ST 301 TOPOGRAFIA I

2 0 1 3

Prof. Hiroshi Paulo Yoshizane

hiroshiy@ft.unicamp.br

hiroshi55ster@gmail.com

SITE: www.professorhiroshi.com.br

FaceBook: hiroshi.yoshizane.1

FACULDADE DE TECNOLOGIA / UNICAMP

FT / UNICAMP – CAMPUS 1 - LIMEIRA - SP

ST 301 – Turmas A – B - C

PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO TOPOGRÁFICO

¨ EXERCÍCIO MODELO ¨BASE PARA APRENDIZADO INICIAL COM ERRO LINEAR DE

MAIOR AMPLITUDE PARA MELHOR FIXAÇÃO

DADOS DE CAMPO FICTÍCIO

DADOS DE CAMPO MONTADO DE FORMA QUE O DISCENTE VISUALIZE A AMPLITUDE

DE FECHAMENTO LINEAR

PRIMEIRO PASSO ¨ SOMATÓRIOS¨

Executar a soma dos ângulos lidos, e verificar o sentido do caminhamento da poligonal

Executar a soma das distâncias para obter o perímetro da poligonal

SEGUNDO PASSO ¨CORREÇÃO ANGULAR¨

SOMATÓRIO DOS ÂNGULOS = 540°00’37” = Indica um erro de 37” à mais.

Deve-se corrigir o erro proporcionalmente à distância entre as estações.

Fórmula da correção ¨C.A. ( ε ) : erro angular / perímetro

ε = 000°00’37” / 2.854,872 ↔ ε = 0,0103° / 2.854,872 ↔ ε = 0,000005002

O valor ¨ε¨, é o fator multiplicativo para cada ângulo lido

Para a visada E1 – E2 = 53°23’11” ↔ 775,371 x 0,000005002 = 0,0003° = 000°00’01”

assim, a leitura E1 – E2 passará a ser : 53°23’11” – 0°00’01” = 53°23’10”

OBS: A operação matemática é subtração, devido à soma dos ângulos internos lidos

serem superior ou seja, era para ser 540°00’00” e resultou 540°00’37”

ÂNGULOS INTERNOS CORRIGIDOS

Os ângulos internos foram corrigidos, de forma proporcional

às distâncias entre as bases da poligonal

∑ ai = 180° x (5 – 2 ) =

∑ ai = 180° x (3) = 540°00’00”

OUTRA FORMA DE DISTRIBUIÇÃO DO ERRO ANGULAR

ε = coeficiente de correção

Para erros angulares acima:

{[( 1 - ε ) x distancia corresponde da linha visada] - distancia desta linha visada} -ângulo da linha visada = ângulo corrigido

Para erros angulares abaixo:

{[( 1 + ε ) x distancia corresponde da linha visada] - distancia desta linha visada} + ângulo da linha visada = ângulo corrigido

PRIMEIRO PASSO ¨ SOMATÓRIOS¨

Executar a soma dos ângulos lidos, e verificar o sentido do caminhamento da poligonal

Executar a soma das distâncias para obter o perímetro da poligonal

SEGUNDO PASSO ¨CORREÇÃO ANGULAR¨

SOMATÓRIO DOS ÂNGULOS = 540°00’37” = Indica um erro de 37” à mais

Deve-se corrigir o erro proporcionalmente à distância entre as estações.

Fórmula da correção ¨C.A. ( ε ) : erro angular / perímetro

ε = 000°00’37” / 2.854,872 ↔ ε = 0,0103° / 2.854,872 ↔ ε = 0,000005002

Para erros angulares acima ou à mais :

{[( 1 - ε ) x distancia corresponde da linha visada] - distancia desta linha visada} -ângulo da linha visada = ângulo corrigido

( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998

( 0,999994998 x 775,371) = 775,367 – 775,371 = 0,0038784° = 00°00’14”

E1-E2 = ( 56°23’11” – 00°00’14” ) = ¨ 56°22’57” ÂNGULO CORRIGIDO¨

E2 – E3

( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998

( 0,999994998 X 221,528 ) = 221,527

221,528 – 221,527 = 0,0011° = 00°00’04”

E2-E3 = ( 92°18’32” – 00°00’04” ) = ¨ 92°18’28” ÂNGULO CORRIGIDO¨

E3 – E4

( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998

( 0,999994998 X 371,213 ) = 371,211

371,213 – 371,211 = 0,0020° = 00°00’07”

E3-E4 = ( 121°06’09” – 00°00’07”) = ¨ 121°06’02” ÂNGULO CORRIGIDO¨

E4 – E5

( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998

( 0,999994998 X 212,221 ) = 212,220

212,221 – 212,220 = 0,0010° = 00°00’04”

E4-E5 = ( 136°04’29” – 00°00’04”) = ¨ 136°04’25” ÂNGULO CORRIGIDO¨

E5 – E1

( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998

( 0,999994998 X 474,539 ) = 474,537

474,539 – 474,537 = 0,0024° = 00°00’08”

E5-E1 = ( 134°08’16” – 00°00’08”) = ¨ 134°08’08” ÂNGULO CORRIGIDO¨

ÂNGULOS INTERNOS CORRIGIDOS

Os ângulos internos foram corrigidos, de forma proporcional

às distâncias entre as bases da poligonal

∑ ai = 180° x (5 – 2 ) =

∑ ai = 180° x (3) = 540°00’00”

CÁLCULO DOS AZIMUTES

AZIMUTE : É o ângulo referenciado ao NORTE ¨ordenadas-eixo Y ¨

A referencia NORTE é obtida através de BUSSOLAS, através da

determinação do NORTE VERDADEIRO (obtida através de visadas

ao SOL em horas diferentes num mesmo dia, fazendo-se do uso de

equipamentos apropriados como máscara de lente), ou através de

visadas em estrelas de 1ª ordem, através de GPS geodésico, com

georeferenciamento das bases ou por transporte de coordenadas

(marcos geodésicos).

CÁLCULO DOS AZIMUTES

Para este curso ST-301, a partida de referência azimutal, será

através da BÚSSOLA.

SEQUÊNCIA ANALÍTICA DA PLANILHA EXEMPLO:

Na planilha, há uma visada de E1 - E2, com o valor angular

azimutal de 27°35’18”, obtidas em campo.

Para a sequência analítica, deve-se transformar os respectivos

ângulos internos corrigidos em azimute.

CÁLCULO DOS AZIMUTES

Para esse procedimento, é importante visualizar e entender o

esquema abaixo:

AZIMUTE

VANTE

E1 – E2AZIMUTE RÉ

E2 – E1

CÁLCULO DOS AZIMUTES

OBS:

Os azimutes sequentes, devem ser sempre referenciados ao

azimute imediatamente anterior, seguindo esse raciocínio:

( Azimute da linha anterior + 180°00’00” ) + ângulo interno da

linha visada que deseja-se calcular.

Se na soma final o ângulo exceder a 360°00’00”, deve-se

simplesmente subtrair o valor 360°00’00”

AZIMUTES CALCULADOS

CÁLCULO DAS PROJEÇÕES ( COORDENADAS PARCIAIS )

As projeções parciais devem ser calculadas seguindo de forma

sequente, isto é:

seno do azimute da linha x distância da linha = projeção X

cosseno do azimute da linha x distância da linha = projeção Y

PLANILHA GERAL

OS CÁLCULOS INICIAIS DESENVOLVIDOS

CORREÇÃO DAS PROJEÇÕES

As projeções parciais devem ser equalizadas

∑ projeção X (+) = ∑ projeção X (-)

∑ projeção Y (+) = ∑ projeção Y (-)

Na planilha deve ser verificado fazendo-se o somatório

de cada coluna das projeções parciais respectivamente

PLANILHA GERAL

OS CÁLCULOS INICIAIS DESENVOLVIDOS

∆X ∆Y

VERIFICAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR

EL = x² + y² (PITÁGORAS)

É o erro relativo às projeções parciais das abscissas ( ∆X )

É também relativo às projeções parciais das ordenadas ( ∆Y )

Proj. parcial X0 Proj. parcial X<0 Proj. parcial Y0 Proj. parcial Y<0

X 0 X < 0 Y 0 Y < 0

X = | X 0 | - | X < 0 |

X Y

Y = | y 0 | - | Y < 0 |

∑ projeção X (+) = │587,6550 │

∑ projeção X (-) = │579,0014│

│ ∆X = 8,6536 │

∑ projeção Y (+) = │797,6257│

∑ projeção Y (-) = │798,7232│

│∆Y = 1,0975 │

OS CÁLCULOS DEVEM SER EM

MÓDULO

∑ projeção X (+) = │587,6550 │

∑ projeção X (-) = │579,0014│

│ ∆X = 8,6536 │

∑ projeção Y (+) = │797,6257│

∑ projeção Y (-) = │798,7232│

│∆Y = 1,0975 │

Cálculo do erro linear: EL = (x² + y² ) (PITÁGORAS)

E.L. = ( 8,6536 ² ) + ( 1,0975 ² ) = 2,9535

½

½

PRECISÃO LINEAR ¨P.L.¨

A precisão linear mostra uma proporcionalidade por metro do erro linear

cometido no levantamento topográfico.

Assim, quanto maior a relação de 1 metro medido em campo refletindo no

perímetro maior é a confiabilidade e precisão do levantamento.

Exemplo: P.L. = 1 : 1000,0000 equivale a um erro de 1 metro á cada 1000

metros medidos;

P.L. = 1 : 10.000,0000 equivale a um erro de 1 metro á cada 10.000

metros medidos;

CÁLCULO DA PRECISÃO LINEAR ¨P.L.¨ DO EXERCÍCIO MODELO

FORMULA :

Perímetro = 2.054,8720 metros ( ∑ das distâncias entre as bases )

P.L. = Perímetro / EL

P.L. = 2.054,8720 / 2,9535

P.L = 1 : 695,7511m = 1 metro a cada 695,7511m.

TOLERÂNCIAS DO ERRO LINEAR ADMISSÍVEIS

1- DISTÂNCIA HORIZONTAL OBTIDA POR ESTADIMETRIA :

2- DISTÂNCIA HORIZONTAL OBTIDA POR TRENA DE FIBRA :

3- DISTÂNCIA HORIZONTAL OBTIDA POR TRENA DE AÇO :

4- DISTÂNCIA OBTIDA ELETRONICAMENTE :

O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 1m : 2.000m

O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 1m : 3.500m

O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 5.000m

O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 10.000m

¨ NO EXERCÍCIO MODELO EM CURSO¨

OBJETIVO:

BASE PARA APRENDIZADO INICIAL COM ERRO LINEAR DE MAIOR AMPLITUDE PARA

MELHOR FIXAÇÃO

REFERÊNCIAS:

DADOS DE CAMPO FICTÍCIO

Os dados de campo foram montados para que o discente visualize melhor a amplitude do

erro de fechamento angular e linear

OBS: Em trabalhos profissionais, o resultado obtido indicacomo um péssimo trabalho de campo, e indica fazernovamente os trabalhos de campo !

¨ PARECE UM TRABALHO COM DISTÂNCIAS MEDIDAS À PASSO HUMANO ! ¨

SEQUÊNCIA ANALÍTICA

APÓS A CORREÇÃO ANGULAR, DEVE-SE PARTIR PARA A CORREÇÃO LINEAR QUE

SERÃO INSTRUÍDAS DE DUAS FORMAS ANALÍTICAS !

OBS: NÃO HÁ COMO PROSSEGUIR OS CÁLCULOS ANALÍTICOS SEM AS

CORREÇÕES LINEARES !

A MATEMÁTICA NÃO ACEITA ARRANJOS ALEATÓRIOS !

CÁLCULO DAS CONSTANTES DA CORREÇÃO DO ERRO LINEAR

Kx e Ky = Constantes majorativo e minorativo para

equalizar os valores das projeções X e Y.

x

Kx = ------------------------------------------

| x 0 + X < 0 |

y

Ky = ------------------------------------------

| y 0 + y < 0 |

COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES X

|x|

Kx = ------------------------------------------

| x 0 + x < 0 |

MAJORAÇÃO : ( 1 + Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR

MINORAÇÃO : ( 1 - Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR

CORREÇÃO DO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES Y

|y|

Ky = ------------------------------------------

| y 0 + y < 0 |

MAJORAÇÃO : ( 1 + Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR

MINORAÇÃO : ( 1 - Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR

CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES ¨X¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO

|x|

Kx = ------------------------------------------

| x 0 + x < 0 |

|x = 8,6536|

Kx = ------------------------------------------

| x 0 = 587,6550 + x < 0 = 579,0014 |

8,6536

Kx = ------------------------------------------ = 0,007417437

1.166,6564

CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES ¨X¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO

MAJORAÇÃO : ( 1 + Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR

MINORAÇÃO : ( 1 - Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR

MAJORAÇÃO : 1,007417437 x CADA PROJ. DA COLUNA MENOR

MINORAÇÃO : 0,992582563 x CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR

OBS IMPORTANTE:

Deve-se sempre utilizar a memória da calculadora para que haja a equalização

CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES ¨Y¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO

|y|

Ky = ------------------------------------------

| y 0 + y < 0 |

|y = 1,0975

Ky = ------------------------------------------------------------------------------------------

| y 0 = 797,6257 + y < 0 = 798,7232 |

8,6536

Ky = ------------------------------------------ = 0,000687506

1.596,3489

CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES ¨Y¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO

MAJORAÇÃO : ( 1 + Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR

MINORAÇÃO : ( 1 - Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR

MAJORAÇÃO : 1,000687506 x CADA PROJ. DA COLUNA MENOR

MINORAÇÃO : 0,999312494 x CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR

OBS IMPORTANTE:

Deve-se sempre utilizar a memória da calculadora para que haja a equalização

CÁLCULO DA CORREÇÃO LINEAR DO EXERCÍCIO MODELO

Coluna a ser

minorada

Coluna a ser

majorada

Coluna a ser

minorada

Coluna a ser

majorada

Linha de

observação

muita

atenção

neste

tópico !

Multiplicar por:

0,992582563

Multiplicar por:

0,992582563

Multiplicar os três

valores por:

1,007417437

Multiplicar os dois

valores por:

1,000687506

Multiplicar os três

valores por:

0,999312494

COORDENADAS PARCIAIS CORRIGIDAS ANALÍTICAMENTE

COMPENSAÇÃO PROPORCIONAL ÀS PROJEÇÕES

ESSA FORMA DE COMPENSAÇÃO É FEITA PROPORCIONALMENTE

AOS VALORES DAS COORDENADAS PARCIAIS OU PROJEÇÕES LINEARES

DE PONTO À PONTO.

FÓRMULA:

OUTRA FORMA DE CORREÇÃO LINEAR

∑ X(+) + ∑X(-) - ∆ X

PROJEÇÃO X - Vx

ONDE Vx = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA

│587,6550 + 579,0014│ - 8,6536

E1-E2 =359,0864 - Vx = -2,6635

ONDE Vx = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA = 587,6550 – 2,6635 = 584,9915

Regra de três

simples

COMPENSAÇÃO PROPORCIONAL ÀS PROJEÇÕES

ESSA FORMA DE COMPENSAÇÃO É FEITA PROPORCIONALMENTE

AOS VALORES DAS COORDENADAS PARCIAIS OU PROJEÇÕES LINEARES

DE PONTO À PONTO.

FÓRMULA:

OUTRA FORMA DE CORREÇÃO LINEAR

∑ Y(+) + ∑Y(-) - ∆ Y

PROJEÇÃO Y - Vy

ONDE Vy = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA

│797,6257 + 798,7232│ - 1,0975

E1-E2 =687,2097 - Vy = +0,4725

ONDE Vx = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA = 687,2097+0,4725 = 687,6822

COMPENSAÇÃO PROPORCIONAL ÀS PROJEÇÕES

E1X – E2X : (359,0864 X 8,6536) / 1.166,6540 = -2,6635 → PROJ.CORRIG. = 359,0864 -2,6635 → +356,4229

E1Y – E2Y : (687,2097 X 1,0975) / 1.596,3489 = +0,4725 → PROJ.CORRIG. = 110,4160 + 0,0759 → +687,6822

E2X – E3X : (192,0494 X 8,6536) / 1.166,6540 = +1,4245 → PROJ.CORRIG. = 192,0494 +1,4245 → -193,4739

E2Y – E3Y : (110,4160 X 1,0975) / 1.596,3489 = +0,0759 → PROJ.CORRIG. = 110,4160 + 0,0759 → +110,4919

E3X – E4X : (324,6597 X 8,6536) / 1.166,6540 = +2,4081 → PROJ.CORRIG. = 324,6597 +2,4081 → -327,0678

E3Y – E4Y : (179,9865 X 1,0975) / 1.596,3489 = -0,1237 → PROJ.CORRIG. = 179,9865 – 0,1237 → -179,8628

E4X – E5X : ( 62,2923 X 8,6536) / 1.166,6540 = +0,4621 → PROJ.CORRIG. = 62,2923 +0,4621 → -62,7544

E4Y – E5Y : (202,8717 X 1,0975) / 1.596,3489 = -0,1395 → PROJ.CORRIG. = 202,8717 – 0,1395 → -202,7322

E5X – E1X : (228,5686 X 8,6536) / 1.166,654 = -1,6954 → PROJ.CORRIG. = 228,5686 -1,6954 → +226,8732

E5Y – E1Y : (415,8650 X 1,0975) / 1.596,3489 = - 0,2859 → PROJ.CORRIG. = 415,8650 – 0,2859 → -415,5791

CÁLCULO GERAL DAS VISADAS

CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS

1º PASSO :

Adotar valores para as coordenadas ¨X¨e ¨Y¨ da estação base ¨E1¨

2º PASSO : Fazer a SOMA ALGÉBRICA sequencial das projeções corrigidas.

Coordenada E1 + proj. corrig. E1-E2 = Coordenada Total de E2

Coordenada E2 + proj. corrig. E2-E3 = Coordenada Total de E3

Coordenada E5+proj.corrig.E1 = Coordenada Total de E1

OBS: As coordenadas da Estação E1 ( inicial ), devem coincidir

numericamente quando na soma de suas projeções.

CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS

ADOTANDO-SE COMO COORDENADAS TOTAIS COM :

XE1= 5000,0000

YE1= 4000,0000

Coordenada X de E1 + proj. corrig. E1 - E2 = Coordenada Total de E2

Coordenada Y de E1 + proj. corrig. E1 - E2 = Coordenada Total de E2

XE2 = 5000,0000 + 356,4229 = Coordenada Total X de E2 = 5356,4229

YE2 = 6000,0000 + 687,6822 = Coordenada Total Y de E2 = 6687,6822

Existem situações em que os valores destas coordenadas atribuídas,

não podem ser aplicadas, quando a base inicial já tem valores de

amarração, como exemplo as coordenadas UTM, ou locais

Adota-se valores acima de 1000,0000, para que não ocorram situações onde os valores dessas

coordenadas assumam valores negativos, quais podem induzir a grandes erros pela não

observação do sinal ¨negativo¨ nas operações de cálculos.

DADOS DAS COORDENADAS PARCIAIS CORRIGIDAS E

COORDENADAS TOTAIS

COORDENADAS TOTAIS

ESTES SÃO OS VALORES DAS

COORDENADAS TOTAIS

E2

E3

E4

E5

E1

CÁLCULO DA ÁREA DA POLIGONAL BASE

O VALOR DA ÁREA DA POLIGONAL BASE É

DETERMINÁVEL ATRAVES DA EQUAÇÃO

DE GAUSS

VALORES DE X . Y

Trata-se de cálculo de determinante

163.686.049,9

VALORES DE Y . XTrata-se de cálculo de determinante

163.209.736,9

VALORES FINAIS DE (X . Y) E (Y . X )

CÁLCULO DA ÁREA

|(X total . Y total) - (Y total . X total)|

Obs. O cálculo de área é através da determinante de Gauss

2ÁREA =

CÁLCULO DA ÁREA

│ (X total . Y total)│ - │ (Y total . X total)│

2ÁREA =

Área final = │163.686.049,9 │- │163.209.736,9│ / 2

ÁREA TOTAL DA POLIGONAL BASE

Área final = │163.686.049,9 │- │163.209.736,9│ / 2 =

238.156,50 m²

F I M !

A S S I M

C O N C L U I – S E

O S

C A L C U L O S D A P O L I G O N A L

B A S E

O PRÓXIMO PASSO É CALCULO DAS COORDENADAS

DOS DETALHES CADASTRAIS

ISSO SERÁ FEITO NA PRÓXIMA APRESENTAÇÃO

FIM !Autor: PROFESSOR HIROSHI PAULO YOSHIZANE

31 DE MARÇO DE 2013

Todos os direitos autorais reservados