Stat1 Elmélet FF

Statisztika 1 jegyzet Frds Fanni

1

Statisztika alapfogalmai A statisztika a vlsg tmr, szmszer jellemzsre szolgl mdszertan, tudomnyg.

A statisztikai sokasg a megfigyels trgyt kpez sokasgi egyedek sszessge, halmaza, teht az

egyed az, amit kzvetlenl megfigyelek, s a sokasg az a megfigyelt egyedek sszessge.

Statisztikai sokasgot alkothatnak:

Diszkrt sokasg

A sokasg egyedei termszetesen mdon elklnlnek egymstl.

llnyekbl, trgyakbl, szervezetekbl ll sokasg

Folytonos sokasg A sokasg egyedei termszetesen ton nem klnlnek el egymstl, az egysgeket

nknyesen hatrozhatjuk meg.

pl.: 1 kg gymlcsfogyaszts

Msik csoportostsok:

Vges

Vgtelen

ll: idponton rtelmezett

pl: 13 rakor a teremben levk

Mozg: idintervallumon rtelmezett

pl: 13 ra utn rkezettek

ll sokasgot nem tudjuk sszeadni, de a mozgt mr igen!

A statisztikai ismrv a statisztikai sokasg egyedeit jellemz tulajdonsg. Az ismrv lehetsges kimenetelei az ismrvvltozatok. Ismrv pl.: gpkocsi tpusa, fogyasztsa, gyrtsi helye. Ismrvvltozat pl.: gpkocsi tpusnl a Lada Opel, stb., fogyaszts esetn a szmadatok

Alternatv ismrv: ha az ismrvnek csak kt lehetsges kimenetele van (frfi - n) Kzs ismrv: amelyek szerint a sokasg egysgei egyformk

Megklnbztet Ismrv: amelyek szerint az egyedek klnbznek egymstl

Ismrvvltozatok attl fggen, hogy milyen jelleg informcit adnak, lehetnek: Idbeli

Az egysgek idbeli elhelyezsre szolgl Terleti

Az egysgek trbeli elhelyezsre szolgl Minsgi

Az egyedek szmszeren nem mrhet tulajdonsgai Mennyisgi

Az egyedek szmszeren mrhet tulajdonsgai

Ismrv vltozatai: Ismrvrtkek

Mrsi szintek vagy sklk:

1. Nvleges (nominlis) Szmok kzvetlen hozzrendelst jelenti. Terleti, minsgi ismrveknl alkalmazzuk A szmok csak a sokasg egyedeinek azonostsra szolglnak Kzttk az egyb relcik nem rtelmezhetek.


2

Pl.: rendszm, irnytszm 2. Sorrendi (ordinlis)

A sokasg egyedeinek egy kzs tulajdonsg alapjn val sorba rendezse lehetsges. A mrsbl szrmaz adatokkal csak azok a mveletek vgezhetk, amelyek sorn kizrlag a sklt kpez szmrtkek sorrendisge kerl kihasznlsra Pl.: hallgatk osztlyzata, tornszok helyezsi sorrendje

3. Intervallumskla (klnbsgi) A sklartkek klnbsgei is vals informcit adnak a sokasg egysgeirl. A mrtkegysg s a nullpont meghatrozsa nknyes. Pl.: hmrsklet mrse A skln kt rtk sszege vagy arnya nem rtelmezhet. Ugyanakkor kt-kt adat klnbsge, a kt klnbsg sszege s arnya mr rtelmezhet A null rtk nem tkrzi a tulajdonsg hinyt, a 0 nem tekinthet valdi/abszolt nullpontnak. (lsd 0C)

4. Arnyskla legmagasabb mrsi szint - Ez nyjtja a legtbb informcit Valdi nullpontja van, mely nullpont a tulajdonsg hinyt jelzi. Pl.: hosszsg, jvedelem, kltsg,

Statisztikai sorok: statisztikai adatok sszefgg rendszere megfelel formai jegyekkel elltva. Formai jegyek: van cme, megnevezse, mrtkegysge

Fajti:

sszehasonlt: az adatok csak sszehasonltsra alkalmasak, nem adhatak ssze

csoportost: egy sokasgot valamilyen ismrv alapjn rszeire bontjuk

ler: egy sokasgot klnbz szempontok szerint jellemznk (klnbz

mrtkegysgek)

sszehasonltsrl mg: Kt vagy tbb statisztikai adat egymshoz val viszonytsa ltalban klnbsg s hnyados kpzsvel trtnik. - Szzalkpont (ezrelkpont): kt szzalkban kifejezett adat klnbsgnek

mrtkegysge - sszehasonlt sor: az sszehasonltand adatokbl kpzett statisztikai sorok - Idsor: a klnbz idpontokban megfigyelt adatok sorba rendezse - sszehasonlt terleti sor: klnbz fldrajzi terleteken vgzett megfigyelsek

rgztse

Statisztikai adat abszolt hibja= a valsgos adat s a mrt adat klnbsge.

Viszonyszmok A csoportostott, sorba rendezett adatok elemzsnek egyik legegyszerbb eszkze a viszonyszm. Kt egymssal logikai kapcsolatban ll statisztikai adat hnyadosa

Kplete V

(A: amit viszonytunk, a viszonyts trgya) (B: amihez viszonytunk, viszonyts alapja)

Viszonyszmok tpusai:

Azonos fajta adatokbl o Megoszlsi viszonyszm

A sokasg egyes rszeinek a sokasg egszhez viszonytott arnyt fejezi ki.

Pl: lnyok arnya a csoportban:

o Koordincis viszonyszm A sokasg kt rszadatnak hnyadosa


3

Pl: 1000 frfira jut nk szma:

o Dinamikus viszonyszm Kt idszak (idpont) adatnak hnyadosa

Lncviszonyszm: minden adatot a kzvetlenl megelzhz viszonytok.

Bzis viszonyszm: az idsor adatait mindig egy kivlasztott bzishoz

viszonytom.

Klnbz fajta mrtkegysg adatokbl o Intenzitsi viszonyszm

Azt fejezi ki, hogy egy mennyisgbl mennyi jut a msik mennyisg egy egysgre. ltalban kt sokasg nagysgnak adatbl kpzett hnyadosok. Lnyeg, hogy klnbz fajta s sokszor klnbz mrtkegysg- adatokat viszonytunk. Valamire jut valami, Pl: 1fre jut GDP Ezekbl az adatokbl kpzett statisztikai sorokat ler sornak nevezzk. ltalban valamilyen trsadalmi, gazdasgi egysg, jelensg jellemzsre ksztjk.

Nyers intenzitsi viszonyszm:

1 foglalkoztatottra jut termels:

Tiszttott intenzitsi viszonyszm:

Tiszta rszarny:

Nyers= tiszttott*tiszta

Bzis s lncviszonyszm sszefggse

Bzisom van, de lnc kell: kt egymst kvet bzisviszonyszm hnyadosa lncviszonyszmot ad. Lncom van, de bzis kell: lncviszonyszmok szorzata bzisviszonyszmot ad. Teht j bzisra gy trnk t, hogy a viszonyszmsor minden elemt elosztjuk az j bzisnak vlasztott idszak (idpont) eredeti bzisviszonyszmval.

Fejlds/vltozs mutati: o fejlds/ vltozs tlagos mrtke (abszolt vltozs)= idszakonknt tlagosan mennyivel

ntt/cskkent, amit vizsgltunk (termszetes mrtkegysgben adjuk meg)=

o fejlds/vltozs tlagos teme %-ban (relatv vltozs)= a lncviszonyszmok mrtani tlaga

tlagok o Szmtani tlag:

o Harmonikus tlag:

o Geometriai/ mrtani tlag:

o Ngyzetes/ kvadratikus tlag:

Egyb hasznos jellsek:


4

o Xi, ami az ismrvvltozat

o N vagy , ami a teljes/alapsokasgot mutatja

o f vagy fi, ami gyakorisgot mutatja (errl kicsit ksbb tbbet rok)

Jelentseik:

Szmtani tlag: Az a szm, amellyel az egyes tlagoland rtkeket helyettestve azok sszege

vltozatlan marad

Harmonikus tlag: Az a szm, amellyel az egyes tlagoland rtkeket helyettestve azok

reciprokainak sszege vltozatlan marad.

Mrtani tlag: Az a szm, amellyel az egyes tlagoland rtkeket helyettestve azok szorzata

vltozatlan marad.

Ngyzetes tlag: Az a szm, amellyel az egyes tlagoland rtkeket helyettestve azok

ngyzetsszege vltozatlan marad

K.gy:

Ezeknek a kpletei megtallhatak a kpletgyjtemnyben (1-8). Az els, harmadik, tdik,

illetve hetedik kpleteket (bal oldali kpletek) ha megnzitek, akkor ezekben nem tallhat

gyakorisg(fi), gy ha nem gyakorisgos a feladat, akkor egyszeren ezeket hasznljuk. A jobb

oldali kpleteket pedig abban az esetben hasznljuk, ha gyakorisgokat is megad a feladat,

ilyenkor jnnek el az f-k, g-k, az tlagok ezen tpust nevezzk slyozott formnak.

tlagok kztti sszefggs:

Xi min < < < < < Xi max, egy esetben van olyan, hogy egyenlsg jel van a ezek kztt,

ha csak egyforma adatokat hasonltok ssze, pldul: csak 10-seket akarok tlagolni, ebben az

esetben egyrtelm, hogy az sszes egyenl lesz.

Egy Ismrv Szerinti Elemzs

A mennyisgi ismrv szerinti elemzs

Mennyisgi ismrv:

Vltozknak, lehetsges kimeneteleiket ismrvrtkeknek nevezzk. Lehet:

- Diszkrt mennyisgi ismrv - Folytonos mennyisgi ismrv

Rangsor: a mennyisgi ismrv rtkeinek monoton sorozata

Gyakorisgi sor:

Ha a sokasg elemszma nagy, a rangsor mr nehezen ttekinthet. Ahhoz, hogy a sokasgrl ttekintet kpet kapjunk, az adatokat (ismrvrtkeket) tmrtennk kell, melynek legelterjedtebb mdja az osztlyozs (csoportosts). Az osztlyozs eredmnye egy csoportost sor. Osztlykz: olyan osztlyok, melyek egynl tbb ismrvrtket magukba foglal intervallumok. Gyakorisg: azt mutatja, hogy a mennyisgi ismrv szerint kpzett egy-egy osztlyba a sokasgnak hny egysge tartozik. (fi) Relatv gyakorisg: azt mutatja, hogy a mennyisgi ismrv szerint kpzett egy-egy osztlyba a sokasgnak hnyad rsze tartozik (gi).


5

Gyakorisgi sor: a mennyisgi ismrv szerinti osztlyozs eredmnyeknt kapott specilis csoportost sor Eloszls: ha az osztlyok egyetlen ismrvrtkbl llnak

Osztlykzs gyakorisgi sor: ha a mennyisgi ismrvek sokfle rtket vesznek fel, akkor az

ismrvrtkeket osztlykzkre bontjuk.

Valdi hatrok: a hzagmentesen illeszked osztlykz hatrok Kzlt hatrok: az egyrtelm besorols rdekben megklnbztetett osztlykz hatrok.

Osztlykzk szma:

Osztlykzk hossza:

A gyakorisgi relatv- sorokban rejl informci tovbb bvthet a gyakorisgok halmozott sszeadsval, azaz kumullsval.

Kumullt gyakorisg Jele:

Kumullt relatv gyakorisg Jele:

Adatai azt mutatjk, hogy az adott osztlykz fels hatrnak megfelel s annl kisebb ismrvrtkek

hnyszor ( ), ill. milyen arnyban (

) fordulnak el.

Kpezhet lefel kumullt gyakorisgi sor is. Azt mutatjk, hogy az adott osztlykz als hatrnl

nagyobb ismrvrtkek hnyszor, ill. milyen arnyban fordulnak el.

rtksszegsor:

A mennyisgi ismrv alapjn kialaktott osztlyokhoz az azokba tartoz egysgek ismrvrtkeinek sszegt rendeli

rtksszeg: a vizsglt mennyisgi ismrv rtkeinek egyes osztlyokon belli sszegei

Osztlykzs gyakorisgi sor esetn az egyes osztlykzk tnyleges rtksszegei csak akkor hatrozhatk meg, ha ismerjk az eloszlst.

Az i-edik osztlykzps:

Relatv rtksszeg: egy olyan megoszlsi viszonyszmot rtnk, amely az egyes osztlyok

rtksszegt (Si) a teljes rtksszeghez (S) viszonytja.

A gi s a Zi rtke mindig %-s rtk, illetve a kumullt rtkeit is %-ban adjuk meg.

A gyakorisgi sorok grafikus brzolsa

A vzszintes tengelyen a mennyisgi ismrv rtkeit, a fggleges tengelyen pedig a gyakorisgokat vagy azok kumullt rtkeit tntetjk fel. Az osztlykzs gyakorisgi sorokat hisztogrammal s gyakorisgi poligonnal brzoljuk.

Diszkt ismrvvltozatok esetn BOT-bra.

4 fle brt fogunk hasznlni Statisztika 1-bl:

o BOT

o Vonal (nem a nullbl indul el a vonal)

o Hisztogram/oszlop

o Poligon (vonal diagramhoz hasonl, de ez a nullbl indul ki s a pontokat ktm ssze.)

Az brkhoz mg ltalnossgban: Brmilyen brt is kelljen felrajzolni, mindig van a kt tengelynek

neve, mrtkegysge, egy-kt rtk rakta bejellve s az brnak van cme!

Szmtani tlag ngyzetes tulajdonsga:

Ez a kifejezs akkor veszi fel a minimumot, ha az A szm helyre az tlagot helyettestjk.

Helyzetmutatk

Mdusz(Mo)


6

Azt az rtket jelli, amelyik a asz htkznapi rtelmben a legltalnosabb, amelyik a tipikus a sokasgban. Ha a gyakorisgi poligonnal egy max. helye van, azt egymdusz-, ha tbb max. helye van, akkor tbbmdusz megosztlsnak, illetve eloszlsnak nevezzk. A mduszt tartalmaz osztlykzt modlis osztlykznek nevezzk. Ennek kzept nyers

mdusznak.

mo= a mdusz osztlykznek alja

k1= legnagyobb gyakorisgbl a megelz osztlykz gyakorisga

k2= legnagyobb gyakorisgbl a kvetkez osztlykz gyakorisga

h= osztlykz hossza

Medin (Me)

A mennyisgi ismrvnek az az rtke, amelynl ugyanannyi kisebb, mint nagyobb rtk fordul el.

Medin helye:

Kvartilisek (Q1,Q3), ez el negyedeli a sokasgot. a Q2= Me

Als kvartilis helye: Q1=

Fels kvartilis helye:

Szrdsi mutatk:

Szrds: azonos fajta szmszer adatok klnbzsge.

Mrse: az ismrvrtkek valamely kzprtktl vett eltrsei vagy egyms kztti klnbsgei

alapjn trtnik

Leggyakrabban hasznlt szrdsi mrszmok:

A szrds terjedelme (R) Az elfordul legnagyobb s legkisebb ismrvrtk klnbsge (kpletgyjtemny:3.o/11.)

Az tlagos eltrs ( ) Az egyes rtkek szmtani tlagtl vett eltrsei abszolt rtkeinek szmtani tlaga (kpletgyjtemny:3.o/12,13.)

Szrs: ( Az egyes rtkek szmtani tlagtl vett eltrseinek ngyzetes tlaga. (kpletgyjtemny:3.o/7,18.)

Variancia vagy szrs ngyzet ( (kpletgyjtemny:3.o/16.)

tlagos klnbsg (G) Az ismrvrtkek egymstl szmtott klnbsgei abszolt rtkeinek szmtani tlaga Azt fejezi ki, hogy az egyes ismrvrtkek tlagosan mennyivel trnek el egymstl. (kpletgyjtemny: 3.o/ 19,20.)

Relatv szrs ( Megmutatja, hogy a szrs az tlagnak hnyad rsze (kpletgyjtemny:3.o/21.)

Az aszimmetria mrszmai

Egy mdusz eloszls o Szimmetrikus o Asszimetrikus (vagy ferde)

Pearson-fle mutatszm (A) (kpletgyjtemny: 3.o/22.) F mutat (F) (kpletgyjtemny: 3.o/23.)


7

Tbb mdusz eloszls

A koncentrci elemzse

Koncentrcinak nevezzk azt a jelensget, hogy a sokasghoz tartoz teljes rtksszeg jelents rsze a sokasg kevs egysgre sszpontosul. A relatv gyakorisgok (gi) s a relatv rtksszegek (Zi) sszehasonltsval mutathat ki. Lorenz-grbe: egy egysgnyi oldal ngyzetben elhelyezett vonaldiagram, mely a kumullt relatv gyakorisgok (gi) fggvnyben brzolja a kumullt relatv rtksszegeket (Zi).

sszetett intenzitsi viszonyszmok (ftlagok sszehasonltsa)

Standardizls: standardizls mdszervel a trben (ill. idben) eltr sszetett intenzitsi viszonyszmok (ftlagok) kztti klnbsget (vagy hnyadost) sszetevkre (ill. tnyezkre) bontjuk. Kt tnyez hatst gy vlaszthatjuk el egymstl,hogy hogy egy-egy tnyez hatsnak elemzsekor a msik tnyezt standardnak (llandnak) ttelezzk fel. Trbeli sszehasonlts: azt vizsgljuk, hogy az sszetett intenzitsi viszonyszmok mennyivel trnek el egy msik, azonos mdon csoportostott statisztikai sokasg sszetett intenzitsi viszonyszmtl, azaz a klnbsgeket kpezzk. Idbeli elemzs: az sszetett intenzitsi viszonyszm hny %-kal vltozott az egyik idszakrl a msik

idszakra, azaz a hnyadosokat szmtjuk ki.

I=I*I

Az sszetett intenzitsi viszonyszmok (ftlagok) klnbsgnek

felbontsa sszetevire

A rszviszonyszmok (rsztlagok) klnbzsgnek hatsa (K)

rviden: Rszhats klnbsg

Kimutatshoz az sszettel szempontjbl sszehasonlthatv tesszk a kt sszetett intenzitsi viszonyszmot. Ezt gy rjk el, hogy mindkettt standard sszettellel szmtjuk.

A (K) rszhatsklnbsg azt fejezi ki, hogy csupn a megfelel rszviszonyszmok eltrse milyen hatst gyakorolt az sszetett intenzitsi viszonyszmok eltrsre. Mivel a K tlag, ezrt a K mindig a kmax s a kmin kztt helyezkedik el.

Az sszettel klnbzsgnek hatsa (K)

Kimutatshoz a vizsglt sznvonal szempontjbl sszehasonlthatv tesszk a kt sszetett intenzitsi viszonyszmot. Ezt gy rjk el, hogy mindkettt standard rszviszonyszmok felttelezsvel szmtjuk ki.

K+K =


8

A K esetn, ha standardnek vesszk a 0-t, akkor a K-nl standardnek kell vennnk az 1-t, vagy K-nl

standard az 1-s, akkor a K-nl standard a 0, magunk dnthetjk el, hogy melyiket hasznljuk, de erre

figyelnnk kell.

Szveges vlasz

Az egyttes viszonytsi alap K. A klnbsget kt tnyez eredmnyezte. Egyrszt, a k mindegyik

csoportban kisebb/nagyobb, ami miatt az egyttes viszonytsi alap K-vel vltozott. Msrszt, eltr

a csoportok sszettele (B), aminek a kvetkeztben az egyttes viszonytsi alap K-vel vltozott.

Indexszmts standardizls alapjn (hnyados felbonts) Ha a tnyleges illetve standardizlt sszetett intenzitsi viszonyszmoknak nem a klnbsgt,

hanem a hnyadost kpeztk, sszehasonlt dinamikus viszonyszmokat kapunk. Ezeket

indexeknek nevezzk.

A ftlagindex (I)

Azt fejezi ki, hogy az intenzitsi viszonyszmmal kifejezhet tlagos sznvonal hogyan vltozott egyik (bzis-) idszakrl a msik (trgy-) idszakra.

A ftlagindexet hromfle mdon is kiszmthatjuk

n kvl, ezeket nem rom le, a

kpletgyjtemny 6.o/9. kpletei mutatjk.

A rsztlagindex (I)

A rsztlagindex a rszviszonyszmok vltozsnak az sszetett viszonyszm vltozsra gyakorolt

hatst fejezi ki.

kpletgyjtemny: 6.o/11.kplete

Az sszettelhats indexe (I)

Az sszettel hats indexe megmutatja, hogy a rszsokasg sszettelben bekvetkezett vltozs milyen hatst gyakorolt az sszetett intenzitsi viszonyszm vltozsra.

Mindig a bzisidszak rszviszonyszmait vesszk standardnak (Vst=V0)

kpletgyjtemny: 6.o/12.kplete

Szveges vlasz:


9

A viszonytsi alap az egyik vrl a msikra I %-kal vltozott. Ezt kt tnyez eredmnyezte. Egyrszt,

mindegyik csoportban vltozott az i, ami miatt a viszonytsi alap I %-kal vltozott. Msrszt,

megvltozott a csoportok sszettele(B),ami miatt tovbbi I %-kal vltozott a viszonytsi alap.

rtk-, r- s volumenindexek

Az indexszm fogalma Gyakran van szksg a kzvetlenl nem sszesthet adatokra vonatkoz tlagos vltozs meghatrozsra. Az rtkben val sszestst aggreglsnak, az sszestett rtkadatot pedig aggregtumnak nevezzk. A kzvetlenl nem sszesthet, de valamilyen szempontbl sszetartoz adatok tlagos vltozst mutat sszetett sszehasonlt viszonyszm az indexszm.

rtk-, r- s volumenindex-szmts Az indexszmts keretben a termkekre szmtott dinamikus viszonyszmokat egyedi indexeknek hvjuk. A termkek egysgrt p-vel, a mennyisget q-val, a kett szorzatt pedig v-vel jelljk.

Indexszm szmtsa aggregt formban

Az rtkindex a termkek vagy termkcsoportok meghatrozott krre vonatkoz rtk tlagos

vltozst fejezi ki.

Az rtkvltozst kt tnyez befolysolja: Termkek rvltozsa A termkek mennyisgvltozsa

Az rindex a klnbz termkek, rucikkek, szolgltatsok rainak tlagos vltozst, az rsznvonal alakulst fejezi ki.

Bzisidszaki slyozs:

Trgyidszaki slyozs:

A volumenindex klnbz termkek volumennek tlagos vltozst mutatja meg.

A szakirodalom a bzisidszaki slyozs r- s volumenindexet Laspeyres-fle, a tgyidszaki slyozs indexeket pedig Paasche-fle indexeknek nevezi.

Az indexek tlagformi

rtkindex tlagformi o Szmtani

o Harmonikus rindex tlagformi

o Paasche-fle rindex

o Laspeyes-fle rindex A volumenindex tlagformi

o Paasche-fle rindex

o Laspeyes-fle rindex


10

Az indexek slyozsa

Az indexprbk az indexekkel szemben tmasztott kvetelmnyeket fogalmazzk meg.

o sszemrhetsgi prba

o Idprba

o Tnyezprba

o Arnyossgi (tlag-) prba

o Lncprba

sszefggsek az indexszmtsban

Az indexszmok kztti sszefggsek:

Az aggregtumok kztti sszefggsek:

Documents

Stat1 Elmélet FF