Upload
others
View
13
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Université Abdelmalek Essaadi
Ecole Nationale des Sciences Appliquées
Al Hoceima
Cours de :
Statique des fluides
Par : Imad El Bojaddaini
FiliĂšre : CP2
Année Universitaire : 2019/2020
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 2
Sommaire :
1. Introduction
2. Forces exercées sur un volume de fluide
3. Pression en un point dâun fluide
4. Relation fondamentale de lâhydrostatique
5. ThéorÚme de Pascal
6. ThĂ©orĂšme dâArchimĂšde
7. Force de pression sur les parois et centre de poussée
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 3
Avant-propos
Ce cours est strictement dĂ©diĂ© aux Ă©tudiants du Cycle PrĂ©paratoire 2 de lâENSA dâAlHoceima. Au contraire du cours de mĂ©canique des fluides, celui-ci contient
seulement la partie statique qui Ă©tudie un fluide au repos. Toutes les notions liĂ©es Ă la dynamique des fluides comme lâĂ©quation de continuitĂ©, le thĂ©orĂšme de Bernoulli, le
thĂ©orĂšme dâEuler, âŠ, ne seront pas prises en considĂ©ration dans ce cours.
Imad El Bojaddaini
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 4
1. Introduction
1.1 DĂ©finition dâun fluide
La matiĂšre existe en gĂ©nĂ©ral sous deux Ă©tats physiques Ă savoir lâĂ©tat solide et lâĂ©tat fluide.
Un fluide est un corps physique sans rigidité dont une des principales propriétés est de subir
de grandes dĂ©formations sous lâaction des forces extĂ©rieures aussi petites que lâon veut. Cette propriĂ©tĂ© dite fluiditĂ©, est due Ă une grande mobilitĂ© des particules fluides.
Contrairement au solide qui a une forme propre, un fluide ne possĂšde pas de forme propre et il
prend la forme du récipient qui le contient parce que les particules (atomes ou molécules)
constituant un fluide sont libres de sâĂ©couler ou de se dĂ©placer les unes par rapport aux autres. Alors quâun solide se dĂ©place en bloc ou se dĂ©forme (petites dĂ©formations) tout en gardant une structure cohĂ©rente, un fluide sâĂ©coule et on parle de lâĂ©coulement du fluide.
Cette différence de comportement entre les fluides et les solides trouve son explication au
niveau molĂ©culaire. En effet, les forces de cohĂ©sion entre les particules dâun solide sont plus importantes que celles qui sont entre les particules dâun fluide.
Parmi les fluides, on distingue les liquides et les gaz :
Un liquide (lâeau, lâhuileâŠ) nâa pas de forme propre, mais il a un volume propre. Il adopte la forme du rĂ©cipient qui le contient.
Fig. 1.1
Un liquide est un fluide incompressible. Il ne se comprime pas car les atomes ou les
molécules qui le composent sont proches les uns des autres (en contact étroit); on ne peut les
rapprocher plus quâils le sont.
Fig. 1.2
Lorsquâun liquide est en contact avec lâair (lâatmosphĂšre), la surface de contact est une surface horizontale appelĂ©e la surface libre.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 5
Fig. 1.3
La pression sur cette surface libre est égale à la pression atmosphérique: P = 1 atmosphÚre,
avec 1 atmosphĂšre = 1,013 bar = 1,013.105 Pascal.
Un gaz (lâair, la vapeur, âŠ) nâa ni forme propre ni volume propre. Une masse m du
gaz occupe toujours tout le volume disponible.
Fig. 1.4
Un gaz est un fluide compressible, car les molécules qui le composent sont trÚs distantes les
unes des autres et il est facile de les forcer Ă occuper un volume plus petit en augmentant la
pression externe.
Fig. 1.5
Remarque : un plasma, qui est un gaz ionisé, est le quatriÚme état de la matiÚre faisant suite,
dans lâĂ©chelle des tempĂ©ratures, aux trois Ă©tats classiques : solide, liquide et gaz.
1.2 MĂ©canique des fluides
La mécanique des fluides est une branche de physique qui étudie le comportement des fluides
au repos (statique des fluides) et en mouvement (dynamique des fluides). Elle dĂ©termine lâĂ©tat dâun fluide (vitesse, tempĂ©rature, pression, masse volumiqueâŠ) en chaque point de lâespace oĂč Ă©volue ce fluide et Ă©ventuellement en fonction du temps.
La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans plusieurs domaines comme
lâaĂ©ronautique, lâingĂ©nierie navale, biomĂ©canique, la mĂ©tĂ©orologie, lâocĂ©anographie et la climatologieâŠ.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 6
1.3 Ecoulement dâun fluide
LâĂ©tat dâun fluide au repos ou en mouvement est dĂ©crit mathĂ©matiquement par des grandeurs
physiques scalaires et vectorielles telles que la vitesse, la pression, la température, la masse
volumique (ou densitĂ©). Ces grandeurs varient gĂ©nĂ©ralement, Ă un mĂȘme instant, dâun point Ă
lâautre du fluide, comme elles peuvent varier aussi avec le temps.
Il existe diffĂ©rents types dâĂ©coulements: Ă©coulement unidimensionnel, bidimensionnel, tridimensionnel, uniforme, permanent, laminaire et turbulent.
Fig. 1.6
1.3.1 Ecoulement unidimensionnel :
Les variables de lâĂ©coulement du fluide ne dĂ©pendent que dâune seule coordonnĂ©e de lâespace et Ă©ventuellement le temps. Elles sont donc les mĂȘmes en tout point dâune section.
1.3.2 Ecoulement bidimensionnel ou plan :
Les variables de lâĂ©coulement dĂ©pendent de deux coordonnĂ©es de lâespace et Ă©ventuellement le temps.
1.3.3 Ecoulement tridimensionnel ou spatial :
Les variables de lâĂ©coulement dĂ©pendent des trois coordonnĂ©es de lâespace et Ă©ventuellement le temps.
1.3.4 Ecoulement uniforme :
Un écoulement est dit uniforme à un instant si les grandeurs physiques (pression, température,
vitesse ,masse volumique) ne dĂ©pendent pas des coordonnĂ©es de lâespace.
1.3.5 Ecoulement permanent ou stationnaire :
Un écoulement est dit permanent (ou stationnaire) si les grandeurs physiques représentatives
sont indĂ©pendantes du temps, elles ne dĂ©pendent que des coordonnĂ©es de lâespace. Dans le cas contraire il est dit non permanent ou instationnaire.
1.3.6 Ecoulement laminaire et turbulent :
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 7
LâĂ©coulement est laminaire lorsque le dĂ©placement du fluide se fait suivant des droites
parallĂšles disposĂ©es en couches. Il est dit turbulent lorsquâil se dĂ©place dâune maniĂšre dĂ©sordonnĂ©e en formant des tourbillons de tailles diffĂ©rentes accompagnĂ©s dâun mĂ©lange ou brassage trĂšs intensif des particules fluides.
1.4 Fluide compressible et fluide incompressible
1.4.1 Fluide incompressible :
Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donnée de ce fluide
ne varie pas en fonction de la pression extĂ©rieure. Les liquides peuvent ĂȘtre considĂ©rĂ©s comme
des fluides incompressibles (eau, huile, âŠ).
1.4.2 Fluide compressible :
Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée de ce fluide
varie en fonction de la pression extĂ©rieure. Les gaz sont des fluides compressibles (lâair, lâhydrogĂšne, le mĂ©thane Ă lâĂ©tat gazeux, âŠ).
1.5 Caractéristiques physiques des fluides
1.5.1 Masse volumique :
Soit đ(đ„, đŠ, đ§) un point du fluide entourĂ© par un Ă©lĂ©ment de volume đđ.
La masse volumique du fluide, au point đ, est dĂ©finie par : đ đ =đđđđ ,
oĂč đđ est la masse totale de toutes les molĂ©cules contenues dans le volume đđ. Câest une mesure de la concentration de la matiĂšre (masse) par unitĂ© de volume. Son unitĂ© est đđ đ3 .
Remarque : la masse volumique đ dĂ©pend en gĂ©nĂ©ral de la pression đ et de la tempĂ©rature đ,
donc đ = đ đ, đ . Dans la suite, on va sâintĂ©resser seulement aux cas isothermes (đ = đđĄđ),
donc đ = đ đ . Dans le cas dâun fluide incompressible (liquide), le volume đ occupĂ©e par une masse đ de ce fluide ne varie pas avec la pression extĂ©rieure đ : â đ, đ =
đđ = đđĄđ â đ = đđĄđ.
Exemples : đđđđą = 103 đđ đ3 , đđ»đ = 13.6 Ă 103 đđ đ3 .
Dans le cas dâun fluide compressible (gaz), la loi đ = đ đ peut ĂȘtre dĂ©terminĂ©e
expĂ©rimentalement sous forme empirique. Elle aussi ĂȘtre dĂ©terminĂ©e thĂ©oriquement,
par exemple, par la loi des gaz parfait : đđ = đđ đ â đ =đđđ đ đ.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 8
1.5.2 Densité :
La densitĂ© est dĂ©finie par : đ =đđđ đ đ đŁđđđąđđđđąđđđđ đ đ đŁđđđąđđđđąđ đâČđąđđđđąđđđ đđ đĂ©đĂ©đđđđđ =
đđđĂ©đ
Dans le cas des liquides, on prendra lâeau comme fluide de rĂ©fĂ©rence. Dans le cas des gaz, on prendra lâair comme fluide de rĂ©fĂ©rence.
Exemples : đđđđđąđđđ =đ đđđđąđđđđđđđą âč đđđđą = 1, đđ»đ = 13.6
1.5.3 Poids volumique :
Le poids volumique est donnĂ©e par : đ =đ. đđ = đ. đ
oĂč đ est lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur. Le poids volumique đ est exprimĂ© en đ/đ3.
1.5.4 Viscosité :
La viscosité est une caractéristique des fluides quand ils sont en mouvement. Elle caractérise
la rĂ©sistance du fluide Ă lâĂ©coulement, elle est causĂ© par le frottement entre particules fluide
lors du mouvement et elle provoque une dissipation de lâĂ©nergie cinĂ©tique qui est transformĂ©e en chaleur. Alors, les fluides de grande viscositĂ© rĂ©sistent Ă lâĂ©coulement et les fluides de faible viscositĂ© sâĂ©coulent facilement.
On peut prĂ©ciser cet aspect qualitativement par lâexpĂ©rience suivante :
Un fluide est disposĂ© entre deux plaques solides, planes et parallĂšles. On fixe lâune et on fait animer la deuxiĂšme dâun mouvement uniforme de vitesse đ (voir Fig. 1.7).
Fig. 1.7
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 9
Le mouvement du fluide peut ĂȘtre considĂ©rĂ© comme rĂ©sultat du glissement des couches du
fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est fonction de la distance đ§. La
vitesse des particules de fluide situĂ©es sur une verticale varie alors entre 0 sur la paroi fixe et đ sur la paroi mobile. Il existe donc un gradient de vitesse đđđđ§ dans la direction
perpendiculaire Ă đ . Cette variation de la vitesse suivant la verticale est due aux forces de
frottements entre les différentes couches du liquide.
On distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.
1.5.4.1 Viscosité dynamique :
ConsidĂ©rons deux couches de fluides adjacentes distantes de âđ§. La force de frottement đč qui
sâexerce Ă la surface de sĂ©paration de ces deux couches sâoppose au glissement dâune couche sur lâautre. Elle est proportionnelle Ă la diffĂ©rence de vitesse des couches âđ, Ă leur surface đ
et inversement proportionnelle Ă âđ§ : đč = đ. đ.âđâđ§
Le facteur de proportionnalitĂ© đ est appelĂ© viscositĂ© dynamique. Elle est exprimĂ©e en đđ đ. đ
Remarque 1 : dans le systĂšme international (SI), lâunitĂ© de la viscositĂ© dynamique est le Pascal seconde : 1 đđ. đ = 1 đđ đ. đ .
Remarque 2 : dans le cas oĂč đ = 0, on parle dâun fluide non visqueux ou idĂ©al ou parfait.
1.5.4.2 Viscosité cinématique :
Elle est donnĂ©e par : đ =đđ
Son unitĂ© est đ2 đ .
Remarque 1 : on utilise souvent le Stockes (St) comme unité de mesure de la viscosité
cinĂ©matique. 1 đđĄ = 10â4 đ2 đ .
Remarque 2 : la viscosité des fluides dépend en grande partie de leur température.
1.6 Statique des fluides
La statique des fluides est la science qui Ă©tudie les conditions dâĂ©quilibre des fluides au repos. Quand le fluide est un liquide (eau par exemple), la thĂ©orie est appelĂ©e lâhydrostatique.
Dans la statique des fluides, nous nous intéressons aux cas des fluides en équilibre dans un
repĂšre. Ceci implique que les particules fluides ont une vitesse nulle dans ce repĂšre, il nây a donc aucun mouvement (relatif) des particules fluides les unes par rapport aux autres et par
consĂ©quent il nây a pas de forces de frottement (pas de viscositĂ©). Alors, les forces surfaciques qui agissent sur les surfaces dĂ©limitant un Ă©lĂ©ment de volume de fluide se rĂ©duisent
uniquement aux forces de pression et sâexercent perpendiculairement Ă ces surfaces.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 10
Ainsi, les seules forces qui sâexercent sur un Ă©lĂ©ment de volume de fluide sont les forces volumiques (en gĂ©nĂ©ral le poids) et les forces de pression.
Les lois de la statique des fluides sâappliqueront aussi bien au fluides parfaits quâau fluides rĂ©els au repos(lâeffet de la viscositĂ© est trĂšs nĂ©gligeable).
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 11
2. Forces exercées sur un volume de fluide
2.1 Types des forces
Soit un volume đđ de fluide, limitĂ© par une surface đ pris dâun fluide en Ă©coulement (Fig. 2.1).
Fig. 2.1
Ce volume đđ de fluide subit deux types de forces extĂ©rieures :
Forces volumiques (ou massiques) : telles que le poids, les forces
électromagnétiques. Ces forces sont liées directement au volume. Par exemple, le
poids volumique infinitĂ©simal đđ est đđ đđ oĂč đ est lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur et đ
la masse volumique.
Forces surfaciques : ce sont des forces exercĂ©es sur le volume đđ par le reste du
fluide Ă travers la surface externe đ.
Soit un Ă©lĂ©ment de surface infinitĂ©simal đđ de la surface đ, orientĂ© par un vecteur
unitaire đ đđ„đĄ dirigĂ© vers lâextĂ©rieur de đđ (đ đđ„đĄ â„ đđ). Le fluide extĂ©rieur exerce sur
lâĂ©lĂ©ment de surface đđ :
Une force de pression perpendiculaire Ă đđ: đđč đ = âđ đđ đ đđ„đĄ
La force de pression totale sur la surface đ est : đč đ = âđ đđ đ đđ„đĄ
Une force de frottement (force de viscositĂ©) parallĂšle Ă đđ : đđč đŁđđ đ = đ đđ
oĂč đ est une force de frottement par unitĂ© de surface. Sur la surface totale đ on
a : đč đŁđđ đ = đđč đŁđđ đ
Ainsi, la force surfacique exercĂ©e sur đđ est : đđč = đđč đ + đđč đŁđđ đ = âđ đ đđ„đĄ + đ đđ = đ đ đđ
oĂč đ đ est un vecteur contrainte au point đ (une force divisĂ©e par une
surface). Si le fluide est au repos đđč đŁđđ đ = 0 , alors đđč = âđ đ đđ„đĄ đđ.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 12
2.2 Fluide parfait et fluide réel
2.2.1 Fluide parfait :
Soit un systÚme fluide dont le volume est délimité par une surface Σ (voir Fig. 2.2) :
Fig. 2.2
Sur lâĂ©lĂ©ment de surface đđ une force đđč est appliquĂ©e par le reste du fluide. Elle composĂ©e
dâune partie đđč đ normale Ă la surface (force de pression) et dâune partie đđč đ tangentielle Ă la
surface (force de frottement ou de viscosité).
En mĂ©canique des fluides, un fluide est dit parfait sâil est possible de dĂ©crire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. Dans ce cas la composante đđč đ est nulle.
2.2.2 Fluide réel :
Contrairement Ă un fluide parfait qui nâest quâun modĂšle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide rĂ©el les forces tangentielles de
frottement interne qui sâopposent au glissement relatif des couches fluides sont prises en
considération. Ce phénomÚne de frottement visqueux apparait lors du mouvement du fluide.
Remarque : lorsque le fluide est au repos (en équilibre), le fluide réel se comporte comme un
fluide parfait. Les forces de contact dans ce cas sont normales aux éléments de surface. La
statique des fluides réels se confond avec celle des fluides parfaits.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 13
3. Pression en un point dâun fluide
La pression est une grandeur scalaire. Câest lâintensitĂ© de la composante normale de la force
quâexerce le fluide sur lâunitĂ© de surface.
Fig. 3.1
Elle est dĂ©finie en un point đŽ du fluide par lâexpression suivante :
đđŽ = đđč đ đđ
oĂč đđč đ est la composante normale de la force Ă©lĂ©mentaire qui sâexerce sur lâĂ©lĂ©ment de surface đđ.
Sur la surface de centre đŽ, dâair đđ, orientĂ©e par sa normale extĂ©rieure đ (voir Fig. 3.1), la
force de pression Ă©lĂ©mentaire sâexprime par : đđč đ = âđđŽ đđ đ La pression en un point đ dâun fluide au repos est identique dans toutes les directions. En
effet, considĂ©rons un Ă©lĂ©ment de volume de fluide, entourant le point đ, sous la forme dâun prisme triangulaire de largeur đđŠ = 1 et de dimensions đđ„ et đđ§ (voir Fig. 3.2).
Fig. 3.2
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 14
LâĂ©lĂ©ment de volume est en Ă©quilibre sous lâaction des forces :
Poids : đ = đđ đ = đ đđ đ = đ đđ„ đđ§
2 đđŠ đ
Forces de pression : đč 1 = đ1 đđ§ đđŠ đ„ , đč 2 = đ2 đđ„ đđŠ đ§ đđĄ đč 3 = âđ3 đđ đđŠ đ avec đ = sin đŒ đ„ + cos đŒ đ§ , đđ„ = đđ cos đŒ đđĄ đđ§ = đđ sin đŒ.
La somme de ces forces est nulle puisque le fluide est en Ă©quilibre (au repos) : đ đđ„ đđ§
2 đđŠ đ + đ1 đđ§ đđŠ đ„ + đ2 đđ„ đđŠ đ§ â đ3 đđ đđŠ đ = 0
En remplaçant đ par son expression et đđŠ par 1 on trouve : đ đđ„ đđ§
2 đ + đ1 đđ§ đ„ + đ2 đđ„ đ§ â đ3 đđ sin đŒ đ„ â đ3 đđ cos đŒ đ§ = 0
En faisant la projection sur lâaxe đ„ on obtient : đ1 đđ§ â đ3 đđ sin đŒ = 0 đ1 đđ§ â đ3 đđ§ = 0
DâoĂč : đ1 = đ3.
En faisant la projection sur lâaxe đ§ maintenant, on obtient : âđ đđ„ đđ§
2 đ + đ2 đđ„ â đ3 đđ cos đŒ = 0
âđ đđ„ đđ§
2 đ + đ2 đđ„ â đ3 đđ„ = 0
âđ đđ§2
đ + đ2 â đ3 = 0
Alors : đ2 = đ3 +1
2 đ đ đđ§
Si on fait tendre lâĂ©lĂ©ment de volume vers 0, donc đđ§ = 0, on aura finalement : đ1 = đ3 = đ2
On peut donc conclure quâen un point đ donnĂ© du fluide au repos, la pression est la mĂȘme
dans toutes les directions.
Remarque : si on ne fait pas tendre đđ§ vers 0, on ne peut pas obtenir cette Ă©galitĂ©. Ceci est
due au fait que la pression dĂ©pend de la pesanteur (de lâaxe đ§ ). Câest ce quâon verra plus tard dans la loi fondamentale de lâhydrostatique.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 15
4. Relation fondamentale de lâhydrostatique
Soient un fluide au repos et un Ă©lĂ©ment de volume đđ de ce fluide de masse volumique đ sous
forme dâun parallĂ©lĂ©pipĂšde rectangle de dimensions đđ„, đđŠ et đđ§ (voir Fig. 4.1).
Fig. 4.1
Les forces exercées sur cet élément de volume sont :
Le poids : đ đđ đ = âđ đ đđ đ§ = âđ đ đđ„ đđŠ đđ§ đ§ . Les forces de pression :
Force de pression sur la facette situĂ©e dans le plan dâabscisse đ„ + đđ„ : đč1 = âđ đ„ + đđ„ đđŠ đđ§ đ„ Force de pression sur la facette situĂ©e dans le plan dâabscisse đ„ : đč2 = đ đ„ đđŠ đđ§ đ„ Force de pression sur la facette situĂ©e dans le plan dâordonnĂ©e đŠ + đđŠ : đč3 = âđ đŠ + đđŠ đđ„ đđ§ đŠ
Force de pression sur la facette situĂ©e dans le plan dâordonnĂ©e đŠ : đč4 = đ đŠ đđ„ đđ§ đŠ Force de pression sur la facette situĂ©e dans le plan de cote đ§ + đđ§ : đč5 = âđ đ§ + đđ§ đđ„ đđŠ đ§ Force de pression sur la facette situĂ©e dans le plan de cote đ§ : đč6 = đ đ§ đđ„ đđŠ đ§
LâĂ©lĂ©ment de volume du fluide Ă©tant Ă lâĂ©quilibre, et la somme de toutes les forces est donc nulle. Alors : âđ đ đđ„ đđŠ đđ§ đ§ â đ đ„ + đđ„ đđŠ đđ§ đ„ + đ đ„ đđŠ đđ§ đ„ â đ đŠ + đđŠ đđ„ đđ§ đŠ
+ đ đŠ đđ„ đđ§ đŠ â đ đ§ + đđ§ đđ„ đđŠ đ§ + đ đ§ đđ„ đđŠ đ§ = 0 En projetant cette Ă©quation sur lâaxe đ„ et en divisant par đđ„ đđŠ đđ§, on obtient : âđ đ„ + đđ„ â đ(đ„)đđ„ = 0 đđđđ„ = 0
En effectuant le mĂȘme raisonnement suivant les axes đŠ et đ§ , on trouve :
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 16
đđđđŠ = 0 đđĄ đđ +đđđđ§ = 0
Ainsi, on aboutit finalement Ă lâĂ©quation vectorielle suivante : đđ â đđđđ đ· = đ Il sâagit de la relation fondamentale de lâhydrostatique. En rĂ©sumĂ©, elle est dĂ©finit par :
đđ â đđđđ đ = 0 âș đđđđ đ = đđ âș đđđđ„ = 0đđđđŠ = 0đđđđ§ = âđđ
A partir de ces trois Ă©quations de la statique des fluides, on dĂ©duit que la pression đ ne dĂ©pend
pas de đ„ et đŠ, elle ne dĂ©pend que de đ§ : đ = đ(đ§). Alors, tout les point du fluide appartenant Ă
une surface horizontale ont la mĂȘme pression. Cette surface horizontale, câest-Ă -dire le plan
(đ„, đŠ), est appelĂ©e surface isobare.
On a : đđđđ§ = âđđ âč đđđđ§ = âđđ, dâoĂč : đ đ· = âđđ đ đ
oĂč la quantitĂ© đđ est le poids volumique du fluide.
Remarque : si lâaxe đ§ est dirigĂ© vers le bas (dans le mĂȘme sens de đ ), la relation
fondamentale de lâhydrostatique devient : đ đ· = +đđ đ đ
En intĂ©grant la relation fondamentale de lâhydrostatique đ đ· = âđđ đ đ, on obtient : đ đ· = â đđ đ đ
Cette relation est valable pour les liquides et les gaz. On distingue alors deux cas :
Si le fluide est un gaz (fluide compressible), đ nâest pas constante et il faut en tenir compte pour intĂ©grer. La masse volumique đ peut ĂȘtre liĂ©e Ă la pression đ par
lâintermĂ©diaire de lâĂ©quation dâĂ©tat. Pour un gaz parfait on a :đ =đđđ đ đ.
Si le fluide est un liquide (fluide incompressible), đ est constante : đđ = âđđ đđ§ âč đ = âđđđ§ + đđĄđ âč đ· + đđđ = đđđ
Ainsi, quelque soient deux points đŽ et đ” dâun fluide incompressible au repos, on a : đ·đš + đđđđš = đ·đ© + đđđđ© = đđđ
Variation verticale de la pression :
Soient deux points đ et đ de cotes respectives đ§đ et đ§đ, appartenant au mĂȘme fluide
incompressible au repos de masse volumique đ.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 17
Fig. 4.2
On a : đđ = âđđ đđ§
En intĂ©grant entre đ et đ, on aura : đđđđđđ = âđđ đđ§đ§đđ§đ
âč đđ â đđ = âđđ đ§đ â đ§đ Donc : đ·đŽ â đ·đ” = đđ đđ” â đđŽ = đđđđ”đŽ
Ainsi, la variation de la pression entre deux niveaux est proportionnelle à la différence de
hauteur entre ces deux niveaux. Cette variation est linéaire.
Alors quelque soit un point đ du fluide : đ·đŽ = đ·đđđ + đđ đđš â đđŽ = đ·đđđ + đđđđšđŽ
Cette relation permet de calculer la pression en tout point du liquide, si on connait la pression
atmosphérique et la profondeur de ce point par rapport à la surface libre. Alors, plus on
descend vers le bas, plus la pression augmente.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 18
5. ThéorÚme de Pascal
5.1 Enoncé :
Toute variation de pression en un point dâun fluide incompressible en Ă©quilibre, se transmet entiĂšrement en tout point du fluide.
5.2 DĂ©monstration :
Soit un fluide incompressible en Ă©quilibre et soient đ1 et đ2 les pressions respectivement au
points đ¶1(đ§1) et đ¶2 đ§2 du fluide.
Supposant quâau point đ¶1 on a une variation de pression et celle-ci devient đ1 + âđ1 et au
point đ¶2 on a de mĂȘme đ2 + âđ2. Calculons alors, la variation de pression âđ2 qui en rĂ©sulte
en đ¶2. En appliquant la loi fondamentale de lâhydrostatique entre đ¶1(đ§1) et đ¶2 đ§2 :
A lâĂ©tat initial : đ1 â đ2 = âđđ đ§2 â đ§1 (1)
A lâĂ©tat final : đ1 + âđ1 â đ2 + âđ2 = âđđ đ§2 â đ§1 (2)
En faisant la diffĂ©rence entre les Ă©quations (1) et (2), on obtient : âđ1 â âđ2 = 0 âč âđ1 = âđ2
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 19
6. ThĂ©orĂšme dâArchimĂšde
6.1 Enoncé :
Tout corps plongé dans un fluide, reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale
vers le haut, dont lâintensitĂ© est Ă©gale au poids du volume du fluide dĂ©placĂ© (ce volume est Ă©gale au volume immergĂ© du corps) : đđšđđđ = đđđđđđ đ Ă đœđđđ Ă đ
Fig. 6.1
6.2 DĂ©monstration :
On cherche lâeffort exercĂ© sur le corps immergĂ©, câest-Ă -dire la force totale exercĂ©e par le
fluide sur le corps qui occupe le volume đ totalement entourĂ© par le fluide.
On sait que cette force sâexprime par : đč = âđ. đ . đđ
oĂč đ est la normale unitaire en tout point de la surface đ qui limite le volume đ, orientĂ© vers
le milieu qui agit.
La formule du gradient, rappelĂ©e ci-dessous, permet de passer dâune intĂ©grale de surface Ă une intĂ©grale de volume pour une fonction đ quelconque : đ. đ . đđ = đđđđ đ. đđ
Dans le cas prĂ©sent, il vient : đč = âđđđđ đ. đđ
Or, lâĂ©quation fondamentale de la statique des fluides permet dâĂ©crire đđđđ đ = đđ , dâoĂč : đč = âđđ . đđ
En supposant que đ est constante sur tout le volume đ : đč = đ âđ. đđ = âđđđ oĂč đđ est la masse du fluide dĂ©placĂ© par le volume solide.
La poussĂ©e đč nâa pas de composante horizontale et sa composante verticale est Ă©gale et
opposĂ©e au poids du fluide dĂ©placĂ© par le corps (câest la poussĂ©e dâArchimĂšde).
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 20
DâoĂč : đč = đčđŽđđđ = đđđđąđđđ đđđđ đ
Il faut noter que la poussĂ©e dâArchimĂšde est appliquĂ©e au centre de gravitĂ© du fluide dĂ©placĂ© (centre de poussĂ©e), câest-Ă -dire au centre de gravitĂ© de la partie immergĂ©e du solide. Le
centre de poussĂ©e est donc en gĂ©nĂ©ral diffĂ©rent du centre de gravitĂ© du solide immergĂ© oĂč
sâapplique son poids. En effet, si le solide est totalement immergĂ© dans le fluide, le centre de poussĂ©e coĂŻncide avec le centre de gravitĂ© du solide. Si par contre le solide est partiellement
immergé, les deux centres sont différents.
Remarque :
Si đčđŽđđđ > đ âč đđđđąđđđ > đđ đđđđđ alors le corps solide flotte sur la surface du fluide.
Si đčđŽđđđ < đ âč đđđđąđđđ < đđ đđđđđ alors le corps solide descend au fond du fluide.
Si đčđŽđđđ = đ âč đđđđąđđ đ = đđ đđđđđ alors le corps solide est en Ă©quilibre au sein du
fluide.
Fig. 6.2
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 21
7. Forces de pression sur les parois et centre
de poussée
7.1 Paroi plane en position inclinée :
Soit une paroi solide plane rectangulaire de dimensions đ et đ et de surface đ inclinĂ©e dâun angle đŒ par rapport Ă lâhorizontal et immergĂ©e dans un fluide incompressible (liquide) au repos comme le montre Fig. 7.1. Cette paroi sĂ©pare deux milieux : le liquide et lâair. Appelons đđ„đŠ le plan parallĂšle et confondu avec la paroi, et cherchons Ă dĂ©terminer la force
de pression (intensitĂ©, point dâapplication et direction) subie par la paroi de la part du liquide et de lâair. Choisissons le point đ sur la surface libre et lâaxe đđ§ dirigĂ© vers le bas et faisons
lâĂ©tude suivant la direction đđ„.
Fig. 7.1
Soit đđ un Ă©lĂ©ment de surface de la paroi entourant un point đ(đ„), situĂ© Ă la profondeur đ§đ = đđ au dessous de la surface libre, et soit đ le vecteur unitaire normal Ă đđ et dirigĂ© vers
le liquide.
Cet Ă©lĂ©ment đđ est soumis aux deux forces Ă©lĂ©mentaires đđč 1 et đđč 2, normales Ă đđ et de sens
opposés :
đđč 1 = đđđĄđ đ đđ : une force exercĂ©e par lâair. đđč 2 = âđđđ đđ : une force exercĂ©e par le liquide.
oĂč đđ est la pression du liquide en contact avec đđ et đđđĄđ la pression atmosphĂ©rique.
DâaprĂšs la relation fondamentale de lâhydrostatique, on a : đđ = đđđĄđ + đđđđ
Ce qui donne : đđč 2 = â đđđĄđ + đđđđ đ đđ
DâoĂč la force de pression totale exercĂ©e sur lâĂ©lĂ©ment de surface đđ : đđč = đđč 1 + đđč 2 = đđđĄđ đ đđ â đđđĄđ + đđđđ đ đđ = âđđđđđ đđ
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 22
Or, on a : sin đŒ =đđđđ =
đđđ„ âč đđ = đ„ sin đŒ âč đ đ = âđđđđŹđąđ§đ¶đ đ đș
La force rĂ©sultante agissant sur toute la surface solide đ de la paroi est donnĂ©e par : đč = đđč = âđđ sin đŒ đ„ đ đđ
Le vecteur đ est le mĂȘme quelque soit la position de đđ le long de la paroi.
LâintĂ©grale 1đ đ„ đđ reprĂ©sente la coordonnĂ©e đ„đș du centre de gravitĂ© đș de la surface solide
de la paroi suivant la direction đđ„. Ainsi, on a : đč = âđđ đ đ„đș sin đŒ đ âč đ = âđ đ đđź đș đ oĂč đ est lâair de la paroi et đđș la profondeur de son centre de gravitĂ© đș. On remarque que
lâexpression de đč reprĂ©sente le poids dâune colonne verticale de liquide de base đ et de
hauteur đđș .
Sachant que pour une paroi rectangulaire, on a đ = đ. đ et đđș =đ2
sin đŒ :
đč = âđđ đ2 . đ
2sin đŒ đ
Centre de poussée :
On appelle centre de poussĂ©e, le point dâapplication de la rĂ©sultante đč sur la paroi.
Soit đ ce point dâapplication et đ„đ sa coordonnĂ©e. Pour trouver ce point, on va Ă©crire que le
moment de la force đč par rapport au point đ est Ă©gale Ă la somme des moments des forces
Ă©lĂ©mentaires đđč par rapport au mĂȘme point : đđ ⧠đč = đđ ⧠đđč
Dâune maniĂšre scalaire, cette relation sâĂ©crit : đ„đ đč = đ„ đđč
Or, on a : đđč = đđđ„ sin đŒ đđ et đč = đđđđșđ.
Alors : đ„đ đđđđșđ = đ„đđđ„ sin đŒ đđ âč đ„đ đđșđ = sin đŒ đ„2đđ
LâintĂ©grale đ„2đđ reprĂ©sente le moment quadratique de la paroi solide par rapport Ă son axe đđŠ. Ce moment quadratique ne dĂ©pend que de la gĂ©omĂ©trie de la paroi : đŒđđŠ = đ„2đđ
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 23
En plus, on a sin đŒ =đđșđ„đș . On dĂ©duit alors, la coordonnĂ©e đ„đ du centre de poussĂ©e đ sous la
forme : đđ· = đ¶đ· =đ°đ¶đđș đđź
Pour une paroi rectangulaire, on a đ = đ. đ, đ„đș =đ2 et đŒđđŠ =
đ3 .đ3
, alors :
đ„đ =2
3đ
On conclut que le centre de poussĂ©e est situĂ© toujours au dessous du centre de gravitĂ© đ„đ > đ„đș .
7.2 Paroi plane en position verticale :
ConsidĂ©rons une paroi plane rectangulaire de dimensions đ et đ et de surface đ = đ. đ,
immergé verticalement dans un liquide au repos. Supposons que la limite supérieure de la
paroi coĂŻncide avec la surface libre du liquide.
ConsidĂ©rons lâaxe đđ§ dirigĂ© vers le bas, dont lâorigine đ appartient Ă la surface libre (voir
Fig.7.2).
Dans ce cas, on a đŒ =đ2
âč sin đŒ = 1 et đđ = đ„ = đ§ oĂč đ est un point de la paroi.
Fig. 7.2
La force de pression exercĂ©e sur toute la surface de la paroi est donnĂ©e par : đč = đđč = âđđđđșđ đ
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 24
Or, dans ce cas đđș = đđș =đ2, dâoĂč :
đč = âđđ đ2đ đ = âđđđ2đ
2 đ
Cette force totale de pression est appliquĂ©e au point đ (centre de poussĂ©e) tel que : đđ =2
3đ
7.3 Paroi plane en position horizontale :
On considĂšre une paroi plane rectangulaire de surface đ immergĂ©e horizontalement dans un
liquide au repos, Ă une profondeur đ» par rapport Ă la surface libre. Lâexemple le plus simple est le fond horizontal dâun vase rempli dâeau (Fig. 7.3).
Fig. 7.3
Dans ce cas, tout les points đ de la paroi sont situĂ©s Ă la mĂȘme profondeur đđ = đ».
La force de pression exercĂ©e sur un Ă©lĂ©ment de surface đđ entourant un point đ est donc : đđč = âđđđđ đ đđ = âđđđ» đ đđ avec đ = âđ§ . La force de pression rĂ©sultante exercĂ©e sur toute la surface de la paroi est donnĂ©e par la
relation : đč = đđč = âđđđđșđ đ = âđđđ»đ đ Elle reprĂ©sente le poids dâune colonne verticale de liquide de base đ et de hauteur đ».
Remarque : cette force de pression est indépendante de la forme géométrique du vase. Quelle
que soit la forme des vases (voir Fig. 7.4), sâils sont rempli dâun liquide de mĂȘme nature Ă la mĂȘme hauteur đ» et sâils ont un fond de mĂȘme surface đ, ce fond subie donc la mĂȘme force de
pression, alors que les vases ne contiennent pas la mĂȘme quantitĂ© du liquide.
2019/2020 STATIQUE DES FLUIDES
ENSAH â CP2 S4 Page 25
Fig. 7.4
La section đ subie la mĂȘme force de pression đč dans les trois cas, bien que la quantitĂ© du
fluide nâest pas la mĂȘme. La force đč ne dĂ©pend que de la masse volumique đ du fluide, de la
hauteur đ» et de la surface đ.
Calculons le centre de poussĂ©e dans ce cas : đđ ⧠đč = đđ ⧠đđč âč đ„đ đč = đ„ đđč âč đ„đ đđđ»đ = đđđ» đ„ đđ âč đ„đ đ = đ„ đđ âč đ„đ =1đ đ„ đđ
DâoĂč : đ„đ = đ„đș
Ainsi, le centre de poussĂ©e đ est confondu, dans ce cas, avec le centre de gravitĂ© đș.