İSTANBUL ÜNİVERSİTESİauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/ekonometri_ue/... · 2020. 4. 17. · İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ UZAKTAN EĞİTİM UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ İSUZEM

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ

UZAKTAN EĞİTİM UYGULAMA VE

ARAŞTIRMA MERKEZİ

İSUZEM

Tüm yayın ve kullanım hakları İstanbul Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezine aittir. Hiçbir şekilde kopya edilemez, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. Kaynak gösterilerek alıntı yapılabilir.

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

2 / 16

FAKÜLTE / YÜKSEK OKUL: İKTİSAT FAKÜLTESİ

BÖLÜM: EKONOMETRİ BÖLÜMÜ

DÖNEM (GÜZ / BAHAR): BAHAR

DERSİN ADI: UYGULAMALI İSTATİSTİK -II

DERS NOTU YAZARININ

ADI-SOYADI: DOÇ. DR. HANDAN YOLSAL

CANLI DERS ÖĞRETİM

ELEMANIN ADI-SOYADI: DOÇ. DR. HANDAN YOLSAL

3 / 16

1. HAFTA DERS NOTU

4 / 16

İÇİNDEKİLER

İkinci Bölüm

Düzleştirme Yöntemleri

2.1. Hareketli Ortalamalar Yöntemleri

2.1.1. Basit Hareketli Ortalamalar

2.1.2. Merkezi Hareketli Ortalamalar

2.1.3. İkili Hareketli Ortalamalar

2.1.4. Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar

2.2. Üssel Düzleştirme Yöntemleri

2.2.1. Basit Üssel Düzleştirme Yöntemi

5 / 16

ÖZET

Seriyi gözlenemeyen unsurlarına ayrıştırarak, bu unsurlardan arındırmak amacıyla uygulanan klasik zaman serisi yöntemleri, ana unsur trendin belirlenmesi ve tahmini ile serinin öngörüsünü hedeflemektedir. Bu amaçla geliştirilen yöntemlerden biri de düzleştirme yöntemleridir. Düzleştirme yöntemlerinden hareketli ortalamalar ve üssel düzleştirme yöntemleri olarak ikiye ayrılmaktadır. Bu derste hareketli ortalamalar yöntemlerinden özellikle basit hareketli ortalamalr yöntemi açıklanacaktır. Diğer hareketli ortalamalar yöntemleri güz döneminde ayrıntısı ile incelendiğinden, bu konular kısaca özetlenerek, üsssel düzleştirme yöntemlerine başlangıç yapılacaktır.

6 / 16

2. Düzleştirme Yöntemleri

Düzleştirme yöntemleri zaman serilerini mevsimsel ve düzensiz unsurlardan arındırarak seride ilk bakışta görülmeyen eğilimleri belirleyerek düzleştirerek, genel eğilimi belirlemekte ve öngörü yapmakta kullanılan yöntemlerdir. Zaman serilerinin taşıdığı unsurlar ve bu unsurların bileşimi farklı olduğundan, her seriye uygun düzleştirme yönteminin belirlenerek uygulanması önemlidir. İlgilenilen zaman serisi uygun yöntemle düzleştirilirken, aslında bir taraftanda da öngörü yapmak amaçlandığından, serilerin gelecekte alacakları değere en yakın değer tahmin edilmeye çalışılmaktadır. Ancak hiçbir tahmin kesinlik taşımayacağından, bu noktada ilgileniilen zaman serisinin izlediği rastlantısal sürecin belirlenmesi önem kazanacaktır. Örneğin mevsimselliğin çok güçlü olduğu serilerde konjonktür hareketlerini belirlemek, düzensiz unsurların güçlü olduğu serilerde mevsimselliği belirlemek kolay olmayacaktır. Bu tip seriler için öngörüde bulunulacak dönem uzadıkça öngörünün doğruluğu da azalacaktır. Bütün finansal ve ekonomik kararları alırken, gelecekle ilgili tahmin yapılacağından öngörü yöntemlerinden yararlanılmaktadır. Bu yöntemlerden başlıcaları düzleştirme yöntemleridir.

Düzleştirme yöntemleri;

Hareketli Ortalamalar Yöntemleri

Üssel Düzleştirme Yöntemleri

olmak üzere başlıca iki sınıfta incelenmektedir. Bu yöntemler de ayrıca kendi içinde çeşitli sınıflarar ayrılmaktadır. Zaman serilerinin düzleştirilmesinde kullanılan hareketli ortalamalar yöntemlerinden özellikle merkezi hareketli ortalamalar yöntemi ilk dönemde ele alınmıştı. Şimdi öncelikle hareketli ortalamalar yöntemlerinin diğer çeşitleri inceleyelim ve ardından üssel düzleştirme yöntemleri üzerinde duralım.

2.1. Hareketli Ortalamalar Yöntemleri

Hareketli ortalamalar yöntemi zaman serilerinin düzleştirilmesinde yaygın olarak kullanılan yöntemlerdendir. Yöntem daha önce de değinildiği gibi, ilk önce belli sayıda gözlem değerinin ortalamasını alarak başlar. Daha sonra her seferinde alınan ortalamaya, en eski gözlem değeri çıkarılarak, en yeni gözlem değerinin eklenmesi ile sürer. Ortalaması alınan gözlem değerlerinin sürekli kaydırılıyor olması yöntemin adının “hareketli” olmasının nedenidir.

Hareketli ortalamalar yöntemi zaman serisinde var olan mevsimsellik ve düzensiz unsurları arındırarak trend ve konjonktürün belirlenmesini sağlamaktadır. Ancak yöntem zaman serisinin unsurlarını tek tek belirleyip, ortaya çıkarmadığı için trend ve konjonktürü modellemekte değil, seriyi yalnızca mevsimsellik ve düzensiz etkilerden arındırıp, düzleştirmekte kullanılmaktadır.

Hareketli ortalamalar yöntemi uygulanırken dikkat edilmesi gereken noktalar;

Serinin orijinal eğilimini bozmayan uygun sayıda terimin ortalamasını almak,

Gözlem sayısı kaybının en az olacağı ortalamayı seçmektir.

Zaman serisi analizlerinde amaç, seriyi düzleştirirken, öngörüsünü de yapabilmek olduğundan, uygun sayıda terimin ortalamasını almak, özellikle önemlidir. Uygun

7 / 16

ortalamayı bulabilmek için herhangi bir sistematik yöntem olamadığından, deneme yolu ile hatayı en küçükleyen ortalama sayısı seçilmektedir.

Hareketli ortalamalar yönteminin çeşitli uygulanma biçimleri;

Basit hareketli ortalamalar,

Merkezi hareketli ortalamalar,

İkili hareketli ortalamalar ve

Ağırlıklı hareketli ortalamalardır.

Şimdi sırayla bu yöntemleri yakından inceleyelim.

2.1.1. Basit Hareketli Ortalamalar

Basit hareketli ortalamalar zaman serisindeki m sayıda gözlemin basit aritmetik ortalamasını alarak, bu ortalama değeri m. terime karşılık getirip, daha sonra ortalamaya her yeni terim eklendiğinde en eski terimi m terimli ortalamaldan çıkararak gerçekleştirilir. Buna göre;

1 2 ( 1)...t t t t my y y yBHO

m

şeklinde hesaplanmaktadır. Bu ortalama değer orijinal seride m. terime karşılık gelir. Buna göre, örneğin 5’li basit hareketli ortalama;

1 2 3 4

5t t t t ty y y y yBHO

şeklinde olup, son terimle birlikte önceki dört terimin ortalamasından oluşur. Böylece her eklenen terimle en eski terim (yt-4 ) ortalamadan çıkarılır. Hesaplanan basit hareketli ortalama 5. terime karşılık geleceğinden serideki ilk dört gözlem değeri kaybolacaktır. Aynı şekilde 7’li hareketli ortalama hesaplandığında ilk 6 terim kaybolacaktır. Bu nedenle basit hareketli ortalamalar alınırken, uygun terim sayısının bulunması, gereksiz veri kaybının önlenmesi bakımından önemlidir. Basit hareketli ortalamalar yönteminde her terime

1

m

oranında eşit ağırlık verilmektedir. Bu durumda 3’lü BHO ‘da serideki terimlerin ağırlığı 1/3 olurken, 5’li BHO için ağırlık 1/5’tir. Basit ağırlıklı ortalamalarda ağırlıklar toplamı daima 1’e eşit olmaktadır.

Şimdi basit hareketli ortalamalara bir örnek verelim.

Örnek: Aşağıda bir firmanın 12 aylık satış rakamları verilmiştir.

Aylar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haz. Tem. Ağus. Eylül Ekim Kasım Aralık

Satış 312 290 325 345 356 380 372 365 390 410 430 440

8 / 16

Buna göre;

a. 3’lü

b. 5’li

c. 7’li basit hareketli ortalamalarını hesaplayınız.

Buna göre ilk olarak 3’lü basit hareketli ortalama için ;

'3

325 290 312309

3y

, '4

345 325 290320

3y

,.....

şeklinde değerler bulunur. Aynı şeklide 5’li basit hareketli ortalamalarda da

'5

356 345 325 290 312325.6

5y

, '6

380 356 345 325 290339.2

5y

,...

şeklinde hesaplanır. Böylece

Aylar Satışlar 3'lüBHO 5'li BHO 7'li BHO

Ocak 312 — — —

Şubat 290 — — —

Mart 325 309 — —

Nisan 345 320 — —

Mayıs 356 342 325.6 —

Haziran 380 360.3333 339.2 —

Temmuz 372 369.3333 355.6 340

Ağustos 365 372.3333 363.6 347.5714

Eylül 390 375.6667 372.6 361.8571

Ekim 410 388.3333 383.4 374

Kasım 430 410 393.4 386.1429

Aralık 440 426.6667 407 398.1429

hesaplanan 3’lü basit hareketli ortalamalarda iki gözlem, 5’li basit hareketli ortalamalarda 4 gözlem ve son olarak 7’li de ise 6 gözlem yitirilmiştir. Orijinal seri ile hesaplanan çeşitli basit hareketli ortalamaları aynı grafik üzerinde gösterirsek, serideki düzleşmeyi de görebiliriz.

9 / 16

280

320

360

400

440

480

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

SATIS UCLU

BESLI YEDILI

Grafikten de görüldüğü gibi alınan ortalamalardaki m terim sayısı arttıkça düzleşmenin etkisi de artmaktadır. Bu noktada seriyi düzleştirmek için aşırı ortalama almaktan kaçınmak gerektiği vurgulanmalıdır. Ortalamalarda aşırı sayıda terim yer aldığında serideki dalgalanmaların tamamen düzleşeceği ve çok fazla sayıda gözlemin yitirileceği unutulmamalıdır. Hareketli ortalamalar yöntemi ortalaması alınan gözlem sayısı arttıkça duyarlılığını yitirir.

Basit hareketli ortalamalar yöntemi, tüm düzleştirme yöntemleri gibi hem seriyi düzleştirmekve düzensiz hareketlerden ve varsa mevsimsellikten arındırmak amacıyla, hem de gelecek tahmini amacıyla kullanılmaktadır. Basit hareketli ortalamalar yöntemi ile öngörü, oldukça basit bir yaklaşımla;

1t ty BHO

şeklinde yapılmaktadır. Ancak basit hareketli ortalamalardan trend tahminlerinin öngörüleri gerçeği yansıtmaz. Yöntem seride trend olmadığı varsayımı ile öngörü yapmaktadır. Öngörünün başarılı olabilmesi için yeterince uzun geçmiş dönem verisi gerekmektedir.

Şimdi yukarıda verdiğimiz örnekte hesapladığımız basit hareketli ortalamalar serilerini öngörü amacıyla kullanalım. Buna göre, sırasıyla 3’lü, 5’li ve 7’li basit hareketli ortalamalarla, bu ortalamalara dayanarak elde edilen öngörü serileri;

Aylar Satışlar 3'lü

BHO

3’lü bir dönem ileri öngörü 5'liBHO

5’li bir dönem ileri öngörü

7'li BHO

7’li bir dönem ileri öngörü

Ocak 312 — — — — — —

Şubat 290 — — — — — —

10 / 16

Mart 325 309 — — — — —

Nisan 345 320 309 — — — —

Mayıs 356 342 320 325.6 — — —

Haziran 380 360.3333 342 339.2 325.6 — —

Temmuz 372 369.3333 360.3333 355.6 339.2 340 —

Ağustos 365 372.3333 369.3333 363.6 355.6 347.5714 340

Eylül 390 375.6667 372.3333 372.6 363.6 361.8571 347.5714

Ekim 410 388.3333 375.6667 383.4 372.6 374 361.8571

Kasım 430 410 388.3333 393.4 383.4 386.1429 374

Aralık 440 426.6667 410 407 393.4 398.1429 386.1429

Basit hareketli ortalamalarda uzun dönem öngörü yatay eksene paralel olmaya başlar. Bu durum basit hareketli ortalamaların veride trend olmadığını varsayması ve modellememesi nedeniyle olur. Yapılan öngörülerin güven aralıklarının ne şekilde genişleyeceğini veren bir istatistiki yöntem yoktur. Ancak sezgisel olarak deneme yanılma yoluyla uygun ortalama bulunur. Bu durumda öngörü başarısını düşürmektedir.

Hareketli ortalamalar yönteminde uygun ortalama sayısını belirlerken iki uç nokta ile karşılaşılır. Bunlardan biri m=1 olarak alındığında, en yakın geçmiş değer gelecek dönem tahmini için kullanılınırken, m=n olduğunda ise, diğer bir ifade ile tüm gözlem değerlerinin ortalaması alındığında ise, tüm geçmiş dönem ortalaması gelecek dönem tahmini olarak alınır.

Basit hareketli ortalamalarda öngörü başarısını ölçmek amacıyla;

Önce gerçek değerle tahmin edilen değer arasındaki fark alınarak hata miktarı bulunmalıdır.

Ardından toplam hata kareler ve ortalama hata kareler hesaplanmalıdır.

En küçük ortalama hata kare değerini veren basit hareketli ortalama en başarılı öngörüyü sağlamıştır.

Şimdi 3’lü basit hareketli ortalamalarla elde edilen öngörülerin başarısını ölçmek için ortalama hata kareyi hesaplayalım.

Satışlar 3'lü BHO

3’lü bir dönem ileri öngörü Hata Hata Kare

312

11 / 16

290

325 309

345 320 309 36 1296

356 342 320 36 1296

380 360.3333 342 38 1444

372 369.3333 360.3333 11.66667 136.1111

365 372.3333 369.3333 -4.33333 18.77778

390 375.6667 372.3333 17.66667 312.1111

410 388.3333 375.6667 34.33333 1178.778

430 410 388.3333 41.66667 1736.111

440 426.6667 410 30 900

THK 8317.889

OHK 924.2099

Burada önce her gözlem için Hata=345-309=36,... şeklinde hata serisi oluşturularak daha sonra bu serinin karesi hata kare=362=1296 alınır. Hata kareler serisinin toplamı ve aritmetik ortalaması hesaplandığında, sırasıyla toplam hata kare ve ortalama hata kare değerlerine ulaşılır.

3’lü basit hareketli ortalamalardan elde edilen ortalama hata kare değeri 924.2099 olarak bulunmuştur. Bu değerin diğer alternatif hareketli ortalamalrla kıyaslanması ve en küçük OHK değerini veren hareketli ortalamalar serisinin seçilmesi gereklidir. Ancak bunu için serinin yeterince uzun olması gerekmektedir.

2.1.2. Merkezi Hareketli Ortalamalar

Bir zaman serisinin gözlem değerleri;

y1, y2, y3, y4,y5,….yt-2. yt-1. yt

şeklindeyken, seriye örneğin 3’erli merkezi hareketli ortalamalar uygulanırsa;

1 2 323

y y yy

, 2 3 433

y y yy

, ..., 2 113

t t tt

y y yy

şeklinde hesaplanan değerler sırayla her 3’erli ortalamanın ortasındaki terimi temsilen kullanılır. Böylece oluşan yeni seride artık y2 yerine 2y , y3 yerine 3y , ve sırayla diğer terimlerin yerine hareketli ortalamalarla hesaplanan değerler gelir. Böylece merkezdeki terimler tahmin edilir.

12 / 16

Merkezi hareketli ortalamalarla basit hareketli ortalamaların temel farkı, basit hareketli ortalamalarla elde edilen değerler serideki cari değere karşılık gelirken, merkezi hareketli ortalamalarda, bu değerler merkezdeki değere karşılık gelmektedir.

Merkezi hareketli ortalamalarla ilgili pek çok örnek ilk dönemde verildiği iiçin burada daha fazla ayrıntıya girilmeyecektir.

2.1.3. İkili Hareketli Ortalamalar

Merkezi hareketli ortalamalar 4, 6, 8,... gibi çift sayılı terimler üzerinden hesaplandığında ise, yeni serinin terimleri tek terimli ortalamalardan farklı olarak, ortadaki iki terimin ortasına denk gelecektir. Örneğin 4’erli hareketli ortalamalarda önce ayrı ayrı ortadaki terimler için

1 2 3 42 34

y y y yy

ve 2 3 4 53 44

y y y yy

değerleri hesaplanıp, ardından bu iki terimin ortalaması

2 3 3 432

y yy

alındığında ikili hareketli ortalamalar hesaplanmış olacaktır. Bu yöntem yerine

512 3 4

32 2

4

yyy y y

y

şeklindeki ortalama hesabı da kullanılabilir.

2.1.4. Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar

Ağırlıklı areketli ortalamalarda ortalaması alınan m sayıdaki terime verilen ağırlıkların nasıl oalcağı önem kazanmaktadır. Aslında hareketli ortalamaların tüm çeşitleri m sayıdaki terime eşit veya farklı ağırlık vermektedir. Örneğin basit hareketli ortalamalr ve tek terimli merkezi hareketli ortalamalarda ağırlıklar 1/m oaranında eşit olup, toplamları 1’e eşittir. İkili hareketli ortalamalarda ise, durum farklıdır. Örneğin 4’erli hareketli ortalamalarda terimlere;

512 3 4

3 1 2 3 4 5

1 1 1 1 12 24 8 4 4 4 8

yyy y y

y y y y y y

şeklinde farklı ağırlık verilmektedir.

Hareketli ortalamalar yöntemi öngörü amaçlı kullanıldığında ise, m terimin ortalaması alınmakta, ancak cari değerlere geçmiş değerlerden daha fazla ağırlık verilmektedir.

2.2. Üssel Düzleştirme Yöntemleri

Özellikle basit hareketli ortalamalar yönteminde ortalaması alınan m terimin tamamına da eşit ağırlık verilmesi yönteme getirilen eleştirilerden biridir. Seriler düzleştirilirken, geçmiş dönemlerin günümüze olan etkisi azalacağından, bu dönemlere daha yakın dönemlerden daha az ağırlık verilmesinin gerekli olduğu düşünülmektedir. İşte

13 / 16

bu mantıkla en uzak geçmişteki değerlere en az ağırlığın verildiği, gözlem değerleri günümüze yaklaştıkça ağırlıklarının arttırıldığı bir yöntem olan üssel düzleştirme yöntemleri geliştirilmiştir. Üssel düzleştirme yöntemlerinde geçmişe gidildikçe ağırlıklar üssel olarak azalmaktadır.

Üssel düzleştirme yöntemlerinin terci edilmesindeki en büyük neden nispeten basit ve düşük maliyetli yöntemler olmalarıdır. Üstelik üssel düzleştirme yöntemlerinde kurulan modele veriye her eklenen yeni gözlem değeri kolayca dahil ederek tahminler yenilenebilmektedir. Ayrıca zaman serisine uygun bir üssel düzleştirme modeli bulunduğunda, pekçok karmaşık ve daha ileri öngörü yöntemleri kadar başarılı tahminler yapılabilmektedir. Bütün bu nedenler üssel düzleştirme modellerinin tercihinde etkili olan üstünlükleridir.

Üssel düzleştirme yöntemleri çok sayıda olup, bu yöntemlerin de amacı hareketli ortalamalar yöntemlerinde olduğu gibi, seriyi düzensiz unsurlardan ve varsa mevsimsellikten arındırarak, öngörüde bulunmaktır. Bütün üssel düzleştirme yöntemlerinin özünde gözlem değerlerine, (0,1) aralığında değişen ve düzleştirme sabiti olarak adlandırılan (α) katsayısının ağırlık olarak atanması yatmaktadır. Düzleştirme sabiti α, genellikle araştırmacı tarafından subjektif olarak seçilmektedir. Bu seçim deneme yanılma yoluyla yapılır ve (1 ) katsayısına yavaşlama katsayısı adı verilir. Üssel düzleştirme yöntemlerinden en basit olanı Brown tarafından geliştirilen basit üssel düzleştirme yöntemidir.


Yöntem Yt zaman serisinin belirgin bir trendinin ve mevsimselliğinin olmadığı varsayımı ile seriyi rastlantısal unsurlardan arındırmak amacıyla uygulanır. Yöntem düzleştirme sabiti olarak adlandırılan (α) katsayısının Yt zaman serisine uygulanması ile;

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t

cari düzleştirilmiş değerin, cari gözlemle bir önceki düzleştirilmiş gözlem kullanılarak elde edilen interpolasyonuna dayanmaktadır. Burada α, interpole edilmiş değerin son cari değere en yakın olmasını sağlamaktadır. F(t), t cari döneminde serinin üssel düzleştirilmiş değeri, F(t-1), bir önceki dönem değeri, Y(t) ise serinin cari değeridir. Bu işlem ardışık olarak tekrarlandığında;

( 1) ( 1) (1 ) ( 2)F t Y t F t

( 2) ( 2) (1 ) ( 3)F t Y t F t

( 3) ( 3) (1 ) ( 4)F t Y t F t

…..

…..

şeklinde serideki geçmiş değerler düzleştirilir. Değerler ilk denklemde yerine konduğunda zaman serisinin tahminleri;

( ) ( ) (1 ) ( 1) ( ) (1 ) ( 1) (1 ) ( 2)F t Y t F t Y t Y t F t 2( ) (1 ) ( 1) (1 ) ( 2)Y t Y t F t

14 / 16

2 3( ) (1 ) ( 1) (1 ) ( 2) (1 ) ( 3)Y t Y t Y t F t

2 3 4( ) (1 ) ( 1) (1 ) ( 2) (1 ) ( 3) (1 ) ( 4)Y t Y t Y t Y t F t

......

......

.....

şeklinde elde edilir. Böylece zaman serisindeki bütün geçmiş değerler, cari değerin tahmininde etkileri üssel olarak azalacak şekilde katkıda bulunur. Burada α düzleştirme sabiti (0,1) aralığında araştırmacı tarafından seçilen bir değer almaktadır. Bu modelde α için sıfıra yakın, küçük değerler seçildiğinde, hem yakın geçmiş dönemlere az ağırlık verilmiş olacak ve hem de gözlemler günümüzden uzaklaştıkça verilen ağırlığın etkisi yavaş yavaş kaybolacaktır. α için büyük değerlerin seçilmesi ise tam tersi bir etki yapmaktadır.

15 / 16

ÇALIŞMA SORULARI

1. Zaman serilerine uygulanan düzleştirme yöntemleri nelerdir vene amaçla uygulanmaktadır?

2. Aşağıda bir firmanın 12 aylık üretim rakamları verilmektedir.


Üretim 815 800 850 870 900 940 890 860 920 950 980 990

Buna göre;

a. 3’lü

b. 5’li

c. 7’li basit hareketli ortalamalar yardımıyla üretim serisini düzleştiriniz.

3. Üretim serisi için 3’Lü, 5’li, 7’li basit hareketli ortalamalar yarmıyla bir dönem ileriye öngörüde buluunuz ve öngörü için uygun hareketli ortalamalar terim sayısını belirleyiniz.

4. Basit hareketli ortalamalarla merkei hareketli ortalamalararasındaki farklar nelerdir? Açıklayınız.

5. Üssel düzleştirme yöntemlerinin avantajları nelerdir?

16 / 16

KAYNAKÇA

Akgül I. (2003), Geleneksel Zaman Serisi Yöntemleri, Der Yayınları, İstanbul

Cillov H. (1984), İstatistik Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları, No: 3235, Gür-Ay Matbaası, İstanbul

Gürtan K. (1982), İstatistik ve Araştırma Metodları, İstanbul Üniversitesi Yayınları No:2941, İstanbul

Newbold Paul, (1995), İşletme ve İktisat İçin İstatistik, Literatür Yayınları, Çev. Ü. Şenesen, 2006, İstanbul

Orhunbilge N. (1999), Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, Avcıol Basım- Yayın, İstanbul

Ayrıca tüm temel istatistik kitaplarının zaman serileri ile ilgili bölümlerinden yararlanabilirsiniz.



ARAŞTIRMA MERKEZİ

İSUZEM


2 / 13


BÖLÜM: EKONOMETRİ



DERS NOTU YAZARININ




3 / 13

2. HAFTA DERS NOTU

4 / 13

İÇİNDEKİLER

2.2.1. Basit Üssel Düzleştirme Yöntemi (Devam)

Örnek

2.2.1.1. Düzleştirme Sabitinin Seçimi

Ortalama Hata Kare

Yüzde Hata

Ortalama Mutlak Hata

Ortalama Mutlak Yüzde Hata

Theil’in U Eşitsizliği

5 / 13

ÖZET

Bu hafta basit üssel düzleştirme yönteminde serinin çeşitli düzleştirme katsayıları ile

düzleştirilmesi ve bir dönem ileri tahminin elde edilmesi uygulamaları ile anlatılacaktır.

Ayrıca uygun düzleştirme katsayılarının seçimi ile ilgili kriterler hakkında bilgi

verilecektir.

6 / 13


Şimdi bu durumu bir tablo üzerinde gösterelim. α için 0,2, 0,4, 0,6, 0,8 değerleri verirsek;

Geçmiş Değerler

Ağırlıklar α = 0,2 α = 0,4 α = 0,6 α =0,8

Yt 0,2 0,4 0,6 0,8 Yt-1 0,16 0,24 0,24 0,16 Yt-2 0,128 0,144 0,096 0,032 Yt-3 0,1024 0,0864 0,0384 0,0064 Yt-4 (0,2)(0,8)4 (0,4)(0,6)4 (0,6)(0,4)4 (0,8)(0,2)4

Burada dikkat edilirse, geçmiş verilere atanan ağırlıklar toplamları 1 olacak şekilde üssel olarak azalmaktadır.

Basit üssel düzleştirmede en önemli nokta ilk öngörü değeri olarak alınacak değerin belirlenmesidir.

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t

denkleminde f(t-1) değeri bilinmemektedir. Aynı şekilde söz konusu denklem öngörü amaçlı kullanıldığında,

( 1) ( 1) (1 ) ( )F t Y t F t

biçimine dönüşecektir. Bu durumda F(t) bilinmediğinden, gözlenen ilk değeri [Y(t)], ilk öngörü değeri [F(t)] olarak kullanılabilir. Böylece süreç oluşur. İlk gözlem değerinin oluşturulmasında bir diğer olasılık veri kümesinde ilk dört veya beş değerin ortalamasını alarak, bu ortalamayı ilk öngörü değeri olarak kullanmaktır. Burada ilk seçenek tercih edilecek ve

Y(t)= F(t)

olarak kabul edilecektir.

Şimdi de bir örnek üzerinde farklı α değerleri kullanarak basit üssel düzleştirme yöntemini uygulayalım.

Örnek: Aşağıda bir firmanın 12 aylık satış rakamları verilmiştir.

Aylar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haz. Tem. Ağus. Eylül Ekim Kasım Aralık Satış 312 290 325 345 356 380 372 365 390 410 430 440

Buna göre; α için 0,1, 0,5 ve 0,9 değerleri atayarak satışlar serisinin üssel düzleştirilmiş değerlerini elde ediniz ve Ocak ayı öngörüsünü yapınız.

7 / 13

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t

Denkleminden hareketle ilk olarak α=0,1 için;

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t =0,1*(290)+(1-0,1)*(312)=309,8

α=0,5 için;

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t =0,5*(290)+(1-0,5)*(312)=301

ve α=0,9 için;

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t =0,9*(290)+(1-0,9)*(312)=292,2

Mart ayı düzleştirilmiş değerleri bulunacaktır. Ardından diğer aylar da benzer şekilde hesaplanarak,

Aylar Satışlar α=0.1 α=0.5 α=0.9Ocak 312 — — — Şubat 290 312 312 312 Mart 325 309.8 301 292.2

Nisan 345 311.32 313 321.72 Mayıs 356 314.688 329 342.672

Haz. 380 318.8192 342.5 354.6672Tem. 372 324.9373 361.25 377.4667

Ağus. 365 329.6436 366.625 372.5467Eylül 390 333.1792 365.8125 365.7547Ekim 410 338.8613 377.9063 387.5755

Kasım 430 345.9751 393.9531 407.7575Aralık 440 354.3776 411.9766 427.7758Ocak — 362.9399 425.9883 438.7776

Üssel olarak düzleştirilmiş veriler oluşturulur. Ocak ayı öngörü değerleri ise seçilen her farklı α için sırasıyla;

α=0,1 için; ( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t =0,1*(440)+(1-0,1)*(354,3776)=362,9399

α=0,5 için; ( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t =0,5*(440)+(1-0,5)*(411,9766)=425,9883

ve α=0,9 için; ( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t =0,9*(440)+(1-0,9)*(427,7758)=438,7776

olacaktır. Çeşitli α değerleri ile düzleştirilmiş satışlar serisinin grafiğine bakıldığında ise;

8 / 13

280

320

360

400

440

480

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

SATIS 0,1 0,5 0,9

Grafikten de görüldüğü gibi α=0,9 gibi büyük α değerleri ile yapılan öngörülerde küçük düzleştirmeler sağlanmaktadır. Oysa α=0,1 gibi küçük α değerleri için yapılan öngörülerde ise makul düzleştirmeler görülmektedir. α =1 olduğu zaman son gözlemin öngörü olarak kullanıldığı üssel düzleştirme yöntemleri naif öngörü yöntemleri ile eş değer olmaktadır.

Dikkat edilirse;

( ) ( ) (1 ) ( 1) ( ) (1 ) ( 1) (1 ) ( 2)F t Y t F t Y t Y t F t

..........

2 3 4( ) (1 ) ( 1) (1 ) ( 2) (1 ) ( 3) (1 ) ( 4)Y t Y t Y t Y t F t

şeklindeki genel denklemde sürecin son terimi serinin en eski gözlem değeri, diğer bir ifade ile ilk gözlem değeri oluşturmaktadır. Bu ilk gözlem değeri, basit üssel düzleştirme yönteminde öngörü değeri olarak alındığından, yapılan bütün ardışık öngörülerde etkili olacaktır. Bu etki söz konusu F(t-i) değerine yüklenen ağırlıkla orantılı olacaktır. Bu ağırlık genellikle;

(1 )i

şeklinde olduğundan çok düşüktür. Örneğin i=13 ise, α için yukarıda atanan değerler ağırlık olarak verildiğinde,

α=0,1 13(1 0,1) =0.254187 α=0,5 13(1 0,5) =0.000122

9 / 13

α=0,9 13(1 0,9) =0.00000

söz konusu ilk değerin yapılan öngörü üzerindeki etkisi şeklinde olacaktır. Buradan da açıkça görülmektedir ki, ilk öngörü değerinde kullanılmak üzere α için küçük değerlerin seçilmesi, büyük değerlere göre seçilmesinden daha göze çarpan bir etki yapar. Bir diğer nokta öngörülecek değerler arttıkça, i büyüdükçe, ilk öngörü değerine yüklenen ağırlıklar daha da küçülecektir.

Burada sayılan öngörü için ilk değer atama sorunları bütün üssel düzleştirme yöntemlerinde vardır. Düzleştirme parametresi α sıfırdan uzaklaştıkça ve zaman geçtikçe, ilk değerin etkisi hızla azalacaktır. Bununla birlikte α =0 ise, başlangıçta alınan ilk değer ileriye yönelik pekçok zaman döneminde anlamlı rol oynacaktır. α’nın çeşitli değerlerinin düzleştirme etkisi yukarıdaki grafikten de görülmektedir.

2.2.1.1. Düzleştirme Sabitinin Seçimi

Basit üssel düzleştirme modellerinde en uygun α değerinin bulunması deneme yanılma süreci ile olmaktadır. Ancak bu deneme yanılma süreci nasıl olmalıdır? Bu noktada klasik zaman serisi analizlerinde öngörü başarısını ölçen yöntemleri kısaca hatırlarlamızda yarar var. Bu yöntemlerden ilki ortalama hata kare, diğerleri ise yüzde hata, ortalama mutlak hata, ortalama mutlak yüzde hata, Theil’in U eşitsizliğidir. Bu değerleri kısaca yeniden hatırlayalım.

Ortalama Hata Kare (OHK): Gerçek değerle öngörülen değer arasındaki farkın kareleri toplamına dayanan ortalama hata kare;

2 2

1 1

k k

t t t

t t

Y F e

OHKk k

şeklindedir. Burada Yt, gerçek değeri, Ft öngörülen değeri göstermektedir. k ise öngörülen dönem sayısıdır.

Öngörü başarısını ölçmekte ayrıca bu ölçütün karekökü de kullanılmaktadır. Kök ortalama hata kare olarak adlandırılan kriter;

2 2

1 1

k k

t t t

t t

Y F e

KOHKk k

Yüzde Hata (YH): Nispi bir ölçü olan yüzde hata,

100t t

t

Y FYH

Y

şeklinde her dönem değeri için hesaplanabilir. Yüzde hata genellikle mutlak değerce veya karesi alınarak kullanılmaktadır.

10 / 13

Ortalama Mutlak Hata (OMH): Öngörü hatalarının mutlak değerleri yardımıyla hesaplanan ortalama mutlak hata;

1 1

k k

t t t

t t

Y F e

OMHk k

şeklindedir.

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (OMYH): Yüzde hataların mutlak değerlerinin toplamı olarak hesaplanan ortalama mutlak yüzde hata;

1

100k

t t

t t

Y F

YOMYH

k

şeklindedir. Nispi bir ölçü olması nedeniyle en yaygın olarak kullanılan kriterlerdendir.

Theil’in U Eşitsizliği: Gelecek dönem geçmiş döneme (Yt=Yt-1) biçiminde eşit olacak varsayımı ile tahmin edilen ilk model ile kurulan diğer öngörü modelini kıyaslayan U eşitsizliği;

2

1

2

11

k

t t

t

k

t t

t

Y F

U

Y Y

şeklinde hesaplanır. Theil’in U katsayısı için

U>1 ise, ikinci model ilk modelden başarısızdır.

U

11 / 13

Şimdi öncelikle en uygun α değerlerini verecek OHK’yi bulmaya çalışalım. Bu amaçla yukarıdaki uygualamamızda satışlar serisi için hesapladığımız çeşitli α değerleri için elde edilen OHK değerlerini bularak kıyaslayalım. Hatırlanacağı gibi örneğimizde α için 0,1, 0,5 ve 0,9 değerleri atanmıştı. Bu değerlerden ilk olarak α =0,1 için OHK’yi bulalım.

Aylar Satışlar α=0.1 et =Yt –Ft (Yt –Ft )2

Ocak 312 — — —

Şubat 290 312 -22 484Mart 325 309.8 15.2 231.04

Nisan 345 311.32 33.68 1134.34

Mayıs 356 314.688 41.312 1706.68

Haz. 380 318.819 61.1808 3743.09

Tem. 372 324.937 47.0627 2214.9

Ağus. 365 329.644 35.3564 1250.08Eylül 390 333.179 56.8208 3228.6

Ekim 410 338.861 71.1387 5060.71

Kasım 430 345.975 84.0249 7060.18

Aralık 440 354.378 85.6224 7331.2

Ocak 362.94 — —

Toplam 509.3987 33444.82

α =0,1 için 2 2

1 1

k k

t t t

t t

Y F e

OHKk k

33444,82

3040, 43811

aynı şekilde α =0,5 için hesaplandığında; OHK=730,6512 olarak bulunacaktır. Yine α =0,9 için hesaplandığında da; OHK=431,1704 olarak bulunmuştur. Bu durumda örneğimizdeki veri kümesi için OHK ölçütüne göre en uygun düzleştirme sabitinin α =0,9 değeri olduğu söylenecektir.

Örneğimizdeki veri kümesi için denenen α değerlerine baktığımızda 0,1 değerinin düzleşme sağlamakla birlikte veri kümesinden en farklı tahmini yaptığı görülmektedir. Dolayısıyla en yüksek ortalama hata kareyi veren düzleştirme sabiti olmuştur. Oysa beklenti OHK ölçütünü küçük α değerlerinin büyük α değerlerlerine oranla daha küçülteceği yönündedir. Bu veri kümesinde durum farklıdır. Bu durumda ya veri kümesi daha fazla

incelenerek, farklı ve veri kümesine daha uygun bir düzleştirme yöntemi seçilmeli veya düzleştirme sabitinin seçimi için başka kriterler denenmelidir.

12 / 13

ÇALIŞMA SORULARI

1. Aşağıda bir firmanın 12 aylık üretim rakamları verilmektedir.


Üretim 815 800 850 870 900 940 890 860 920 950 980 990

Buna göre düzleştirme sabiti α için;

a. 0,1

b. 0,5

c. 0,7

d. 0,9

Alarak üretim serisini düzleştiriniz.

2. Üretim serisinin ve α =0,1 ,0,5, 0,7, 0,9 için düzleştirilmiş serilerin grafiğini çizerek yorumlayınız.

3. α =0,1 ,0,5, 0,7, 0,9 için düzleştirilmiş seriler yardımıyla üretim serisinin bir dönem ileriye öngörüsünü yapınız.

4. α =0,1 ,0,5, 0,7, 0,9 için düzleştirilmiş üretim serilerinin ortalama hata kare değerlerini hesaplayarak, en uygun α değerini belirleyiniz.

13 / 13

KAYNAKÇA


Genceli M. (2001), Ekonometri ve İstatistik İlkeleri, Filiz Kitabevi, İstanbul

Makridakis S., S.C. Wheelwright, R. J. Hyndman (1998), Forecasting: Methods and

Applications, 3.rd Ed., J.Wiley& Sons, USA

Newbold Paul, (1995), İşletme ve İktisat İçin İstatistik, Literatür Yayınları, Çev. Ü. Şenesen,

2006, İstanbul

Orhunbilge N. (1999), Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, Avcıol Basım-

Yayın, İstanbul




ARAŞTIRMA MERKEZİ

İSUZEM


2 / 14





DERS NOTU YAZARININ




3 / 14

3. HAFTA DERS NOTU

4 / 14

İÇİNDEKİLER

Örnek Uygun düzleştirme sabitinin arayışı Öngörü başarısını ölçen kriterlerin kullanımı Seçilen düzleştirme sabiti ile ilgili kriterlerin yorumu

5 / 14

ÖZET

Bu hafta basit üssel düzleştirme yönteminde seçilen serinin çeşitli düzleştirme

katsayıları ile düzleştirilmesi ve bir dönem ileri tahminin elde edilmesi uygulamaları

yapılacaktır. Ayrıca uygun düzleştirme katsayılarının seçimi ile ilgili kriterlerin örnek seri

üzerinde uygun düzleştirme sabitini belirlemekte ne şekilde kullanılacağı hesaplamalarla

anlatılacaktır.

6 / 14

Örnek: Aşağıda bir firmanın 12 aylık üretim rakamları verilmiştir. Aylar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haz. Tem. Ağus. Eylül Ekim Kasım Aralık

Üretim 36 20 24 28 45 23 18 12 30 32 35 27

Buna göre uygun düzleştirme sabitini bularak, üretim serisini basit üssel düzleştirme yöntemi ile düzleştiriniz.

Burada düzleştirme sabiti olarak 0,1’den 0,9’a kadar çeşitli değerler denenmiş ve her biri için öngörü başarısını ölçen kriterler kullanılmıştır.

Aylar Üretim α =0.1 α =0.3 α =0.5 α =0.7 α =0.9 Ocak 36 — — — — — Şubat 20 36 36 36 36 36 Mart 24 34.4 31.2 28 24.8 21.6 Nisan 28 33.36 29.04 26 24.24 23.76 Mayıs 45 32.824 28.728 27 26.872 27.576 Haziran 23 34.0416 33.6096 36 39.5616 43.2576 Temmuz 18 32.93744 30.42672 29.5 27.96848 25.02576 Ağustos 12 31.4437 26.6987 23.75 20.99054 18.70258 Eylül 30 29.49933 22.28909 17.875 14.69716 12.67026 Ekim 32 29.54939 24.60236 23.9375 25.40915 28.26703 Kasım 35 29.79445 26.82166 27.96875 30.02274 31.6267 Aralık 27 30.31501 29.27516 31.48438 33.50682 34.66267 Ocak — 29.98351 28.59261 29.24219 28.95205 27.76627

Burada ilk öngörü değerleri Y(t)= F(t+1) olarak alındığından; Şubat ayı öngörüsü Ocak ayı üretim değerine eşit kabul edilerek, Mart ayı değeri her farklı α için;

( 1) ( ) (1 ) ( )F t Y t F t

denklemi yardımıyla

α =0,1 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Mart

F F t Y t F t = (0,1)(20)+(1−0,1)(36)=2+32,4

FMart =34,4

α =0,3 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Mart

F F t Y t F t =(0,3)(20)+(1−0,3)(36)=6+25,2

FMart =31,2

α =0,5 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Mart

F F t Y t F t =(0,5)(20)+(1−0,5)(36)=10+18

FMart =28

α =0,7 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Mart

F F t Y t F t =(0,7)(20)+(1−0,7)(36)=14+10,8

7 / 14

FMart =24,8

α =0,9 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Mart

F F t Y t F t =(0,9)(20)+(1−0,9)(36)=18+3,6

FMart =21,6

şeklinde her farklı düzleştirme sabiti ile düzleştirilmiş seriler elde edilir. Aynı şekilde gelecek Ocak ayı değeri için de;

α =0,1 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Ocak

F F t Y t F t = (0,1)(27)+(1−0,1)(30,31501)

FOcak=2,7+27,283509=29,98351

α =0,3 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Ocak

F F t Y t F t =(0,3)(27)+(1−0,3)(29,27516)

FOcak =8,1+20,492612=28,59261

α =0,5 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Ocak

F F t Y t F t =(0,5)(27)+(1−0,5)(31,48438)

FOcak =13,5+15,74219=29,24219

α =0,7 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Ocak

F F t Y t F t =(0,7)(27)+(1−0,7)(33,50682)

FOcak =18,9+10,052046=28,952046

α =0,9 için; ( 1) ( ) (1 ) ( )Ocak

F F t Y t F t =(0,9)(27)+(1−0,9)(34,66267)

FOcak =24,3+3,466267=27,766267

Üretim serinin ve farklı düzleştirme sabitleriyle oluşturulan düzleştirilmiş serilerin grafikleri çizildiğinde;

8 / 14

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0.1 0.3 0.5

0.7 0.9 URETIM

Çeşitli düzleştirme sabitleri denenerek yapılan tahminlerden hangisinin daha uygun olduğunu belirleyebilmek için öngörü hatalarının incelenmesi gereklidir. Öngörü hataları, Şubat-Aralık dönemi için (Yt −Ft) şeklinde hesaplanarak, buradan öngörü başarısını ölçmekte kullanılan kriterler hesaplanacaktır. Buna göre hesaplamaları göstermek amacıyla α=0,1 için tüm kriterler hesaplanmıştır. Diğer α değerleri için de aynı yöntem uygulanmıştır.

Aylar Üretim α =0.1 t tY F 2( )t tY F t tY F

100t t

t

Y F

Y

100t t

t

Y F

Y

Ocak 36 — — — — — —Şubat 20 36 -16 256 16 -80 80Mart 24 34.4 -10.4 108.16 10.4 -43.3333 43.33333Nisan 28 33.36 -5.36 28.7296 5.36 -19.1429 19.14286Mayıs 45 32.824 12.176 148.255 12.176 27.05778 27.05778Haziran 23 34.0416 -11.0416 121.9169 11.0416 -48.007 48.00696Temmuz 18 32.93744 -14.9374 223.1271 14.93744 -82.9858 82.98578Ağustos 12 31.4437 -19.4437 378.0573 19.4437 -162.031 162.0308Eylül 30 29.49933 0.500674 0.250674 0.500674 1.668912 1.668912Ekim 32 29.54939 2.450606 6.005471 2.450606 7.658145 7.658145Kasım 35 29.79445 5.205546 27.09771 5.205546 14.87299 14.87299Aralık 27 30.31501 -3.31501 10.98928 3.315009 -12.2778 12.27781Ocak — 29.98351

Toplam -60.1649 1308.589 100.8306 -396.52 499.0354

9 / 14

Ortalama Hata: OH= 1 1( )

60,16495,46954

11

k k

t t t

t t

Y F e

k k

Ortalama Hata Kare: 2 2

1 1

k k

t t t

t t

Y F e

OHKk k

=1308,589

118,962611

Ortalama Mutlak Hata: 1 1100,8306

9,16641511

k k

t t t

t t

Y F e

OMHk k

Yüzde Hata: 396,52

100 36,047211

t t

t

Y FYH

Y

Ortalama Mutlak Yüzde Hata: 1

100499,0354

45,3668511

k

t t

t t

Y F

YOMYH

k

Şimdi de α=0,1 için theil’in U istatistiğini hesaplamak için gerekli hazırlıkları yapalım. U istatistiğini,

21

1 1

1

21

1

1

n

t t

t t

n

t t

t t

F Y

YU

Y Y

Y

formülü yardımıyla hesaplayabiliriz. U istatistiği, hataların en küçüklenmesini amaçlayan OHK kriterinin tersine, büyük hataları önemseyen bir bağıl ölçüttür. Bu istatistik geçmiş dönemi cari dönemin öngörüsü sayan naif yaklaşımla karşılaştırılır. Buna göre U

10 / 14

Aylar Üretim α =0.1

2

1 1t t

t

F Y

Y

2

1t t

t

Y Y

Y

Ocak 36 Şubat 20 36 0.197531 0.197531Mart 24 34.4 0.2704 0.04Nisan 28 33.36 0.049878 0.027778Mayıs 45 32.824 0.189101 0.368622Haziran 23 34.0416 0.060206 0.239012Temmuz 18 32.93744 0.42179 0.047259Ağustos 12 31.4437 1.166844 0.111111Eylül 30 29.49933 0.001741 2.25Ekim 32 29.54939 0.006673 0.004444Kasım 35 29.79445 0.026463 0.008789Aralık 27 30.31501 0.008971 0.052245

29.98351Toplam: 2.399596 3.346792

U: 0.846749

şeklinde hesaplanır. Seçilen bütün alternatif α değerleri ile yapılan öngörülerin başarısı söz konusu kriterlerle ölçüldüğünde elde edilen sonuçlar;

Hataların Analizi (Test Dönemi: Şubat-Aralık) α =0.1 α =0.3 α =0.5 α = 0.7 α =0.9

OH -5.46954 -2.24466 -1.22869 -0.91532 -0.83169 OHK 118.9626 112.9985 120.08 127.147 133.8491 OMH 9.166415 9.437188 9.81392 9.780581 9.649875 YH -36.0472 -22.859 -18.069 -15.4729 -13.4919 OMYH 45.36685 42.55849 42.22244 40.84372 39.47962

Theil U 0.846749 0.815237 0.877182 0.938669 0.981649

biçimindedir. Görüldüğü gibi çeşitli α değerleri için öngörü başarısını ölçen kriterler farklı sonuçlar vermektedir. Bu durumda en uygun α değeri olarak genellikle OHK kriteri benimsenmektedir. OHK değerini en küçükleyen α, burada da en uygun α değeri seçilmiştir. Bu durumda en uygun düzleştirmeyi sağlayan sabit α=0.3 olarak alınmıştır. Yapılan çalışmalar α için 0.01 ile 0.3 arasındaki değerlerin kullanımının daha uygun olduğunu göstermekle birlikte, 0.3’den daha büyük α değerlerinin kullanımının da sakıncalı olmadığı bilinmektedir. Ancak burada seçilen uygun α yalnızca bir başlangıç değeri olarak kabuledilmeli ve daha farklı α değerleri de denenmelidir. Genellikle α için virgülden sonra üç haneli değerlere kadar deneme yapılmaktadır. Bu nedenle α=0.3 değeri etrafındaki çeşitli değerler de düzleştirme sabiti olarak atanmış ve öngörüleri test edilmiştir. En uygun olarak

11 / 14

belirlenen düzleştirme sabiti α=0.2 olup, bu değerle yapılan öngörü ve öngörü başarısı ile ilgili değerler aşağıda verilmiştir.

Aylar Üretim α=0.2Ocak 36 —Şubat 20 36Mart 24 32.8Nisan 28 31.04Mayıs 45 30.432Haziran 23 33.3456Temmuz 18 31.27648Ağustos 12 28.62118Eylül 30 25.29695Ekim 32 26.23756Kasım 35 27.39005Aralık 27 28.91204Ocak — 28.52963

ÖngörüKriterleri OH OHK OMH YH OMYH Theil Uα=0.2 -3.39562 111.9418 9.330795 -27.6413 43.60499 0.804597

Üretim serisi ile α=0.2 düzleştirme sabitinin yarattığı öngörüye grafik üzerinde baktığımızda,

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

URETIM 0.2 0.3

α=0.2 ile ile sağlanan düzleşmenin α=0.3 ile sağlanan düzleşmeden daha fazla olduğu görülmektedir. Uygun düzleştirme sabitini bulmak için gereken süreçleri otomatik olarak

12 / 14

gerçekleştiren bilgisayar programları vardır. Seçim işlemleri bu programlarda çok daha kısa bir şekilde yapılmakta ve bütün sonuçlar kullanıcıya karşılaştırmalı olarak sunulmaktadır.

13 / 14

ÇALIŞMA SORULARI Aşağıda bir firmanın 12 aylık üretim rakamları verilmektedir.


Üretim 815 800 850 870 900 940 890 860 920 950 980 990


1. Üretim serisinin uygun düzleştirme sabitini aşama aşama araştırarak bulunuz.

2. Düzleştirilmiş seriler yardımıyla üretim serisinin bir dönem ileriye öngörüsünü yapınız.

3. Öngörü başarısını ölçen kriterleri hesaplayarak düzleştirilmiş üretim serisine en uygun α değerini belirleyiniz.

4. Seçtiğiniz düzleştirme sabiti ile üretim serisinin grafiğini çizerek yorumlayınız.

KAYNAKÇA



14 / 14




2006, İstanbul


Yayın, İstanbul




ARAŞTIRMA MERKEZİ

İSUZEM


2 / 14





DERS NOTU YAZARININ




3 / 14

4. HAFTA DERS NOTU

4 / 14

İÇİNDEKİLER

Öngörü Yöntemleri

Örnek

Basit Üssel Düzleştirme Yöntemine Uyumcu Yaklaşım

5 / 14

ÖZET

Bu hafta bütün ekonomik zaman serilerinin öngörü amaçlı kullanımlarında uygulanan

tahmin aşamaları açıklanarak, örnek verilecektir. Ayrıca basit üssel düzleştirme

yönteminde sabit olan düzleştirme katsayısının veriye uygun bir şekilde dönemden

döneme değişimini sağlayan basit üssel düzleştirme yöntemine uyumcu yaklaşım

anlatılacaktır.

6 / 14

Uygun α düzleştirme sabiti aranırken, iki uç nokta ile karşılaşılır. α =0 ise düzleştirme

değeri başlangıç değerine eşit olur. Aksine α=1 ise her düzleştirilen değer bir önceki değere eşit olur. bütün düzleştirme yöntemlerinde amaç serinin öngörüsünün yapılabilmesi olduğundan şimdi öngörü (gelecek tahmini) üzerinde duracağız. İlk olarak bütün zaman serisi yöntemlerinde öngörünün nasıl yapıldığına dair genel ilkeleri açıklayacağız. Ardından da basit üssel düzleştirme yöntemini kullanarak seçtiğimiz serinin öngörüsünü yapacağız.

Öngörü Yöntemleri

Daha önce ekonomik zaman serilerinin öngörüsünü yapmak amacıyla trend

analizinden yararlanmıştık. Basit doğrusal trend analizi ile yapılan öngörüler en basit öngörüler olmaktadır. Zaman serisi yöntemleri geliştikçe, bu yöntemlerin uygulandığı serilerin öngörüleri de, öngörü başarıları da artmıştır. Öncelikle öngörüsü yapılacak seri için genel olarak, geçmişteki özelliklerin gelecekte de devam edeceği varsayılmaktadır. ekonomik zaman serilerinin öngörüsü, serinin taşıdığı trend, konjonktür ve mevsimsellik gibi unsurların değişmeden süreceği varsayımı ile geçmiş dönem verilerine dayanılarak yapılmaktadır. Bu durumda seride daha önce görülmeyen bir dalgalanma olması halinde, yapılacak öngörü

geçmiş dönem verilerine dayandığı için başarılı olamayacaktır. Şimdi öngörü adımlarını inceleyelim.

Öngörüde bulunacağımız serinin herhangi bir dönemini kendimize kaynak noktası olarak almalıyız. Bu noktaya referans noktası adı da verilmektedir. İşte bu noktadan geçmiş dönem gözlemlerine de, gelecek dönem gözlemlerine de bakabiliriz. Bilindiği gibi zaman serilerinde tahmin, hem ileri doğru gelecek dönem tahmini şeklinde, hem de geriye doğru yapılabilmektedir. Ancak öngörüsü yapılacak seri için öncelikle serinin taşıdığı unsurları açıklayan uygun bir öngörü modelinin seçilmesi gerekmektedir. Araştırmacı tarafından parametrelerin bulunması ve başlangıç sürecinin seçimi akla uygun bir şekilde yapılarak bilinen veri kümesi modele yerleştirilmelidir. Böylece bilinen verinin model tarafından tahmini yapılabilir ve tahmin hatalarının, uyumun iyiliğini ölçen ölçütlerin hesaplanması mümkün olur. üstelik bu şekilde veriye yeni gözlem değerleri eklendikçe, her birim ilave edilerek öngörü hataları yeniden hesaplanabilir. Düzleştirme yöntemleri yapıları gereği ardışık yöntemler olduğundan, veri kümesine yeni birimlerin birer birer eklenmesine ve bu birimlerin öngörüye veya tahmine yaptıkları katkının ölçülmesine izin veren yöntemlerdir.

Dolayısıyla bu yöntemler eldeki eski veri kümesindeki bütün geçmiş bilgiyi kullanarak, cari döneme doğru hareket imkânı verirler.

Herhangi bir öngörü yöntemi için uygulanacak adımlar şöyle sıralanabilir.

Adım 1: İlgilenilen zaman serisi başlangıç kümesi ve test (sınama) kümesi olmak üzere iki parçaya bölünür. Ancak bundan sonra öngörü yönteminin değerlemesi yapılabilir.

Adım 2: Ekonomik zaman serisine uygun bir öngörü modeli seçilmelidir.

7 / 14

Adım 3: Başlangıç veri kümesi öngörü yöntemini başlatmak için kullanılır. Bu aşamada veri kümesi incelenerek, herhangi bir trend, konjonktür ve mevsim unsuru varsa, tahmini yapılır.

Bu aşamada kurulan uygun modelin parametreleri de tahmin edilir.

Adım 4: Adım 3’te yapılan tahminler geçerli ise, seçilen öngörü yöntemi test dönemine ait veri kümesine uygulanarak, veri üzerinde seçilen yöntemin ne derece uygun olduğu incelenir. Ancak bu aşamada seçilen model serinin unsurlarını tahmin etmek amacıyla kullanılmaz. Veri kümesine gözlem birimleri birer birer eklenerek her öngörüden sonra öngörü hataları

belirlenir. Böylece seçilen öngörü yöntemi bütün test dönemi veri seti üzerine uygulanarak,

öngörü başarısını ölçen kriterler hesaplanır. Bu adım gerçekte bir tekrarlama sürecidir.

Adım 5: Son olarak öngörü yöntemi veri kümesinin farklı dönemlerinde uygulanarak başarısı ölçülür. Verinin barındırdığı ilk bakışta yakalanamayan bilgi açığa çıkar.

Öngörü aşamaları aşağıdaki şemada gösterilmiştir.

8 / 14

a. Kaynak Noktası

Zaman

b. Eldeki geçmiş veri

Verinin geçmiş n dönemi

c. Gerekli gelecek öngörüler

Gelecek m dönem

d. Modeli kullanarak (uydurulan) yerleştirilen veriler

e. Uyum hataları

(Yt-n+1-Ft-n+1), ..., (Yt-1-Ft-1), (Yt-Ft),

f. Öngörü hataları (Yt, Yt+1, v diğerleri uygun oldukça

(Yt+1-Ft+1), (Yt+2-Ft+2),.....

Şimdi

Yt-n+1 Yt-2 Yt-1 Yt

Ft-n+1 Ft-2 Ft-1 Ft

Ft+1 Ft+m

Kaynak: Makridakis S., S.C. Wheelwright, R. J. Hyndman (1998), Forecasting: Methods and Applications, 3.rd Ed., J.Wiley& Sons, USA, s.139

Burada Ft+1, Ft+2,.... vd. Yt+1, Yt+2,....’nin öngörülmüş değerleri olarak alınır. Ft-1 gibi veriye uydurulan değerler Yt-1’in tahmin değeri olarak sunulabilir. Bu atama iki farklı şekilde yapılabilir:

1. Regresyon sürecinde F öngörü serisinin bütün değerleri F1’den Ft’ye bir regresyon denklemi kullanılarak tahmin edilir.

2. Üssel düzleştirme yönteminde, model tarafından veriye uydurulmuş değerler aslında öngörülmüş değerlerdir. Bu değerler ardışık olarak tahmin edilmektedir.

9 / 14

Herhangi bir düzleştirme yönteminde öngörü aşamaları:

Adım 1: İncelenecek ekonomik zaman serisini seç. Veri kümesini başlangıç kümesi ve test kümesi

olarak ikiye böl.

Adım 2: Uygun düzleştirme yöntemini seç.

Adım 3: Başlangıç veri kümesini kullanarak yöntemi başlat.

Adım 4: Seçtiğin düzleştirme yöntemini test dönemi veri kümesi üzerinde kullan. Test ölçütleri OHK, OMYH, vs.

Parametre değerlerini etkinleştir.

Adım 5: Öngörü başarısını değerlendir. Olumlu olumsuz yanları belirle. Gizli bilgiyi açığa çıkar.

Çizim: Makridakis S., S.C. Wheelwright, R. J. Hyndman (1998), Forecasting: Methods and Applications, 3.rd Ed., J.Wiley& Sons, USA, 140

Öngörüsü yapılacak serinin başlangıç dönemi ve test dönemi olarak ikiye ayrılması, zaman serisi tekniklerinin tamamında uygulanan bir ilkedir. Basit hareketli ortalamalardan

başlayarak, üssel düzleştirme yöntemleri veardından geliştirilen ARIMA modelleri ile daha ileri zaman serisi yöntemlerinin tamamında aynı ilke uygulanmaktadır.

Şimdi açıkladığımız öngörü adımlarını bir örnek üzerinde uygulayalım. Bu amaçla daha önce uygun düzleştirme sabiti olarak α=0.2 değerinin seçildiği serimizi başlangıç veri kümesi ve test dönemi olarak ikiye ayıralım. Burada düz öngörü tahmini hedeflenirse;

Ft+h=Ft+1 h=1,2,3,...

10 / 14

şeklinde alınmalıdır. Basit üssel düzleştirme yöntemi en çok trend, konjonktür ve mevsimselliğin olmadığı veri tipine uyduğundan, düz öngörü tahmini uygulanabilir.

Dönemler Yt α=0.21 36 362 20 363 24 32.84 28 31.045 45 30.4326 23 33.34567 18 31.276488 12 28.621189 30 25.29695

10 32 26.23756

11 35 27.39005

12 27 28.91204

13 25 28.52963

14 22 27.8237

15 35 26.65896

16 25 28.32717

17 20 27.66174

18 43 26.12939

19 48 29.50351

20 28 33.20281

21 34 32.16225

22 30 32.5298

23 39 32.02384

24 33 33.41907

25 33.3352626 33.3352627 33.3352628 33.33526

Burada 1-10 gözlemler arası başlangıç dönemi olarak seçilmiştir. Ardından test dönemi olarak 11-24. gözlemler arası alınmıştır. Test dönemi olarak alınan 11-24. gözlemlerdem hesaplanan öngörü başarı kriterleri ise;

OH OHK OMH YH OMYH α=0.2 2.123289 68.55091 6.466997 1.361602 19.5863

şeklindedir. Burada unutulmamalıdır ki, tek bir model ile öngörü başarısını ölçmek anlamsızdır. Bu amaçla öngörüsü istenen seri için alternatif olarak üretilen farklı öngörü

modelleri ile aynı dönemlerde öngörü yaparak, bu alternatiflerin kıyaslanması gereklidir.

11 / 14

Ancak öngörü başarısını ölçen OHK, OMYH gibi kriterler, serinin ölçü birimine bağlı olduklarından, ancak aynı ölçü birimi ile ölçülmüş veya aynnı dönüştürme uygulanmış veriler kullanılarak yapılan öngörülerin kıyaslamasında bu kriterlerden yararlanılabilir. Diyelim ki,

öngörü yönteminin uygulandığı iki serinin öngörü başarısı söz konusu kriterlerle ölçülmek isteniyor. Ancak serilerden biri mutlak değerleri ile tahmin edilmişken, diğerinin logaritmik değerleri alındıktan sonra tahmini yapılmış. Bu durumda hangi serinin öngörüsünün daha başarılı olduğunu belirlemek için iki yol denenebilir:

Mutlak olarak alınan serinin değerlerine logaritmik dönüşüm uygulanarak buradan hesaplanan öngörü başarı kriterleri logaritmik serinin kriterleri ile kıyaslanır.

Logaritmik serinin antilogaritması alınarak buradan hesaplanan değerler mutlak serinin değerleri ile kıyaslanır.

Basit Üssel Düzleştirme Yöntemine Uyumcu Yaklaşım

Basit üssel düzleştirme yöntemi düzleştirme sabiti olarak uygun bir α değerinin belirlenmesini gerektirir. Bu sabitin seçimi OHK; OMYH gibi ölçütlere göre yapılır. Basit

üssel düzleştirme yöntemine uyumcu yaklaşım, yönteme uyumcu tepki oranı getirir. Böylece basit üssel düzleştirme yöntemine göre α değerini iyileştiren, süreci kontrol eden ve verideki gözlenemeyen bilgiyi açığa çıkaran avantajlar sağlar.

Basit üssel düzleştirme yöntemine uyumcu yaklaşımda öngörüler için gereken denklem yine basit üssel düzleştirme yöntemindeki

( 1) ( ) (1 ) ( )F t Y t F t

genel denkleme benzer şekilde olur. Ancak burada α değerinin yerini αt değeri alır. Buna göre;

( 1) ( ) (1 ) ( )t t

F t Y t F t

olur. Burada

1t

t

t

A

M

1(1 )t t tA E A

1(1 )t t tM E M

t t tE Y F

şeklindedir. ise 0 ile 1 arasında bir parametredir. Burada At öngörü hatalarının düzleştirilmiş tahminini gösterir ve bu değer son öngörü hatası Et ile At-1’nin ağırlıklı ortalamasıdır. Benzer şekilde Mt mutlak öngörü hatasının düzleştirilmiş değerini gösterirken,

12 / 14

son öngörü hatalarının mutlak değeri tE ile Mt-1 ’nin ağırlıklı ortalaması olarak hesaplanır.

Eşitliklere dikkat edilirse At ve Mt denklemleri aslında birer basit üssel düzleştirme tahminidir.

1t eşitliği t+2 dönemi için kullanılacak αt değerini gösterir ve At’nin Mt’ye oranının mutlak

değeri olarak hesaplanır. Bu denklemde 1t yerine αt değeri de kullanılabilir. Ancak basit

üssel düzleştirme yönteminin uyumcu yaklaşımında her dönemin tepkileri değiştiğinden, 1t tercih edilmektedir.

13 / 14



Üretim 815 800 850 870 900 940 890 860 920 950 980 990


1. Üretim serisinin basit üssel düzleştirme yöntemi ile k=3 dönem için öngörüsünü yapınız.

14 / 14

KAYNAKÇA






2006, İstanbul


Yayın, İstanbul




ARAŞTIRMA MERKEZİ

İSUZEM


2 / 13





DERS NOTU YAZARININ




3 / 13

5. HAFTA DERS NOTU

4 / 13

İÇİNDEKİLER

Basit Üssel Düzleştirme Yöntemine Uyumcu Yaklaşıma Örnek

Doğrusal Hareketli Ortalamalar Yöntemi Örnek

Brown’un İkili Üssel Düzleştirme Yöntemi Örnek

5 / 13

ÖZET

Basit üssel düzleştirme yöntemine uyumcu yaklaşımla ilgili bir örnek verilerek düzleştirme katsayısının dönemden döneme nasıl değiştiği anlatılacaktır. Ayrıca serilerde yalnızca rastlantısal etkiler olduğunda kullanılan basit üssel düzleştirme yönteminin yetersiz kaldığı trend içeren serilere uygulanan doğrusal hareketli ortalamalar ve Brown’un ikili üssel düzleştirme yöntemi örneklerle açıklanacaktır.

6 / 13

Örnek:

Basit üssel düzleştirmeye uyumcu yaklaşım, üssel düzleştirme yönteminden biraz daha karmaşıktır. Şimdi uygun düzleştirme sabiti olarak α=0.2 değerini bulduğumuz serimizi uyumcu yaklaşımı uygulayarak, düzleştirelim. Bunun için önce;

F2=Y1

2 3 4 5 0.2

At =Mt = 0

değerlerini verelim. Bu değerlere bağlı olarak uyumcu yaklaşımı kullanarak yapılan öngörüler;

Aylar Dönem Gözlemler

YtÖngörüler

FtHata

EtDüzleştiril.

AtMutlakDüz

Hata Mt αtOcak 1 36 − − − − −Şubat 2 20 36 -16 -3.2 3.2 0.2Mart 3 24 32.8 -8.8 -4.32 4.32 0.2Nisan 4 28 31.04 -3.04 -4.064 4.064 0.2Mayıs 5 45 30.432 14.568 -0.338 6.165 0.2Haziran 6 23 33.346 -10.346 -2.339 7.001 0.055Temmuz 7 18 32.779 -14.779 -4.827 8.557 0.334Ağustos 8 12 27.841 -15.841 -7.030 10.013 0.564Eylül 9 30 18.904 11.096 -3.405 10.230 0.702Ekim 10 32 26.694 5.306 -1.663 9.245 0.333Kasım 11 35 28.460 6.540 -0.022 8.704 0.180Aralık 12 27 29.636 -2.636 -0.545 7.491 0.003

− 29.629 − − − 0.073

tablodaki gibidir. Burada ilk beş döneme ait düzleştirme sabiti aynı kabul edilmiştir. 12. dönem için öngörü ise;

12 11 11 11 11(1 ) 0.180(35) (1 0.180)(28.460) 29.636F Y F

Şeklinde yapılır. Buna göre gerçek F12 değeri bilindiğinde αt güncellenerek gelecek dönemin (F13) hesaplamasında kullanılabilir. Bu durumda E12, A12, M12 ve α13 değeri de,

E12=27−29.636=−2.636

A12= 0.2(−2.636)+0.8(−0.022)= −0.545

M12=0.2│−2.636│+0.8(8.704)=7.491

ve 130.545

0.0737.491

7 / 13

şeklinde hesaplanır. Böylece 13. dönemin öngörüsü de

13 12 12 12 12(1 ) 0.003(27) (1 0.003)(29.636) 29.629F Y F

olarak yapılır. Dikkat edilirse uyumcu yaklaşımda αt değeri anlamlı bir şekilde dalgalanmaktadır. Başlangıç süreci farklı olursa, αt için de farklı bir seri üretileceği açıktır. Düzleştirme sabiti oluşturulurken, oluşan dalgalanmalar dikkate alınarak değerlendirilmelidir. Belki de bu değişmelerin oluşumu önlenmelidir. αt ‘deki değişmeleri denetlemenin bir yolu β değerini denetlemektir. β’nin küçük değerleri için αt ‘deki değişmeler daha az olacaktır. Diğer bir yol ise, bir dönemden diğerine αt ‘nin değişimine ne kadar izin verilecekse, bu değeri üst sınır olarak almaktır.

Özetle, basit üssel düzleştirme yöntemine uyumcu yaklaşım, verinin ilerleme sürecinde bir dönemden diğerine değişime izin veren sistematik olarak αt değerini hesaplayan ve güncelleyen bir yöntemdir. Bu yaklaşımda da veri kümesinde trend ve mevsimsel etkinin olmadığı varsayılmaktadır.

Genel olarak bütün üssel düzleştirme yöntemlerinde ileri doğru yapılan her tahmin gerçekleşir gerçekleşmez, gerçekleşen bu değer kullanılarak bir sonraki dönemin öngörüsü yapılabilir. bu özellik düzleştirme yöntemlerinden başka hemen hiçbir yöntemde yoktur. Örneğin trend denklemi yardımıyla öngörü yapmak istersek, gerçekleşen veriyi ancak yeni bir denklem oluşturarak, tahmin sürecine ilave edebiliriz.

Ekonomik zaman serilerinde trend ve mevsimsellik gibi unsurların olmadığını varsaymak gerçekçi bir yaklaşım olmadığından, daha sonra geliştirilen yöntemlerde basit üssel düzleştirme yönteminin bu eksikliği giderilmeye çalışılmıştır. Sırasıyla önce trend ve daha sonra mevsimsellik içeren serileri düzleştiren yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin ilki Brown’un ikili üssel düzleştirme yöntemidir. Yöntem doğrusal hareketli ortalamalar yöntemine benzemektedir. Bu noktada doğrusal hareketli ortalamalarla ilgili kısaca bilgi verelim.

Doğrusal Hareketli Ortalamalar Yöntemi

Doğrusal hareketli ortalamalar yöntemi trendi olan verileri düzleştirmekte kullanılır. Yöntem hareketli ortalamaların üst üste iki kere uygulanmasından ibarettir. Bu yöntemde

düzleştirilen seri ile yapılan tahminler gerçek değerin altında kalır. Yöntemde önce birinci hareketli ortalamalar;

1 2 ( 1)'...t t t t m

t

y y y yy

m

şeklinde uygulanarak ardından bu şekilde oluşturulmuş seriye ikinci bir basit hareketli ortalamalar

( 1)

' ' ' '1 2''

...t mt t t

t

y y y yy

m

8 / 13

Buradan

' ' '' ' ''( ) 2t t t t t ta y y y y y ve

' ''21t t t

b y ym

yardımıyla doğrusal trend denklemi;

ˆt k t ty a b k

Şeklinde tahmin edilir. Burada k öngörü dönemini sayısıdır.

Şimdi daha önce basit üssel düzleştirme uyguladığımız seriye doğrusal hareketli ortalamalar yöntemini uygulayarak öngörüsünü yapalım.

Aylar Satışlar 'ty

''ty ta tb ˆt k t ty a b k

Ocak 36 — — — — — Şubat 20 — — — — — Mart 24 26.67 — — — — Nisan 28 24.00 — — — — Mayıs 45 32.33 27.67 37.00 4.67 — Haziran 23 32.00 29.44 34.56 2.56 41.67 Temmuz 18 28.67 31.00 26.33 -2.33 37.11 Ağustos 12 17.67 26.11 9.22 -8.44 24.00 Eylül 30 20.00 22.11 17.89 -2.11 0.78 Ekim 32 24.67 20.78 28.56 3.89 15.78 Kasım 35 32.33 25.67 39.00 6.67 32.44 Aralık 27 31.33 29.44 33.22 1.89 45.67 Ocak — — — — — 35.11 Şubat — — — — — 37.00 Mart — — — — — 38.89

Ocak- Mart dönemine ait üç aylık öngörü son sütunda görülmektedir. Şimdi kısaca bu değerlerin nasıl hesaplandığına bakalım. İlk olarak seriye 3’erli basit hareketli ortalamalar;

' 36 20 24 26.673

Marty

.......

olacak şekilde uygulanmıştır. Ardından oluşan basit hareketli ortalamalar serisine ikinci kere basit hareketli ortalamalar uygulanmıştır.

'' 26.67 24 32.33 27.673Mayıs

y

9 / 13

.......

Böylece oluşan seriden

' ' '' ' ''( ) 2 2(32.33) 27.67 37t t t t t ta y y y y y

Ve ' ''2 2 (32.33 27.67) 4.671 3 1

t t tb y ym

olarak hesaplanan katsayılarla haziran ayı için trend değeri;

ˆ 37 4.67 37 4.67(1) 41.67Haziran t ty a b k k

olarak bulunur. Böylece Haziran ayının değeri Mayıs ayı verileri ile tahmin edilmiş olur. Gerçekleşmiş değerlerin tahmini yapılırken hep bir sonraki gözlem öngörüleceğinden, trend denklemi yardımıyla;

ˆ 39 6.67(1) 45.67Aralık t ty a b k

ˆ 33.22 1.89(1) 35.11Ocak t ty a b k

ˆ 33.22 1.89(2) 37Şubat t ty a b k

ˆ 33.22 1.89(3) 38.89Mart t ty a b k

serideki son dönem değeri üç dönem ileri öngörü yapmakta kullanılır.

Brown’un İkili Üssel Düzleştirme Yöntemi

Brown’un ikili üssel düzleştirme yöntemi mevsimsel etki taşımayan, ancak doğrusal trende sahip olan serilerin düzleştirilmesinde kullanılan bir yöntem olup, basit üssel düzleştirme yönteminin iki kere uygulanmasından oluşur. Yöntem bu yönü ile doğrusal hareketli ortalamalar yöntemine benzese de, geçmiş dönemlere hareketli ortalamalarda olduğu gibi eşit ağırlık vermez. Üssel düzleştirme yöntemlerinin mantığına uygun bir şekilde gittikçe azalan ağırlıklar verir. Bu yöntemin hareketli ortalamalara bir diğer üstünlüğü tahmin yapabilmek için yalnızca üç gözlem değeri ve düzleştirme sabitinin yeterli olmasıdır. İkili üssel düzleştirme yönteminde de düzleştirme sabiti deneme yanılma yöntemi ile belirlenir.

İkili üssel düzleştirme yönteminde önce ilk sonra ikinci düzleştirilmiş seriler elde edilir ve aralarındaki farklar alınarak ilk düzleştirilmiş veriye ilave edilir. Basit üssel düzleştirme ile elde edilen

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t

seri ikinci düzleştirmede

10 / 13

' '( ) ( ) (1 ) ( 1)F t F t F t

olacak şekilde kullanılır. Buradan öngörü amacıyla;

' '( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )ta F t F t F t F t F t

ve '( ) ( )1

tb F t F t

değerleri bulunarak,

ˆt k t ty a b k

şeklindeki trend denklemi oluşturulur.

Şimdi ikili üssel düzleştirme yöntemini yine daha önce basit üssel düzleştirmesini yaptığımız seriye uygulayalım. Bu seri için uygun düzleştirme sabitinin α=0.2 olduğu bilinmektedir. Buna göre;

Aylar Y(t) F(t) F'(t) ta tb ˆt k t ty a b k

Ocak 36 36 36 — — — Şubat 20 32.8 35.36 30.24 -0.64Mart 24 31.04 34.496 27.584 -0.864 29.6 Nisan 28 30.432 33.6832 27.1808 -0.8128 26.72 Mayıs 45 33.3456 33.61568 33.07552 -0.06752 26.368 Haziran 23 31.27648 33.14784 29.40512 -0.46784 33.008 Temmuz 18 28.62118 32.24251 24.99986 -0.90533 28.93728 Ağustos 12 25.29695 30.8534 19.7405 -1.38911 24.09453 Eylül 30 26.23756 29.93023 22.54489 -0.92317 18.35139 Ekim 32 27.39005 29.42219 25.3579 -0.50804 21.62172 Kasım 35 28.91204 29.32016 28.50391 -0.10203 24.84986 Aralık 27 28.52963 29.16205 27.8972 -0.15811 28.40188 Ocak — — — — — 27.7391 Şubat — — — — — 27.58099 Mart — — — — — 27.42289

şeklinde düzleştirilmiş seri elde edilir. Burada şubat dönemi için F(t) ve F’(t) değerleri hesaplanırken Y(t) serisinin ilk gözlem değerinin alındığına dikkat edilmelidir. Böylece ilk düzleştirme;

( ) ( ) (1 ) ( 1) 0.2(20) 0.8(36) 32.8F Şubat Y t F t

şeklinde ve ikinci düzleştirme de

' '( ) ( ) (1 ) ( 1) 0.2(32.8) 0.8(36) 35.36F Şubat F t F t

11 / 13

olur. Trend denklemini oluşturmak için katsayılarımız ise;

'( ) ( ) ( ) 32.8 (32.8 35.36) 30.24Şubata F t F t F t

' 0.2( ) ( ) (32.8 35.36) 0.641 0.8

tb F t F t

olur ki, buradan Mart ayı için trend değerimiz;

ˆ 30.24 0.64(1) 29.6Mart t ty a b k

şeklinde hesaplanır. Gelecek yılın Ocak, Şubat ve Mart ayı için öngörüler ise

ˆ 27.8972 0.15811(1) 27.7391Ocak t ty a b k

ˆ 27.8972 0.15811(2) 27.58099Şubat t ty a b k

ˆ 27.8972 0.15811(3) 27.42289Mart t ty a b k

şeklinde elde edilir.

12 / 13



Üretim 815 800 850 870 900 940 890 860 920 950 980 990


1. Üretim serisine basit üssel düzleştirme yöntemine uyumcu yaklaşımı uygulayarak, uygun düzleştirme katsayısını bulunuz ve değişimlerini gösteriniz.

2. Üretim serisine 3’erli hareketli ortalamalar alarak doğrusal hareketli ortalamalar yöntemi ile trendini belirleyiniz ve k=3 dönem için öngörüsünü yapınız.

3. Üretim serisine Brown’un ikili üssel düzleştirme yöntemini uygulayarak trendini belirleyiniz ve k=3 dönem için öngörüsünü yapınız.

13 / 13

KAYNAKÇA






2006, İstanbul


Yayın, İstanbul




ARAŞTIRMA MERKEZİ

İSUZEM


2 / 13





DERS NOTU YAZARININ




3 / 13

6. HAFTA DERS NOTU

4 / 13

İÇİNDEKİLER

Holt’un İki Parametreli Doğrusal Düzleştirme Yöntemi

Örnek Brown’un Kuadratik Üssel Düzleştirme Yöntemi

Örnek

5 / 13

ÖZET

Bu hafta basit üssel düzleştirme yönteminin yetersiz kaldığı trend içeren serilere uygulan yöntemlerden olan Holt’un iki parametreli doğrusal düzleştirme yöntemi örneklerle açıklanacaktır. Ayrıca trendin doğrusal olmadığı durumlarda kullanılan Brown’un kuadratik üssel düzleştirme yöntemi örneklerle açıklanacaktır.

6 / 13

Holt’un İki Parametreli Doğrusal Düzleştirme Yöntemi

Basit üssel düzleştirme yönteminin trend içeren verinin düzleştirilmesini ve öngörüsünü yapmakta yetersiz kaldığından, araştırmacılar tarafından geliştirilmiştir. Geliştirilen bu yöntemlerden biri de Holt’un iki parametreli doğrusal düzleştirme yöntemidir. Yöntem özünde Brown tarafından geliştirilen ikili üssel düzleştirme yöntemine benzer. Ancak Holt’un yönteminde trend düzleştirme sürecinde doğrudan tahmin edilmektedir.

Yöntem diğerlerinden farklı olarak üssel düzleştirme için yine 0 ile 1 arasında değer alan α ve β şeklinde iki düzleştirme sabiti ve üç denklem kullanmaktadır.

1 1(1 )( )t t t tL Y L b

1 1( ) (1 )t t t tb L L b

ˆt k t ty L b k

şeklindedir. Burada 0< α , β

7 / 13

b1= (Y4−Y1)/3 olarak alınmasıdır.

Diğer bir seçenek ise, L1 ve b1 değerlerini bulmak için serinin ilk birkaç değerinden en küçük kareler yöntemi ile tahmin yapmaktır. Uygulamada genellikle ilk seçenek

kullanılmaktadır. Ancak (Y4−Y3) arasındaki değişime dikkat edilmelidir. Bu dönemler arasındaki değişim çok fazla ve örneğin aşağı doğru ise, serinin genel eğilimi de yukarı doğru ise, bu etkinin sonucu trend tahminine uzun dönem yansıyacaktır.

Holt’un iki parametreli doğrusal düzleştirme yönteminde de basit üssel düzleştirme yönteminde olduğu gibi α ve β ağırlıklarının seçimi OHK gibi model başarısını ölçen kriterlerin en küçüklenmesi ile yapılır. α ,β için 0.01 ile 0.9 arasında çeşitli kombinasyonlar denenerek, OHK gibi kriterlerin aldığı değerler değerlendirilir. α, β değerlerinin seçiminde alternatif olarak doğrusal olmayan optimizasyon yöntemlerinden de yararlanılır.

Basit üssel düzleştirme ile kıyaslandığında, trend taşıyan seriler için Holt’un iki parametreli doğrusal düzleştirme yönteminde daha başarılı sonuçlar vermesi doğaldır. Holt’un yöntemi α =β ise Brown’un ikili üssel düzleştirme yöntemine eşdeğer olacaktır.

Şimdi süreci bir örnekle açıklayalım. Bunun için öncelikle çeşitli α ,β değerlerinin denenerek uygun katsayıların seçilmesi gerekmektedir. Aynı zamanda başlangıç değerlerinin de seçimi önemlidir. Burada başlangıç değeri olarak L1=Y1 ve b1= Y2−Y1 değerleri alınmıştır. Buna göre yine daha önce çözümünü yaptığımız seri yardımıyla Holt yönteminin adımlarını görelim. Başlangıç değeri;

L1=Y1=36 ve b1= Y2−Y1= 36-20=16

olarak alınmıştır. Ayrıca α =0.2 ve β=0.1 seçilmiştir.

Aylar Yt Düzleştirilmiş

Veri Lt Düzleştirilmiş

Trend bt ŷ t+k

Ocak 36 36 16 — Şubat 20 45.6 15.36 — Mart 24 53.568 14.6208 60.96 Nisan 28 60.15104 13.81702 68.1888 Mayıs 45 68.17445 13.23766 73.96806 Haziran 23 69.72969 12.06942 81.41211 Temmuz 18 69.03929 10.79344 81.79911 Ağustos 12 66.26618 9.436784 79.83273 Eylül 30 66.56237 8.522724 75.70297 Ekim 32 66.46808 7.661022 75.0851 Kasım 35 66.30328 6.87844 74.1291 Aralık 27 63.94538 5.954806 73.18172 Ocak — — — 69.90018 Şubat — — — 75.85499 Mart — — — 81.80979

8 / 13

Burada şubat ayı değerleri;

Lşubat=0.2(20)+0.8(36+16)=45.6

bşubat=0.1(45.6−36)+0.9(16)=15.36

ŷ mart=45.6+15.36(1)=60.96

olarak bulunur. Bu durumda gelecek yılın Ocak ayı için öngörü Aralık ayı yardımıyla

ŷ ocak=63.94538+5.954806(1)=69.90018

ŷ şubat=63.94538+5.954806(2)=75.85499

ŷ mart =63.94538+5.954806(3)=81.80979

şeklindedir.

Burada sözünü ettiğimiz iki parametreli doğrusal düzleştirme yöntemi de daha önce sözü edilen Brown’un ikili üssel düzleştirme yöntemi ve doğrusal hareketli ortalamalar yöntemi adlarından da anlaşıldığı gibi, doğrusal trend taşıyan serileri düzleştirmekte yararlanılan yöntemlerdir. Ancak ekonomik zaman serilerinde çoğu kere doğrusal olmayan trende rastlanmaktadır. Ekonomik zaman serilerinde çoğunlukla ikinci dereceden trend görülmekte, üçüncü dereceden trede daha az rastlanmaktadır. Bu nedenle burada ikinci

dereceden trendin düzleştirilmesinde kullanılan Brown’un kuadratik düzleştirme yöntemi aktarılacaktır.

Brown’un Kuadratik Üssel Düzleştirme Yöntemi

Brown’un kuadratik üssel düzleştirme yöntemi veri kümesine özünde basit ve ikili üssel düzleştirmeden sonra bir üçüncü düzleştirme uygulanması esasına dayanır. Yöntem, yine Brown tarafından geliştirilen ikili üssel düzleştirmeye eklenen üçüncü bir denklemle

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t Y t F t

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t F t F t

( ) ( ) (1 ) ( 1)F t F t F t

şeklindedir. Buradan da görüleceği gibi düzleştirme süreci üçüncü dereceden trend içeren seriler için bir denklem daha, dördüncü derece içinse bir denklem daha ilave edilerek

sürmektedir. Yöntemde her basamakta aynı düzleştirme sabiti kullanılmakta ve sabitin belirlenmesi yine OHK’nin alacağı değere göre olmaktadır.

Yöntem öngörü amacıyla kullanıldığında;

9 / 13

21ˆ2t k t t t

y a b k c k

biçimindeki öngörü denkleminin katsayıları sırasıyla

3 ( ) 3 ( ) ( )ta F t F t F t

2 (6 5 ) ( ) (10 8 ) ( ) (4 3 ) ( )

2 1tb F t F t F t

2

2( ) 2 ( ) ( )

(1 )tc F t F t F t

formüllerinden bulunarak tahmin yapılır.

Şimdi ikinci dereceden trend içeren bir seri üzerinden Brown’un kuadratik düzleştirme yöntemini bir örnekle açıklayalım.

Örnek: Bir firmanın 14 yıllık satış rakamları aşağıdaki gibi olduğuna göre Brown’un kuadratik üssel düzleştirme yöntemi ile düzleştirilmiş serimizi elde edelim.

Yıl. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Sat. 66 60 58 61 55 50 47 45 39 37 40 48 56 68

Önce serimizin grafiğini inceleyelim ve ikinci dereceden bir fonksiyon olduğunu görelim.

Görüldüğü gibi seride kuadratik trend mevcuttur. Dolayısıyla düzleştirme de buna uygun olmalıdır.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Satışlar

10 / 13

Satışlar ( )F t ( )F t ( )F t at bt ct ˆt ky 66 66 66 66 — — — — 60 64.2 65.46 65.838 62.058 -1.37645 -0.16229 — 58 62.34 64.524 65.4438 58.8918 -2.13485 -0.23261 60.6004161 61.938 63.7482 64.93512 59.50452 -1.36673 -0.11468 56.6406555 59.8566 62.58072 64.2288 56.05644 -2.18774 -0.19799 58.0804550 56.89962 60.87639 63.22308 51.29277 -3.24995 -0.29994 53.769747 53.92973 58.79239 61.89387 47.30589 -3.75382 -0.32406 47.8928545 51.25081 56.52992 60.28469 44.44737 -3.70756 -0.28048 43.3900539 47.57557 53.84361 58.35236 39.54823 -4.3541 -0.32371 40.5995737 44.4029 51.0114 56.15008 36.32457 -4.22536 -0.27045 35.0322840 43.08203 48.63259 53.89483 37.24315 -2.65136 -0.05305 31.9639948 44.55742 47.41004 51.94939 43.39154 0.377976 0.310359 34.5652756 47.99019 47.58408 50.6398 51.85813 3.457864 0.636976 43.9246968 53.99314 49.5068 50.2999 63.75891 6.930019 0.971416 55.63448

— — — — — — — 71.17463— — — — — — — 79.56178— — — — — — — 88.92034

Şimdi serideki düzleştirilmiş değerlerin nasıl elde edildiğini adım adım görelim.

( ) ( ) (1 ) ( 1) 0.3(60) 0.7(66) 64.2F t Y t F t

( ) ( ) (1 ) ( 1) 0.3*64.2 0.7*66 65.46F t F t F t

( ) ( ) (1 ) ( 1) 0.3*65.46 0.7*66 65.838F t F t F t

Serinin diğer yılları da aynı şekilde düzleştirildikten sonra trend denkleminin katsayıları hesaplanır.

3 ( ) 3 ( ) ( ) 3(64.2) 3(65.46) 65.838 62.058ta F t F t F t

2 (6 5 ) ( ) (10 8 ) ( ) (4 3 ) ( )

2 1tb F t F t F t

20.3

(6 5(0.3))64.2 (10 8(0.3))65.46 (4 3(0.3))65.838 1.376452(0.7)

tb

2 2

2 2

0.3( ) 2 ( ) ( ) 64.2 265.46 65.838 0.16229

(1 ) 0.7tc F t F t F t

Bu katsayılar yardımıyla trend denklemi

2 21 1ˆ 62.058 1.37645(1) ( 0.16229)(1) 60.600412 2t k t t t

y a b k c k

11 / 13

şeklinde elde edilir.

Son gözlem değerleri ve gelecek üç dönemin tahmini de aynı denklemden;

2 214

1 1ˆ 51.85813 3.457864(1) (0.636976)(1) 55.63448

2 2t t ty a b k c k

2 215

1 1ˆ 63.75891 6.930019(1) (0.971416)(1) 71.17463

2 2t t ty a b k c k

2 216

1 1ˆ 63.75891 6.930019(2) (0.971416)(2) 79.56178

2 2t t ty a b k c k

2 217

1 1ˆ 63.75891 6.930019(3) (0.971416)(3) 88.92034

2 2t t ty a b k c k

şeklinde yapılır. Burada satışlar serisi ile düzleştirilmiş satışlar serisini aynı grafik üzerinde gösterirsek;

şeklinde olduğunu ve tahmin edilmiş değeri de görebiliriz.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

satışlar

düzelt. satış

12 / 13



Üretim 850 835 820 795 760 840 890 860 920 950 980 990

Buna göre düzleştirme sabiti αiçin;

1. Üretim serisini Holt’un iki parametreli doğrusal düzleştirme yöntemini kullanarak düzleştiriniz ve k=1,2,3 dönemleri için öngörüde bulununuz.

2. Üretim serisini Brown’un kuadratik üssel düzleştirme yöntemini kullanarak düzleştiriniz ve k=1,2,3 dönemleri için öngörüde bulununuz.

13 / 13

KAYNAKÇA






2006, İstanbul


Yayın, İstanbul

Ayrıca

Documents

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/ekonometri_ue/... · 2020. 4. 17. · İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ UZAKTAN EĞİTİM UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ İSUZEM