stabilnost_konstrukcija___predavanje_4_1378921059591.ppt

3. Sabilnost konstrukcija 1

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

IV časv. prof. Dr Mira Petronijević


6.6 Geometrijska matrica krutosti

Za primenu je pogodniji oblik matrice krutosti koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa.

Ta matrica predstavlja približno rešenje po Teoriji II reda.

Dobija se iz varijacije potencijalne energije štapa.


Geometrijsku matricu krutosti dobijamo tako što umesto tačnog rešenja za funkciju pomeranja v(x) po linearizovanoj teoriji II reda, koje se dobija iz diferencijalne jednačine:

usvajamo funkciju pomeranja v(x) koja je rešenje diferencijalne jednačine po Teoriji I reda:

2 0IV IIv k v

4

40

d v

dx


Polazeći od funkcije pomeranja po Teoriji I reda, iz stava o stacionarnosti potencijalne energije, izvešćemo geometrijsku matricu krutosti štapa.

x

l

q1, R1

q2, R2

q3 , R3

q4 , R4


6.6.1 Rešenje diferencijalne jednačine štapa po Teoriji I reda

Rešenje homogenog dela diferencijalne jednačine štapa po Teoriji I reda je u obliku kubnog polinoma:

1

22 3

3

4

( ) 1v x x x x A

4

40

d v

dx


Obrtanja poprečnog preseka duž ose štapa su prvi izvoda pomeranja:

4

3

2

1

23210)(

xxdx

dvx


Integracione konstante i , i=1,2,3,4 se određuju iz graničnih uslova štapa:

42

324

43

32

213

22

11

32)(

)(

)0(

)0(

llql

lllqlvv

q

qvv

k

k

i

i

lx

q1

q2

q3q4


U matričnom obliku granični uslovi glase:

1 1

2 2

2 33 3

24 4

(0) 1 0 0 0

(0) 0 1 0 0

( ) 1

( ) 0 1 2 3

,

q v

q

q v l l l l

q l l l

odnosno

q C


Odavde se dobija:

4

3

2

1

2323

22

4

3

2

1

1

1212

13230010

0001

:

q

q

q

q

llll

llll

oblikurazvijenomuili

qC


Zamenom { } u izraz za pomeranje v(x) dobija se da je:

gde je matrica interpolacionih polinoma:

1

1 22 3

3

4

( ) 1

( ) ( )

q

qv x x x x C

q

q

v x N x q

1

(1,4) (1,4) (4,4)( )N x A C

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x N x N x N x N x


Interpolacioni polinomi Ni(x) su

L’Hermit-ovi (Ermitovi) polinomi I vrste:

2 3 2 3

1 22 3 2

2 3 2 3

3 42 3 2

( ) 1 3 2 ( ) 2

( ) 3 2 ( )

x x x xN x N x x

ll l l

x x x xN x N x

ll l l


Ermitovi polinomi Ni(x) su kubni polinomi i predstavljaju elastične linije ubostrano uklještene grede po Teoriji I reda, usled jediničnih generalisanih pomeranja qi = 1.

4

1

( ) ( )i ii

v x N x q


Ako je pomeranje tačke na osi štapa:

Onda su obrtanja i drugi izvodi pomeranja :

( ) ( )

( ) ( )

v x N x q

v x N x q

( ) ( )v x N x q (C)


Stav o stacionarnosti potencijalne energije

Ravnoteža sila na deformisanoj konfiguraciji postoji kada potencijalna energija ima minimalnu vrednost:

As je je energija deformacije Rs je rad spoljašnjih sila

0s sA R


Potencijalna energija deformacije štapa

Na diferencijalno malom elementu štapa pored energije deformacije usled momenta savijanja M, javlja se i deformacioni rad momenta S nastalog usled aksijalne sile S, koji je jednak S.


Potencijalna energija deformacije štapa pri savijanju As jednaka je:

Rad sila na krajevima štapa:

2

0 0

2 2

0 0

1 1( )

2 2

1 1( ) ( )

2 2

l l

s

l l

s

MA dx S dx

EI

A EI v dx S v dx

tq RsR


Potencijalna energija štapa: =A – Rs

Za element sa konstantnim poprečnim presekom i konstantnom silom S:

2 2 t

0 0

1 1( ) ( ) q R

2 2

l l

EI v dx S v dx

t

0 0

1 1q R

2 2

l l

EI v v dx S v v dx


Ako pomeranja unutar elementa izrazimo preko pomeranja čvorova, j-na (C), dobija se:

0

0

1

2

1

2

lTT

lTT T

q EI N N dx q

q S N N dx q q R

(D)


Iz stava o minimumu potencijalne energije

iz j-ne (D) se dobija:

0 0

0

:

K K

l lT T

g

EI N N dx q S N N dx q R

ili skraćeno

q R

0q


Ko je matrica krutosti štapa po Teoriji I reda

Kg je geometrijska matrica krutosti štapa:

0

0

0

K

K

lT

lT

g

EI N N dx

S N N dx

* - S - pritisak, +S - zatezanje


U razvijenom obliku je:

1

20 1 2 3 4(4,4)

30

4

1

21 2 3 4(4,4)

30

4

K

K

l

l

g

N

NEI N N N N dx

N

N

N

NS N N N N dx

N

N


Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda dobijena integracijom interpolacionih funkcija je:

2 2

0 3

2

12 6 12 6

4 6 2K

12 6

4

l l

l l lEI

ll

sim l


1

21 2 3 4(4,4)

30

4

,

,

0

K

Element K jednak je:

K

l

g

g mn

l

g mn m n

N

NS N N N N dx

N

N

S N N dx

6.6.2 Geometrijska matrica krutosti pritisnutog štapa


Određivanje Kg,11

,11 1 1

0

2 3 2

1 12 3 2 3

22 2 3 4

,11 2 3 3 4 50 0

3 4 5

,11 03 4 5

K

( ) 1 3 2 ( ) 6 6

36K 6 6 2

36 36 1 1 1 36K 2

3 2 5 303 4 5

l

g

l l

g

lg

S N N dx

x x x xN x N x

l l l l

x x S x x xS dx dx

ll l l l l

S x x x S S

l l ll l l


2 2

g

2

36 3 36 3

4 3K

36 330

4

l l

l l lS

ll

sim l

Za pritisnuti štap je S<0

Na sličan način se dobijaju i ostali elementi:


6.6.3 Geometrijska matrica krutosti zategnutog štapa

Za zategnut štap je S>0

2 2

g

2

36 3 36 3

4 3K

36 330

4

l l

l l lS

ll

sim l


6.6.4 Matrica krutosti štapa

Ukupna matrica krutosti štapa po Teoriji II reda-približno rešenje, je:

Ona predstavlja aproksimativno rešenje, jer je dobijena iz funkcije pomeranja v(x) koja predstavlja rešenje diferencijalne jednačine savijanja po Teoriji I reda.

Zavisi od intenziteta sile S i dužine štapa.

0 gK K K


U predhodnom delu izvedena je geometrijska matrica krutosti na savijanje. Matrica krutosti za aksijalno naprezanje je ista kao u Teoriji I reda, tako da se matrica krutosti štapa u ravni dobija kombinacijom ove dve matrice na uobičajen način.


Osnovna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda, približno rešenje glasi:

gde je Q – vektor ekvivalentnog opterećenja po lin. teoriji II reda

0 gR = K + K q - Q


6.6.5 Matrica krutosti štapa (aksijalno naprezanje+savijanje)

2 2

2 2

0 3 2

2

/ 0 0 / 0 0

12 6 0 12 6

4 0 6 2

/ 0 0

12 6

4

Fl I Fl I

l l

l l lEI

l Fl I

sim l

l

K

Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda


Geometrijska matrica krutosti štapa

S<0 – pritisak, S>0 - zatezanje

2 2

2

0 0 0 0 0 0

36 3 0 36 3

4 0 3

0 0 030

36 3

4

l l

l l lS

l

sim l

l

gK


6.6.6 Geometrijska matrica krutosti prostog štapa

q2q1q3

q4

S S

R3=S

R1 = S -R2

R4

4 2 4 2R RS

q ql

l


Matrice krutosti prostog štapa (Ko+Kg)

0

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

EF

l

K

g

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

S

l

K

- matrica krutosti

- geometrijska matrica

(-S-pritisak, +S-zatezanje)


Osobine geometrijske matrice krutosti: Zavisi samo od aksijalne sile i dužine štapa, Zatezanjem štapa povećava se poprečna

krutost, Povećanjem sile pritiska smanjuje se

poprečna krutost štapa, tako da poprečno opterećenje malog intenziteta može izazvati gubitak stabilnosti (izvijanje) štapa.

Ima veliku primenu kod provere stabilnosti konstrukcija, zbog svoje jednostavnosti.

Documents

stabilnost_konstrukcija___predavanje_4_1378921059591.ppt