Stanisław Cichocki

Natalia Nehrebecka

Wykład 6

1

1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Semielastyczność

2. Zastosowanie modelu potęgowego

◦ Model potęgowy

3. Zmienne ciągłe za zmienne dyskretne

4. Interpretacja parametrów przy zmiennych dyskretnych

1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Semielastyczność

2. Zastosowanie modelu potęgowego

◦ Model potęgowy

3. Zmienne ciągłe za zmienne dyskretne

4. Interpretacja parametrów przy zmiennych dyskretnych

Semielastyczności mogą być wyznaczane z modelu , w którym zmienna objaśniana jest zlogarytmowana a zmienne objaśniające nie są logarytmami zmiennych pierwotnych.

*100% mierzy o ile procent zmieni się zmienna objaśniana, gdy zmienna objaśniająca zmieni się o jedną jednostkę, gdy wartości innych zmiennych objaśniających modelu pozostają niezmienione (ceteris paribus).

1 2 2ln ...i i K Ki iY X X

ln ( )ik

ki

E Y

X

k

1 2 2ln ( ) ...i i K KiY X X

β2 – współczynnik INTERPRETACJA: jeżeli wartość zmiennej niezależnej X2i wzrośnie o 1 jednostkę, to wartość zmiennej zależnej y : - wzrośnie (jeżeli b2>0) o |b2| *100% lub - spadnie (jeżeli b2<0) o |b2| *100%. ceteris paribus. β1 – wyraz wolny Uwaga ! Wyrazu wolnego nie interpretujemy.

1 2 2ln ...i i K Ki iY X X

1 2 2ln ...i i K KiY b b X b X

Interpretacja:

Płaca wzrasta przeciętnie o 4% przy wzroście wieku o 1 rok, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

iii wiekplaca 21)ln(

ii wiekplaca 04,034,2)ln(

Interpretacja:

Elastyczność: wzrost dochodu o 1% powoduje wzrost wydatków o 0,35% przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

Semielastyczność: wzrost liczby dzieci o 1 powoduje wzrost wydatków o 11%=0,11*100% przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

iii dziecidochódwydatki 11,0)ln(35,06,3)ln(

Zmienna zależna Zmienna niezależna Interpretacja β

y x Δy=βΔx

ln(y) ln(x) %Δy=β% Δx

ln(y) x %Δy=(100β)Δx

y ln(x) Δy=(β/100)%Δx

1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Semielastyczność

2. Zastosowanie modelu potęgowego

◦ Model potęgowy

3. Zmienne ciągłe za zmienne dyskretne

4. Interpretacja parametrów przy zmiennych dyskretnych

Modelujemy wydatki gospodarstw domowych za pomocą dochodu tych

gospodarstw.

Histogram wydatków /logarytmu wydatków gospodarstw domowych:

0

1.0

e-0

42.0

e-0

43.0

e-0

44.0

e-0

45.0

e-0

4

Gesto

sc

0 10000 20000 30000 40000Wydatki gospodarstwa

0.2

.4.6

.8

Gesto

sc

4 6 8 10Logarytm wydatkow gospodarstwa

Histogram dochodów/logarytmu dochodów gospodarstw:

0

1.0

e-0

42.0

e-0

43.0

e-0

44.0

e-0

4

Gesto

sc

0 20000 40000 60000Dochod gospodarstwa

0.2

.4.6

.8

Gesto

sc

0 5 10Logarytm dochodu gospodarstwa

Wyniki regresji:

ln(Wydatki) = 2,02+0,72*ln(Dochod) R²=0,58

Wydatki=712,81+0,58*Dochod R²=0,41

Regresja na poziomach i logarytmach:

24

68

10

Logary

tm w

ydatk

ow

gospodars

twa

0 5 10Logarytm dochodu gospodarstwa

0

10000

20000

30000

40000

Wydatk

i gospodars

twa

0 20000 40000 60000Dochod gospodarstwa

Reszty z regresji:

0.5

11.5

Gesto

sc

-2 0 2 4 6Standaryzowane reszty

0

2.0

e-04

4.0

e-04

6.0

e-04

Gesto

sc

-40000 -20000 0 20000 40000Standaryzowane reszty

1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Semielastyczność

2. Zastosowanie modelu potęgowego

◦ Model potęgowy

3. Zmienne ciągłe za zmienne dyskretne

4. Interpretacja parametrów przy zmiennych dyskretnych

Zmienne

Zmienne ciągłe Zmienne dyskretne

Zmienną ciągłą nazywamy zmienną, która przyjmuje wartości ze zbioru liczb rzeczywistych.

Zmienne ciągłe są zmiennymi posiadającymi charakter ilościowy

Np. dochody, wydatki, cena nieruchomości itd.

Zmienną dyskretną nazywamy zmienną, która przyjmuje wartości ze skończonego podzbioru liczb naturalnych.

Zazwyczaj podzbiór ten jest stosunkowo mało liczny – obejmuje kilka czy kilkanaście elementów.

Zmienne dyskretne są zmiennymi posiadającymi charakter jakościowy.

np. płeć, wykształcenie, miejsce zamieszkania, stan cywilny i itd.

Zmienne dyskretne

Zmienne nominalne Zmienne

uporządkowane

1. Interpretacja parametrów przy zmiennych objaśniających ciągłych

◦ Semielastyczność

2. Zastosowanie modelu potęgowego

◦ Model potęgowy

3. Zmienne ciągłe za zmienne dyskretne

4. Interpretacja parametrów przy zmiennych dyskretnych

Zmienną zero-jedynkową nazywamy zmienną, która przyjmuje tylko dwie wartości: 0 lub 1

płeć: 1 – kobieta, 0 – mężczyzna

praca: 1 – pracujący, 0 – niepracujący

obecność dzieci: 1 – nie, 0 – tak

Uwaga!

Ważne jest, że zmienna przyjmuje dwie wartości, nie ma znaczenia ich wielkość.

Niech Di będzie zmienną zero-jedynkową:

Dla Di =1 model ma postać:

Dla Dj =0 model ma postać:

Zatem

bazowy poziom

badany poziom

0

1Di

iiKiKii DXXy ...221

iKiKii XXy ...221

jKjKjj XXy ...221

)()( ji yy

Wniosek:

Wielkość można interpretować jako zmianę oczekiwanej wartości y, jeśli D zmieni się z 0 na 1, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

– współczynnik przy zmiennej 0-1 INTERPRETACJA: wartość zmiennej zależnej y dla poziomu zmiennej 0-1 D=1 jest: - większa (jeżeli >0) o | | jednostek lub - mniejsza (jeżeli <0) o | | jednostek niż wartość zmiennej zależnej y dla poziomu zmiennej 0-1 D=0 (dla poziomu bazowego)

1 2 2 ...i i K Ki i iY X X D

1 2 2ˆ...i i K Ki iY b b X b X D

Zmienna

Interpretacja:

Oczekiwany poziom płac kobiet jest średnio o 503, 59 złotego niższy niż dla mężczyzn, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

iii plecplaca 21

926,1 503,59i iplaca plec

mezczyzna jesli

kobieta jesli

0

1pleci

Zmienna

Interpretacja:

Oczekiwany poziom płac męzczyzn jest średnio o 503, 59 złotego wyższy niż dla kobiet, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

1 2i i iplaca sex

422,51 503,59i iplaca sex

1 jesli mezczyzna

0 jesli kobietaisex

Wniosek:

Wielkość (przemnożoną przez 100%) można interpretować jako procentową zmianę oczekiwanej wartości zmiennej zależnej y, jeśli D zmieni się z 0 na 1 .

1 2 2ln ...i i K Ki i iY x x D

Zmienna

Interpretacja:

Oczekiwany poziom płac kobiet jest średnio o 17% niższy niż dla mężczyzn, przy założeniu pozostałych charakterystyk na niezmienionym poziomie.

iii plecplaca 21)ln(

ii plecplaca 17,067,7)ln(

mezczyzna jesli

kobieta jesli

0

1pleci

Nieco bardziej skomplikowana jest sytuacja, gdy mamy do czynienia ze

zmienną dyskretną która przyjmuje więcej niż 2 wartości.

np. wykształcenie (1 – podstawowe, 2 – średnie, 3 - wyższe)

W tym przypadku do każdego poziomu s zmiennej dyskretnej Xi musimy

przypisać jedną zmienną zero-jedynkową Ds,i

Ds,i = 1 gdy Xi = s

Ds,i = 0 gdy Xi ≠ s dla s = 1,2,...,S

p. p. w

podstawowe

0

1podstawowe i

wyzsze3

średnie2

podstawowe1

niewyksztalce i

p. p. w

średnie

0

1średnie i

p. p. w

wyzsze

0

1wyzszei

Za poziom bazowy uznajemy jeden z poziomów (np. poziom 1), i zmienną zero-jedynkową związaną z tym poziomem usuwamy z modelu ze stałą.

Np. dla zmiennej wykształcenie

Poziom bazowy : wykształcenie podstawowe

Dlaczego?

iiii wyzsześrednieplaca 321

Interpretacja współczynników w modelu z wieloma zmiennymi 0-1 (zmiennymi dyskretnymi) jest analogiczna jak w przypadku modelu z jedną tylko taką zmienną:

dany współczynnik opisuje różnicę między oczekiwaną wartością zmiennej y dla respondenta o charakterystyce bazowej i dla respondenta o charakterystyce s.

Modelujemy płace za pomocą płci, wieku i wykształcenia:

Zmienna Współczynniki

Płeć -0,278

Wiek 0,078

Wykszt. średnie -0,273

Wykszt. średnie zawodowe -0,273

Wykszt. zawodowe -0,444

Wykszt. podstawowe -0,571

Stała 6,64

1 2 3ln( )i i iplaca plec wyksztalcenie

1 2 3 4ln( )i i iplaca plec wyksztalcenie wojewodztwo

Praca na ćwiczeniach:

o Kontrasty w odchyleniach

o Efekty progowe

1. Podać definicję semielastyczności cząstkowej.

2. Dlaczego zmienną dyskretną rozkodowywujemy na zmienne zerojedynkowe?

3. Dlaczego w modelu nie powinno się umieszczać stałej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, związanych z poziomami zmiennej dyskretnej?

Dziękuję za uwagę

38