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Soutenance - DH. TRINH 2
• Introduction
• Formulation des problèmes
• Systèmes linéaires structurés
• L’observabilité des systèmes linéaires structurés
• Rejet de perturbation par retour de mesure des systèmes linéaires structurés
• Conclusions / Perspectives
Soutenance - DH. TRINH 3
• Les systèmes automatisés de plus en plus complexes, les capteurs de plus en plus nombreux
• Capteur: dispositif transformant une grandeur physique mesurée en une autre grandeur physique utilisable par l’homme ou par la machine.
• Capteur: rôle important dans la commande des systèmes automatisés: pour des performances ou des propriétés souhaitées.
• Les capteurs sont couteux, leur emplacement limité, leur maintenance difficile,…
Objectif: Utilisation optimale des capteurs d’un système pour atteindre des performances données.
Soutenance - DH. TRINH 4
Propriété P
0
1 si P vraie avec Ysinon
P(Y)=
• Propriété P vérifiée (vraie) pour Σ avec l’ensemble Y (e.x. L’observabilité, Rejet de perturbation par retour de mesure, …)
Système dynamique Σ
capteursY={y1, y2, …yp }
Soutenance - DH. TRINH 5
Problème 2: Classification des capteursSi P(Y) = 1, comment classer les capteurs Y par
rapport à leur importance pour la propriété P
Propriété P:0
1 si P vraie avec Ysinon
P(Y)=
Problème 1: Localisation des capteurs
Si P(Y) = 0, comment rendre P vraie avec un ensemble de capteurs supplémentaires Z:
P ( Y ∪ Z)= 1
Soutenance - DH. TRINH 6
• Système Σ; Propriété P tels que P(Y) = 1
• Un ensemble VY ⊆ Y est une solution si P(VY) = 1 Inutiles
Utiles
Y
Essentiels
• Classification:– y* est inutile : si pour toute solution VY
contenant y*, VY \ { y*} est encore une solution
– y* est utile : s’il n’est pas inutile
– y* est essentiel si y* appartient à toute solution
Référence: C. Commault, J.M. Dion and D.H. Trinh. Observability preservation under sensor failure. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 53, Issue 6, July 2008
Soutenance - DH. TRINH 7
• Système Σ; Propriété P tels que P(Y) = 1
• Un ensemble VY ⊆ Y est une solution si P(VY) = 1
• Classification:– y* est inutile : si pour toute solution VY
contenant y*, VY \ { y*} est encore une solution
– y* est utile : s’il n’est pas inutile
– y* est essentiel si y* appartient à toute solution
Référence: C. Commault, J.M. Dion and D.H. Trinh. Observability preservation under sensor failure. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 53, Issue 6, July 2008
Solution
Inutiles
Utiles
Y
Essentiels
Soutenance - DH. TRINH 8
Autre définition: (Staroswiecki et al. 2004)
Ensemble minimal de capteurs (MSS): une solution telle que aucun de ses sous-ensembles propres n’est une solution
Référence: M. Staroswiecki, G. Hoblos and A. Aitouche. Sensor network design for fault tolerance estimation. Int. J. Adapt. Control Signal Processing, 2004
Alors: • Capteurs inutiles: n’appartiennent à aucun MSS• Capteurs essentiels: appartiennent à tous les MSS
YMSS Solution
Soutenance - DH. TRINH 9
Système linéaire Σ
111
000
211
000
C
A
Ajout d’un capteur supplémentaire:
z = x1
Propriété P : L’observabilité de Σ
22
CA
CA
C
rang Non observable
32
CA
CA
C
rang Observable1 1 1
1 0 0C
Soutenance - DH. TRINH 10
Système linéaire Σ
010
100
001
001
010
000
000
C
A
P : L’observabilité du
Σ
Σ Observable
Les solutions VY pour P:V0={y1, y2, y3, y4}; V3={y2, y3, y4}V1={y1, y2, y3}; V4={y1, y3}V2={y1, y3, y4}; V5={y2, y3}
Solutions contenant y4: V0; V2; V3
V0 \ { y4} = V1
V2 \ { y4} = V4
V3 \ { y4} = V5 y4 est inutile
Solutions contenant y3:
y3 est essentiel
y1, y2,y3 sont utiles
Soutenance - DH. TRINH 11
Références:
C.T. Lin. Structural controllability. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 19, Issue 3, 1974 : p 201-208
J.M. Dion, C. Commault and van der Woude. Generic properties and control of linear systems : A survey. Automatica, Vol 39, Issue 7, 2003: p 1125-1144
T. Boukhobza and F. Hamelin. Observability analysis for structured bilinear system: A graph-theoretic approach. Automatica, Vol 43, Issue 11, 2007: p 1968-1974
Soutenance - DH. TRINH 12
ACCUMULATEUR
CONDENSEUR
L D, XD
Reflux Produit de tête
LF, XF
Alimentation
VVapeur
B, XB
REBOUILLEUR
Produit de pied
Modèle d’une colonne à distiller
+) Commandes: L, V
+) Etats: Concentrations sur les plateaux, Gen. Vapeur, Condenseur+) Sorties: Produits XD, XB
+) Perturbations: LF, XF
Soutenance - DH. TRINH 13
0 0
0 0
0 0
x x
x
A
x
x x
x x
B x x
x x
0
0
0 0
x
x
F x x
0 0
0 0
xC
x
0 0
0 0
0 0
x x
x
A
x
x x
x x
B x x
x x
0
0
0 0
x
x
F x x
0 0
0 0
xC
x
Soutenance - DH. TRINH 14
• L'information sur la structure du système.• Propriétés qui dépendent essentiellement de la
structure du système.• Temps de calcul, traitement de systèmes de grande
taille.• Représentation visuelle de la structure du système.
Soutenance - DH. TRINH 15
• Définition:
Le système Σ Λ est appelé système linéaire structuré si les éléments de (AΛ,BΛ,CΛ) sont soit fixés à zéro soit des paramètres libres
• Propriétés génériques: propriétés qui sont vraies pour presque toutes les valeurs des paramètres.
)()(
)()()(
txCty
tuBtxAtx
• Outil d’analyse: Théorie des graphes
Soutenance - DH. TRINH 16
1 2 3
4 5 6
7
0 0 0
0 0 0
0 0
A
C
x2
x1
x3
y1
y2
Soutenance - DH. TRINH 17
n
CA
CA
CA
C
rang
n
1
2
Observable
pour presque toutes les valeurs des paramètres.
Soutenance - DH. TRINH 18
Théorème (Lin, 74)Le système est génériquement observable si et seulement si:1. Tous les sommets d’état sont reliés à la sortie2. Il n’existe pas de contraction dans le graphe associé
V1 V2
d(V1)> d(V2)
Contraction:
Soutenance - DH. TRINH 19
x2
x1
x3
y1
Le système est connecté à la sortie
Il ne contient pas de contraction
2 de générique rangun a
53252
2521
535251
654
2
CA
CA
C
→ Le système est observabley2
Le système est connecté à la sortie
Une contraction : non observable
Soutenance - DH. TRINH 20
y1
x1 x3x2
y2
x4
x6x5x7
x9x8
x10
- Décomposer en composantes fortement connexes - Ordonner ces composantes pour trouver les composantes infimales / pré-infimales- Système connecté à la sortie SSI toutes les composantes infimales sont des sommets de sortie
=> Non connecté à la sortiez1
z2
=> Avec capteurs supplémentaires
InfimalesPré-Infimales
Soutenance - DH. TRINH 21
• Construit à partir de G(Σ Λ ) et contient toute l’information sur la connexion à la sortie de G(Σ Λ )
• Correspond aux relations entre les Pré-infimales et les Infimales sur G(Σ Λ )
• G(Σ Λ) est connecté à la sortie C(Σ Λ) est connexe
Soutenance - DH. TRINH 22
x2
x1x3
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x5
x4
x6
x7
y1
y2
y3
y4
y5
y6
v2
v1
v3
v4
z
G(Σ Λ ) C(Σ Λ )
InfimalesPré-Infimales
Soutenance - DH. TRINH 23
Outil: Séparateurs Irréductibles
y1
y2
y3
y4
y5
y6
v2
v1
v3
v4
zS1
S2
C(Σ Λ )
Soutenance - DH. TRINH 24
Capteurs inutiles
Capteurs essentiels
651 ,, yyyL
y1
y2
y3
y4
y5
y6
v2
v1
v3
v4
zS1
S2
4yE
432 ,, yyyF
• Résultat:
C(Σ Λ )
Soutenance - DH. TRINH 25
x2
x1x3
y1
y2
y3
y5
y6
x5
x4
x6
x7
G(Σ Λ ) C(Σ Λ )
y1
y2
y3
y5
y6
v2
v1
v3
v4
zS1
y4S2
651 ,, yyyL
4yE 432 ,, yyyF
• Perdre y4 ?
y4
=> Perdre la connexion à la sortie
• Quand y4 est garantie
inutiles
Soutenance - DH. TRINH 26
Système Σ Λ ou graphe G(Σ Λ)
Graphe biparti B(Σ Λ )
Couplage Maximum
Caractérisation des contractions
DM-Décomposition
Soutenance - DH. TRINH 27
G(Σ Λ)
DM Décomposition B0 représente la contraction
u1
y1
y2
y3
x-1
x-2
x-3
x+1
x+2
x+3
B0
B1
B∞
Absence de contraction sur G(Σ Λ ) Couplage maximum du
graphe B(Σ Λ ) de dimension n Pas de partie B0 sur la DM-
Décomposition
u1
x1
x2
x3
y1
y2
y3
Soutenance - DH. TRINH 28
x2
x1
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x5
x4
x6
x7
y1
y2y3
y4
y5
y6
x1+
x2+
x3+
x4+
x5+
x6+
x7+
x1-
x2-
x3-
x4-
x5-
x6-
x7-
B1
B2
B3
B∞
G(Σ Λ)
B(Σ Λ )
x3
Soutenance - DH. TRINH 29
y1
y2y3
y4
y5
y6
x1+
x2+
x3+
x4+
x5+
x6+
x7+
x1-
x2-
x3-
x4-
x5-
x6-
x7-
B1
B2
B3
B∞
• Résultat:
5ˆ yL
64321 ,,,,ˆ yyyyyF
64 ,ˆ yyE
Capteurs inutiles
Capteurs essentiels
B(Σ Λ )
Soutenance - DH. TRINH 30
x2
x1
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x5
x4
x6
x7
G(Σ Λ)
5ˆ yL
64321 ,,,,ˆ yyyyyF
64 ,ˆ yyE
• Perdre y4 ?
x3
y1
y2y3
y4
y5
y6
x1+
x2+
x3+
x4+
x5+
x6+
x7+
x1-
x2-
x3-
x4-
x5-
x6-
x7-
B1
B2
B3
B∞
B(Σ Λ )
Soutenance - DH. TRINH 31
x2
x1
y1
y2
y3
y5
y6
x5
x4
x6
x7
G(Σ Λ)
5ˆ yL
64321 ,,,,ˆ yyyyyF
64 ,ˆ yyE
y1
y2y3
y5
y6
x1+
x2+
x3+
x4+
x5+
x6+
x7+
x1-
x2-
x3-
x4-
x5-
x6-
x7-
B1
B2
B∞
B(Σ Λ )
B0
• Perdre y4 ?
=>Contraction<=
x3
Soutenance - DH. TRINH 32
x2
x1
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x5
x4
x6
x7
G(Σ Λ)
5ˆ yL
64321 ,,,,ˆ yyyyyF
64 ,ˆ yyE
• Perdre y6 ?
x3
y1
y2y3
y4
y5
y6
x1+
x2+
x3+
x4+
x5+
x6+
x7+
x1-
x2-
x3-
x4-
x5-
x6-
x7-
B1
B2
B3
B∞
B(Σ Λ )
Soutenance - DH. TRINH 33
x2
x1
y1
y2
y3
y4
y5
x5
x4
x6
x7
G(Σ Λ)
5ˆ yL
64321 ,,,,ˆ yyyyyF
64 ,ˆ yyE
y1
y2y3
y4
y5
x1+
x2+
x3+
x4+
x5+
x7+
x6+
x1-
x2-
x3-
x4-
x5-
x6-
x7-
B0
B1
B∞
B(Σ Λ )• Perdre y6 ?
=>Contraction<=
x3
Soutenance - DH. TRINH 34
x2
x1
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x5
x4
x6
x7
G(Σ Λ)
5ˆ yL
64321 ,,,,ˆ yyyyyF
64 ,ˆ yyE
• Perdre y5 ?
x3
y1
y2y3
y4
y5
y6
x1+
x2+
x3+
x4+
x5+
x6+
x7+
x1-
x2-
x3-
x4-
x5-
x6-
x7-
B1
B2
B3
B∞
B(Σ Λ )
Soutenance - DH. TRINH 35
Système Σ Λ ou graphe G(Σ Λ)
Graphe biparti C(Σ Λ ) B(Σ Λ )
Graphe de connexion
Couplage Maximum et DM-Décomposition
Séparateurs irréductibles
Classification des capteurs Classification des capteurs
Pour l’observabilité
Soutenance - DH. TRINH 36
• Théorème:– Capteurs inutiles : Inutiles pour la connexion à la
sortie ET l’absence de contraction
– Capteurs essentiels : Essentiels pour la connexion à la sortie OU l’absence de contraction
Soutenance - DH. TRINH 37
651 ,, yyyL
64 , yyE 4yE
5ˆ yL
64321 ,,,, yyyyyF 64 ,ˆ yyE
x2
x1
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x5
x4
x6
x7
5yL
G(Σ Λ) x3
Pour la connexion à la sortie
Pour l’absence de contraction
Pour l’Observabilité
Soutenance - DH. TRINH 38
Analyse de la préservation de l’observabilité en présence de défauts de capteurs pour les systèmes linéaires structurés.
Classification des capteurs par rapport à leur nature critique concernant l’observabilité du système. La classification peut s’effectuer par des algorithmes en temps polynomial.
Soutenance - DH. TRINH 39
Soutenance - DH. TRINH 40
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
sd
su
sNsM
sKsG
sz
sy
• u=F(s)z et F(s) tel que:
0)()())()()(()( 1 sKsNsFsMIsFsG
Matrice de transfert:
)()(
)()(
)()()()(
:
tHxtz
tCxty
tEdtButAxtx
dz
Soutenance - DH. TRINH 41
T0
T4T3
T2T1
T5
F2F1
F2F1
F1 F2
F1+F2
w
z
Objectif : Pas d’effet de la perturbation d=T0 sur la sortie à réguler y=T5
Système:Non Commandable
Non Observable
Commande: u=w
Sortie à réguler: y=T5
Perturbation: d=T0
Sortie mesurée: z=T2
Soutenance - DH. TRINH 42
Approche géométrique :– Schumacher, J.M. (1980). – Willems, J.C. and C. Commault (1981).
Approche graphique:– Commault, C., J.M. Dion and V. Hovelaque
(1997). – van der Woude, J.W. (1993).
Soutenance - DH. TRINH 43
)()(
)()(
)()()()(
:
txHtz
txCty
tdEtuBtxAtx
dz
)()(
)()(
)()()()(
:
tHxtz
tCxty
tEdtButAxtx
d
ArcsSommetsG qz ,)(
Soutenance - DH. TRINH 44
T0
T4T3
T2T1
T5
F2F1
F2F1
F1 F2
F1+F2
w
z
0
0
012
11
E
987
65
43
2
1
00
000
000
0000
0000
A
0
0
0
0
10B 130000 C
0000 14H
d
u
y
zx1
x5
x4x3
x2
Soutenance - DH. TRINH 45
I *
I* ⊆ X : En fonction de U, X, Y
J *
J * ⊆ X : En fonction de D, X, ZRéférence: van der Woude. Disturbance decoupling by measurement feedback for structured system: A graph theoretic approach. In Proc. 2nd Europ. Cont. Conf. ECC’93
Soutenance - DH. TRINH 46
I * J *
X
Soutenance - DH. TRINH 47
Théorème: (Commault, C., J.M. Dion and V. Hovelaque (1997); van der Woude, J.M. (1993)).
Problème RPRM soluble SSI:
I * ∪ J * = X
d
u
y
zx1
x5
x4x3
x2 Exemple du procédé thermique:
I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}
→ Problème RPRM soluble
X
I * J *
Soutenance - DH. TRINH 48
• Théorème: Les capteurs qui mesurent uniquement des sommets d’état en dehors de I * sont inutiles pour la solubilité du problème RPRM
z1
z2
inutiles
X
I * J *
Soutenance - DH. TRINH 49
I *={x4, x5 , x6 , x7 , x8};
J *={x1, x2 , x3, x6 , x9}
→ Problème RPRM soluble
{z2, z9} sont inutiles
Exemple
x1
u2
y1
x2
x4
x3
x5
d8
z6
z5
x7
x6
x8
d4
z8
u1
y2
x9
d5
d7
z9
z2
Sans {z2, z9}
I *={x4, x5 , x6 , x7 , x8};
J *={x1, x2 , x3, x6 , x9}
→ Problème RPRM soluble
Soutenance - DH. TRINH 50
• F(I *): (Frontière de I * ): Sommets d’état dans I * qui ont au moins un successeur en dehors de I * .
I *
xixj
• Dd: (Disque autour de la perturbation d): Sommets d’état dans le rayon du point d’impact à la frontière F(I *)
d
Dd
F(I *)
Soutenance - DH. TRINH 51
• Théorème: Cas perturbation unique d, problème RPRM est soluble SSI:
1. La perturbation d agit dans I *.
2. Il existe une mesure pour un sommet d’état appartenant à Dd.
I *
xi zj
d
Dd
F(I *)
Soutenance - DH. TRINH 52
F(I *)
x1u1
x3x2
x4
d
y1
• Exemple: Perturbation unique d:
I *
zj
Dd
I *={x2, x3, x4}
F(I *)={x2, x4}
Dd ={x2, x3}
• 1ère cas : Mesure de x4: J *= ∅
I * ∪ J * ≠ X => Pas de solution
• 2ème cas : Mesure de x3: J *= {x1, x4 }
I * ∪ J * = X => Problème soluble
Soutenance - DH. TRINH 53
• Théorème: Perturbation unique d, problème RPRM soluble:
1. Capteur inutile: Mesure en dehors de Dd.
2. Capteur utile: Mesure au moins un sommet appartenant à Dd.
3. Capteur essentiel: S’il est l’unique capteur utile.
Soutenance - DH. TRINH 54
d
u
y
zx1
x5
x4x3
x2
3ème cas: mesurer seulement x2:
I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}
→ Problème RPRM soluble
{z } est essentiel
2ème cas: mesurer x2 ET x1:
I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}
→ Problème RPRM soluble
{z1, z } sont utiles
1ère cas: mesurer tout xi :
I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}
→ Problème RPRM soluble {z3, z4 , z5} sont inutiles
z1
z3 z4
z5
I *={x1, x2}; F(I *)={x1, x2};
Dd={x1, x2};
Soutenance - DH. TRINH 55
Régulateur:
))((
))(())(()(
611412107
621173411285
ss
sssssF
Soutenance - DH. TRINH 56
Commande
Sortie
Perturbation
Mesure
Soutenance - DH. TRINH 57
Commande
Sortie
Perturbation
Mesure
Soutenance - DH. TRINH 58
• Certains résultats peuvent être obtenus en généralisant le cas perturbation unique (disques Dd disjoints)
• Des observations sur les capteurs inutiles, essentiels dans des cas particuliers
Soutenance - DH. TRINH 59
On a revisité le problème de rejet de perturbation par retour de mesure pour les systèmes linéaires structurés.
Une classe de capteurs inutiles pour le problème RPRM
Une classification complète des capteurs en fonction de leur importance pour le problème RPRM en cas de perturbation unique.
Les classifications peuvent s’effectuer par des algorithmes en temps polynomial.
Soutenance - DH. TRINH 60
Deux problèmes abordés:1. Localisation des capteurs 2. Classification des capteurs
pour des propriétés différentes
Application sur deux propriétés dans le cadre des systèmes linéaires structurés:
1. L’observabilité2. Le rejet de perturbation par retour de mesure
Les résultats obtenus
Soutenance - DH. TRINH 61
Les résultats obtenus1. L’observabilité:
Bornes sur le nombre de capteurs supplémentaires / Localisation
Classification complète par des algorithmes en temps polynomial.
2. Le rejet de perturbation par retour de mesure Une classe de capteurs inutiles L’analyse sur un système réduit Classification complète dans le cas où la
perturbation est unique Certaines observations dans le cas général
Soutenance - DH. TRINH 62
Classification complète dans le cas général pour le problème RPRM
Une classification plus fine pour les capteurs utiles
Solution moins couteuse en temps de calcul pour certains problèmes (connexion à la sortie)
Solution à coût minimal pour le problème de localisation de capteurs
Ouvert pour d’autres propriétés du système
Soutenance - DH. TRINH 63
Soutenance - DH. TRINH 64
Soutenance - DH. TRINH 65
I* : Ensemble des sommets d’état tels que s’il y a une perturbation qui arrive dessus, elle peut être rejetée par un retour d’état sans mesure de la perturbation.
J * : Ensemble des sommets d’état que l’on peut estimer à partir des mesures par un observateur indépendamment des perturbations.
I * J *
X