Aksiomi statikeAksiomi statike su tvrdnje koje nije potrebno posebno dokazivati a na kojima poivaju sve teoreme i dokazi statike. Navest emo 5 aksioma: 1. Ako na neko tijelo koje je u stanju ravnotee djeluju samo 2 sile tada te sile lee na istom pravcu, suprotnog su smijera i istog intenziteta. F2=-F1 2. Ako nekom krutom tijelu koje miruje ili se kree dodamo ili oduzmemo uravnoteeni sistem sila tada se stanje mirovanja ili kretanja tog tijela nee promjeniti. 3. Rezultanta dviju sila iji se pravci sijeku lee na dijagonali paralelograma kojeg formiraju te dvije sile i jednaka je Fr=F1+F2 4. Aksiom o akciji i reakciji. Dva tijela djeluju jedno na drugo silama koje lee na istom pravcu suprotnog smijera i istog intenziteta. F2,1=-F1,2 5. Ukoliko se deformabilno tijelo koje je u stanju mirovanja ukruti tada se njegovo stanje ravnotee nee promjeniti.

Veze i njihove reakcijeVeze su prepreke koje sprijeavaju pomjeranja posmatranog tijela u odreenim pravcima. 1. Glatka veza je ona kod koje se moe zanemariti trenje. Kod takve veze je reakcija okomita na zajedniku tangentu u ravni izmeu dva tijela u njihovoj taci dodira. 2. Ue (konopac) U sluaju ueta kao veze ija je teina zanemariva u odnosu na vanjske sile koje djelu na njega reakcija veze je u pravu ueta i moe biti samo isteua. 3. tap ija se teina moe zanemariti u odnosu na vanjske sile koje na njega djeluju i u sluaju da nema drugih sila izmeu krajnjih taaka tapa ima reakciju veze u pravcu samog tapa i ona moe biti zateua ili pritiskajua. 4. Cilindrini zglob Cilindrinu vezu ine osovina i aura pri emu se osovina moe obrtati u auri ili obrnuto a moe se i aksialno pomjerati. Reakcija cilindrine veze ima radialni pravac, moe imati bilo koji pravac okomit na podunu osu. U ovom sluaju nepoznata nam je reakcija veze i njen poloaj. Jo je praktinije nepoznatu reakciju veze prikazati preko njenih projekcija na 2 ose okomite na podunu osu zgloba. 5. Podupira U sluaju podupiraa kao veze reakcija veze je prostorna sila koju je mnogo pogodnije prikazati preko projekcija na 3 ose. 6. Sferni zglob Reakcija sile je takoe prostorna sila.

Aksiom o vezama Nepoznate sileu statici se mogu odreivati na osnovu aksioma o vezama koji glasi: Ravnotea vezanog tijela se moe posmatrati tako to emo ukloniti veze kao prepreke a tom tijelu priloiti reakcije veze (reaktivne sile veza) Sistem sueljnih sila je takav sistem iji se pravci sijeku u jednoj taki.

Geometrijski nain slaganja silae imati za osnovu aksiom o slaganju dvije sile iji se pravci sijeku u jendoj taki, to pravilo paralelograma se moe posmatrati kao pravilo trougla. Rezultanta sueljnih sila jednaka je

vektorskom zbiru svih sila posmatranog sistema, a pravac rezultante prolazi kroz taku sueljavanja sila. Razlaganje sile na dvije sile: U tom sluaju postupa se obrnuto od redoslijeda koritenog u aksiomu o slaganju po pravilu paralelograma. Projekcije sila projekcija sile na osu je skalarna veliina koja je jednaka proizvodu intenziteta i cos ugla koji sila zaklapa sa tom osom.

Analitiki nain prikazivanja sileSilu je najpogodnije prikazati analitikim nainom preko njenih projekcija na osu dekartovog pravoulgog desno orijentiranog koord. sistema.

Analitiki nain slaganja sile Slaganje su. sila u rezultantu poiva na sljedeoj teoremi:Projekcija glavnog vektora nekog sistema sila na datu osu jednak je zbiru projekcija sila na tu osu. Glavni vektor predstavlja vektorski zbir datih vektora. Teorema o 3 sile Ako su 3 neparalelne sile u ravnotei tada su one sueljne sile u istoj ravni. Ako su sile F1, F2 i F3 neparalelne sile koje su u ravnotei tada rezultanta sila F1 i F2 prema aksiomu 1 lei na istom pravcu sa silom F3 jer je sa njom u ravnotei. Iz tog slijedi da se sile F1, F2 i F3 sueljavaju u istoj taci npr. A i lee u istoj ravni. Statiki odreeni i neodreeni problemi Ako je broj uslova ravnotee jednak broju nepoznatih veliina koje se trae u datom problemu tada kaemo da se radi o statiki odreenom problemu a ukoliko je broj nepoznatih veih od broja uslava ravnotee tada se radi o statiki neodreenom problemu. SBcos-SAcos=0 SAsin-SBsin-G=0

Varinjon-ova teoremaNeka je zadat sistem sueljnih sila u ravni F1,F2...Fn. Neka je rezultanta ovog sistema F=Fi Dokazat emo teoremu koja glasi: Moment rezultante sueljnih sila u ravni za proizvoljnu taku kao pol u istoj ravni jednak je sumi momenata pojedinih sila za isti pol. Dokaz: Ustanovit emo osu x koja je okomita na du koja spaja taku 0 sa takom sueljavanja datih sila A. SLIKA STR 40 Uslovi ravnotee ravnog sistema sueljnih sila moemo napisati i u obliku dvije momentne jednaine. MBFi=0 MCFi=0 Take ABC ne smiju leati na istom pravcu jer se moe desiti da su takvi uslovi zadovoljeni a da se ipak ne radi o ravnotei.

Sistem paralelnih sila i spregova u ravni slaganje 2 paralelne sile istog smijera:Neka su zadate dvije paralelne sile istog smijera F1 i F2 Potrebo je nai rezultantu tavkih sila u tom cilju datim silama dodajemo uravnoteeni par sila F1' i F2' u takama A i B. Sile F1 i F1' daju svoju rezultantu Fr1. Ponovo emo ih rastaviti na

komponente od kojih su sastavljene. Sile F1' i F2' e se ponititi i kao rezultat dobit ce se sile F1 i F2 na istom pravcu OC. Spreg sila ine dvije paralelne sile istog intenziteta i suprotnih smijerova Moment sprega sila se definie kao skalarna veliina u obliku m=+-F1*h=+-F2*h ovdje je h krak sprega koji je jednak rastojanju pravaca sila F1 i F2. Znak + vrijedi ako spreg nastoji da obre tijelo na koje djeluje u smijeru suprotnom od kazaljke na satu. Oito je da nepostoji neka sila koja moe da zamjeni dejstvo sprega, to znai da spreg nema svoju rezultantu. Slaganje spregova u ravni m1, m3...mn potrebno je vidjeti dal se taj sistem spregova moe zamjeniti jednim rezultujuim spregom i ako moe vidjeti koji je njegov moment. Zadane spregove emo zamjeniti odgovarajuim parovima sila Fi' Fi'' pri emu sila Fi' lei na pravcu koja prolazi kroz neku taku A. a sila Fi'' na njemu paralelnom pravcu koji prolazi kroz neku taku B mora biti zadovoljen uslov MBFi=m*i Sila Fi' e dati galvni vektor Fr'=Fi' koja prolazi kroz taku A a sila Fi' dat e glavni vektor Fr''=Fi'' koja prolazi kroz taku B. Sile Fr' i Fr'' ine spreg sila iji je glavni moment mR=mi Prvu silu svakog sprega emo ucrtat iz neke take A na istom pravcu a preostale sile emo iscrtati iz neke take B na pravcu koji je paralelan prvom pravcu. Pri tome mora biti zadovoljen uslov MBFi=MAFi''=mi Sve sile na prvom pravcu koje prolaze kroz taku A e dati galvni vektor Fr' a sile koje prolaze kroz B dat e glavni vektor Fr''

Proizvoljni sistem sila u ravniRedukcija sile na taku:Neka sila F djeluje u taci A . U taci B dodat emo uravnoteeni par sila F' i F'' (Fi'=F=-F'') Sile F i F'' ine spreg sila iji je moment m=MBF Kao rezultat Transformacije dobit emo paralelno pomjerenu silu F iz take A u taku B i spreg iji je moment dat izrazom (1). Ovakva transformacija naziva se redukcijom sile na datu taku pri emu paralelnim pomjeranjem sile iz jedne take u drugu taku (taku redukcije) moramo dodati i spreg iji je moment jednak momentu zadane sile za taku redukcije kao pol.

Redukcija ravnog sistema sila na taku: Neka je zadan proizvoljni sistem sila u ravniF1,F2,...,Fn Zadane sile emo njihovu redukciju za pol ''0'' pri emu emo u taci ''0'' dobit sistem su. sila iji je glavni vektor FR=Fi...(1) Pored toga redukcijom ovih sila na taku ''0'' dobit emo i spregove m=M0Fi pri emu svi ti spregovi daju glavni moment m0=M0Fi (2). Prema tome proizvoljni sistem sila u ravni se redukcijom za proizvoljni pol svodi na glavni vektor dat izrazom (1) i glavni moment dat izrazom (2) Redukcija ravnog sistema sila na prosti oblik: U zavisnosti od glavnog vektora FR i glavnog momenta m0 za ravni sistem sila mogu nastupit sljedei sluajevi. a) FR0, m0=0 U tom sluaju sistem sila u ravni svodi se na rezultantu koja prolazi kroz taku ''0'' i ija je vrijednost Fr=Fi b) FR=0, m00 U ovom sluaju sistem sila u ravni svodi se na glavni moment koji je jednak

m0=M0Fi c) FR=0, m0=0 U ovom sluaju se radi o ravnotei ravnog sistema sila. d) FR0, m00 U ovom sluaju emo odabrati sile F' i F'' koje ine spreg m0 pri emu je F'=-F'' =-FR i pri emu sila F' djeluje u taci ''0'' u tom sluaju sila F'' djeluje u nekoj taci A. Tako da je zadovoljen uslov M0F''=m0 Sila FR i F' se ponitavaju tako da na kraju dobijamo silu F'' u taci A koja predstavlja rezultantu Fr=Fi

Uslov ravnotee proizvoljnog ravnog sistema sila Kao to smo vidjeli usloviravnotee ravnog sistema sila su FR=0, m0=0 iz ovog dobijamo FRx=0 , FRy=0, m0=0 pri emu su x i y okomite ose u datoj ravni. Uslovi ravnotee ravnog sistema sila mogu se napisati i u sljedeem obliku: Fix=0, MAFi=0, MBFi=0 (2) Pri tome mora biti zadovoljen uslov ABx jer u tom sluaju mogu biti zadovoljeni uslovi (2), a da se ipak ne radi o ravnotei kao na predhodnoj slici. Mogu se napisati i kao: MAFi=0, MBFi=0, MCFi=0 ... (3) Pri tome take A,B i C ne smiju leati na istom pravcu jer se u tom sluaju moe desiti sluaj da su uslovi (3) zadovoljeni a da se ipak ne radi o ravnotei. Ukljetenje kao veza U optem sluaju imaju 3 reakcije veze. Ukljetenje kao veza se koristi tamo gdje treba sprjeiti rotaciju tjela oko ose upravne na ravan djejstva sila. SLIKA STR 45 Ukljetenje ne samo da prenosi kosu silu cije su komponente xA i yA reakcije u dva okomita pravca, a MA moment ukljetenja.

Gredni nosai u ravni (tipovi) Veliki dio elemenata konstrukcija u tehnici se moeposmatrati kao greda (vratila, osovine itd) Grede su elementi ije se poprene dimenzije mogu zanemariti u odnosu na podunu (uzdznu) dimenziju i koje mogu da trpe razliite oblike vanjskih optereenja. 5: Prosta greda - greda sa propustima Ram- Konzola - Gerberova greda

Vrsta optereenja gredaGreda moze biti opterecena koncentrisanjim silama i kontinualnim opterecenjima koja mogu biti ravnomjerna ili promjenljiva.Vise meusobno povezanih greda na jednom pravcu cine tzv. kombinovanu gredu.

Moment savijanja, transfersalna sila i aksialna silaSila zove se poprena ili transverzalna, otuda index T, sila zove se uzduzna , ili aksijalna-otuda indeks A, moment M zove se moment savijanja grede na odgovarajucem mjestu. Transverzalna sila nastoji da smakne jedan dio grede u odnosu na drugi i zato je opterecena na

smicanje, aksijalna sila je opterecuje na istezanje ili pritisak a moment M nastoji da savije gredu.

Veza izmeu momenta savijanja I transverzalne sileTransverzalna sila u nekom presjeku grede jednaka je algebarskom zbiru projekcija spoljanjih sila na osu upravnu na gredu-sa lijeve ili desne strane od tog presjeka Moment savijanja u nekom presjeku grede jednak je algebarskom zbiru momenata spoljanjih sila koje djeluju na gredu sa lijeve ili desne strane od tog presjeka.

PITANJA I ODGOVORI IZ STATIKE (ZAVRSNI ISPIT GRUPA A; JEDAN DIO)1:Varinjonova teorema o momentu rezultante sile u ravniNeka je zadat sistem sueljnih sila u ravni F1,F2...Fn. Neka je rezultanta ovog sistema F=Fi Dokazatemo teoremu koja glasi: Moment rezultante sueljnih sila u ravni za proizvoljnu taku kao pol u istoj ravni jednak je sumi momenata pojedinih sila za isti pol.moment rezultante ravnog sistema suceljnih sila za proizvljnu osu uspravnu na ravan dejstva tog sistema,jednak je algebarskog zbiru momenata.SLIKA Neka je njihova rezultanta Fr=Fi odabrati cemo u ravni neki pol o na duza OA,puvucemo neku osu yokomito. Moment proizvoljne sile ce biti jednak: FORMULA Slicno je i za rezlutantu Fr FORMULA Izraz 3 predstavlja variouvu teoremu o momentu rezultante suceljnih sila u ravni iz koje se vidi da je moment te rezultante za neki pol u istoj ravni jednak sumi momenata datih sila za dati pol.

2.Veza izmedu momenata savijanja i transferzalne silepredpostavimo da smo gredu na proizvoljnom mjestu presjekli poprijecnim presjekom.posto su oba dijela grede u ravnotezi onda dio grede djeluje na drugi i obrnuto.Taj se utjecaj moze sresti na jedan glavni vektor i glavni moment. Pri tome se glavni moment tog djelovanja moze razloziti na transferzalnu komponentu.moment savijanja u presjeku grededefinise se kao suma momenata svih sila denso ili lijevo od presjeka za prosjecno tacku kao pol.predznak momanata savijanja ce biti u skladu sa slikom:Transferzalne sila u nekom presjeku grede se definise kao suma proekcij svih sila sa jedne ili druge strane presjeka na poprijecnu osu grede sa odredenim znakom kao na sl.slici: SLIKA Aksialna sila FA u nekom presjeku grede definie se kao suma projekcija na pravac grede svih sila koje djeluju lijevo ili desno od presjeka grede sa odreenim predznakom. Ukoliko aksialna sila istee gredu tada vai znak plus (+).

3. -Veza izmeu momenta sile za taku i momenta sile za osuMoment sile za taku O kao pol je kao to smo definisali

ako uspostavimo koordinatni sistem x,y,z tako da se njegovo izhodite nalazi u taki 0. tada e biti Tada izraz (1) moemo napisati u obliku determinante FORMULA Projekcija vektora na pojedine ose e biti FORMULA Prema tome vidimo da je projekcija momena sile za taku na neku osu koja prolazi kroz tu taku jednaka momentu sile za tu osu.

PITANJA I ODGOVORI IZ STATIKE (ZAVRSNI ISPIT GRUPA B; JEDAN DIO)4.Slaganje spregova u prostoru :Neka je zadan sistem spregova u prostoru: SLIKA Svaki od ovh spregova se moze rastaviti na odgovarajuce parove sila pri cemu po 1 sila iz svakog sprega polazi iz neke napadne tacke a preostale sile iz neke tacke B pri tome mora biti zadovoljen uslov: FORMULA Suceljne sile Fi u tacki A ce dati glavni vektor Fr= Fi u taci B ce dati glavni vektor : FORMULA Ova 2 glavna vektora cine rezultujuci spreg:FORMULA Njegova vrijednost je: FORMULA Vidimo da je pri slaganju spregova u prostoru glavni moment= sumi momenata pojedih spregova

5.Sistem paralelnih sila i spregova u ravni slaganje 2 paralelne sile istog smijera:Neka su zadate dvije paralelne sile istog smijera F1 i F2 Potrebo je nai rezultantu tavkih sila u tom cilju datim silama dodajemo uravnoteeni par sila F1' i F2' u takama A i B. Sile F1 i F1' daju svoju rezultantu Fr1. Ponovo emo ih rastaviti na komponente od kojih su sastavljene. Sile F1' i F2' e se ponititi i kao rezultat dobit ce se sile F1 i F2 na istom pravcu OC.

6.Veza izmeu momenta savijanja I transverzalne sile:Transverzalna sila u nekom presjeku grede jednaka je algebarskom zbiru projekcija spoljanjih sila na osu upravnu na gredu-sa lijeve ili desne strane od tog presjeka Moment savijanja u nekom presjeku grede jednak je algebarskom zbiru momenata spoljanjih sila koje djeluju na gredu sa lijeve ili desne strane od tog presjeka.