Upload
hoangtuyen
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Statika 23. prednáška
Pruhybová cáraVetknuté nosníky
Miroslav Voká[email protected]
CVUT v Praze, Fakulta architektury
2. listopadu 2016
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Pruhybová cára ohýbaného nosníkuZnaménková konvence velicin
+q
xz
+M
+w
+ϕ
q. . . spojité zatížení je kladnéve smeru osy zM. . . kladný ohybový momenttáhne dolní vláknaw . . . pruhyb je kladný ve smeruosy zϕ. . . natocení prurezu je kladnépo smeru hodinových rucicek
Protože natocení prurezu ϕ je velmi malé, mužemepredpokládat ϕ(x) .
= tan (ϕ(x)) = w ′(x).
Budeme p redpokládat ohýbané nosníky s konstantnímpru rezem po celé délce, tj. s konstatní ohybovou tuhostípru rezu EI.
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Odvození vztahu pro krivost
ℓ
ℓ+∆ℓσ(z) σ(z)
zM M
Predpokládejme prut ohýbanýkonstantním ohybovým momentem M.
Pro ε(z) lze odvodit:ℓ
ℓ+∆ℓ= 1
1+ε(z) =
+z ⇒ ε(z) = z
Dosazením do Hookeova zákovazískáme: σ(z) = Eε(z) = E z
Dosazením do podmínky ekvivalence:M =
∫
Aσ(z) z dA = E
∫
Az2 dA
Proto mužeme vyjádrit:1=
MEI
1. . . je krivost
EI. . . je ohybová tuhost prurezu
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Odvození diferenciální rovnice pruhybovécáry
q(x)
w(x)
ϕ(x)
ℓ
x
z
Krivost funke w(x) jematematicky definována:1=
∣
∣
∣
∣
w ′′(x)
{1+w ′2(x)}3/2
∣
∣
∣
∣
Protože w(x) ≪ ℓ prox ∈ 〈0, ℓ〉, predpokládáme1
.= |w ′′(x)|, a proto platí:
−w ′′(x) =M(x)
EI
Dále musí platit Schwedlerovy vety:
M ′(x) = V (x)
V ′(x) = −q(x)
Diferenciální rovnice pruhybové cáry:
EI w ′v (x) = q(x)
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Diferenciální rovnice pruhybové cárya prubehy funkcí V (x), M(x), ϕ(x) a w(x)
q(x)
ℓ
x
z
V
M
ϕ
w
1◦
2◦
3◦
4◦
+
−
+
+
V ′(x) = −q(x)
M ′(x) = V (x)
ϕ′(x) = −M(x)EI
w′(x) = ϕ(x)
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Pruhyb prostého nosníku prímou integracíz diferenciální rovnice pruhybové cáry
q
ℓx
z
EI w ′v (x) = q(x) = qEI w ′′′(x) = −V (x) = qx + C1
EI w ′′(x) = −M(x) = q x2
2 + C1x + C2
EI w ′(x) = EI ϕ(x) = q x3
6 + C1x2
2 + C2x + C3
EI w(x) = q x4
24 + C1x3
6 + C2x2
2 + C3x + C4
Integracní konstanty se urcí z okrajových podmínek:1. Pro M(x) platí: M(0) = 0 M(ℓ) = 02. Pro w(x) platí: w(0) = 0 w(ℓ) = 0
Pruhyb uprostred rozpetí:
w(
ℓ
2
)
=5
384qℓ4
EI
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Mohrova analogie(Mohrovy vety)
Reálný (skutecný) nosník Duální (fiktivní) nosníkq(x)
ℓ
x
z
V
M
ϕ
w
1◦
2◦
3◦
4◦
+−
+
+−
+
V ′(x) = −q(x)
M ′(x) = V (x)
ϕ′(x) = −M(x)EI
w′(x) = ϕ(x)
qd(x) =M(x)EI
Vd
Md
+−
+
2◦
3◦
4◦
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Mohrova analogie(Mohrovy vety)
1. Natocení prurezu ϕ(x) na reálném nosníku odpovídáposouvající síle na duálním nosníku Vd (x).
2. Pruhyb w(x) na reálném nosníku odpovídá ohybovémumomentu na duálním nosníku Md (x).
3. Zatížení duálního nosníku odpovídá obrazci ohybovéhomomentu na reálném nosníku redukovaném ohybovoutuhostí prurezu, tj. qd (x) =
M(x)EI .
4. Duální nosník musí splnovat okrajové podmínky propruhybovou cáru dle následující tabulky. . .
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Mohrova analogieOkrajové podmínky pro sestavení duálního nosníku
Reálný (skutecný) nosník Duální (fiktivní) nosník
w = 0ϕ 6= 0
Md = 0Td 6= 0
w = 0ϕ = 0
Md = 0Td = 0
w 6= 0ϕ 6= 0
Md 6= 0Td 6= 0
w = 0ϕL = ϕP
Md = 0TdL = TdP
w 6= 0ϕL 6= ϕP
Md 6= 0TdL 6= TdP
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Pruhyb prostého nosníku Mohrovou analogií
F
ℓ
ℓ/2 ℓ/2x
z
Realny nosnık
Dualnı nosnık
+M
14Fℓ
qdQd Qd
Rd
ℓ/3 ℓ/6
ℓ
w =?
Zatížení na duálním nosníku:qd = Fℓ
4EI
Výslednice trojúhelníkovéhozatížení:Qd = 1
2ℓ2qd = 1
16Fℓ2
EI
Reakce na duálním nosníku:Rd = Qd = 1
16Fℓ2
EI
Pruhyb uprostred rozpetí:w(
ℓ2
)
= Md(
ℓ2
)
= Rdℓ2 − Qd
ℓ6
w(
ℓ
2
)
=148
Fℓ3
EI
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Plochy a težište nekterých parabolickýchobrazcu
Parabolická úsec
t
A = 23aℓ
12ℓ
12ℓ
ℓ
a t
A = 23aℓ
38ℓ
58ℓ
ℓ
a
Parabolický trojúhelník
t
A = 13aℓ
34ℓ
14ℓ
ℓ
a
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Príklad delení parabolických ploch M(x)pro Mohrovu analogii
Realny nosnıkq
w =?ℓ1 ℓ2
q
q
A
A B
M−
+
M1 = 18qℓ
22
|M3| = Aℓ1
|M2| =12ql
21
Dualnı nosnık
qd3 = Aℓ1EI
qd2 =qℓ2
1
2EI
qd1 =qℓ2
2
8EI
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Príklad delení parabolických ploch M(x)pro Mohrovu analogii
w1 =?
Realny nosnıkq
a b
ℓ
M
+
A
a2
a2
b2
b2
M1 = Aa− 12qa
2
M3 = 18qb
2
M2 = 18qa
2
Dualnı nosnık
qd2
qd3
qd1
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Mohrova analogiePríklad
Urcete pruhyb a natocení prurezu pro daný drevený trámv predepsaných bodech.
q = 3kNm−1F = 2kN
3m 1mw =?
ϕ =?
M
18q3
2 = 3,375 kNm
2kNm
+
−
Dualnı nosnıkqd2 = 3,375
EI
qd1 = 2EI
Modul pružnosti uvažujteE = 10 GPa.
90mm
130mm
Moment setrvacnosti prurezu:Iy = 1
12bh3
Iy = 112 . 90 . 1303
Iy = 16,478.106 mm4
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Mohrova analogiePríklad
q = 3kNm−1F = 2kN
3m 1mw =?
ϕ =?
Dualnı nosnıkqd2 = 3,375
EI
qd1 = 2EI
Qd2Bd
Qd3
Qd1Bd
a b
b c
Výslednice zatížení:
Qd1 = 12 . 1 . 2
EI =1EI
Qd2 = 23 . 3 . 3,375
EI = 6,75EI
Qd3 = 12 . 3 . 2
EI =3EI
Reakce na duálním nosníku:
y
a :Qd2 . 1,5 − Qd3 . 2 − Bd . 3 = 0
6,75EI . 1,5 − 3
EI . 2 − Bd . 3 = 0
Bd = 1,375EI
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Mohrova analogiePríklad
q = 3kNm−1F = 2kN
3m 1mw =?
ϕ =?
Dualnı nosnıkqd2 = 3,375
EI
qd1 = 2EI
Qd2Bd
Qd3
Qd1Bd
a b
b c
Pruhyb w :
w = −Bd . 1 + 23 .Qd1
w = − 1,375EI . 1 + 2
3 . 1EI
w = − 0,708EI
w = − 0,70810.106 . 16,478.10−6
w = −4,30.10−3 m
Natocení ϕ:
ϕ = −Bd = − 1,375EI
ϕ = − 1,37510.106 . 16,478.10−6
ϕ = −8,34.10−3 rad = −0,478◦
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Pruhyby prostého nosníku
Vzorce pro stanovení pruhybu bývají pro ruzná zatíženítabelovány ve Statických tabulkách.Horejší, J.; Šafka, J. a kol. Statické tabulky. Technickýpruvodce, svazek 51. Praha : SNTL, 1987.
Vybrané nejduležitejší prípady
q
ℓw(
ℓ2
)
= 5384
qℓ4
EI
F
ℓ2
ℓ2
w(
ℓ2
)
= 148
Fℓ3
EI
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Doporucené maximální hodnoty pruhybunosníku
◮ Pruhyb ohýbaného nosníku nemuže být natolik velký, abyomezoval použitelnost konstrukce (napr. znemožneníotevírání oken namerným pruhybem prekladu).
◮ Proto jsou v norme doporucené omezení.◮ Maximální hodnota je závislá na typu konstrukce (trám,
pruvlak, konzola, strop (omítnutý/neomítnutý), strecha,preklad, mostní objekt).
◮ Ruzná omezení jsou dána také pro zatížení douhodobáa krátkodobá.
◮ Maximální hodnota pruhybu je závislá i na materiálu(konstrukce drevené, ocelové, železobetonovéa z predpjatého betonu, hliníkové. . . )
◮ U konstrukcí pozemních staveb se doporucuje maximálníhodnota pruhybu od ℓ
200 do ℓ400 (podle typu konstrukce).
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloub
Vetknuté nosníkyF
q
Nosník typu vetknutí-kloubF
q
◮ Vetknuté nosníky i pruty typu vetknutí-kloub lze rešitprímou integrací z difrerenciální rovnice pruhybové cáry.
◮ Výsledkem jsou funkce V (x), M(x), ϕ(x) i w(x).◮ Pusobí-li na nosník složka zatížení ve smeru osy x , lze
rešit staticky neurcitý tah a tlak z Hookeova zákona.◮ Reakce v podporách se urcí až z prubehu vnitrních sil
V (x), M(x) a N(x).
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Príklad vetknutého nosníkuF
ℓa bx
z
Nosník rozdelíme na 2 cásti:
w ′v (x) ={
w ′v1 (x) = 0 pro x ∈ 〈0, a〉
w ′v2 (x) = 0 pro x ∈ 〈a, ℓ〉
Integrujeme oba intervaly zvlášt’:EI w ′v
1 (x) = 0 ⇒ EI w1(x) = C11x3
6 + C12x2
2 + C13x + C14
EI w ′v2 (x) = 0 ⇒ EI w2(x) = C21
x3
6 + C22x2
2 + C23x + C24
Integracní konstanty se urcí z okrajových podmíneka podmínek spojitosti:
1. Okrajové podmínky:w1(0) = 0 w2(ℓ) = 0 w ′
1(0) = 0 w ′
2(ℓ) = 02. Podmínky spojitosti:
w1(a) = w2(a) w ′
1(a) = w ′
2(a) w ′′
1 (a) = w ′′
2 (a)−EI w ′′′
1 (a)− F = −EI w ′′′
2 (a)
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Príklad nosníku vetknutí-kloub
q
ℓx
z
Integrací diferenciální rovnice pruhybové cáry získáme:EI w ′v (x) = q ⇒ EI w(x) = q x4
24 + C1x3
6 + C2x2
2 + C3x + C4
Integracní konstanty se urcí z okrajových podmínek:
1. Okrajové podmínky pro pruhyb: w(0) = 0 w(ℓ) = 0
2. Okrajové podmínky pro natocení prurezu: w ′(0) = 0
3. Okrajové podmínky pro ohybový moment: w ′′(ℓ) = 0
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloubMoment ve vetknutí pro vybrané typy zatížení
Ohybové momenty ve vetknutí bývají pro ruzná zatíženítabelovány ve Statických tabulkách.Horejší, J.; Šafka, J. a kol. Statické tabulky. Technickýpruvodce, svazek 51. Praha : SNTL, 1987.
Vybrané nejduležitejší prípady
Zatíženíprutu
MbaMaba b Mab
a b
q
ℓ Mab = Mba = − 112 qℓ2 Mab = − 1
8qℓ2
F
a b
ℓ
Mab = −Fab2
ℓ2
Mba = −Fba2
ℓ2
Mab = −F ab(ℓ+b)2ℓ2
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloubDoplnek posouvající síly
F
a b
ℓ
a b
F
a b
Mab Mba
A0 = F bℓ
B0 = F aℓ
∆V ∆V
Posouvající síla V (x) se urcíjako posouvající síla naprostém nosníku V0(x)zvetšená o doplnekposouvajících sil ∆V :
V (x) = V0(x) +Mba − Mab
ℓ
Doplnek ∆V je na celém prutukonstantní.
Po urcení ohybových mometu ve vetknutí, reakcí A = A0 +∆Va B = B0 −∆V jsou známy všechny síly pro výpocet prubehuV (x) a M(x).
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Vetknuté nosníky a pruty typu vetknutí-kloubPríklad stanovení prubehu vnitrních sil
F = 5kN F = 5kN
A B
MbaMab
1 1 3m
5m
V
+
−
+7,72
+2,72
−2,28
M− −
+
−6,8
−3,2
+0,92
+3,64
Mab = − 5 . 1 . 42
52 − 5 . 2 . 32
52
Mab = −6, 8 kN m
Mba = − 5 . 4 . 12
52 − 5 . 3 . 22
52
Mba = −3, 2 kN m
∆V = −3,2−(−6,8)5 = +0, 72 kN
A = 5 . 45 + 5 . 3
5 + 0, 72A = +7, 72 kN
B = 5 . 15 + 5 . 2
5 − 0, 72B = +2, 28 kN
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Predpoklad, že prurez oýbaného nosníku zustává podeformaci rovinný a kolmý na pruhybovou cáru, nazýváme:
a) Schwedlerova veta
b) Steinerova veta
c) Bernoulli-Navierova hypotéza
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Pruhyb stredu rozpetí prostého nosníku rozpetí L zatíženéhospojitým zatížením q po celé jeho délce se vypocte:
a) w = 5384
qL2
EI
b) w = 5384
qL3
EI
c) w = 5384
qL4
EI
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Diferenciální rovnice pruhybové cáry w(x) má tvar:
a) EI w ′′(x) = q(x)
b) EI w ′′′(x) = q(x)
c) EI w ′′′′(x) = q(x)
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Kontrolní otázka
Podle Mohrovy analogie odpovídá funkci pruhybu na reálnémnosníku:
a) Funkce spojitého zatížení na duálním nosníku.
b) Funkce posouvající síly na duálním nosníku.
c) Funkce ohybového momentu na duálním nosníku.
Statika 2
M. Vokác
Diferenciální rovnicepruhybové cáry
Mohrova analogie
Vetknuté nosníky
Kontrolní otázky
Konec prednášky
Dekuji za pozornost.
Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému METAPOST.