STATISTIKA - istiarto.staff.ugm.ac.idistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statistika/ST05 Continuous...distribusi variabel random tempat asal variabel nilai ekstrem tsb diperoleh ... Type

STATISTIKA

Continuous Probability Distributions

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan

Universitas Gadjah Mada

5-Sep-14http://istiarto.staff.ugm.ac.id 1

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 2

Continuous Probability Distributions

Normal Distribution

Uniform Distribution

Exponential Distribution

Gamma Distribution

Lognormal Distribution

Extreme Value Distributions

Extreme Value Type I

Extreme Value Type III Minimum (Weibull)

Beta Distribution

Pearson Distributions

5-Sep-14


Normal Distribution

5-Sep-14

//localhost/Users/istiarto/Documents/Bahan Kuliah/Statistika S2/ST06 Distribusi Normal.pptx#1. STATISTIKA


Distribusi Uniform

X

pX(x)

a b

pdf: pX x( ) =1

b-a, a £ x £ b

cdf: PX x( ) =x -a

b-a, a £ x £ b

E X( ) = 12

b+a( ) var X( ) = 112

b-a( )2

5-Sep-14


Distribusi Eksponensial

pdf: pX x( ) = le-l x , x > 0, l > 0

cdf: PX x( ) = le-l t d t

0

x

ò =1- e-l x , x > 0

X

pX(x)

cs = 2 (konstan)

Coefficient of skew:

estimasi l =

1

X

Parameter l:

5-Sep-14


Distribusi Gamma

Penjumlahan sejumlah n variabel random berdistribusi

exponensial, masing-masing berparameter l, menghasilkan

variabel random berdistribusi gamma dengan parameter l.

pdf ® pX x( ) = lh xh-1 e-l x G h( ) , x,l,h > 0

cdf ® PX x( ) = lh th-1 e-l t G h( ) d t

0

x

ò

® PX x( ) =1- e-l x l x( )j

j!j=0

h-1

å , h = integer

5-Sep-14


Distribusi Gamma

G h( ) = fungsi gamma

G h( ) = h-1( )!, h =1,2,3,...

G h+1( ) = hG h( ) , h > 0

G h( ) = th-1 e-h d t

0

¥

ò , h > 0

G 1( ) = G 2( ) =1

G 12( ) = p

E X( ) = h l

Mean:

var X( ) = h l2

Variance:

g = 2 h

Coef. of skew:

5-Sep-14


Distribusi Gamma

h= konstan

X

pX(x)

l1

l2 < l1

l3 < l2 < l1

pX x( ) =1

G h( )lh xh-1e-l x , x,l,h> 0

5-Sep-14


Distribusi Lognormal

Variabel random X

Jika disusun dari penjumlahan sejumlah pengaruh variabel kecil, maka

X kemungkinan besar berdistribusi normal.

Jika disusun dari perkalian sejumlah pengaruh variabel kecil, maka ln X

kemungkinan besar berdistribusi normal.

X = X1+ X2 + ...+ Xn

X i = berdistribusi normal

X = berdistribusi normal

X = X1 × X2 × ...× Xn

ln X = ln X1 + ln X2 + ...+ ln Xn ln X = berdistribusi normal

5-Sep-14



pY y( ) =1

sY 2pe-1

2y-mY( )

2sY

2

, -¥ < y < +¥

pX x( ) = pY y( )d y

d x

Y = ln X

Yi = ln X i Y berdistribusi normal

Distribusi X ?

pX x( ) =1

xsY 2pe-1

2ln x-mY( )

2sY

2

, x > 0

Y = ln X Þd y

d x=

1

x, x > 0

Y = Y1 +Y2 + ...+Yn

5-Sep-14



Y = 12

lnX 2

cv2 +1

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

sY2 = ln cv

2 +1( )

Estimasi mY dan sY

Data xi ditransformasikan dulu menjadi yi = ln xi

cv = koefisien variasi data asli

cv =sX

X

mY ®Y

sY ® sY

Cara lain:

5-Sep-14



• Mean

E X( ) = e

mY +12sY

2æ

èç

ö

ø÷

• Varian

var X( ) =m X2 e

sY2

-1æ

èç

ö

ø÷

• Koefisien variasi

cv = esY

2

-1æ

èç

ö

ø÷

2

• Coefficient of skew

g = 3cv + cv

3

5-Sep-14


Distribusi Nilai Ekstrem

Contoh nilai ekstrem

Debit banjir

Debit minimum

Nilai-nilai ekstrem variabel random juga merupakan variabel random.

Distribusi variabel random nilai ekstrem tsb bergantung pada:

distribusi variabel random tempat asal variabel nilai ekstrem tsb diperoleh parent distribution

jumlah/ukuran sampel

5-Sep-14



Contoh

Variabel random

X = x1,x2,...,xn

PY y( ) = prob Y £ y( )PXi

x( ) = prob X i £ x( )

Y = nilai ekstrem variabel random tersebut

PY y( ) = prob Y £ y( ) = prob semua x yang £ y( )

5-Sep-14



maka:

PY y( ) = PX1

y( ) × PX2y( ) × × × PXn

y( ) = PX y( )éë

ùûn

pY y( ) =d PY y( )

d y= n PX y( )é

ëùûn-1 d PX y( )

d y

= n PX y( )éë

ùûn-1

pX y( )

5-Sep-14



Contoh

Waktu antara 2 hujan berurutan berdistribusi eksponensial.

Waktu rata-rata antara 2 hujan = 4 hari

Waktu antara tsb merupakan kejadian independent satu

dengan yang lain

Dicari:

waktu antara terbesar, misal probabilitas waktu antara tsb lebih besar

daripada 8 hari.

5-Sep-14



Ditinjau 10 kejadian hujan

h h h h h h h h h h

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 n = 9

Distribusi Eksponensial:

pX x( ) = l e-l x , x > 0, l > 0

PX x( ) =1- e-l x , x > 0

E X( ) = l-1

Þ l =1

E X( )l =

1

X

5-Sep-14



pX x( ) = 14

e-1

4x

PX x( ) =1- e-1

4x

PY 8( ) = prob Y £ 8( ) = prob semua x £ 8( )

= PX 8( )éë

ùû

9

= 1- e-2( )9

= 0.271

prob Y > 8( ) =1-0.271

= 0.729

5-Sep-14



Permasalahan yang sering ditemui adalah bahwa jenis parent distribution tidak diketahui.

Hal ini diatasi dengan

ukuran sampel cukup besar, n »

pemakaian distribusi asimtotis

dikenal 3 jenis distribusi asimtotis

Type I – parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution exist (exponential type distributions)

Type II – parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution do not exist (Cauchy type distributions)

Type III – parent distribution bounded in the direction of the desired extreme (limited distributions)

5-Sep-14



Permasalahan yang menjadi interest umumnya menyangkut nilai-nilai ekstrem maximum atau extrem minimum.

Beberapa contoh parent distributions

Type I – extreme value largest – normal, lognormal, eksponential, gamma

Type I – extreme value smallest – normal

Type II – extreme value largest or smallest – distribusi Cauchy

Type III – extreme value largest – distribusi beta

Type III – extreme value smallest – beta, lognormal, gamma, eksponential

5-Sep-14


Distribusi Nilai Extrem (9)

Permasalahan di bidang hidrologi

Type II – extreme value largest or smallest

jarang dijumpai/dipakai

Type I – extreme value largest

nilai ekstrem maksimum sering mengikuti distribusi jenis ini

mengingat banyak variabel hidrologi unbounded di sisi kanan

Type III – extreme value smallest

nilai ekstrem minimum sering mengikuti distribusi jenis ini

mengingat banyak variabel hidrologi bounded di sisi kiri oleh

nilai nol

5-Sep-14


Type I Extreme Value Distribution

(Gumbel Distribution)

pX x( ) = exp ∓ x -b( ) a-exp ∓ x -b( ) aé

ëùû{ } a

-¥ < x < +¥

-¥ < b < +¥

a > 0

− untuk nilai maksimum

+ untuk nilai minimum

α = skala

β = lokasi = mode

5-Sep-14




E X( ) = b+0.577a (max)

= b-0.577a (min)

var X( ) =1.645a2 (max min)

g =1.1396 (max)

= -1.1396 (min)

5-Sep-14




PY y( ) = exp ∓ t - exp ∓t( )éë

ùû d t

-¥

+¥

ò , -¥ < y < +¥

= exp - exp -y( )éë

ùû (max)

=1-exp -exp y( )éë

ùû (min)

Y =

x -b

a

Pmin y( ) =1- Pmax -y( )

Dengan memakai transformasi

− untuk nilai maksimum

+ untuk nilai minimum

pY y( ) = exp ∓ y -exp ∓ y( )é

ëùû

5-Sep-14




Estimasi parameter α dan β

a =s

1.283

b = X -0.45s (max)

= X +0.45s (min)

5-Sep-14


Type II Extreme Value Distribution

PX x( ) = 0 if x £ b

= exp -u -b

x -b

æ

èç

ö

ø÷

ké

ë

êê

ù

û

úú

if x ³ b

k > 0 ® bentuk

u -b > 0 ® skala

b ® lokasi

E X( ) = b+ u -b( ) G 1-1 k( )

var X( ) = u -b( )2

G 1- 2 k( ) -G2 1-1 k( )éëê

ùûú, k > 2

5-Sep-14


Type III Extreme (Minimum) Value Distribution

(Weibull Distribution)

pX x( ) = a xa-1b-a exp -x

b

æ

èç

ö

ø÷

aé

ë

êê

ù

û

úú, x ³ 0

PX x( ) =1-exp -x

b

æ

èç

ö

ø÷

aé

ë

êê

ù

û

úú

E X( ) = b G 1+1 a( )

var X( ) = b2 G 1+ 2 a( ) -G2 1+1 a( )éëê

ùûú

g =G 1+3 a( ) -3G 1+ 2 a( )G 1+1 a( )+ 2G3 1+1 a( )

G 1+ 2 a( ) -G2 1+1 a( )éëê

ùûú

3 2

5-Sep-14


Type III Extreme (Minimum) Value Distribution

(Weibull Distribution)

l = b-a

l =n

xia

i=1

n

å

a =n

l xia ln xi

i=1

n

å - ln xi

i=1

n

å

b = a( )-1 a

Estimates:

5-Sep-14


Extreme Value Distributions

Silakan baca discussion pada hlm 118 (Haan, 1982)

5-Sep-14


Beta Distribution

pX x( ) = xa-1 1- x( )

b-1B a,b( ) , 0 < x <1 and a,b > 0

Distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah

B a,b( ) = beta function

= xa-1 1- x( )b-1

d x

0

1

ò

=G a( )G b( )G a+b( )

E X( ) =a

a+b

var X( ) =ab

a+b+1( ) a+b( )2

5-Sep-14


Pearson Type III Distribution

pX x( ) = p0 1+ x a( )

a 5e-x d

• mode di x = 0

• batas bawah di x = −α

pX x( ) = p0 e- x-a( ) d x

a

æ

èç

ö

ø÷

a b

• mode di x = α

• batas bawah di x = 0

Dengan transformasi (translasi) sehingga:

5-Sep-14

DISTRIBUSI SAMPEL

STATISTIK

Distribusi Chi-square

Distribusi t

Distribusi F

5-Sep-14http://istiarto.staff.ugm.ac.id 32


Chi-square Distribution

Z =

X -m

svariabel random berdistribusi normal

pc2 x( ) =

x- 1-n 2( )

e-x 2

2n 2 G n 2( )

x,n > 0

n = 2h

Distribusi chi-square = distribusi gamma denganλ = ½η = kelipatan ½

Y = Zi2

i=1

n

å berdistribusi chi-square dengan n degrees of freedom

E c2( ) = n var c2( ) = 2n n = X

5-Sep-14


t Distribution

Y dan U independent

pT t( ) =G 1

2n+1( )é

ëùû 1+ t2 n( )

-12

n+1( )

pn G n 2( )-¥ > t < +¥

n > 0

X = Yn

U berdistribusi t dengan ν degrees of freedom

E T( ) = 0

var c2( ) =n

n- 2untuk n > 2

Y = normal standar

U = chi-square

5-Sep-14


F Distribution

U dan Vindependent

pF f( ) =G 1

2g1 + g2( )é

ëùûg1

g1 2g

g2 2f

12

g1-2( )

g2 + g1 f( )12

g1+g2( )G g1 2( )G g2 2( )

g1,g2 > 0

X = U m( ) V n( ) berdistribusi F dengan γ1 = m dan γ2 = n

degrees of freedom

E F( ) =g1

g2 - 2var F( ) =

g22 g1 + 2( )

g1 g2 - 2( ) g2 - 4( )

U = chi-square dengan γ = m degrees of freedom

V = chi-square dengan γ = n degrees of freedom

maka:

5-Sep-14

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 365-Sep-14