STATISTIKA - papankecil.files.wordpress.com · SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika () Hal. 2 Kembali pada soal, perhatikan bagan berikut ini!

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

STATISTIKA

Soal 1

Diberikan data pengukuran sebagai berikut:

6 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm, 6 cm, 3 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm, 8 cm.

Tentukanlah: a) Modus

b) Median

c) Kuartil bawah

Jawab:

Urutkan data terlebih dahulu, dari kecil ke besar:

3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 6 cm, 6 cm, 6 cm, 7 cm, 7 cm, 8 cm.

a) Modus = nilai yang paling sering muncul

= 6 cm.

b) Median = nilai tengah

Karena mediannya berada di antara dua data (6 cm dan 6 cm), maka mediannya

adalah rata-rata dari keduanya. Jadi, median = cm 62

cm 6cm 6

.

c) Kuartil bawah = Q1

= nilai yang berada pada posisi 25% data keseluruhan.

Perhatikan skema berikut ini!


Kembali pada soal, perhatikan bagan berikut ini!

Median (Q2) membagi data (yang sudah diurutkan) menjadi dua kelompok, yaitu

kelompok data kiri dan kelompok data kanan. Nah, kuartil bawah (Q1) adalah nilai

tengah dari kelompok data kiri. Pada bagan, jelas Q1 = 5 cm.

Soal 2

Diberikan data pengukuran sebagai berikut:

9, 10, 8, 7, 9, 11, 11, 13, 12.

Tentukanlah: a) Modus

b) Jangkauan

c) Rata-rata

d) Simpangan kuartil

Jawab:

Pertama, urutin dulu yuk datanya dari kecil ke besar…!

a) Modus = nilai yang paling sering muncul = 9 dan 11.

(Si 9 dan si 11 kali ini menjadi juara bersama nilai paling populer)

b) Jangkauan = data terbesar – data terkecil

= 13 – 7 = 6.

Ayuuuuuukk…..!!

Aku data

terkecil

Aku data

terbesar


c) Rata-rata = 9

13121111109987

data banyaknya

data semuajumlah

.109

90

d) Simpangan kuartil (Qd) rumusnya adalah:

2

13 QQQd

.

Maka kita perlu mencari Q1 dan Q3. Pertama, kita tentukan nilai tengah (Q2) dulu.

Q2 = 10 ini membagi data menjadi dua kelompok, yaitu kelompok bagian kiri dan

kanan.

Nah, Q1 adalah nilai tengah kelompok data kiri, sedangkan Q3 adalah nilai tengah

kelompok data kanan.

Dari bagan di atas, terlihat Q1 terletak di antara angka 8 dan 9. Kita ambil rata-

ratanya. Jadi .5,82

981

Q Sedangkan Q3 terletak di antara angka 11 dan12.

Kita ambil juga rata-ratanya: .5,112

12113

Q Sehingga simpangan kuartilnya

adalah .5,12

3

2

5,85,11

2

13

QQ

Qd


Soal 3

Diberikan data pengukuran nomor sepatu bayi imut sebagai berikut:

1, 2, 3, 4, 5

Tentukanlah: a) Simpangan rata-rata

b) Ragam (variance)

c) Simpangan baku (standard deviation)

Jawab:

Pertama, kita hitung dulu rata-rata (dilambangkan x ) nomor sepatu bayi imut

tersebut:

35

15

5

54321

x .

a) Simpangan rata-rata rumusnye:

n

xxSR

di sini x menunjukkan data-data yang ada (pada soal x nya adalah biangan 1, 2, 3, 4, 5),

x adalah nilai rata-rata (pada soal 3x ), sedangkan n adalah banyaknya data (pada

soal, n = 5). Tanda sigma ( ) menunjukkan penjumlahan, sedangkan tanda mutlak

menjadikan bilangan yang ada di dalamnya positif.

HEY, JANGAN LARI KAU,

BILANGAN NEGATIF !!

Kabuur….!

KETANGKEP JUGA KAU..! MASUKLAH DALAM TANDA MUTLAK SEMENTARA WAKTU! KAU AKAN DIPAKSA MENJADI POSITIF!!

Hiks..!


Kembali pada soal, simpangan rata-ratanya adalah:

5

3534333231

n

xxSR

5

21012

.5

6

5

21012

b) Ragam (variance) dilambangkan dengan s2. Rumusnya adalah:

n

xxs

22

)(

Kita hitung,

5

)35()34()33()32()31( 222222 s

5

)2()1()0()1()2( 22222

.25

10

5

4114

Jadi, ragamnya = 2.

(Catatan: Lambang ragam memang s2. Jangan diakarin! Kalau diakarin menjadi

simpangan baku)

SELAMAT!! KAU

KELUAR SEBAGAI

BILANGAN POSITIF!

Jadi positif ternyata enak juga!!


c) Simpangan baku atau standard deviation (s) adalah akar dari ragam (variance)

Jadi, 22 ss .

Soal 4

Rata-rata nilai ulangan matematika suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa adalah 77. Datang

murid baru bernama Ahmad, nilai rata-rata ulangan matematika menjadi 78. Berapakah nilai

ulangan Ahmad?

Jawab:

siswaBanyak

siswa 20 nilai semuaJumlah awal rata-Rata

20

siswa 20 nilai semuaJumlah 77

2077siswa 20 nilai semuaJumlah

4015 .

Sementara itu,

siswaBanyak

siswa 21 nilai semuaJumlah baru rata-Rata

21

Ahmad Nilaisiswa 20 nilai semuaJumlah 78

Ahmad Nilai siswa 20 nilai semuaJumlah 2178

Ahmad Nilai 1540 1638

9815401638Ahmad Nilai .

Soal 5

Suatu sekolah terdiri dari murid laki-laki dan perempuan. Rata-rata berat badan murid laki-

laki adalah 60 kg, sedangkan rata-rata berat badan perempuan adalah 50 kg. Sedangkan rata-

rata berat badan semua murid adalah 58 kg. Berapakah perbandingan banyak murid laki-laki

dengan perempuan?

Jawab:

Misalkan banyak murid laki-laki adalah 1n , sedangkan banyak murid perempuan adalah 2n .

Maka,


semuanya siswaBanyak

perempaun murid semuabadan berat jumlah

lakilaki murid semuabadan berat Jumlah

murid semuabadan berat rata-Rata

21

21 5060 58

nn

nn

2121 50605858 nnnn

1122 58605058 nnnn

12 28 nn

2

1

2

8

n

n

2

1

1

4

n

n

Jadi, perbandingan banyak murid laki-laki dengan perempuan adalah 1:4: 21 nn .

CARA LAIN:

Lihat bagan berikut ini! Angka di atas adalah selisihnya.

Perbandingan banyak murid laki-laki dan perempuan = 8 : 2 (diambil secara menyilang)

= 4 : 1.

Soal 6

Diketahui bahwa jika Zaid mendapatkan nilai 75 pada ulangan yang akan datang, maka

rata-rata nilai ulangannya 82. Jika Zaid mendapatkan nilai 93, maka rata-rata nilai

ulangannya adalah 85. Banyaknya ulangan yang sudah diikuti Zaid adalah….

Jawab:

Misalkan Zaid sudah mengikuti n ulangan, dan rata-rata ulangan yang sudah diikuti

adalah x . Maka jumlah semua nilai ulangan yang sudah diikuti = xn .


Ingat rumus deret aritmatika:

Dari pengandaian pertama diperoleh persamaan:

1

ulangan nilai semuaJumlah 82

n

1

7582

n

xn 758282 xnn

nxn 827582

nxn 827 ………… (1)

Dari pengandaian yang kedua, diperoleh persamaan:

1

ulangan nilai semuaJumlah 85

n

1

9385

n

xn 938585 xnn

nxn 859385

nxn 858 ……………. (2)

Kurangi persamaan (1) dengan (2),

nxn 827

nxn 858

n3015

53

15n .

Soal 7

Jika rata-rata 20 bilangan bulat non negatif berbeda adalah 20, maka bilangan terbesar

yang mungkin adalah….

Jawab:

Misalkan bilangan bulat terbesar P. Untuk mendapatkan nilai P terbesar, maka pilih

bilangan lainnya sekecil mungkin. Karena harus bilangan bulat non negatif berbeda, maka

bilangan lainnya yang dipilih adalah 0, 1, 2, 3, … , 18 (ada 19 bilangan).

Karena nilai rata-ratanya 20, maka berlaku:

20

18...321020

P

P 18....3210400

P )181(18040021

P 199400

P171400 229171400 P .

)(21

nn UanS


Soal 8

Nilai ulangan fisika suatu kelas yang terdiri dari sejumlah murid mempunyai rata-rata 73 dan

simpangan baku 10. Karena banyak siswa yang nilainya rendah, maka guru menaikkan nilai

setiap siswa 2 poin. (Wahai para guru, jangan ditiru!! Ini perbuatan yang tidak baik, karena

membiaskan nilai sebenarnya!!). Tentukan rata-rata dan simpangan baku sekarang!

Jawab:

Misalkan di kelas tersebut terdapat n siswa, dan nilai ulangan para siswa adalah

nxxx ,...,, 21 . Dari rata-rata awal didapatkan:

n

xxxx n

...21

n

xxx n

...73 21

nxxx n 73...21

Maka rata-rata yang baru setelah nilai setiap siswa dinaikkan 2 poin adalah:

n

xxxx n )2(...)2()2( 21

n

nxxx n

2...21

.7575273

n

n

n

nn

Dari simpangan baku awal, didapatkan:

10)(...)()( 22

22

1

n

xxxxxxs n

.

Untuk simpangan baku yang baru:

n

xxxxxxs n

222

21 )2(...)2()2(

dimana x adalah rata-rata yang baru dan memenuhi 2 xx , sebab 75 = 73 +2.

Sehingga,

n

xxxxxxs n

222

21 ))2(2(...))2(2())2(2(


n

xxxxxx n22

22

1 )(...)()(

Bentuk terakhir ini sama dengan simpangan baku awal s.

Jadi, 12 ss .

TERNYATA…!! Jika setiap data ditambah 2, maka rata-ratanya juga bertambah 2, namun

simpangan bakunya tetap!

Soal 9

Rata-rata sejumlah data adalah 8 sedangkan ragamnya 3 (simpangan baku 3 ). Jika

setiap data dikali 2, maka rata-rata, ragam dan simpangan baku menjadi berapa?

Jawab:

Misalkan data mula-mula adalah .,...,, 21 nxxx

Data baru setelah dikali 2 menjadi .2,...,2,2 21 nxxx

Dari rata-rata mula-mula kita dapatkan:

n

xx i

mula

n

xi8 nxi 8

Maka rata-rata barunya:

.16822)2(

n

n

n

x

n

xx ii

baru

Dari ragam mula-mula, kita dapatkan:

n

xxs mulai

mula

22 )(

n

xi2)8(

3

nxi 3)8( 2

Maka ragam barunya (setelah tiap data dikali 2) menjadi:

n

xxs barui

baru

22 )2(

n

x

n

x

n

x iii222 )8(4)8(2)162(

1234)8(4 2

n

n

n

xi.


Sedangkan simpangan baku barunya menjadi:

32122 barubaru ss .

CARA LAIN:

Gunakan aturan berikut.

Jika setiap data dikali a maka:

rata-ratanya menjadi a kali semula

ragamnya menjadi a2 kali semula

simpangan bakunya menjadi a kali semula

Pada soal, a = 2 (setiap data dikali 2),

maka 16822 mulabaru xx .

12342 222 mulabaru ss .

2barus mulas = 32 .

Soal 10 Jika diagram batang di bawah ini memperlihatkan frekuensi kumulatif hasil tes

matematika siswa kelas XII-Jayyid, maka persentase siswa yang memperoleh nilai 8

adalah….

Jawab:


Diagram tersebut sepertinya mengasumsikan bahwa nilai siswa adalah bilangan bulat!

Ingatlah pengertian frekuensi kumulatif: “Frekuensi kumulatif dari nilai x adalah

jumlah semua siswa yang mendapat nilai x ”.

Pada diagram terlihat bahwa frekuensi kumulatif nilai 8 adalah 22, artinya

ada 22 siswa yang mendapat nilai 8 (yaitu yang mendapat nilai 0 sampai 8).

Sedangkan frekuensi kumulatif nilai 7 adalah 19 (lihat diagram!), artinya ada 19 siswa

yang mendapat nilai 7 (yaitu yang mendapat nilai 0 sampai 7). Sehingga yang

mendapat nilai 8 adalah selisihnya, yaitu (22 – 19) siswa = 3 siswa.

Sekarang, untuk mengetahui jumlah siswa seluruhnya lihat saja frekuensi kumulatif

nilai 10, yaitu 25. Jadi, total siswa ada 25 orang.

Dengan demikian, persentase siswa yang memperoleh nilai 8 adalah

%.12

%10025

3

%100seluruhnya siswa total

8 nilai memperoleh yang siswabanyak

Soal 11

Perhatikan data kelompok berikut ini!

Berat badan (kg) Frekuensi

21 – 25 1

26 – 30 3

31 – 35 4

36 – 40 8

41 – 45 12

46 – 50 7

51 – 55 3

56 – 60 2

Tentukan nilai rata-rata!

Jawab:

Gunakan rumus

f

xfx

)( dengan f adalah frekuensi kelas dan x adalah nilai

tengah kelas. Supaya lebih mudah, kita buat kolom nilai tengah (x).


Berat badan (kg) Frekuensi ( f ) Nilai tengah (x)

21 – 25 1 23

26 – 30 3 28

31 – 35 4 33

36 – 40 8 38

41 – 45 12 43

46 – 50 7 48

51 – 55 3 53

56 – 60 2 55

Kemudian buat kolom xf seperti di bawah ini!

Berat badan (kg) Frekuensi ( f ) Nilai tengah (x) (f . x)

21 – 25 1 23 23

26 – 30 3 28 84

31 – 35 4 33 132

36 – 40 8 38 304

41 – 45 12 43 516

46 – 50 7 48 336

51 – 55 3 53 159

56 – 60 2 55 110

40 f )( xf 1664

Sehingga nilai rata-ratanya adalah

6,4140

1664)(

f

xfx .

Nilai rata-rata dari data kelompok, rumusnye

f

xfx

)( ye….

Jangan lupe, x nye nilai tengah kelas ye…..

....!iyyeee


Soal 12



21 – 25 1

26 – 30 3

31 – 35 4

36 – 40 8

41 – 45 12

46 – 50 7

51 – 55 3

56 – 60 2

Tentukan kuartil bawah!

Jawab:

Kuartil bawah adalah data yang terletak pada urutan 25% dari bawah.

Rumuznya:

pf

fnTbQ

Q

seb

1

41

1

)(

Dimana Q1 = kuartil bawah

Tb = tepi bawah kelas kuartil = batas bawah kelas kuartil – 0,5

n = banyak data seluruhnya f

sebf )( = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil

1Qf frekuensi kelas kuartil bawah

p = panjang kelas = batas atas – batas bawah + 1

Pada soal, 40237128431 fn .

Kuartil bawah adalah data pada urutan 1040.41

41 n .

Data pada urutan ke-10 berada pada kelas 36 – 40 (kg) . Jadi, kelas 36 – 40 (kg)

adalah kelas kuartil bawahnya!

Tb = tepi bawah = batas bawah – 0,5 = 36 – 0,5 = 35,5.

8431)( sebf .

.81Qf

p = 40 – 36 + 1 = 4 + 1 = 5.



21 – 25 1

26 – 30 3

31 – 35 4

36 – 40 8

41 – 45 12

46 – 50 7

51 – 55 3

56 – 60 2

Jadi, kuartil bawahnya

58

840.5,35

)(41

1

41

1

p

f

fnTbQ

Q

seb

.75,3625,15,358

105,355.

8

25,35

Soal 13

Jelasin dong kenapa kuartil bawah pada data kelompok rumusnya

pf

fnTbQ

Q

seb

1

41

1

)(? …..Dari mana sih dapatnya?

Jawab:

Untuk data tunggal, mudah dipahami bahwa kuartil bawah (Q1) adalah data yang

berada pada urutan 25% dari kecil ke besar.

Untuk data kelompok, pengertian itu juga dipakai, Q1 adalah data pada urutan 25%.

Kita ambil contoh pada Soal 8,


21 – 25 1

26 – 30 3

31 – 35 4

36 – 40 8

41 – 45 12

46 – 50 7

51 – 55 3

56 – 60 2

40 fn

8)( sebf

.81Qf1Q Kelas

35,5Tb

514p

40 fn

8)( sebf

.81Qf1Q Kelas

35,5Tb

514p


Urutan 25% adalah urutan 104041

41 n .

Jadi, Q1 adalah data pada urutan ke-10. Dari tabel jelas Q1 berada di dalam kelas

36 – 40 (kg). Tapi berapa nilai Q1 seharusnya, apakah 36, 37, 38, 39, atau 40?

…… atau berapa tepatnya?

Keputusan yang cukup logis diambil dari asumsi bahwa data terdistribusi merata

(sehingga data berurut secara linier). Karena 8431)( sebf , maka untuk

Q1 yang merupakan data ke-10 dapat dicari sebagai data ke-2 pada kelas 36 – 40 kg.

Perhatikan bahwa kelas-kelas yang ada tidak kontinu, tetapi ada lompatan pada

batas-batas kelas. Sebagai contoh dari kelas 31 – 35 (kg) ke kelas 36 – 40 (kg) ada

lompatan dari 35 ke 36. Agar tidak ada lompatan, kita buat datanya kontinu seperti

pada gambar di bawah!

Jadi, kelas 36 – 40 (kg) memiliki tepi bawah 35,5 dan tepi atas 40,5. Nah, dari tepi

bawah (Tb) = 35,5 kita cari data ke-2 dari 81Qf data yang ada pada kelas 36 –

40 (kg) tersebut. Panjang kelas (p) di sini adalah p = 40,5 – 35,5 = 5.

Misalkan jarak dari Tb ke Q1 adalah w (lihat gambar!)

Maka wTbQ 1 .

Penalaran yang cukup logis jika kita anggap ada kesebandingan antara w dan p

dengan urutan datanya.

Jadi, 8

2

p

w

8

810

p

w


1

41 )(

Q

seb

f

fn

p

w

pf

fnw

Q

seb

1

41 )(

Sehingga kuartil bawahnya:

pf

fnTbwTbQ

Q

seb

1

41

1

)(.

Soal 14


Tinggi badan (cm) Frekuensi

121 – 130 1

131 – 140 5

141 – 150 8

151 – 160 12

161 – 170 7

171 – 180 3

Tentukan mediannya!

Jawab:

Median, atau disebut juga kuartil tengah (Q2) memiliki rumus:

pf

fnTbMedian

med

seb

)(21

.

dimana Tb = tepi bawah kelas median = batas bawah kelas median – 0,5

n = banyak data seluruhnya f

sebf )( = jumlah frekuensi sebelum kelas median

medf frekuensi kelas median

p = panjang kelas = batas atas – batas bawah + 1

Akhirnya...

Usai juga rumus

itu dibangun…!!


Pada soal, 363712851 fn .

Median adalah data pada urutan 183621

21 n .

Data pada urutan ke-18 berada pada kelas 151 – 160 (cm) . Jadi, kelas 151 – 160 (cm)

adalah kelas mediannya!

Tb = tepi bawah = batas bawah – 0,5 = 151 – 0,5 = 150,5.

14851)( sebf .

12medf

p = 160 – 151 + 1 = 9 + 1 = 10.

Perhatikan tabel berikut !


121 – 130 1

131 – 140 5

141 – 150 8

151 – 160 12

161 – 170 7

171 – 180 3

Jadi, mediannya:

pf

fnTbMedian

med

seb

)(21

1012

14185,15010

12

14365,150 2

1

103

15,15010

12

45,150

83,15333,35,150 cm.

36 fn

14)( sebf

12medfMedian Kelas

150,5Tb

1019p


Soal 15



121 – 130 1

131 – 140 5

141 – 150 8

151 – 160 12

161 – 170 7

171 – 180 3

Tentukan modusnya!

Jawab:

Data pada soal ini sama dengan data pada soal sebelumnya, hanya saja yang ditanya kali

ini adalah modusnya.

Modus adalah nilai yang paling sering muncul, yaitu nilai yang frekuensinya paling

besar. Pada soal, kelas yang frekuensinya paling besar adalah kelas dengan frekuensi =

12, yaitu kelas 151 – 160 cm. Inilah kelas modusnya!

Rumus untuk modus adalah:

pdd

dTbModus

21

1

dimana Tb = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya

p = panjang kelas modus

Pada soal,

Tb = Batas bawah – 0,5 = 151 – 0,5 = 150,5.

d1 = 12 – 8 = 4.

d2 = 12 – 7 = 5.

p = batas atas – batas bawah + 1 = 160 – 151 + 1 = 9 + 1 = 10.

Untuk lebih jelasnya, lihatlah bagan berikut ini!

Jika Anda bertanya,

kenapa ya rumusnya

begini…, lihat Soal 16!


Dengan memasukkan nilai-nilainya, kita peroleh:

94,15444,45,1501054

45,150

21

1

p

dd

dTbModus cm.

Soal 16

Kenapa sih rumus modus untuk data kelompok adalah pdd

dTbModus

21

1 ?

Jelasin doongg…!!

Jawab:

Untuk data tunggal, modus adalah data yang paling sering muncul.

Untuk data kelompok, modus juga merupakan data yang paling sering muncul. Akan

tetapi karena datanya berbentuk kelas (interval), modusnya itu data yang mana ????

Kita ambil sebagai contoh, data pada soal sebelumnya, yaitu Soal 15.


121 – 130 1

131 – 140 5

141 – 150 8

151 – 160 12

161 – 170 7

171 – 180 3

Jelas terlihat kelas data yang paling sering muncul adalah kelas 151 – 160 (cm), karena

frekuensinya paling besar, yaitu 12. Namun modusnya (data yang paling sering muncul)

tepatnya berapa, apakah 151, 152, 155, 157, 160, atau berapa…?


121 – 130 1

131 – 140 5

141 – 150 8

151 – 160 12

161 – 170 7

171 – 180 3

Modus Kelas

150,5Tb

4d1

5d2

1019p


Perhatikan diagram batang berikut ini:

Karena kelas modus 151 – 160 (cm) dengan kelas sebelumnya 141 – 150 (cm)

maupun dengan kelas setelahnya 161 – 170 (cm) tidak bersambung (tidak kontinu),

maka kita perlebar sehingga kelas-kelas tersebut menjadi rapat. Tepi kelas modus

menjadi 150,5 (tepi bawah=Tb) dan 160,5 (tepi atas).

Kalau kita lihat-lihat diagram tersebut, kelas 141 – 150 (cm) frekuensinya lebih

tinggi sedikit dari pada kelas 161 – 170 (cm), yaitu masing-masing berfrekuensi 8 dan

7. Tentunya logis apabila modus (nilai yang paling sering muncul) lebih dekat ke kelas

141 – 150 (cm) daripada ke kelas 161 – 170 (cm), karena lebih banyak data pada kelas

141 – 150 (cm) daripada ke kelas 161 – 170 (cm).

Seandainya frekuensi kelas 141 – 150 (cm) dan kelas 161 – 170 (cm) adalah sama

(misalkan sama-sama 8), maka logisnya modus adalah nilai tengah kelas modus 151 –

160 (cm) , yaitu 155,5 cm. (Lihat diagram di bawah, perhatikan perpotongan dua garis

menyilang)


Bagaimana jika frekuensi kelas sebelum dan setelah kelas modus berbeda, seperti pada

soal ? Dengan penalaran yang logis, secara geometri modus berada pada posisi titik

perpotongan garis menyilang AB dan CD, yaitu titik E (lihat bagan di bawah!)

Karena segitiga ADE sebagun dengan segitiga BCE, maka berlaku perbandingan:

BC

EG

AD

FE

21 d

EG

d

FE ………(*)

Sementara itu, pFGEGFE .

FEpEG …….. (**)

Substitusi (**) ke (*), kita peroleh:

21 d

FEp

d

FE

FEdpdFEd 112 (kali silang)

pdFEdFEd 121

pdFEdd 121 )(

pdd

dFE

21

1

Sementara itu dari bagan jelas FE adalah jarak antara Tb dan Modus.

10p


Jadi, FE = Modus – Tb sehingga FETbModus

pdd

dTbModus

21

1

(terbukti)

Soal 17

Perhatikan diagram batang berikut ini!

Tentukan modusnya!

Jawab:

Gunakan rumus pdd

dTbModus

21

1.

Kelas modus adalah kelas 34,5 – 40,5 karena frekuensinya paling tinggi.

Di sini Tb = 34,5 (tidak perlu dikurangi 0,5 karena diagram batangnya sudah rapat)

210121 d .

66121 d .

65,345,40 p . (tidak perlu ditambah 1, karena tepi-tepi batang sudah rapat)

Kalau rumus sudah

dibuktikan begini, rasanya

ada kepuasan batin…!


Sehingga pdd

dTbModus

21

1

662

25,34

.0,365,15,348

125,34

Soal 18

Sebuah himpunan terdiri atas 10 anggota yang semuanya bilangan bulat mempunyai

rata-rata, median, modus, serta jangkauan yang sama, yaitu 9. Hasil kali maksimum

antara bilangan terkecil dan terbesar yang masuk dalam himpunan tersebut adalah….

Jawab:

Misalkan anggota himpunan tersebut, setelah diurutkan dari terkecil ke terbesar adalah

10321 ,...,,, xxxx dengan 1x adalah anggota terkecil dan 10x anggota terbesar.

Dari rata-rata = 9 910

... 10321

xxxx

90... 10321 xxxx .

Dari median = 9 92

65

xx

18 65 xx 9 5 x dan 96 x

(sebab modus = 9, jika 65 dan xx bukan 9 maka tidak ada nilai 9, kontradiksi

dengan modus = 9)

Jangkauan = 9 9 110 xx 9 110 xx .

Agar hasil kali 101 xx menjadi maksimum, maka cukup kita cari nilai 1x yang maksimum

dan 10x yang maksimum.

Kita cari 1x yang maksimum dan 10x yang maksimum dengan 10321 ,...,,, xxxx yang

memenuhi:

Syarat 1: Median = 9, modus = 9 dan jangkauan = 9

Syarat 2: Rata-rata = 9 (atau jumlah semua bilangannya = 90)


Pertama, kita cari 1x yang maksimum dan 10x yang maksimum dengan 10321 ,...,,, xxxx

yang memenuhi syarat 1.

Kemungkinan maksimum pertama tercapai ketika 91 x (dari syarat median) sehingga

1810 x (dari syarat jangkauan), yaitu misalnya ketika

)18 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9(),,,,,,,,,( 10987654321 xxxxxxxxxx .

Namun jumlah semua bilangan ini > 90 , tidak memenuhi syarat 2.

Kemungkinan maksimum berikutnya tercapai ketika 81 x (turun dari kemungkinan

sebelumnya) sehingga 1710 x , yaitu misalnya ketika

)17 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,8 ,8 ,8 ,8(),,,,,,,,,( 10987654321 xxxxxxxxxx .

Namun jumlah semua bilangan ini masih > 90, tidak memenuhi syarat 2.

Kemungkinan maksimum berikutnya tercapai ketika 71 x (turun dari kemungkinan

sebelumnya) sehingga 1610 x . Jika ada suatu nilai 10321 ,...,,, xxxx yang memenuhi,

maka ini sudah mencukupi. Dengan coba-coba, susunan:

)16 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,8 ,7 ,7 ,7(),,,,,,,,,( 10987654321 xxxxxxxxxx

selain memenuhi syarat 1, ternyata juga memenuhi syarat 2, yakni mempunyai jumlah

semua bilangannya = 90. Susunan inilah yang kita cari!

Jadi, maksimum dari 112167)( 101 xx .

4

Documents

STATISTIKA - papankecil.files.wordpress.com · SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika () Hal. 2 Kembali pada soal, perhatikan bagan berikut ini!