ◦ θ es constante en la particion{θ−1(y) : y ∈ Y}.

Ahora, supongamos que g es continua en X y constante en cada uno de losconjuntos θ−1(y), y ∈ Y. Podemos definir sin ambiguedad una funcion f enY tal que f ◦ θ = g; la unica pregunta es si esta f es continua. Supongamosque {yα}α∈Λ una red de puntos en Y, e y ∈ Y tal que lım

α∈Λyα = y. Elijamos

xα ∈ θ−1(yα) para cada α ∈ Λ y consideremos la red {xα}α∈Λ. En general,lımα∈Λ

xα 6= ∃; sin embargo, ya que X es compacto existe una subred {xαβ}β∈Υ

y x ∈ X tal que lımβ∈Υ

xαβ = x. Como θ es continuo, tenemos que θ(x) = y y

lımβ∈Υ

g(xαβ ) = g(x) = f(y); ası f es continua y la demostracion se completa.

Proposicion 2.13. Si U es un subalgebra cerrada autoadjunta de C(X ) conte-niendo la funcion constante 1, y η : X → MU, entonces η∗ es un isomorfismoisometrico de C(MU) en U que es la inversa a izquierda de la transformada deGelfand, esto es, η∗ ◦ Γ = 1

Demostracion. Para f ∈ U, x ∈ X , tenemos que((η∗ ◦ Γ)f)(x) = (Γf)(ηx) = f(x)

Por lo tanto, η∗ es la inversa a isquierda de la transformacion de Gelfand.Ya que Γ aplica U en C(MU) por la proposicion 2.12, tenemos que η∗ aplicaC(MU) en U

Terminologıa Para un conjunto X y una coleccion de funciones U de X ,definimos la relacion de equivalencia en X de la siguiente manera: dados dospuntos x1, x2 ∈ X , estan relacionados si f(x1) = f(x2) para toda f ∈ U. Estarelacion particiona X en conjuntos en los que las funciones en U son constantes.Sea ΠU la coleccion de subconjuntos de esta particion.

Con esta notacion, vamos a probar el teorema de Stone-Weierstrass genera-lizado.

Teorema 2.8. Sea X un espacio compacto Hausdorff, U una subalgebra cerradaautoadjunta de C(X ) que contiene a las constantes. Entonces U es la coleccionde funciones continuas en X que son constantes en los conjuntos de ΠU

Demostracion. Esta demostracion surge de combinar el lema 2.3 y la proposicion2.13

Si U separa puntos de X , entonces ΠU consiste de conjuntos de un solo puntoy el teorema de Stone-Weierstrass se cumple.


2.5. Algebras de funciones

Observacion 2.7. Como ya hemos visto, las subalgebras autoadjuntas de C(X )son todas de la forma C(Y) para el mismo espacio compacto Hausdorff Y. SeaU una subalgebra cerrada de C(X ) que contiene a las funciones constantes.Si denotamos B al subalgebra cerrada autoadjunta mas pequena de C(X ) quecontiene a U, entonces B es un isomorfismo isometrico hacia C(Y), donde Y esel espacio ideal maximal de B, y la transformacion de Gelfand Γ implementa elisomorfismo. Entonces, ΓU es una subalgebra cerrada de C(Y) que contiene a lasfunciones constantes y, mas importante, separa puntos de Y. Por lo tanto, Masque estudiar U como subalgebra de C(X ), elegimos estudiar ΓU como subalgebrade C(Y). Ası, llegamos a la siguiente definicion.

Definicion 2.9. Sea X un espacio compacto Hausdorff, U un subconjunto deC(X ). Entonces U se dice que es un Algebra de funcion si U es una subalgebracerrada de C(X ) que separa puntos y contiene a las funciones constantes.

Ejemplo 2. Sea T el grupo {z ∈ C : |z| = 1}. Para n ∈ Z, sea χn la funcionen T definida por χn(z) = zn. Entonces,

χ0 = 1

χ−n = χn

χmχn = χm+n, n,m ∈ Z.

Las funciones en el conjunto

P =

{N∑

n=−Nαnχn : αn ∈ C

}

son llamadas las polinomiales trigonometricas. Como P es una subalgebra au-toadjunta de C(T) que contiene a las funciones constantes y separa puntos, en-tonces la clausura uniforme de P es C(T) por el teorema de Stone-Weierstrass.

Sea P+ = {N∑n=0

αnχn : αn ∈ C}; las funciones en P+ son llamadas polino-

miales trigonometricos analıticos. Si llamamos A la clausura uniforme de P+

en C(T ), entonces A es un algebra de funcion, pero a este punto no es obvioque A 6= C(T). Veremos esto probando que el espacio ideal maximal de A no esT. Para esto necesitamos un lema.

Lema 2.4. Si

N∑n=0

αnχn ∈P+, w ∈ C : |w| < 1, entonces

N∑n=0

αnwn =

1

2π

∫ 2π

0

(N∑n=0

αnχn

)(eit)

1

1− we−itdt


Demostracion. Expandamos1

(1− we−it)=

∞∑m=0

(we−it)m, donde la serie con-

verge uniformemente para t ∈ [0,2π]. Por lo tanto,

1

2π

∫ 2π

0

(N∑n=0

αnχn

)(eit)

1

1− we−itdt =

1

2π

N∑n=0

αn

∞∑m=0

wm∫ 2π

0

ei(n−m)tdt

1

2π

N∑n=0

αnwn

ya que1

2π

∫ 2π

0

eitkdt = 1, si k = 0, y 0 si k 6= 0

Observacion 2.8. Ahora, para w ∈ C, |w| < 1, definimos ϕw ∈P de maneraque

ϕw

(N∑n=0

αnχn

)=

N∑n=0

αnwn

Para ver que ϕw es un funcional lineal multiplicativo en P+, lo menos visiblees la propiedad multiplicativa. Veamos que

ϕw(

N∑n=0

αnχn

M∑j=0

βjχj) = ϕw(

N∑n=0

αnχn)ϕw(

M∑j=0

βjχj)

Por un lado, tenemos que

ϕw(

N∑n=0

αnχn

M∑j=0

βjχj) = ϕw(

N∑n=0

M∑j=0

αnχnβjχj) =

N∑n=0

M∑j=0

αnwnβjw

j

=

N∑n=0

M∑j=0

αnβjwn+j

por ser dos sumas finitas.Por otro lado, tenemos que

ϕw(

N∑n=0

αnχn)ϕw(

M∑j=0

βjχj) =

N∑n=0

αnwnM∑j=0

βjwj

=

N∑n=0

M∑j=0

αnwnβjw

j =

N∑n=0

M∑j=0

αnβjwn+j

nuevamente por ser una suma finita.


Sin embargo, ya que P+ no es un algebra de Banach, esto es, P+ no escompleto, no podemos concluir a priori que ϕw es continuo. Pero, por el lemaanterior, concluimos que∣∣∣∣∣ϕw

(N∑n=0

αnχn

)∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣N∑n=0

αnwn

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0

(N∑n=0

αnχn

)(eit)

1

1− we−itdt

∣∣∣∣∣≤ 1

2π

∥∥∥∥∥N∑n=0

αnχn

∥∥∥∥∥∞

∫ 2π

0

1

|1− we−it|dt

Por lo tanto, ϕw esta acotado en P+ y luego puede ser extendido a unfuncional lineal multiplicativo en A.

Ahora, para w ∈ C, |w| = 1, sea ϕw el funcional evaluacion en A, esto es,ϕw(f) = f(w), f ∈ A. El ultimo esta bien definido, porque A ⊂ C(T)

Ahora, sea B = {z ∈ C : |z| ≤ 1}, llamemos X al espacio ideal maximal deA, y sea ψ : D→M, dada por ψ(z) = ϕz

Teorema 2.9. La funcion ψ es un homeomorfismo de D en el espacio idealmaximal M de A

Demostracion. Por la observacion anterior, vemos que ψ esta bien definida. Siz1, z2 ∈ D, entonces ψ(z1) = ψ(z2) implica que z1 = ϕz1(χ1) = ϕz2(χ1) = z2;ası ψ es inyectiva.

Si ϕ ∈ M, entonces ‖χ1‖ = 1 implica que z = ϕ(χ1) ∈ D. Mas aun, laidentidad

ϕ

(N∑n=0

αnχn

)=

N∑n=0

αn[ϕ(χ1)]n

=

N∑n=0

αnzn = ϕz

(N∑n=0

αnχn

)prueba que ϕ coincide con ϕz en el conjunto denso P+ en A. Por lo tanto,ϕ = ϕz y ψ es suryectiva en M

Como ambos D y M son espacios compactos Hausdorff y ψ es inyectivay suryectiva, para completar la demostracion solo es suficiente ver que ψ escontinua. Para esto, supongamos que {zβ}β∈Ψ es una red en D tal quelımβ∈Ψ

zβ = z. Como supβ∈Ψ{‖ϕzβ‖} = 1 y P+ es denso en A, y ya que

lımβ∈Ψ

ϕzβ

(N∑n=0

αnχn

)= lımβ∈Ψ

(N∑n=0

αnznβ

)=

N∑n=0

αnzn

= ϕz

(N∑n=0

αnχn

)

para cada funcion

N∑n=0

αnχn ∈P+, conseguimos, por la proposicion 1.5, que ψ

es continua.


Observacion 2.9. Por la proposicion 2.1 sabemos que el espacio ideal maximalde C(T) es solo T. Acabamos de ver que el espacio ideal maximal de la subalgebracerrada A de C(T) es D. Mas aun, si ϕz es un funcional lineal multiplicativoen A, y |z| = 1, entonces ϕz es la restriccion a A de la aplicacion “evaluacionen z” en C(T). Ası, el espacio ideal maximal de C(T) esta embebido en A. Esteejemplo tambien muestra como el ideal maximal de un algebra de funcion es,aproximadamente, el dominio natural de la funcion. En este caso aunque loselementos de A son funciones en T, hay “puntos ocultos” dentro del circulo que“deberıa” estar en el dominio. En particular, mirando χ1 como una funcion enT, no hay razon por la que no deberıa ser invertible; en D, sin embargo, comose anula en el origen, es obvio que no es invertible.

Consideremos el ejemplo desde otro punto de vista. El elemento χ1 estacontenido tanto en el algebra A, como en el algebra C(T). En C(T) tenemosσC(T)(χ1) = T, mientras que en A tenemos σA(χ1) = D. Entonces no solo el“A-espectro”de χ1 es mas grande, sino que tambien es obtenido desde “C(T)-espectro” cuando “llenamos lo agujeros”.

Teorema 2.10. (Silov) Si B es un algebra de Banach, U un subalgebra cerradade B, y f ∈ U, entonces la clausura de σU(f) esta contenida en σB(f).

Demostracion. Si f − λ tiene un inverso en U, entonces tiene un inverso en B.Ası, σU(f) ⊂ σB(f) y ası es suficiente probar que σU(f) ⊂ σB(f). Si λ0 ∈ σU(f),entonces existe una sucesion {λn}∞n=1 ⊂ ρU(f) tal que lım

n→∞λn = λ0. Si para

algun n fuera cierto que ‖(f − λn)−1‖ <∣∣∣∣ 1

(λ0 − λn)

∣∣∣∣, entonces conseguiriamos

que

‖(f − λ0)− (f − λn)‖ < 1

‖(f − λn)‖−1

y luego f − λ0 serıa invertible como en la proposicion 2.3. Ası tenemos quelımn→∞

‖(f − λn)−1‖ =∞.

Si λ0 6∈ σB(f), entonces por el corolario 2.1 tenemos que ‖(f − λ)−1‖ esacotado para λ en algun entorno de λ0, que es una contradiccion.

Ejemplo 3. Ahora veremos un ejemplo donde la transformada de Gelfand noes una isometrıa.

En el ejemplo 1 vimos que l1(Z+) es un espacio de Banach. Analogamen-te, si llamamos l1(Z) a la coleccion de funciones complejas f en Z tales que∞∑

n=−∞|f(n)| < ∞, entonces con la adicion punto a punto y la multiplicacion

escalar y la norma ‖f‖1 =

∞∑n=−∞

|f(n)| < ∞, l1(Z) es un espacio de Banach.

Mas aun, l1(Z) puede ser “introducido” en un algebra de Banach en una manerano obvia.


Para f, g ∈ l1(Z), definimos el producto de convolucion

(f ◦ g)(n) =

∞∑k=−∞

f(n− k)g(k)

Para ver que esta serie converge para cada n ∈ Z y la funcion resultanteenta en l1(Z), escribimos

∞∑n=−∞

|(f ◦ g)(n)| =∞∑

n=−∞

∣∣∣∣∣∞∑

k=−∞

f(n− k)g(k)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=−∞

∞∑k=−∞

|f(n− k)||g(k)|

=

∞∑k=−∞

|g(k)|∞∑

n=−∞|f(n− k)| = ‖f‖1

∞∑k=−∞

|g(k)|

‖f‖1‖g‖1Por lo tanto, f ◦ g esta bien definido y esta en l1(Z), y ‖f ◦ g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1.Ademas,

Conmutatividad:

(f ◦ g)(n) =

∞∑k=−∞

f(n− k)g(k)

=

∞∑l=−∞

f(l)g(n− l) =

∞∑l=−∞

g(n− l)f(l) = (g ◦ f)(n)

Donde realizamos el cambio de variable l = n− k

Asociatividad:

Queremos ver que

((f ◦ g) ◦ h)(n) = (f ◦ (g ◦ h))(n)

Partiendo desde el lado izquierdo, tenemos

((f ◦g)◦h)(n) =

∞∑k=−∞

(f ◦g)(n−k)h(k) =

∞∑k=−∞

∞∑l=−∞

f(n−k− l)g(l)h(k)

=?1

∞∑a=−∞

∞∑l=−∞

f(n− a)g(l)h(a− l) =?2

∞∑a=−∞

∞∑d=−∞

f(n− a)g(a− d)h(d)

=

∞∑a=−∞

f(n− a)

∞∑d=−∞

g(a− d)h(d) =

∞∑a=−∞

f(n− a)(g ◦ h)(a)

= (f ◦ (g ◦ h))(n)

Donde =?1 se realiza el cambio de variable a = l + k, para l fijo,

y en =?2 , realizamos el cambio de variable d = a− l, con a fijo.


Entonces tenemos que l1(Z) es un algebra de Banach conmutativa.

Para n ∈ Z, sea en la funcion en Z definida como:

en(x) =

{1 si x = n0 si x 6= n

Entonces e1 es el elemento identidad de l1(Z) y en ◦ em = en+m, n,m ∈ Z.Sea M el espacio ideal maximal de l1(Z). Para cada z ∈ T, sea ϕz una

funcion definida en l1(Z) tal que ϕz(f) =

∞∑n=−∞

f(n)zn.

Por un lado, tenemos que ϕz esta bien definida, pues como f ∈ l1(Z),∞∑

n=−∞|f(n)| < ∞, y ya que z ∈ T, |z| = 1, con lo que

∞∑n=−∞

|f(n)zn| < ∞, y

por consiguiente,∞∑

n=−∞f(n)zn <∞. Ası podemos definir una funcion de T aM poniendo ψ(z) =

ϕz

Teorema 2.11. La funcion ψ es un homeomorfismo de T en el espacio idealmaximal M de l1(Z)

Demostracion.

Si z1, z2 ∈ T y ϕz1 = ϕz2 , entonces z1 = ϕz1(e1) = ϕz2(e1) = z2; entoncesψ es inyectiva.

Supongamos que ϕ ∈M y zϕ(e1); entonces

1 = ‖e1‖1 ≥ |ϕ(e1)| = |z| = 1

|z−1|=

1

|ϕ(e−1)|≥ 1

‖e−1‖ = 1

Que implica que z ∈ T. Mas aun,ya que ϕ(en) = [ϕ(e1)]n = zn = ϕz(en), n ∈ Z, conseguimos que ϕ = ϕz =ψ(z). Por lo tanto, ψ es nuevamente inyectiva y suryectiva.

Solo falta ver que ψ es continua, ya que tanto M como T son espacioscompactos Hausdorff. Ası, supongamos que {zβ}β∈∆ es una red de puntosen T, tal que lım

β∈∆zβ = z. Entonces, para f ∈ l1(Z) tenemos que

|ϕzβ (f)− ϕz(f)| ≤∑|n|≤N

|f(n)||znβ − zn|+∑|n|>N

|f(n)||znβ − zn|

≤ ‖f‖1 sup|n|≤N

|znβ − zn|+ 2∑|n|>N

|f(n)|

por lo tanto, para ε > 0. Si N es elegido tal que∑|n|>N

|f(n)| < ε

4y β0 es

entonces elegido en ∆ tal que β > β0 implica que sup|n|≤N

|znβ −zn| <ε

2‖f‖1,


entonces |ϕzβ (f)− ϕz(f)| < ε, para β ≥ β0.Por lo tanto, lım

β∈∆ϕzβ (f) = ϕz(f) y ψ es continua.

Usando el homeomorfismo ψ identificamos al espacio ideal maximal de l1(Z)con T. Ası la transformada de Gelfand es el operador Γ : l1(Z)→ C(T) tal que

(Γf)(z) =

∞∑n=−∞

f(n)zn, z ∈ T, donde la serie converge uniforme y absoluta-

mente en T a Γf . Los valores de f en Z pueden ser recapturados de Γf , ya quecoincide con los coeficientes de la transformada de Fourier de Γf

f(n) =1

2π

∫ 2π

0

(Γf)(eit)e−intdt para n ∈ Z

Ya que

1

2π

∫ 2π

0

(Γf)(eit)e−intdt =1

2π

∫ 2π

0

∞∑m=−∞

f(m)ei(m−n)tdt

=1

2π

∞∑m=−∞

f(m)

∫ 2π

0

ei(m−n)tdt = f(n)

donde el intercambio de la integral y la sumatoria esta justificado porque la serieconverge uniformemente. En particular, ϕ ∈ T esta en el rango de Γ sı y solo sılos coeficientes de Fourier de ϕ son una serie de convergencia absoluta, esto essı y solo sı

∞∑n=−∞

∣∣∣∣ 1

2π

∫ 2π

0

ϕ(eit)e−intdt

∣∣∣∣ <∞Ahora,como no toda funcion ϕ ∈ C(T) tiene una serie de Fourier absoluta-

mente convergente, no es obvio si1

ϕlo hace si ϕ lo hace y ϕ(z) 6= 0. En este

caso, es el caso de un teorema no trivial devido a Wiener. La prueba abajo es porGelfand e indica el poder de su teoria para algebras de Banach conmutativas.

Teorema 2.12. Si ϕ ∈ C(T) tiene una serie de Fourier absolutamente conver-

gente y ϕ(z) 6= 0 para z ∈ T, entonces1

ϕtiene una serie de Fourier absoluta-

mente convergente.

Demostracion. Por hipotesis existe f ∈ l1(Z) tal que Γf = ϕ. Mas aun, por elteorema de Gelfand tenemos que si ϕ(z) 6= 0 para z en un espacio ideal maximalT de l1(Z) implica que f es invertible en l1(Z). Si g = f−1, entonces

1 = Γ(e0) = Γ(g ◦ f) = Γg.ϕ o1

ϕ= Γg

Por lo tanto,1

ϕtiene una serie de Fourier absolutamente convergente y la de-

mostracion se completa.


Ejemplo 4. En la observacion 1.7 vimos que L∞ es un espacio de Banach. Sif, g ∈ L∞, entonces el producto punto a punto esta bien definido, y‖fg‖∞ ≤ ‖f‖∞‖g‖∞. (Esto es, N ∞ es un ideal en L∞). Ası L∞ es un algebrade Banach conmutativa. A pesar de que no es todo obvio, L∞ es un isomorfismoisometrico hacia C(Y) para algun espacio compacto Hausdorff Y. Probaremosesto despues de determinar el espectro de un elemento de L∞. Para esto, nece-sitamos la siguiente nocion de rango de una funcion medible.

Definicion 2.10. Si f es una funcion medible en X , entonces el rango escencialR(f) de f es el conjunto de todos los λ ∈ C para los cuales{x ∈ X : |f(x)− λ| < ε} tiene medida positiva para todo ε.

Lema 2.5. Si f ∈ L∞, entonces R(f) es un subespacio compacto de C y‖f‖∞ = sup {|λ| : λ ∈ R(f)}.

Demostracion. Si λ0 /∈ R(f), entonces existe ε > 0 tal que el conjunto{x ∈ X : |f(x)−λ0| < ε} tiene medida cero. Claramente, entonces cada λ dentrode disco abierto de radio ε sobre λ0 falla en estar en el rango escencial de f .Por lo tanto, el complemento de R(f) es abierto y luego R(f) es cerrado. Siλ0 ∈ C es tal que λ ≥ |f(x)| + δ para casi todo x ∈ X , entonces el conjunto

{x ∈ X : |f(x)−λ0| <δ

2} tiene medida cero, y ası sup {|λ| : λ ∈ R(f)} ≤ ‖f‖∞.

Ası, R(f) es un subconjunto compacto de C para f ∈ L∞Ahora, supongamos que f ∈ L∞ y ningun λ satisfaciendo |λ| = ‖f‖∞ esta

en R(f). Entonces, para casi todo λ hay un disco D∆ abierto de radio δλ talque el conjunto {x ∈ X : |f(x) − λ| < δλ} tiene medida cero. Como el circulo{λ ∈ C : |λ| = ‖f‖∞} es compacto, entonces existe un subcubrimiento finito dediscos abiertosDλ1

, Dλ2, . . . , Dλn tal que el conjunto {x ∈ X : f(x) ∈ Dλt} tiene

medida cero. Entonces el conjunto {x ∈ X : f(x) ∈n⋃t=1

Dλt} tiene medida cero,

que implica que existe un ε > 0 tal que el conjunto {x ∈ X : |f(x)| > ‖f‖∞− ε}tiene medida cero. Esta contradiccion completa la demostracion.

Lema 2.6. Si f ∈ L∞, entonces σ(f) = R(f).

Demostracion. Si λ /∈ σ(f), entonces1

(f − λ)es escencialmente acotado, lo que

implica que el conjunto {x ∈ X : |f(x) − λ|} < 1

2‖f − λ‖∞tiene medida cero.

Inversamente, si {x ∈ X : |f(x) − λ| < δ} tiene medida cero para algun δ > 0,

entonces1

(f − λ)es escencialmente acotado por

1

δ, y ası λ /∈ σ(f). Por lo tanto,

σ(f) = R(f).

Teorema 2.13. Si M es un espacio ideal maximal de L∞, entonces la trans-formacion de Gelfand Γ es un isomorfismo isometrico de L∞ en C(M). Masaun, Γf = Γ(f) para f ∈ L∞.

Demostracion.


Para f ∈ L∞ tenemos, combinando el lema anterior y el corolario 2.5, querango Γf = R(f), y ası

‖Γ(f)‖∞ = sup {|λ| : λ ∈ rango Γf} = sup {|λ| : λ ∈ R(f)} = ‖f‖∞

Por lo tanto, Γ es una isometria y Γ(L∞) es una subalgebra de C(M).

Para f ∈ L∞ sea f = f1 + if2 donde f1 y f2 son a valores reales. Como elrango escencial de una funcion real es real y el rango ∆f1 = y el rangoΓf2 = R(f2), tenemos

Γf = Γf1 + iΓf2 = Γf1 − iΓf2 = Γ(f)

Por lo tanto, ΓL∞ es una subalgebra cerrada autoadjunta de C(M). Yaque es obvio que separa puntos y contiene las funciones constantes, tene-mos por el teorema de Stone-Weierstrass que ΓL∞ = C(M).

Mientras en los ejemplos anteriores calculamos los espacios ideales maxima-les, en este caso el espacio ideal maximal es un espacio altamente patologicoteniendo 22ℵ0 puntos.Ahora tenemos razones para usar ciertas propiedades deeste espacio mas adelante.

Observacion 2.10. Se puede ver facilmente que l∞(Z+) (ejemplo 1) es tam-bien un aalgebra de Banach que respeta la multiplicacion punto a punto. Dadasf, g, h ∈ l∞(Z+), λ ∈ C, n ∈ Z+, tenemos:

(f(g + h)) (n) = f(n) ((g + h)(n)) = f(n) (g(n) + h(n))= f(n)g(n) + f(n)h(n) = ((fg) + (fh)) (n)

((f + g)h) (n) = (f(n) + g(n))h(n) = f(n)h(n) + g(n)h(n)= ((fh) + (gh))(n)

(fλg)(n) = f(n)λg(n) = λf(n)g(n)= λ(fg)(n)

Luego, definitivamente tenemos que l∞(Z+) es un algebra de Banach sonbre C.Conseguimos por uno de los problemas que la transformacion de Gelfand es unisomorfismo isometrico suryectivo en este caso tambien. El espacio ideal maxi-mal de l∞(Z+) esta denotado βZ+y es llamado la compactificacion de Stone-Cech de Z+

REFERENCIAS 53

Referencias

[1] Ronald G. Douglas Banach Algebra Techniques in OperatorTheory.

[2] G. Corach; E Andruchov Notas de Analisis Funcional.

[3] D. Stojanoff Un curso de Analisis Funcional

[4] Robert G. Bartle The Elements of Integration

[5] Jorge Antezana Funciones analıticas

[6] Wikipedia.

Documents

Sosa, Nicol as - UNLPdemetrio/Monografias/Materias/AF/17...2 en X, una subred de la red fx g 2 ser a otra red fy g 2 dotada de una funci on h: ! tales que: hes creciente, en el sentido